中考適用

2022年

目 錄

第一輪全面復習

第一章 數與式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１）

第 １講 實數 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１）

第 ２講 整式及因式分解 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （４）

第 ３講 分式和二次根式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （７）

第一章 《數與式》測試題!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１２）

第二章 方程與不等式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１４）

第 ４講 方程 （組）的基本知識!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１４）

第 ５講 方程 （組）的解法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１６）

第 ６講 不等式的基本知識和解法 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１９）

第 ７講 列方程 （組）或不等式 （組）解決實際問題 !!!!!!!!!!!!!!!!! （２２）

第二章 《方程與不等式》測試題!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２６）

第三章 函數 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２９）

第 ８講 平面直角坐標系與函數初步 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２９）

第 ９講 一次函數 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （３３）

第 １０講 二次函數 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （３９）

第 １１講 反比例函數 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （４４）

第 １２講 函數的綜合應用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （４９）

第三章 《函數》測試題!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （５５）

第四章 三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （５８）

第 １３講 三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （５８）

第 １４講 全等三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （６２）

第 １５講 等腰三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （６６）

第 １６講 直角三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （６９）

第 １７講 相似三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （７２）

第 １８講 銳角三角函數、解直角三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （７６）

第四章 《三角形》測試題!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （８０）

１

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第五章 四邊形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （８３）

第 １９講 多邊形與平行四邊形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （８３）

第 ２０講 矩形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （８７）

第 ２１講 菱形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （９１）

第 ２２講 特殊平行四邊形的綜合應用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （９５）

第五章 《四邊形》測試題 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１００）

第六章 圓!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１０３）

第 ２３講 圓的有關性質 （１） !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１０３）

第 ２３講 圓的有關性質 （２） !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１０８）

第 ２４講 直線與圓的位置關系 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１１３）

第 ２５講 切線長定理 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１１８）

第 ２６講 圓中的計算問題 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１２２）

第六章 《圓》測試題 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１２７）

第七章 圖形變換、尺規(guī)作圖、視圖與投影!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１３１）

第 ２７講 圖形與變換 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１３１）

第 ２８講 尺規(guī)作圖 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１３６）

第 ２９講 投影與視圖 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１４１）

第七章 《圖形變換、尺規(guī)作圖、視圖與投影》測試題 !!!!!!!!!!!!!!!! （１４４）

第八章 統(tǒng)計與概率 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１４８）

第 ３０講 統(tǒng)計 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１４８）

第 ３１講 概率 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１５２）

第八章 《統(tǒng)計與概率》測試題 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１５５）

第二輪復習專題

第 １講 中考數學第二輪復習專題一 數形結合思想 !!!!!!!!!!!!!!!!! （１５９）

第 ２講 中考數學第二輪復習專題二 分類討論思想 !!!!!!!!!!!!!!!!! （１６４）

第 ３講 中考數學第二輪復習專題三 方程函數思想 !!!!!!!!!!!!!!!!! （１６７）

第 ４講 中考數學第二輪復習專題四 幾何綜合 !!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１７０）

第 ５講 中考數學第二輪復習專題五 運動與路徑問題 !!!!!!!!!!!!!!!! （１７６）

第 ６講 中考數學第二輪復習專題六 函數中的參數型問題 !!!!!!!!!!!!!! （１８１）

一?？荚囎詼y題 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１８５）

二?？荚囎詼y題 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１９１）

參考答案 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （１９８）

２

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第四章 《三角形》測試題

（時間 ４０分鐘，滿分 １００分）

班別 姓名 學號 成績

一、選擇題（每題 ４分，共 ２０分）

１．如圖，已知 ＡＢ∥ＣＤ，∠ＥＢＡ＝４５°，∠Ｅ＋∠Ｄ的度數為（ ）．

Ａ．３０° Ｂ．６０° Ｃ．９０° Ｄ．４５°

第 １題圖 第 ４題圖 第 ５題圖

２．（２０１９杭州）在△ＡＢＣ中，若一個內角等于另外兩個內角的差，則（ ）

Ａ必有一個內角等于 ３０° Ｂ必有一個內角等于 ４５°

Ｃ必有一個內角等于 ６０° Ｄ必有一個內角等于 ９０°

３．若一個三角形的三個內角度數之比為 １∶２∶３，則與之相鄰的三個外角度數之比為（ ）．

Ａ．３∶２∶１ Ｂ．１∶２∶３ Ｃ．５∶４∶３ Ｄ．３∶４∶５

４．如圖，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，點 Ｍ為 ＢＣ的中點，ＭＮ⊥ＡＣ于 Ｎ，則 ＭＮ等于（ ）．

Ａ． ６

５ Ｂ． ４

５ Ｃ．１２

５ Ｄ．１６

５

５．（２０２０荊州）如圖，在平面直角坐標系中，Ｒｔ△ＯＡＢ的斜邊 ＯＡ在第一象限，并與 ｘ軸的正半軸夾角為

３０°．Ｃ為 ＯＡ的中點，ＢＣ＝１，則點 Ａ的坐標為（ ）．

Ａ．（槡３，槡３） Ｂ．（槡３，１） Ｃ．（２，１） Ｄ．（２，槡３）

二、選擇題（每題 ４分，共 ２０分）

６．如圖，在△ＡＢＣ中，已知∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ的平分線交于點 Ｉ，過 Ｉ作 ＢＣ的平行線分別交 ＡＢ，ＡＣ于 Ｄ，

Ｅ，ＡＢ＋ＡＣ＝１５ｃｍ，則△ＡＤＥ的周長為 ．

第 ６題圖 第 ７題圖 第 ８題圖 第 ９題圖

７．如圖，點 Ｂ是線段 ＡＣ上一點，分別以 ＡＢ，ＢＣ為邊作等邊△ＡＢＥ，△ＢＣＤ，連接 ＤＥ，已知△ＢＤＥ的

面積是３槡３

４ ，ＡＣ＝４，如果 ＡＢ＜ＢＣ，那么 ＡＢ的值是 ．

８．如圖，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＢＦ＝ＢＣ，則∠Ａ＝ ．

９．如圖，在△ＡＢＣ中，Ｄ為 ＡＣ的中點，ＡＦ∥ＤＥ，Ｓ△ＡＢＦ∶Ｓ梯形ＡＦＥＤ ＝１∶６，則 Ｓ△ＡＢＦ∶Ｓ△ＣＤＥ ＝ ．

８０ %(

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第 １０題圖

１０．（２０１８南充）如圖，在△ＡＢＣ中，ＡＦ平分∠ＢＡＣ，ＡＣ的垂直平分線交 ＢＣ于

點 Ｅ，∠Ｂ＝７０°，∠ＦＡＥ＝１９°，則∠Ｃ＝ ．

三、解答題（共 ６０分）

１１．（８分）（２０２０廣州）如圖，ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ＝２５°，∠Ｄ＝８０°．求

∠ＢＣＡ的度數．

１２．（８分）如圖，正方形網格中的小正方形的面積都為 １，網格中有△ＡＢＣ和△ＤＦＥ．

（１）這兩個三角形相似嗎？說出你的理由．

（２）請你以網格中的格點為頂點，在網格中再畫出一個面積為 ４且與△ＡＢＣ相似的三角形．

１３．（１０分）某片綠地形狀如圖所示，其中 ＡＢ⊥ＢＣ，ＣＤ⊥ＡＤ，∠Ａ＝６０°，ＡＢ＝２００ｍ，ＣＤ＝１００ｍ，求

ＡＤ，ＢＣ的長．

!0# .12 ８１

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１４．（１０分）兩個全等的含 ３０°，６０°角的三角板 ＡＤＥ和 ＡＢＣ如圖所示放置，Ｅ，Ａ，Ｃ三點在一條直線上，

連接 ＢＤ，取 ＢＤ的中點 Ｍ，連接 ＭＥ，ＭＣ．試判斷△ＥＭＣ是什么樣的三角形，并說明理由．

１５．（１２分）（２０１９廣元）如圖，某海監(jiān)船以 ６０海里／時的速度從 Ａ處出發(fā)沿正西方向巡邏，一可疑船只在

Ａ的西北方向的 Ｃ處，海監(jiān)船航行 １５小時到達 Ｂ處時接到報警，需巡!此可疑船只，此時可疑船只

仍在 Ｂ的北偏西 ３０°方向的 Ｃ處，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃離，海監(jiān)船立刻加速，以

９０海里／時的速度追擊，在 Ｄ處海監(jiān)船追到可疑船只，Ｄ在 Ｂ的北偏西 ６０°方向．（以下結果保留根

號）

（１）求 Ｂ，Ｃ兩處之間的距離；

（２）求海監(jiān)船追到可疑船只所用的時間．

１６．（１２分）（２０１９北京）已知∠ＡＯＢ＝３０°，Ｈ為射線 ＯＡ上一定點，ＯＨ＝槡３＋１，Ｐ為射線 ＯＢ上一點，Ｍ

為線段 ＯＨ上一動點，連接 ＰＭ，滿足∠ＯＭＰ為鈍角，以點 Ｐ為中心，將線段 ＰＭ順時針旋轉 １５０°，

得到線段 ＰＮ，連接 ＯＮ．

（１）依題意補全圖 １；

（２）求證：∠ＯＭＰ＝∠ＯＰＮ；

（３）點 Ｍ關于點 Ｈ的對稱點為 Ｑ，連接 ＱＰ．寫出一個 ＯＰ的值，使得對于任意的點 Ｍ總有 ＯＮ＝ＱＰ，

并證明．

８２ %(

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第五章 四邊形

第 １９講 多邊形與平行四邊形

項目 多邊形 正多邊形

定義 在同 一 平 面 內，不 在 同 一 直 線 上 的 一 些 線 段

相連組成的圖形叫做多邊形．

各個角 ，各條邊 的多邊形

叫正多邊形．

性質

內角和：ｎ邊形內角和為 ；

外角和：任意多邊形的外角和為 ；

對角線：ｎ邊形共有 條對角線；

不穩(wěn)定性：ｎ邊形具有不穩(wěn)定性（ｎ＞３）；

拓展：ｎ邊形的內角中最多有 個是銳角．

１．具有一般多邊形的一切性質．

２．對稱性：

正多邊形都是 對稱圖形，邊數

為 的正多邊形是中心對稱圖形．

平行四邊形

定義 ∵ＡＢ∥ＣＤ，ＢＣ∥ＡＤ，∴四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形．

性質

１．平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等．

（∵四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形，∴ＡＢ ＣＤ，ＡＤ ＢＣ．）

２．平行四邊形的兩組對角分別相等．

（∵四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形，∴∠Ａ＝ ， ＝∠Ｄ．）

３．平行四邊形的對角線互相平分．

（∵四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形，∴ＡＯ＝ ，ＢＯ＝ ．）

４．平行線之間的距離處處 ．

５．平行四邊形是 對稱圖形．

判定

１．定義法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．

（∵ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，∴四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形．）

２．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．

（∵ＡＢ ＣＤ，ＡＤ ＢＣ，∴四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形．）

３．兩組對角分別 的四邊形是平行四邊形．

（∵ ，∴四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形．）

４．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

（∵ ，∴四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形．）

５．對角線 的四邊形是平行四邊形

（∵ＡＯ＝ ，ＢＯ＝ＤＯ，∴四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形．）

!3# 042 ８３

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三角形中位線的性質：三角形的中位線平行第三邊且等于第三邊的一半．

例 １ 如圖，在五邊形 ＡＢＣＤＥ中，∠ＢＣＤ＝∠ＥＤＣ＝９０°，ＢＣ＝ＥＤ，ＡＣ＝ＡＤ．

（１）求證：△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ；

（２）當∠Ｂ＝１４０°時，求∠ＢＡＥ的度數．

例 ２ 如圖，ＡＢＣＤ中，ＢＤ⊥ＡＢ，ＡＢ＝１２ｃｍ，ＡＣ＝２６ｃｍ．

（１）求 ＡＤ，ＢＤ的長；

（２）求ＡＢＣＤ的面積；

（３）求 ＡＤ邊上的高 ＢＨ的長．

例 ３ 如圖，四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形，Ｅ，Ｆ是對角線 ＡＣ上的兩點，∠１＝∠２．

（１）求證：ＡＥ＝ＣＦ；

（２）求證：四邊形 ＥＢＦＤ是平行四邊形．

８４ %(

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例 ４ （２０２０天津）如圖，平行四邊形 ＡＢＣＤ的頂點 Ｃ在等邊△ＢＥＦ的邊 ＢＦ上，點 Ｅ在 ＡＢ的延長線上，

Ｇ為 ＤＥ的中點，連接 ＣＧ．若 ＡＤ＝３，ＡＢ＝ＣＦ＝２，求 ＣＧ的長．

１．（２０２１畢節(jié)）若正多邊形的一個外角是 ４５°，則該正多邊形的內角和為（ ）．

Ａ．５４０° Ｂ．７２０° Ｃ．９００° Ｄ．１０８０°

２．四邊形 ＡＢＣＤ中，對角線 ＡＣ，ＢＤ相交于點 Ｏ，給出下列五組條件：

①ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ；②ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ；③ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ；④ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ；⑤ＡＤ∥

ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｃ．其中一定能判定這個四邊形是平行四邊形的條件有（ ）．

Ａ．１組 Ｂ．２組 Ｃ．３組 Ｄ．４組

３．如圖，在ＡＢＣＤ中，對角線 ＡＣ與 ＢＤ相交于點 Ｏ，Ｅ是邊 ＣＤ的中點，連接 ＯＥ．若∠ＡＢＣ＝６０°，

∠ＢＡＣ＝８０°，則∠１的度數為（ ）．

Ａ．５０° Ｂ．４０° Ｃ．３０° Ｄ．２０°

４．如圖，在ＡＢＣＤ中，點 Ｅ為 ＡＤ的中點，連接 ＢＥ，交 ＡＣ于點 Ｆ，則 ＡＦ∶ＣＦ＝（ ）．

Ａ．１∶２ Ｂ．１∶３ Ｃ．２∶３ Ｄ．２∶５

第 ３題圖 第 ４題圖 第 ５題圖

５．如圖，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝９，∠ＢＡＤ的平分線交 ＢＣ于點 Ｅ，交 ＤＣ的延長線于點 Ｆ，ＢＧ⊥

ＡＥ，垂足為 Ｇ，若 ＢＧ＝４槡２，則 △ＣＥＦ的周長為（ ）．

Ａ．８ Ｂ．９５ Ｃ．１０ Ｄ．１１５

６．（２０２０武漢）在探索數學名題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖，ＡＣ是ＡＢＣＤ的對角

線，點 Ｅ在 ＡＣ上，ＡＤ＝ＡＥ＝ＢＥ，∠Ｄ＝１０２°，則∠ＢＡＣ的大小是 ．

第 ６題圖 第 ７題圖

７．（２０２０益陽）如圖，平行四邊形 ＡＢＣＤ的對角線 ＡＣ，ＢＤ交于點 Ｏ，若 ＡＣ＝６，ＢＤ＝８，則 ＡＢ的長可能

是（ ）．

Ａ．１０ Ｂ．８ Ｃ．７ Ｄ．６

８．在ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ的角平分線交直線 ＡＤ于點 Ｅ，ＢＣ＝６，ＤＥ＝２，則ＡＢＣＤ的周長等于 ．

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９．如圖，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＡＤ＝４，∠ＡＢＣ＝６０°，過 ＢＣ的中點 Ｅ作 ＥＦ⊥ＡＢ，垂足為點 Ｆ，與 ＤＣ

的延長線交于點 Ｈ，則△ＤＥＦ的面積是 ．

第 ９題圖 第 １０題圖

１０．如圖，Ｐ為平行四邊形 ＡＢＣＤ邊 ＡＤ上一點，Ｅ，Ｆ分別為 ＰＢ，ＰＣ的中點，△ＰＥＦ，△ＰＤＣ，△ＰＡＢ

的面積分別為 Ｓ，Ｓ１，Ｓ２．若 Ｓ＝２，則 Ｓ１＋Ｓ２＝ ．

１１．（２０１９遂寧）如圖，在四邊形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，延長 ＢＣ到 Ｅ，使 ＣＥ＝ＢＣ，連接 ＡＥ交 ＣＤ于點 Ｆ，

點 Ｆ是 ＣＤ的中點．求證：

（１）△ＡＤＦ≌△ＥＣＦ；

（２）四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形．

１２．（２０１９貴陽）如圖，四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形，延長 ＡＤ至點 Ｅ，使 ＤＥ＝ＡＤ，連接 ＢＤ．

（１）求證：四邊形 ＢＣＥＤ是平行四邊形；

（２）若 ＤＡ＝ＤＢ＝２，ｃｏｓＡ＝１

４，求點 Ｂ到點 Ｅ的距離．

８６ %(

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１３．（２０２０仙桃）在平行四邊形 ＡＢＣＤ中，Ｅ為 ＡＤ的中點，請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫

法，保留畫圖痕跡．

（１）如圖 １，在 ＢＣ上找出一點 Ｍ，使點 Ｍ是 ＢＣ的中點；

（２）如圖 ２，在 ＢＤ上找出一點 Ｎ，使點 Ｎ是 ＢＤ的一個三等分點．

第 ２０講 矩形

矩形

定義 有一個角為 ９０°的平行四邊形是矩形．

性質

１．①矩形的四個角都是直角．

（∵四邊形 ＡＢＣＤ是矩形，∴∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°．）

②矩形的對角線互相平分且相等．

（∵四邊形 ＡＢＣＤ是矩形，∴ＡＯ＝ ＝ＢＯ＝ ．）

③矩形具有平行四邊形的所有性質．

２．對稱性：既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．

３．利用矩形對角線性質可以得出：直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半．（如左圖，在△ＡＢＤ中，∵∠ＤＡＢ＝９０°，ＢＯ＝

ＤＯ，∴ＡＯ＝１

２ＢＤ．）

判定

１．有一個角是直角的平行四邊形是矩形．

（∵在平行四邊形 ＡＢＣＤ中， ＝９０°，∴四邊形 ＡＢＣＤ是矩

形．）

２．對角線相等的平行四邊形是矩形．

（∵在平行四邊形 ＡＢＣＤ中， ，∴四邊形 ＡＢＣＤ是矩形．）

３．有三個角是直角的四邊形是矩形．

（∵ ，∴四邊形 ＡＢＣＤ是矩形．）

例 １ （２０２０鄂州）如圖，在平行四邊形 ＡＢＣＤ中，對角線 ＡＣ與 ＢＤ交于點 Ｏ，點 Ｍ，Ｎ分別為 ＯＡ，ＯＣ

的中點，延長 ＢＭ至點 Ｅ，使 ＥＭ＝ＢＭ，連接 ＤＥ．

（１）求證：△ＡＭＢ≌△ＣＮＤ；

（２）若 ＢＤ＝２ＡＢ，且 ＡＢ＝５，ＤＮ＝４，求四邊形 ＤＥＭＮ的面積．

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例 ２ 如圖，矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＞ＡＤ，把矩形沿對角線 ＡＣ所在直線折疊，使點 Ｂ落在點 Ｅ處，ＡＥ交 ＣＤ

于點 Ｆ，連接 ＤＥ．

（１）求證：△ＡＤＥ≌△ＣＥＤ；

（２）求證：△ＤＥＦ是等腰三角形；

（３）若∠ＡＣＢ＝６２°，則∠ＥＦＣ的度數為多少？

例 ３ （２０２０武漢）如圖，折疊矩形紙片 ＡＢＣＤ，使點 Ｄ落在 ＡＢ邊的點 Ｍ處，ＥＦ為折痕，ＡＢ＝１，ＡＤ＝

２．設 ＡＭ的長為 ｔ，求四邊形 ＣＤＥＦ的面積（用含有 ｔ的式子表示）．

１．矩形的面積是 １２ｃｍ２

，一邊與一條對角線的比為 ３∶５，則對角線長是（ ）．

Ａ．３ｃｍ Ｂ．４ｃｍ Ｃ．５ｃｍ Ｄ．１２ｃｍ

２．矩形的邊長為 １０ｃｍ和 １５ｃｍ，其中一個內角的角平分線分長邊為兩部分，這兩部分的長為（ ）．

Ａ．６ｃｍ和 ９ｃｍ Ｂ．５ｃｍ和 １０ｃｍ Ｃ．４ｃｍ和 １１ｃｍ Ｄ．７ｃｍ和 ８ｃｍ

３．如圖，四邊形 ＡＢＣＤ為平行四邊形，延長 ＡＤ到 Ｅ，使 ＤＥ＝ＡＤ，連接 ＥＢ，ＥＣ，ＤＢ．添加一個條件，

不能使四邊形 ＤＢＣＥ成為矩形的是（ ）．

Ａ．ＡＢ＝ＢＥ Ｂ．ＢＥ⊥ＤＣ Ｃ．∠ＡＤＢ＝９０° Ｄ．ＣＥ⊥ＤＥ

４．如圖，矩形 ＡＢＣＤ的兩條對角線相交于點 Ｏ，∠ＡＯＤ＝６０°，ＡＤ＝２，則 ＡＣ的長是（ ）．

Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．２槡３ Ｄ．４槡３

第 ３題圖 第 ４題圖 第 ５題圖 第 ６題圖

５．如圖，Ｏ是矩形 ＡＢＣＤ對角線的交點，ＡＥ平分∠ＢＡＤ，∠ＡＯＤ＝１２０°，∠ＡＥＯ＝ ．

６．（２０２１鞍山）如圖，矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，對角線 ＡＣ，ＢＤ交于點 Ｏ，ＤＨ⊥ＡＣ，垂足為點 Ｈ，若

∠ＡＤＨ＝２∠ＣＤＨ，則 ＡＤ的長為 ．

８８ %(

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７．（２０１９淮安）如圖，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝２，Ｈ是 ＡＢ的中點，將△ＣＢＨ沿 ＣＨ折疊，點 Ｂ落

在矩形內點 Ｐ處，連接 ＡＰ，則 ｔａｎ∠ＨＡＰ＝ ．

８．（２０１９眉山）如圖，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，過對角線交點 Ｏ作 ＥＦ⊥ＡＣ交 ＡＤ于點 Ｅ，交

ＢＣ于點 Ｆ，則 ＤＥ的長是（ ）

Ａ１ Ｂ７

４ Ｃ２ Ｄ１２

５

第 ７題圖 第 ８題圖 第 ９題圖 第 １０題圖

９（２０１９泰安）如圖，矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝２，Ｅ為 ＡＢ的中點，Ｆ為 ＥＣ上一動點，Ｐ為 ＤＦ中

點，連接 ＰＢ，則 ＰＢ的最小值是（ ）

Ａ２ Ｂ４ Ｃ槡２ Ｄ２槡２

１０．（２０２０廣州）如圖，矩形 ＡＢＣＤ的對角線 ＡＣ，ＢＤ交于點 Ｏ，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，過點 Ｏ作 ＯＥ⊥ＡＣ，交

ＡＤ于點 Ｅ，過點 Ｅ作 ＥＦ⊥ＢＤ，垂足為 Ｆ，則 ＯＥ＋ＥＦ的值為（ ）．

Ａ．４８

５ Ｂ．３２

５ Ｃ．２４

５ Ｄ．１２

５

１１．（２０２０深圳）如圖，矩形紙片 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝１２．將紙片折疊，使點 Ｂ落在邊 ＡＤ的延長線上

的點 Ｇ處，折痕為 ＥＦ，點 Ｅ，Ｆ分別在邊 ＡＤ和邊 ＢＣ上．連接 ＢＧ，交 ＣＤ于點 Ｋ，ＦＧ交 ＣＤ于點

Ｈ．給出以下結論：

①ＥＦ⊥ＢＧ；

②ＧＥ＝ＧＦ；

③△ＧＤＫ和△ＧＫＨ的面積相等；

④當點 Ｆ與點 Ｃ重合時，∠ＤＥＦ＝７５°．

其中正確的結論共有（ ）．

Ａ．１個 Ｂ．２個 Ｃ．３個 Ｄ．４個

１２．如圖，在△ＡＢＣ中，Ｄ是 ＢＣ邊上的一點，Ｅ是 ＡＤ的中點，過 Ａ點作 ＢＣ的平行線交 ＣＥ的延長線于

點 Ｆ，且 ＡＦ＝ＢＤ，連接 ＢＦ．

（１）線段 ＢＤ與 ＣＤ有何數量關系，為什么？

（２）當△ＡＢＣ滿足什么條件時，四邊形 ＡＦＢＤ是矩形？請說明理由．

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１３．（２０１９鹽城）如圖①是一張矩形紙片，按以下步驟進行操作：

（Ⅰ）將矩形紙片沿 ＤＦ折疊，使點 Ａ落在 ＣＤ邊上點 Ｅ處，如圖②；

（Ⅱ）在第一次折疊的基礎上，過點 Ｃ再次折疊，使得點 Ｂ落在邊 ＣＤ上點 Ｂ′處，如圖③，兩次折痕

交于點 Ｏ；

（Ⅲ）展開紙片，分別連接 ＯＢ、ＯＥ、ＯＣ、ＦＤ，如圖④．

【探究】

（１）證明：△ＯＢＣ≌△ＯＥＤ；

（２）若 ＡＢ＝８，設 ＢＣ為 ｘ，ＯＢ２為 ｙ，求 ｙ關于 ｘ的關系式．

９０ %(

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第 ２１講 菱形

菱形

定義 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．

性質

１．① 菱形的各邊相等．

（∵四邊形 ＡＢＣＤ是菱形，∴ ．）

② 菱形的對角線互相垂直且平分，并且平分每一組對角．

（∵四邊形 ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＣ ＢＤ．）

③ 具有平行四邊形的所有性質．

２．面積：對角線乘積的一半．

３．對稱性：既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．

判定

１．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．

（∵在平行四邊形 ＡＢＣＤ中， ＝ ，∴四邊形 ＡＢＣＤ

是菱形．）

２．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

（∵在平行四邊形 ＡＢＣＤ中， ，∴四邊形 ＡＢＣＤ是菱形．）

３．四條邊都相等的四邊形是菱形．

（∵ ，∴四邊形 ＡＢＣＤ是菱形．）

例 １ （２０２０北京）如圖，菱形 ＡＢＣＤ的對角線 ＡＣ，ＢＤ相交于點 Ｏ，Ｅ是 ＡＤ的中點，點 Ｆ，Ｇ在 ＡＢ上，

ＥＦ⊥ＡＢ，ＯＧ∥ＥＦ．

（１）求證：四邊形 ＯＥＦＧ是矩形；

（２）若 ＡＤ＝１０，ＥＦ＝４，求 ＯＥ和 ＢＧ的長．

例 ２ （２０１９濱州）如圖，矩形 ＡＢＣＤ中，點 Ｅ在邊 ＣＤ上，將△ＢＣＥ沿 ＢＥ折疊，點 Ｃ落在 ＡＤ邊上的點

Ｆ處，過點 Ｆ作 ＦＧ∥ＣＤ交 ＢＥ于點 Ｇ，連接 ＣＧ．

（１）求證：四邊形 ＣＥＦＧ是菱形；

（２）若 ＡＢ＝６，ＡＤ＝１０，求四邊形 ＣＥＦＧ的面積．

!3# 042 ９１

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例 ３ （２０２０廣州）如圖，△ＡＢＤ中，∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ．

（１）作點 Ａ關于 ＢＤ的對稱點 Ｃ；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（２）在（１）所作的圖中，連接 ＢＣ，ＤＣ，連接 ＡＣ，交 ＢＤ于點 Ｏ．

①求證：四邊形 ＡＢＣＤ是菱形；

②取 ＢＣ的中點 Ｅ，連接 ＯＥ，若 ＯＥ＝１３

２，ＢＤ＝１０，求點 Ｅ到 ＡＤ的距離．

１．菱形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０°，其周長為 ２４ｃｍ，則菱形的面積為 ｃｍ２

．

２．菱形具有而矩形不一定具有的性質是（ ）．

Ａ．對角相等 Ｂ．四邊相等 Ｃ．對角線互相平分 Ｄ．四角相等

３．如圖，Ｏ是坐標原點，菱形 ＯＡＢＣ的頂點 Ａ的坐標為（－３，４），頂點 Ｃ在 ｘ軸的負半軸上，函數 ｙ＝

ｋ

ｘ（ｘ＜０）的圖象經過頂點 Ｂ，則 ｋ的值為（ ）．

Ａ． －１２ Ｂ． －２７ Ｃ． －３２ Ｄ． －３６

４．（２０２０廣東）如圖，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝３０°，取大于 １

２ＡＢ的長為半徑，分別以點 Ａ，Ｂ為圓心作弧

相交于兩點，過此兩點的直線交 ＡＤ邊于點 Ｅ（作圖痕跡如圖所示），連接 ＢＥ，ＢＤ．則∠ＥＢＤ的度數

為 ．

第 ３題圖 第 ４題圖 第 ５題圖 第 ６題圖

５．如圖，四邊形 ＡＢＣＤ是菱形，對角線 ＡＣ＝８ｃｍ，ＢＤ＝６ｃｍ，ＤＨ⊥ＡＢ于點 Ｈ，且 ＤＨ與 ＡＣ交于點 Ｇ，

則 ＧＨ＝（ ）．

Ａ．２８

２５

ｃｍ Ｂ．２１

２０

ｃｍ Ｃ．２８

１５

ｃｍ Ｄ．２５

２１

ｃｍ

６．菱形 ＯＢＣＤ在平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點 Ｂ（２，０），∠ＤＯＢ＝６０°，點 Ｐ是對角線 ＯＣ上

一個動點，Ｅ（０， －１），當 ＥＰ＋ＢＰ最短時，點 Ｐ的坐標為 ．

７．（２０２０南寧）如圖，在邊長為 ２槡３的菱形 ＡＢＣＤ中，∠Ｃ＝６０°，點 Ｅ，Ｆ分別是

ＡＢ，ＡＤ上的動點，且 ＡＥ＝ＤＦ，ＤＥ與 ＢＦ交于點 Ｐ．當點 Ｅ從點 Ａ運動到點 Ｂ

時，則點 Ｐ的運動路徑長為 ．

９２ %(

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８．（２０２０青島）如圖，在ＡＢＣＤ中，對角線 ＡＣ與 ＢＤ相交于點 Ｏ，點 Ｅ，Ｆ分別在 ＢＤ和 ＤＢ的延長線

上，且 ＤＥ＝ＢＦ，連接 ＡＥ，ＣＦ．

（１）求證：△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ；

（２）連接 ＡＦ，ＣＥ．當 ＢＤ平分∠ＡＢＣ時，四邊形 ＡＦＣＥ是什么特殊四邊形？請說明理由．

９．如圖，在四邊形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＤＣ，ＡＢ＝ＡＤ，對角線 ＡＣ，ＢＤ交于點 Ｏ，ＡＣ平分∠ＢＡＤ，過點 Ｃ作

ＣＥ⊥ＡＢ交 ＡＢ的延長線于點 Ｅ，連接 ＯＥ．

（１）求證：四邊形 ＡＢＣＤ是菱形；

（２）若 ＡＢ＝槡５，ＢＤ＝２，求 ＯＥ的長．

!3# 042 ９３

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１０．（２０２０咸寧）如圖，在ＡＢＣＤ中，以點 Ｂ為圓心，ＢＡ長為半徑畫弧，交 ＢＣ于點 Ｅ，在 ＡＤ上截取

ＡＦ＝ＢＥ．連接 ＥＦ．

（１）求證：四邊形 ＡＢＥＦ是菱形；

（２）請用無刻度的直尺在ＡＢＣＤ內找一點 Ｐ，使∠ＡＰＢ＝９０°．（標出點 Ｐ的位置，保留作圖痕跡，

不寫作法）

１１．如圖，菱形 ＡＢＣＤ的對角線 ＡＣ和 ＢＤ交于點 Ｏ，分別過點 Ｃ，Ｄ作 ＣＥ∥ＢＤ，ＤＥ∥ＡＣ，ＣＥ與 ＤＥ交

于點 Ｅ．

（１）求證：四邊形 ＯＤＥＣ是矩形；

（２）當∠ＡＤＢ＝６０°，ＡＤ＝２槡３時，求 ｔａｎ∠ＥＡＤ的值．

９４ %(

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第 ２２講 特殊平行四邊形的綜合應用

矩形、菱形、正方形的關系轉化

正方形

定義 在四邊形 ＡＢＣＤ中，∵ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ且∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ，∴

四邊形 ＡＢＣＤ是正方形．

性質

１．①四邊相等，四個角都等于 ９０°．

（∵四邊形 ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ．

∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°．）

②正方形對角線垂直，相等且互相平分．

（∵四邊形 ＡＢＣＤ是正方形，

∴ＡＣ ＢＤ且 ＡＯ＝ ＝ ＝ ．）

２．正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以它具有菱形和矩形的

一切性質．

判定

１．∵ＡＣ⊥ＢＤ，且四邊形 ＡＢＣＤ為 ，∴四邊形 ＡＢＣＤ是正方形．

２．∵ＡＣ＝ＢＤ，且四邊形 ＡＢＣＤ為 ，∴四邊形 ＡＢＣＤ是正方形．

３．∵ＡＢ＝ＢＣ，且四邊形 ＡＢＣＤ為 ，∴四邊形 ＡＢＣＤ是正方形．

４．∵ＡＢ ＢＣ且四邊形 ＡＢＣＤ為菱形，∴四邊形 ＡＢＣＤ是正方

形．

例 １ 如圖，正方形 ＡＢＣＤ的對角線交于點 Ｏ，點 Ｅ，Ｆ分別在 ＡＢ，ＢＣ上（ＡＥ＜ＢＥ），且∠ＥＯＦ＝９０°，

ＯＥ，ＤＡ的延長線交于點 Ｍ，ＯＦ，ＡＢ的延長線交于點 Ｎ，連接 ＭＮ．

（１）求證：ＯＭ＝ＯＮ．

（２）若正方形 ＡＢＣＤ的邊長為 ４，Ｅ為 ＯＭ的中點，求 ＭＮ的長．

!3# 042 ９５

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例 ２ （２０２１衡陽）如圖，點 Ｅ為正方形 ＡＢＣＤ外一點，∠ＡＥＢ＝９０°，將 Ｒｔ△ＡＢＥ繞 Ａ點逆時針方向旋轉

９０°得到△ＡＤＦ，ＤＦ的延長線交 ＢＥ于 Ｈ點．

（１）試判定四邊形 ＡＦＨＥ的形狀，并說明理由；

（２）已知 ＢＨ＝７，ＢＣ＝１３，求 ＤＨ的長．

例 ３ （２０２１眉山）如圖，在等腰直角三角形 ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ＝２槡５，邊長為 ２的正方形

ＤＥＦＧ的對角線交點與點 Ｃ重合，連接 ＡＤ，ＢＥ．

（１）求證：△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ；

（２）當點 Ｄ在△ＡＢＣ內部，且∠ＡＤＣ＝９０°時，設 ＡＣ與 ＤＧ相交于點 Ｍ，求 ＡＭ的長；

（３）將正方形 ＤＥＦＧ繞點 Ｃ旋轉一周，當點 Ａ，Ｄ，Ｅ三點在同一直線上時，請直接寫出 ＡＤ的長．

９６ %(

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１．已知四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形，下列結論中不正確的是（ ）．

Ａ．當 ＡＢ＝ＢＣ時，它是菱形 Ｂ．當 ＡＣ⊥ＢＤ時，它是菱形

Ｃ．當∠ＡＢＣ＝９０°時，它是矩形 Ｄ．當 ＡＣ＝ＢＤ時，它是正方形

２．（２０２０常州）如圖，點 Ｃ在線段 ＡＢ上，且 ＡＣ＝２ＢＣ，分別以 ＡＣ，ＢＣ為邊在線段 ＡＢ的同側作正方形

ＡＣＤＥ，ＢＣＦＧ，連接 ＥＣ，ＥＧ，則 ｔａｎ∠ＣＥＧ＝ ．

第 ２題圖 第 ３題圖 第 ４題圖

３．如圖，邊長為 １的正方形 ＡＢＣＤ繞點 Ａ逆時針旋轉 ４５°后得到正方形 ＡＢ′Ｃ′Ｄ′，邊 Ｂ′Ｃ′與 ＤＣ交于點 Ｏ，

則四邊形 ＡＢ′ＯＤ的周長是（ ）．

Ａ．２槡２ Ｂ．３ Ｃ．槡２ Ｄ．１＋槡２

４．如圖，Ｅ是邊長為 １的正方形 ＡＢＣＤ的對角線 ＢＤ上一點，且 ＢＥ＝ＢＣ，Ｐ為 ＣＥ上任意一點，ＰＱ⊥ＢＣ

于點 Ｑ，ＰＲ⊥ＢＥ于點 Ｒ，則 ＰＱ＋ＰＲ的值是（ ）．

Ａ．槡２

２ Ｂ． １

２ Ｃ．槡３

２ Ｄ． ２

３

５．（２０２１瀘州）如圖，在邊長為 ４的正方形 ＡＢＣＤ中，點 Ｅ是 ＢＣ的中點，點 Ｆ在 ＣＤ上，且 ＣＦ＝３ＤＦ，

ＡＥ，ＢＦ相交于點 Ｇ，則△ＡＧＦ的面積是 ．

第 ５題圖 第 ６題圖 第 ７題圖

６．在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝３ＡＢ，點 Ｇ，Ｈ分別在 ＡＤ，ＢＣ上，連接 ＢＧ，ＤＨ，且 ＢＧ∥ＤＨ，當ＡＧ

ＡＤ＝（ ）

時，四邊形 ＢＨＤＧ為菱形．

Ａ． ４

５ Ｂ． ３

５ Ｃ． ４

９ Ｄ． ３

８

７．如圖，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分別為正方形 ＡＢＣＤ的邊 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上的點，且 ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ＝

１

３ＡＢ，則圖中陰影部分的面積與正方形 ＡＢＣＤ的面積之比為（ ）．

Ａ． ２

５ Ｂ． ４

９ Ｃ． １

２ Ｄ． ３

５

第 ８題圖

８．如圖，ＣＥ是ＡＢＣＤ的邊 ＡＢ的垂直平分線，垂足為點 Ｏ，ＣＥ與 ＤＡ

的延長線交于點 Ｅ．連接 ＡＣ，ＢＥ，ＤＯ，ＤＯ與 ＡＣ交于點 Ｆ，則下列

結論：

①四邊形 ＡＣＢＥ是菱形；

②∠ＡＣＤ＝∠ＢＡＥ；

!3# 042 ９７

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③ＡＦ∶ＢＥ＝２∶３；

④Ｓ四邊形ＡＦＯＥ∶Ｓ△ＣＯＤ ＝２∶３．

其中正確的結論有 ．（填寫所有正確結論的序號）

９．（２０２０咸寧）如圖，四邊形 ＡＢＣＤ是邊長為 ２的正方形，點 Ｅ是邊 ＢＣ上一動點（不與點 Ｂ，Ｃ重合），

∠ＡＥＦ＝９０°，且 ＥＦ交正方形外角的平分線 ＣＦ于點 Ｆ，交 ＣＤ于點 Ｇ，連接 ＡＦ，有下列結論：

①△ＡＢＥ∽△ＥＣＧ；

②ＡＥ＝ＥＦ；

③∠ＤＡＦ＝∠ＣＦＥ；

④△ＣＥＦ的面積的最大值為 １．

其中正確結論的序號是 ．（把正確結論的序號都填上）

１０．如圖，順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．如右圖四邊形

ＥＦＧＨ是四邊形 ＡＢＣＤ的中點四邊形．四邊形 ＡＢＣＤ我們稱之為原四邊形．觀

察圖形，回答問題：

（１）連接 ＡＣ，ＢＤ，由三角形中位線定理可證四邊形 ＥＦＧＨ是 ；

（２）任意四邊形的中點四邊形是 ；

（３）試根據原四邊形 ＡＢＣＤ或中點四邊形 ＥＦＧＨ的形狀特點，完成下列表格：

原四邊形 ＡＢＣＤ形狀特點 中點四邊形 ＥＦＧＨ的形狀

平行四邊形

矩形

矩形

菱形

１１．如圖，在正方形 ＡＢＣＤ中，Ｅ是邊 ＡＢ上的一動點（不與點 Ａ，Ｂ重合），連接 ＤＥ，點 Ａ關于直線 ＤＥ

的對稱點為 Ｆ，連接 ＥＦ并延長交 ＢＣ于點 Ｇ，連接 ＤＧ，過點 Ｅ作 ＥＨ⊥ＤＥ交 ＤＧ的延長線于點 Ｈ，

連接 ＢＨ．

（１）求證：ＧＦ＝ＧＣ；

（２）用等式表示線段 ＢＨ與 ＡＥ的數量關系，并證明．

９８ %(

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１２．如圖，四邊形 ＡＢＣＤ是邊長為 １的正方形，點 Ｅ在 ＡＤ邊上運動，且不與點 Ａ和點 Ｄ重合，連接 ＣＥ，

過點 Ｃ作 ＣＦ⊥ＣＥ交 ＡＢ的延長線于點 Ｆ，ＥＦ交 ＢＣ于點 Ｇ．

（１）求證：△ＣＤＥ≌△ＣＢＦ；

（２）當 ＤＥ＝１

２時，求 ＣＧ的長；

（３）連接 ＡＧ，在點 Ｅ運動過程中，四邊形 ＣＥＡＧ能否為平行四邊形？若能，求出此時 ＤＥ的長；若不

能，說明理由．

１３．（２０２１臨沂）如圖，已知正方形 ＡＢＣＤ，點 Ｅ是 ＢＣ邊上一點，將△ＡＢＥ沿直線 ＡＥ折疊，點 Ｂ落在 Ｆ

處，連接 ＢＦ并延長，與∠ＤＡＦ的平分線相交于點 Ｈ，與 ＡＥ，ＣＤ分別相交于點 Ｇ，Ｍ，連接 ＨＣ．

（１）求證：ＡＧ＝ＧＨ；

（２）若 ＡＢ＝３，ＢＥ＝１，求點 Ｄ到直線 ＢＨ的距離；

（３）當點 Ｅ在 ＢＣ邊上（端點除外）運動時，∠ＢＨＣ的大小是否變化？為什么？

!3# 042 ９９

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第五章 《四邊形》測試題

（時間 ４０分鐘，滿分 １００分）

班別 姓名 學號 成績

一、選擇題（每小題 ３分，共 ３０分）

１．下列語句正確的是（ ）．

Ａ．對角線互相垂直的四邊形是菱形 Ｂ．有兩邊及一角對應相等的兩個三角形全等

Ｃ．矩形的對角線相等 Ｄ．平行四邊形是軸對稱圖形

２．（２０２０黃石）下列圖形中，既是中心對稱又是軸對稱圖形的是（ ）．

３．在平行四邊形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ∶∠Ｄ的值可以是（ ）．

Ａ．１∶２∶３∶４ Ｂ．３∶４∶４∶３ Ｃ．３∶３∶４∶４ Ｄ．３∶４∶３∶４

４．如圖，在平行四邊形 ＡＢＣＤ中，下列各式不一定正確的是（ ）．

Ａ．∠１＋∠２＝１８０° Ｂ．∠２＋∠３＝１８０°

Ｃ．∠３＋∠４＝１８０° Ｄ．∠２＋∠４＝１８０°

第 ４題圖 第 ５題圖 第 ６題圖

５．如圖，在ＡＢＣＤ中，ＥＦ∥ＡＢ，ＧＨ∥ＡＤ，ＥＦ與 ＧＨ交于點 Ｏ，則該圖中的平行四邊形的個數共有

（ ）．

Ａ．７個 Ｂ．８個 Ｃ．９個 Ｄ．１１個

６．如圖，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０，ＡＤ＝５，Ｅ是 ＣＤ上的一點，且 ＡＥ＝１０，則∠ＣＢＥ等于（ ）．

Ａ．１０° Ｂ．１５° Ｃ．２２５° Ｄ．３０°

７．在平行四邊形 ＡＢＣＤ中，對角線 ＡＣ與 ＢＤ相交于點 Ｏ，ＡＣ＝１０，ＢＤ＝８，則 ＡＤ的取值范圍是（ ）．

Ａ．ＡＤ＞１ Ｂ．ＡＤ＜９ Ｃ．１＜ＡＤ＜９ Ｄ．ＡＤ＞９

８．如圖，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＝８０°，ＡＢ的垂直平分線交 ＡＣ于 Ｆ，Ｅ為垂足，連接 ＤＦ，則∠ＣＤＦ＝

（ ）．

Ａ．８０° Ｂ．７０° Ｃ．６５° Ｄ．６０°

第 ８題圖 第 ９題圖 第 １０題圖

１００ %(

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９．（２０２０廣東）如圖，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，點 Ｅ，Ｆ分別在邊 ＡＢ，ＣＤ上，∠ＥＦＤ＝６０°．若將四

邊形 ＥＢＣＦ沿 ＥＦ折疊，點 Ｂ恰好落在 ＡＤ邊上，則 ＢＥ的長度為（ ）．

Ａ．１ Ｂ．槡２ Ｃ．槡３ Ｄ．２

１０．（２０２０孝感）如圖，點 Ｅ在正方形 ＡＢＣＤ的邊 ＣＤ上，將△ＡＤＥ繞點 Ａ順時針旋轉 ９０°到△ＡＢＦ的位

置，連接 ＥＦ，過點 Ａ作 ＥＦ的垂線，垂足為點 Ｈ，與 ＢＣ交于點 Ｇ．若 ＢＧ＝３，ＣＧ＝２，則 ＣＥ的長為

（ ）．

Ａ． ５

４ Ｂ．１５

４ Ｃ．４ Ｄ． ９

２

二、填空題（每小題 ４分，共 ２４分）

１１．如圖，在平行四邊形 ＡＢＣＤ中，對角線 ＡＣ，ＢＤ相交于點 Ｏ，點 Ｅ是 ＡＢ的中點，ＯＥ＝５ｃｍ，則 ＡＤ的

長為 ｃｍ．

１２．如圖，∠１是五邊形 ＡＢＣＤＥ的一個外角，若∠１＝６５°，則∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＝ ．

１３．（２０２０哈爾濱）如圖，在菱形 ＡＢＣＤ中，對角線 ＡＣ，ＢＤ相交于點 Ｏ，點 Ｅ在線段 ＢＯ上，連接 ＡＥ，

若 ＣＤ＝２ＢＥ，∠ＤＡＥ＝∠ＤＥＡ，ＥＯ＝１，則線段 ＡＥ的長為 ．

第 １１題圖 第 １２題圖 第 １３題圖

１４．（２０２０咸寧）如圖，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝２槡５，Ｅ是 ＢＣ的中點，將△ＡＢＥ沿直線 ＡＥ翻折，

點 Ｂ落在點 Ｆ處，連接 ＣＦ，則 ｃｏｓ∠ＥＣＦ的值為 ．

１５．（２０１９攀枝花）正方形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ａ２，Ａ２Ｂ２Ｃ２Ａ３，Ａ３Ｂ３Ｃ３Ａ４，…，按如圖所示的方式放置，點 Ａ１，Ａ２，

Ａ３，…和點 Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３，…分別在直線 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ＞０）和 ｘ軸上．已知點 Ａ１（０，１），點 Ｂ１（１，０），

則 Ｃ５的坐標是 ．

１６．（２０１９東營）如圖，在正方形 ＡＢＣＤ中，點 Ｏ是對角線 ＡＣ，ＢＤ的交點，過點 Ｏ作射線 ＯＭ，ＯＮ分別

交 ＢＣ、ＣＤ于點 Ｅ，Ｆ，且∠ＥＯＦ＝９０°，ＯＣ，ＥＦ交于點 Ｇ．給出下列結論：①△ＣＯＥ≌△ＤＯＦ；

②△ＯＧＥ∽△ＦＧＣ；③四邊形 ＣＥＯＦ的面積為正方形 ＡＢＣＤ面積的 １

４；④ＤＦ２ ＋ＢＥ２ ＝ＯＧ·ＯＣ．其中

正確的是（ ）

Ａ①②③④ Ｂ①②③ Ｃ①②④ Ｄ③④

第 １４題圖 第 １５題圖 第 １６題圖

!3# 042 １０１

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三、解答題（共 ４６分）

１７．（１４分）（２０２０南寧）如圖，點 Ｂ，Ｅ，Ｃ，Ｆ在一條直線上，ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＤＦ，ＢＥ＝ＣＦ．

（１）求證：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ；

（２）連接 ＡＤ，求證：四邊形 ＡＢＥＤ是平行四邊形．

１８．（１６分）（２０１９泰安）在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＥ⊥ＢＤ于點 Ｅ，點 Ｐ是邊 ＡＤ上一點．

（１）若 ＢＰ平分∠ＡＢＤ，交 ＡＥ于點 Ｇ，ＰＦ⊥ＢＤ于點 Ｆ，如圖①，證明四邊形 ＡＧＦＰ是菱形；

（２）若 ＰＥ⊥ＥＣ，如圖②，求證：ＡＥ·ＡＢ＝ＤＥ·ＡＰ；

（３）在（２）的條件下，若 ＡＢ＝１，ＢＣ＝２，求 ＡＰ的長．

１９．（１６分）如圖，在四邊形 ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝６０°，∠Ｄ＝３０°，ＡＢ＝ＢＣ．

（１）求∠Ａ＋∠Ｃ的度數；

（２）連接 ＢＤ，探究 ＡＤ，ＢＤ，ＣＤ三者之間的數量關系，并說明理由；

（３）若 ＡＢ＝１，點 Ｅ在四邊形 ＡＢＣＤ內部運動，且滿足 ＡＥ２＝ＢＥ２＋ＣＥ２

，求點 Ｅ運動路徑的長度．

１０２ %(

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２１（８分）在抗擊“新型冠狀病毒”期間，某車間接受到一種零件的加工任務，該任務由甲、乙兩人來完

成，甲每天加工的數量是乙每天加工數量的 １５倍，現兩人各加工 ３００個這種零件，甲比乙少用

５天．

（１）求甲、乙兩人每天各加工多少個這種零件？

（２）已知甲、乙兩人加工這種零件每天的加工費分別是 １５０元和 １２０元，現有 １５００個這種零件的加工

任務，甲單獨加工一段時間后另有安排，剩余任務由乙單獨完成．如果總加工費不超過 ７８００元，

那么甲至少加工多少天？

２２（１０分）如圖，在平面直角坐標系中，點 Ａ的坐標為（ｍ，０），ｍ＜０，點 Ｂ與點 Ａ關于原點對稱，直線

ｙ＝槡３ｘ與雙曲線 ｙ＝ｋ

ｘ交于 Ｃ，Ｄ（１，ｔ）兩點．

（１）求雙曲線的解析式；

（２）當四邊形 ＡＣＢＤ為矩形時，求 ｍ的值．

１９４ %(

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２３（１０分）如圖，ＡＢ是⊙Ｏ的直徑，點 Ｃ在⊙Ｏ上，連接 ＡＣ，ＢＣ，ＯＥ⊥ＡＣ于點 Ｅ，ＥＦ∥ＡＢ交 ＢＣ于點

Ｆ．

（１）尺規(guī)作圖：在 ＥＦ的延長線上作點 Ｄ，使得∠ＥＣＤ＝∠ＣＦＤ；

（２）求證：ＣＤ是⊙Ｏ的切線；

（３）若 ｓｉｎＡ＝３

５，ＢＣ＝６，求 ＣＤ的長．

２４（１２分）已知頂點為 Ｄ的拋物線 ｙ＝ａ（ｘ－３）２

（ａ≠０）交 ｙ軸于點 Ｃ（０，３），且與直線 ｌ交于不同的兩點

Ａ，Ｂ（Ａ，Ｂ不與點 Ｄ重合）．

（１）求拋物線的解析式；

（２）若∠ＡＤＢ＝９０°，

①試說明：直線 ｌ必過定點；

②過點 Ｄ作 ＤＦ⊥ｌ，垂足為點 Ｆ，求點 Ｃ到點 Ｆ的最短距離．

)LMNOPK １９５

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２５（１２分）如圖，平面直角坐標系 ｘＯｙ中，等腰△ＡＢＣ的底邊 ＢＣ在 ｘ軸上，ＢＣ＝８，頂點 Ａ在 ｙ的正半

軸上，ＯＡ＝２，一動點 Ｅ從（３，０）出發(fā)，以每秒 １個單位的速度沿 ＣＢ向左運動，到達 ＯＢ的中點停

止，另一動點 Ｆ從點 Ｃ出發(fā)，以相同的速度沿 ＣＢ向左運動，到達點 Ｏ停止，已知點 Ｅ，Ｆ同時出發(fā)，

以 ＥＦ為邊作正方形 ＥＦＧＨ，使正方形 ＥＦＧＨ和△ＡＢＣ在 ＢＣ的同側，設運動的時間為 ｔ秒（ｔ≥０）．

（１）當點 Ｈ落在 ＡＣ邊上時，求 ｔ的值；

（２）設正方形 ＥＦＧＨ與△ＡＢＣ重疊面積為 Ｓ，請求出當 ４≤ｔ≤５時，Ｓ關于 ｔ的函數關系式；

（３）如圖，取 ＡＣ的中點 Ｄ，連接 ＯＤ，當點 Ｅ，Ｆ開始運動時，點 Ｍ從點 Ｏ出發(fā)，以每秒 ２槡５個單位

的速度沿 ＯＤ－ＤＣ－ＣＤ－ＤＯ運動，到達點 Ｏ停止運動，請問在點 Ｅ的整個運動過程中，點 Ｍ可

能在正方形 ＥＦＧＨ內（含邊界）嗎？如果可能，求出點 Ｍ在正方形 ＥＦＧＨ內（含邊界）的時長；若不

可能，請說明理由．

１９６ %(

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

圖 １

答：海監(jiān)船追到可疑船只所用的時間為 ３＋槡３小時．

１６．（１）如圖 １所示為所求．

（２）設∠ＯＰＭ＝α，

∵線段 ＰＭ繞點 Ｐ順時針旋轉 １５０°得到線段 ＰＮ，

∴∠ＭＰＮ＝１５０°，ＰＭ＝ＰＮ，

∴∠ＯＰＮ＝∠ＭＰＮ－∠ＯＰＭ＝１５０°－α．

∵∠ＡＯＢ＝３０°，

∴∠ＯＭＰ＝１８０°－∠ＡＯＢ－∠ＯＰＭ＝１８０°－３０°－α＝１５０°－α，

∴∠ＯＭＰ＝∠ＯＰＮ．

（３）若 ＯＮ＝ＱＰ時 ａ＝２．證明如下：

過點 Ｎ作 ＮＣ⊥ＯＢ于點 Ｃ，過點 Ｐ作 ＰＤ⊥ＯＡ于點 Ｄ，如圖 ２．

圖 ２

∴∠ＮＣＰ＝∠ＰＤＭ＝∠ＰＤＱ＝９０°．

∵∠ＡＯＢ＝３０°，ＯＰ＝２，

∴ＰＤ＝１

２ＯＰ＝１，

∴ＯＤ＝槡ＯＰ２－ＰＤ２ ＝槡３．

∵ＯＨ＝槡３＋１，

∴ＤＨ＝ＯＨ－ＯＤ＝１．

∵∠ＯＭＰ＝∠ＯＰＮ，

∴１８０°－∠ＯＭＰ＝１８０°－∠ＯＰＮ，

即∠ＰＭＤ＝∠ＮＰＣ．

在△ＰＤＭ與△ＮＣＰ中，

∠ＰＤＭ＝∠ＮＣＰ，

∠ＰＭＤ＝∠ＮＰＣ， {ＰＭ＝ＮＰ，

∴△ＰＤＭ≌△ＮＣＰ（ＡＡＳ）．

∴ＰＤ＝ＮＣ，ＤＭ＝ＣＰ．

設 ＤＭ＝ＣＰ＝ｘ，則 ＯＣ＝ＯＰ＋ＰＣ＝２＋ｘ，ＭＨ＝ＭＤ＋ＤＨ＝ｘ＋１，

∵點 Ｍ關于點 Ｈ的對稱點為 Ｑ，

∴ＨＱ＝ＭＨ＝ｘ＋１，

∴ＤＱ＝ＤＨ＋ＨＱ＝１＋ｘ＋１＝２＋ｘ，

∴ＯＣ＝ＤＱ．

在△ＯＣＮ與△ＱＤＰ中，

ＯＣ＝ＱＤ，

∠ＯＣＮ＝∠ＱＤＰ＝９０°， {ＮＣ＝ＰＤ，

∴△ＯＣＮ≌△ＱＤＰ（ＳＡＳ）．

∴ＯＮ＝ＱＰ．

第五章 四邊形

第 １９講 多邊形與平行四邊形

知識梳理

定義：首尾順次 相等 相等

性質：（ｎ－２）·１８０° ３６０° ｎ（ｎ－３）

２ ３ 軸 偶數

性質：１．瓛 瓛 ２．∠Ｃ ∠Ｂ ３．ＯＣ ＯＤ ４．相等 ５．中心

判定：２． ＝ ＝ ３．相等 ∠Ａ＝∠Ｃ，∠Ｂ＝∠Ｄ ４．ＡＢ瓛ＣＤ或 ＡＤ瓛ＢＣ ５．互相平分 ＯＣ

典型例題

例 １ （１）△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ） （２）∠ＢＡＥ＝８０°

例 ２ （１）ＡＤ＝２槡６１ｃｍ，ＢＤ＝１０ｃｍ （２）Ｓ四邊形ＡＢＣＤ ＝１２０ｃｍ２ （３）ＢＨ＝６０槡６１

６１ ｃｍ 例 ３ 略

例 ４ ∵四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形，

∴ＡＤ＝ＢＣ，ＣＤ＝ＡＢ，ＤＣ∥ＡＢ，

∵ＡＤ＝３，ＡＢ＝ＣＦ＝２，

∴ＣＤ＝２，ＢＣ＝３，

∴ＢＦ＝ＢＣ＋ＣＦ＝５，

∵△ＢＥＦ是等邊三角形，Ｇ為 ＤＥ的中點，

∴ＢＦ＝ＢＥ＝５，ＤＧ＝ＥＧ，

延長 ＣＧ交 ＢＥ于點 Ｈ，

∵ＤＣ∥ＡＢ，

∴∠ＣＤＧ＝∠ＨＥＧ，

在△ＤＣＧ和△ＥＨＧ中，

!"#$ ２１７

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

∠ＣＤＧ＝∠ＨＥＧ，

ＤＧ＝ＥＧ， {∠ＤＧＣ＝∠ＥＧＨ，

∴△ＤＣＧ≌△ＥＨＧ（ＡＳＡ），

∴ＤＣ＝ＥＨ，ＣＧ＝ＨＧ，

∵ＣＤ＝２，ＢＥ＝５，

∴ＨＥ＝２，ＢＨ＝３，

∵∠ＣＢＨ＝６０°，ＢＣ＝ＢＨ＝３，

∴△ＣＢＨ是等邊三角形，

∴ＣＨ＝ＢＣ＝３，

∴ＣＧ＝１

２ＣＨ＝３

２．

基礎檢測

１．Ｄ ２．Ｄ ３．Ｂ ４．Ａ ５．Ａ ６．２６° ７．Ｄ ８．２０或 ２８ ９．２槡３ １０．８

１１．（１）∵ＡＤ∥ＢＣ，

∴∠ＤＡＦ＝∠Ｅ，

∵點 Ｆ是 ＣＤ的中點，

∴ＤＦ＝ＣＦ，

在△ＡＤＦ與△ＥＣＦ中，

∠ＤＡＦ＝∠Ｅ，

∠ＡＦＤ＝∠ＥＦＣ， {ＤＦ＝ＣＦ，

∴△ＡＤＦ≌△ＥＣＦ（ＡＡＳ）；

（２）∵△ＡＤＦ≌△ＥＣＦ，

∴ＡＤ＝ＥＣ，

∵ＣＥ＝ＢＣ，

∴ＡＤ＝ＢＣ，

∵ＡＤ∥ＢＣ，

∴四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形．

１２．（１）證明：∵四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形，

∴ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ＢＣ，

∵ＤＥ＝ＡＤ，

∴ＤＥ＝ＢＣ，ＤＥ∥ＢＣ，

∴四邊形 ＢＣＥＤ是平行四邊形；

（２）解：連接 ＢＥ，

∵ＤＡ＝ＤＢ＝２，ＤＥ＝ＡＤ，

∴ＡＤ＝ＢＤ＝ＤＥ＝２，

∴∠ＡＢＥ＝９０°，ＡＥ＝４，

∵ｃｏｓＡ＝１

４，

∴ＡＢ＝１，

∴ＢＥ＝槡ＡＥ２－ＡＢ２ ＝槡１５．

１３．（１）如圖 １，Ｆ點就是所求作的點：

（２）如圖 ２，點 Ｎ就是所求作的點：

第 ２０講 矩形

知識梳理

性質：１．ＯＣ ＯＤ

判定：１．∠Ａ（答案不唯一） ２．ＡＣ＝ＢＤ ３．∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°

典型例題

例 １ （１）∵平行四邊形 ＡＢＣＤ中，對角線 ＡＣ與 ＢＤ交于點 Ｏ，

∴ＡＯ＝ＣＯ，

又∵點 Ｍ，Ｎ分別為 ＯＡ，ＯＣ的中點，

∴ＡＭ＝ＣＮ，

∵四邊形 ＡＢＣＤ是平行四邊形，

∴ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ，

∴∠ＢＡＭ＝∠ＤＣＮ，

在△ＡＭＢ和△ＣＮＤ中，

２１８ &'

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

ＡＭ＝ＣＮ，

∠ＢＡＭ＝∠ＤＣＮ， {ＡＤ＝ＣＤ，

∴△ＡＭＢ≌△ＣＮＤ（ＳＡＳ）；

（２）∵△ＡＭＢ≌△ＣＮＤ，

∴ＢＭ＝ＤＮ，∠ＡＢＭ＝∠ＣＤＮ，

又∵ＢＭ＝ＥＭ，

∴ＤＮ＝ＥＭ，

∵ＡＢ∥ＣＤ，

∴∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＯ，

∴∠ＭＢＯ＝∠ＮＤＯ，

∴ＭＥ∥ＤＮ．

∴四邊形 ＤＥＭＮ是平行四邊形，

∵ＢＤ＝２ＡＢ，ＢＤ＝２ＢＯ，

∴ＡＢ＝ＯＢ，

又∵Ｍ是 ＡＯ的中點，

∴ＢＭ⊥ＡＯ，

∴∠ＥＭＮ＝９０°，

∴四邊形 ＤＥＭＮ是矩形，

∵ＡＢ＝５，ＤＮ＝ＢＭ＝４，

∴ＡＭ＝３＝ＭＯ，

∴ＭＮ＝６，

∴矩形 ＤＥＭＮ的面積 ＝６×４＝２４．

例 ２ （１）∵四邊形 ＡＢＣＤ是矩形，

∴ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ．

由折疊的性質可得：ＢＣ＝ＣＥ，ＡＢ＝ＡＥ，

∴ＡＤ＝ＣＥ，ＡＥ＝ＣＤ．

在△ＡＤＥ和△ＣＥＤ中，

ＡＤ＝ＣＥ，

ＡＥ＝ＣＤ， {ＤＥ＝ＥＤ，

∴△ＡＤＥ≌△ＣＥＤ（ＳＳＳ）．

（２）由（１）得△ＡＤＥ≌△ＣＥＤ，

∴∠ＤＥＡ＝∠ＥＤＣ，即∠ＤＥＦ＝∠ＥＤＦ．

∴ＥＦ＝ＤＦ．

∴△ＤＥＦ是等腰三角形．

（３）５６°

例 ３ 連接 ＤＭ，過點 Ｅ作 ＥＧ⊥ＢＣ于點 Ｇ，

設 ＤＥ＝ｘ＝ＥＭ，則 ＥＡ＝２－ｘ，

∵ＡＥ２＋ＡＭ２＝ＥＭ２

，

∴（２－ｘ）２＋ｔ２＝ｘ２

，

解得 ｘ＝ｔ２

４＋１，

∴ＤＥ＝ｔ２

４＋１，

∵折疊矩形紙片 ＡＢＣＤ，使點 Ｄ落在 ＡＢ邊的點 Ｍ處，

∴ＥＦ⊥ＤＭ，

∠ＡＤＭ＋∠ＤＥＦ＝９０°，

∵ＥＧ⊥ＡＤ，

∴∠ＤＥＦ＋∠ＦＥＧ＝９０°，

∴∠ＡＤＭ＝∠ＦＥＧ，

∴ｔａｎ∠ＡＤＭ＝ＡＭ

ＡＤ＝ ｔ

２＝ＦＧ

１，

∴ＦＧ＝ ｔ

２，

∵ＣＧ＝ＤＥ＝ｔ２

４＋１，

∴ＣＦ＝ｔ２

４－ ｔ

２＋１，

∴Ｓ四邊形ＣＤＥＦ ＝１

２（ＣＦ＋ＤＥ）×１＝１

４ｔ２－１

４ｔ＋１．

基礎檢測

１．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｂ ４．Ｂ ５．３０° ６．３槡３ ７． ４

３ ８．Ｂ ９．Ｄ １０．Ｃ １１．Ｃ

１２．（１）ＢＤ＝ＣＤ．可由四邊形 ＡＦＢＤ是平行四邊形及△ＡＦＥ≌△ＤＣＥ得到 ＢＤ＝ＡＦ＝ＣＤ．

（２）當 ＡＢ＝ＡＣ時，四邊形 ＡＦＢＤ是矩形．

!"#$ ２１９

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

１３．（１）證明：由折疊可知，ＡＤ＝ＥＤ，∠ＢＣＯ＝∠ＤＣＯ＝∠ＡＤＯ＝∠ＣＤＯ＝４５°

∴ＢＣ＝ＤＥ，∠ＣＯＤ＝９０°，ＯＣ＝ＯＤ，

在△ＯＢＣ≌△ＯＥＤ中，

ＯＣ＝ＯＤ，

∠ＯＣＢ＝∠ＯＤＥ， {ＢＣ＝ＤＥ，

∴△ＯＢＣ≌△ＯＥＤ（ＳＡＳ）；

（２）過點 Ｏ作 ＯＨ⊥ＣＤ于點 Ｈ．

由（１）△ＯＢＣ≌△ＯＥＤ知，

ＯＥ＝ＯＢ，

∵ＢＣ＝ｘ，則 ＡＤ＝ＤＥ＝ｘ，

∴ＣＥ＝８－ｘ，

∵ＯＣ＝ＯＤ，∠ＣＯＤ＝９０°

∴ＣＨ＝１

２ＣＤ＝１

２ＡＢ＝１

２×８＝４，

ＯＨ＝１

２ＣＤ＝４，

∴ＥＨ＝ＣＨ－ＣＥ＝４－（８－ｘ）＝ｘ－４

在 Ｒｔ△ＯＨＥ中，由勾股定理得

ＯＥ２＝ＯＨ２＋ＥＨ２

，

即 ＯＢ２＝４２＋（ｘ－４）２

，

∴ｙ關于 ｘ的關系式為：ｙ＝ｘ２－８ｘ＋３２．

第 ２１講 菱形

知識梳理

性質：１．①ＡＤ＝ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ ②垂直平分

判定：①ＡＤ＝ＡＢ ②ＡＣ⊥ＢＤ ③ＡＢ＝ＡＤ＝ＤＣ＝ＣＢ

典型例題

例 １ （１）∵四邊形 ＡＢＣＤ是菱形，

∴ＢＤ⊥ＡＣ，∠ＤＡＯ＝∠ＢＡＯ，

∵Ｅ是 ＡＤ的中點，

∴ＡＥ＝ＯＥ＝１

２ＡＤ，

∴∠ＥＡＯ＝∠ＡＯＥ，

∴∠ＡＯＥ＝∠ＢＡＯ，

∴ＯＥ∥ＦＧ，

∵ＯＧ∥ＥＦ，

∴四邊形 ＯＥＦＧ是平行四邊形，

∵ＥＦ⊥ＡＢ，

∴∠ＥＦＧ＝９０°，

∴四邊形 ＯＥＦＧ是矩形；

（２）∵四邊形 ＡＢＣＤ是菱形，

∴ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＢ＝ＡＤ＝１０，

∴∠ＡＯＤ＝９０°，

∵Ｅ是 ＡＤ的中點，

∴ＯＥ＝ＡＥ＝１

２ＡＤ＝５；

由（１）知，四邊形 ＯＥＦＧ是矩形，

∴ＦＧ＝ＯＥ＝５，

∵ＡＥ＝５，ＥＦ＝４，

∴ＡＦ＝槡ＡＥ２－ＥＦ２ ＝３，

∴ＢＧ＝ＡＢ－ＡＦ－ＦＧ＝１０－３－５＝２．

∴ＯＥ＝５，ＢＧ＝２．

例 ２ （１）證明：由題意可得△ＢＣＥ≌△ＢＦＥ，

∴∠ＢＥＣ＝∠ＢＥＦ，ＦＥ＝ＣＥ．

∵ＦＧ∥ＣＥ，

∴∠ＦＧＥ＝∠ＣＥＢ，

∴∠ＦＧＥ＝∠ＦＥＧ，

∴ＦＧ＝ＦＥ，

∴ＦＧ＝ＥＣ，

∴四邊形 ＣＥＦＧ是平行四邊形．

又∵ＣＥ＝ＦＥ，

∴四邊形 ＣＥＦＧ是菱形；

（２）∵矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝１０，ＢＣ＝ＢＦ，

∴∠ＢＡＦ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ＝ＢＦ＝１０，

２２０ &'

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

∴

Ａ

Ｆ

＝

８

，

∴

Ｄ

Ｆ

＝

２

．

設

Ｅ

Ｆ

＝

ｘ

，

則

ＣＥ

＝

ｘ

，

Ｄ

Ｅ

＝

６

－

ｘ

，

∵

∠

ＦＤ

Ｅ

＝

９

０

°

，

∴

２

２

＋

（

６

－

ｘ

）

２

＝

ｘ

２

，

解

得

ｘ

＝

１

０３

，

∴

ＣＥ

＝

１

０３

，

∴

四

邊

形

ＣＥ

Ｆ

Ｇ

的

面

積

為

ＣＥ

·

Ｄ

Ｆ

＝

１

０３

×

２

＝

２

０３

．

例

３

（

１

）

如

圖

所

示

：

點

Ｃ

即

為

所

求

；

（

２

）

①

證

明

：

∵

∠

Ａ

Ｂ

Ｄ

＝

∠

Ａ

Ｄ

Ｂ

，

∴

Ａ

Ｂ

＝

Ａ

Ｄ

，

∵

Ｃ

是

點

Ａ

關

于

Ｂ

Ｄ

的

對

稱

點

，

∴

ＣＢ

＝

Ａ

Ｂ

，

ＣＤ

＝

Ａ

Ｄ

，

∴

Ａ

Ｂ

＝

Ｂ

Ｃ

＝

ＣＤ

＝

Ａ

Ｄ

，

∴

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

菱

形

；

②

過

Ｂ

點

作

Ｂ

Ｆ

⊥

Ａ

Ｄ

于

Ｆ

，

∵

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

菱

形

，

∴

Ａ

Ｃ

⊥

Ｂ

Ｄ

，

Ｏ

Ｂ

＝

１２

Ｂ

Ｄ

＝

５

，

∵

Ｅ

是

Ｂ

Ｃ

的

中

點

，

∴

Ｂ

Ｃ

＝

２

Ｏ

Ｅ

＝

１

３

，

∴

Ｏ

Ｃ

＝

槡

Ｂ

Ｃ

２

－

Ｏ

Ｂ

２

＝

１

２

，

∴

ＯＡ

＝

１

２

，

∵

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

菱

形

，

∴

Ａ

Ｄ

＝

１

３

，

∴

Ｂ

Ｆ

＝

１２

×

１

２

×

５

×

２

×

２

÷

１

３

＝

１

２

０

１

３

，

故

點

Ｅ

到

Ａ

Ｄ

的

距

離

是

１

２

０

１

３

．

基

礎

檢

測

１

．

１

８

槡

３

２

．

Ｂ

３

．

Ｃ

４

．

４

５

°

５

．

Ｂ

６

．

（

２

槡

３

－

３

，

２

－

槡

３

）

７

．

４３

π

８

．

（

１

）

證

明

：

∵

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

平

行

四

邊

形

，

∴

Ａ

Ｄ

＝

ＣＢ

，

Ａ

Ｄ

∥

Ｂ

Ｃ

，

∴

∠

Ａ

Ｄ

Ｂ

＝

∠

ＣＢ

Ｄ

，

∴

∠

Ａ

Ｄ

Ｅ

＝

∠

ＣＢ

Ｆ

．

在

△

Ａ

Ｄ

Ｅ

和

△

ＣＢ

Ｆ

中

，

Ａ

Ｄ

＝

ＣＢ

，

∠

Ａ

Ｄ

Ｅ

＝

∠

ＣＢ

Ｆ

，

{

Ｄ

Ｅ

＝

Ｂ

Ｆ

，

∴

△

Ａ

Ｄ

Ｅ

≌

△

ＣＢ

Ｆ

（

Ｓ

Ａ

Ｓ

）

．

（

２

）

解

：

當

Ｂ

Ｄ

平

分

∠

Ａ

Ｂ

Ｃ

時

，

四

邊

形

Ａ

Ｆ

ＣＥ

是

菱

形

．

理

由

：

∵

Ｂ

Ｄ

平

分

∠

Ａ

Ｂ

Ｃ

，

∴

∠

Ａ

Ｂ

Ｄ

＝

∠

ＣＢ

Ｄ

．

∵

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

平

行

四

邊

形

，

∴

ＯＡ

＝

Ｏ

Ｃ

，

Ｏ

Ｂ

＝

Ｏ

Ｄ

，

Ａ

Ｄ

∥

Ｂ

Ｃ

．

∴

∠

Ａ

Ｄ

Ｂ

＝

∠

ＣＢ

Ｄ

，

∴

∠

Ａ

Ｂ

Ｄ

＝

∠

Ａ

Ｄ

Ｂ

．

∴

Ａ

Ｂ

＝

Ａ

Ｄ

，

∴

平

行

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

菱

形

，

∴

Ａ

Ｃ

⊥

Ｂ

Ｄ

，

∴

Ａ

Ｃ

⊥

Ｅ

Ｆ

．

∵

Ｄ

Ｅ

＝

Ｂ

Ｆ

，

∴

Ｏ

Ｅ

＝

Ｏ

Ｆ

．

又

∵

ＯＡ

＝

Ｏ

Ｃ

，

∴

四

邊

形

Ａ

Ｆ

ＣＥ

是

平

行

四

邊

形

．

∵

Ａ

Ｃ

⊥

Ｅ

Ｆ

，

∴

四

邊

形

Ａ

Ｆ

ＣＥ

是

菱

形

．

９

．

（

１

）

證

明

：

∵

Ａ

Ｂ

∥

ＣＤ

，

∴

∠

ＣＡ

Ｂ

＝

∠

Ａ

ＣＤ

．

∵

Ａ

Ｃ

平

分

∠

ＢＡ

Ｄ

，

∴

∠

ＣＡ

Ｂ

＝

∠

ＣＡ

Ｄ

，

∴

∠

ＣＡ

Ｄ

＝

∠

Ａ

ＣＤ

，

∴

Ａ

Ｄ

＝

ＣＤ

．

又

∵

Ａ

Ｄ

＝

Ａ

Ｂ

，

∴

Ａ

Ｂ

＝

ＣＤ

．

又

∵

Ａ

Ｂ

∥

ＣＤ

，

∴

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

平

行

四

邊

形

．

又

∵

Ａ

Ｂ

＝

Ａ

Ｄ

，

∴



Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

菱

形

．

!

"

#

$

２

２

１

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

（

２

）

解

：

∵

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

菱

形

，

對

角

線

Ａ

Ｃ

，

Ｂ

Ｄ

交

于

點

Ｏ

，

∴

Ａ

Ｃ

⊥

Ｂ

Ｄ

，

ＯＡ

＝

Ｏ

Ｃ

＝

１２

Ａ

Ｃ

，

Ｏ

Ｂ

＝

Ｏ

Ｄ

＝

１２

Ｂ

Ｄ

，

∴

Ｏ

Ｂ

＝

１２

Ｂ

Ｄ

＝

１

．

在

Ｒ

ｔ

△

Ａ

Ｏ

Ｂ

中

，

∠

Ａ

Ｏ

Ｂ

＝

９

０

°

，

∴

ＯＡ

＝

槡

Ａ

Ｂ

２

－

Ｏ

Ｂ

２

＝

２

．

∵

ＣＥ

⊥

Ａ

Ｂ

，

∴

∠

Ａ

Ｅ

Ｃ

＝

９

０

°

．

在

Ｒ

ｔ

△

Ａ

Ｅ

Ｃ

中

，

∠

Ａ

Ｅ

Ｃ

＝

９

０

°

，

Ｏ

為

Ａ

Ｃ

中

點

，

∴

Ｏ

Ｅ

＝

１２

Ａ

Ｃ

＝

ＯＡ

＝

２

．

１

０

．

（

１

）

證

明

：

∵

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

平

行

四

邊

形

，

∴

Ａ

Ｆ

∥

Ｂ

Ｅ

，

∵

Ａ

Ｆ

＝

Ｂ

Ｅ

，

∴

四

邊

形

Ａ

Ｂ

Ｅ

Ｆ

是

平

行

四

邊

形

，

∵

ＢＡ

＝

Ｂ

Ｅ

，

∴

四

邊

形

Ａ

Ｂ

Ｅ

Ｆ

是

菱

形

；

（

２

）

如

圖

所

示

：

點

Ｐ

即

為

所

求

．

１

１

．

（

１

）

∵

ＣＥ

∥

Ｂ

Ｄ

，

Ｄ

Ｅ

∥

Ａ

Ｃ

，

∴

四

邊

形

Ｏ

Ｄ

Ｅ

Ｃ

是

平

行

四

邊

形

．

∵

Ａ

Ｃ

⊥

Ｂ

Ｄ

，

∴

∠

Ｄ

Ｏ

Ｃ

＝

９

０

°

．

∴

四

邊

形

Ｏ

Ｄ

Ｅ

Ｃ

是

矩

形

．

（

２

）

如

圖

，

過

點

Ｅ

作

Ｅ

Ｆ

⊥

Ａ

Ｄ

，

交

Ａ

Ｄ

的

延

長

線

于

Ｆ

．

∵

Ａ

Ｃ

⊥

Ｂ

Ｄ

，

∠

Ａ

Ｄ

Ｂ

＝

６

０

°

，

Ａ

Ｄ

＝

２

槡

３

，

∴

Ｏ

Ｄ

＝

槡

３

，

Ａ

Ｏ

＝

Ｏ

Ｃ

＝

３

．

∵

四

邊

形

Ｏ

Ｄ

Ｅ

Ｃ

是

矩

形

，

∴

Ｄ

Ｅ

＝

Ｏ

Ｃ

＝

３

，

∠

Ｏ

Ｄ

Ｅ

＝

９

０

°

．

又

∵

∠

Ａ

Ｄ

Ｏ

＋

∠

Ｏ

Ｄ

Ｅ

＋

∠

ＥＤ

Ｆ

＝

１

８

０

°

，

∴

∠

ＥＤ

Ｆ

＝

３

０

°

．

在

Ｒ

ｔ

△

Ｄ

Ｅ

Ｆ

中

，

∠

Ｆ

＝

９

０

°

，

∠

ＥＤ

Ｆ

＝

３

０

°

，

∴

Ｅ

Ｆ

＝

１２

Ｄ

Ｅ

＝

３２

，

Ｄ

Ｆ

＝

３２

槡

３

．

在

Ｒ

ｔ

△

Ａ

ＦＥ

中

，

∠

Ｄ

ＦＥ

＝

９

０

°

，

∴

ｔ

ａ

ｎ

∠

ＥＡ

Ｄ

＝

Ｅ

Ｆ

Ａ

Ｆ

＝

Ｅ

Ｆ

Ａ

Ｄ

＋

Ｄ

Ｆ

＝

３２

２

槡

３

＋

３２

槡

３

＝

槡

３７

．

第

２

２

講

特

殊

平

行

四

邊

形

的

綜

合

應

用

知

識

梳

理

性

質

：

１

．

②

⊥

Ｂ

Ｏ

＝

Ｃ

Ｏ

＝

Ｄ

Ｏ

判

定

：

①

矩

形

②

菱

形

③

矩

形

④

⊥

圖

１

圖

２

典

型

例

題

例

１

（

１

）

證

明

：

（

方

法

１

）

∵

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

正

方

形

，

∴

ＯＡ

＝

Ｏ

Ｂ

，

∠

ＤＡ

Ｏ

＝

４

５

°

，

∠

Ｏ

ＢＡ

＝

４

５

°

．

則

∠

ＯＡ

Ｍ

＝

∠

Ｏ

Ｂ

Ｎ

＝

１

３

５

°

．

∵

∠

Ｅ

Ｏ

Ｆ

＝

９

０

°

，

∠

Ａ

Ｏ

Ｂ

＝

９

０

°

，

∴

∠

Ａ

Ｏ

Ｍ

＝

∠

Ｂ

Ｏ

Ｎ

，

則

△

ＯＡ

Ｍ

≌

△

Ｏ

Ｂ

Ｎ

（

Ａ

Ｓ

Ａ

）

，

即

Ｏ

Ｍ

＝

Ｏ

Ｎ．

（

方

法

２

）

如

圖

１

．

∵

∠

Ｍ

Ｏ

Ｎ

＝

９

０

°

，

∠

ＭＡ

Ｎ

＝

９

０

°

，

∴

點

Ｍ

，

Ａ

，

Ｏ

，

Ｎ

四

點

共

圓

．

則

∠

Ｏ

ＭＮ

＝

∠

ＯＡ

Ｂ

＝

４

５

°

，

即

Ｏ

Ｍ

＝

Ｏ

Ｎ

，

（

２

）

如

圖

２

，

過

點

Ｏ

作

Ｏ

Ｈ

⊥

Ａ

Ｄ

于

點

Ｈ

，

∵

正

方

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

的

邊

長

為

４

，

∴

Ｏ

Ｈ

＝

２

，

ＨＡ

＝

２

．

∵

Ｅ

為

Ｏ

Ｍ

的

中

點

，

∴

ＨＭ

＝

４

，

則

Ｏ

Ｍ

＝

槡

２

２

＋

４

２

＝

２

槡

５

．

即

ＭＮ

＝

槡

２

Ｏ

Ｍ

＝

２

槡

１

０

．

例

２

（

１

）

四

邊

形

Ａ

ＦＨＥ

是

正

方

形

，

理

由

如

下

：

∵

Ｒ

ｔ

△

Ａ

Ｂ

Ｅ

繞

Ａ

點

逆

時

針

方

向

旋

轉

９

０

°

得

到

△

Ａ

Ｄ

Ｆ

，

∴

Ｒ

ｔ

△

Ａ

Ｂ

Ｅ

≌

Ｒ

ｔ

△

Ａ

Ｄ

Ｆ

，

∴

∠

Ａ

ＥＢ

＝

∠

Ａ

ＦＤ

＝

９

０

°

，

２

２

２

&

'

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

∴∠ＡＦＨ＝９０°．

∵Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＡＤＦ，

∴∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＥ．

又∵∠ＤＡＦ＋∠ＦＡＢ＝９０°，

∴∠ＢＡＥ＋∠ＦＡＢ＝９０°，

∴∠ＦＡＥ＝９０°．

在四邊形 ＡＦＨＥ中，∠ＦＡＥ＝９０°，∠ＡＥＢ＝９０°，∠ＡＦＨ＝９０°，

∴四邊形 ＡＦＨＥ是矩形．

又∵ＡＥ＝ＡＦ，∴矩形 ＡＦＨＥ是正方形；

（２）設 ＡＥ＝ｘ，則由（１）以及題意可知 ＡＥ＝ＥＨ＝ＦＨ＝ＡＦ＝ｘ，ＢＨ＝７，ＢＣ＝ＡＢ＝１３．

在 Ｒｔ△ＡＥＢ中，ＡＢ２＝ＡＥ２＋ＢＥ２

，

即 １３２＝ｘ２＋（ｘ＋７）２

，

解得 ｘ＝５．

∴ＢＥ＝ＢＨ＋ＥＨ＝５＋７＝１２，

∴ＤＦ＝ＢＥ＝１２．

又∵ＤＨ＝ＤＦ＋ＦＨ，

∴ＤＨ＝１２＋５＝１７．

例 ３ （１）證明：如圖 １．

∵四邊形 ＤＥＦＧ是正方形，

∴∠ＤＣＥ＝９０°，ＣＤ＝ＣＥ．

∵∠ＡＣＢ＝９０°，

∴∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ＝９０°－∠ＢＣＤ．

在△ＡＣＤ和△ＢＣＥ中，

ＡＣ＝ＢＣ，

∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ， {ＣＤ＝ＣＥ，

∴△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）；

（２）解：如圖 ２，過點 Ｍ作 ＭＨ⊥ＡＤ于點 Ｈ，則∠ＡＨＭ＝∠ＤＨＭ＝９０°．

∵∠ＤＣＧ＝９０°，ＣＤ＝ＣＧ，

∴∠ＣＤＧ＝∠ＣＧＤ＝４５°．

∵∠ＡＤＣ＝９０°，

∴∠ＭＤＨ＝９０°－４５°＝４５°，

∴ＭＨ＝ＤＨ·ｔａｎ４５°＝ＤＨ．

∵ＣＤ＝ＤＧ·ｓｉｎ４５°＝２×槡２

２＝槡２，ＡＣ＝２槡５，

∴ＡＤ＝槡（２槡５）２－（槡２）２ ＝３槡２，

∴ＭＨ

ＡＨ＝ＣＤ

ＡＤ＝ｔａｎ∠ＣＡＤ＝槡２

３槡２

＝１

３，

∴ＡＨ＝３ＭＨ＝３ＤＨ，

∴３ＤＨ＋ＤＨ＝３槡２，

∴ＭＨ＝ＤＨ＝３槡２

４ ．

∵ＭＨ

ＡＭ＝ＣＤ

ＡＣ＝ｓｉｎ∠ＣＡＤ＝槡２

２槡５

＝ １

槡１０

，

∴ＡＭ＝槡１０ＭＨ＝槡１０×３槡２

４ ＝３槡５

２ ；

（３）解：如圖 ３，Ａ，Ｄ，Ｅ三點在同一直線上，且點 Ｄ在點 Ａ和點 Ｅ之間．

∵ＣＤ＝ＣＥ＝ＣＦ，∠ＤＣＥ＝∠ＥＣＦ＝９０°，

∴∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝∠ＣＥＦ＝∠ＣＦＥ＝４５°；

由△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ，得∠ＢＥＣ＝∠ＡＤＣ＝１３５°，

∴∠ＢＥＣ＋∠ＣＥＦ＝１８０°，

∴點 Ｂ，Ｅ，Ｆ在同一條直線上，

∴∠ＡＥＢ＝９０°．

∵ＡＥ２＋ＢＥ２＝ＡＢ２

，且 ＤＥ＝２，ＡＤ＝ＢＥ，

∴（ＡＤ＋２）２＋ＡＤ２＝（２槡５）２＋（２槡５）２

，

解得 ＡＤ＝－１＋槡１９或 ＡＤ＝－１－槡１９（不符合題意，舍去）；

如圖 ４，Ａ，Ｄ，Ｅ三點在同一直線上，且點 Ｄ在 ＡＥ的延長線上．

∵∠ＢＣＦ＝∠ＡＣＥ＝９０°－∠ＡＣＦ，ＢＣ＝ＡＣ，ＣＦ＝ＣＥ，

∴△ＢＣＦ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ），

∴∠ＢＦＣ＝∠ＡＥＣ．

∵∠ＣＦＥ＝∠ＣＥＤ＝４５°，

∴∠ＢＦＣ＋∠ＣＦＥ＝∠ＡＥＣ＋∠ＣＥＤ＝１８０°，

∴點 Ｂ，Ｆ，Ｅ在同一條直線上，

!"#$ ２２３

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

∵ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ＝９０°＋∠ＡＣＥ，ＣＤ＝ＣＥ，

∴△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ），

∴ＡＤ＝ＢＥ．

∵ＡＥ２＋ＢＥ２＝ＡＢ２

，

∴（ＡＤ－２）２＋ＡＤ２＝（２槡５）２＋（２槡５）２

，

解得 ＡＤ＝１＋槡１９或 ＡＤ＝１－槡１９（不符合題意，舍去）．

綜上所述，ＡＤ的長為 槡１９－１或 槡１９＋１．

基礎檢測

１．Ｄ ２． １

２ ３．Ａ ４．Ａ ５．５６

１１ ６．Ｃ ７．Ａ ８．①②④ ９．①②③

１０．（１）平行四邊形 （２）平行四邊形 （３）由上至下依次為①任意四邊形 ②菱形 ③對角線互相垂直的四邊形

④對角線相等的四邊形

１１．（１）證明：連接 ＤＦ．

∵Ａ，Ｆ關于 ＤＥ對稱，∴ＡＤ＝ＦＤ，ＡＥ＝ＦＥ．

在△ＡＤＥ和△ＦＤＥ中，

ＡＤ＝ＦＤ，

ＡＥ＝ＦＥ， {ＤＥ＝ＤＥ，

∴△ＡＤＥ≌△ＦＤＥ．∴∠ＤＡＥ＝∠ＤＦＥ．

∵四邊形 ＡＢＣＤ是正方形，

∴∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＤ＝ＣＤ，∴∠ＤＦＥ＝∠Ａ＝９０°，

∴∠ＤＦＧ＝１８０°－∠ＤＦＥ＝９０°，

∴∠ＤＦＧ＝∠Ｃ，

∵ＡＤ＝ＤＦ，ＡＤ＝ＣＤ，∴ＤＦ＝ＣＤ．

在 Ｒｔ△ＤＣＧ和 Ｒｔ△ＤＦＧ中， ＤＣ＝ＤＦ， {ＤＧ＝ＤＧ，

∴Ｒｔ△ＤＣＧ≌Ｒｔ△ＤＦＧ．

∴ＣＧ＝ＦＧ．

（２）ＢＨ＝槡２ＡＥ．

證明：在 ＡＤ上取點 Ｍ使得 ＡＭ＝ＡＥ，連接 ＭＥ．

∵四這形 ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＤ＝ＡＢ，∠Ａ＝∠ＡＤＣ＝９０°．

∵△ＤＡＥ≌△ＤＦＥ，∴∠ＡＤＥ＝∠ＦＤＥ．同理∠ＣＤＧ＝∠ＦＤＧ．∴∠ＥＤＧ＝∠ＥＤＦ ＋

∠ＧＤＦ＝１

２∠ＡＤＦ＋１

２∠ＣＤＦ＝１

２∠ＡＤＣ＝４５°．

∵ＤＥ⊥ＥＨ，∴∠ＤＥＨ＝９０°，∴∠ＥＨＤ＝１８０°－∠ＤＥＨ－∠ＥＤＨ＝４５°．

∴∠ＥＨＤ＝∠ＥＤＨ，∴ＤＥ＝ＥＨ．

∵∠Ａ＝９０°，∴∠ＡＤＥ＋∠ＡＥＤ＝９０°．

∵∠ＤＥＨ＝９０°，

∴∠ＡＥＤ＋∠ＢＥＨ＝９０°，∴∠ＡＤＥ＝∠ＢＥＨ．

∵ＡＤ＝ＡＢ，ＡＭ＝ＡＥ，∴ＤＭ＝ＥＢ．

在△ＤＭＥ和△ＥＢＨ中，

ＤＭ＝ＥＢ，

∠ＭＤＥ＝∠ＢＥＨ， {ＤＥ＝ＥＨ，

∴△ＤＭＥ≌△ＥＢＨ．∴ＭＥ＝ＢＨ．

在 Ｒｔ△ＡＭＥ中，∠Ａ＝９０°，ＡＥ＝ＡＭ．∴ＭＥ＝槡ＡＥ２＋ＡＭ２ ＝槡２ＡＥ，∴ＢＨ＝槡２ＡＥ．

１２．（１）由正方形性質可得∠ＣＢＦ＝９０°，∴△ＣＤＥ≌△ＣＢＦ（ＡＳＡ）；

（２）由△ＧＢＦ∽△ＥＡＦ可得ＢＧ

ＥＡ＝ＢＦ

ＡＦ，由（１）得 ＢＦ＝ＤＥ＝１

２，∴ＣＧ＝ＢＣ－ＢＧ＝５

６；

（３）不能．理由：若四邊形 ＣＥＡＧ是平行四邊形，則必需滿足 ＡＥ∥ＣＧ，ＡＥ＝ＣＧ，但由條件可得∠ＣＦＡ＝∠ＧＦＢ＋

∠ＣＦＥ＝９０°，此時點 Ｆ與點 Ｂ重合，點 Ｄ與點 Ｅ重合，與題目條件不符．

１３．（１）證明：∵將△ＡＢＥ沿直線 ＡＥ折疊，點 Ｂ落在 Ｆ處，

∴∠ＢＡＧ＝∠ＧＡＦ＝１

２∠ＢＡＦ，Ｂ，Ｆ關于 ＡＥ對稱，

∴ＡＧ⊥ＢＦ，∴∠ＡＧＦ＝９０°．

∵ＡＨ平分∠ＤＡＦ，∴∠ＦＡＨ＝１

２∠ＦＡＤ，

∴∠ＥＡＨ＝∠ＧＡＦ＋∠ＦＡＨ＝１

２∠ＢＡＦ＋１

２∠ＦＡＤ＝１

２（∠ＢＡＦ＋∠ＦＡＤ）＝１

２∠ＢＡＤ．

∵四邊形 ＡＢＣＤ是正方形，

∴∠ＢＡＤ＝９０°，

∴∠ＥＡＨ＝１

２∠ＢＡＤ＝４５°．

∵∠ＨＧＡ＝９０°，

∴ＧＡ＝ＧＨ；

（２）解：如圖 １，連接 ＤＨ，ＤＦ，交 ＡＨ于點 Ｎ，

由（１）可知 ＡＦ＝ＡＤ，∠ＦＡＨ＝∠ＤＡＨ，

∴ＡＨ⊥ＤＦ，ＦＮ＝ＤＮ，

∴ＤＨ＝ＨＦ，∠ＦＮＨ＝∠ＤＮＨ＝９０°．

２２４ &'

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

又∵∠ＧＨＡ＝４５°，

∴∠ＮＦＨ＝４５°＝∠ＮＤＨ＝∠ＤＨＮ，

∴∠ＤＨＦ＝９０°，

∴ＤＨ的長為點 Ｄ到直線 ＢＨ的距離，

由（１）知 ＡＥ２＝ＡＢ２＋ＢＥ２

，

∴ＡＥ＝槡ＡＢ２＋ＢＥ２ ＝槡３２＋１２ ＝槡１０．

∵∠ＢＡＥ＋∠ＡＥＢ＝∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＧ＝９０°，

∴∠ＡＥＢ＝∠ＡＢＧ．

又∠ＡＧＢ＝∠ＡＢＥ＝９０°，

∴△ＡＥＢ∽△ＡＢＧ，

∴ＡＧ

ＡＢ＝ＡＢ

ＡＥ

，ＢＧ

ＢＥ＝ＡＢ

ＡＥ

，

∴ＡＧ＝ＡＢ２

ＡＥ＝ ９

槡１０

＝９槡１０

１０ ，ＢＧ＝ＡＢ·ＢＥ

ＡＥ ＝３×１

槡１０

＝３槡１０

１０ ，

由（１）知 ＧＦ＝ＢＧ，ＡＧ＝ＧＨ，

∴ＧＦ＝３槡１０

１０ ，ＧＨ＝９槡１０

１０ ，

∴ＤＨ＝ＦＨ＝ＧＨ－ＧＦ＝９槡１０

１０ －３槡１０

１０ ＝３槡１０

５ ．

即點 Ｄ到直線 ＢＨ的距離為３槡１０

５ ；

（３）解：不變．理由如下：

方法一：連接 ＢＤ，如圖 ２．

在 Ｒｔ△ＨＤＦ中，ＤＨ

ＤＦ＝ｓｉｎ４５°＝槡２

２，

在 Ｒｔ△ＢＣＤ中，ＣＤ

ＢＤ＝ｓｉｎ４５°＝槡２

２，

∴ＤＨ

ＤＦ＝ＣＤ

ＢＤ．

∵∠ＢＤＦ＋∠ＣＤＦ＝４５°，∠ＦＤＣ＋∠ＣＤＨ＝４５°，

∴∠ＢＤＦ＝∠ＣＤＨ，∴△ＢＤＦ∽△ＣＤＨ，∴∠ＣＨＤ＝∠ＢＦＤ．

∵∠ＤＦＨ＝４５°，∴∠ＢＦＤ＝１３５°＝∠ＣＨＤ．

∵∠ＢＨＤ＝９０°，

∴∠ＢＨＣ＝∠ＣＨＤ－∠ＢＨＤ＝１３５°－９０°＝４５°．

方法二：

∵∠ＢＣＤ＝９０°，∠ＢＨＤ＝９０°，

∴點 Ｂ，Ｃ，Ｈ，Ｄ四點共圓，

∴∠ＢＨＣ＝∠ＢＤＣ＝４５°，

∴∠ＢＨＣ的度數不變．

第五章 《四邊形》測試題

１．Ｃ ２．Ｄ ３．Ｄ ４．Ｄ ５．Ｃ ６．Ｂ ７．Ｃ ８．Ｄ ９．Ｄ １０．Ｂ

１１．１０ １２．４２５° １３．２槡２ １４．槡５

３ １５．（４７，１６） １６．Ｂ

１７．（１）證明：∵ＢＥ＝ＣＦ，

∴ＢＥ＋ＥＣ＝ＣＦ＋ＥＣ，

∴ＢＣ＝ＥＦ，

在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，

ＡＢ＝ＤＥ，

ＡＣ＝ＤＦ， {ＢＣ＝ＥＦ，

∴△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＳＳＳ）；

（２）證明：由（１）得：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，

∴∠Ｂ＝∠ＤＥＦ，

∴ＡＢ∥ＤＥ，

又∵ＡＢ＝ＤＥ，

∴四邊形 ＡＢＥＤ是平行四邊形．

１８．（１）證明：如圖 １中，

圖 １

∵四邊形 ＡＢＣＤ是矩形，

∴∠ＢＡＤ＝９０°，

∵ＡＥ⊥ＢＤ，

∴∠ＡＥＤ＝９０°，

∴∠ＢＡＥ＋∠ＥＡＤ＝９０°，∠ＥＡＤ＋∠ＡＤＥ＝９０°，

∴∠ＢＡＥ＝∠ＡＤＥ，

∵∠ＡＧＰ＝∠ＢＡＧ＋∠ＡＢＧ，∠ＡＰＢ＝∠ＡＤＥ＋∠ＰＢＤ，∠ＡＢＧ＝∠ＰＢＤ，

!"#$ ２２５

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

∴∠ＡＧＰ＝∠ＡＰＧ，

∴ＡＰ＝ＡＧ，

∵ＰＡ⊥ＡＢ，ＰＦ⊥ＢＤ，ＢＰ平分∠ＡＢＤ，

∴ＰＡ＝ＰＦ，

∴ＰＦ＝ＡＧ，

∵ＡＥ⊥ＢＤ，ＰＦ⊥ＢＤ，

∴ＰＦ∥ＡＧ，

∴四邊形 ＡＧＦＰ是平行四邊形，

∵ＰＡ＝ＰＦ，

∴四邊形 ＡＧＦＰ是菱形．

（２）證明：如圖 ２中，

圖 ２

∵ＡＥ⊥ＢＤ，ＰＥ⊥ＥＣ，

∴∠ＡＥＤ＝∠ＰＥＣ＝９０°，

∴∠ＡＥＰ＝∠ＤＥＣ，

∵∠ＥＡＤ＋∠ＡＤＥ＝９０°，∠ＡＤＥ＋∠ＣＤＥ＝９０°，

∴∠ＥＡＰ＝∠ＥＤＣ，

∴△ＡＥＰ∽△ＤＥＣ，

∴ＡＥ

ＤＥ＝ＡＰ

ＤＣ

，

∵ＡＢ＝ＣＤ，

∴ＡＥ·ＡＢ＝ＤＥ·ＡＰ．

（３）解：∵四邊形 ＡＢＣＤ是矩形，

∴ＢＣ＝ＡＤ＝２，∠ＢＡＤ＝９０°，

∴ＢＤ＝槡ＡＢ２＋ＡＤ２ ＝槡５，

∵ＡＥ⊥ＢＤ，

∴Ｓ△ＡＢＤ ＝１

２·ＢＤ·ＡＥ＝１

２·ＡＢ·ＡＤ，

∴ＡＥ＝２槡５

５ ，

∴ＤＥ＝槡ＡＤ２－ＡＥ２ ＝４槡５

５ ，

∵ＡＥ·ＡＢ＝ＤＥ·ＡＰ，

∴ＡＰ＝

２槡５

５ ×１

４槡５

５

＝１

２．

１９．（１）２７０° （２）ＡＤ２＋ＣＤ２＝ＢＤ２ （３）π

３

第六章 圓

第 ２３講 圓的有關性質（１）

知識梳理

１．（１）ＡＣ，ＣＤ，ＡＢ （２）ＡＢ （３） )

ＡＣ， )

ＢＣ， )

ＢＤ， )

ＣＤ， )

ＡＤ （４） ) ＡＢＣ， ) ＢＤＣ， ) ＢＡＤ， ) ＣＡＤ， ) ＡＣＤ （５） ) ＡＣＢ， ) ＡＤＢ

２．ｄ＞ｒ ｄ＝ｒ ｄ＜ｒ ３．不在同一直線上的 斜邊中點 ４．直徑所在的直線 圓心 平分弦

例 １圖

典型例題

例 １ 過 Ｃ作 ＣＥ⊥ＡＤ于 Ｅ，則 ＡＥ＝ＤＥ．

在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝５，ＢＣ＝１２，得 ＡＢ＝１３

由面積法 １

２ＡＣ·ＢＣ＝１

２ＡＢ·ＣＥ，得 ＣＥ＝６０

１３．

在 Ｒｔ△ＡＥＣ中，ＡＣ＝５，ＣＥ＝６０

１３

得 ＡＥ＝２５

１３，∴ＡＤ＝２ＡＥ＝５０

１３

．

例 ２ （１）如圖，連接 ＡＣ．

∵直徑 ＡＥ⊥ＢＣ于點 Ｆ，

∴ＡＥ垂直平分 ＢＣ，

∴ＡＢ＝ＡＣ，

∴ )

ＡＢ＝ )

ＡＣ，

∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ．

∵四邊形 ＡＢＣＤ內接于⊙Ｏ，

∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝１８０°．

∵∠ＣＤＧ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，

∴∠ＣＤＧ＝∠ＡＢＣ，

∴∠ＣＤＧ＝∠ＡＤＢ；

２２６ &'

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

例 ２圖

（２）如圖，連接 ＯＢ，ＯＣ．

∵∠ＢＤＧ＝１２０°，

∴∠ＡＤＢ＝１８０°－∠ＢＤＧ＝６０°，

∴∠ＡＢＣ＝６０°，

∴△ＡＢＣ是等邊三角形，

∴∠ＢＡＣ＝６０°．

由圓周角定理得∠ＢＯＣ＝２∠ＢＡＣ＝１２０°．

∵直徑 ＡＥ⊥ＢＣ于點 Ｆ，ＢＣ＝２槡３，

∴ＢＦ＝１

２ＢＣ＝槡３，∠ＢＯＦ＝１

２∠ＢＯＣ＝６０°．

在 Ｒｔ△ＢＯＦ中，ＯＢ＝ ＢＦ

ｓｉｎ∠ＢＯＦ＝ 槡３

ｓｉｎ６０°＝２，ＯＦ＝槡ＯＢ２－ＢＦ２ ＝１，

則圖中陰影部分的面積為 Ｓ扇形ＯＢＣ －Ｓ△ＢＯＣ ＝１２０π×２２

３６０ －１

２×２槡３×１＝４

３π－槡３．

例 ３ （１）如圖 １所示，連接 ＯＢ，則 ＯＡ＋ＯＢ≥ＡＢ，當且僅當 Ｂ點在 Ｏ點左邊且 Ｂ，Ｏ，Ａ三點共線時“＝”成立；

∴ＡＢ的最大值為 ＯＡ＋ＯＢ，

∴７＋ＯＡ＝１０，

∴ＯＡ＝３．

（２）ＦＤ的長度不變，值為 ７．

理由：如圖 １，∵ＡＦ⊥ＯＥ，

∴∠ＯＡＢ＋∠ＢＡＦ＝９０°．

又∵正方形 ＡＢＣＤ中有∠ＢＡＤ＝９０°，

∴∠ＢＡＦ＋∠ＦＡＤ＝９０°，

∴∠ＯＡＢ＝∠ＦＡＤ．

∵ＯＡ＝ＦＡ，ＡＢ＝ＡＤ，

∴△ＯＡＢ≌△ＦＡＤ（ＳＡＳ），

∴ＦＤ＝ＯＢ＝７，

∴ＦＤ的長不變?yōu)?７．

（３）ＤＥ＝２槡１０－４或 ２槡１０＋４．

理由：當點 Ａ，Ｂ，Ｆ三點在一條直線上時，如圖 ２所示的兩種情況，對于每種情況都有 ＯＢ＝７，ＯＡ＝３，

∴ＡＢ＝槡ＯＢ２－ＯＡ２ ＝槡７２－３２ ＝２槡１０，

∴ＡＤ＝ＡＢ＝２槡１０．

∵ＡＥ＝ＯＥ－ＯＡ＝７－３＝４，

∴當 Ｂ點在 ＯＥ上方時，ＤＥ＝ＡＤ－ＡＥ＝２槡１０－４；

當 Ｂ點在 ＯＥ下方時，ＤＥ＝ＡＤ＋ＡＥ＝２槡１０＋４．

（４）ＤＥ的最大值為 １２，最小值為 ２．

理由：如圖 ３，延長 ＡＦ到 Ｇ使 ＡＧ＝４，連接 ＢＧ．

∵∠ＢＡＤ＝∠ＧＡＥ＝９０°，

∴∠ＢＡＧ＝∠ＤＡＥ．

又∵ＡＧ＝ＡＥ＝４，ＡＢ＝ＡＤ，

∴△ＢＡＧ≌△ＤＡＥ（ＳＡＳ）．

∴ＤＥ＝ＢＧ．

連接 ＯＢ，ＯＧ，

∴ＯＧ＝槡３２＋４２ ＝５．

∵ＯＧ＋ＯＢ≥ＢＧ，ＢＧ≥ＯＢ－ＯＧ，

所以當 Ｂ點位于圖中 Ｂ１處時，ＢＧ最大，此時 ＢＧ＝ＯＧ＋ＯＢ＝５＋７＝１２，

當點 Ｂ為于圖中 Ｂ２處時，ＢＧ最小，此時 ＢＧ＝ＯＢ－ＯＧ＝７－５＝２，

綜上所述，ＢＧ的最大值為 １２，最小值為 ２．

基礎檢測

１．（１）Ｄ （２）１０ （３）５，７ （４）槡５－槡２ ２．（１）３０ （２）Ｄ （３）３

３．（１）Ａ （２）內、外、上 ４．（１）２槡３ （２）Ｂ

５．（１）Ｂ （２）Ｄ （３）Ａ ６．Ｂ ７．Ｄ

８．（１）４０ｍ （２）１２ｓ

!"#$ ２２７

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

９．（１）以點 Ｃ為圓心，ＣＢ長為半徑，作弧交⊙Ｏ于點 Ｄ，連接 ＣＤ，ＡＤ，弦 ＣＤ為所求．

（２）如圖，連接 ＯＣ，交 ＢＤ于點 Ｅ，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝槡１０２－８２ ＝６，

∵ＣＢ＝ＣＤ ∴點 Ｃ是弧 ＢＤ中點，∴ＯＣ⊥ＢＤ，Ｅ是 ＢＤ中點，設 ＯＥ＝ｘ，

則 ＣＥ＝５－ｘ，∴５２－ｘ２＝６２－（５－ｘ）２

，解得 ｘ＝７

５．

∵ＯＥ為△ＡＢＤ的中位線，∴ＡＤ＝２ＯＥ＝２ｘ＝１４

５，

∴四邊形 ＡＢＣＤ的周長為 ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡ＝１０＋６＋６＋１４

５＝１２４

５．

１０．（１）解：∵四邊形 ＯＣＤＢ是平行四邊形，Ｂ（８，０），∴ＣＤ∥ＯＡ，ＣＤ＝ＯＢ＝８．

過點 Ｍ作 ＭＦ⊥ＣＤ于點 Ｆ，則 ＣＦ＝１

２ＣＤ＝４．過點 Ｃ作 ＣＥ⊥ＯＡ于點 Ｅ，

∵Ａ（１０，０），∴ＯＥ＝ＯＭ－ＭＥ＝ＯＭ－ＣＦ＝５－４＝１．

連接 ＭＣ，則 ＭＣ＝１

２ＯＡ＝５，∴在 Ｒｔ△ＣＭＦ中，ＭＦ＝槡ＭＣ２－ＣＦ２ ＝槡５２－４２ ＝３．

∴點 Ｃ的坐標為（１，３）．

（２）設圓心為 Ｏ，連接 ＯＡ，作 ＯＤ⊥ＡＢ于 Ｄ，交圓于點 Ｃ，交 ＭＮ于點 Ｈ，則 ＡＢ＝７２，ＣＤ＝２４，ＭＮ＝３，設 ＯＡ＝ｒ，

則 ＯＤ＝ｒ－２４，ＡＤ＝３６，由勾股定理得 ｒ＝３９，ＯＨ＝３６，進而得 ＦＮ＝２１．

∵２１米 ＞２米，∴貨船可以通過這座拱橋．

１１．（１）∵∠ＡＤＣ＝∠Ｇ，

∴ )

ＡＣ＝ )

ＡＤ，

∵ＡＢ為⊙Ｏ的直徑，

∴ )

ＢＣ＝ )

ＢＤ，

∴∠１＝∠２；

（２）如圖，連接 ＤＦ，

∵ )

ＡＣ＝ )

ＡＤ，ＡＢ是⊙Ｏ的直徑，

∴ＡＢ⊥ＣＤ，ＣＥ＝ＤＥ，

∴ＦＤ＝ＦＣ＝１０，

∵點 Ｃ，Ｆ關于 ＤＧ對稱，

∴ＤＣ＝ＤＦ＝１０，

∴ＤＥ＝５，

∵ｔａｎ∠１＝２

５，

∴ＥＢ＝ＤＥ·ｔａｎ∠１＝２，

∵∠１＝∠２，

∴ｔａｎ∠２＝２

５，

∴ＡＥ＝ ＤＥ

ｔａｎ∠２＝２５

２，

∴ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ＝２９

２，

∴⊙Ｏ的半徑為２９

４．

第 ２３講 圓的有關性質（２）

知識梳理

１．圓心 弧 弦 ２．相等 一半 相等 直角 直徑 直角 ３．互補

典型例題

例 １ （１）∵ )

ＡＣ＝ )

ＢＤ，∴ )

ＡＣ－ )

ＢＣ＝ )

ＢＤ－ )

ＢＣ，即 )

ＡＢ＝ )

ＣＤ，∴ＡＢ＝ＣＤ．

（２）∵∠ＡＯＣ＝∠ＤＯＢ，∴ )

ＡＣ＝ )

ＢＤ，∴ )

ＡＣ＋ )

ＢＣ＝ )

ＢＤ＋ )

ＢＣ，即 )

ＡＢ＝ )

ＣＤ，∴ＡＢ＝ＣＤ．

例 ２ （１）如圖 １，連接 ＡＯ并延長交⊙Ｏ于 Ｄ，連接 ＣＤ，

圖 １

則∠ＡＣＤ＝９０°，∠Ｂ＝∠Ｄ，

∵ｓｉｎ∠Ｂ＝ｓｉｎ∠Ｄ＝ＡＣ

ＡＤ＝ＡＣ

２Ｒ，∴ ＡＣ

ｓｉｎＢ＝２Ｒ；

（２）∵ ＡＣ

ｓｉｎＢ＝２Ｒ，

同理可得： ＡＣ

ｓｉｎＢ＝ＡＢ

ｓｉｎＣ＝ＢＣ

ｓｉｎＡ＝２Ｒ，

∴２Ｒ＝ 槡３

ｓｉｎ６０°＝２，

∴ＢＣ＝２Ｒ·ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎ４５°＝槡２，

如圖 ２，過 Ｃ作 ＣＥ⊥ＡＢ于 Ｅ，

２２８ &'

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

圖

２

∴

Ｂ

Ｅ

＝

Ｂ

Ｃ

·

ｃ

ｏ

ｓ

Ｂ

＝

槡

２

ｃ

ｏ

ｓ

６

０

°

＝

槡

２２

，

Ａ

Ｅ

＝

Ａ

Ｃ

·

ｃ

ｏ

ｓ

４

５

°

＝

槡

６２

，

∴

Ａ

Ｂ

＝

Ａ

Ｅ

＋

Ｂ

Ｅ

＝

槡

６

＋

槡

２

２

，

∵

Ａ

Ｂ

＝

２

Ｒ

·

ｓ

ｉ

ｎ

Ｃ

，

∴

ｓ

ｉ

ｎ

Ｃ

＝

Ａ

Ｂ

２

Ｒ

＝

槡

６

＋

槡

２

４

．

例

３

（

１

）

證

明

：

∵

ＣＤ

＝

Ｄ

Ｆ

，

∴

∠

Ｄ

Ｃ

Ｆ

＝

∠

Ｄ

Ｆ

Ｃ

．

∵

Ｅ

Ｆ

∥

ＣＤ

，

∴

∠

Ｄ

Ｃ

Ｆ

＝

∠

Ｅ

Ｆ

Ｃ

，

∴

∠

Ｄ

Ｆ

Ｃ

＝

∠

Ｅ

Ｆ

Ｃ

，

∴

∠

Ｄ

ＦＥ

＝

２

∠

Ｅ

Ｆ

Ｃ

．

∵

Ａ

Ｂ

＝

Ａ

Ｆ

，

∴

∠

Ａ

Ｂ

Ｆ

＝

∠

Ａ

ＦＢ

．

∵

ＣＤ

∥

Ｅ

Ｆ

，

ＣＤ

∥

Ａ

Ｂ

，

∴

Ａ

Ｂ

∥

Ｅ

Ｆ

，

∴

∠

Ｅ

ＦＢ

＝

∠

Ａ

ＦＢ

，

∴

∠

Ａ

ＦＥ

＝

２

∠

Ｂ

ＦＥ

．

∵

∠

Ａ

ＦＥ

＋

∠

Ｄ

ＦＥ

＝

１

８

０

°

，

∴

２

∠

Ｂ

ＦＥ

＋

２

∠

Ｅ

Ｆ

Ｃ

＝

１

８

０

°

，

∴

∠

Ｂ

ＦＥ

＋

∠

Ｅ

Ｆ

Ｃ

＝

９

０

°

，

∴

∠

Ｂ

Ｆ

Ｃ

＝

９

０

°

，

∴

Ｃ

Ｆ

⊥

Ｂ

Ｆ

；

（

２

）

證

明

：

如

圖

１

，

取

Ａ

Ｄ

的

中

點

Ｏ

，

過

點

Ｏ

作

Ｏ

Ｈ

⊥

Ｂ

Ｃ

于

Ｈ

，

∴

∠

Ｏ

Ｈ

Ｃ

＝

９

０

°

＝

∠

Ａ

Ｂ

Ｃ

，

∴

Ｏ

Ｈ

∥

Ａ

Ｂ

．

∵

Ａ

Ｂ

∥

ＣＤ

，

∴

Ｏ

Ｈ

∥

Ａ

Ｂ

∥

ＣＤ

．

∵

Ａ

Ｂ

∥

ＣＤ

，

Ａ

Ｂ

≠

ＣＤ

，

∴

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

梯

形

，

∴

點

Ｈ

是

Ｂ

Ｃ

的

中

點

，

即

Ｏ

Ｈ

是

梯

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

的

中

位

線

，

∴

Ｏ

Ｈ

＝

１２

（

Ａ

Ｂ

＋

ＣＤ

）

．

∵

Ａ

Ｂ

＝

Ａ

Ｆ

，

ＣＤ

＝

Ｄ

Ｆ

，

∴

Ｏ

Ｈ

＝

１２

（

Ａ

Ｆ

＋

Ｄ

Ｆ

）

＝

１２

Ａ

Ｄ

．

∵

Ｏ

Ｈ

⊥

Ｂ

Ｃ

，

∴

以

Ａ

Ｄ

為

直

徑

的

圓

與

Ｂ

Ｃ

相

切

；

（

３

）

如

圖

２

．

由

（

１

）

知

∠

Ｄ

ＦＥ

＝

２

∠

Ｅ

Ｆ

Ｃ

，

∵

∠

Ｄ

ＦＥ

＝

１

２

０

°

，

∴

∠

Ｃ

ＦＥ

＝

６

０

°

．

在

Ｒ

ｔ

△

ＣＥ

Ｆ

中

，

Ｅ

Ｆ

＝

２

，

∠

Ｅ

Ｃ

Ｆ

＝

９

０

°

－

∠

Ｃ

ＦＥ

＝

３

０

°

，

∴

Ｃ

Ｆ

＝

２

Ｅ

Ｆ

＝

４

，

∴

ＣＥ

＝

槡

Ｃ

Ｆ

２

－

Ｅ

Ｆ

２

＝

２

槡

３

．

∵

Ａ

Ｂ

∥

Ｅ

Ｆ

∥

ＣＤ

，

∠

Ａ

Ｂ

Ｃ

＝

９

０

°

，

∴

∠

Ｅ

ＣＤ

＝

∠

ＣＥ

Ｆ

＝

９

０

°

．

過

點

Ｄ

作

Ｄ

Ｍ

⊥

Ｅ

Ｆ

，

交

Ｅ

Ｆ

的

延

長

線

于

Ｍ

，

∴

∠

Ｍ

＝

９

０

°

，

∴

∠

Ｍ

＝

∠

Ｅ

ＣＤ

＝

∠

ＣＥ

Ｆ

＝

９

０

°

，

∴

四

邊

形

ＣＥＭＤ

是

矩

形

，

∴

Ｄ

Ｍ

＝

ＣＥ

＝

２

槡

３

．

過

點

Ａ

作

Ａ

Ｎ

⊥

Ｅ

Ｆ

于

Ｎ

，

∴

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＥＮ

是

矩

形

，

∴

Ａ

Ｎ

＝

Ｂ

Ｅ

．

由

（

１

）

知

∠

Ｃ

ＦＢ

＝

９

０

°

，

∵

∠

Ｃ

ＦＥ

＝

６

０

°

，

∴

∠

Ｂ

ＦＥ

＝

３

０

°

，

在

Ｒ

ｔ

△

Ｂ

Ｅ

Ｆ

中

，

Ｅ

Ｆ

＝

２

，

∴

Ｂ

Ｅ

＝

Ｅ

Ｆ

·

ｔ

ａ

ｎ

３

０

°

＝

２

槡

３

３

，

∴

Ａ

Ｎ

＝

２

槡

３

３

，

∴

Ｓ

△

Ａ

Ｄ

Ｅ

＝

Ｓ

△

Ａ

Ｅ

Ｆ

＋

Ｓ

△

Ｄ

Ｅ

Ｆ

!

"

#

$

２

２

９

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

＝１

２ＥＦ·ＡＮ＋１

２ＥＦ·ＤＭ

＝１

２ＥＦ（ＡＮ＋ＤＭ）

＝１

２×２× ２槡３ ( ３ ＋２槡３) ＝８槡３

３ ．

基礎檢測

１．Ｄ ２．（１）Ｃ （２）５６° ３．（１）Ｄ （２）Ｃ （３）Ｂ （４）Ｄ ４．（１）Ａ （２）Ｃ （３）Ｃ

５．（１）Ｂ （２）Ｃ ６．（１）＝， ＜ （２）６０°或 １２０° （３）Ｂ （４）槡３ ７．３或 ３槡３或 ３槡７ ８．Ａ

９．（１）∵ＡＣ是⊙Ｏ的直徑，

∴∠ＡＢＣ＝９０°．

∵ＰＢ切⊙Ｏ于點 Ｂ，

∴∠ＯＢＰ＝９０°，

∴∠ＰＢＡ＋∠ＡＢＯ＝∠ＯＢＣ＋∠ＡＢＯ＝９０°，

∴∠ＰＢＡ＝∠ＯＢＣ；

（２）∵∠ＰＢＡ＝２０°，∠ＰＢＡ＝∠ＯＢＣ，

∴∠ＯＢＣ＝２０°．

∵ＯＢ＝ＯＣ，

∴∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＣ＝２０°，

∴∠ＡＯＢ＝２０°＋２０°＝４０°．

∵ＯＢ＝ＯＡ，

∴∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝（１８０°－４０°）÷２＝７０°，

∴∠ＡＤＢ＝１

２∠ＡＯＢ＝２０°．

∵ＡＣ是⊙Ｏ的直徑，

∴∠ＡＤＣ＝９０°，

∴∠ＣＤＥ＝９０°－２０°＝７０°，

∴∠ＣＤＥ＝∠ＯＡＢ．

∵∠ＡＣＤ＝４０°，

∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＯＢ＝４０°，

∴△ＯＡＢ∽△ＣＤＥ．

１０．（１）∵ＡＢ＝ＡＣ，

∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ．

又∵∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ，

∴∠ＢＣＤ＝∠ＡＤＣ，

∴ＥＤ＝ＥＣ；

（２）如圖 １，連接 ＯＡ．

∵ＡＢ＝ＡＣ，

∴ )

ＡＢ＝ )

ＡＣ，

∴ＯＡ⊥ＢＣ．

∵ＣＡ＝ＣＦ，

∴∠ＣＡＦ＝∠ＣＦＡ，

∴∠ＡＣＤ＝∠ＣＡＦ＋∠ＣＦＡ＝２∠ＣＡＦ．

∵∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＤ，

∴∠ＡＣＤ＝２∠ＡＣＢ，

∴∠ＣＡＦ＝∠ＡＣＢ，

∴ＡＦ∥ＢＣ，

∴ＯＡ⊥ＡＦ，

∴ＡＦ為⊙Ｏ的切線；

（３）∵∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＡ，∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＢ，

∴△ＡＢＥ∽△ＣＢＡ，

∴ＡＢ

ＢＣ＝ＢＥ

ＡＢ，

∴ＡＢ２＝ＢＣ·ＢＥ．

∵ＢＣ·ＢＥ＝２５，

∴ＡＢ＝５．

如圖 ２，連接 ＡＧ，

∴∠ＢＡＧ＝∠ＢＡＤ＋∠ＤＡＧ，∠ＢＧＡ＝∠ＧＡＣ＋∠ＡＣＢ．

∵點 Ｇ為內心，

∴∠ＤＡＧ＝∠ＧＡＣ．

又∵∠ＢＡＤ＋∠ＤＡＧ＝∠ＧＡＣ＋∠ＡＣＢ，

∴∠ＢＡＧ＝∠ＢＧＡ，

∴ＢＧ＝ＡＢ＝５．

２３０ &'

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

第 ２４講 直線與圓的位置關系

知識梳理

１．（１）ｄ＜ｒ （２）ｄ＝ｒ （３）ｄ＞ｒ

２．垂直于 （１）切點 （２）圓心 （１）一個 （２）半徑 （３）垂直于

典型例題

例 １ （１）當 Ｒ＝６０

１３時，⊙Ｃ和直線 ＡＢ相切；當 Ｒ＞

６０

１３時，⊙Ｃ和直線 ＡＢ相交；當 ０＜Ｒ＜

６０

１３時，⊙Ｃ和直線 ＡＢ

相離．

（２）當 Ｒ＝６０

１３或 ５＜Ｒ≤１２時，⊙Ｃ和線段 ＡＢ只有一個交點；當６０

１３＜Ｒ≤５時，⊙Ｃ和線段 ＡＢ有兩個交點；當 ０＜Ｒ＜

６０

１３

或 Ｒ＞１２時，⊙Ｃ和線段 ＡＢ沒有交點．

例 ２ （１）證明：∵ＡＢ是⊙Ｏ的直徑，

∴∠ＡＤＢ＝９０°，∴∠ＤＡＢ＋∠ＡＢＤ＝９０°．

∵∠ＢＥＤ＝∠ＤＡＢ，∠ＰＢＤ＝∠ＢＥＤ，

∴∠ＤＡＢ＝∠ＰＢＤ，

∴∠ＰＢＤ＋∠ＡＢＤ＝９０°，

∴∠ＡＢＰ＝９０°，

∴ＡＢ⊥ＰＢ，

∴ＢＰ是⊙Ｏ的切線；

（２）解：連接 ＡＥ，

∴∠ＡＥＢ＝９０°．

∵ＢＥ平分∠ＡＢＤ，

∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ，

∴ )

ＡＥ＝ )

ＤＥ，

∴ＡＥ＝ＤＥ＝槡３，

∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ＝∠ＤＡＥ，

∴ｔａｎ∠ＤＢＥ＝ｔａｎ∠ＡＢＥ＝ｔａｎ∠ＤＡＥ＝ＥＦ

ＥＡ＝槡２

３，

∴ＥＦ

槡３＝槡２

３，

∴ＥＦ＝槡６

３；

（３）解：連接 ＯＥ．

∵ＯＥ＝ＯＢ，

∴∠ＡＢＥ＝∠ＯＥＢ．

∵∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＥ，

∴∠ＤＢＥ＝∠ＯＥＢ，

∴△ＣＥＯ∽△ＣＤＢ，

∴ＣＥ

ＤＥ＝ＯＣ

ＯＢ

．

∵ＣＡ＝ＡＯ，

設 ＣＡ＝ＡＯ＝ＢＯ＝Ｒ，

∴ＣＥ

ＤＥ＝２

１，即ＣＥ

槡３＝２，

∴ＣＥ＝２槡３，

∴ＤＣ＝３槡３．

∵∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＥ，∠Ｃ＝∠Ｃ，

∴△ＣＡＤ∽△ＣＥＢ，

∴ＣＤ

ＣＢ＝ＡＣ

ＣＥ

，

∴３槡３

３Ｒ ＝ Ｒ

２槡３

，

∴Ｒ＝槡６，

∴⊙Ｏ的半徑為槡６．

例 ３ （１）－３≤ｋ＜０．

（２）由 ｙ＝－２ｘ－８得 Ａ（－４，０），Ｂ（０， －８）．由勾股定理得 ＰＡ＝槡１６＋ｋ２

．

∵ＰＢ＝８＋ｋ，由 ＰＡ＝ＰＢ得 槡１６＋ｋ２ ＝８＋ｋ，解得 ｋ＝－３，∴⊙Ｐ與 ｘ軸相切．

（３）過點 Ｐ作 ＰＱ⊥ＡＢ垂足為 Ｑ，由 ＰＱ×ＡＢ＝ＰＢ×ＯＡ，ＰＱ＝（ｋ＋８）×４

槡４２＋８２ ．

!"#$ ２３１

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

①當⊙Ｐ與直線 ｌ相切時，ＰＱ＝３，即（ｋ＋８）×４

槡４２＋８２ ＝３ 解得 ｋ＝３槡５－８．

②當 Ｐ在 Ｂ下方時，ｋ＝－８－３槡５．∴ｋ＝３槡５－８或 －８－３槡５時，⊙Ｐ與直線 ｌ相切．

基礎檢測

１．（１）Ｄ （２）Ｃ ２．２槡３ ３．（１）Ｂ （２）Ｄ （３）３ ４．（１）槡５ （２）３槡２＋１ ５．（１）７０° （２）１２６

６．（１）如圖，連接 ＯＣ，由題意可知∠ＡＣＢ是直徑 ＡＢ所對的圓周角，

∴∠ＡＣＢ＝９０°．

∵ＯＣ，ＯＢ是圓 Ｏ的半徑，

∴ＯＣ＝ＯＢ，

∴∠ＯＣＢ＝∠ＡＢＣ．

又∵∠ＤＣＡ＝∠ＡＢＣ，

∴∠ＤＣＡ＝∠ＯＣＢ，

∴∠ＤＣＯ＝∠ＤＣＡ＋∠ＡＣＯ＝∠ＯＣＢ＋∠ＡＣＯ＝∠ＡＣＢ＝９０°，

∴ＯＣ⊥ＤＣ．

又∵ＯＣ是圓 Ｏ的半徑，

∴ＤＣ是圓 Ｏ的切線；

（２）∵ＯＡ

ＯＤ＝２

３，

∴ ＯＡ

ＯＡ＋ＤＡ＝２

３，化簡得 ＯＡ＝２ＤＡ，

由（１）知∠ＤＣＯ＝９０°．

∵ＢＥ⊥ＤＣ，即∠ＤＥＢ＝９０°，

∴∠ＤＣＯ＝∠ＤＥＢ，

∴ＯＣ∥ＢＥ，

∴△ＤＣＯ∽△ＤＥＢ，

∴ＤＯ

ＤＢ＝ＣＯ

ＥＢ，即 ＤＡ＋ＯＡ

ＤＡ＋ＯＡ＋ＯＢ＝３ＤＡ

５ＤＡ＝３

５＝２ＤＡ

ＥＢ，

∴ＤＡ＝３

１０ＥＢ．

∵ＢＥ＝３，

∴ＤＡ＝３

１０ＥＢ＝３

１０×３＝９

１０

，

經檢驗：ＤＡ＝９

１０

是分式方程的解，

∴ＤＡ＝９

１０．

７．（１）證明：連接 ＤＥ．

∵ )

ＤＣ＝ )

ＤＣ，

∴∠ＣＡＤ＝∠ＣＥＤ．

∵ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分線，

∴∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ，

∴∠ＣＥＤ＝∠ＥＡＤ．

∵ＤＦ∥ＣＥ，

∴∠ＣＥＤ＝∠ＦＤＥ，

∴∠ＥＡＤ＝∠ＦＤＥ．

∵ＡＤ為⊙Ｏ直徑，

∴∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＤ＝９０°，

∴∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＥ＝９０°，

∴∠ＡＤＥ＋∠ＦＤＥ＝９０°，

即 ＡＤ⊥ＦＤ．

又∵ＡＤ為⊙Ｏ直徑，

∴ＤＦ是⊙Ｏ的切線；

（２）∵∠ＡＥＤ＝９０°，

∴∠ＢＥＤ＝９０°，

∴ＤＥ＝ＢＤ·ｓｉｎＢ＝５×３

５＝３．

∵∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＤ，∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＣ，ＡＤ＝ＡＤ，

∴△ＡＥＤ≌△ＡＣＤ，

∴ＤＥ＝ＤＣ＝３，

∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝８．

在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∵ｓｉｎＢ＝３

５，

∴設 ＡＣ＝３ｘ，ＡＢ＝５ｘ，

∴（５ｘ）２－（３ｘ）２＝８２

．

２３２ &'

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

∵ｘ＞０，

∴ｘ＝２，

∴ＡＢ＝５ｘ＝１０，ＡＣ＝３ｘ＝６．

∵△ＡＥＤ≌△ＡＣＤ，

∴ＡＥ＝ＡＣ＝６，

∴在 Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＡＤ＝槡ＡＥ２＋ＤＥ２ ＝３槡５．

∵∠ＥＡＤ＝∠ＤＡＦ，∠ＡＥＤ＝∠ＡＤＦ＝９０°，

∴△ＡＤＥ∽△ＡＦＤ，

∴ＤＥ

ＦＤ＝ＡＥ

ＡＤ，

即 ３

ＦＤ＝ ６

３槡５

，

∴ＦＤ＝３槡５

２ ．

８如圖所示，依題意畫出圖形 Ｇ為⊙Ｏ，如圖所示．

（１）證明：∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ，

∴ )

ＡＤ＝ )

ＣＤ，∴ＡＤ＝ＣＤ．

（２）解：∵ＡＤ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＭ，∴ＣＤ＝ＣＭ∵ＤＦ⊥ＢＣ，∴∠ＤＦＣ＝∠ＣＦＭ＝９０°

在 Ｒｔ△ＣＤＦ和 Ｒｔ△ＣＭＦ中，

ＣＤ＝ＣＭ， {ＣＦ＝ＣＦ，∴△ＣＤＦ≌△ＣＭＦ（ＨＬ），∴ＤＦ＝ＭＦ，∴ＢＣ為弦 ＤＭ的垂直平分線，

∴ＢＣ為⊙Ｏ的直徑，連接 ＯＤ．

∵∠ＣＯＤ＝２∠ＣＢＤ，∠ＡＢＣ＝２∠ＣＢＤ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＣＯＤ，∴ＯＤ∥ＢＥ

又∵ＤＥ⊥ＢＡ，∴∠ＤＥＢ＝９０°，∴∠ＯＤＥ＝９０°，即 ＯＤ⊥ＤＥ，∴ＤＥ為⊙Ｏ的切線 ∴直線 ＤＥ與圖形 Ｇ的公共點個數

為 １個 

第 １０題

９．（１）連接 ＢＤ，

∵ )

ＡＢ＝ )

ＢＣ＝ )

ＣＤ，

∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ，

∴ＡＤ∥ＢＣ；

（２）∵ＡＤ∥ＢＣ，

∴∠ＥＤＦ＝∠ＣＢＦ．

∵ )

ＢＣ＝ )

ＣＤ，

∴ＢＣ＝ＣＤ，

∴ＢＦ＝ＤＦ，又∠ＤＦＥ＝∠ＢＦＣ，

∴△ＤＥＦ≌△ＢＣＦ（ＡＳＡ），

∴ＤＥ＝ＢＣ，

∴四邊形 ＢＣＤＥ是平行四邊形．又 ＢＣ＝ＣＤ，

∴四邊形 ＢＣＤＥ是菱形．

１０．（１）∵ＯＡ＝６，ＯＢ＝８，

∴由勾股定理可求得 ＡＢ＝１０．

由題意知 ＯＱ＝ＡＰ＝ｔ，

∴ＡＣ＝２ｔ．

∵ＡＣ是⊙Ｐ的直徑，

∴∠ＣＤＡ＝９０°，

∴ＣＤ∥ＯＢ，

∴△ＡＣＤ∽△ＡＢＯ，

∴ＡＣ

ＡＢ＝ＡＤ

ＯＡ

，

∴ＡＤ＝６

５ｔ，

當 Ｑ與 Ｄ重合時，

ＡＤ＋ＯＱ＝ＯＡ，

∴ ６

５ｔ＋ｔ＝６，

∴ｔ＝３０

１１

；

（２）若△ＡＣＱ是等腰三角形時，分三種情況討論：

①當 ＡＱ＝ＡＣ時，即 ＡＣ＝ＡＱ＝２ｔ，ＯＱ＝ｔ，

∵ＯＱ＋ＱＡ＝６，

∴ｔ＋２ｔ＝６，

解得 ｔ＝２；

②當 ＱＣ＝ＣＡ時，即 ＱＣ＝ＣＡ＝２ｔ，由（１）知 ＤＡ＝６

５ｔ，

∴ＱＤ＝ＤＡ＝６

５ｔ，

!"#$ ２３３

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

∴ＯＱ＋ＱＤ＋ＤＡ＝６，

∴ｔ＋６

５ｔ＋６

５ｔ＝６，

解得 ｔ＝３０

１７

；

圖 １

③當 ＱＣ＝ＱＡ時，如圖 １，連接 ＰＱ，

可知 ＰＱ⊥ＡＣ，

∴∠ＱＰＡ＝∠ＢＯＡ＝９０°，∠ＱＡＰ＝∠ＢＡＯ，

∴△ＡＱＰ∽△ＡＢＯ，

則 ＡＰ＝ｔ，ＡＱ＝６－ｔ，

∴ＡＰ

ＯＡ＝ＡＱ

ＡＢ，

∴ ｔ

６＝６－ｔ

１０，

解得 ｔ＝９

４；

綜上所述，當△ＡＣＱ是等腰三角形時，ｔ＝２或 ｔ＝３０

１７或 ｔ＝９

４；

圖 ２

（３）當 ＱＣ與⊙Ｐ相切時，如圖 ２，

此時∠ＱＣＡ＝９０°．

∵ＯＱ＝ＡＰ＝ｔ，

∴ＡＱ＝６－ｔ，ＡＣ＝２ｔ．

∵∠Ａ＝∠Ａ，

∠ＱＣＡ＝∠ＡＯＢ，

∴△ＡＱＣ∽△ＡＢＯ，

∴ＡＱ

ＡＢ＝ＡＣ

ＯＡ

，

∴６－ｔ

１０ ＝２ｔ

６，

∴ｔ＝１８

１３

，

∴當 ０＜ｔ≤

１８

１３

時，⊙Ｐ與 ＱＣ只有一個交點，

當 ＱＣ⊥ＯＡ時，

此時 Ｑ與 Ｄ重合，

由（１）可知 ｔ＝３０

１１

，

∴當３０

１１＜ｔ≤５時，⊙Ｐ與 ＱＣ只有一個交點，

綜上所述，當⊙Ｐ與 ＱＣ只有一個交點，ｔ的取值范圍為 ０＜ｔ≤

１８

１３

或３０

１１＜ｔ≤５．

第 ２５講 切線長定理

知識梳理

１．相等 平分 ２．三條角平分線 距離 ｒ

２（ａ＋ｂ＋ｃ）

典型例題

例 １ （１）∵ＰＣ，ＰＤ是⊙Ｏ的切線，∴ＰＤ＝ＰＣ，∠ＯＰＤ＝∠ＯＰＣ，∴ＯＰ⊥ＣＤ．

（２）連接 ＯＤ，ＯＣ，則可得∠ＡＯＤ＝８０°，∠ＢＯＣ＝４０°，∠ＣＯＤ＝６０°，∠ＤＰＣ＝１２０°，∠ＤＰＯ＝６０°，在 Ｒｔ△ＤＯＰ中，

ＯＤ

ＯＰ＝ｓｉｎ６０°，得 ＯＰ＝４槡３

３．

例 ２ （１）作∠ＢＡＣ的平分線，與 ＢＣ的交點即為圓心 Ｐ，以 Ｐ為圓心，ＰＢ為半徑畫圓．

（２）連接 ＰＱ，如圖在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝槡６２＋８２ ＝１０，設⊙Ｐ的半徑為 ｒ，ＢＰ＝ＰＱ＝ｒ，ＰＣ＝８－ｒ．∵ＡＣ與⊙Ｐ相切

于 Ｑ，∴ＰＱ⊥ＡＣ．∵∠ＰＣＱ＝∠ＡＣＰ，∴Ｒｔ△ＣＰＱ∽Ｒｔ△ＣＡＢ，∴ＰＱ

ＡＢ＝ＣＰ

ＣＡ

，∴ ｒ

６＝８－ｒ

１０，∴ｒ＝３，即⊙Ｐ的半徑為 ３．

（３）∵ＡＢ，ＡＣ為⊙Ｐ的切線，∴ＡＢ＝ＡＱ，∵ＢＰ＝ＰＱ，∴ＡＰ為 ＢＱ的垂直平分線，∴∠ＢＡＰ＋∠ＡＢＱ＝９０°，∠ＣＢＱ＋

∠ＡＢＱ＝９０°，∴∠ＣＢＱ＝∠ＢＡＰ．在 Ｒｔ△ＡＢＰ中，ＡＰ＝槡６２＋３２ ＝３槡５，∴ｓｉｎ∠ＢＡＰ＝ＢＰ

ＡＰ＝ ３

３槡５

＝槡５

５，∴ｓｉｎ∠ＣＢＱ＝槡５

５．

圖 １

例 ３ （１）如圖 １，連接 ＯＣ，由 ＡＤ＝ＣＤ，ＯＡ＝ＯＣ得 ＯＤ垂直平分 ＡＣ．

∵ＡＢ是⊙Ｏ直徑，∴∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ⊥ＡＣ．∴ＯＤ∥ＢＣ．

（２）因為 ｔａｎ∠ＡＢＣ＝２，設 ＢＣ＝ａ，則 ＡＣ＝２ａ，ＡＢ＝槡５ａ＝ＡＤ，ＡＥ＝ａ，ＯＥ＝１

２ａ．

在△ＡＥＤ中，ＤＥ＝槡ＡＤ２－ＡＥ２ ＝２ａ，所以 ＯＤ＝ＯＥ＋ＤＥ＝５

２ａ．

２３４ &'

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

在△ＡＯＤ中，ＡＯ２＋ＡＤ２＝ＯＤ２

，所以∠ＯＡＤ＝９０°，所以 ＤＡ與⊙Ｏ相切．

（３）如圖 ２，連接 ＡＦ，因為∠ＤＡＦ＋∠ＢＡＦ＝９０°，∠ＡＢＦ＋∠ＢＡＦ＝９０°，所以∠ＡＢＦ＝∠ＤＡＦ，所以△ＡＦＤ∽△ＢＡＤ，

所以ＦＤ

ＡＤ＝ＡＤ

ＢＤ，即 ＤＦ·ＢＤ＝ＡＤ２

．……①

圖 ２

又因為∠ＡＥＤ＝∠ＯＡＤ＝９０°，∠ＡＤＥ＝∠ＯＤＡ，所以△ＡＥＤ∽△ＯＡＤ，所以ＡＤ

ＯＤ＝ＥＤ

ＡＤ，即

ＯＤ·ＤＥ＝ＡＤ２

．……②

由①②得 ＤＦ·ＢＤ＝ＯＤ·ＤＥ，即ＤＦ

ＯＤ＝ＤＥ

ＢＤ．

又因為∠ＥＤＦ＝∠ＢＤＯ，所以△ＥＤＦ∽△ＢＤＯ，即ＥＦ

ＢＯ＝ＤＥ

ＤＢ

，因為 ＢＣ＝１，所以 ＡＢ＝ＡＤ＝

槡５，ＯＤ＝５

２，ＥＤ＝２，ＢＤ＝槡１０，ＯＢ＝槡５

２，所以ＥＦ

槡５

２

＝ ２

槡１０

，所以 ＥＦ＝槡２

２．

基礎檢測

１．（１）Ｂ （２）Ｃ （３）１３０ ２．（１）４ （２）５２ （３）５ ３．（１）１∶２∶３ （２）２ （３）槡２ ４．（１）１３０ （２）＞ （３）２

５．（１）４∶５∶６ （２）４

５ （３）５

３ ６．（１）３０ （２）１ （３）槡２－１ ７．（１）１

２ （２）２ ８．（１）１８π （２）１５

４或４０

９ ９．Ａ

１０．（１）連接 ＯＤ，∵⊙Ｏ與 ＡＢ，ＡＣ相切于 Ｄ，Ｃ，∴∠ＯＤＡ＝∠ＯＣＡ＝９０°，∴∠ＤＯＥ＝∠Ａ．∵ＯＤ＝ＯＥ，∴∠ＥＤＯ＝

９０°－１

２∠Ａ，∴∠ＢＤＥ＋∠ＥＤＯ＝９０°，∴∠Ａ＝２∠ＢＤＥ．

（２）連接 ＯＤ，ＣＤ，由（１）可知∠Ａ＝２∠ＢＤＥ，∵∠Ａ＝∠ＤＯＥ，∠ＤＯＥ＝２∠ＤＣＥ，∴∠Ａ＝２∠ＤＣＥ，∴∠ＢＤＥ＝

∠ＤＣＥ．∵∠Ｂ＝∠Ｂ，∴△ＢＤＥ∽△ＢＣＤ，∴ＢＤ２ ＝ＢＥ·ＢＣ，∵∠ＯＤＢ＝∠ＡＣＢ＝９０°，∴△ＢＤＯ∽△ＢＣＡ，∴ＢＤ

ＢＣ＝ＯＤ

ＣＡ，

∵ＡＣ＝ＥＣ，∴２ＯＤ＝ＡＣ，∴ＢＤ

ＢＣ＝１

２，∴ＢＣ＝２ＢＤ，∴ＢＤ２＝ＢＥ·２ＢＤ，∴ＢＤ＝２ＢＥ．

第 ２６講 圓中的計算問題

知識梳理

１．中心 半徑 中心角 邊心距 ∠ＣＯＤ＝７２° ２Ｒｓｉｎ３６° １０Ｒｓｉｎ３６° Ｒｃｏｓ３６° ５Ｒ２

ｃｏｓ３６°ｓｉｎ３６°

２．２πＲ ｎ

１８０

πＲ ３．（１）ｎ

３６０

πＲ２ （２）１

２ｌＲ ４．（１）２πｒ 弧長 （２）半徑 （３）ｎ

１８０

πａ ２πｒ ｎ

１８０

πａ＝２πｒ （４）ｎ

３６０

·

πａ２ πａｒ ｎ

３６０

πａ２＝πａｒ πｒａ

典型例題

例 １ 槡５－槡２

例 ２ （１）２π （２）不能．需要直徑為槡２

２Ｒ的圓作為底面，但槡２Ｒ＋槡２

２Ｒ＞２Ｒ．

例 ３ （１）證明：延長 ＢＰ至 Ｅ，使 ＰＥ＝ＰＣ，連接 ＣＥ．∵Ａ，Ｂ，Ｐ，Ｃ四點共圓，∴∠ＢＡＣ＋∠ＢＰＣ＝１８０°，∵∠ＢＰＣ＋

∠ＥＰＣ＝１８０°，∴∠ＢＡＣ＝∠ＣＰＥ＝６０°，ＰＥ＝ＰＣ，∴△ＰＣＥ是等邊三角形，∴ＣＥ＝ＰＣ，∠Ｅ＝６０°．又∠ＢＣＥ＝６０°＋

∠ＢＣＰ，∠ＡＣＰ＝６０°＋∠ＢＣＰ，∴∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＰ，∵△ＡＢＣ，△ＥＣＰ為等邊三角形，∴ＣＥ＝ＰＣ，ＡＣ＝ＢＣ，∴△ＢＥＣ≌

△ＡＰＣ（ＳＡＳ），∴ＰＡ＝ＢＥ＝ＰＢ＋ＰＣ．

（２）過點 Ｂ作 ＢＥ⊥ＢＰ交 ＰＡ于 Ｅ，∵∠ＡＢＥ＋∠ＥＢＣ＝∠ＥＢＣ＋∠ＣＢＰ＝９０°，∴∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＰ，∴∠ＡＰＢ＝４５°，∴ＢＰ＝

ＢＥ，∴ＰＥ＝槡２ＰＢ，又 ＡＢ＝ＢＣ，∴△ＡＢＥ≌△ＣＢＰ，∴ＰＣ＝ＡＥ，∴ＰＡ＝ＡＥ＋ＰＥ＝ＰＣ＋槡２ＰＢ．

（３）ＰＡ＝ＰＣ＋槡３ＰＢ．

基礎檢測

１．（１）Ｂ （２）８π ２．（１）３π （２）２５ （３）４－π ３．（１）６ （２）４ （３）６π （４）１５０ ４．（１）８ （２）３ （３）３槡５

５．（１）８ （２）１００槡５π （３）６ （４）２槡２π （５）４８ ６．（１）１

３ （２）４０ｃｍ （３）２

３π （４）９槡３－３π ７．（１）２４π

（２）Ｃ ８．（１）３槡２，３ （２）１２ （３）８槡２ （４）２槡３ （５）１０ ９．（１）３π－６ （２）４

３π－槡３

４ （３）Ａ （４）Ａ

１０解：∵在等腰△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝１２０°，∴∠Ｂ＝３０°，

∵ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分線，∴ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝槡３ＡＤ＝６槡３，∴ＢＣ＝２ＢＤ＝１２槡３，

∴由弧 ＥＦ及線段 ＦＣ、ＣＢ、ＢＥ圍成圖形（圖中陰影部分）的面積 ＝Ｓ△ＡＢＣ －Ｓ扇形ＡＥＦ ＝１

２×６×１２槡３－１２０·π·６２

３６０ ＝３６槡３－

１２π；

（２）設圓錐的底面圓的半徑為 ｒ，

根據題意得 ２πｒ＝１２０·π·６

１８０ ，解得 ｒ＝２，這個圓錐的高 ｈ＝槡６２－２２ ＝４槡２．

第六章 《圓》測試題

１．Ａ ２．Ｃ ３．Ｄ ４．Ｄ ５．Ｃ ６．Ａ ７．Ａ ８．Ｄ

!"#$ ２３５

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

９．點 Ｏ在⊙Ｐ上 １０．１１９ １１．１６π

９ １２．２４π １３．π＋３槡３

４

１４．提示：∠Ｃ與∠Ａ互補．

１５．（１）如圖，連接 ＯＤ，ＥＦ，

則 ＯＡ＝ＯＤ，

∴∠ＯＤＡ＝∠ＯＡＤ，

∵ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分線，

∴∠ＯＡＤ＝∠ＣＡＤ，

∴∠ＯＤＡ＝∠ＣＡＤ，

∴ＯＤ∥ＡＣ，

∴∠ＯＤＢ＝∠Ｃ＝９０°，

∵點 Ｄ在⊙Ｏ上，

∴ＢＣ是⊙Ｏ的切線；

（２）∵∠ＢＤＯ＝９０°，

∴ｓｉｎＢ＝ＯＤ

ＢＯ＝ ＯＤ

ＢＥ＋ＯＤ＝５

１３，

∴ＯＤ＝５，

∴⊙Ｏ的半徑為 ５；

（３）連接 ＥＦ，

∵ＡＥ是直徑，

∴∠ＡＦＥ＝９０°＝∠ＡＣＢ，

∴ＥＦ∥ＢＣ，

∴∠ＡＥＦ＝∠Ｂ，

又∵∠ＡＥＦ＝∠ＡＤＦ，

∴∠Ｂ＝∠ＡＤＦ，

又∵∠ＯＡＤ＝∠ＣＡＤ，

∴△ＤＡＢ∽△ＦＡＤ，

∴ＡＤ

ＡＢ＝ＡＦ

ＡＤ，

∴ＡＤ２＝ＡＢ·ＡＦ．

１６．（１）略；（２）ＡＰ＝２，ＡＤ＝６，ＰＤ＝４．

１７．（１）平行；（２）成立；∠ＢＣＰ＝∠ＰＡＢ＝∠ＡＰＯ＝∠ＯＰＣ；（３）提示：可以證明∠ＯＡＰ＝∠ＰＯＣ＝∠ＡＯＰ＝６０°，進一

步得∠ＯＰＣ＝６０°，ＡＢ＝２ＯＰ＝２ＰＣ＝２ＰＤ．

１８．（１）ｙ＝－１

４（ｘ＋８）（ｘ－２）＝－１

４ｘ２－３

２ｘ＋４．當 ｘ＝０時，ｙ＝４，則 Ｃ（０，４），∴ＢＣ＝４槡５，ＡＣ＝２槡５，ＡＢ＝１０．

∵ＢＣ２＋ＡＣ２＝ＡＢ２

，∴△ＡＢＣ為直角三角形且∠ＡＣＢ＝９０°，∴ＡＢ為直徑，∴圓心 Ｍ的坐標為（－３，０）．

（２）ＡＰ·ＡＮ為定值，證明△ＡＰＢ∽△ＡＯＮ，則 ＡＰ·ＡＮ＝ＡＢ·ＡＯ＝２０．

（３）直線 ＢＤ的解析式為 ｙ＝－１

２ｘ－４，過點 Ｆ作 ＦＧ⊥ｘ軸于點 Ｇ，ＢＦ

ＦＧ＝ＢＤ

ＯＤ＝４槡５

４ ＝槡５，∴點 Ｑ沿線段 ＦＢ以每秒槡５個

單位的速度運動到 Ｂ點所用的時間等于點 Ｑ以每秒 １個單位的速度運動到 Ｇ點的時間，∴當 ＡＦ＋ＦＧ的值最小時，點 Ｑ在

整個運動過程中所用的時間最少，此時 Ｆ的坐標為（－２， －３）．

第七章 圖形變換、尺規(guī)作圖、視圖與投影

第 ２７講 圖形與變換

知識梳理

被對稱軸垂直平分 △Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＡＡ′，ＢＢ′，ＣＣ′ ＭＮ 對稱中心 平分 點 Ｅ 線段 ＡＥ ∠Ｅ 點 Ａ ＢＡＤ ＣＡＥ ２５°

典型例題

例 １ 延長 ＢＦ交 ＣＤ于 Ｈ，連接 ＥＨ．

∵四邊形 ＡＢＣＤ是正方形，

∴ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｄ＝∠ＤＡＢ＝９０°，ＡＤ＝ＣＤ＝ＡＢ＝１，

∴ＡＣ＝槡ＡＤ２＋ＣＤ２ ＝槡１２＋１２ ＝槡２

由翻折的性質可知，ＡＥ＝ＥＦ，∠ＥＡＢ＝∠ＥＦＢ＝９０°，∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＢ，

∵點 Ｅ是 ＡＤ的中點，

∴ＡＥ＝ＤＥ＝ＥＦ，

∵∠Ｄ＝∠ＥＦＨ＝９０°，

在 Ｒｔ△ＥＨＤ和 Ｒｔ△ＥＨＦ中，

ＥＨ＝ＢＨ， {ＥＤ＝ＥＦ，

∴Ｒｔ△ＥＨＤ≌Ｒｔ△ＥＨＦ（ＨＬ），

∴∠ＤＥＨ＝∠ＦＥＨ，

∴∠ＨＥＢ＝９０°，

∴∠ＤＥＨ＋∠ＡＥＢ＝９０°，

∵∠ＡＥＢ＋∠ＡＢＥ＝９０°，

２３６ &'

廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社 廣州出版社

∴

∠

Ｄ

ＥＨ

＝

∠

Ａ

Ｂ

Ｅ

，

∴

△

ＥＤ

Ｈ

∽

△

ＢＡ

Ｅ

，

∴

ＥＤＡＢ

＝

Ｄ

ＨＥＡ

＝

１２

，

∴

Ｄ

Ｈ

＝

１４

，

ＣＨ

＝

３４

，

∵

ＣＨ

∥

Ａ

Ｂ

，

∴

Ｃ

Ｇ

ＧＡ

＝

ＣＨＡＢ

＝

３４

，

∴

Ｃ

Ｇ

＝

３７

Ａ

Ｃ

＝

３

槡

２

７

．

例

２

（

１

）

∵

∠

ＤＡ

Ｅ

＝

∠

ＢＡ

Ｃ

＝

α

，

∴

∠

ＤＡ

Ｅ

－

∠

ＢＡ

Ｄ

＝

∠

ＢＡ

Ｃ

－

∠

ＢＡ

Ｄ

，

即

∠

ＢＡ

Ｅ

＝

∠

ＣＡ

Ｄ

，

在

△

Ａ

Ｂ

Ｅ

和

△

Ａ

ＣＤ

中

，

Ａ

Ｂ

＝

Ａ

Ｃ

∠

ＢＡ

Ｅ

＝

∠

ＣＡ

Ｄ

，

{

Ａ

Ｅ

＝

Ａ

Ｄ

∴

△

Ａ

Ｂ

Ｅ

≌

△

Ａ

ＣＤ

（

Ｓ

Ａ

Ｓ

）

，

∴

Ｂ

Ｅ

＝

ＣＤ

，

∵

Ｍ

為

Ｂ

Ｃ

的

中

點

，

∴

Ｂ

Ｍ

＝

ＣＭ

，

∴

Ｂ

Ｅ

＋

ＭＤ

＝

Ｂ

Ｍ

；

（

２

）

如

圖

，

作

ＥＨ

⊥

Ａ

Ｂ

交

Ｂ

Ｃ

于

Ｈ

，

交

Ａ

Ｂ

于

Ｆ

．

由

（

１

）

△

Ａ

Ｂ

Ｅ

≌

△

Ａ

ＣＤ

得

∠

Ａ

Ｂ

Ｅ

＝

∠

Ａ

ＣＤ

，

∵

∠

Ａ

ＣＤ

＝

∠

Ａ

Ｂ

Ｃ

，

∴

∠

Ａ

Ｂ

Ｅ

＝

∠

Ａ

Ｂ

Ｄ

，

在

△

Ｂ

Ｅ

Ｆ

和

△

Ｂ

ＨＦ

中

，

∠

ＥＢ

Ｆ

＝

∠

ＨＢ

Ｆ

，

Ｂ

Ｆ

＝

Ｂ

Ｆ

，

{

∠

Ｂ

ＦＥ

＝

∠

Ｂ

ＦＨ

＝

９

０

°

，

∴

△

Ｂ

Ｅ

Ｆ

≌

△

Ｂ

ＨＦ

（

Ａ

Ｓ

Ａ

）

，

∴

Ｂ

Ｅ

＝

Ｂ

Ｈ

，

由

（

１

）

知

：

Ｂ

Ｅ

＋

ＭＤ

＝

Ｂ

Ｍ

，

∴

ＭＨ

＝

ＭＤ

，

∵

ＭＮ

∥

ＨＥ

，

∴

ＥＮＤＮ

＝

ＭＨＭＤ

，

∴

ＥＮ

＝

Ｄ

Ｎ．

例

３

（

１

）

證

明

：

如

圖

１

中

，

∵

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

正

方

形

，

∴

Ａ

Ｂ

＝

Ａ

Ｄ

，

∠

Ｂ

＝

∠

ＢＡ

Ｄ

＝

９

０

°

∵

Ｄ

Ｅ

⊥

Ａ

Ｆ

，

∴

Ａ

ＰＤ

＝

９

０

°

，

∴

∠

ＰＡ

Ｄ

＋

∠

Ａ

Ｄ

Ｅ

＝

９

０

°

，

∠

ＰＡ

Ｄ

＋

∠

ＢＡ

Ｆ

＝

９

０

°

，

∴

∠

ＢＡ

Ｆ

＝

∠

Ａ

Ｄ

Ｅ

，

∴

△

Ａ

Ｂ

Ｆ

≌

△

ＤＡ

Ｅ

（

Ａ

Ｓ

Ａ

）

，

∴

Ｂ

Ｆ

＝

Ａ

Ｅ

．

（

２

）

如

圖

２

中

，

連

接

Ａ

Ｑ

，

Ｃ

Ｑ

，

∵

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

正

方

形

，

∴

ＢＡ

＝

Ｂ

Ｃ

，

∠

Ａ

Ｂ

Ｑ

＝

∠

ＣＢ

Ｑ

＝

４

５

°

，

∵

Ｂ

Ｑ

＝

Ｂ

Ｑ

，

∴

△

Ａ

Ｂ

Ｑ

≌

△

ＣＢ

Ｑ

（

Ｓ

Ａ

Ｓ

）

，

∴

ＱＡ

＝

Ｑ

Ｃ

，

∠

ＢＡ

Ｑ

＝

∠

Ｑ

ＣＢ

，

∵

Ｅ

Ｑ

垂

直

平

分

線

段

Ａ

Ｆ

，

∴

ＱＡ

＝

Ｑ

Ｆ

，

∴

∠

Ｑ

Ｆ

Ｃ

＝

∠

Ｑ

Ｃ

Ｆ

，

∴

∠

Ｑ

Ｆ

Ｃ

＝

ＢＡ

Ｑ

，

∵

∠

Ｑ

Ｆ

Ｃ

＋

∠

Ｂ

Ｆ

Ｑ

＝

１

８

０

°

，

∴

∠

ＢＡ

Ｑ

＋

∠

Ｂ

Ｆ

Ｑ

＝

１

８

０

°

，

∴

∠

Ａ

Ｑ

Ｆ

＋

∠

Ａ

Ｂ

Ｆ

＝

＝

１

８

０

°

，

∵

∠

Ａ

Ｂ

Ｆ

＝

９

０

°

，

∴

∠

Ａ

Ｑ

Ｆ

＝

９

０

°

，

∴

∠

Ａ

Ｆ

Ｑ

＝

∠

ＦＡ

Ｑ

＝

４

５

°

．

（

３

）

過

點

Ｅ

作

Ｅ

Ｔ

⊥

ＣＤ

于

Ｔ

，

則

四

邊

形

Ｂ

Ｃ

ＴＥ

是

矩

形

．

∴

Ｅ

Ｔ

＝

Ｂ

Ｃ

，

∠

Ｂ

Ｅ

Ｔ

＝

∠

Ａ

Ｅ

Ｔ

＝

９

０

°

，

∴

四

邊

形

Ａ

Ｂ

ＣＤ

是

正

方

形

，

!

"

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７

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