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吳康專輯
余弦“三劍客”冪和式
? 華南師范大學(xué) ? 吳 康
§ 1. 余弦“三劍客”
導(dǎo)言
三元數(shù)組 (a, b, c) 稱為余弦“三劍客”, 其中
a = 2 cos
2π
7
, b = 2 cos
4π
7
, c = 2 cos
6π
7
. (1.1)
余弦“三劍客”是筆者起的名字, 緣于“7”像一把劍, 鑒于
a, b, c 的運(yùn)算曾刺傷一些數(shù)學(xué)愛好者的耐心, 故起此名,
希望能被理解和接受.
§ 2. 余弦“三劍客”冪和式數(shù)列的特征方程
定義 2.1
稱
Sn = a
n + b
n + c
n
(n ∈ Z) (2.1)
為余弦“三劍客”冪和式數(shù)列, a, b, c 為其特征根.
定理 2.1
{Sn}n∈Z 的特征方程 [1] 為
t
3 + t
2 ? 2t ? 1 = 0. (2.2)
解析
證: 考察三角方程 [2]
cos 4θ = cos 3θ, 0 ? θ ? π. (2.3)
易得 4θ = 2kπ ± 3θ (k ∈ Z). 由 0 ? θ ? π 可得
θ = 0,
2π
7
,
4π
7
,
6π
7
. (2.4)
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