2023.4 北京高考一模數(shù)學(xué)知識點(diǎn)分類匯編

（選填部分-答案）

集合........................................................................................................................................................2

復(fù)數(shù)........................................................................................................................................................3

二項(xiàng)式定理............................................................................................................................................4

向量........................................................................................................................................................5

三角函數(shù)與解三角形............................................................................................................................6

數(shù)列........................................................................................................................................................8

概率........................................................................................................................................................9

小函數(shù)..................................................................................................................................................10

不等式..................................................................................................................................................15

直線和圓的方程..................................................................................................................................16

立體幾何..............................................................................................................................................17

雙曲線與拋物線..................................................................................................................................19

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第 2 頁 共 20 頁

集合

1．（2023·北京海淀高三一模）已知集合 A ? ?x∣1? x ? 3?,B ? ?0,1,2?，則 A∩B ? （ A ）

A．{2} B．{0,1} C．{1,2} D．{0,1,2}

2．（2023·北京房山高三一模）已知集合 A ? {x∣?1? x ?1},B ? {x∣0 ? x ? 3} ，則 A? B ?（ C ）

A．[0,1) B．[0,1] C．(?1,3] D．(?1.3)

3．（2023·北京石景山高三一模）已知集合 A ?{x | ?2≤x≤2}，2 B ? {x | x ? x ? 2 ≤ 0}，則 A? B ? （A）

（A）[?2,2] （B）[?2,1] （C）[0,1] （D）[0,2]

4．（2023·北京東城高三一模）已知集合 2 A ? {x | x ? 2 ? 0}，且 a?A，則 a可以為 B

（A） ?2 （B） ?1 （C）

3

2 （D） 2

5．（2023·北京西城高三一模）已知集合 A ? { ?1,0,1,2,3 } ，2 B ? { x | x ? 3x ? 0}，則 A ∩ B =（B）

（A）{ ?1 } （B）{1,2 } （C）{1,2,3 }（D）{ ?1,0,1,2 }

6．（2023·北京朝陽高三一模）已知集合 2 A ?{x | x ≤4}，集合 B ?{x | x ? 0}，則 A ? B ? C

（A） (??，? 2] （B）[?2,0) （C）[?2,??) （D） (0，2]

7．（2023·北京豐臺高三一模）已知集合 A ? ?x ?1≤x ≤1? ， B ? ?x 0 ? x≤2?，則 A U B ? （D）

（A）?x ?1≤ x≤1? （B）?x 0 ? x≤1? （C）?x 0 ? x≤2? （D）?x ?1≤ x≤2?

8．（2023·北京延慶高三一模）已知集合 A ? {0,1}， B ? {?1,0,a ? 3} ，且 A ? B ，則 a 等于（D）

（A）1 （B） 0 （C） ?1 （D） ?2

9．（2023·北京門頭溝高三一模）已知集合 A ? {?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4} ， B ? {x | x |? 2} ，則 A∩ B ? (A)

（A）{?4,?3,3,4}（B） (??,?2) U(2,??) （C）{?2,?1,0,1,2} （D）[?2, 2]

10．（2023·北京順義高三一模）A

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復(fù)數(shù)

1．（2023·北京海淀高三一模）若 a ? 2i ? i(b ? i)(a,b?R)，其中 i 是虛數(shù)單位，則a ? b ?（ B ）

A．?1 B．1 C．?3 D．3

2．（2023·北京東城高三一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) iz 對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是?3,?1? ，則 z ? （ A ）

A．1? 3i B．3 ? i C．?3 ? i D．?1? 3i

3．（2023·北京石景山高三一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) z 對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為??2,?1?，則 i

z ? （ C ）

A．?1? 2i B．?2?i C．?1? 2i D．2 ?i

4．（2023·北京房山高三一模）在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù) z 對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為?0,1? ，則(1? i)?z ? __-1+i_______. 5．（2023·北京豐臺高三一模）若復(fù)數(shù)

i ( ) 1 i

a

a

?

?

?

R 是純虛數(shù)，則a ? ___-1_____．

6．（2023·北京西城高三一模）復(fù)數(shù)

2

1

i

z

i ?

?

，則 z ? __________________. 2

7．（2023·北京朝陽高三一模）若復(fù)數(shù)

2

1 i

z ?

?

，則| z |?________. 2

8．（2023·北京門頭溝高三一模）復(fù)數(shù) z ? (?1? i)(2+i) ，則| z |? (B)

（A） 5 （B） 10 （C） 2 （D）3

9．（2023·北京延慶高三一模）若 m?R ，則“ m ?1”是“復(fù)數(shù)

2

z ? m (1?i) ? m(i ?1) 是純虛數(shù)”的（C）

（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件

10．（2023·北京順義高三一模）若復(fù)數(shù) z =

1+2i

i ，則 z ? _____ 5_____________.

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二項(xiàng)式定理

1．（2023·北京海淀高三一模）若 4 4 3 2

4 3 2 1 0 (x ?1) ? a x ? a x ? a x ? a x ? a ，則 4 3 2 1 a ? a ? a ? a ?（ C ）

A．?1 B．1 C．15 D．16

2．（2023·北京房山高三一模）在

4 2

x

x

? ?

? ? ?

? ? 的展開式中，2 x 的系數(shù)是（ A ）

A．?8 B．8 C．?4 D．4

3．（2023·北京西城高三一模）在

2 5 (x )

x ? 的展開式中，x 的系數(shù)為 （ A ）

A．40 B．10 C．?40 D．?10

4．（2023·北京朝陽高三一模）設(shè)? ?

2

0 1 2 1

n n

n ? x ? a ? a x ? a x ??? a x ，若 2 3 a ? a ，則 n ?（ A ）

A．5 B．6 C．7 D．8

5．（2023·北京東城高三一模）在

6 a

x

x

? ?

? ? ?

? ? 的展開式中，2 x 的系數(shù)為 60，則實(shí)數(shù)a ? _±2___. 6．（2023·北京石景山高三一模）若

1

n x

x

? ? ? ? ?

? ? 的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的一個取值為_

__3（答案不唯一，是 3 的正整數(shù)倍數(shù)即可）______. 7．（2023·北京延慶高三一模）已知

1 2 2 3 3 4 4

4 4 4 4

f (x) ?1?C x ?C x ?C x ?C x ，則 f (2) 等于（C）

A.16 B. 80 C. 81 D. 243

8．（2023·北京門頭溝高三一模）在 2 6 (2x ?1) 的展開式中，2 x 的系數(shù)為 -12 ．（用數(shù)字作答）

9．（2023·北京順義高三一模）-8

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向量

1．（2023·北京海淀高三一模）在 ?ABC 中，?C ? 90?，?B ? 30?，? BAC 的平分線交 BC 于點(diǎn) D．若

AD ? ? AB ? ? AC

???? ???? ????

(?,? ?R)，則 ?

?

?（ B ）

A．

1

3

B．

1

2

C．2 D．3

2．（2023·北京東城高三一模）已知正方形 ABCD 的邊長為 2，P 為正方形 ABCD 內(nèi)部（不含邊界）的動

點(diǎn)，且滿足 PA?PB ? 0

???? ???? ，則CP? DP

???? ???? 的取值范圍是（ D ）

A．?0,8? B．?0,8? C．?0,4? D．?0, 4?

3．（2023·北京西城高三一模）已知 P 為 ?ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)， ，則（ A ）

4．（2023·北京石景山高三一模）向量 a ? ?2sin?,cos? ?

? ，b ? ?1,1?

? ，若 ，則 tan? ? ___

1

2______. 5．（2023·北京朝陽高三一模）如圖，圓 M 為 ?ABC 的外接圓， AB ? 4 ， AC ? 6 ，N 為

邊 BC 的中點(diǎn)，則 AN ? AM ?

???? ????? （ C ）

A．5 B．10 C．13 D．26

6．（2023·北京豐臺高三一模）已知正方形 ABCD的邊長為 2 ，則 ? ?

???? ???? AB AC ___4_____．

7．（2023·北京門頭溝高三一模）已知非零向量 a, b

? ? ，則“ a

?與b

?共線”是“| a ? b | || a | ? | b || ? ? ? ? ≤ ”的(B)

（A） 充分不必要條件（B）必要不充分條件（C） 充要條件（D）即不充分也不必要條件

8．（2023·北京房山高三一模）在△ ABC 中， ?C ? 90? ， AC ? BC ? 2 ． P 為△ ABC 所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，

且 PC ? 1，則|PA ? PB| ???? ????的最大值為 D

（A）16 （B）10 （C）8 （D） 4

9．（2023·北京延慶高三一模）△ ABC 的外接圓半徑為1，圓心為O，且

2OA ? AB ? AC ? 0

???? ???? ????? ? ，| OA |?| AB | ??? ??? ，則CA ?CB

??? ???等于 C

（A）

3

2

（B） 3 （C）3 （D） 2 3

10. （2023·北京順義高三一模）B

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三角函數(shù)與解三角形

1．（2023·北京朝陽高三一模）聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復(fù)合

音．若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù) ? ? ? ? 1

sin 2 R

2

f x ? sin x ? x x ? ，則下列結(jié)論正確的是（ D ）

A． f ? x? 的一個周期為 π B． f ? x? 的最大值為

3

2

C． f ? x? 的圖象關(guān)于直線 x ? π 對稱 D． f ? x? 在區(qū)間?0,2π?上有 3 個零點(diǎn)

2．（2023·北京房山高三一模）“ π

0

4

? x ? ”是“ tan x ? 1”的（ A ）

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

3．（2023·北京延慶高三一模）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A ， B 的坐標(biāo)分別為(2, ?1) ，(?1,3) ， tan?AOB=B

（A）1 （B） ?1 （C）

5

5 （D）

5

5 ?

4．（2023·北京西城高三一模）函數(shù) f (x) ? sin 2x ? tan x 是 C

A.奇函數(shù)，且最小值為0 B.奇函數(shù)，且最大值為 2 C.偶函數(shù)，且最小值為 0 D.偶函數(shù)，且最大值為 2

5．（2023·北京豐臺高三一模）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，若角? 以 x 軸非負(fù)半軸為始邊，其終邊與單位圓

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

3

2 ，則? 的一個可能取值為（ B ）

A．?60? B．?30? C．45? D．60?

6．（2023·北京順義高三期末）已知? ， ? ?R 則“存在 k ?Z 使得? ? (2k ?1)π ? ? ”是“ cos? ? cos ? ? 0 ”的 A

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

7．（2023·北京海淀高三一模）已知函數(shù) f (x) ? sin(x ??)(0 ?? ? 2π) ．若 f (x) 在區(qū)間

π

, π

3

? ?

? ?

? ? 上單調(diào)遞減，則

? 的一個取值可以為_________．

8．（2023·北京延慶高三一模）將 f (x) 的圖象向左平移

2

?

個單位，所得圖象與

y ? sin 2x 的圖象關(guān)于 y 軸對稱，則 f (x) ?

B

（A） ? sin 2x （B） sin 2x （C） ? cos 2x （D）cos 2x

9．（2023·北京延慶高三一模）如圖，某地一天從 6 時(shí)至14 時(shí)的溫度變化曲線近

似滿足函數(shù) y ? Asin(?x ? ?) ? b ，其中 A ? 0 ，且函數(shù)在 x ? 6 與

x ? 14 時(shí)分別取得最小值和最大值. 這段時(shí)間的最大溫差為 20° ；? 的一個取值為

3π

4 答案不唯一. 10．（2023·北京門頭溝高三一模）在平面直角坐標(biāo)系中，角? 與 ? 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與 x 軸正半軸重合，

終邊構(gòu)成一條直線，且

3

sin

3

? ? ，則 cos(? ? ? ) ?

(C)

（A）1 （B）

1

3 （C）

1

3 ? （D） ?1

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11．（2023·北京門頭溝高三一模）設(shè)函數(shù)

π

( ) sin( ) ( 0) 3

f x ? ?x ? ? ? . ①給出一個? 的值，使得 f (x) 的圖像向右平移

π

6 后得到的函數(shù) g(x) 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，? ? ；

②若 f (x) 在區(qū)間(0, π) 上有且僅有兩個零點(diǎn)，則? 的取值范圍是 ．

12．（2023·北京石景山高三一模）若函數(shù) ( ) sin( )( 0, 0,0 ) 2

f x A ?x ? A ? ?

?

? ? ? ? ? ? 的部分圖象如圖所示，

則? 的值是 A

（A）

3

? （B）

6

?

（C）

4

? （D）

12

?

13．（2023·北京東城高三一模）在 ?ABC 中，a ? 2 6 ，b ? 2c，

1

cos

4

A ? ? ，則 ABC S? ? （ C ）

A．

3

15

2

B．4 C． 15 D．2 15

14．（2023·北京房山高三一模）在 ?ABC 中，sin A ? sin 2A,2a ? 3b ，則?A ?_π

3____；

b

c的值為_2____. 15．（2023·北京順義高三期末）在 ?ABC 中，a sin B ? 3b cos A ，a ? 19 ，b ? 2 ，則 A=π

3

c ? 5．

16．（2023·北京豐臺高三一模）在 ?ABC 中，若2cos Asin B ? sinC ，則該三角形的形狀一定是（ A ）

A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

17．（2023·北京西城高三一模）設(shè) A(cos?,sin?), B(2cos?,2sin ?)，其中?, ? ? R ．當(dāng)

π

π , 2 ? ? ? ? 時(shí)，

AB ? ____；當(dāng) AB ? 3 時(shí)，? ? ? 的一個取值為____．

18．（2023·北京朝陽高三一模）在△ABC 中， a ? 4 2 ，b ? m ，sin A ? cos A ? 0．

①若 m ? 8 ，則 c ? ；

②當(dāng) m ? （寫出一個可能的值）時(shí)，滿足條件的△ABC 有兩個．

19．（2023·北京順義高三一模）B

m

O

y

x

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數(shù)列

1．（2023·北京海淀高三一模）在等差數(shù)列?an?中， 2 a ?1， 4 a ? 5，則 8 a ?（ C ）

A．9 B．11 C．13 D．15

2．（2023·北京石景山高三一模）已知數(shù)列?an?滿足：對任意的m,n

? ?N ，都有 m n m n a a a ? ? ，且 2 a ? 3 ，則

10 a ? （ B ）

A．3

4 B．3

5 C．6 3 D．10 3

3．（2023·北京房山高三一模）已知數(shù)列?an?對任意 * n?N 滿足 n 1 n 1 a a a ? ? ? ，且 1 a ? 1，則 5 a 等于（ D ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．（2023·北京朝陽高三一模）已知項(xiàng)數(shù)為 ? ?

* k k ?N 的等差數(shù)列?an?滿足 1 a ? 1，

-1 ? ? 1

2,3, , 4

n n a ? a n ? ? k ．若 1 2 8 k a ? a ??? a ? ，則 k 的最大值是（ B ）

A．14 B．15 C．16 D．17

5．（2023·北京門頭溝高三期末）已知數(shù)列{ }n a 滿足 1a ?1，

2

1

1

2

n n n a a a ? ? ? . ① 數(shù)列{ }n a 每一項(xiàng) n a 都滿足 0 1 ( ) n a n

? ? ≤ ? N ② 數(shù)列{ }n a 的前 n項(xiàng)和 2 n S ?

;

③ 數(shù)列{ }n a 每一項(xiàng) n a 都滿足

2

1

n a

n ?

≤ 成立; ④ 數(shù)列{ }n a 每一項(xiàng) n a 都滿足

1 1

( ) ( ) 2

n

n a n

? ? ≥ ?N

.其中，所有正確結(jié)論的序號是(C) （A）①③ （B） ② ④（C）①③④ （D） ①②④

6．（2023·北京延慶高三一模） ISO216 是國際標(biāo)準(zhǔn)化組織所定義的紙張尺寸國際標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)定義了

A, B 系列的紙張尺寸. 設(shè)型號為 A ( 0,1,2,3,4,5,6)

i i ? 的紙張面積分別是 ( 0,1,2,3,4,

i a i ? 5, 6) ，它

們 組 成 一 個 公 比 為

1

2 的 等 比 數(shù) 列 ， 設(shè) 型 號 為 B ( 1,2,3,4,5,6)

i i ? 的 紙 張 的 面 積 分 別 是

( 1,2,3,4,5,6)

i b i ? ，已知

2

1 ( 1,2,3,4,5,6)

i i i b a a i ? ? ? ，則 4

5

a

b 的值為（C）

（A）

1

2 （B）

2

2 （C） 2 （D） 2

7．（2023·北京石景山高三一模）項(xiàng)數(shù)為k ?k ,k 2?

? ?N ? 的有限數(shù)列?an?的各項(xiàng)均不小于?1的整數(shù)，滿足

1 2 3

1 2 3 1 2 2 2 2 0

k k k

k k a a a a a

? ? ?

?

? ? ? ? ? ????? ? ? ? ，其中 1 a ? 0.給出下列四個結(jié)論：

①若k ? 2，則 2 a ? 2；②若k ? 3，則滿足條件的數(shù)列?an?有 4 個；

③存在 1 a ? 1的數(shù)列?an?；④所有滿足條件的數(shù)列?an?中，首項(xiàng)相同.其中所有正確結(jié)論的序號是__①②④_______. 8．（2023·北京東城高三一模）已知數(shù)列?an?各項(xiàng)均為正數(shù)， 2 1 a ? 3a ， n S 為其前 n 項(xiàng)和.若? Sn ? 是公差為

1

2 的等差數(shù)列，則 1 a ? ______， n a ? ______.

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9．（2023·北京豐臺高三一模）設(shè)無窮等差數(shù)列{ }n a 的前 n項(xiàng)和為 n S ，則“對任意 * n?N ，都有 0 n a ? ”是

“數(shù)列{ }n S 為遞增數(shù)列”的 A

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

10．（2023·北京順義高三一模）已知 ?? 是無窮等差數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和為Sn，則\" ??為遞增數(shù)列\"是\"存在 n ∈ N?使得Sn＞0\"的 A

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

11．（2023·北京門頭溝高三一模）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)

學(xué)的最早巔峰.書里記載了這樣一個問題“今有女子善織，日自倍，五日織五尺.問日織幾

何？”譯文是“今有一女子很會織布，每日加倍增長，5 天共織 5 尺，問每日各織布多少

尺？”，則該女子第二天織布(B)

（A）

5

31 尺 （B）

10

31 尺 （C）

15

16 尺 （D）

5

16 尺

12 ．（ 2023· 北 京 海 淀 高 三 一 模 ） 已 知 等 比 數(shù) 列 { }n a 的 公 比 為 q ， 且 q ? 1 ， 記

1 2 ( 1,2,3, ) Tn n ? a a ?a n ? ? ，則“ 1 a ? 0且q ? 1”是“{ } Tn 為遞增數(shù)列”的（B）

（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件

概率

1．（2023·北京豐臺高三一模）從 ?2 ，?1，1，2，3 這 5 個數(shù)中任取 2 個不同的數(shù)，記

“兩數(shù)之積為正數(shù)”為事件 A， “兩數(shù)均為負(fù)數(shù)”為事件 B ，則 P(B A) ? __

1

4_______. 2．（2023·北京西城高三一模） n 名學(xué)生參加某次測試，測試由m 道題組成．若一道題至少有

2

3

n 名學(xué)生未解

出來，則稱此題為難題；若一名學(xué)生至少解出了

2

3

m 道題，則該生本次測試成績合格．如果這次測

試至少有

2

3

n 名學(xué)生成績合格，且測試中至少有

2

3

m 道題為難題，那么 mn 的最小值為 B

（A） 6 （B）9 （C）18（D） 27

3．（2023·北京門頭溝高三一模）同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠商供應(yīng)．由長期的經(jīng)驗(yàn)知，三家產(chǎn)品的正

品率分別為 0.95、0.90、0.80，甲、乙、丙三家產(chǎn)品數(shù)占比例為 2 ∶ 3 ∶ 5，將三家產(chǎn)品混合在一起．從中

任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率 0.86 . 4．（2023·北京順義高三一模）A

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小函數(shù)

1．（2023·北京房山高三一模）已知函數(shù) f (x) 同時(shí)滿足以下兩個條件：①對任意實(shí)數(shù) x，都有

f (x) ? f (?x) ? 0；②對任意實(shí)數(shù) 1 2 x , x ，當(dāng) 1 2 x ? x ? 0時(shí)，都有

? 1 ? ? 2 ?

1 2 0

f x f x

x x

?

?

?

.則函數(shù) f (x) 的解析式可能

為（ B ）

A． f (x) ? 2x B． f (x) ? ?2x C． ( ) 2

x f x ? D． ( ) 2

x f x ? ?

2．（2023·北京房山高三一模）血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是

95% ~ 100%，當(dāng)血氧飽和度低于90%時(shí)，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)

模型： 0 ( ) e

Kt S t ? S 描述血氧飽和度 S(t)隨給氧時(shí)間 t（單位：時(shí)）的變化規(guī)律，其中 0 S 為初始血氧飽和度，

K 為參數(shù).已知 0 S ? 60% ，給氧 1 小時(shí)后，血氧飽和度為80% .若使得血氧飽和度達(dá)到90%，則至少還需要

給氧時(shí)間（單位：時(shí)）為（ B ）（精確到 0.1，參考數(shù)據(jù)：ln 2 ? 0．69，ln 3 ?1．10 ）

A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9

3．（2023·北京房山高三一模）設(shè)函數(shù) 2

|ln | 0

( ) 4 1 0. x x

f x

x x x

? ?

? ?

? ? ? ， ，

， ≤

給出下列四個結(jié)論：

① 函數(shù) f (x) 的值域是 R ；② ?a ? 1，方程 f (x) ? a恰有3 個實(shí)數(shù)根；

③ 0 x

? ? ? R ，使得 0 0

f (?x ) ? f (x ) ? 0 ；

④ 若實(shí)數(shù) 1 2 3 4 x ? x ? x ? x ，且 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4

f x ? f x ? f x ? f x ，則 ( )( ) 1 2 3 4 x ? x x ? x 的最大值為

4

4e

e ? . 其中所有正確結(jié)論的序號是 ②③④ ．

4．（2023·北京西城高三一模）在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v ( km / s)和燃料的質(zhì)量 M (kg)

以及火箭（除燃料外）的質(zhì)量 N (kg) 間的關(guān)系為

2ln (1 ) M

v N

? ? ．若火箭的最大速度為12 km / s ，則下列各數(shù)

中與

M

N 最接近的是（ B ）（參考數(shù)據(jù)：e ? 2.71828?）

A．200 B．400

C．600 D．800

5．（2023·北京東城高三一模）恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀(jì)數(shù)

學(xué)的三大成就.其中對數(shù)的發(fā)明曾被十八世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯評價(jià)為“用縮短計(jì)算時(shí)間延長了天文學(xué)家

的壽命”.已知正整數(shù) N 的 70 次方是一個 83 位數(shù)，則由下面表格中部分對數(shù)的近似值（精確到 0.001），

可得 N 的值為（C ）

M 2 3 7 11 13

lg M 0.301 0.477 0.845 1.041 1.114

A．13 B．14 C．15 D．16

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6．（2023·北京西城高三一模）設(shè)c?R ，函數(shù)

, 0, ( ) 2 2 , 0. x x c x

f x

c x

? ? ?

? ?

? ? ?

若 f (x) 恰有一個零點(diǎn)，則c的取值范圍

是（ D ）

A．(0,1) B．{ 0 } U[1, ? ?) C．

1

(0, ) 2

D．

1

{ 0 } [ , ) 2

U ??

7．（2023·北京豐臺高三一模）已知 f (x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x ? 0 時(shí)， 2

f (x) ? log x ，則 f ??2? ? （ A ）

A．?1 B．0 C．1 D．2

8．（2023·北京豐臺高三一模）已知函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R ，存在常數(shù) t（t ? 0），使得對任意 x?R ，都

有 f (x ? t) ? f (x) ，當(dāng) x?[0,t) 時(shí)， ( ) | | 2

t

f x ? x ? .若 f (x) 在區(qū)間 (3,4) 上單調(diào)遞減，則t 的最小值為

（A）3 （B）

8

3 （C）2 （D）

8

5

9．（2023·北京豐臺高三一模）設(shè)函數(shù) ? ? 3

. a x x a

f x

x ? x x a

?? ? ?

? ?

?? ≥

, ,

,若 f (x) 存在最小值，則 a 的一個取值為

___0______；a 的最大值為____1_____．

10．（2023·北京石景山高三一模）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的是（ D ）

A． f ? x? ? sin x B． ? ? 2

x f x ?

C． ? ?

3

f x ? x ? x D． ? ? ? ?

1

e e

2

x x f x

? ? ?

11．（2023·北京石景山高三一模）在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度 v( 單位： km / s) 與燃料的

質(zhì)量 M ( 單位： kg) ，火箭 ( 除燃料外 ) 的質(zhì)量 m( 單位： kg) 的函數(shù)關(guān)系是 2000ln(1 ) M

v

m

? ? ．當(dāng)燃

料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為 0

t 時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)到 0 v km / s. 若要使火箭的最大速度達(dá)到

0 2v km / s ，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值應(yīng)為 D

（A） 2

0 2t （B） 2

0 0

t ? t （C） 0 2t （D） 2

0 0

t ? 2t

12．（2023·北京東城高三一模）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線

2 e 1

x y

? ? ? 的切線，則切線方程為 A

（A） y ? x （B） y ? 2x （C） 2

1

e

y ? x （D） y ? ex

12．（2023·北京海淀高三一模）已知二次函數(shù) f (x) ，對任意的 x ? R ，有 f (2x) ? 2 f (x) ，則 f (x) 的圖象可

能是 （A）

y

O x

y

O x

y

O x

y

O x

（A） （B） （C） （D）

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13．（2023·北京西城高三一模）下列函數(shù)中，在區(qū)間(0, ? ?) 上為增函數(shù)的是 D

（A） y ? ?| x | （B） 2 y ? x ? 2x

（C） y ? sin x （D）

1

y x

x ? ?

14．（2023·北京朝陽高三一模）已知函數(shù) 3

f (x) ? x ? x，則“ 1 2 x ? x ? 0 ”是“ 1 2

f (x ) ? f (x ) ? 0”的 C

（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件

15．（2023·北京朝陽高三一模）函數(shù) f (x) =

1

3

log , 3 , 1

x x x

x

?

?

?

?? ?

≥1,的值域?yàn)?．

16．（2023·北京朝陽高三一模）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的

變化遵循蘭徹斯特模型：

0 0

0 0 ( ) cosh( ) sinh( ), ( ) cosh( ) sinh( ), b

x t X abt Y abt

a

a

y t Y abt X abt

b

?

? ? ?

?

? ? ?

?

其中正實(shí)數(shù) X0 ，Y0 分別為紅、藍(lán)兩方初始兵力，t 為戰(zhàn)斗時(shí)間； x(t) ， y(t) 分別為紅、藍(lán)兩方t 時(shí)

刻的兵力；正實(shí)數(shù) a ， b 分別為紅方對藍(lán)方、藍(lán)方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；

e e

cosh

2

x x x

? ?

? 和

e e

sinh

2

x x x

? ?

? 分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為 0 時(shí)戰(zhàn)斗

演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長為T ．

給出下列四個結(jié)論：

1 若 X0 ? Y0 且 a ? b ，則 x(t) ? y(t) (0≤t≤T ) ；

②若 X0 ? Y0 且 a ? b ，則 0 0

0 0 1

ln

X Y

T

a X Y

?

?

? ；

③若

0

0 X b

Y a

? ，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；

④若 0

0 X b

Y a

? ，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利．

其中所有正確結(jié)論的序號是 ①②④ ．

17．（2023·北京東城高三一模）函數(shù) f ? x? ? 1? x ? ln x的定義域是____________．

18．（2023·北京海淀高三一模）設(shè)函數(shù)

? 1?? 1?, 1

( )

lg , 1

x a x x

f x

x a x

? ? ? ? ?

? ?

? ? ?

①當(dāng)a ? 0 時(shí)， f ( f (1)) ? _________；②若 f (x) 恰有 2 個零點(diǎn)，則 a 的取值范圍是_________．

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19．（2023·北京門頭溝高三一模）在聲學(xué)中，音量被定義為：

0 20lg p p L

p ? ，其中 Lp 是音量（單位為 dB ），

0 p 是基準(zhǔn)聲壓為 2 × 10?5 a p ， p 是實(shí)際聲音壓強(qiáng).人耳能聽到的最小音量稱為聽覺下限閾值.經(jīng)過研究表明，

人耳對于不同頻率的聲音有不同的聽覺下限閾值，如下圖所示，其中 240Hz 對應(yīng)的聽覺下限閾值為 20 dB ，

1000 Hz 對應(yīng)的聽覺下限閾值為 0 dB ，則下列結(jié)論正確的是(D)

（A）音量同為 20 dB 的聲音, 30 ?100Hz 的低頻比1000 ?10000Hz 的高頻更容易被人們聽到. （B）.聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大而減小. （C） 240Hz 的聽覺下限閾值的實(shí)際聲壓為0.002Pa . （D） 240Hz 的聽覺下限閾值的實(shí)際聲壓為1000Hz 的聽覺下限閾值實(shí)際聲壓的10倍. 20．（2023·北京門頭溝高三一模）已知函數(shù) ( ) e

x

f x ? ，若存在 0x ?[?1,2] 使得 0 0

f (t) ? x ? f (x ) ? t 恒成立，

則 0 b ? f (x ) ? t 的取值范圍(D)

（A）

1

[0, 1]

e

? （B）

1 2

[ 1,e 2]

e

? ? （C）

1

[1, 1]

e

? （D） 2

[1,e ? 2]

21．（2023·北京延慶高三一模）已知函數(shù) y ? ax ?1 的定義域?yàn)?A ，且 ?3? A ，則 a 的取值范圍是

?∞，

1

3

] ．

22．（2023·北京延慶高三一模）數(shù)列{ }n a 中， 1

log ( 2) ( N )

n n a n n

? ? ? ? ? ，定義：使 1 2 k a ? a ? ? ? a 為整

數(shù)的數(shù) k (k N )

? ? 叫做期盼數(shù)，則區(qū)間[1, 2023]內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于(D)

（A） 2023 （B） 2024 （C） 2025 （D） 2026

23．（2023·北京順義高三一模）B

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24．（2023·北京順義高三一模）C

25．（2023·北京順義高三一模）f（x） = （x - 1）

2答案不唯一

26．（2023·北京順義高三一模）①②③

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不等式

1．（2023·北京海淀高三一模）劉老師沿著某公園的環(huán)形道（周長大于1km ）按逆

時(shí)針方向跑步，他從起點(diǎn)出發(fā)、并用軟件記錄了運(yùn)動軌跡，他每跑1km ，軟件會

在運(yùn)動軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù)．已知劉老師共跑了11km ，恰好回到起點(diǎn)，前

5km 的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為（ B ）

A．7 B．8 C．9 D．10

2．（2023·北京朝陽高三一模）若 a ? 0 ? b ，則 A

（A） 3 3 a ? b （B）| a | ? | b | （C）

1 1

a b

? （D） ln(a ?b) ? 0

3．（2023·北京東城高三一模）已知 x ? 0 ，則

4

x 4

x ? ? 的最小值為（ B ）

A．－2 B．0 C．1 D．2 2

4．（2023·北京豐臺高三一模）設(shè)a, b, c ? R ，且 a ? b ，則（ D ）

A．1 1

a b ? B．2 2 a ? b C．a(chǎn) ? c ? b ? c D．a(chǎn)c ? bc

5．（2023·北京海淀高三一模）不等式

1

0

2

x

x ?

?

?

的解集為_________．

6．（2023·北京房山高三一模）能夠說明“設(shè)a,b, c 是任意實(shí)數(shù)，若a ? b ? c ，則ac ? bc ”是假命題的一組整

數(shù)a,b, c 的值依次為__-3，-2，-1（答案不唯一）________. 7.（2023·北京西城高三一模）設(shè)a ? lg 2 ，b ? cos 2 ，0.2 c ? 2 ，則（ C ）

A．b<c<a B．c ? b ? a C．b ? a ? c D．a(chǎn) ? b ? c

8.（2023·北京延慶高三一模）設(shè) 2

1

log

5

a ? ， 3

1

log

5

b ? ，

1

5 1

( ) 5

c

? ? ，則 a ，b ，c 的大小關(guān)系是(A)

（A） c ? b ? a （B）c ? a ? b （C）b ? a ? c （D） a ? b ? c

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直線和圓的方程

1．（2023·北京海淀高三一模）已知直線 y ? x ? m與圓 2 2 O : x ? y ? 4交于 A，B 兩點(diǎn)，且 ?AOB為等邊三角

形，則 m 的值為（ D ）

A．? 2 B．? 3 C．?2 D．? 6

2．（2023·北京房山高三一模）已知直線 y ?1? m(x ? 2) 與圓 2 2 (x ?1) ? ( y ?1) ? 9 相交于 M，N 兩點(diǎn).則| MN |

的最小值為（ C ）

A． 5 B．2 5 C．4 D．6

3．（2023·北京朝陽高三一模）已知點(diǎn) A??1,0?，B?1,0? ．若直線 y ? kx ? 2上存在點(diǎn) P，使得?APB ? 90?，

則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是（ D ）

A．???,? 3?

?

B．3, ?

? ?? ?

C．?? 3, 3?

? ? D．? , 3 3, ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?

4．（2023·北京豐臺高三一模）已知圓? ? ? ? ? ?

2 2 2 x ? 2 ? y ? 3 ? r r ? 0 與 y 軸相切，則r ? （ C ）

A． 2 B． 3 C．2 D．3

5．（2023·北京石景山高三一模）已知直線l : kx ? y ? 2k ? 2 ? 0 被圓C: ? ?

2 2 x ? y ?1 ? 25 所截得的弦長為整數(shù)，

則滿足條件的直線l 有（ B ）

A．6 條 B．7 條 C．8 條 D．9 條

6．（2023·北京順義高三一模）D

A．2 B．4 C．2 2 D．2 3

7．（2023·北京門頭溝高三一模）若點(diǎn) M 是圓 2 2 C : x ? y ? 4x ? 0 上的任一點(diǎn)，直線l : x ? y ? 2 ? 0 與 x 軸、

y 軸分別相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，則 ?MAB 的最小值為 A

（A）

π

12 （B）

π

4 （C）

π

3 （D）

π

6

8．（2023·北京延慶高三一模）若直線 x ? y ?1? 0 與圓

2 2

x ? y ? 2x ?1? a ? 0 相切，則 a 等于(A)

（A） 2 （B）1 （C） 2 （D） 4

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立體幾何

1．（2023·北京房山高三一模）如圖，已知正方體 ABCD? A1B1C1D1，則下列結(jié)論中正確的是（ D ）

A．與三條直線 1 1 1 AB,CC , D A 所成的角都相等的直線有且僅有一條

B．與三條直線 1 1 1 AB,CC , D A 所成的角都相等的平面有且僅有一個

C．到三條直線 1 1 1 AB,CC , D A 的距離都相等的點(diǎn)恰有兩個

D．到三條直線 1 1 1 AB,CC , D A 的距離都相等的點(diǎn)有無數(shù)個

2．（2023·北京豐臺高三一模）如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， AC ? BC ， AC ? 2 ， BC ?1， 1 AA ? 2，

點(diǎn) D 在棱 AC 上，點(diǎn) E 在棱 BB1上，給出下列三個結(jié)論：

①三棱錐 E ? ABD的體積的最大值為

2

3 ；② A1D?DB的最小值為 2 ? 5 ；

③點(diǎn) D 到直線C1E的距離的最小值為

2 5

5 ．其中所有正確結(jié)論的個數(shù)為（ C ）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（2023·北京西城高三一模）如圖，在棱長為 2 的正方體 ABCD? A1B1C1D1中，點(diǎn)M， N 分別在線段 AD1

和B1C1 上．給出下列四個結(jié)論：

①M(fèi)N 的最小值為 2 ；

②四面體 NMBC 的體積為

4

3

；

③有且僅有一條直線MN 與 AD1垂直；

④存在點(diǎn) M， N ，使△MBN 為等邊三角形．

其中所有正確結(jié)論的序號是_①②④___．

4．（2023·北京東城高三一模）設(shè) m, n 是兩條不同的直線，?，? 是兩個不同的平面，且 m ?? ，? ? ? ，

則“ m ? n ”是“ n ? ? ”的 B

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

5．（2023·北京海淀高三一模）在△ABC 中, ?ACB ? 90? , AC=BC=2, D 是邊 AC 的中點(diǎn), E 是邊 AB 上的動

點(diǎn)（不與 A, B 重合）,過點(diǎn) E 作 AC 的平行線交 BC 于點(diǎn) F，將△BEF 沿 EF 折起，點(diǎn) B 折起后的位置記

為點(diǎn) P，得到四棱錐 P ? ACFE ，如圖所示. 給出下列四個結(jié)論：

① AC // 平面 PEF；

② △PEC 不可能為等腰三角形；

③ 存在點(diǎn) E，P，使得 PD ? AE ；

④ 當(dāng)四棱錐 P ? ACFE 的體積最大時(shí)， AE ? 2 .其中所有正確結(jié)論的序號是__①③_______. D

E

A C

B

F

P

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6．（2023·北京石景山高三一模）已知正方體 ABCD ? A1B1C1D1 的棱長為 2 ，點(diǎn) P 為正方形 ABCD 所在平面

內(nèi)一動點(diǎn)，給出下列三個命題：

①若點(diǎn) P 總滿足 PD1 ? DC1，則動點(diǎn) P 的軌跡是一條直線；

②若點(diǎn) P 到直線 BB1與到平面CDD1C1的距離相等，則動點(diǎn) P 的軌跡是拋物線；

③若點(diǎn) P 到直線 DD1的距離與到點(diǎn)C 的距離之和為 2 ，則動點(diǎn) P 的軌跡是橢圓．

其中正確的命題個數(shù)是 C

（A） 0 （B）1 （C） 2 （D）3

7．（2023·北京門頭溝高三一模）在正方體 ABCD ? A1B1C1D1中，棱長為1，已知點(diǎn) P ，Q 分別是線段 AD1 ，

AC1上的動點(diǎn)(不含端點(diǎn)).其中所有正確結(jié)論的序號是 . ① PQ 與 B1C 垂直 ;

②直線 PQ 與直線CD不可能平行;

③二面角 P ? AC ? Q 不可能為定值;

④則 PQ ? QC 的最小值是

4

3

.其中所有正確結(jié)論的序號是 ①④ . 8．（2023·北京延慶高三一模）四面體OABC 的三條棱OA,OB,OC 兩兩垂直，OA ? OB ? 2 ，OC ? 4 ，D 為四面體OABC 外一點(diǎn)，給出下列命題：

① 不存在點(diǎn) D ，使四面體 ABCD三個面是直角三角形；

② 存在點(diǎn) D ，使四面體 ABCD是正三棱錐；

③ 存在無數(shù)個點(diǎn) D ，使點(diǎn)O在四面體 ABCD的外接球面上；

④ 存在點(diǎn) D ，使CD 與 AB 垂直且相等，且 BD ? 5 .其中真命題的序號是 ②③④ . 9．（2023·北京順義高三一模）D

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雙曲線與拋物線

1．（2023·北京東城高三一模）拋物線

2

x ? 4y 的準(zhǔn)線方程為 D

（A） x ? 1 （B） x ? ?1 （C） y ?1 （D） y ? ?1

2．（2023·北京東城高三一模）已知雙曲線

2 2

2 2 1( 0, 0) x y a b

a b ? ? ? ? 的一個焦點(diǎn)為 ( 5,0)，且與直線 y ? ?2x

沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的方程可以為_______．?

2 ?

?2

4 = 1(答案不唯一)

3．（2023·北京西城高三一模）已知雙曲線C 的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸．則“C 的離心率為 2 ”是

“C 的一條漸近線為 y ? 3x ”的 D

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

4．（2023·北京西城高三一模）已知拋物線 2 y ? 2 px ( p ? 0) 的頂點(diǎn)為 O ，且過點(diǎn) A,B ．若△OAB 是邊長為

4 3 的等邊三角形，則 p ? __1__．

5．（2023·北京海淀高三一模）已知拋物線 2 y ? 4x 的焦點(diǎn)為 F，點(diǎn) P 在該拋物線上，且 P 的橫坐標(biāo)為 4，

則| PF |? _D___ （A）2 （B）3 （C）4 （D）5

6．（2023·北京海淀高三一模）已知雙曲線

2 2

2 2

: 1

x y C

a b ? ? 的漸近線方程為 y ? ? 3x ，則 C 的離心率為_2__. 7．（2023·北京朝陽高三一模）過雙曲線

2 2

2 2 1 ( 0, 0) x y a b

a b ? ? ? ? 的右焦點(diǎn) F 作一條漸近線的垂線，垂足為

A．若?AFO ? 2?AOF （O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為 B

（A）

5

2 （B）

2 3

3 （C） 2 （D）

2 3

3 或 2

8．（2023·北京朝陽高三一模）經(jīng)過拋物線 2 x ? 4y 的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于 A , B 兩點(diǎn)，若| AB|? 4，

則△OAB （O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為 2 ．

9．（2023·北京豐臺高三一模）已知拋物線 C：2 y =2 px (p>0)的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)為 F，A 是拋物

線 C 上的一點(diǎn)，點(diǎn) A 到 x 軸的距離為 2 2 ，過點(diǎn) A 向拋物線 C 的準(zhǔn)線作垂線，垂足為 B.若四邊形

ABOF 為等腰梯形，則 p 的值為 C

（A）1 （B） 2 （C）2 （D） 2 2

10．（2023·北京豐臺高三一模）三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，目前尺

規(guī)作圖仍不能解決這個問題.古希臘數(shù)學(xué)家 Pappus（300~350 前后）借助圓弧和

雙曲線給出了一種三等分角的方法：如圖，以角的頂點(diǎn)C 為圓心作圓交角的兩邊

于 A ， B 兩點(diǎn)；取線段 AB 的三等分點(diǎn)O ， D ；以 B 為焦點(diǎn)， A， D 為頂點(diǎn)作

雙曲線 . 雙曲線 與弧 AB 的交點(diǎn)記為 E ，連接 CE，則

1

3

?BCE ? ?ACB . （Ⅰ）雙曲線 的離心率為____2_____；

（Ⅱ）若

2

ACB

? ? ? ， AC ? 3 2 ，CE 交 AB 于點(diǎn) P，則 OP ? __7 ? 3 3_______.

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11．（2023·北京石景山高三一模）拋物線 2 C : x ? 4y 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為__（0，1）___，若拋物線C 上一點(diǎn) M

的縱坐標(biāo)為 2 ，則點(diǎn) M 到拋物線焦點(diǎn)的距離為____3____．

12．（2023·北京石景山高三一模）已知雙曲線

2 2

2 1( 0) 4

x y b

b ? ? ? 的離心率是 2 ，則b ? （B）

（A）12 （B） 2 3 （C） 3 （D）

3

2

13．（2023·北京房山高三一模）已知拋物線C :

2 y ? 4x 的焦點(diǎn)為 F ，拋物線C 上一點(diǎn) P 到點(diǎn) F 的距離為

3，則點(diǎn) P 到原點(diǎn)的距離為 D

（A） 2 （B）3 （C） 2 2 （D） 2 3

14．（2023·北京房山高三一模）已知雙曲線

2 2

2 2

: 1

x y C

a b ? ?的一條漸近線方程為 y ? 3x ，則雙曲線 C 的

離心率為 2 ．

15．（2023·北京門頭溝高三一模）雙曲線

2 2

2 2 1( 0, 0) y x

a b

a b ? ? ? ? 的離心率為 2 ，則其漸近線方程為 C

（A） y ? ? 2x （B） y ? ? 3x （C）

3

3

y ? ? x （D） y ? ?2x

16．（2023·北京延慶高三一模）若雙曲線

2 2 kx ? y ? 1的焦距是6 ，則實(shí)數(shù) k ?___?

1

8_________．

17．（2023·北京延慶高三一模）曲線

2 2

x ? 2x | y | ?2y ?1 ? 0 的一條對稱軸是 ； y 的取值范圍是 . 18．（2023·北京順義高三一模）C