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（2022 海淀一模——等和點(diǎn)）★★★★

28．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，對(duì)于點(diǎn) 1 1 Px y (, )，給出如下定義：當(dāng)點(diǎn) 2 2 Qx y (, ) 滿足 1 2 x x +

1 2 = + y y 時(shí)，稱點(diǎn) Q 是點(diǎn) P 的等和點(diǎn)．

已知點(diǎn) P(2,0) ．

（1）在 1 Q (0,2) ， 2 Q ( 2, 1) ? ? ， 3 Q (1,3) 中，點(diǎn) P 的等和點(diǎn)有_________；

（2）點(diǎn) A 在直線 y x =? + 4上，若點(diǎn) P 的等和點(diǎn)也是點(diǎn) A 的等和點(diǎn)，求點(diǎn) A 的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn) B b( ,0) 和線段 MN，對(duì)于所有滿足 BC =1的點(diǎn) C，線段 MN 上總存在線段 PC

上每個(gè)點(diǎn)的等和點(diǎn)．若 MN 的最小值為 5，直接寫(xiě)出 b 的取值范圍．

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吳老師圖解

（1）Q1 ，Q3 .

規(guī)律總結(jié)

思路 1：

對(duì)于 1 1 Px y (, )， 2 2 Qx y (, )，

若滿足 1 2 x x + 1 2 = + y y ，則有 12 12

2 2

xx yy + + = ，

即 P ，Q 兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線 y x = 上（中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等）.

如圖，當(dāng) P(2,0) 時(shí)，若Q 為點(diǎn) P 的等和點(diǎn)，則 P ，Q 的中點(diǎn)落在直線 y x = 上，

發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)Q 的軌跡為直線 y x = +2 .（瓜豆原理）

思路 2：

對(duì)于 1 1 Px y (, )， 2 2 Qx y (, )，

若滿足 1 2 x x + 1 2 = + y y ，則 2 2 11 y x xy =+ ? ( ) ，

即點(diǎn)Q 在直線 1 1 yx x y =+ ? ( ) 上，

所以，當(dāng) P(2,0) 時(shí)，點(diǎn)Q 在直線 y x = + 2上.

思路&圖解

如圖，由【規(guī)律總結(jié)】知點(diǎn)Q1 ，Q3 符合題意.

x

y

y = x + 2

y = x

Q1

Q2

O P

x

y

y = x + 2

Q3

Q2

Q1

O P

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（2） A(3,1) .

思路&圖解

根據(jù)直線 y x =? + 4設(shè) Aa a ( , 4) ? + ，

由【規(guī)律總結(jié)·思路 2】知點(diǎn) A 的等和點(diǎn)在直線 yx a a x a = + ?? + = + ? [ ( 4)] (2 4) 上，

根據(jù)題意，由（1）知點(diǎn) A 的等和點(diǎn)在直線 y x = + 2上，

故 2 42 a ? = ，解得 a = 3，即 A(3,1) .

備注：若利用【規(guī)律總結(jié)·思路 1】，直線 y x = ? 2與直線 y x =? + 4的交點(diǎn)即為 A .

（3）b =? + 42 2或b = + 42 2 .

分析

由 BC =1知，點(diǎn)C 在以 B 為圓心，1為半徑的⊙B 上.

如圖，我們?cè)?x 軸的負(fù)半軸上取點(diǎn) B ，點(diǎn)C 是⊙B 上的任意一點(diǎn)，

根據(jù)【規(guī)律總結(jié)·思路 1】知，每一個(gè)點(diǎn)的等和點(diǎn)都是一條直線，

故點(diǎn)C 的等和點(diǎn)在：圖示陰影部分的內(nèi)部或邊界上（一條條直線形成的區(qū)域）！

備注：圖中⊙B' 與⊙B 關(guān)于直線 y x = 對(duì)稱，陰影部分的邊界是⊙B' 的 2 條切線.

如圖，已知點(diǎn) P 的等和點(diǎn)在直線 y x = + 2上，那么對(duì)于線段 PC 上的任意一點(diǎn) D ，

同理，點(diǎn) D 的等和點(diǎn)在：圖示陰影部分的內(nèi)部或邊界上（一條條直線形成的區(qū)域）！

根據(jù)題意， MN 的最小值為 5，即陰影部分的 2 條平行邊界線之間的距離為 5！

x

y

陰影部分

y = x

C'

C

B'

B

x

y

陰影部分

y = x + 2

y = x

D'

C'

P'

B'

P

B

C D

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分析

如圖，同理，當(dāng)點(diǎn) B 在 x 軸的正半軸上時(shí)，

線段 PC 上每個(gè)點(diǎn)的等和點(diǎn)在：圖示陰影部分的內(nèi)部或邊界上，

且陰影部分的 2 條平行邊界線之間的距離為 5 時(shí)為臨界狀態(tài)！

備注：

若點(diǎn) B 與 P 離得比較近， MN 的最小值會(huì)小于 5，故不考慮！

思路&圖解

1】b < 0

如圖，

1）由【分析】知 EF = 5，

2）已知 ' 1 BF r = = ⊙B ，則 EB' 4 = ，

3）在等腰 Rt ' △GEB 中，GB' 42 = ，

4）由 y x = + 2知G(0,2) ，

∴ OB OB = = ? ' 42 2 ，即此時(shí)b =? + 42 2 .

x

y

y = x + 2

y = x

C'

D'

P'

B'

P B

D C

x

y

y = x + 2

y = x

G

F

E

B'

B O P

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思路&圖解

2】b > 0

如圖，同理， EF = 5，易求得此時(shí)b OB = = + ' 42 2 .

∴綜上所述：b =? + 42 2或b = + 42 2 .

x

y

y = x + 2

y = x

G

E

F

B'

P B