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（2023-2024 北京四中九上月考·10 月）★★★☆
24．已知關(guān)于 x 的二次函數(shù) y1＝x
2＋bx＋c（實(shí)數(shù) b，c 為常數(shù)）．
（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，4），對稱軸為 x＝1，求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若 b
2－c＝0，當(dāng) b－3≤x≤b 時，二次函數(shù)的最小值為 21，求 b 的值；
（3）記關(guān)于 x 的二次函數(shù) y2＝2x
2＋x＋m，若在（1）的條件下，當(dāng) 0≤x≤1 時，總有 y2≥
y1，求實(shí)數(shù)
m
的最小值．
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吳老師圖解
（1）y1＝x
2－2x＋4.
思路&圖解
1）由過點(diǎn)（0，4）知 c＝4，
2）由對稱軸 x＝－
2
b
a
＝－
2
b ＝1 知 b＝－2，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為 y1＝x
2－2x＋4.
（2）－ 7
或 4.
分析
本題為區(qū)間最值問題，同學(xué)們需注意“區(qū)間”（x 的取值范圍）與對稱軸的左右位置關(guān)
系，從而進(jìn)行分類討論...
注意：分類討論的每一種情況的“大前提”！
思路&圖解
1）利用 b
2－c＝0 知 c＝b
2，則二次函數(shù)的解析式為 y1＝x
2＋bx＋b
2，
2）易求得該拋物線的對稱軸為 x＝－
2
b ，
3）分類討論，如圖：
①若 b≤－
2
b
（b≤0），易知，當(dāng) x＝b 時，y1 取到最小值 21，
將 x＝b 代入解析式得 b
2＋b
2＋b
2＝21，
解得 b＝－ 7
或
7
（舍），
②若 b－3≥－
2
b
（b≥2），則當(dāng) x＝b－3 時，y1取到最小值 21，
代入得（b－3）2＋b（b－3）＋b
2＝21，
解得 b＝4 或－1（舍），
③若 b－3＜－
2
b
＜b（0＜b＜2），則當(dāng) x＝－
2
b
時，y1 取到最小值 21，
代入得（－
2
b
）2＋b（－
2
b
）＋b
2＝21，
解得 b＝?2 7
（舍）.
∴綜上所述：b＝－ 7
或 4.
x=
b
2
b-3
b
x=
b
2
b-3
b
x=
b
2
b-3
b
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（3）4.
思路&圖解
如圖，
1）對于拋物線 y1＝x
2－2x＋4，易求得當(dāng) 0≤x≤1
時，有 3≤y1≤4，
2）對于拋物線 y2＝2x
2＋x＋m，易求得對稱軸為
x＝－
1
4
，則當(dāng) 0≤x≤1 時，y2 隨 x 的增大而增大，
3）根據(jù)題意，應(yīng)保證 y2（min）≥y1（max），
4）當(dāng) x＝0 時，y2 取到最小值 m，
x ∴m≥4，即 m 的最小值為 4.
y
y2
y1
O
