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（2023 大興二模——直點）★★
關(guān)鍵詞：定弦定角、點線距（膠囊）
28．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點 A（－r，0），B（r，0）．點 P 為平面內(nèi)一點（不與
點 A，點 B 重合），若△ABP 是以線段 AB 為斜邊的直角三角形，則稱點 P 為線段 AB 的直點．
（1）若 r＝1，
①在點 P1（
1
2
，
1
2
? ），P2（0，1），P3（－1，－1）這三個點中，點_______是線段
AB 的直點；
②點 P 為線段 AB 的直點，點 C（－1，1），求 CP 的取值范圍；
（2）點 D 在直線 y＝x－1 上，若點 D 的橫坐標(biāo) xD 滿足
2 4 D ? ? x
，點 P 為線段 AB 的直
點，且 DP＝1，直接寫出 r 的取值范圍．
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吳老師圖解
（1）①
P2
；②
2 1 2 1 ? + CP .
規(guī)律總結(jié)
如圖，線段
AB
的直點
P
在：以
AB
為直徑的圓上（不包括點
A ， B
）.
思路&圖解
圖 1-1 圖 1-2
①圖 1-1，點
P2
是線段
AB
的直點.
②圖 1-2， max CP CM = = + 2 1， min CP CN = = ? 2 1
，即
2 1 2 1 ? + CP .
（2）
5 1 6 ? ? ?r .
分析
如圖，
1）點
D
在線段
MN
上（不包括端點），
2）若
DP =1
，則點
P
在圖示陰影部分的
內(nèi)部或邊界上（虛線和空心點不可?。?，
3）若點
P
是線段
AB
的直點，則以
AB
為直徑的圓，應(yīng)與圖示陰影部分有交點！
x
y
A O B
P
x
y
P3
P2
P1
A O B x
y
N
M
C
A O B
x
y
y = x 1
N
M
O
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思路&圖解
1】
r ? 0
如圖，當(dāng)
r ? 0
時，點
A
在
x
軸的負半軸上，點
B
在
x
軸的正半軸上，
1）當(dāng)以
AB
為直徑的圓與半徑為 1 的
M
相切時，
易求得
M(2,1)
，即
OM = 5
，故
r OG = = ? 5 1
（不可?。?，
2）當(dāng)以
AB
為直徑的圓與半徑為 1 的
N
相切時，
易求得
N(4,3)
，即
ON =5
，故
r OH = = + = 5 1 6
（不可?。?，
? 5 1 6 ? ? ?r .
2】
r ? 0
當(dāng)
r ? 0
時，同理得
5 1 6 ? ? ? ?r
，即
? ? ? ? + 6 5 1 r .
?
綜上所述：
? ? ? ? + 6 5 1 r
或
5 1 6 ? ? ?r .
x
y
A2 A1 B1 B2
H
G
N
M
O
