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吳康專輯

余弦“三劍客”冪和式

? 華南師范大學(xué) ? 吳 康

§ 1. 余弦“三劍客”

導(dǎo)言

三元數(shù)組 (a, b, c) 稱為余弦“三劍客”, 其中

a = 2 cos

2π

7

, b = 2 cos

4π

7

, c = 2 cos

6π

7

. (1.1)

余弦“三劍客”是筆者起的名字, 緣于“7”像一把劍, 鑒于

a, b, c 的運(yùn)算曾刺傷一些數(shù)學(xué)愛好者的耐心, 故起此名,

希望能被理解和接受.

§ 2. 余弦“三劍客”冪和式數(shù)列的特征方程

定義 2.1

稱

Sn = a

n + b

n + c

n

(n ∈ Z) (2.1)

為余弦“三劍客”冪和式數(shù)列, a, b, c 為其特征根.

定理 2.1

{Sn}n∈Z 的特征方程 [1] 為

t

3 + t

2 ? 2t ? 1 = 0. (2.2)

解析

證: 考察三角方程 [2]

cos 4θ = cos 3θ, 0 ? θ ? π. (2.3)

易得 4θ = 2kπ ± 3θ (k ∈ Z). 由 0 ? θ ? π 可得

θ = 0,

2π

7

,

4π

7

,

6π

7

. (2.4)

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另一方面, 令 cos θ = x, 展開可得

8x

4 ? 8x

2 + 1 = 4x

3 ? 3x

=?(x ? 1) (

8x

3 + 4x

2 ? 4x ? 1

)

= 0. (2.5)

可知 cos

2π

7

, cos

4π

7

, cos

6π

7

滿足方程

8x

3 + 4x

2 ? 4x ? 1 = 0.

令 t = 2x, 即知 a, b, c 是方程 (2.2) 的三根.

§ 3. 楊志明文 [3] 四題另解

導(dǎo)言

文 [3] 四道題實(shí)質(zhì)為求 1

a

+

1

b

+

1

c

, ?2

(

1

a

+

1

b

+

1

c

)

,

?

1

2

(a + b + c), ?

1

8

abc 的值. 另解如下.

解析

解: 因 a, b, c 為 (2.2) 的三根, 由三階韋達(dá)定理得

a + b + c = ?1, bc + ca + ab = ?2, abc = 1. (3.1)

故

1

a

+

1

b

+

1

c

=

bc + ca + ab

abc = ?2. (3.2)

從而 [3] 中四道題的答案分別為 ?2, 4,

1

2

, ?

1

8

.

§ 4. 余弦“三劍客”冪和式數(shù)列滿足的遞推關(guān)系式

結(jié)論

由定理 2.1 即知 [1]

{Sn}n∈Z 滿足常系數(shù)線性齊次 3

階遞推關(guān)系式

Sn+3 + Sn+2 ? 2Sn+1 ? Sn = 0 (n ∈ Z). (4.1)

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其初始值組 [4]?0 = (S0, S1, S2) 可計(jì)算如下:

S0 = a

0 + b

0 + c

0 = 3, (4.2)

S1 = a + b + c = ?1, (4.3)

S2 = a

2 + b

2 + c

2

= (a + b + c)

2 ? 2 (bc + ca + ab) = 5. (4.4)

§ 5. 余弦“三劍客”冪和式數(shù)列的求值

結(jié)論

由 (4.1) ～ (4.4) 可逐步雙向遞推算得下表:

表 5.1 余弦“三劍客”冪和式數(shù)列表

n ?17 ?16 ?15 ?14

Sn ?948823 422266 ?187926 83635

n ?13 ?12 ?11 ?10

Sn ?37221 16565 ?7372 3281

n ?9 ?8 ?7 ?6

Sn ?1460 650 ?289 129

n ?5 ?4 ?3 ?2

Sn ?57 26 ?11 6

n ?1 0 1 2

Sn ?2 3 ?1 5

n 3 4 5 6

Sn ?4 13 ?16 38

n 7 8 9 10

Sn ?57 117 ?193 370

n 11 12 13 14

Sn ?639 1186 ?2094 3827

n 15 16 17 18

Sn ?6829 12389 ?22220 40169

n 19 20 21 22

Sn ?72220 130338 ?234609 423065

n 23 24 25 26

Sn ?761945 1373466 ?2474291 4459278

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參考文獻(xiàn)

[1] 曹汝成. 組合數(shù)學(xué) [M]. 第二版. 廣州: 華南理工大學(xué)出版

社, 2012, P80 ～ 94.

[2] 吳 康, 龍開奮. 關(guān)于切比雪夫多項(xiàng)式的一些研究 [J]. 中

學(xué)數(shù)學(xué)研究, 2006 年第 3 期, P27 ～ 30.

[3] 楊志明. 一個(gè)未解決的復(fù)數(shù)求值問題的解答及相關(guān)問題

[J].“楊志明數(shù)學(xué)角”公眾號, 2022-12-03.

[4] 吳 康. k 元冪和式滿足的遞推關(guān)系式 (I)[J].“蘇國東數(shù)

學(xué)教學(xué)”公眾號, 2022-11-23.

作者簡介

吳 康 （1957 ～ ），

男，廣東高州人。華南師范

大學(xué)原教學(xué)督導(dǎo)，數(shù)學(xué)科學(xué)

學(xué)院副教授、《中學(xué)數(shù)學(xué)研

究》原主編。首批中國數(shù)學(xué)

奧林匹克高級教練，高校競賽數(shù)學(xué)課程首位主講，

首批數(shù)學(xué)國家集訓(xùn)隊(duì)教練。全國初等數(shù)學(xué)研究會(huì)

理事長，廣東省初等數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)創(chuàng)會(huì)會(huì)長、名譽(yù)會(huì)

長，廣東省高考研究會(huì)創(chuàng)會(huì)理事長，中國高等教

育學(xué)會(huì)教育數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)副理事長，原丘成桐

中學(xué)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)南部賽區(qū)組委會(huì)主任，廣東省教育系

統(tǒng)棋類協(xié)會(huì)常務(wù)副會(huì)長。榮獲全國初等數(shù)學(xué)研究

突出貢獻(xiàn)獎(jiǎng)、廣西壯族自治區(qū)科技進(jìn)步獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)、

廣東省高等教育教學(xué)成果一等獎(jiǎng)。

（2022 年 8 月）