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（2023 海淀一模）★★★☆

26．在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，點(diǎn)

0 A x m ( , ) ， 0 B x n ( 4, ) +

在拋物線

2

y x bx = ? + 2 1

上．

（1）當(dāng) b＝5， 0

x = 3

時(shí)，比較 m 與 n 的大小，并說明理由；

（2）若對于

0

3 4 x

，都有

m n ? ?1

，求 b 的取值范圍．

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吳老師圖解

（1）

m n = .

思路&圖解

由題知拋物線的解析式為

2

y x x = ? + 10 1，點(diǎn)

A m (3, ) ， B n (7, ) ，

易求得對稱軸為

x =5，

如圖，點(diǎn)

A

與點(diǎn)

B

關(guān)于對稱軸對稱，故

m n = .

（2）

4 5 ? ?b .

思路一：對稱性比遠(yuǎn)近

思路&圖解

如圖，

1）由題知拋物線開口向上，故拋物線上距離對稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，

2）易求得對稱軸為

x b = ，

3）①若

m n ? ，則

0 0 4

2

x x b

+ +

?

，即

0

b x ? + 2 ，

根據(jù)題意，當(dāng)

0

3 4 x

時(shí)，都有

m n ? ，故

0 min b x ? + ( 2)

，即

b ?5 ，

②若

n ?1，同理，

0

max

0 4

2

x

b

? ? + +

? ? ? ? ?

，即

b ? 4，

?

綜上所述：

4 5 ? ?b .

提示：把

m n ? ?1

中的“1”當(dāng)成第 3 個(gè)函數(shù)值

3

y .

思路二：代數(shù)“硬算”

思路&圖解

1）

2 2

0 0 0 0 m x bx x b x = ? + = ? + + 2 1 2 1，

2 2

0 0 0 0 n x b x x b x = + ? + + = ? + + + + ( 4) 2 ( 4) 1 2( 4) ( 4) 1，

2）①若

m n ? ，則

2 2

0 0 0 0 ? + + ? ? + + + + 2 1 2( 4) ( 4) 1 x b x x b x ，整理得

0

b x ? + 2 ，

根據(jù)題意，當(dāng)

0

3 4 x

時(shí)，都有

m n ? ，故

0 min b x ? + ( 2)

，即

b ?5 ，

②若

n ?1，則

2

0 0 ? + + + + ? 2( 4) ( 4) 1 1 x b x

，同理，有

0

max

4

2

x

b

? ? +

? ? ? ? ?

，即

b ? 4，

?

綜上所述：

4 5 ? ?b .

x=5

3 7

n

x0+4

m

x0

1

0