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（2023-2024 海淀九上期中——轉(zhuǎn)稱點(diǎn)）★★★☆

28．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) M 不與原點(diǎn)重合．對(duì)于點(diǎn) P 給出如下定義：點(diǎn) P

關(guān)于點(diǎn) M 的對(duì)稱點(diǎn)為 P'，點(diǎn) P'關(guān)于直線 OM 的對(duì)稱點(diǎn)為 Q，稱點(diǎn) Q 是點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) M 的“轉(zhuǎn)稱

點(diǎn)”．

（1）如圖，已知點(diǎn) M（t，0），P（t＋1，1），點(diǎn) Q 是點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) M 的“轉(zhuǎn)稱點(diǎn)”．

①當(dāng) t＝2 時(shí)，在圖中畫出點(diǎn) Q 的位置，并直接寫出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；

②PQ 的長度是否與 t 有關(guān)？若無關(guān)，求 PQ 的長；若有關(guān)，說明理由；

（2）已知點(diǎn) A（3，4），△ABC 是邊長為 2 的等邊三角形（點(diǎn) A，B，C 按逆時(shí)針方向排

列），點(diǎn) N 是點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn) C 的“轉(zhuǎn)稱點(diǎn)”，在△ABC 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng) BN 最

大時(shí)，直接寫出此時(shí) OB 的長．

備用圖

x

y

P

O M x

y

O

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吳老師圖解

（1）①（1，1）.

思路&圖解

如圖，Q（1，1）.

（1）②無關(guān)，PQ＝2.

思路&圖解

如圖，P（t＋1，1），

1）P'（t－1，－1），

2）Q（t－1，1），

∴PQ＝xP－xQ＝t＋1－（t－1）＝2，是

個(gè)定值，與 t 的取值無關(guān).

（2）

22

±1.

規(guī)律總結(jié)

如圖，先隨意畫一個(gè)△ABC，根據(jù)定義作出點(diǎn) N，發(fā)現(xiàn)：

1）△BB'N 是個(gè)斜邊長為 4 的直角三角形（提示：中位線得平行），

2）點(diǎn) N 與點(diǎn) B'重合時(shí)，BN 取到最大值（提示：斜大于直），

3）點(diǎn) N 和點(diǎn) B'重合，只能重合于對(duì)稱軸 OC 上，

4）點(diǎn) B'在 OC 上，意味著 O，B，C 三點(diǎn)共線（提示：點(diǎn) B'和點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn) C 對(duì)稱），

綜上，△ABC 在旋轉(zhuǎn)的過程中，只要能保證 O，B，C 三點(diǎn)共線，就能使 BN 取到最大

值，而這樣的位置應(yīng)該有 2 個(gè)——①點(diǎn) B 在 OC 上，②點(diǎn) C 在 OB 上，

最后，同學(xué)們動(dòng)動(dòng)小手，畫個(gè)盡量標(biāo)準(zhǔn)的圖就可以去計(jì)算求值啦~

x

y

Q

P'

P

O M

x

y

Q

P'

P

O M

x

y

N

B'

C

A

O

B

x

y

D

N

B'

C

A

O

B

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思路&圖解

臨界狀態(tài) 1：

如圖，點(diǎn) B 在 OC 上，作 AH⊥BC，

1）在 Rt△ABH 中，BH＝1，AH＝ 3 ，

2）在 Rt△AOH 中，AO＝5，勾股定理得 OH＝ 22 ，

∴OB＝ 22 －1.

臨界狀態(tài) 2：

如圖，點(diǎn) C 在 OB 上，同理得 OB＝ 22

＋1.

∴綜上所述：OB＝ 22

±1.

x

y

5

3

30°

1

H

C

A

O

B

x

y

1

3

5

1

H

C

A

O

B