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（2023-2024 豐臺九上期中——二次變換圖形）★★☆
28．在平面直角坐標系 xOy 中，給出如下定義：將圖形 M 繞直線 x＝3 上某一點 P 順時針
旋轉 90°，得到圖形 M'，再將圖形 M'關于直線 x＝3 對稱，得到圖形 N，此時稱圖形 N 為圖形
M 關于點 P 的“二次變換圖形”
已知點 A（0，1）．
（1）若點 P（3，0），直接寫出點 A 關于點 P 的“二次變換圖形”的坐標；
（2）若點 A 關于點 P 的“二次變換圖形”與點 A 重合，求點 P 的坐標；
（3）若點 P（3，－3），⊙O 半徑為 1．已知長度為 1 的線段 AB，其關于點 P 的“二次變
換圖形”上的任意一點都在⊙O 上或⊙O 內，直接寫出點 B 的縱坐標 yB的取值范
圍．
備用圖
備注：改編自·2022-2023 東城九上期末
x
y
O
2 / 3
吳老師圖解
（1）（2，3）.
思路&圖解
如圖，根據(jù)題意，“二次變換圖形”的
坐標為（2，3）.
備注：三垂直模型.
（2）（3，－2）.
思路一：正向思考
思路&圖解
如圖，設 P（3，y），
1）利用“三垂直模型”可得 A'（3＋1－y，y＋3），
2）利用對稱得 N（2＋y，y＋3），
2）若點 N 與點 A 重合，則
2 0
3 1
y
y
? + = ?
? + =
，解得 y＝－2.
∴綜上所述：P 的坐標為（3，－2）.
思路二：逆向思考
思路&圖解
如圖，
1）先將點 A 關于 x＝3 對稱，得到點 A'
（6，1），
2）以 AA'為斜邊構造等腰直角△AA'P，
那么，點 A'繞點 P 逆時針旋轉 90°后可與點 A
重合，滿足題意，
易知，點 P 的坐標為（3，－2）.
x
y
x = 3
N A'
P
A
O
x
y
x = 3
N A'
A
P
x
y
x = 3
P
A A'
O
3 / 3
（3）0≤yB≤
1
2
.
規(guī)律總結
既然，線段 AB 的“二次變換圖形”上任意一點都在⊙O 上或內，即出發(fā)地未知&目的地
明確，那么，我們就直接利用“逆向思維”倒推唄...
如圖，根據(jù)題意，點 B 應在圖示弧 MN 上！
思路&圖解
如圖，
1）△AOM 是等邊三角形，
2）yM＝y(tǒng)N＝OH＝
1
2
，
∴0≤yB≤
1
2
.
x
y
x = 3
M N
P
O'
A
O
B
x
y
M H N
A
O
B
