2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義：整理：陳老師主講：陳老師

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師1專題 01 不等式及基本不等式（解密講義）考點 命題點 考題

不等式 ①不等式的性質(zhì)

②不等式的求解

③含參數(shù)的一元二次不等式恒成

立問題

2024 預(yù)測新高考 I 卷 T11，2024 預(yù)測全國乙卷（文）T52024 預(yù)測浙江卷 T3，2024 預(yù)測全國甲卷T162024 預(yù)測全國甲卷（文）T12

2024 預(yù)測全國 I 卷 T1

基本不等式及

應(yīng)用

①利用基本不等式求最值

②基本不等式的綜合應(yīng)用

2024 預(yù)測新高考Ⅱ卷 T12，2024 預(yù)測全國乙卷T82024 預(yù)測天津卷 T14

考點一不等式? 命題點 1 不等式的性質(zhì)典例 01（2024 預(yù)測·全國·高考真題）若 a>b，則

A．ln(a?b)>0 B．3a<3b

C．a(chǎn)

3?b

3>0 D．│a│>│b│

典例 02（多選）（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）若 x，y 滿足

2 +

2 ? = 1，則（）A． + ≤ 1 B． + ≥? 2

C．

2 +

2 ≤ 2 D．

2 +

2 ≥ 1

? 命題點 2 不等式的求解? 典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合 = ?2, ? 1,0,1,2 ， =

2 ? ?6 ≥0，則∩ =（ ）

A． ?2, ? 1,0,1 B． 0,1,2 C． ?2 D．2

典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合 = {|

2 ? 3 ? 4 < 0}, = { ? 4,1,3,5}，則∩=（ ）

A．{ ? 4,1} B．{1,5}

C．{3,5} D．{1,3}

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師2典例 03（2024 預(yù)測·山東·統(tǒng)考高考真題）已知二次函數(shù) =

2 + + 的圖像如圖所示，則不等式2+ + > 0 的解集是（ ）

A． ?2,1 B． ?∞, ? 2 ∪ 1, + ∞

B． C． ?2,1 D． ?∞, ? 2 ∪ 1, + ∞ ? 命題點 3 含參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題

典例 01（2024 預(yù)測·天津·高考真題）已知函數(shù)() =

2 ? + 3, ≤ 1, +

2

, > 1.設(shè) ∈ ，若關(guān)于x 的不等式()≥| 2 + |在 R 上恒成立，則 a 的取值范圍是

A．[ ?

47

16

, 2] B．[ ?

47

16

, 39

16

] C．[ ? 2 3, 2] D．[ ? 2 3, 39

16

]

典例 02（2024 預(yù)測·天津·高考真題）已知 ∈ ，函數(shù) =

2 + 2 + ? 2， ≤ 0，?

2 + 2 ? 2， > 0．若對任意x∈［–3，+∞），f(x)≤ 恒成立，則 a 的取值范圍是 ．

1．已知函數(shù) =

2

?2??sin2 ，若對于一切的實數(shù)，不等式 2

2 <

3

8 ? 恒成立，則的取值范圍為（ ）

A． ?2,0 B． ?2,0 C． ?3,0 D． ?3,0

2．已知函數(shù) =

2 + + ，若不等式 ≤ 2 在 ∈ 1,5 上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對(, )有（ ）

A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．無數(shù)個3．若命題：“? ∈ ，

2 ? 1

2 + 4 1 ? + 3 ≤ 0”是假命題，則的取值范圍是.考點二 基本不等式及應(yīng)用

? 命題點 1 利用基本不等式求最值

典例 01（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知1，2是橢圓：

29

+

24 = 1 的兩個焦點，點在上，則1?2 的最大值為（ ）

A．13 B．12 C．9 D．6

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師3典例 02（多選）（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）若 x，y 滿足

2 +

2 ? = 1，則（）A． + ≤ 1 B． + ≥? 2

C．

2 +

2 ≤ 2 D．

2 +

2 ≥ 1

典例 03（2024 新·天津·統(tǒng)考高考真題）在△ 中，∠ = 60

°， = 1，點為的中點，點為的中點，若設(shè) = , = ，則 可用 , 表示為 ；若 =

1

3

，則 ? 的最大值為．? 命題點 2 基本不等式的綜合應(yīng)用典例 01（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知△ 中，點 D 在邊 BC

上，∠ = 120°, = 2, = 2．當(dāng)

取得最小值時， = ．1．（多選）（2024 新·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 滿足+1 = ?

2 + 2 + 1, ≥1, 為 的前項和．則下列說法正確的是（ ）

A．3取最大值時，2023 = 3035 B．當(dāng)3取最小值時，2023 = 3033

C．當(dāng)100取最大值時，200 = 300 D．100的最大值為 100 + 50 2

2．（多選）（2024 新·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知 P，Q 是雙曲線

2

2 ?

2

2 =1上關(guān)于原點對稱的兩點，過點 P 作 ⊥ 軸于點 M，MQ 交雙曲線于點 N，設(shè)直線PQ 的斜率為k，則下列說法正確的是（ ）

A．k 的取值范圍是?

< <

且 ≠ 0 B．直線 MN 的斜率為

2

C．直線 PN 的斜率為

2

2

2 D．直線 PN 與直線 QN 的斜率之和的最小值為 3．（2024 新·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，已知球的表面積為 16π，若將該球放入一個圓錐內(nèi)部，使球與圓錐底面和側(cè)面都相切，則圓錐的體積的最小值為 .

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師41．（2024 新·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學(xué)?？既＃┮阎?4 ? 3 = 3 ? 2

= 1，則（）A． > >? 1 B． > >? 1

C． < <? 1 D． < <? 1

2．（多選）（2024 新·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知實數(shù) a，b，則下面說法正確的是（）A．若 > ，則

3 >

3

B．若 a，b 均大于 0 且ln = ln，則 >

C．若 > 0， > 0， + = 2，則

1

2+1

+

1

2+1最大值為

2+1

2

D．若

2 +

2 = 1，則的取值范圍為 ?

1

2

, 1

2

3．（多選）（2024 新·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）歷史上著名的伯努利錯排問題指的是：一個人有 ≥ 2 封不同的信，投入個對應(yīng)的不同的信箱，他把每封信都投錯了信箱，投錯的方法數(shù)為.例如兩封信都投錯有2 = 1 種方法，三封信都投錯有3 = 2 種方法，通過推理可得：+1 = +?1 ≥ 3 .高等數(shù)學(xué)給出了泰勒公式：e

= 1 + +

22!

+

33!

+ ? +

!

+ ?，則下列說法正確的是（）A．4 = 9

B． +2 ? + 2 +1 為等比數(shù)列

C．

! =

(?1)2 2!

+

(?1)3 3!

+ ? +

(?1)!

≥ 2

D．信封均被投錯的概率大于

1

e 4．（多選）（2024 新·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知函數(shù) =

+ ? 1 ∈ ，則（）A．當(dāng) =? 1 時， 在 0, + ∞ 有最小值 1

B．當(dāng) = 3 時， 圖象關(guān)于點 0,1 中心對稱

C．當(dāng) = 2 時， > ln對任意 > 0 恒成立

D． 至少有一個零點的充要條件是 > 0

專題 03 函數(shù)的圖像與性質(zhì)（解密講義）

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師5【知識梳理】

1．函數(shù)周期性的結(jié)論

(1)若函數(shù) f(x)滿足 f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，則 f(x)為周期函數(shù)，且2a 是它的一個周期．(2)若函數(shù) f(x)滿足

1

( )

( )

a

x

f x

f

? ? (a＞0)，則 f(x)為周期函數(shù)，且2a 是它的一個周期．(3)f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于 x＝

a＋b

2

對稱．【考點 2】函數(shù)圖像及應(yīng)用

考點 命題點 考題

函數(shù)的性質(zhì)及

應(yīng)用

①函數(shù)的單調(diào)性及最值

②函數(shù)的奇偶性

③函數(shù)的周期性及對稱性

2024 新北京卷 T15，2024 新全國甲卷T11，2024 新全國乙卷 T4，2024 預(yù)測新高考II 卷T8，2024 預(yù)測全國 I 卷 T12，2024 預(yù)測全國I 卷T132024 預(yù)測全國 II 卷 T9，2024 預(yù)測全國III 卷T12函數(shù)圖像及應(yīng)

用

①函數(shù)圖像的識別

②函數(shù)圖像變換

③函數(shù)圖像的應(yīng)用

2024 新天津卷 T4，

2024 預(yù)測全國 III 卷 T7

2024 預(yù)測全國 II 卷 T3

考點一 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

? 命題點 1 函數(shù)的單調(diào)性及最值

典例 01（2024 預(yù)測·北京·統(tǒng)考高考真題）已知()是定義在上[0,1]的函數(shù)，那么“函數(shù)()在[0,1]上單調(diào)遞增”是“函數(shù)()在[0,1]上的最大值為(1)”的（ ）

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件典例 02（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) = e?(?1)2．記 =

2

2

, =

3

2

, =62，則（ ）

A． > > B． > > C． > > D． > >

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師6典例 03（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù) = 2

? 在區(qū)間 0,1 上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）

A． ?∞, ? 2 B． ?2,0

C． 0,2 D． 2, + ∞ ? 命題點 2 函數(shù)的奇偶性典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知() =

e

e

?1是偶函數(shù)，則 =（）A．?2 B．?1 C．1 D．2

典例 02（多選）（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) 的定義域為， =

2 +2，則（ ）．

A． 0 = 0 B． 1 = 0

C． 是偶函數(shù) D． = 0 為 的極小值點

典例 03（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）若 = ( ? 1)

2 + + sin +

π

2 為偶函數(shù)，則 =．? 命題點 3 函數(shù)的周期性及對稱性典例 01（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) f (x), g(x)的定義域均為R，且f ( x) ? g(2 ? x) ? 5, g( x) ? f ( x ? 4) ? 7 ．若 y ? g(x) 的圖像關(guān)于直線 x ? 2對稱，g(2) ?4，則??22

k 1

f k???（）A．?21 B．?22 C．?23 D．?24

典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) f (x) 的定義域為 R，且f (x ? y) ? f (x ? y) ? f (x) f ( y), f (1) ? 1，則

22

1 ( )

k f k

??? （ ）

A．?3 B．?2 C．0 D．1

典例 03（多選）（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) f (x) 及其導(dǎo)函數(shù)f (x)

? 的定義域均為R，記g(x) ? f ?(x) ，若

3

2

2

f x

? ?

? ? ?

? ?， g(2 ? x) 均為偶函數(shù)，則（ ）

A． f (0) ? 0 B．

1

0

2

g

? ?

?? ? ?

? ?

C． f (?1) ? f (4) D． g(?1) ?g(2)

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師71．已知函數(shù) = 4 + 2sin + ln

2 + 1 + ，若不等式 3

? 9

+ ? 3

? 2 <0 對任意∈R均成立，則的取值范圍為（ ）

A． ?∞, 2 2 ? 1 B． ?∞, ? 2 2 + 1

C． ?2 2 + 1,2 2 ? 1 D． ?2 2 + 1, + ∞

2．（多選）已知函數(shù) 滿足對任意的 ∈ R 都有 + 2 =? ， 1 = 3，若函數(shù) = ?1的圖象關(guān)于點 1,0 對稱，且對任意的1

, 2 ∈ 0,1 ，1 ≠ 2，都有1 1 + 2 2 > 1 2 +2 1 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A． 是偶函數(shù) B． 的圖象關(guān)于直線 = 1 對稱C． 2022 ? 2023 = 3 D． ?

5

2

<

5

4

3．（多選）（2024 預(yù)測·吉林·東北師大附中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù) ， 的定義域均為R，且 +2? = 5， ? ? 4 = 7．若 = 的圖象關(guān)于直線 = 2 對稱，(2) = 4，則下列結(jié)論正確的是（）A． 3 = 6 B． ?1 =? 1 C． 1 = 1 D． =1

2021 =?2021

? 命題點 函數(shù)圖像變換典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù) y ? f ? x? 的圖象由函數(shù)

πcos 26y x

? ? ? ? ??

? ?的圖象向左平移π6個單位長度得到，則 y ? f ? x? 的圖象與直線

1 1

2 2

y ? x ? 的交點個數(shù)為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

典例 02（2024 預(yù)測·浙江·統(tǒng)考高考真題）為了得到函數(shù) y ? 2sin 3x 的圖象，只要把函數(shù)π2sin35yx????????圖象上所有的點（ ）

A．向左平移

π

5 個單位長度 B．向右平移

π

5 個單位長度

C．向左平移

π

15 個單位長度 D．向右平移

π

15 個單位長度

典例 03（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）將函數(shù)

π

( ) sin ( 0) 3

f x ?x ?? ? ? ? ? ? ?? ? 的圖像向左平移π2個單位長度后得到曲線 C，若 C 關(guān)于 y 軸對稱，則? 的最小值是（ ）

A．

1

6

B．

1

4

C．

1

3

D．

1

2

? 命題點 3 函數(shù)圖像的應(yīng)用

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師8典例 01（2024 預(yù)測·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)() = 2

? ? 1，則不等式() >0 的解集是（）．A．( ? 1,1) B．( ? ∞, ? 1) ∪ (1, + ∞)

C．(0,1) D．( ? ∞, 0) ∪ (1, + ∞)

典例 02（2024 新·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè) > 0，函數(shù)() =

+ 2, <? ,

2 ?

2

, ? ≤ ≤ , ? ? 1, > . ，給出下列四個結(jié)論：

①()在區(qū)間( ? 1, + ∞)上單調(diào)遞減；

②當(dāng) ≥ 1 時，()存在最大值；

③設(shè) 1

, 1 1 ≤ , 2

, 2 2 > ，則|| > 1；

④設(shè) 3

, 3 3 <? , 4

, 4 4 ≥? ．若||存在最小值，則 a 的取值范圍是0, 1

2 ．其中所有正確結(jié)論的序號是 ．

1．函數(shù) = sin

33

+ ? ln

2

+2

2

的圖像可能是（ ）

A． B．

C． D．

2．將函數(shù) =?

3 + ， ∈ 0,1 的圖象繞點 1,0 順時針旋轉(zhuǎn)角（0 < <

π

2）得到曲線C，若曲線C仍是一個函數(shù)的圖形，則的最大值為（ ）

A．a(chǎn)rctan

1

2

B．

π

6

C．

π

4

D．a(chǎn)rctan2

3．已知 =

2

2??

1

2

, < 0

log1

4, > 0 若函數(shù)()的圖像上存在關(guān)于直線 = 對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是 ．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師91．（2024 新·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知 是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng) > 0 時， 單調(diào)遞增，且4=0，則滿足不等式 ? ? 1 < 0 的的取值范圍是（ ）

A． ?3,1 B． 1,5 C． ?3,0 ∪ 1,5 D． ?∞, ? 3 ∪ 1,5

3．（2024 新·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示，則 的解析式可能為（）A． =

2+3sin4

+4? B． =

3+cos

2+2

C． =

3+cos4

+4? D． =

2+3sin

2+2

4．（2024 新上·江西·高一上饒市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù) 的定義域為 R， 2 ? = 2 + ， 5 = 2，且?1，2 ∈ ?∞, 2 ，當(dāng)1 ≠ 2時， 1 ? 21?2 >0，則不等式+4 + 3 >

2的解集為（ ）

A． <? 1 或 > 5 B． ?1 < < 5

C． <? 5 或 > 5 D． ?5 < < 5

5．（多選）（2024 新·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）已知定義域為 R 的函數(shù) 對任意實數(shù)x，y都有 + + ? = 2 ，且

1

2 = 0， 0 ≠ 0，則以下結(jié)論一定正確的有（）A． 0 = 1 B． 是奇函數(shù)

C． 關(guān)于

1

2

, 0 中心對稱 D． 1 + 2 + ? + 2023 = 0

6．（2024 新·山西臨汾·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù) 及其導(dǎo)函數(shù)

' 的定義域均為，且 + 2?=2，

' +

' 4 ? = 2，

' 1 = 3，若 = 3 ? + 3，則 =1

34

' = ．7．（2024 新·黑龍江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù) 是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng) < 0 時， = ?cos+1，則當(dāng)?0 時， = ．

9．（2024 新·上海金山·統(tǒng)考一模）若函數(shù) = (1 ?

2)(

2 + + ) ? ( ≠ 0) 的圖像關(guān)于直線=?2對稱，且該函數(shù)有且僅有 7 個零點，則 + + 的值為 ．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師10專題 04 基本初等函數(shù)與比大小問題（解密講義）【知識梳理】

【考點 1】基本初等函數(shù)

方法技巧：

比較大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性，有時需要根據(jù)代數(shù)式特點，構(gòu)造相關(guān)函數(shù)并研究性質(zhì)．

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必考內(nèi)容之一，重點考查圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，同時考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及其運算能力．

考點 命題點 考題

基本初等函數(shù) ①指數(shù)函數(shù)

②對數(shù)函數(shù)

③冪函數(shù)

2024 新北京卷 T4，2024 新北京卷T11

2024 新全國乙卷（理）T16，2024 新新課標(biāo)I 卷T102024 預(yù)測天津卷 T6，2024 預(yù)測浙江卷T7，2024預(yù)測北京卷 T7

利用基本初等

函數(shù)比較大小

①比大小問題 2024 新全國甲卷（文）T11，2024 新天津卷T32024 預(yù)測天津卷 T5，2024 預(yù)測全國甲卷（文）T122024 預(yù)測新高考 I 卷 T7

考點一基本初等函數(shù)? 命題點 1 指數(shù)函數(shù)

典例 01（2024 預(yù)測·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)

1

( ) 1 2

x f x ?

? ，則對任意實數(shù)x，有（）A． f (-x)+ f (x) = 0 B． f (?x) ? f (x) ? 0

C． f (?x) ? f (x) ?1 D．

1

( ) ( ) 3

f ?x ? f x ?典例 02（2024 預(yù)測下·山西大同·高一大同一中?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中最小值為4 的是（）

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師11A． 2 y ? x ? 2x ? 4 B．

4

sin

sin

y x

x ? ?

C． 2 y 2 2

x ?x ? ? D．

4

ln

ln

y x

x ? ?

典例 03（2024 新·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) 2 ( ) 4 log

x f x ? ? x ，則

1

2

f ? ?

? ? ?? ? ．? 命題點 2 對數(shù)函數(shù)

典例 01（2024 預(yù)測·天津·統(tǒng)考高考真題）化簡(2log43 + log83)(log32 + log92)的值為（）A．1 B．2 C．4 D．6

典例 02（2024 預(yù)測·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知2

= 5, log83 = ，則4

?3 =（）A．25 B．5 C．

25

9

D．

5

3

? 命題點 3 冪函數(shù)

典例 01（2024 新·天津·統(tǒng)考高考真題）若 = 1.01

0.5

, = 1.01

0.6

, = 0.6

0.5，則, , 的大小關(guān)系為（）A． > > B． > >

C． > > D． > >

1．集合 = ∣

2 ? 2 ? 15 < 0 ， = ∣log2 + 1 ≤ 3 ，則 ∩ =（）A． ?3,5 B． ?1,7 C． ?3,7 D． ?1,5

2．今年 8 月 24 日，日本不顧國際社會的強烈反對，將福島第一核電站核污染廢水排入大海，對海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究，福島核污水中的放射性元素有 21 種半衰期在10 年以上；有8種半衰期在 1 萬年以上.已知某種放射性元素在有機(jī)體體液內(nèi)濃度 Bq L 與時間（年）近似滿足關(guān)系式 =? (, 為大于 0 的常數(shù)且 ≠ 1).若 =

1

6時， = 10；若 =

1

12時， = 20.則據(jù)此估計，這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為

1

120時，大約需要（ ）（參考數(shù)據(jù):log23 ≈ 1.58, log25 ≈ 2.32）A．43 年 B．53 年 C．73 年 D．120 年

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師123．（多選）已知定義：e+

=

1, < 0, e

, ≥ 0,則下列命題正確的是（ ）

A．? ∈ R

+， e+

= e+

B．若1

, 2 ∈ R，則e+

1

? e+

2 = e+

1+2 C．? ∈ R，ln e+

+ 1 ?

2 ≥ ln2 D．若1

, 2 ∈ R，則e+

1 ÷ e+

2 = e+

1?2考點二 利用基本初等函數(shù)比大小? 命題點 1 比大小問題

典例 01（2024 預(yù)測·天津·統(tǒng)考高考真題）已知 = 2

0.7， = (

1

3 )

0.7， = log2

1

3，則（）A． > > B． > > C． > > D． > >

典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè) = 0.1e

0.1

, =

1

9 ， =? ln0.9，則（）A． < < B． < < C． < < D． < <

典例 03（2024 預(yù)測·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè) = log20.3, = log1

20.4, = 0.4

0.3，則a，b，c 的大小關(guān)系為（ ）

A． < < B． < < C． < < D． < <

典例 04（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知 = log52， = log83， =

1

2，則下列判斷正確的是（）A． < < B． < < C． < < D． < <

1．已知 a，b，c 為正實數(shù)，滿足 + 5

= 5, + log2 = 5, +

3 = 5，則實數(shù)a，b，c 之間的大小關(guān)系為（ ）

A． > > B． > > C． > > D． > >

2．已知 為定義在 R 上的奇函數(shù)，且滿足 ? 3 = 1 ? ，當(dāng) ∈ ?2, ? 1 時， =2 +2?，若 = log32 ， = log54 ， =

2

3 ，則 a，b，c 的大小關(guān)系為（ ）

A． < < B． < <

C．c < a < b D． < <

3．（多選）若實數(shù)1，2，3滿足3

? 2

1 = 3

? 3

2 = 1，則下列不等關(guān)系可能成立的是（）A．1 < 2 < 3 B．2 < 3 < 1 C．3 < 2 < 1 D．3 < 1 < 2

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師131．（2024 新·上海楊浦·統(tǒng)考一模）等比數(shù)列 的首項1 =

1

64，公比為，數(shù)列 滿足=log0.5（是正整數(shù)），若當(dāng)且僅當(dāng) = 4 時， 的前項和取得最大值，則取值范圍是（）A． 3,2 3 B． 3,4 C． 2 2, 4 D． 2 2, 3 2

2．（2024 新·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè) = ln2, = 1.09, = e

0.3，則（ ）A． < < B． < <

C． < < D． < <

3．（2024 新·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)() = ln

e(?2) ，下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A． + 1 + 1 B． ? 1 + 1 C． ? 1 ? 1 D． + 1 ? 1

4．（2024 新·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù) =

1

e

?2 ? e

?2，若 ? 2 + 2

2 >0，則實數(shù)的取值范圍是（ ）

A． 2, + ∞ B． ?2, 3

2

C． ?∞, ?

3

2

D． ?2, + ∞

5．（2024 新·廣西玉林·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù) x，y 滿足e

= ln ? ln，則ln+1

+ln的最大值為（ ）

A．?1 B．0 C．1 D．2

6．（2024 新上·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）已知

' 是函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù) =e

' 的圖象大致如圖所示，則 的極大值點為（ ）

A． B． C． D．

7．（2024 新·黑龍江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知 < 0, < 0，且 2 + =? 2，則4

+ 2

的最小值為（ ）

A．1 B． 2 C．2 D．2 2

8．（2024 新·全國·模擬預(yù)測）已知7

9 < 6

10，設(shè) = log76， = log87， = 0.9，則（）A． < < B． < < C． < < D． < <

專題 05 函數(shù)的應(yīng)用及參數(shù)問題（解密講義）

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師14考點 命題點 考題

函數(shù)的應(yīng)用 ①函數(shù)的零點問題

②函數(shù)的實際應(yīng)用問題

2024 新年新課標(biāo) I 卷 T10，2024 預(yù)測年北京卷T132024 預(yù)測年北京卷 T15 2024 預(yù)測年山東卷T6函數(shù)的參數(shù)相

關(guān)問題

①根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)范圍

②函數(shù)的零點與參數(shù)問題

2024 新天津卷 T15，2024 新年新課標(biāo)I 卷T152024 預(yù)測天津卷 T15，2024 預(yù)測天津卷T9

考點一函數(shù)的應(yīng)用? 命題點 1 函數(shù)的零點問題典例 01（多選）（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù) = ln +

+

2 ≠ 0 既有極大值也有極小值，則（ ）．

A． > 0 B． > 0 C．

2 + 8 > 0 D． < 0

典例 02（2024 預(yù)測·北京·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)() = sin ? 3cos的一個零點為

3，則=；(

12 ) = ．典例 03（2024 預(yù)測·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)() = lg ? ? 2，給出下列四個結(jié)論：①若 = 0，()恰 有 2 個零點；

②存在負(fù)數(shù)，使得()恰有 1 個零點；

③存在負(fù)數(shù)，使得()恰有 3 個零點；

④存在正數(shù)，使得()恰有 3 個零點．

其中所有正確結(jié)論的序號是 ． ? 命題點 2 函數(shù)的實際應(yīng)用問題典例（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200 份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓 500 份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過 1600 份的概率為0.05，志愿者每人每天

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師15能完成 50 份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）

A．10 名 B．18 名 C．24 名 D．32 名1．定義在 R 上的奇函數(shù)()滿足(2 ? ) = ()，且在[0,1)上單調(diào)遞減，若方程() =?1 在[0,1)上有實數(shù)根，則方程() = 1 在區(qū)間[ ? 1,7]上所有實根之和是（ ）

A．30 B．14 C．12 D．6

2．設(shè)函數(shù)() =

?

2 + 4, ≤ 4, log2( ? 4) , > 4,關(guān)于的方程() = 有四個實根1，2，3，4 1 <2 <3 <4，則1 + 2 + 3 +

1

4

4的最小值為 .考點二 函數(shù)的參數(shù)相關(guān)問題? 命題點 1 根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍

典例 01（2016·天津·高考真題）已知 是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實數(shù)滿足 ，則 的取值范圍是

A． B． C． D．典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知 = 1和 = 2分別是函數(shù)() = 2

?e（2 >0且≠1）的極小值點和極大值點．若1 < 2，則 a 的取值范圍是 ． ? 命題點 2 函數(shù)的零點與參數(shù)范圍

典例 01（2024 預(yù)測·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè) ∈ ，函數(shù)() =

cos(2 ? 2). <

2 ? 2( + 1) +

2 +5, ≥，若()在區(qū)間(0, + ∞)內(nèi)恰有 6 個零點，則 a 的取值范圍是（ ）

A． 2, 9

4

∪

5

2

, 11

4

B．

7

4

, 2 ∪

5

2

, 11

4

C． 2, 9

4

∪

11

4

, 3 D．

7

4

, 2 ∪

11

4

, 3

典例 02（2024 新·天津·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù) =

2 ? 2 ?

2 ? + 1 有且僅有兩個零點，則的取值范圍為 ．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師16典例 03（2024 預(yù)測·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè) ∈ ，對任意實數(shù) x，記

= min ? 2,

2 ? + 3 ? 5 ．若 至少有 3 個零點，則實數(shù)的取值范圍為. 1．已知函數(shù) = 2

?1 ? 2 + 有兩個零點，則的取值范圍是（ ）

A． 0,2 B． 0, + ∞

C． ?2,0 D． ?∞, 0

2．已知函數(shù) =

? 3, ≤ 3 ?

2 + 6 ? 9, > 3 ，若函數(shù) =

2 ? + 2 有6 個零點，則的值可能為（ ）

A．?1 B．?2 C．?3 D．?4

3．已知函數(shù) =

ln , > 0 ?e

, < 0 ，若函數(shù) = ?

2 ? 恰有 3 個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． ?∞, ? 1 ∪ 1, + ∞ B． 1, + ∞

C． ?∞, ? 1 ∪ 1, + ∞ D． ?∞, ? 1 ∪ 1, + ∞

4．若函數(shù)()為偶函數(shù)，且當(dāng) ≥ 0 時，() =

3 + 2

2 + 3．若( ? 9) ≥

2 ? 2 +1 ，則實數(shù)的取值范圍為（ ）

A．[ ? 2 3, 4] B．[ ? 4,2] C．[ ? 2,4] D．[ ? 4,2 3]

專題 06 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用（解密講義）考點 命題點 考題

導(dǎo)數(shù)的定義 ①導(dǎo)數(shù)的概念

②導(dǎo)數(shù)的計算

2024 新全國甲卷（文）T8，2024 新全國乙卷（文）T20

2024 新北京卷 T20

2024 預(yù)測新高考 II 卷T9，2024 預(yù)測新高考II 卷T142024 預(yù)測新高考 I 卷T15，2024 預(yù)測北京卷T20利用導(dǎo)數(shù)研究

函數(shù)相關(guān)問題

①利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值

2024 新全國乙卷（理）T21，2024 新全國乙卷（理）T16

2024 新新高考 I 卷 T19，2024 新新高考I 卷T112024 預(yù)測全國乙卷（文）T11，2024 預(yù)測全國甲卷（文）T20

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師17考點一 導(dǎo)數(shù)的定義

? 命題點 1 導(dǎo)數(shù)的概念

典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線 =

e

+1在點 1, e2 處的切線方程為（）A． =

e4

B． =

e2

C． =

e4

+

e4

D． =

e2

+

3e4

典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線 = ln||過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為 ， ．典例 03（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）若曲線 = ( + )e

有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a 的取值范圍是 ． ? 命題點 2 導(dǎo)數(shù)的計算

典例 01（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）當(dāng) = 1 時，函數(shù)() = ln +

取得最大值?2，則'(2) =（）A．?1 B．?

1

2

C．

1

2

D．1

典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)() =

+．若

'(1) =

4，則a= ．典例 03（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù) : ．① 12 = 1 2 ；②當(dāng) ∈ (0, + ∞)時，

'() > 0；③

'()是奇函數(shù)．1．已知 = 2sin + ? 1, ＞0 在 π，1 處的切線與 x 軸平行，則下列的值符合要求的是（）A．

1

2

B．

3

2

C．

π

2

D．

3π

2

2．已知 > 0， ∈ ，( ? )

2 +

2 ? ln + 2 ?

2的最小值為（ ）

A． 2 B．2 C．

4 3

3

D．

16

3

考點二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)相關(guān)問題? 命題點 1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) = e

? ln在區(qū)間 1,2 上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師18A．e

2 B．e C．e?1 D．e?2

典例 02（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) = e

+ ? ．

(1)討論 的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng) > 0 時， > 2ln +

3

2．典例 03（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) f（x）=2lnx+1．

（1）若 f（x）≤2x+c，求 c 的取值范圍；

（2）設(shè) a>0 時，討論函數(shù) g（x）=

()?()?的單調(diào)性．命題點 2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值

典例 01（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù) = cos + + 1 sin + 1 在區(qū)間0,2π 的最小值、最大值分別為（ ）

A．?

π

2 ，

π

2

B．?

3π

2 ，

π

2

C．?

π

2 ，

π

2

+ 2 D．?

3π

2 ，π

2

+ 2

典例 02（多選）（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)() =

3 ? + 1，則（）A．()有兩個極值點 B．()有三個零點

C．點(0,1)是曲線 = ()的對稱中心 D．直線 = 2是曲線 = ()的切線典例 03（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）（1）證明：當(dāng) 0 < < 1 時， ?

2 < sin <；（2）已知函數(shù) = cos ? ln 1 ?

2 ，若 = 0 是 的極大值點，求 a 的取值范圍．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師19典例 04（2024 預(yù)測·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) =

3?2

2+．

（1）若 = 0，求曲線 = 在點 1, 1 處的切線方程；

（2）若 在 =? 1 處取得極值，求 的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．1．（多選）設(shè)函數(shù)() = sin( + ) ?

1

2

> 0, > 0,0 ≤ ≤

π

2 的最小正周期 >3π，且(+2π)+() = 0，()的極大值與極小值的差為 2．若()在[0,5π]內(nèi)恰有 3 個零點，則的值可能是（）A．

π

7

B．

π

5 C．

π

3

D．

6π

11

2．已知函數(shù)() = ln

2 + 1 + + e

? e?? 2 + 3，若 e

+ (ln ? ln) > 6 對于 ∈(0, +∞)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．

3．已知函數(shù)() =

2 ? + ln ? 3．

(1)討論函數(shù)()的單調(diào)性；

(2)已知1，2 0 < 1 < 2

, 1 + 2 = 3e 是函數(shù)() = () ?

2 + 2 + 3 的兩個零點，記()的導(dǎo)函數(shù)為

'()，證明：

'ln

1

12 > 0 恒成立．

4．已知函數(shù)() = e

?1 ?

2 + ? eln．

(1)求曲線 = ()在點(1, (1))處的切線方程；

(2)當(dāng) ∈ (0,1)時，證明：() > 0 恒成立．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師2007 導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用（解密講義）方法技巧：

求解含參不等式恒成立問題的關(guān)鍵是過好“雙關(guān)”

轉(zhuǎn)化關(guān)

通過分離參數(shù)法，先轉(zhuǎn)化為 f(a)≥g(x)(或 f(a)≤g(x))對?x∈D 恒成立，再轉(zhuǎn)化為 f(a)≥g(x)max(或 f(a)≤g(x)min)

求最值關(guān) 求函數(shù) g(x)在區(qū)間 D 上的最大值(或最小值)問題

考點 考題

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立

問題

2024 新全國甲卷（文）T20，2024 新全國甲卷（理）T21

2024 新天津卷 T20，2024 新全國新課標(biāo) I 卷 T19

2024 新全國新課標(biāo) II 卷 T22，2024 預(yù)測年新高考II 卷T22

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點和

方程的根

2024 新全國乙卷（文）T8，2024 預(yù)測全國乙卷（文）T20

2024 預(yù)測全國甲卷（理）T21，2024 預(yù)測全國乙卷（理）T21

2024 預(yù)測新高考 I 卷 T10

考點一 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) = ?

sin

cos2

, ∈ 0, π

2 ．(1)當(dāng) = 1 時，討論 的單調(diào)性；

(2)若 + sin < 0，求的取值范圍．典例 02（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)() = ?

sin

cos3

, ∈ 0, π

2

(1)當(dāng) = 8 時，討論()的單調(diào)性；

(2)若() < sin2恒成立，求 a 的取值范圍．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師21典例 04（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) = e

+ ? ．

(1)討論 的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng) > 0 時， > 2ln +

3

2．典例 05（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）（1）證明：當(dāng) 0 < < 1 時， ?

2 < sin <；（2）已知函數(shù) = cos ? ln 1 ?

2 ，若 = 0 是 的極大值點，求 a 的取值范圍．1．已知函數(shù)() =

1

2

2e

2 + 2 ? 3 e

?

2在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A． ?∞, ?

2

e B．

2

e

, + ∞ C． ?∞, ?

2

e ∪ e D． ?∞, ?

2

e ∪ e

2．已知函數(shù) = + ln ? e ? 1 ∈ ．

(1)當(dāng) = 0 時，討論函數(shù)()的單調(diào)性；

(2)若() > 0 在(1, + ∞)上恒成立，求的取值范圍．

3．已知函數(shù)() =

1

2

2 ? ln．

(1)當(dāng) = 1 時，求()的極值；

(2)若不等式() ≥ 恒成立，求實數(shù)的取值范圍．考點二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點和方程的根

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師22典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù) =

3 + + 2 存在 3 個零點，則的取值范圍是（）A． ?∞, ? 2 B． ?∞, ? 3 C． ?4, ? 1 D． ?3,0

典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)() = ?

1

? ( + 1)ln．(1)當(dāng) = 0 時，求()的最大值；

(2)若()恰有一個零點，求 a 的取值范圍．典例 03（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) =

? ln + ? ．(1)若 ≥ 0，求 a 的取值范圍；

(2)證明：若 有兩個零點1

, 2，則12 < 1．典例 04（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) = ln 1 + + e?

(1)當(dāng) = 1 時，求曲線 = 在點 0, 0 處的切線方程；

(2)若 在區(qū)間 ?1,0 , 0, + ∞ 各恰有一個零點，求 a 的取值范圍．

1．已知函數(shù) = e

?

3

2

2 + 4有 3 個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A．

8

e

4

, 16

e

4 B． 0, 8

e

4 C． 0, 16

e

4 D．

8

e

4

, 1

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師232．已知函數(shù) = e

+

2 + ．

(1)若曲線 = 在 = 0 處的切線方程為 = 2 + ，求，的值；

(2)若函數(shù)? = + ln ?

2 ? ? ln，且? 恰有 2 個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．3．已知函數(shù) = ln ?

1

2 + ， = + ? 1 +

1?

2 ∈ ．

(1)若 與 在定義域上有相同的單調(diào)性，求的取值范圍；

(2)當(dāng) > 1 時，記 ， 的零點分別為0

, 1，判斷0與1的大小關(guān)系，并說明理由．專題 08 三角函數(shù)及恒等變換（解密講義）考點 命題點 考題

任意角的三角

函數(shù)

①任意角及扇形相關(guān)公式

②同角三角函數(shù)關(guān)系

③三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

2024 新北京卷 T13，2024 新全國乙卷（文）T142024 預(yù)測浙江卷 T14，2024 預(yù)測全國甲卷（理）T82024 預(yù)測年北京卷 T14

三角恒等變換 ①兩角和與差的三角函數(shù)

②二倍角公式

2024 新新課標(biāo) I 卷 T8，2024 新新課標(biāo)II 卷T72024 預(yù)測新高考 II 卷 T6，2024 預(yù)測全國乙卷（文）T62024 預(yù)測新高考 I 卷 T6

考點一 任意角的三角函數(shù)? 命題點 1 任意角及扇形相關(guān)公式

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師24典例 01（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖， 是以 O 為圓心，OA 為半徑的圓弧，C 是AB 的中點，D在 上， ⊥ ．“會圓術(shù)”給出 的弧長的近似值 s 的計算公式： = +

2 ．當(dāng) =2, ∠ = 60°時， =（ ）

A．

11?3 3

2

B．

11?4 3

2

C．

9?3 3

2

D．

9?4 3

2

典例 02（2024 預(yù)測·北京·統(tǒng)考高考真題）若點(cos, sin)關(guān)于軸對稱點為(cos( +

6 ), sin( +

6 ))，寫出的一個取值為 ．典例 03（2024 預(yù)測·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的側(cè)面積（單位：cm2）為2π，且它的側(cè)面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：cm）是 ． ? 命題點 2 同角三角函數(shù)關(guān)系典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)甲：sin

2 + sin

2 = 1，乙：sin + cos =0，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件典例 02（2024 預(yù)測·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè) ∈ ，則“sin = 1”是“cos = 0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件典例 03（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）若 ∈ 0, π

2

,tan =

1

2，則 sin ? cos = ．? 命題點 3 三角函數(shù)誘導(dǎo)公式典例 01（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）cos

2 π

12 ? cos

2

5π

12 =（ ）

A．

1

2

B．

3

3

C．

2

2

D．

3

2

典例 02（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）在△ 中，內(nèi)角, , 的對邊分別是, , ，若cos?cos=，且 =

5，則∠ =（ ）

A．

10

B．

5 C．

3

10

D．

2

5

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師25典例 03（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）若 = ( ? 1)

2 + + sin +

π

2 為偶函數(shù)，則 =．1．已知直線: 2 + 3 ? 1 = 0 的傾斜角為，則 sin ? π ? sin

π

2 ? =（）A．

6

13

B．?

6

13

C．

2

5 D．?

2

5

2．我國“復(fù)興號”高鐵列車是世界上運營速度最快的輪軌列車．在平直的鐵軌上停著一輛“復(fù)興號”高鐵列車，列車與鐵軌上表面接觸的車輪半徑為，且某個車輪上的點剛好與鐵軌的上表面接觸，若該列車行駛了距離，則此時到鐵軌上表面的距離為（ ）

A．sin

B．2sin

C． 1 ? cos

D． 1 + cos

3．如圖，直徑 = 10 的半圓，為圓心，點在半圓弧上，sin∠ = 0.8, 為 的中點，與相交于點，則 cos∠ = .考點二 三角恒等變換

? 命題點 1 兩角和與差的三角函數(shù)

典例 01（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）若 sin( + ) + cos( + ) = 2 2cos +

4

sin，則（）A．tan( ? ) = 1 B．tan( + ) = 1

C．tan( ? ) =? 1 D．tan( + ) =? 1

典例 02（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知 sin ? =

1

3

, cossin =

1

6，則cos 2 +2=（）．A．

7

9

B．

1

9

C．?

1

9

D．?

7

9

典例 03（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為坐標(biāo)原點，點1(cos, sin)，2(cos, ?sin)，3(cos( + ), sin( + ))，(1,0)，則（ ）

A．|1

| = |2

| B．|1

| = |2

|

C． ? 3 = 1

? 2

D． ? 1

= 2

? 3

? 命題點 2 二倍角公式

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師26典例 01 （2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為銳角，cos =

1+ 5

4 ，則 sin

2 =（）．A．

3? 5

8

B．

?1+ 5

8

C．

3? 5

4

D．

?1+ 5

4

2．（2024 預(yù)測·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)() = cos

2 ? sin

2，則（ ）A．()在 ?

2

, ?

6 上單調(diào)遞減 B．()在 ?

4

,

12 上單調(diào)遞增C．()在 0,

3 上單調(diào)遞減 D．()在

4

, 7

12 上單調(diào)遞增

3．（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）若 ∈ 0,

2

, tan2 =

cos

2?sin，則 tan =（）A．

15

15 B．

5

5 C．

5

3

D．

15

3

1．已知 cos ?

π

3 ? 3sin =?

4

5，則 sin 2 +

π

6 =（ ）

A．

7

25 B．

24

25 C．?

7

25 D．?

24

25

2．已知sin

2 +

π

4 ? sin

2 +

π

12 ? cos 2 +

π

3 =

1

2，則 tan

π

12 ? =（）A．2m B．?2 C．

1

2 D．?

1

2

3．若 sin + 20° + cos + 20° =

4

3，則 cos 2 + 70° ? 3sin 2 + 70° 的值為（）A．

7

9

B．?

7

9

C．

14

9

D．?

14

9

4．已知 cos + 3sin =

2 6

3 ，則 cos(2 +

π

3 ) =（ ）

A．?

2

3

B．

2

3

C．?

1

3

D．

1

3

1．（2024 新·浙江·統(tǒng)考一模）已知 ∈ ( ?

π

2

, 0)，且 tan( π

4 ? ) = 3cos2，則sin2 =（）A．?

1

6

B．?

1

3

C．?

2

3

D．?

5

6

2．（2024 新·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè) ∈ 0, π

2 ， ∈ 0, π

2 ，且 tan + tan =

1

cos，則（）

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師27A．2 + =

π

2

B．2 ? =

π

2

C．2 ? =

π

2

D．2 + =

π

2

3．（2024 新·貴州·清華中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知 sin +

π

3 =

1

3，則 cos + sin +π

6 =（）A．

3

2

B． 3 C．

1

2

D．

3

3

4．（2024 新·全國·模擬預(yù)測）已知 sin ? cos =

1

3，cos + sin =

1

2，則 sin ? =（）A．

5

72

B．?

5

72

C．

59

72

D．?

59

72

5．（2024 新·重慶北碚·西南大學(xué)附中?？寄M預(yù)測）已知為銳角，sin +

π

3 =

3

5，則sin=（）A．

3?4 3

10

B．

4 3?3

10

C．

3+4 3

10

D．?

3+4 3

10

6．（2024 新·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，水利灌溉工具筒車的轉(zhuǎn)輪中心到水面的距離為1m，筒車的半徑是 3m，盛水筒的初始位置為0

, 0與水平正方向的夾角為

6．若筒車以角速度2rad/min沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，為筒車轉(zhuǎn)動后盛水筒第一次到達(dá)入水點1所需的時間（單位：min），則（ ）

A．cos =

1

2

B．sin =

2

2

C．cos2 =?

2 6+1

6

D．sin2 =?

3+2 2

6

7．（2024 新·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知 ∈ ?

π

2

, 0 且 tan

π

4 ? =3cos2，則sin2 = ．

8．（2024 新·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù) = 2cos sin + 3cos ?3. (1)若 +

π

4 =

10

13，求 2 ?

π

12 的值；

(2)設(shè) = +

π

12 + ?

π

6 ?

1

2 +

π

12 ?

π

6 ，求函數(shù) 的最小值.

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師289．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)?？家荒＃?的內(nèi)角, , 的對邊分別為, , ，且滿足

1

tan

+

1

tan=

tan

2 ．

(1)求 tantan的值；

(2)若 coscos =

10

10 ，△ 的面積為 3，求的值．專題 09 三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)（解密講義）.考點 命題點 考題

基本三角函數(shù)

的圖像及性質(zhì)

①正余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)

②正切函數(shù)的圖像及性質(zhì)

2024 新北京卷 T13，2024 新全國乙卷（理）T102024 新天津卷 T5，2024 預(yù)測天津卷T9

三角函數(shù)圖像

變換

①三角函數(shù)圖像的四種基本變換

②函數(shù) y=Asin(wx+φ)的圖像及性質(zhì)

2024 新北京卷 T17，2024 新全國甲卷（理）T102024 新全國乙卷（理）T6，2024 新新課標(biāo)II 卷T162024 預(yù)測新高考 II 卷T9，2024 預(yù)測全國甲卷（文）T5考點一 基本三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)? 命題點 1 正余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列 的公差為

2

3 ，集合 = cos ∈ N? ，若=, ，則 =（ ）

A．－1 B．?

1

2

C．0 D．

1

2

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師29典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知命題: ? ∈ , sin < 1﹔命題: ? ∈ ﹐e

|| ≥1，則下列命題中為真命題的是（ ）

A． ∧ B．? ∧ C． ∧ ? D．? ∨

典例 03（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) = cos ? 1( > 0)在區(qū)間0,2π 有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．命題點 2 正切函數(shù)的圖像及性質(zhì)典例 01（2014·全國·高考真題）設(shè)a ? sin 33?,b ? cos 55?, c ? tan 35?, 則

A．a(chǎn) ? b ? c B．b ? c ? a C．c ? b ? a D．c ?a ?b2．（2014·山東·高考真題）對于函數(shù) ，若存在常數(shù) ，使得 取定義域內(nèi)的每一個值，都有，則稱 為準(zhǔn)偶函數(shù)，下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是

A． B．

C． D．

3．（2024 新·北京·統(tǒng)考高考真題）已知命題 p :若?,? 為第一象限角，且???，則tan??tan?．能說明p為假命題的一組?,? 的值為? ? ， ? ? ．

1．設(shè) = sin0.2, = 0.16, =

1

2

ln

3

2，則（ ）

A． > > B． > >

C． > > D． > >

2．已知 =

e

e

2?1

+ sin + 2（ ≠ 0）， 4 = 6，則 ?4 =（ ）

A．?4 B．?2 C．4 D．6

3．sin = 1 的一個充分不必要條件是 .考點二 三角函數(shù)圖像變換

? 命題點 1 三角函數(shù)圖像的四種基本變換

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師30典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù) = 的圖象由函數(shù) = cos 2 +

π

6 的圖象向左平移π6個單位長度得到，則 = 的圖象與直線 =

1

2

?

1

2的交點個數(shù)為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2024 預(yù)測·浙江·統(tǒng)考高考真題）為了得到函數(shù) = 2sin3的圖象，只要把函數(shù) =2sin 3 +π

5 圖象上所有的點（ ）

A．向左平移

π

5個單位長度 B．向右平移

π

5個單位長度

C．向左平移

π

15個單位長度 D．向右平移

π

15個單位長度

3．（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）將函數(shù)() = sin +

π

3 ( > 0)的圖像向左平移π

2個單位長度后得到曲線 C，若 C 關(guān)于 y 軸對稱，則的最小值是（ ）

A．

1

6

B．

1

4

C．

1

3

D．

1

2

命題點 2 函數(shù) y=Asin(wx+φ)的圖像及性質(zhì)典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)() = sin( + ), > 0 在區(qū)間π

6

, 2π

3 單調(diào)遞增，直線 =

π

6和 =

2π

3 為函數(shù) = 的圖像的兩條相鄰對稱軸，則 ?

5π

12 =（ ）A．?

3

2

B．?

1

2

C．

1

2

D．

3

2

典例 02（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù) = sin + ，如圖 A，B 是直線 =1

2與曲線=的兩個交點，若 =

π

6，則 π = ．典例 03（2024 新·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)() = sincos +

cossin > 0, || <

π

2 ．

(1)若(0) =?

3

2 ，求的值．

(2)已知()在區(qū)間 ?

π

3

, 2π

3 上單調(diào)遞增，

2π

3 = 1，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)()存在，求, 的值．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師31條件①：

π

3 = 2；

條件②： ?

π

3 =? 1；

條件③：()在區(qū)間 ?

π

2

, ?

π

3 上單調(diào)遞減．

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得 0 分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．

1．（多選）若函數(shù) = 2sin

5 ?

4 則（ ）

A． 的最小正周期為 10 B． 的圖象關(guān)于點

4

5

, 0 對稱C． 在 0, 25

4 上有最小值 D． 的圖象關(guān)于直線 =

15

4 對稱2．（多選）已知函數(shù) = cos + sin( > 0)在 =

π

6處取得最大值 2， 的最小正周期為π，將= 圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的 2 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移π

3個單位長度得到的圖象，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A． =

π

6是 圖象的一條對稱軸 B． = 2cos 2 ?

π

6

C． +

π

2 是奇函數(shù) D．方程 ? 2lg = 0 有 3 個實數(shù)解3．已知函數(shù) = cos(

3π

2

+ ) > 0 在區(qū)間

π

4

, π

3 上單調(diào)遞增,那么實數(shù)ω的取值范圍是.

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師321．（2024 新·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測）將函數(shù) = sin 2 +

12 的圖象向左平移

6個單位長度后得到函數(shù) 的圖象，若函數(shù) 在 ?2, ( > 0)上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． 0, 11

48

B． 0,

24 C．

24

, 11

48

D．

24

, 11

48

2．（2024 新·廣東廣州·廣東實驗中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)() = 2sin ?

π

6 ( > 0)在0, π

2 上的值域為?1,2 ，則的取值范圍為（ ）

A．

4

3

, 2 B．

4

3

, 8

3

C．

2

3

, 4

3

D．

2

3

, 8

3

3．（多選）（2024 新·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù) = cos + ? ( >0, >0, ?<π2)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A．函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 =

π

6對稱

B．函數(shù) 的圖象關(guān)于點

3π

2

, 0 對稱

C．函數(shù) 在

π

12

, 13π

24 的值域為 ? 2, 2

D．將函數(shù) 的圖象向右平移

π

12個單位，所得函數(shù)為 = 2sin2

4．（多選）（2024 新·山東濰坊·山東省昌樂第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）將函數(shù) = sin2的圖象向右平移π4個單位后得到函數(shù) 的圖象，則函數(shù) 具有性質(zhì)（ ）

A．在 0, π

4 上單調(diào)遞增，為偶函數(shù) B．最大值為 1，圖象關(guān)于直線 =?

3π

2 對稱C．在 ?

3π

8

, π

8 上單調(diào)遞增，為奇函數(shù) D．周期為π，圖象關(guān)于點

3π

4

, 0 對稱5．（多選）（2024 新·廣東·東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考一模）函數(shù)() = sin( + )（>0，>0， <

π

2）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)()的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然后向左平移

3π

4 個單位長度，得到函數(shù)()的圖象，則（ ）

A． = 1

B．()的解析式為 = 2sin

2

3

+

π

3

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師33C．

7π

2

, 0 是()圖象的一個對稱中心

D．()的單調(diào)遞減區(qū)間是 3π ?

11π

4

, 3π ?

5π

4 ， ∈ Z

6．（2024 新·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù) = cos + +，（>0，>0， <

π

2）的大致圖象如圖所示，將函數(shù) 的圖象上點的橫坐標(biāo)拉伸為原來的3 倍后，再向左平移π

2個單位長度，得到函數(shù) 的圖象，則函數(shù) 的一個單調(diào)遞增區(qū)間為 . 7．（2024 新·貴州·清華中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù) = cos +

π

4 ， > 0，且? ∈ ，都有() ≤

π

6 ，若函數(shù) = () ? 1 在

π

15

, π

6 上有且只有一個零點，則的最大值為 . 8．（2024 新·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù) =

2

2

cos 2 +

π

4 + sin

2.求函數(shù) 在區(qū)間?

π

12

, π

3 上的最大值和最小值；

9．（2024 新·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù) = 3sin + 的部分圖象如圖所示，其中 > 0, <

π

2，且∠ = 90°. (1)求與的值；(2)若斜率為

6π

4 的直線與曲線 = 相切，求切點坐標(biāo).

1．已知函數(shù)() = 2sin ?

π

6 ( > 0)在 0, π

3 上存在最值，且在

2π

3

, π 上單調(diào)，則的取值范圍是（）A． 0, 2

3

B．

11

4

, 17

3

C． 1, 5

3

D．

5

2

, 8

3

2．將函數(shù) = sin的圖像向左平移

5π

6 個單位長度后得到函數(shù) 的圖像，再將 的圖像上各點的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

1（ > 0）倍，得到函數(shù)? 的圖像，且? 在區(qū)間0, π 上恰有兩個極值點、兩個零點，則的取值范圍為（ ）

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師34A．

7

6

, 8

3

B．

5

3

, 13

6 C．

5

3

, 13

6

D．

7

6

, 8

3

3．（多選）已知點

3π

8

, 1 是函數(shù) = sin +

π

4 + > 0 的圖象的一個對稱中心，則（）A． ?

3π

8 ? 1 是奇函數(shù)

B． =?

2

3

+

8

3

， ∈ ? C．若 在區(qū)間

3π

8

, 11π

8 上有且僅有 2 條對稱軸，則 = 2

D．若 在區(qū)間

π

5

, 2π

5 上單調(diào)遞減，則 = 2 或 =

14

3

4．（多選）函數(shù)() = cos +

π

6 ( > 0)的圖象向左平移

π

2個單位長度后與原圖象關(guān)于軸對稱，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）

A．

π

2 =?

3

2

B．()的一個周期是π

C． ?

π

12 是偶函數(shù) D．()在 0, π

3上單調(diào)遞減

5．（多選）已知函數(shù) =

1

2

tan sin2 +cos cos ，則下列結(jié)論正確的是（）A． 的最大值為 1 B． 的圖象關(guān)于點

π

2

, 0 對稱

C． 在 π, 3π

2 上單調(diào)遞增

D．存在 ∈ 0,2π ，使得 ? = 對任意的 ∈ R 都成立

6．已知函數(shù) = sin ∈ 在

π

2

, 7π

12 上是增函數(shù)，且

π

4 ?

3π

4 = 2，則 ?π

12 的取值的集合為專題 10 平面向量與解三角形（解密講義）方法技巧：

運用向量方法解決平面幾何問題“三步曲”：

(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師35(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.考點 命題點 考題

解三角形 ①正弦定理和余弦定理

②解三角形的實際應(yīng)用

2024 新北京卷 T7，2024 新全國乙卷（文）T4，2024 新全國甲卷（文）T17，2024 新全國甲卷（理）T162024 新全國乙卷（理）T18，2024 新天津卷T162024 新新課標(biāo) I 卷 T17，2024 新新課標(biāo)II 卷T17平面向量 ①平面向量的線性運算和數(shù)量積

②平面向量的基本定理和坐標(biāo)表示

③平面向量的應(yīng)用

2024 新北京卷 T3，2024 新全國乙卷（文）T62024 新全國甲卷（文）T3，2024 新全國甲卷（理）T42024 新全國乙卷（理）T12，2024 新天津卷T142024 新新課標(biāo) I 卷 T3，2024 新新課標(biāo)II 卷T13考點一 解三角形

? 命題點 1 正弦定理和余弦定理

典例 01（2024 新·北京·統(tǒng)考高考真題）在△ 中，( + )(sin ? sin) = (sin ? sin)，則∠=（）A．

π

6

B．

π

3

C．

2π

3

D．

5π

6

典例 02（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）在△ 中，內(nèi)角, , 的對邊分別是, , ，若cos?cos=，且 =

5，則∠ =（ ）

A．

10

B．

5 C．

3

10

D．

2

5

典例 03（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）記△ 的內(nèi)角, , 的對邊分別為, , ，已知

2+

2?

2

cos=2．(1)求；

(2)若

cos?cos

cos+cos?

= 1，求△ 面積．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師36命題點 2 解三角形的實際應(yīng)用典例 02（2024 預(yù)測·浙江·統(tǒng)考高考真題）在△ 中，∠ = 60°, = 2，M 是的中點，=23，則 = ，cos∠ = .典例 03（2024 預(yù)測·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是 3，4，記大正方形的面積為1，小正方形的面積為2，則

12 = .

1．如圖，在平面內(nèi)，四邊形的對角線交點位于四邊形內(nèi)部， = 3， = 7，△為正三角形，設(shè)∠ = . (1)求的取值范圍；

(2)當(dāng)變化時，求四邊形面積的最大值.

3．記△ 的內(nèi)角, , 的對邊分別為, , ，已知

2+

2?

2

cos= 4. (1)求：

(2)若

cos?cos

cos+cos=

+ 1，求△ 面積.

4．在△ 中，角, , 的對邊分別為, , , sin + sin ? = sin ? sin .

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師37(1)求的大??；

(2)若∠的平分線交于點，且 = 2, = 2，求△ 的面積.考點二平面向量? 命題點 1 平面向量的線性運算和數(shù)量積典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量 , , 滿足 = = 1, = 2，且 + + = 0 ，則cos? ? , ? ? =（ ）

A．?

4

5 B．?

2

5 C．

2

5

D．

4

5

典例 02（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知⊙ 的半徑為 1，直線 PA 與⊙相切于點A，直線PB與⊙交于 B，C 兩點，D 為 BC 的中點，若 = 2，則 ? 的最大值為（ ）A．

1+ 2

2

B．

1+2 2

2

C．1 + 2 D．2 + 2

典例 03（2024 新·天津·統(tǒng)考高考真題）在△ 中，∠ = 60

°， = 1，點為的中點，點為的中點，若設(shè) = , = ，則 可用 , 表示為 ；若 =

1

3

，則 ? 的最大值為．命題點 2 平面向量的基本定理和坐標(biāo)表示典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長是 2，是的中點，則 ? =（）A． 5 B．3 C．2 5 D．5

典例 02（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量 = 1,1 , = 1, ? 1 ，若 + ⊥ + ，則（）A． + = 1 B． + =? 1

C． = 1 D． =? 1

典例 03（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）在△ 中，點 D 在邊 AB 上， = 2．記 = ， = ，則 =（ ）

A．3 ? 2 B．?2 + 3 C．3 + 2 D．2 + 3 命題點 3 平面向量的應(yīng)用

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師38典例 01（2024 預(yù)測·全國·高考真題）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，動點P 在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若A P = A B + A D ，則+的最大值為

A．3 B．2 2 C． 5 D．2

典例 02（2024 預(yù)測·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點 P 在單位圓的內(nèi)接正八邊形12?8的邊12上，則 12+2

2

+ ? + 8

2的取值范圍是 ．

2．（2024 新·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知非零向量 與 滿足| | = 2|

|，若| + 2 | = | + |，則cos , =（ ）

A．

1

2

B．?

3

4

C．

3

2

D．?

3

2

3．（2024 新·全國·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，已知 = = 1， = =3， = 2，點在邊上，則 ? 的最小值為（ ）

A．

21

16

B．

21

8

C．

21

32

D．

7

4

4．（2024 新·四川成都·石室中學(xué)校考一模）在等腰直角三角形中， = 2，為斜邊的中點，以為圓心，為半徑作 ，點在線段上，點在 上，則 + 的取值范圍是.

1．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓:

2

2 +

2

2 = 1( > > 0)的左頂點為，上頂點為，右焦點為F，的中點為 M， ? = 0，則橢圓的離心率為（ ）

A．

3?1

4

B．

1

4

C．

3?1

2

D．

1

2

2．（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）我國人臉識別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識別，就是利用計算機(jī)檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個點 1

, 1 ，2

, 2 ，為坐標(biāo)原點，余弦相似度為向量 ， 夾角的余弦值，記作 cos(, )，余弦距離為1 ?cos(, ).已知

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師39(cos, sin)，(cos, sin)，(cos, ? sin)，若 P，Q 的余弦距離為

1

3，tan ? tan =1

4，則Q，R的余弦距離為（ ）

A．

3

5 B．

2

5 C．

1

4

D．

3

4

3．（2024 新·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量 = (2, )， = ( + 1, ? 1)，且 ⊥ ，若 =(2,1)，則 在 方向上的投影向量的坐標(biāo)是（ ）

A．

4

5

, 2

5 B．

1

2

, ?

1

2

C． ?

1

2

, 1

2

D． ?

4

5

, ?

2

5

4．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）記△ 的內(nèi)角, , 的對邊分別為, , ．若 =1，=2，則 + 的取值范圍是（ ）

A．

2π

3

, 5π

6

B．

2π

3

, π C．

5π

6

, π D．

π

2

, 5π

6

5．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知拋物線

2 = 2 > 0 準(zhǔn)線為，焦點為，點，在拋物線上，點在上，滿足： = ， = ，若 = 3，則實數(shù) = . 6．（2024 新·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）正三棱臺111 ? 中，11 = 1， = 1 =2，點，分別為棱1，11的中點，若過點，，作截面，則截面與上底面111的交線長為．7．（2024 新·廣東·東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考一模）已知雙曲線：

2

2 ?

2

2 = 1( > 0, >0)的左、右焦點分別為1，2，傾斜角為

π

3的直線2與雙曲線在第一象限交于點，若∠12 ≥ ∠21，則雙曲線的離心率的取值范圍為 . 8．（2024·全國·模擬預(yù)測）在△ 中，角, , 的對邊分別為, , ，且 =

π

3，sin =sin+3cos．(1)求的長；

(2)設(shè)為邊的中點，若線段的長不大于 3，求的長的最大值．

9．（2024·河南·方城第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量 = cos ? sin, sin ，向量 =cos+sin, 2 3cos ， = ? . (1)求 的最小正周期；

(2)求 在 0, 3

2

π 上零點和極值點的個數(shù).

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師4010．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）記鈍角△ 的內(nèi)角, , 的對邊分別為, , ．若為銳角且 cos( ? ) = 0．

(1)證明： = sin ? sin；

(2)若 = 2，求△ 周長的取值范圍．專題 11 數(shù)列的通項公式和前n 項和（解密講義）考點 命題點 考題

數(shù)列的通

項公式

①等差、等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)

②求數(shù)列的通項公式

2024 新北京卷 T14，2024 新北京卷T10，2024新全國乙卷（理）T15，2024 新全國乙卷（理）T10，2024新天津卷 T6，2024 預(yù)測浙江卷T10，2024 預(yù)測新高考II 卷T3，2024 預(yù)測全國乙卷（文）T10，2024 預(yù)測全國乙卷（理）T8

數(shù)列的前 n

項和

①公式法及分組法求前 n 項和

②裂項相消法

③錯位相減法

2024 新全國乙卷（文）T18，2024 新全國甲卷（理）T17，2024 新新課標(biāo) I 卷 T20，2024 新新課標(biāo)II 卷T18，2024預(yù)測天津卷 T18，

2024 預(yù)測新高考 II 卷 T17，考點一 數(shù)列的通項公式

? 命題點 1 等差、等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)

典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列 的前項和．若2 + 6 = 10, 48 =45，則5=（ ）

A．25 B．22 C．20 D．15

典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等比數(shù)列 的前 3 項和為 168，2 ? 5 =42，則6 =（）

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師41A．14 B．12 C．6 D．3

典例 03（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列 的前 n 項和．若23 =32 +6，則公差 = ．典例 04（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知 為等比數(shù)列，245 = 36，910 =?8，則7 =. ? 命題點 2 求數(shù)列的通項公式典例 01（2024 新·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列 滿足+1 =

1

4

? 6

3 + 6( =1,2,3, ?)，則（）A．當(dāng)1 = 3 時， 為遞減數(shù)列，且存在常數(shù) ≤ 0，使得 > 恒成立B．當(dāng)1 = 5 時， 為遞增數(shù)列，且存在常數(shù) ≤ 6，使得 < 恒成立C．當(dāng)1 = 7 時， 為遞減數(shù)列，且存在常數(shù) > 6，使得 > 恒成立D．當(dāng)1 = 9 時， 為遞增數(shù)列，且存在常數(shù) > 0，使得 < 恒成立典例 02（2024 預(yù)測·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列 各項均為正數(shù)，其前n 項和滿足

? =9(=1,2, ?)．給出下列四個結(jié)論：

① 的第 2 項小于 3； ② 為等比數(shù)列；③ 為遞減數(shù)列； ④ 中存在小于1

100的項．其中所有正確結(jié)論的序號是 ．典例 03（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列 的前 n 項和，為數(shù)列 的前n 項積，已知2+1

= 2．

（1）證明：數(shù)列 是等差數(shù)列;

（2）求 的通項公式．

1．已知數(shù)列 的前 n 項和為，且=

3

?2

3

，則下列說法正確的是（ ）A． < +1 B． > +1 C．2 + = 1 D．0 < ≤

4

9

2．（多選）已知正項等比數(shù)列 的前項的積為，且公比 ≠ 1，若對于任意正整數(shù)， ≥2023，則（ ）

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師42A．0 < 1 < 1 B．0 < < 1 C．2023 = 1 D．4047 ≥ 1

3．已知等差數(shù)列 的前 n 項和為，1 >

1

2，? 2，1，3成等差數(shù)列，1，2 ? 1，3 ?1 成等比數(shù)列．(1)求及；

(2)若=

1

1+

2+1 ，求數(shù)列 的前 n 項和．考點二數(shù)列的前n 項和? 命題點 1 公式法及分組求和法求前n 項和典例 01（2024 預(yù)測·江蘇·統(tǒng)考高考真題）設(shè){an}是公差為 d 的等差數(shù)列，{bn}是公比為q 的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前 n 項和=

2 ? + 2

? 1( ∈ +)，則 d+q 的值是 ．典例 02（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知 為等差數(shù)列，=

? 6, 為奇數(shù)2

, 為偶數(shù)，記，分別為數(shù)列 ， 的前 n 項和，4 = 32，3 = 16．

(1)求 的通項公式；

(2)證明：當(dāng) > 5 時， > ． ? 命題點 2 裂項相消法

典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列 的前 n 項和，已知1 = 1,是公差為1

3的等差數(shù)列．

(1)求 的通項公式；

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師43(2)證明：

11 +

12 + ? +

1< 2． ? 命題點 3 錯位相減法

典例 01（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為 20dm × 12dm 的長方形紙，對折 1 次共可以得到10dm× 12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和1 = 240dm2，對折 2 次共可以得到 5dm × 12dm，10dm×6dm，20dm×3dm 三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和2 = 180dm2，以此類推，則對折 4 次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對折次，那么 =1 = dm2

.典例 02（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為數(shù)列 的前 n 項和，已知2 = 1,2=．(1)求 的通項公式；

(2)求數(shù)列

+1 2

的前 n 項和．

1．在等比數(shù)列 中，2 = 2, 46 ? 165 = 0，若=

?2, 為偶數(shù)

, 為奇數(shù)

，且 的前項和為，則滿足2>360 的最小正整數(shù)的值為（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

2．已知正項數(shù)列 的前項和為，1 = 4，且當(dāng) ≥ 2 時2

?1

? + ?1 = ．(1)求數(shù)列 的通項公式；

(2)若數(shù)列 滿足=

log2 ，數(shù)列 的前項和為，試比較與

8

9的大小，并加以證明.

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師443．已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列 的公差為 2，前項和為，滿足4 = 1

? 2．(1)求數(shù)列 的通項公式；

(2)令= 4cos π ?+1?+1，求數(shù)列 的前項和．

1．（2024 新·廣東東莞·東莞市東華高級中學(xué)?？家荒＃┮阎炔顢?shù)列 與等差數(shù)列 的前項和分別為 與 , 且

2?1 =

5+3

4?2

, 則

311 +

911 =（ ）

A．

29

21

B．

29

11

C．

58

21

D．

58

11

2．（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考一模）已知等比數(shù)列 滿足1 = 1，其前項和=+1 +∈

?

, > 0 ．則（ ）

A．?dāng)?shù)列 的公比為 B．?dāng)?shù)列 為遞減數(shù)列

C． =? ? 1 D．當(dāng) ?

1

4取最小值時，= 3

?1

3．（2024 新·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 滿足

1 2

+1 +

2 2

+

3 2

?1 + ? +

2

2 = ， ∈ N

?，且數(shù)列?的前項和為．若的最大值為2023，則實數(shù)的最大值是 ．

4．（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）已知等比數(shù)列 的前項和為，且+1 =3 +2∈

? ．

(1)求數(shù)列 的通項公式；

(2)在與+1之間插入個數(shù)，使這 + 2 個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列 中是否存在3項，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的 3 項；若不存在，請說明理由．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師455．（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列 是公比為 2 的等比數(shù)列，數(shù)列 是等差數(shù)列，1 = 3

, 2 = 5

, 3 = 8 + 1．

(1)求數(shù)列 , 的通項公式；(2)設(shè)= +

1

+1?+2，求數(shù)列 的前項和．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列 滿足

11 +

22 +???+

= 1 ?

1

2

， ∈

?．(1)求數(shù)列 的通項公式；

(2)設(shè)= log2 （ 表示不超過的最大整數(shù)），求數(shù)列 的前 100 項和．7．（2024 新·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列 的前項和為，且滿足=

+1

2

，1 =1．(1)求數(shù)列 的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列 滿足=

2

, 為偶數(shù)

+2+

+2 ? 2, 為奇數(shù)

，求數(shù)列 的前 2項和2．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師46專題 12 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題（解密講義）考點 命題點 考題

數(shù)列與函數(shù)、

不等式的綜合

問題

①數(shù)列中函數(shù)模型的應(yīng)用

②數(shù)列不等式的恒成立問題

③數(shù)列新定義

2024 新北京卷 T21，2024 新天津卷T19，2024 預(yù)測北京卷 T21，2024 預(yù)測浙江卷T10，2024 預(yù)測浙江卷 T20，2024 預(yù)測新高考II 卷T17考點一 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題? 命題點 1 數(shù)列中函數(shù)模型的應(yīng)用典例 01（2024 預(yù)測·北京·高考真題）“十二平均律” 是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于12 2.若第一個單音的頻率為 f，則第八個單音的頻率為

A．

3 2 B．

3 2

2 C．

12 2

5 D．

12 2

7

典例 03（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為 0.8．由抽簽確定第 1 次投籃的人選，第 1 次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第 2 次投籃的人是乙的概率；

(2)求第次投籃的人是甲的概率；

(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點分布，且 = 1 = 1 ? = 0 =

, = 1,2, ??? , ，則=1 ==1 ．記前次（即從第 1 次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求 ．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師47? 命題點 2 數(shù)列不等式的恒成立問題典例（2024 預(yù)測·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列 的首項1 =? 1，公差 > 1．記 的前n項和為 ∈ ? ．

(1)若4 ? 223 + 6 = 0，求；

(2)若對于每個 ∈ ?，存在實數(shù)，使 +

, +1 + 4

, +2 + 15成等比數(shù)列，求d 的取值范圍．1．?dāng)?shù)列 中，1 = 3, +1 = 1 +

1 + 2 + 2，若? ∈ ?，都有

9

? 8

≥ 0 恒成立，則實數(shù)的最小值為（ ）

A．

8

3

B．15 ×

8

9

7

C．17 ×

8

9

8

D．19 ×

8

9

9

2．已知等比數(shù)列 的前項和為，且3 = 7，6 = 63，若關(guān)于的不等式2? +33 ≥0對∈N?恒成立，則實數(shù)的最大值為 ．

3．已知數(shù)列 的前項和為，且 + 是以 2 為公差的等差數(shù)列．

(1)若1 ≠ 2，求證： ? 2 是等比數(shù)列；

(2)對任意, ∈ N

?

, ≠ ，都有

?

?> 1 成立，求1的取值范圍．

4．已知為數(shù)列 的前項和，且=

6+2

, 4 = 12, 為正項等比數(shù)列，1 = 1 ?4，4 =6. (1)求證：數(shù)列 +1+2 ?

2 是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列 的通項公式；

(3)設(shè)=

?2

2 ，且數(shù)列 的前項和為，若 +

+1 ≥ 3 恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師48? 命題點 3 數(shù)列新定義

典例 03（2024 預(yù)測·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè) p 為實數(shù).若無窮數(shù)列 滿足如下三個性質(zhì)，則稱 為?數(shù)列：

①1 + ≥ 0，且2 + = 0；

②4?1 < 4

, ( = 1,2, ??? )；

③+ ∈ + + , + + + 1 ，(, = 1,2, ??? )．

（1）如果數(shù)列 的前 4 項為 2，-2，-2，-1，那么 是否可能為?2數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列 是?0數(shù)列，求5；

（3）設(shè)數(shù)列 的前項和為.是否存在?數(shù)列 ，使得 ≥ 10恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．

1．設(shè)數(shù)列 的前項和為，若

2為常數(shù)，則稱數(shù)列 為“吉祥數(shù)列”.已知等差數(shù)列 的首項為2，且公差不為 0，若數(shù)列 為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列 的通項公式為（ ）

A．= 2 B．= + 1 C．= 3 ? 1 D．= 4 ? 2

2．（多選）若數(shù)列 滿足+1 =

2，則稱 為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列 是“平方遞推數(shù)列”，且1>0, 1 ≠ 1，則（ ）

A． lg 是等差數(shù)列 B． lg 是等比數(shù)列

C． +1 是“平方遞推數(shù)列” D． +1 + 是“平方遞推數(shù)列” 3．已知數(shù)列 滿足： ＋1＋＝2＋7（ ∈

?），且1＝4. (1)求數(shù)列 的通項公式；

(2)已知數(shù)列 滿足＝

1， = 1

log +2

, ≥ 2, ∈ N

?

, 定義使1

·2

·3? ∈ ? 為整數(shù)的k 叫做“幸福數(shù)”，求區(qū)間[1，2024]內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和.

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師49專題 13 空間向量與立體幾何（解密講義）考點 命題點 考題

空間幾何體 ①空間幾何體的表面積與體積 2024 新全國甲卷（文）T16，2024 新全國甲卷（文）T102024 新全國甲卷（理）T15，2024 新全國乙卷（理）T32024 新全國乙卷（理）T8，2024 新新課標(biāo)I 卷T14點、直線、平

面之間的位置

關(guān)系

①直線、平面平行的判定與性質(zhì)

②直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

③二面角

2024 新北京卷 T16，2024 新全國乙卷（文）T192024 新全國甲卷（文）T18，2024 新全國甲卷（理）T182024 新全國乙卷（理）T19，2024 新天津卷T172024 新新課標(biāo) II 卷 T20

空間向量 ①空間向量及其運算

②空間向量的應(yīng)用

2024 新新課標(biāo) I 卷 T18，2024 新全國甲卷（理）T112024 預(yù)測天津卷 T17，考點一 空間幾何體

? 命題點 1 空間幾何體的表面積與體積

典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐 PO 的底面半徑為 3，O 為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠ = 120°，若△ 的面積等于

9 3

4 ，則該圓錐的體積為（ ）

A． B． 6 C．3 D．3 6

典例 02（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知四棱錐 ? 的底面是邊長為4 的正方形，==3, ∠ = 45°，則△ 的面積為（ ）

A．2 2 B．3 2 C．4 2 D．6 2

典例 03（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐 ? 中，△ 是邊長為2 的等邊三角形，==2, = 6，則該棱錐的體積為（ ）

A．1 B． 3 C．2 D．3 ．