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第一章 集合與常用邏輯用語、不等式

第1講集合及其運算
第2講 常用邏輯用語 5
第3講不等式及其性質(zhì)·… 8
第4講基本不等式（課堂延伸:柯西不等式與權(quán)方和不等式） 10
第5講一元二次不等式·.· 14

考情動態(tài)速遞

核心考向

·集合的交并補運算/P3變式4 ·利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷 充分、必要條件/P6例1

創(chuàng)新考法

結(jié)合圓的標準方程利用基本不等式求最值/P11變式3

第二章 函數(shù)

第6講函數(shù)的概念及其表示 18
第7講 函數(shù)的單調(diào)性與最值(課堂延伸:對勾函數(shù)與飄帶函數(shù)) 21
第8講函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性··· 25
第9講冪函數(shù)與二次函數(shù)·.·· 29
第10講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)·… 32
第11講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)· 35

重難點突破 ^{1} 指、對、冪比較大小問題 38

第12講 函數(shù)的圖象 40
第13講 函數(shù)與方程 43
第14講 函數(shù)模型及其應(yīng)用 46

八省考情

重難考點

已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)范圍/P45例3

創(chuàng)新考法

以國民收入支配和國家經(jīng)濟發(fā)展為背景建立函數(shù)模型/P48變式2

第三章 一元函數(shù)的導數(shù)及其應(yīng)用

第15講導數(shù)的運算及其幾何意義 49
第16講導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性· 53
第 17講導數(shù)與函數(shù)的極值、最值(課堂延伸:三次函數(shù)) 57
第18講函數(shù)中的構(gòu)造問題 62

重難點突破2指對同構(gòu)問題 65

重難點突破3利用導數(shù)研究恒（能）成立問題(課堂延伸:洛必達

核心考向

·曲線過某點的切線方程/ P51例5
·分類討論含參函數(shù)的單調(diào) 性/P55例3

重難考點

利用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)研究參數(shù)取值范圍問題/P75例2

創(chuàng)新考法

重難點突破4利用導數(shù)證明不等式問題 71
重難點突破5利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題 74
拔高點突破 ^{1} 極值點偏移問題 77

構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)解決三角形問題/P63變式2

第四章 三角函數(shù)與解三角形

第19講任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念·.·· 80
第 20講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式 84
第21講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式·. 87
第22講簡單的三角恒等變換·… 90
第23講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 93
第24講函數(shù) y=A\sin\big(\omega x+\varphi\big) 的應(yīng)用 97

·三角函數(shù)弦切互化問題/P85例2
·根據(jù)正、余弦定理判斷三角形的形狀/P103例2

核心考向

重難點突破6三角函數(shù)中 \omega 的取值問題 100

重難考點

·根據(jù)最值(值域）求解 \omega 的取值范圍/P100變式2·利用正、余弦定理解決三角形中的角平分線問題/P105例4

第 25講正弦定理、余弦定理(課堂延伸：射影定理) 102
第26講解三角形應(yīng)用舉例·.· 107

創(chuàng)新考法

數(shù)形結(jié)合解決直線與三角函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題/P92例5

第五章 平面向量、復數(shù)

核心考向

·根據(jù)向量共線求參數(shù)的值/P116變式3
·利用向量數(shù)量積求向量的模/P119例3
第27講平面向量的概念及線性運算 110
第 28講平面向量基本定理及坐標表示(課堂延伸：等和線定理)114
第29講平面向量數(shù)量積(課堂延伸:極化恒等式) 117
第 30講平面向量的綜合應(yīng)用(課堂延伸:三角形的四心與奔馳定理)121
第31講復數(shù)…·· 124

重難考點

三角形的垂心與奔馳定理的綜合運用/P123變式4

創(chuàng)新考法

向量與動點軌跡結(jié)合求最值問題/P122變式3

第六章 數(shù)列

八省考情

第32講數(shù)列的概念和性質(zhì)· 127
第33講等差數(shù)列 130

等比數(shù)列的判定與證明不等式 問題/P135變式2[八?。▍^(qū))聯(lián) 考2025 * 16]

第34講等比數(shù)列 133
重難點突破 ^7 構(gòu)造法求數(shù)列通項 137
第35講數(shù)列求和 139
第36講數(shù)列的綜合應(yīng)用 142
拔高點突破 ^2 特殊數(shù)列與子數(shù)列問題 145
拔高點突破3數(shù)列的新定義問題 147

核心考向

利用等差數(shù)列項的性質(zhì)求項/P132例3

重難考點

以太極衍生原理為背景考查數(shù)列奇偶項問題/P146變式3

創(chuàng)新考法

數(shù)列的新定義與概率的綜合應(yīng)用/P148變式1

第七章 立體幾何與空間向量

第37講基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積(課堂延伸：
祖原理) 149
重難點突破 8 內(nèi)切球、外接球、棱切球問題 154
第38講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 157
第39講 空間直線、平面的平行 161
第40講 空間直線、平面的垂直 164
第41講 空間向量的概念與應(yīng)用 167
第42講空間角與空間距離 172
重難點突破 {\mathfrak{g}} 空間中的截面、翻折及探索性問題 179
拔高點突破 ^4 空間中的動態(tài)問題（含八省聯(lián)考題型創(chuàng)新解讀）·182

核心考向

·以蒙古包為例考查幾何體的表面積/P152例2
·利用向量法證明線面平行及線線垂直/P171變式4
·利用幾何法求直線與平面所成角/P175例2
·利用向量法求平面與平面夾角的余弦值/P176變式3

重難考點

·利用翻折前后各量之間的變化關(guān)系判斷空間中的位置關(guān)系/P179例2·根據(jù)空間位置關(guān)系求動點軌跡的長度/P182變式2

第八章 解析幾何

第43講直線方程· 185
第44講 兩條直線的位置關(guān)系· 188
第45講 圓的方程(課堂延伸:阿波羅尼斯圓) 191
第46講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 193
第47講 橢圓(課堂延伸:蒙日圓) 196
第48講 雙曲線 201
第 49 講拋物線(課堂延伸:阿基米德三角形) 205

八省考情

直線與拋物線的位置關(guān)系/P207變式3[八省（區(qū)）聯(lián)考2025·9]

核心考向

·直線與圓相交弦的最值問題/P195例4
·利用直接法求動點軌跡方程/P209例1

重難點突破 10 曲線的軌跡方程問題 209

第50講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 211
重難點突破 ^{11} 圓錐曲線中的定點、定值、定線問題·.·....·· 214
拔高點突破5圓錐曲線中的求值、證明與探索性問題··· 217
拔高點突破 6 圓錐曲線中的最值、范圍問題 220

重難考點

·橢圓中的最值問題/P199例5
·圓錐曲線中動點在定直線上的問題/P216例3

創(chuàng)新考法

以阿基米德三角形為背景考查拋物線的切線方程/P208例5

第51講兩個計數(shù)原理 222
第52講排列組合 225
第53講二項式定理 228

核心考向

·定序的排列問題/P226例2·二項展開式中的特定項問題/P228例1

重難考點

二項式系數(shù)的最值問題/P230例5

第十章 概率與統(tǒng)計

第54講隨機事件與概率· 231
第55講 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式··· 235
第56講 離散型隨機變量及其分布列、均值與方差· 238
第57講 二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布 242
第58講 隨機抽樣 247
第59講 用樣本估計總體 251
第60講 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析· 256
第61講概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用 262

八省考情

列聯(lián)表、獨立性檢驗/P261變式4[八?。▍^(qū)）聯(lián)考2025 * 15]

核心考向

·相互獨立事件發(fā)生的概率/P236例2·根據(jù)頻率分布直方圖求解百分位數(shù)/P254變式3

重難考點

非線性回歸模型的應(yīng)用/ P259例3

創(chuàng)新考法

以新能源汽車為背景考查概率與數(shù)列的綜合問題/P265變式1

作業(yè)本（P267-P432）答案及詳解（P433-P632）

第

講集合及其運算

溫習 知識梳理

1.元素與集合

(1)集合中元素的三個特征：

(2)元素與集合的關(guān)系：
若 a 是集合 A 的元素，就說 ^{a} 屬于集合 A ,記作：；若 ^{ a} 不是集合 A 的元素，就說 ^{a} 不屬
于集合 A ,記作：

(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法，(4)集合的分類：按元素的個數(shù)分為 和

(5)常用數(shù)集的記法：

(6)全集與空集：

不含任何元素的集合叫作空集，記作一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，稱這個集合為全集，記作

2.集合間的基本關(guān)系

3.集合的基本運算

常用結(jié)論

1.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。2.若一個集合含有 n 個元素，則它的子集有 2^{n} 個，非空子集有 \left( 2^{n}-1 \right) 個，真子集有 \left( 2^{n}-1 \right) 個，非空真子集有 (2^{n}{-}2) 個.\left|\begin{array}{l}{3,\left(1\right)A\subseteq\left(A\cup B\right);B\subseteq\left(A\cup B\right);A\cup A=A;A\cup\emptyset=\left|}\\ {A\{A\cup B=B\cup A\};A\cup B=B\LeftrightarrowA\subseteqB,}\\ {\left(2\right)\left(A\cap B\right)\subseteq A;\left(A\cap B\right)\subseteq B;A\cap A=A;A\cap\emptyset=}\\ {\left(\emptyset;A\cap B=B\cap A;A\cap B=A\LeftrightarrowA\subseteqB,}\\ {\left(3\right)\complement_{v}U=\emptyset;\complement_{v}\emptyset=U;\complement_{v}(\complement_{v}A)=A;A\cup\left(\complement_{v}A\right)=U;}\\ {A\cap(\complement_{v}A)=\emptyset.}\end{array}\right| 4.德·摩根定律：\begin{array}{r}{\left\{ \mathsf{\widehat{\mathsf{G}}}_{U}(A\cup B)=( \mathsf{\widehat{G}}_{U}A)\cap( \mathsf{\widehat{G}}_{U}B) ; }\\ { \mathsf{\widehat{\mu}}_{U}(A\cap B)=( \mathsf{\widehat{G}}_{U}A)\cup( \mathsf{\widehat{G}}_{U}B) .}\end{array}

基礎(chǔ)自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內(nèi)打“ \vee ”或"x'

(1)集合 \left\{ y \right|\}y=2x ,x\in\mathbf{R} \right\} 與集合 \mid\left(\;x ,y \right)\mid y=2x ， x\in\mathbb{R}\} 表示同一集合.

(3)集合/1,2,3,5}的真子集的個數(shù)為15.

（4）設(shè) U=\mathbf{R} ,A=\left\{x \left| {(x-1)/(x+1)}>0\right.\right\} \stackrel{\wedge}{?}_{U}A=\left\{\left.x\;\right|(x-1)/(x+1)<=slant 0\bigm\}=\{ x |-1<x<=slant1 \} .

2.已知全集 U=\{\:x\in\mathbf{N}\:|\:x<=7\:\} A=\{ 2,3 ,6 ,7 \}\;, B= 2,3,4,5,則 A\cap(\complement_{U}B)=

A. 6,7} B.{1,7} C. 1,6} D.{1,6,7}

3.[北師版必修一P12A組T5 改編］滿足條件{1,2\nmid\mp A\subseteq\{ 1 ,2 ,3 ,4 \} 的集合 A 的個數(shù)是（）

A. 1 B.2
C.3 D.4

4.[北師版必修一P12A組T10改編]已知集合 M= 1 N{=}\{a ,a^{2}\} ,且 M\cup N{=}N 則實數(shù) a=

精講 考點剖析

考點1 元素與集合間的關(guān)系

例1（1)［四川樂山2024三模]已知集合 A=\left\{\begin{array}{l l}{x ,}\end{array}\right. y\wedge^{2}+y^{2}<=slant10 ,x\in\mathbf{N}_{+} ,y\in\mathbf{N}_{+} \} ,則集合 A 的元素個數(shù)為

A.9 B.8
C.6 D.5

（2）［江西新余2024模擬］已知數(shù)集 A ,B 滿足 A\cap B=\{ 1 ,2 ,3 \} A\cup B=\{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 \} ，若 4\not\in A

則一定有

A,5\in A B. 5 ± A \operatorname{C}.4\in B D.4B

課堂記錄：

變式1（1)［江蘇南通2025開學考］若 \boldsymbol{x}\in\mathbf{N} ，集合 A=\{ 0 ,1 ,2 ,3 \} B=\{ x ,x^{2} ,3 ,4 \} ，則 A\cap B 滿足

A. 0\in\left(A\cap B\right) B.~l~\in\left(A\cap B\right) C. 2\notin\left(A\cap B\right) D. 3\not\in(A\cap B)

(2)已知集合 A=\left\{ \left( x ,y \right) | x +y=8 ,x ,y\in\mathbf{N}_{+} \right\} ， B= \left\{ ( x ,y )\;|\;|x{-}y | {>}2 ,x ,y\in\mathbf{R} \right\} ，則 A\cap B 中元素的個

考點2 集合與集合間的關(guān)系

A.2 B.3 C.4 D.5

方法點透

利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)時，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.

角度1集合的關(guān)系

例2［山西大同2025開學考]已知集合 A=\{ x \vert x(2-x)>0\} B=\{ x | {√(x+1)}>=slant1 \} ，則

\qquad\qquadA.~A\cap B=\emptyset\qquad\qquad\qquadB.~A\cup B=\mathbf{R} C.BCA D.ACB

課堂記錄：

A.2 B.1 2
C. D.-1 3

課堂記錄：

變式3→［江蘇常州2024三模］已知集合 A=\{ x \vert -1<=slantx+1<=slant6\} B=\left\{ x | m{-} 1{<}x{<}2m{+} 1 ,m\in\mathbf{R} \right\} ，若 A\cup B{=}A ，則實數(shù) m 的取值范圍為

變式2>[廣東佛山2025月考]滿足集合1,2|為 M 的子集且 M\subseteq\{1,2,3,4,5\} 的集合 M 的個數(shù)是(

A.6 B.7
C.8 D.15

角度2 已知集合的關(guān)系求參數(shù)的值（范圍）

例3[全國新課標 \mathbb{I} 2023*2 ] 設(shè)集合 A=\{0,-a\} ， B=\{ 1 ,a{-}2 ,2a{-}2 \} ,若 A\subseteq B ，則 a=

方法點透·

1.已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)，關(guān)鍵是將兩個集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對參數(shù)進行討論.確定參數(shù)所滿足的條件時，一定要把端點值代入進行驗證，否則易增解或漏解.
2.當 B 為A的子集時，若未說明 B 非空，則應(yīng)考慮 B 為空集的情況.

考點 3 集合的基本運算

角度1集合的基本運算

例4[全國新課標 ~I~2024*1] 已知集合 A=\{x\vert-5< x^{3}<51 ， B=\{ -3 ,-1 ,0 ,2,3 \} ,則 A\cap B=

A. \left\{{ -1,0}\right\} B. 2,3}C. \left\{-3,-1,0\right\} D. -1,0,2}課堂記錄：

變式4［[全國甲（理) 2023*1] 設(shè)全集 \boldsymbol{U}=\mathbf{Z} ,集合 M=\left\{ x | x=3k+1 ,k\in{\bf Z} \right\} ,N=\left\{ x | x=3k+2 ,k\in{\bf Z} \right\} . 則 \big\upzeta_{\upsilon}(M\cup N)=

A. \left\{ x \right|x=3k ,k\in\mathbf{Z} \right\} B. \left\{ x | x=3k-1 ,k\in\mathbf{Z} \right\} C. \left\{ x | x=3k-2 ,k\in\mathbf{Z} \right\} D.O

角度2 已知集合的運算求參數(shù)的值（范圍）

例5[江蘇南京2025開學考］已知集合 A=\{x\in\mathbf{Z}\} \lvert x\rvert<=slant2\lvert ， B=\{ x | x<=slant a \} ,若 A\cap B 中只有1個元素,則實數(shù) ^{a} 的取值范圍是

A.[-2,-1] B.[-2,-1)C.(-1,0) D.[-1,0]課堂記錄：

變式5+已知集合 A=\{ x \vert \left( x+1 \right) * \left( x-a \right)<=slant0 \} ， B {=} \left\{ x | \left( x+3 \right)\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)=0 \right\} ，若 A\cap B\neq\emptyset ,則實數(shù) ^{a} 的取值范圍為

方法點透·

解決集合運算問題的注意點：

1.看元素構(gòu)成；2.對集合進行化簡，明確集合中元素的特點；3.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常見的工具有數(shù)軸和Venn圖等.

考點 4 容廳原理的應(yīng)用

例6市場調(diào)查公司為了了解某小區(qū)居民在訂閱報紙方面的取向，抽樣調(diào)查了500戶居民，調(diào)查的結(jié)果顯示：訂閱晨報的居民有334戶，訂閱晚報的居民有297戶，其中兩種報紙都訂閱的居民有150戶，則兩種報紙都不訂閱的居民有戶.

課堂記錄：

變式6某班共有學生47人,寒假參加體育訓練，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人,則三項都參加的人數(shù)為（）

A.2 B.3
C.4 D.5

方法點透

利用容斥原理先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來,再把計數(shù)時重復計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復.

考點5 集合新定義

例7[河北石家莊二中2025月考］若 x\in A ,且 -x\in A,就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合 M=\{-2,-1,0 1,2,3的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)是 (

A.31 B.7 C.3 D.1課堂記錄：

變式7（多選)對任意 {\cal A} ,{\cal B}\subseteq{\bf R} ，記 A{±}B=\{ x | x\in \left(A\cup B\right),x\notin\left(A\cap B\right)\} ,并稱 A{+}B 為集合 A ,B 的 對稱差.例如：若 A=\{ 1 ,2 ,3 \} ， B=\{ 2,3,4 \} ，則

A{+}B=\{1,4\} .下列命題中,為真命題的是(

A.若 {\cal A} ,{\cal B}\subseteq{\bf R} 且 A{+}B=B ,則 A=\varnothing B.若 {\boldsymbol{A}} ,{\boldsymbol{B}}\subseteq\mathbf{R} 且 A{+}B={-} ,則 A=B C.若 {\boldsymbol{A}} ,{\boldsymbol{B}}\subseteq\mathbf{R} 且 \left(A\odotB\right)\subseteqA ,則 A\subseteq B D.存在 {\boldsymbol{A}} ,{\boldsymbol{B}}\subseteq\mathbf{R} ,使得 A\oplus B\neq\complement_{\mathbb{R}}A\oplus\complement_{\mathbb{R}}B

方法點透

解決集合新定義問題，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，結(jié)合題目所給定義和要求轉(zhuǎn)化為已學知識。

提示:課后完成《作業(yè)本》第1練

講常用邏輯用語

溫習 知識梳理

1.命題

可以 ,用文字或符號表述的陳述句叫作命題.

2.充分條件、必要條件與充要條件的概念

3.全稱量詞和存在量詞

（1)全稱量詞：在命題中，“所有”“任意”這樣的詞叫作全稱量詞，用符號“ ”表示。

（2)存在量詞：在命題中，“存在”“有一個”這樣的詞叫作存在量詞，用符號“ ”表示。

4.全稱量詞命題、存在量詞命題的否定

常用結(jié)論

1.命題 p 與它的否定 \neg p 真假性相反.
2.若 p 是 q 的充分不必要條件，則 q 是 p 的必要 不充分條件；若 p 是 q 的必要不充分條件，則 q 是 p 的充分不必要條件.
3.若 x\in A 是 x\in B 的充分條件，則 A\subseteq B ；若 x\in A 是 x\in B 的必要條件，則 A\supseteq B ；若 x\in A 是 x\in B 的充分不必要條件，則 A\subsetneq B ；若 x\in A 是 x\in B 的 必要不充分條件，則 A {\stackrel{style\supset}{\neq}} B
4.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量 詞命題的否定是全稱量詞命題.

基礎(chǔ)自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內(nèi)打“√”或x'" (1)“至少有一個三角形的內(nèi)角和是 180° ”是全稱量詞命題. （）(2)已知 p:x>0 ,q:x>1 ，則 p 是 q 的充分不必要條件. （）(3)設(shè) a ,b ,c\in\mathbb{R} ，則 a^{2}+b^{2}+c^{2}=a b+a c+b c 的充要條件是 a=b=c （）(4)已知命題 p ：存在一個四邊形，它的四個頂點不在同一個圓上,則命題 p 是真命題．（）

2.[北師版必修一 P23A 組T3(3)改編]命題“ \exists x\in R,使 x^{2}+x-1\neq0^{,\ast} 的否定是

A.3 \boldsymbol{x}\in\mathbf{R} ，使 x^{2}+x-1=0 B.不存在 x\in\mathbf{R} ，使 x^{2}+x-1\neq0 C. \forall x\notin\mathbf{R} ,使 x^{2}+x-1=0 D. \forall x\in\mathbf{R} ，使 x^{2}+x-1=0

3.［北師版必修－P23B組T1（1)改編］“方程 x^{2} a x+1=0 有實根”是“ a>=slant2 ”的 (

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

4.已知集合 A=\{ 1 ,3 ,a^{2} \} B=\{ 1 ,a+2 \} ，若“ x\in A ” 是“ x\in B ”的必要不充分條件，則實數(shù) \footnote{T w o t y p i c a l a p p l i c a t i o n s c e n a r i o s f o r t h e p r o p o s e d s y s t e m a r e h e a l t h c a r e,a n d l o g i s t i c s a n d w a r e h o u s i n g,i n w h i c h m u l t i p l e I o T d e v i c e s a r e d e p l o y e d c l o s e t o t h e r e c e i v e r a n d t h e t i m e d e l a y b e t w e e n t h e d i r e c t l i n k a n d b a c k s c a t t e r l i n k i s t h u s n e g l i g i b l e.} 的值是

精講 考點剖析

考點1 充分條件與必要條件

角度1充分、必要條件的判斷

例1[東北三省2025聯(lián)考］已知 \{ a_{n} \} 是無窮數(shù)列，a_{1} {=} 3 ,則“對任意的 m ,n\in\mathbf{N}_{+} ,都有 a_{m+n}=a_{m}+a_{n} 是“ \left\{a_{n}\right\} 是等差數(shù)列”的

A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件

課堂記錄：

變式1[重慶2024月考]已知 p:x^{2}{-}2x{-}3{<}0 ,那么命題 p 的一個必要不充分條件是

A. -1<x<3
B. _{0<x<2}
C. -3{<}x{<}3
D. -2{<}x{<}1

+方法點透

充分條件、必要條件的常用判斷方法

(1)定義法：由 p{\Rightarrow}q ,q{\Rightarrow}p 進行判斷； (2)集合法：根據(jù) p ,q 對應(yīng)的集合之間的包含關(guān) 系進行判斷.

角度2根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的值（范圍）

例2[江蘇揚州2025開學考］若不等式 \vert\ x+1\vert<a 成立的充分條件是 0<x<4 ，則實數(shù) a 的取值范圍是

A.(-∞∞ ,-1] B. \left( -∞ ,5 \right] C.\left[-1,+∞\right] 0.[5,+∞]

課堂記錄：

變式2［福建寧德2025模擬]甲、乙、丙、丁四位同學在玩一個猜數(shù)字游戲，甲、乙、丙共同寫出三個集合： A=\{ x | 0{<}\Delta x{<}2 \} ， B=\{\;x\;|-3<=slant x<=slant5\;\} ， C= \left\{x\mid0{<}x{<}{(2)/(3)}\right\} }，然后他們?nèi)烁饔靡痪湓拋碚_描述“ \Delta "表示的數(shù)字，并讓丁同學猜出該數(shù)字.以下是甲、乙、丙三位同學的描述：甲：此數(shù)為小于5的正整數(shù);乙：“ x\in B ”是“ x\in A ”的必要不充分條件；丙：“ x\in C ”是“ x\in A ”的充分不必要條件，則\Delta ”表示的數(shù)字是 ）

A.3或4 B.2或3
C.1或2 D.1或3

方法點透

根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的解題策略

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，最后進行求解；(2)要注意對區(qū)間端點值的檢驗.

角度1量詞命題的否定與真假判斷

例3（1)[廣東中山2025模擬]命題“3 x>0 x^{2}> x^{3} ”的否定是

A. \forall x{>}0 ,x^{2}{>}x^{3}
B. \forall x{>}0 ,x^{2}{<=slant}x^{3}
C. \forall x<=0 ,x^{2}<=slantx^{3}
D. \exists x{>}0 ,x^{2}{<=slant}x^{3}

(2)[全國新課標 \mathbb{I}\otimes24*2 ] 已知命題 p\colon\forall x\in \mathbf{R} , | x+1 | {>} 1 ;命題 q\colon\exists x{>}0 ,x^{3}=x. 則（)

A. p 和 q 都是真命題B. \neg\;p 和 q 都是真命題C. p 和 \neg q 都是真命題D. \neg p 和 \neg q 都是真命題

課堂記錄：

變式3（1)[山東青島2024三模]已知命題 p \forall\:x\in\left(0,(π)/(2)\right)\:,\sin\:x<x \neg p

A. | x\notin\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x>xB. 3 x\in\left(0,{(π)/(2)}\right) , in >xC. \mid x\not\in\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x≥xD. 3 x\in\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x≥x(2)（多選）[廣東深圳2024期末]下列命題中為真命題的有

A. \forall x{>}0 ,x{+}(1)/(x){>=slant}2
B. \exists x{<}0 ,x{+}(1)/(x){>}{-}2 x
C.Vx>0 1+x 2 x 1
D.3x<0, 1+x 2

方法點透

1.對含有一個量詞的命題進行否定，先改變量詞，再否定結(jié)論.
2.要判斷全稱量詞命題“ \forall x\in M,p\left( x \right) ”是不是真命題，需要對集合 M 中的每一個元素 x ,p\left( x \right) 都成立；要判斷存在量詞命題“ \exists x\in M,p( x ) ”是不是真命題，只需要在集合 M 內(nèi)找到一個元素_x ，使得 p(x) 成立即可.

角度2 已知命題的真假求參數(shù)

例4［陜西西安2025摸底考]若命題“3 x\in[-1 3]， x^{2}-2x-a<=slant0^{\prime} 為真命題，則實數(shù) a 可取得的最 小整數(shù)值是 L

A. -1 B.0 C.1 D.3

課堂記錄：

變式4?[遼寧部分重點中學協(xié)作體2024三模]若“ \exists x\in\left( 0,+∞ \right) ，使 x^{2}-a x+4<0^{\prime} 是假命題，則實數(shù) ^{a} 的取值范圍為

方法點透

已知命題的真假求參數(shù)的范圍，可以直接由命題的含義，利用函數(shù)的最大(小)值求參數(shù)的取值范圍；利用 p 與 \neg p 的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成命題的真假求參數(shù)的取值范圍.

提示:課后完成《作業(yè)本》第2練

講不等式及其性質(zhì)

溫習 知識梳理

1.比較兩個實數(shù)的基本事實

a-b>0\leftrightarrowa\phantom{(1)/(b)}b;a-b=0\Longleftrightarrowa=b\;;a-b<0\Longleftrightarrowa b

2.等式的性質(zhì)

(1)如果 a=b ,那么(2)如果 a=b ,b=c ,那么(3)如果 a=b ,那么 a± c=b± c (4)如果 a=b ,那么 a c=b c (5)如果 a=b ,c\neq0 ,那么 {(a)/(c)}={(b)/(c)}.

3.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1如果 a{>}b ,且 b>c ,那么
性質(zhì)2 如果 a{>}b ,那么
性質(zhì)3 如果 a{>}b{ ,}c{>}0 ,那么如果 a>b ,c<0 ,那么
性質(zhì)4如果 a{>}b{ ,}c{>}d ,那么
性質(zhì)5 如果 a>b>0 ,c>d>0 ,那么如果 a>b>0 ,c<d<0 那么
性質(zhì)6當 a>b>0 時， sqrt[n]{a}>sqrt[n] ,其中 n\in\mathbf{N}_{+} ,n>=slant2

常用結(jié)論

1.倒數(shù)的性質(zhì)

2.分數(shù)的性質(zhì)
若 a{>}b{>}0 ,m{>}0 ，則
\begin{array}{r}{\left|\ (1)(b)/(a)<(b+m)/(a+m),(b)/(a)>(b-m)/(a-m)( b-m>0) ;\right.}\\ {\left.(a)/(b)>(a+m)/(b+m),(a)/(b)<(a-m)/(b-m)( b-m>0).\right.}\end{array}

基礎(chǔ)自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內(nèi)打“√”或“×”).

(1)若 (a)/(b){>}1 ,則 a{>}b
(2)若 a c=b c ,則 a=b
(3) a{>}b{\Leftrightarrow}a c^{2}{>}b c^{2}
(4)若 a{>}b{>}c ，則 (1)/(a){<}(1)/(b){<}(1)/(c) 一

2.（多選）［北師版必修一P26T6改編］已知 a>b>0 c{>}d{>}0 ,則下列不等式恒成立的有

A.~a{-}d{>}b{-}c B.ac>bd C. (a)/(b){>}(c)/(d) D. -(d)/(a){>}-(c)/(b)

3.（多選）已知實數(shù) x ,y 滿足 1<x<6 ,2<y<3 ,則

A.3<x+y<9 B. -1<x-y<3 C.2<xy<18 D.(1)/(3){<}(x)/(y){<}3

4.［北師版必修一P26T5改編］已知 a\in\mathbf{R} ，則 a^{2}+ 3a-1 2a-2. （填“ > ”或“ <

精講 考點剖析

考點1 數(shù)（式）的大小比較

例1若 a<0 ,b<0 ,則 p=(b^{2})/(a)+(a^{2})/(b) 與 \scriptstyle q = a + b 的大小關(guān)系為

A.p<q B. p≤q C. p>q D. p>=slantq

課堂記錄：

變式1設(shè) a {=} 0,\;1e^{0. 2} 1c=0.2e,則下列選項

考點2 不等式的基本性質(zhì)

例2（1)[北京師范大學第二附屬中學2025開學考]若 a{<}b 且 a b\neq0 ,則下列不等式中一定成立的是

A. {(1)/(a)}>{(1)/(b)} \scriptstyle{~B}.{(b)/(a)}>1 C. a^{3}{<}b^{3} D.~|\boldsymbol{a}|<|\boldsymbol|

(2)(多選）設(shè) b>a>0 ,c\in\mathbb{R} ,則下列不等式中正確的是

a^{(1)/(2)}{<}b^{(1)/(2)} B. {(1)/(a)}-c<{(1)/(b)}-c D. ac2<bc2

課堂記錄：

考點3 不等式性質(zhì)的綜合運用

例3［江蘇南通2025模擬]設(shè) x ,y 為實數(shù)，且滿足3<=slantx y^{2}<=slant8 ,4<=slant(x^{2})/(y)<=slant9 ，則 |(x^{3})/(y^{4)} 的最大值為

A.27 B.24 C.12 D.32

課堂記錄：

變式3［福建寧德2025開學考］已知 -1<x-y<4 ， 2<x+y<3 ,則 3x+y 的取值范圍是

正確的是A. c{<}b{<}a B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b

+方法點透

比較大小的常用方法：

(1)作差法： ① 作差； ② 變形； ③ 定號； ④ 得出結(jié)論.(2)作商法（前提是兩式同號）： ① 作商； ? 變形； ③ 判斷商與1的大??； \ensuremath{Q} 得出結(jié)論.

變式2（1)[河南駐馬店2024模擬]已知 a>b>c> 0,則下列說法一定正確的是

A. a{>}b{+}c B. a^{2}{<}b c
C. a c{>}b^{2} D.\;a b+b c>b^{2}+a c

（2)（多選）[湖南長沙2024模擬]設(shè) \scriptstyle a , b ,c ,d 為實數(shù)，且 a{>}b{>}0{>}c{>}d ,則下列不等式正確的有（

A. c^{2}{<}c d B.\ a-c<b-d C.ac<bd D. (c)/(a){-(d)/(b){>}0}

方法點透

·判斷不等關(guān)系的常用方法

(1)利用不等式的性質(zhì)推導；
(2)利用特殊值法排除錯誤選項.

方法點透·

利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍的注意點：一是必須嚴格運用不等式的性質(zhì)；二是在多次運用不等式的性質(zhì)時避免擴大變量的范圍.解決的途徑是先確立所求范圍的整體與已知范圍的整體間的數(shù)量關(guān)系，再通過不等關(guān)系的運算求解.

提示:課后完成《作業(yè)本》第3練

講基本不等式

溫習 知識梳理

1.基本不等式： \scriptstyle{√(a b)} <=slant{(a+b)/(2)}

(1)基本不等式成立的條件：
(2)等號成立的條件：當且僅當 時取
等號；
(3)其中， 稱為 a,b 的算術(shù)平均值，稱為 ^{a,b} 的幾何平均值.

2.利用基本不等式求最大值、最小值

已知 x{>}0 ,y{>}0

(1)如果積 x y 是定值 P ,那么當且僅當
時,和 x+y 有最小值 ·（簡記：積定和
最小)
(2)如果和 x+y 是定值 S ,那么當且僅當
時,積 x y 有最大值 ：（簡記：和定積
最大)

常用結(jié)論

\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle1,\;a^{2}+b^{2}>=slant2a b\;(\;a,b\in\mathbb{R}\;)}\end{array}\right. ，當且僅當 a=b 時等
號成立.(b)/(a)+(a)/(b)>=2\big( a b>0\big) ,當且僅當 a=b 時等號成立.
3. a b<=slant\left({(a+b)/(2)}\right)^{2}<=slant{(a^{2}+b^{2})/(2)}({\bf\nabla}a,b\in{\bf R}) ，當且僅當 a=b
時等號成立.\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}}<=slant√(a b)<=slant\cfrac{a+b}{2}<=slant√(\cfrac{a^{2)+b^{2}}{2}} \big( a>0 ,b>0 \big) ，當
且僅當 a=b 時等號成立.

基礎(chǔ)自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內(nèi)打“√”或\mathbf{\ddot{α}}x\mathbf{\ddot{α}}

(2)函數(shù) f( x)=x+{(1)/(x)} 的最小值為2.

(3)“x>0且y>0"是“ (x)/(y)+(y)/(x)>=2^{*} ”的充要條件.

(4)函數(shù) f( x )={√(x^{2)+3}}+{(2)/(√(x^{2)+3)}} 的最小值是 2√(2)

2.[北師版必修一P31B組T3改編]若 x>0 ，函數(shù)y=3x+{(1)/(x)} 的最小值為

A.3 B.2
\operatorname{C}. 2{√(3)} D.4

3.[北師版必修一P31A組T10改編]設(shè)計用 96\ensuremath{ m}^{2} 的材料制造某種長方體車廂（無蓋），按交通法規(guī)定廂寬為 2rm{m} ,則車廂的最大容積是

A.8√(2) ~m^{3} \mathbf{B}. 32~m^{3} C.4√(2) \m^{3} D. 64\m^{3}

4.設(shè) x<0 ，則函數(shù) y= 2 - 3x - {(4)/(x)} 的最小值為,此時 _x 的值為

精講 考點剖析

考點1 利用基本不等式求最值

角度1直接法

例1(多選)下列說法正確的是

A.當 x{>}1 時， x+{(1)/(x)}>=2 B.當 x{<}0 時， x+{(1)/(x)}<-2 C.當 0{<}x{<}1 時 {√(x)}+{(1)/(√(x))}>2 D.當 _{x>=slant2} 時 {√(x)}+{(2)/(√(x))}>=2{√(2)} 課堂記錄：

變式1已知 a b=1 ，則 4a^{2}{+}9b^{2} 的最小值為

方法點透·

若條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，則直接應(yīng)用基本不等式求解，注意使用基本不等式的條件，

角度2 配湊法

例2若 x{>}{-}1 ，則 {(2x^{2}+4x+4)/(x+1)}\vert 的最小值為

課堂記錄：

變式2［北京部分校2025質(zhì)檢］已知 a>1 ，則 ^{a+} (100)/(a-1) 的最小值為 ，此時 ^{a} 等于

方法點透?

將代數(shù)式進行適當變換，通過添項、拆項、變系數(shù)、湊因子等方法湊成和為定值或積為定值的形式，變換時要注意代數(shù)式的取值范圍.

角度3 常數(shù)代換法

例3[江蘇宿遷2025調(diào)研]若 a>0,b>0,a+2b=3 ，則 {(3)/(a)}+{(6)/(b)} 的最小值為

A.9 B.18
C.24 D. 27

課堂記錄：

變式3［河南湘豫名校2024聯(lián)考]已知點 P( x ,y ) 在以原點 o 為圓心，半徑為 r=√(7) 的圓上，則 {(1)/(x^{2)+1}}+ (4)/(y^{2)+1} 的最小值為

4 5+2√2 A B. 9 9 7 D.1 9

方法點透·

將與常數(shù)等價的表達式代入到不等式中化簡，再利用基本不等式進行求解.

角度4消元法

例4已知正實數(shù) x ,y 滿足 x^{2}+3x y-2=0 ,則 2x+y 的最小值為

A.{(2{√(10)})/(3)} B. {(√(10))/(3)}
C.{(2)/(3)} 1 D. 3

課堂記錄：

變式4若正實數(shù)x,y,z滿足x^{2}+4y^{2}=z+3x y$ ,則當3最大時，→+2y= 的最大值是

領(lǐng)航計劃高考總復習數(shù)學

3 B.1 C D.2 2 2

方法點透

當題目中的變量較多時，可以考慮消減變量,轉(zhuǎn)化為雙變量或單變量問題.

角度5 構(gòu)造不等式法

例5［海南2024模擬]若正數(shù) a ,b 滿足 a b=2a+ {(1)/(2)}b+3 ,則 a b 的最小值為

A.3 B.6 C.9 D.12

考點2 基本不等式的綜合應(yīng)用

課堂記錄：

角度1與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題

例6［北京2025開學考］若對任意正數(shù) _{x} ，不等式{(2)/(x^{2)+4}}<=slant{(2a+1)/(x)} 恒成立，則實數(shù) \footnote{T w o t y p i c a l a p p l i c a t i o n s c e n a r i o s f o r t h e p r o p o s e d s y s t e m a r e h e a l t h c a r e,a n d l o g i s t i c s a n d w a r e h o u s i n g,i n w h i c h m u l t i p l e I o T d e v i c e s a r e d e p l o y e d c l o s e t o t h e r e c e i v e r a n d t h e t i m e d e l a y b e t w e e n t h e d i r e c t l i n k a n d b a c k s c a t t e r l i n k i s t h u s n e g l i g i b l e.} 的取值范圍為

課堂記錄：

變式6［福建寧德2025模擬］若兩個正實數(shù) x ,y 滿足 4x+y=2x y ,且不等式 x+(y)/(4){<}m^{2}{-}m 有解,則實數(shù) m 的取值范圍是

A. \{m\} {-}1{<}m{<}2\} B. \{m\}m{<}{-}1 或 m{>}2\} C. \{m | {-}2{<}m{<}1\} D. \{m\}m{<}{-}2 或 m{>}1\}

+方法點透·

利用基本不等式求解不等式恒(能)成立問題，通常先分離參數(shù)，求解方法為（1)若 a>=slantf( x ) 恒成立,則 a>=slant f( x )_{\max} ，若 a>=slant f(\;x\;) 能成立，則 a>=slant{\left\{\begin{array}{l l}{α>={\left\}}\end{array}\right.} f(\v{r}_{x})\v{j}_{\operatorname*{min}} ;(2)若 a<=slantf( x ) 恒成立，則 a\lesssimf( x ) _{\min} ，若a<=slantf( x ) 能成立,則 a\lesssimf( x )_{up{m a x}}

角度2利用基本不等式解決實際問題

例7［陜西西安2024模擬]某農(nóng)業(yè)園租用甲公司的 A 種收割機和乙公司的 B 種收割機收割某種變式5［福建莆田2025開學考］若實數(shù) x ,y 滿足4x^{2}+y^{2}+x y=1 ,則 2x+y 的最大值為

方法點透

尋找條件與變量之間的關(guān)系，通過重新分配，使用基本不等式，得到含有問題代數(shù)式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求出最值.

農(nóng)作物.已知用9臺 A 種收割機和4臺 B 種收割機合作恰好用1天時間收割完一塊 M 畝的這種作物.現(xiàn)在用1臺 A 種收割機收割一塊 M 畝的這種作物，用1臺 B 種收割機收割另外一塊 M 畝的這種作物，如果兩塊地收割完畢后它們所用的天數(shù)之和最少，則用1臺 A 種收割機收割完 M 畝這種作物所需的天數(shù)為 ，用1臺 B 種收割機收割完 M 畝這種作物所需的天數(shù)為

課堂記錄：

變式7[廣東韶關(guān)2024聯(lián)考］在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量 W （單位：平方米）的計算公式是 W{=} （長 +4 x （寬 +4. ).在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整這塊場地所需的最少費用(單位：元)是 （）

A.10 000 B.10 480
C.10 816 D.10 818

方法點透

利用基本不等式求解實際問題時，要根據(jù)實際問題，設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實際意義，抽象出目標函數(shù)的表達式，建立數(shù)學模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

1.柯西不等式

(1)二維形式的柯西不等式
若 a,b ,c ,d 都是實數(shù),則 (\ a^{2}+b^{2}\ )\ (\ c^{2}+d^{2}\ )>=slant (a c{+}b d) ^{2} ,當且僅當 a d=b c 時，等號成立.
(2)三維形式的柯西不等式
若 a_{1} ,a_{2} ,a_{3} ,b_{1} ,b_{2} ,b_{3} 都是實數(shù),則( (b+b+b）≥（ab,tabtab)2,當且僅當=時，等號成立.
( 3 ) n 維形式的柯西不等式
對于任意的 2n\left( n\in\mathbf{N}_{+} ）個實數(shù) a_{1} ,a_{2} ,*s,a_{n} ,b_{1} ，b_{2},*s,b_{n} ,有 ( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+*s+a_{n}^{2} ( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\dotsb+b_{n}^{2} )>=slant ( a_{1}b_{1}{+}a_{2}b_{2}{+}{\dots+}a_{n}b_{n} ) ^{2} ,當且僅當 (a_{1})/(b_{1)}=(a_{2})/(b_{2)}=*s=(a_{n})/(b_{n)} 時，等號成立.

2.權(quán)方和不等式

(1)二維形式的權(quán)方和不等式
若 a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} 為正實數(shù)，則有 (a_{1})/(b_{1)}+(a_{2})/(b_{2)}>= (\mid{√(a_{1)}+√(a_{2)} } \right)^{2})/(b_{1)+b_{2}} ,當且僅當 {(√(a_{1)})/(b_{1)}}={(√(a_{2)})/(b_{2)}} 時，等號成立.
( 2 ) n 維形式的權(quán)方和不等式
若 a_{i} ,b_{i} 為正實數(shù) \left( i=1,2,*s,n \right) ,實數(shù) q>0 ，則

\sum_{i=1}^{n}\;(a_{i}^{q+1})/(b_{i)^{q}}>=(\displaystyle(\sum_{i=1}^{n}a_{i})^{q+1})/(\displaystyle(\sum_{i=1)^{n}b_{i})^{q}} 當且僅蘭 {\cfrac{a_{1}}{b_{1}}}={\cfrac{a_{2}}{b_{2}}}=*s={\cfrac{a_{n}}{b_{n}}} 時，等號成立.

例8柯西不等式是數(shù)學家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的一個重要不等式,而柯西不等式的二維形式是同學們可以利用向量工具得到的：已知向量 \mathbf{{\boldsymbol{a}}}=\left(\mathbf{\boldsymbol{\chi}}_{1} ,y_{1} \right) ,\mathbf{{\boldsymbol}}=\left(\mathbf{\boldsymbol{\chi}}_{2} ,\mathbf{\boldsymbol{\chi}}_{3}\right) y_{2} )，由 |a* b|<=slant|a|\;|b 得到 \left( x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2} \right)^{2}<=slant\left( x_{1}^{2}+ y_{1}^{2} )\left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2} \right) ，當且僅當 x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1} 時取等號.現(xiàn)已知 a>=slant0,b>=slant0,a+b=9 ，則 {√(2a+4 )}+{√(b+1)} 的最大值為

變式8[廣東深圳2025調(diào)研]權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正實數(shù) a,b ,x ,y 滿(a^{2})/(x)+(b^{2})/(y)>=(\left( a+b \right)^{2})/(x+y) 當且僅當 {\cfrac{a}{x}}={\cfrac{y}} 時,等號成立，則函數(shù) f( x )=(1)/(3x)+(16)/(1-3x)\Big(0<x<(1)/(3)\Big) 的最小值為

A.16 B.25
C.36 D.49

講一元二次不等式

溫習 知識梳理

1.一元二次不等式

一般地，形如 a x^{2}+b x+c>0 ，或 ，或 a x^{2}+ b x+c>=slant0 ，或 a x^{2}+b x+c<=0 （其中， x 為未知數(shù)， a ,b ，c 均為常數(shù)，且 a\neq0 )的不等式叫作一元二次不等式.使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫作這個一元二次不等式的解集.

2.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系

常用結(jié)論

1.不等式 a x^{2}+b x+c>0\big( a\neq0 \big) , \boldsymbol{x}\in\mathbb{R} 恒成立 \Leftrightarrow a>
0且 \Delta{<}0
2.不等式 a x^{2}+b x+c<0( a\neq0) ,x \boldsymbol{x}\in\mathbb{R} 恒成立 \Leftrightarrow a<
0且 \Delta{<}0
3.二次項系數(shù)為正的一元二次不等式的解集為
“大于取兩邊，小于取中間”

3.簡單分式不等式的解法

({1})(f( x))/(g( x)){>}0( <0)\Leftrightarrow(\phantom{\left(/{ \mu)/(x)\right)}}{} (2)(f(x))/(g( x)){>=}0( {<=slant}0){\Leftrightarrow}_{-}

基礎(chǔ)自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內(nèi)打“ \vee ”或x^{\ast}

(1)不等式 x^{2}<=slanta 的解集為 [-{√(a)} ,{√(a)} ] .（ （2)若不等式 a x^{2}+b x+c>0 ( a\neq0 ) 的解集為( m ， n ，則 a{<}0

(3)若關(guān)于 x 的一元二次方程 a x^{2}+b x+c=0 沒有實數(shù)根，則不等式 a x^{2}+b x+c>0 的解集為 \mathbf{R}

（4)不等式 (2x-1)/(x+2)<1 的解集為 ( -∞ ,3 )

2.[北師版必修一P41A組T3改編］已知集合 A= \{ x | x^{2}-4<0 \} ，集合 B=\{\;x\mid x^{2}-4x+3<0\;\} ，則 \complement_{\mathbf{R}}\left(A\cup B\right)

A. \{x\vert-2<x<1\} B. \{x\vert-2<x<3\} C. \{x\}x<=slant-2 或 x>=slant3! D. \{x\vert x<=slant1 或 x>=slant3\backslash

3.［北師版必修－P41B 組T1改編]若不等式 a x^{2}+ b x+c>0 的解集是 \left\{x\;\middle|\;-(1)/(2)<x<2\right\} 則 c x^{2}+b x+a<0 的解集是

4.某商店售賣的一種紀念章,每枚的最低售價為15元，若每枚按最低售價銷售，每天能賣出45枚，每枚售價每提高1元，日銷售量將減少3枚.為了使這批紀念章每天獲得600元以上的銷售收入，這批紀念章的銷售單價 _x （單位：元)的取值范圍是

精講 考點剖析

1 求解一元二次不等式

角度1不含參的不等式

例1解下列不等式：

( 1 ) x^{2}+3>3 ( x+1 ). (2)-x2+2.x-3>0.

角度2 含參的不等式

例2解關(guān)于 _x 的不等式 a x^{2}-4>=2x-2a x\left( a\in\mathbf{R}\right)

課堂記錄：

變式1［河北辛集2024月考］不等式 (3x-2)/(2x+3)<0 的解集是

A.\left\{x\mid-{(2)/(3)}<x<{(3)/(2)}\right\}\qquad~B.\left\{x\mid-{(3)/(2)}<x<{(2)/(3)}\right\} {x 或x> D. x -或 x>(2)/(3)\bigg\} 2

方法點透·

解一元二次不等式的一般步驟：（1)將不等式化為二次項系數(shù)為正的標準形式；(2)計算相應(yīng)方程根的判別式，有根時求出方程的根；(3）結(jié)合圖象寫出不等式的解集.

課堂記錄：

變式2[甘肅天水2025月考］若關(guān)于 x 的不等式x^{2}-( 2a+1 ) x+2a<0 恰有兩個正整數(shù)解，則 ^{a} 的取值范圍是

方法點透

解含參的不等式，常需對參數(shù)進行分類討論：

(1)根據(jù)二次項系數(shù)大于0、小于0及等于0進行分類；（2）根據(jù)判別式與0的關(guān)系進行分類；(3)若有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行分類討論.

考點2 三個二次之間的關(guān)系

例3（1）（多選）[福建2025月考］已知關(guān)于 _{x} 的不等式 a( x{-} 1 )\left( x{+} 3 \right){-}2{>}0 的解集是 ( x_{1} ,x_{2} ) ,其中x_{1}<x_{2} ,則下列結(jié)論中正確的是

A. x_{1}+x_{2}+2=0
B. -3<x_{1}<x_{2}<1
C. \vert x_{1}-x_{2}\vert>4
D. x_{1}x_{2}+3<0

（2）[北京2025開學考］已知關(guān)于 x 的不等式a(\left.x-1\right)\left(x-2\right)>2x^{2}-8x+8 的解集為 \left( -∞ ,-1 \right)\cup ( 2 ,+∞ ) ，則 \boldsymbol{a} 的值為

課堂記錄：

變式3[廣東梅州2024質(zhì)檢］已知關(guān)于 _x 的不等式 a x^{2}+b x-12>=0 的解集為 \{x\vert x<=slant-3 或 x>=4\} (1)求 ^{a,b} 的值；

考點3 一元二次不等式恒成立問題

角度1在R上恒成立

例4若不等式 k x^{2}+( k-6 ) x+2>0 的解集為全體實數(shù),則實數(shù) k 的取值范圍是

A.[2,18] B.(-18,-2) C.(2,18) D.(0,2)

課堂記錄：

變式4［廣西南寧2025月考］若命題“ \forall\:x\in\mathbf{R},x^{2}+ 2x+3{>}m ”是假命題，則實數(shù) m 的取值范圍是

A. ( -∞ ,2 )
B. [ 2,+∞ )

(2)求關(guān)于 x 的不等式 b x^{2}+a x+6>=0 的解集.

方法點透

1.一元二次方程的根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點.2.給出一元二次不等式的解集，可以確定相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開口方向以及與 _x 軸的交點，可以代入根或利用根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).

C.(-∞ ,2] D. ( 2 ,+∞ )

方法點透

一元二次不等式 a x^{2}+b x+c>0 在 \mathbf{R} 上恒成立 \Longleftrightarrow a> 0且 \Delta{<}0 ；一元二次不等式 a x^{2}+b x+c<=0 在 \mathbf{R} 上恒成立 \Longleftrightarrow a<0 且 \Delta<=slant0

角度2 在給定區(qū)間上恒成立

例5［廣東肇慶2025開學考］已知對任意 x\in[ 1 ，2],不等式 a x^{2}-2x+3a<0 恒成立，則實數(shù) \boldsymbol{a} 的取值范圍是 ）

課堂記錄：

變式5［山西呂梁2024月考］已知關(guān)于 _{x} 的不等式 x^{2}-( a+4 ) x+2a+5>=0 在 ( -∞ ,2 ) 上恒成立,則a 的最小值為

+方法點透

對于一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立問題，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值。

角度3 給定參數(shù)范圍的恒成立

例6若命題“ ~j~a\in\left[ -1 ,3 \right],a x^{2}-\left( 2a-1 \right)x+3-a< 0"為假命題，則實數(shù) _{x} 的取值范圍為（)

A. [-1,4] B.\left[0,(5)/(3)\right]

考點 4 一元二次方程根的分布問題

例7已知方程 x^{2}+( 2m{-}1 ) x{+}4{-}2m{=} 0 的兩根一個比2大,另一個比2小，則實數(shù) m 的取值范圍是課堂記錄：

變式7若函數(shù) f( x )=2a x^{2}+3x-1 在區(qū)間(-1,1)內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù) \boldsymbol{a} 的取值范圍為（）

A. \{a\vert-1<a<2\} B.\left\{a\mid a=-(9)/(8)\underline{{{\oplus}}}\slash-1<a<2\right\}

C. [-1,0] [,4] D. [-1,0) u(≤,4]

課堂記錄：

變式6+對于 0<=slantm<=slant4 中的任意 m ,不等式 x^{2}+m x> 4x+m-3 恒成立，則 x 的取值范圍是

A. [-1,3]
B. ( -∞ ,-1 ]
C.\left[3,+∞\right)
D.~( -∞ ,-1 )\cup( 3 ,+∞ )

方法點透

給定參數(shù)范圍的恒成立問題，可以把參數(shù)看成新的自變量，再根據(jù)題目條件解不等式.或者利用分離參數(shù)法來求解不等式.

C. \left\{a | {-}1<=slanta<=slant2 \right\} 9
D. 或-1≤a≤2 8

方法點透

在求解方程根的分布問題時，主要從以下幾個方面建立關(guān)于系數(shù)的不等式(組)進行求解： {registered} 的符號； ② 方程對應(yīng)的函數(shù)圖象的對稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系； ③ 方程對應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值的符號.