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（2023 朝陽(yáng)二模）★★★☆
27．在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn) D 在 BC 邊上（不與點(diǎn) B，C 重合），將線段
AD 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，得到線段 AE，連接 DE．
（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并證明：∠EAC＝∠ADC；
（2）過點(diǎn) C 作 AB 的平行線，交 DE 于點(diǎn) F，用等式表示線段 EF 與 DF 之間的數(shù)量關(guān)
系，并證明．
備用圖
相似題：2021 北京中考
A
C D B
A
C D B
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吳老師圖解
（1）
思路&圖解
補(bǔ)全圖形 圖 1
如圖 1，? +? = ? 1 2 90 ，? +? = ? 2 90 ADC
，則
? = ? 1 ADC
，即
? = ? EAC ADC .
（2）
EF DF = .
分析
補(bǔ)全圖形，如圖，
顯然，
EF DF =
，即本題是一道[中點(diǎn)證
明]類問題，常規(guī)思路是：作平行、做垂直、
利用平行線分線段成比例…
關(guān)鍵條件：
①
? = ? EAC ADC
，②
CF AB // .
思路&圖解
法 1：作平行+三垂直模型
如圖，作
EH BC //
，交
CF
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
G ，
1）
EH AC ，
2）
ACD EHA
（三垂直模型），
3）
CHG
是等腰直角三角形（提示：
CF AB //
），
4）
EG AH CD = =
（提示：
EH GH AC CH ? = ?
），
5）
FCD FGE
（AAS 或 ASA），
? EF DF = .
E
A
C D B
2
1
E
A
C D B
E F
A
C D B
G
H
F
E
A
C D B
G
H
F
E
A
C D B
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思路&圖解
法 2：手拉手模型+平行線分線段成比例
如圖，延長(zhǎng)
BC
至點(diǎn)
G
，使得
CG CB =
，連接
AG ， EG
，取
CH CD = ，
1）
AED ， ABG
是等腰直角三角形，
2）
ADB AEG
（手拉手模型），
3）
? = ? EGB 90 ，
4）
EG BD GH = =
（提示：
CB CD CG CH ? = ?
），
5）
EGH
是等腰直角三角形，
6）
EH CF //
，且點(diǎn)
C
是
HD
的中點(diǎn)，
?
點(diǎn)
F
是
ED
中點(diǎn)，即
EF DF = .
法 3：平行線分線段成比例
如圖，延長(zhǎng)
BC
至點(diǎn)
G
，使得
CG CD =
，連接
AG ， EG ，
1）
ACD ACG
（SAS），
2）設(shè)
? = ? = 1 2 ? ，
? ? = ? ? 3 90 2? ，? = ? ? 4 90 ? ，
3）
AE AD AG = = ，
?
180 3 5 45
2
?
? ? ? ? = = ? + ，
4）
? = ? +? = ? EGC 4 5 135 ，
5）
EH CF //
（提示：同旁內(nèi)角互補(bǔ)），且點(diǎn)
C
是
HD
的中點(diǎn)，
?
點(diǎn)
F
是
ED
中點(diǎn)，即
EF DF = .
G H
E F
A
C D B G H
E F
A
C D B
α
3 2 1
4
5
G
E F
A
C D B
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思路&圖解
法 4：共圓（考試不建議用）
如圖，連接
AF ，
1）
AED
是等腰直角三角形，
2）
? = ? = ? 1 45 2
（提示：
CF AB //
），
3）
A ， F ，C ， D
四點(diǎn)共圓，
4）
? = ? = ? AFD ACD 90
，即
AF ED，
?
點(diǎn)
F
是
ED
中點(diǎn)（三線合一），即
EF DF = .
F 1 2
E
A
C D B
