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(2023 朝陽二模)★★★☆
27.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,點 D 在 BC 邊上(不與點 B,C 重合),將線段
AD 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 90°,得到線段 AE,連接 DE.
(1)根據(jù)題意補全圖形,并證明:∠EAC=∠ADC;
(2)過點 C 作 AB 的平行線,交 DE 于點 F,用等式表示線段 EF 與 DF 之間的數(shù)量關(guān)
系,并證明.
備用圖
相似題:2021 北京中考
A
C D B
A
C D B
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(2023 朝陽二模)★★★☆
27.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,點 D 在 BC 邊上(不與點 B,C 重合),將線段
AD 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 90°,得到線段 AE,連接 DE.
(1)根據(jù)題意補全圖形,并證明:∠EAC=∠ADC;
(2)過點 C 作 AB 的平行線,交 DE 于點 F,用等式表示線段 EF 與 DF 之間的數(shù)量關(guān)
系,并證明.
備用圖
相似題:2021 北京中考
A
C D B
A
C D B
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吳老師圖解
(1)
思路&圖解
補全圖形 圖 1
如圖 1,? +? = ? 1 2 90 ,? +? = ? 2 90 ADC
,則
? = ? 1 ADC
,即
? = ? EAC ADC .
(2)
EF DF = .
分析
補全圖形,如圖,
顯然,
EF DF =
,即本題是一道[中點證
明]類問題,常規(guī)思路是:作平行、做垂直、
利用平行線分線段成比例…
關(guān)鍵條件:
①
? = ? EAC ADC
,②
CF AB // .
思路&圖解
法 1:作平行+三垂直模型
如圖,作
EH BC //
,交
CF
的延長線于點
G ,
1)
EH AC ,
2)
ACD EHA
(三垂直模型),
3)
CHG
是等腰直角三角形(提示:
CF AB //
),
4)
EG AH CD = =
(提示:
EH GH AC CH ? = ?
),
5)
FCD FGE
(AAS 或 ASA),
? EF DF = .
E
A
C D B
2
1
E
A
C D B
E F
A
C D B
G
H
F
E
A
C D B
G
H
F
E
A
C D B
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思路&圖解
法 2:手拉手模型+平行線分線段成比例
如圖,延長
BC
至點
G
,使得
CG CB =
,連接
AG , EG
,取
CH CD = ,
1)
AED , ABG
是等腰直角三角形,
2)
ADB AEG
(手拉手模型),
3)
? = ? EGB 90 ,
4)
EG BD GH = =
(提示:
CB CD CG CH ? = ?
),
5)
EGH
是等腰直角三角形,
6)
EH CF //
,且點
C
是
HD
的中點,
?
點
F
是
ED
中點,即
EF DF = .
法 3:平行線分線段成比例
如圖,延長
BC
至點
G
,使得
CG CD =
,連接
AG , EG ,
1)
ACD ACG
(SAS),
2)設(shè)
? = ? = 1 2 ? ,
? ? = ? ? 3 90 2? ,? = ? ? 4 90 ? ,
3)
AE AD AG = = ,
?
180 3 5 45
2
?
? ? ? ? = = ? + ,
4)
? = ? +? = ? EGC 4 5 135 ,
5)
EH CF //
(提示:同旁內(nèi)角互補),且點
C
是
HD
的中點,
?
點
F
是
ED
中點,即
EF DF = .
G H
E F
A
C D B G H
E F
A
C D B
α
3 2 1
4
5
G
E F
A
C D B
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思路&圖解
法 4:共圓(考試不建議用)
如圖,連接
AF ,
1)
AED
是等腰直角三角形,
2)
? = ? = ? 1 45 2
(提示:
CF AB //
),
3)
A , F ,C , D
四點共圓,
4)
? = ? = ? AFD ACD 90
,即
AF ED,
?
點
F
是
ED
中點(三線合一),即
EF DF = .
F 1 2
E
A
C D B