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（2023 豐臺(tái)一模）★★☆
27．在正方形 ABCD 中，點(diǎn) O 為對(duì)角線 AC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在對(duì)角線 AC 上，連接 EB，點(diǎn) F
在直線 AD 上（點(diǎn) F 與點(diǎn) D 不重合），且 EF＝EB．
（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AO 上（不與端點(diǎn)重合）時(shí)．
①求證：
? = ? AFE ABE
；
②用等式表示線段 AB，AE，AF 的數(shù)量關(guān)系并證明；
（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) E 在線段 OC 上（不與端點(diǎn)重合）時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段
AB ，AE，AF 的數(shù)量關(guān)系．
圖 1 圖 2
F
O
D
A
B C
E
O
D
A
B C
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吳老師圖解
（1）①
思路&圖解
如圖，連接
ED ，
1）易證
ABE ADE
（SAS），
2）
ED EB EF = = ，
? ? = ? = ? 3 1 2
，即
? = ? AFE ABE .
（1）②
AB AE AF = + 2 .
分析
如圖，
共端點(diǎn)的三邊數(shù)量關(guān)系問(wèn)題，即“雞爪
模型”問(wèn)題，好久不見(jiàn)！
常規(guī)思路：2 旋轉(zhuǎn)構(gòu)造+相似…
由①進(jìn)一步得
? = ? BEF 90
（8 字）.
思路&圖解
法 1：旋轉(zhuǎn)構(gòu)造
如圖，作
EG AC ，
1）
AEG
是等腰直角三角形，
2）由①知
? = ? 1 F
，進(jìn)一步可求得
? = ? BEF 90
（8 字），
3）易證
EAF EGB
（SAS），
? AB AG BG AE AF = + = + 2 .
備注：本題也不一定非得證出
? = ? BEF 90
，同學(xué)們可以利用①及
? = ? = ? EAF EGB 135
證得全等（AAS）…
1
2
F 3
O
D
A
B C
E
F
O
D
A
B C
E
1
G
F
O
D
A
B C
E
G
F
O
D
A
B C
E
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思路&圖解
法 2：旋轉(zhuǎn)構(gòu)造
如圖，作
EG AC
，與【法 1】同理，可得結(jié)論…
法 3：手拉手（相似）
如圖，連接
OB ， FB ，
1）由①知
? = ? 1 F
，進(jìn)一步可求得
? = ? BEF 90
（8 字）
2）
BEF ， BOA
是等腰直角三角形，
3）易證
BAF BOE
，且相似比為
2 :1，
?
2
2 2( ) 2 2
2
AB AO AE EO AE AF AE AF
? ?
= = + = + = + ? ? ? ? ? ?
.
法 4：手拉手（相似）
如圖，連接
BF
，取
AG AF =
，連接
FG ，與【法 3】同理，可得結(jié)論…
G
F
O
D
A
B C
E
G
F
O
D
A
B C
E
F
O
D
A
B C
E
F
O
D
A
B C
E
G
F
O
D
A
B C
E
G
F
O
D
A
B C
E
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思路&圖解
法 5：
如圖，作
EP AB， EQ AD ，
1）四邊形
APEQ
是正方形，
2）易證
FQE BPE
（HL）
?
2 2 2
2 2
AB AP PB AE AF AE AE AF = + = + + = + .
法 6：此法來(lái)自 23 屆@yanghaiyi 同學(xué)~
如圖，過(guò)點(diǎn)
E
作
PQ AB // ，與【法 5】同理，可得結(jié)論！
備注：法 5 和法 6 可以同時(shí)解決①和②…
法 7：直接計(jì)算
如圖，連接
DE
，作
EP AD，
由①知
EF ED = ，則
DF PF = 2
（三線合一），
?
2
2 2
2
AB AD AF AE AF AF AE
? ?
= = + ? = + ? ? ? ? ? ?
.
Q
F
O
P
A D
B C
E
Q
F
O
P
A D
B C
E
Q
P
F
O
D
A
B C
E
Q
P
F
O
D
A
B C
E
P
F
O
D
A
B C
E
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（2）
AB AF AE + = 2 .
補(bǔ)全圖形&分析
如圖，連接
ED ，與（1）類似，先利用“對(duì)角互補(bǔ)”得到
? = ? BEF 90
，然后三邊的數(shù)
量關(guān)系還是和（1）一樣，都是“雞爪模型”問(wèn)題，吳老師不再給出詳細(xì)過(guò)程…
思路&圖解
法 1：
如圖，作
EG AC
，交
AB
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
G
，易證得
AB AF AE + = 2 .
法 2：
如圖，作
RG AC
，交
AD
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
G
，易證得
AB AF AE + = 2 .
法 3：
如圖，連接
BO， BF
，易證得
AB AF AE + = 2 .
F
O
D
A
B C
E
F
O
D
A
B C
E
G
F
O
A D
C
B
E
G
F
O
A D
C
B
E
G
F
O
A D
B C
E
G
F
O
A D
B C
E
F
O
A D
B C
E
F
O
A D
B C
E
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思路&圖解
法 4：
如圖，連接
BF ，作
FG AC ，易證得
AB AF AE + = 2 .
法 5：
如圖，作
EP AB， EQ AD ，易證得
AB AF AE + = 2 .
法 6：
如圖，過(guò)點(diǎn)
E
作
PQ AB // ，易證得
AB AF AE + = 2 .
法 7：
如圖，連接
ED
，作
EP AD，易證得
AB AF AE + = 2 .
G
F
O
D
A
B C
E
G
F
O
D
A
B C
E
Q
P
F
O
D
A
B C
E
Q
P
F
O
D
A
B C
E
P
F Q
O
D
A
B C
E
P
F Q
O
D
A
B C
E
F P
O
D
A
B C
E
