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（2023 大興二?！秉c(diǎn)）★★

關(guān)鍵詞：定弦定角、點(diǎn)線(xiàn)距（膠囊）

28．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) A（－r，0），B（r，0）．點(diǎn) P 為平面內(nèi)一點(diǎn)（不與

點(diǎn) A，點(diǎn) B 重合），若△ABP 是以線(xiàn)段 AB 為斜邊的直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn) P 為線(xiàn)段 AB 的直點(diǎn)．

（1）若 r＝1，

①在點(diǎn) P1（

1

2

，

1

2

? ），P2（0，1），P3（－1，－1）這三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)_______是線(xiàn)段

AB 的直點(diǎn)；

②點(diǎn) P 為線(xiàn)段 AB 的直點(diǎn)，點(diǎn) C（－1，1），求 CP 的取值范圍；

（2）點(diǎn) D 在直線(xiàn) y＝x－1 上，若點(diǎn) D 的橫坐標(biāo) xD 滿(mǎn)足

2 4 D ? ? x

，點(diǎn) P 為線(xiàn)段 AB 的直

點(diǎn)，且 DP＝1，直接寫(xiě)出 r 的取值范圍．

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吳老師圖解

（1）①

P2

；②

2 1 2 1 ? + CP .

規(guī)律總結(jié)

如圖，線(xiàn)段

AB

的直點(diǎn)

P

在：以

AB

為直徑的圓上（不包括點(diǎn)

A ， B

）.

思路&圖解

圖 1-1 圖 1-2

①圖 1-1，點(diǎn)

P2

是線(xiàn)段

AB

的直點(diǎn).

②圖 1-2， max CP CM = = + 2 1， min CP CN = = ? 2 1

，即

2 1 2 1 ? + CP .

（2）

5 1 6 ? ? ?r .

分析

如圖，

1）點(diǎn)

D

在線(xiàn)段

MN

上（不包括端點(diǎn)），

2）若

DP =1

，則點(diǎn)

P

在圖示陰影部分的

內(nèi)部或邊界上（虛線(xiàn)和空心點(diǎn)不可?。?，

3）若點(diǎn)

P

是線(xiàn)段

AB

的直點(diǎn)，則以

AB

為直徑的圓，應(yīng)與圖示陰影部分有交點(diǎn)！

x

y

A O B

P

x

y

P3

P2

P1

A O B x

y

N

M

C

A O B

x

y

y = x 1

N

M

O

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思路&圖解

1】

r ? 0

如圖，當(dāng)

r ? 0

時(shí)，點(diǎn)

A

在

x

軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)

B

在

x

軸的正半軸上，

1）當(dāng)以

AB

為直徑的圓與半徑為 1 的

M

相切時(shí)，

易求得

M(2,1)

，即

OM = 5

，故

r OG = = ? 5 1

（不可?。?，

2）當(dāng)以

AB

為直徑的圓與半徑為 1 的

N

相切時(shí)，

易求得

N(4,3)

，即

ON =5

，故

r OH = = + = 5 1 6

（不可?。?，

? 5 1 6 ? ? ?r .

2】

r ? 0

當(dāng)

r ? 0

時(shí)，同理得

5 1 6 ? ? ? ?r

，即

? ? ? ? + 6 5 1 r .

?

綜上所述：

? ? ? ? + 6 5 1 r

或

5 1 6 ? ? ?r .

x

y

A2 A1 B1 B2

H

G

N

M

O