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【幾何綜合】5-2023豐臺一模

發(fā)布時間:2023-6-04 | 雜志分類:其他
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【幾何綜合】5-2023豐臺一模

6 / 6思路&圖解法 4:如圖,連接BF ,作FG AC ,易證得AB AF AE + = 2 .法 5:如圖,作EP AB, EQ AD ,易證得AB AF AE + = 2 .法 6:如圖,過點E作PQ AB // ,易證得AB AF AE + = 2 .法 7:如圖,連接ED,作EP AD,易證得AB AF AE + = 2 .GFODAB CEGFODAB CEQPFODAB CEQPFODAB CEPF QODAB CEPF QODAB CEF PODAB CE [收起]
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【幾何綜合】5-2023豐臺一模
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第1頁

1 / 6

(2023 豐臺一模)★★☆

27.在正方形 ABCD 中,點 O 為對角線 AC 的中點,點 E 在對角線 AC 上,連接 EB,點 F

在直線 AD 上(點 F 與點 D 不重合),且 EF=EB.

(1)如圖 1,當點 E 在線段 AO 上(不與端點重合)時.

①求證:

? = ? AFE ABE

;

②用等式表示線段 AB,AE,AF 的數(shù)量關(guān)系并證明;

(2)如圖 2,當點 E 在線段 OC 上(不與端點重合)時,補全圖形,并直接寫出線段

AB ,AE,AF 的數(shù)量關(guān)系.

圖 1 圖 2

F

O

D

A

B C

E

O

D

A

B C

第2頁

2 / 6

吳老師圖解

(1)①

思路&圖解

如圖,連接

ED ,

1)易證

ABE ADE

(SAS),

2)

ED EB EF = = ,

? ? = ? = ? 3 1 2

,即

? = ? AFE ABE .

(1)②

AB AE AF = + 2 .

分析

如圖,

共端點的三邊數(shù)量關(guān)系問題,即“雞爪

模型”問題,好久不見!

常規(guī)思路:2 旋轉(zhuǎn)構(gòu)造+相似…

由①進一步得

? = ? BEF 90

(8 字).

思路&圖解

法 1:旋轉(zhuǎn)構(gòu)造

如圖,作

EG AC ,

1)

AEG

是等腰直角三角形,

2)由①知

? = ? 1 F

,進一步可求得

? = ? BEF 90

(8 字),

3)易證

EAF EGB

(SAS),

? AB AG BG AE AF = + = + 2 .

備注:本題也不一定非得證出

? = ? BEF 90

,同學們可以利用①及

? = ? = ? EAF EGB 135

證得全等(AAS)…

1

2

F 3

O

D

A

B C

E

F

O

D

A

B C

E

1

G

F

O

D

A

B C

E

G

F

O

D

A

B C

E

第3頁

3 / 6

思路&圖解

法 2:旋轉(zhuǎn)構(gòu)造

如圖,作

EG AC

,與【法 1】同理,可得結(jié)論…

法 3:手拉手(相似)

如圖,連接

OB , FB ,

1)由①知

? = ? 1 F

,進一步可求得

? = ? BEF 90

(8 字)

2)

BEF , BOA

是等腰直角三角形,

3)易證

BAF BOE

,且相似比為

2 :1,

?

2

2 2( ) 2 2

2

AB AO AE EO AE AF AE AF

? ?

= = + = + = + ? ? ? ? ? ?

.

法 4:手拉手(相似)

如圖,連接

BF

,取

AG AF =

,連接

FG ,與【法 3】同理,可得結(jié)論…

G

F

O

D

A

B C

E

G

F

O

D

A

B C

E

F

O

D

A

B C

E

F

O

D

A

B C

E

G

F

O

D

A

B C

E

G

F

O

D

A

B C

E

第4頁

4 / 6

思路&圖解

法 5:

如圖,作

EP AB, EQ AD ,

1)四邊形

APEQ

是正方形,

2)易證

FQE BPE

(HL)

?

2 2 2

2 2

AB AP PB AE AF AE AE AF = + = + + = + .

法 6:此法來自 23 屆@yanghaiyi 同學~

如圖,過點

E

PQ AB // ,與【法 5】同理,可得結(jié)論!

備注:法 5 和法 6 可以同時解決①和②…

法 7:直接計算

如圖,連接

DE

,作

EP AD,

由①知

EF ED = ,則

DF PF = 2

(三線合一),

?

2

2 2

2

AB AD AF AE AF AF AE

? ?

= = + ? = + ? ? ? ? ? ?

.

Q

F

O

P

A D

B C

E

Q

F

O

P

A D

B C

E

Q

P

F

O

D

A

B C

E

Q

P

F

O

D

A

B C

E

P

F

O

D

A

B C

E

第5頁

5 / 6

(2)

AB AF AE + = 2 .

補全圖形&分析

如圖,連接

ED ,與(1)類似,先利用“對角互補”得到

? = ? BEF 90

,然后三邊的數(shù)

量關(guān)系還是和(1)一樣,都是“雞爪模型”問題,吳老師不再給出詳細過程…

思路&圖解

法 1:

如圖,作

EG AC

,交

AB

的延長線于點

G

,易證得

AB AF AE + = 2 .

法 2:

如圖,作

RG AC

,交

AD

的延長線于點

G

,易證得

AB AF AE + = 2 .

法 3:

如圖,連接

BO, BF

,易證得

AB AF AE + = 2 .

F

O

D

A

B C

E

F

O

D

A

B C

E

G

F

O

A D

C

B

E

G

F

O

A D

C

B

E

G

F

O

A D

B C

E

G

F

O

A D

B C

E

F

O

A D

B C

E

F

O

A D

B C

E

第6頁

6 / 6

思路&圖解

法 4:

如圖,連接

BF ,作

FG AC ,易證得

AB AF AE + = 2 .

法 5:

如圖,作

EP AB, EQ AD ,易證得

AB AF AE + = 2 .

法 6:

如圖,過點

E

PQ AB // ,易證得

AB AF AE + = 2 .

法 7:

如圖,連接

ED

,作

EP AD,易證得

AB AF AE + = 2 .

G

F

O

D

A

B C

E

G

F

O

D

A

B C

E

Q

P

F

O

D

A

B C

E

Q

P

F

O

D

A

B C

E

P

F Q

O

D

A

B C

E

P

F Q

O

D

A

B C

E

F P

O

D

A

B C

E

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