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（2023 朝陽一模）★★★☆
26．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線
2
y ax m x = + ? + (2 6) 1
經(jīng)過點(diǎn)
(1,2 4) m? ．
（1）求 a 的值；
（2）求拋物線的對(duì)稱軸（用含 m 的式子表示）；
（3）點(diǎn)
1
( , ) ?m y ， 2
( , ) m y ， 3
( 2, ) m y +
在拋物線上，若
2 3 1 y y y ?
，求 m 的取值范圍．
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吳老師圖解
（1）
a =1.
思路&圖解
把點(diǎn)
(1,2 4) m?代入解析式得
2 4 2 6 1 m a m ? = + ? +
，解得
a =1.
（2）
x m = ? +3.
思路&圖解
由（1）知拋物線的解析式為
2
y x m x = + ? + (2 6) 1，
?
對(duì)稱軸為
2 6 3
2 2
b m
x m
a
?
= ? = ? = ? + .
（3）
1 2 ? m .
思路一：對(duì)稱性比遠(yuǎn)近
分析
令點(diǎn)
1
( , ) ?m y ， 2
( , ) m y ， 3
( 2, ) m y +
分別叫做
A,， B ，C ，
首先，點(diǎn)
B
肯定在點(diǎn)
C
的左側(cè)，而點(diǎn)
A
與點(diǎn)
B ，C
的位置不確定，正常來說，我們要對(duì)
點(diǎn)
A
的位置進(jìn)行分類討論！
但是，本題有個(gè)特殊性，根據(jù)點(diǎn)
B
在點(diǎn)
C
的左側(cè)，且
2 3 y y ?
可以先求得一個(gè)
m
的范圍，
根據(jù)這個(gè)范圍我們可以推出點(diǎn)
A
在點(diǎn)
B
的左側(cè)！
所以，本題中
A,， B ，C
三個(gè)點(diǎn)是從左向右排列的，無需分類討論…
思路&圖解
1）由（1）知拋物線開口向上，故拋物線上距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，
2）由（2）知拋物線的對(duì)稱軸為
x m = ? +3，
3）如圖，
①當(dāng)
2 3 y y ?
時(shí)，有
2
3
2
m m
m
+ +
? + ?
，解得
m ?1，
②由
m ?1
知
? ? ? m 1
，故
? ? m m
，即點(diǎn)
1
( , ) ?m y
在點(diǎn)
2
( , ) m y
的左側(cè)，
③當(dāng)
3 1 y y
時(shí)，有
2
3
2
m m
m
? + +
? +
，解得
m 2，
?
綜上所述：
1 2 ? m .
備注：與之前的同類題不同，本題需注意
3
y
與
1
y
是可以取等的！
-m m m+2
y1 y2 y3
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思路二：代數(shù)“硬算”
思路&圖解
1）
2 2
1
y m m m m m = ? ? + = ? + + (2 6) 1 6 1，
2 2
2
y m m m m m = + ? + = ? + (2 6) 1 3 6 1，
2 2
3
y m m m m m = + + ? + + = + ? ( 2) (2 6)( 2) 1 3 2 7，
2）①當(dāng)
2 3 y y ?
時(shí)，有
2 2 3 6 1 3 2 7 m m m m ? + ? + ? ，
整理得
8 8 m ?
，解得
m ?1，
②當(dāng)
3 1 y y
時(shí)，有
2 2 3 2 7 6 1 m m m m + ? ? + + ，
整理得
2
m m? ? 2 0，解得?1 2 m ，
?
綜上所述：
1 2 ? m .
