相似三角形存在性處理策略

知識(shí)必備

一、 相似的判定

1. 兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，不妨簡(jiǎn)稱為“SAS”；

2. 兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似，不妨簡(jiǎn)稱為“AA”. 二、 相似與“∽”

1. 一般地，若△ABC 與△DEF 相似，則不具備對(duì)應(yīng)關(guān)系，需分類求解；

2. 若△ABC∽△DEF,則具備對(duì)應(yīng)關(guān)系. 三、 定邊與定角

1. “定邊定長(zhǎng)”:確定的邊，其長(zhǎng)度確定，必可求；

2. “定角定比”:確定的角，其三角函數(shù)值確定，必可求. 方法提煉

一、導(dǎo)邊處理（“SAS”法）

相似三角形存在性問(wèn)題，基本上都可以按部就班，如下解決：

第一步:先找到一組關(guān)鍵的等角，有時(shí)明顯，有時(shí)隱蔽；

第二步:以這兩個(gè)相等角的兩鄰邊分兩種情形對(duì)應(yīng)成比例列方程； 不妨稱此通法為“SAS”法. 舉例:如圖 4-2-1,在△ABC 和△DEF 中，若已確定∠A =∠D.則要使

△ABC 與△DEF 相似,需要分兩種情形討論:

DE

DF

AC

AB

DF

DE

AC

AB

? 或 ? ,再依

次列方程求解. 二、導(dǎo)角處理（“AA”法）

第一步:先找到一組關(guān)鍵的等角

第二步:另兩個(gè)內(nèi)角分兩類對(duì)應(yīng)相；等；

不妨稱此通法為“AA”法. 舉例:如圖 4-2-1,在△ABC 和△DEF 中，若已確定∠A=∠D,要使△ABC 與△DEF 相似，需要分兩 種情形討論:

或∠B=∠F.再導(dǎo)角分析處理. 三、溫馨提示

1. 解法一（“SAS”法），通用性更強(qiáng).普適性更廣，往往是首選；

2. 解法二（“AA”法），導(dǎo)角分析，常轉(zhuǎn)化為角的存在性等問(wèn)題；

3. 若相似的三角形中有一個(gè)確定的三角形,可以先對(duì)其邊、角作研究，定邊求定長(zhǎng)，定角求定比，然后再 尋

找所要的三角形,基本可以做到無(wú)往不利.

實(shí)戰(zhàn)分析

（一）顯性的“相（一）顯性的“相等角”

例 1 如圖 4-3-1,在四邊形 ABCD 中,AD//BC = 90°,AB = 8,AD = 3,BC=4,點(diǎn) P 為 AB 邊上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD

與△PBC 相似，則滿足條件的點(diǎn) P 共有（ ）

C. 3 D.4

簡(jiǎn)析 4 如圖 4-3-2 連接 PD、PC，易得∠A = ∠B=90°,設(shè) AF=x（0＜x＜8）,則 BP=8-x；由△PAD 與△PBC 相似，

本題要分兩種情形：

①當(dāng)△ADP∽BCF 時(shí)，有 ，解得 ，即 ；

7

24

7

24

x

8 x

4

x

3 ? ?

?

? AP

②當(dāng)△ADP∽△BPC 時(shí)，有

4

8 x

x

3 ?

? ,解得 x = 2 或 6,即 AP=2 或 6；

綜上所述:滿足條件的點(diǎn) P 有三個(gè)，故選 C. 簡(jiǎn)析 2 ①當(dāng)△ADP∽△BCP 時(shí)，∠APD=∠BPC,可以利用“光反射原理”，尋找這樣的點(diǎn) P，具體如下：

如圖 4-3-3,作點(diǎn) D 關(guān)于 AB 的對(duì)稱點(diǎn) D＇,連接 D＇C 交 AB 于點(diǎn) P,易得

; 7

24

, 8

3 4

, ?

?

? ?

? AP

BP AP AP

AP

BC

AD 即 解得

A. 1 B. 2

相似三角形存在性問(wèn)題，分類時(shí)可以先固定其中一個(gè)三角形的字母順序，將另一個(gè)三角形換序即可，

如本例中的△AQP∽△BCP 或△ADP∽△BPC；所列方程也是固定等式的一邊，將另一邊的分子、分母顛倒

即可，如

4

8 x

x

3

8 x

4

x

3 ?

?

?

? 或 ；

此外，本題導(dǎo)角分析，結(jié)合輔助圓，還有如下精妙解法： 反

思

②當(dāng)△ADB∽BPC 時(shí)，有∠ADF=∠BPC，導(dǎo)角易得∠CPD=90°

；

識(shí)別“定邊對(duì)定角”結(jié)構(gòu).點(diǎn) P 為以 CD 為直徑的⊙M 與邊 AB 的交點(diǎn)，如圖 4-3-4 所示，而⊙M 與邊 AB 的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)，可以通過(guò)“d 與 r 的大小關(guān)系”來(lái)判斷，具體如下：

如圖 4-3-5,作 MN 丄 AB 與點(diǎn) N,再作 DG 丄 BC 于點(diǎn) G,交 MN 于點(diǎn) H，易得

2

65

2

r ? ? CD

，d=MN=MH+NH= 2

7 ，

則 d＜r，故⊙M 與 AB 相交，且易判斷其兩個(gè)交點(diǎn)都在邊 AB 上；

此外，以上兩種情形下的點(diǎn) P 不可能重合,否則點(diǎn) P 必同時(shí)滿足:∠APD=∠BPC 且∠CPD = 90°,必 有∠APD=∠BPC

= 45°,則 AP=AD = 3，BP = BC = 4,從而 AB=AP+BP = 7,這與 AB = 8 矛盾，故排除；

綜上所述：滿足條件的點(diǎn) P 有三個(gè)，本題選 C。

（二）隱性的“相等角”

例 2 如圖 4-3-6,已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò) A（-2,0）,B（-3,3）及原點(diǎn) O,頂點(diǎn)為 C. （1） 求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2） 連接 BC,交 x 軸于點(diǎn) F,y 軸上是否存在點(diǎn) P.使得△POC 與△BOF 相似？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)析（1）設(shè)此次二次函數(shù)的表達(dá)式為 y ? ax（x ? 2）.代入 B（-3,3）,可得 a = l.故有 y ? ax（x ? 2）?即

y x 2x

2 ? ? ；

（2）如圖 4-3-7, △BOF 確定，且有一個(gè)特殊角∠BOF = 45°,這是解題的“鑰匙”，且易得 OB = 3 2 ，

, 2 2

2

3 ? ? OF

OB OF 則 ；

接下來(lái)，分析變化的目標(biāo)△POC

這是一個(gè)“兩定一動(dòng)”型的三角形，且動(dòng)點(diǎn) P 在 y 軸上；

由 C（-1，-1），可知 OC 與 y 軸負(fù)半軸的夾角恰為 45°,故點(diǎn) P 不可能落在 y 軸正半軸上，否則∠COP= 135°, 其另兩個(gè)內(nèi)角都小于 45°,不可能與△BOF 相似，故點(diǎn) P 只能落在 y 軸負(fù)半軸上.如圖 4-3-7 所示；

即∠BOF=∠COP .且有 OC= 2 ，要使△POC 與△BOF 相似.需分兩種情形討論：

①當(dāng)△BOF∽△COP1時(shí)?有

2

1

, 2

, 2 2 1

1 1 ? ? OP ? OP OP

OC

OF

OB 即 則 ，故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（0，- 2

1

）；

②當(dāng)△BOF∽△P2OC 時(shí)，有 2

2 2

2 OP2 OC

OP

OF

OB

? ，即 ? ，則 OP2=4,故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（0,—4）；

綜上所述:當(dāng) 300 與△BOF 相似時(shí)

,點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（0, — §）或（0,—4）.

解法 1 是相似三角形存在性問(wèn)題的通解通法.而且容易操作；解法 2 看似復(fù)雜，但輔助圓

的構(gòu)思巧妙.為解題打開(kāi)了新天地.有時(shí)可以達(dá)到簡(jiǎn)化之效，算作“特事特辦”. 反

思

下面再看一道靈活多變的好題：

例 3 如圖 4-3-8,二次函數(shù) y ax bx 2

2 ? ? ? 的圖像與 x 軸相交于點(diǎn) A（-l,0）、B（4,0）,與 y 軸相交于點(diǎn) C. （1） 求該函數(shù)的表達(dá)式；

（2） 點(diǎn) P 為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PQ⊥BC 于點(diǎn) Q,連接 PC。

①求線段 PQ 的最大值；

②若以點(diǎn) P、C、Q 為頂點(diǎn)的三角形與∠ABC 相似，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).、

簡(jiǎn)析（1）該二次函數(shù)的表達(dá)式為 x 2

2

3

x

2

1

y

2 ? ? ? ? ；

（2）可設(shè) P ?

?

?

?

?

? ? ? t ? 2

2

3

t

2

1

t， 2 ，其中 0＜t＜4，如圖 4-3-9，作 PG⊥x 軸于點(diǎn) G，交線段 BC 于點(diǎn) M，易得直線 BC 的

表達(dá)式為 x 2

2

1

y ? ? ? ，則點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ?

?

?

?

?

? ? t ? 2

2

1

t， ，從而有 PM= t 2t

2

1

t 2

2

1

t 2

2

3

t

2

1

y y

2 2

p m ? ? ? ?

?

?

?

?

?

? ? ? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ；

易得cos∠QPM=cos∠OBC= 5

2 ，則 5

2 ? PM

PQ

,即有PQ= 5

2

PM= 5

2 （ ） t（t 4）

5

1

t 4t

5

1

t 2t

2

1 2 2 ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?? ? ，

因此當(dāng) t=2 時(shí)，PQ 取最大值為

5

4 5

5

4 ? ；

（3） 這是一個(gè)相似三角形存在性問(wèn)題.但解法多樣，靈活異常,下面提供若干思路；

思路一（相似處理）：△ABC 確定，且易證∠ACB = 90°及

2

1 ? CB

CB

；

目標(biāo)△PQC 為“一定兩動(dòng)”型，但始終有∠PQC=90°，既有∠ACB=∠PQC，由（2）知 PQ= t（4 t）

5

5

5

2 PM ? ? ，

同理有 QM= （ ），又由 （4 t）

2

1

t 2

2

1

t 4 t

10

5

5

1 PM ? ? MG ? ? ? ? ? ，可得 MB= （4 t）

2

5

5MG ? ? ，因此當(dāng)

t=2，PQ 取最大值為

5

4 5

5

4 ? ；

接下來(lái)，分兩種情形討論：

這里的“相等角”，即∠BOF=∠COP= 45°,比較隱蔽.需要學(xué)生具備主動(dòng)尋找的“潛意識(shí)”，然后通

過(guò)必要的計(jì)算加以說(shuō)理；

對(duì)相似三角形存在性問(wèn)題，若其中一個(gè)三角形確定.一般情況下.可將其三條邊、三個(gè)角都研究透徹，

然后再去尋找目標(biāo)三角形，可以達(dá)到事半功倍之效. 反

思

反 PQ 的最大值也可以利用面積處理或相切處理解決，請(qǐng)自行思考；

思

當(dāng)△PCQ∽△ABC 時(shí)，有 2

1 ? ? CB

CA

QC

CP

,即 QC=2QP，則 (4 ) 5

2 5

(4 ) 2

5

t 4 t) 10

5

2 5 ? （ ? ? ? t ? t ? t ，

解得 t=0 或

2

3 ，其中 t=0 舍去，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ?

?

?

?

?

?

8

25

2

3， ；

綜上所述：當(dāng)以點(diǎn) F、C、Q 為頂點(diǎn)的三角形與△ABC 相似，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（3，2）或 ?

?

?

?

?

?

8

25

2

3，

思路二(角處理→“一線三直角”)：要使△CPQ 與△ABC 相似，導(dǎo)角分析，分兩種情形討論如下：

情形一:如圖 4-3-10，當(dāng)△PCQ∽△ABC 時(shí)，有∠1=∠2,則 CP//AB,由拋物線的對(duì)稱性可知:點(diǎn) C 與 點(diǎn) P 關(guān)于拋

物線的對(duì)稱軸對(duì)稱.故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(3,2)；

情形二：如圖 4-3-11.當(dāng)左△CPQ∽△ABC 時(shí)，有∠3=∠2.則 tan∠2 = tan∠3 = 2,作 BD 丄 BC 交 CP 的延長(zhǎng)

線于點(diǎn) D，再作 DE⊥x 軸于點(diǎn) E，易證 Rt△OBC∽R(shí)t△EDB，則有 BC

DB

BO

DE

CO

DE

? ? =tan∠2=2，故 BE=2CO=4，DE=2BO=8, 從而點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（8,8）；

設(shè)直線 CD 的解析式為 y=kx+2,代入 D(8,8),可得 k= 4

3 ，故直線 CD 的解析式為 x 2

4

3

y ? ? ,將其與拋物線聯(lián)

立可得 解得 （ 舍去）

，

，

x 0

2

3

x

x 2

4

3

y

x 2

2

3

x

2

1

y

2 ? ?

??

?

?

? ? ?

? ? ? ?

，此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ?

?

?

?

?

?

8

25

2

3， ；

綜上所述:當(dāng)以點(diǎn) P、C、Q 為頂點(diǎn)的三角形與△ABC 相似，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(3,2)或 ?

?

?

?

?

?

8

25

2

3， . 思路三(角平分線+平行線→等腰處理)：

這里的方程實(shí)屬一個(gè)“紙老虎”，只要先約去瀉.計(jì)算會(huì)異常簡(jiǎn)單.這也是在表示 CQ 過(guò)程中 不

化簡(jiǎn)的目的之所在，切記“巧算趣無(wú)窮.死算算死人” 反

思

思路 2 為相似三角形存在性問(wèn)題開(kāi)辟了新視野，通過(guò)導(dǎo)角分析，將其轉(zhuǎn)化為角的存在性問(wèn)題.譬如這里

的第二種情形本質(zhì)為“在 BC 上方拋物線上找點(diǎn) P,使 tan∠BCP = 2”，這就變?yōu)榱饲懊娴摹敖翘幚?quot;問(wèn)題, 其通解通法均適用，如圖 4-3-12 所示構(gòu)造“一線三直角"亦可，但因直角頂點(diǎn) Q 坐標(biāo)未知.計(jì)算上稍顯麻煩，

需要設(shè)輔助元；

除此之外，構(gòu)造“一線三等角”、“母子型相似"、“旋轉(zhuǎn)構(gòu)造法”等都可行,請(qǐng)自行探究. 反

思

情形一：同上.略；

情形二：如圖 4-3-13,當(dāng)△CFQ∽△ABC 時(shí)，有∠3 =∠2 =∠4,即 CB 平分∠OCP；作 PG 丄 x 軸于點(diǎn) G,交 BC 于點(diǎn) M, 則有∠2=∠4=∠5.故有 PC = PM；設(shè)點(diǎn) P（ ， t 2）

2

3

t

2

1

t 2 ? ? ? ，可得點(diǎn) M ?

?

?

?

?

? ? t ? 2

2

1

t， ，則 PM= t 2t；

2

1

y y

2

p ? m ? ? ?

又點(diǎn) C(0, 2),可得

2

2 2 2

t

2

3

t

2

1

t ?

?

?

?

?

? PC ? ? ? ? 從而有

2

2

2

2 2

t 2t

2

1

t

2

3

t

2

1

t ?

?

?

?

?

?

? ? ? ?

?

?

?

?

? ? ? ? 因?yàn)?t＞0,所以有

2 2

t 2

2

1

2

3

t

2

1

1 ?

?

?

?

?

?

? ? ? ?

?

?

?

?

? ? ? ? .解之即可,下略.

另法:如圖 4-3-14,在思路三的基礎(chǔ)上，結(jié)合“三線合一”定理，可得 PM QM CM

2

5 ? 5 ? ;

設(shè)點(diǎn) ?

?

?

?

?

? ? ? t ? 2

2

3

t

2

1

t， 2 P ，由思路一，可知 PM= t 2t；

2

1

y y

2

p ? m ? ? ? MB= （4 t）

2

5

5MG ? ? ，從而

CM=CB-MB= （4 t）

2

5

2 5 ? ? ，故有 ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? （4 ? t）

2

5

2 5

2

5

t

2

1 2 ，下略。

在思路 2 分析的基礎(chǔ)上，繼續(xù)導(dǎo)角.挖掘出角平分線，利用“角平分線+平行線→等腰三角形"，竟將相

似三角形存在性問(wèn)題變成等腰三角形存在性問(wèn)題，轉(zhuǎn)化的力量可見(jiàn)一般，極其有趣；

思路 3 中“等腰處理”采用了“代數(shù)解法”，計(jì)算過(guò)程中差點(diǎn)出現(xiàn)“4 次方”，若是抓其不變角，利用

“幾何解法”，還可以優(yōu)化如下：

反

思

“幾何解法"明顯比“代數(shù)解法''計(jì)算量少，但需要具備一定的導(dǎo)角導(dǎo)比的能力，“眼中有角.心中有

比”；

遇角平分線，還可以采取更加常見(jiàn)的“對(duì)稱策略",如圖 4-3-15,點(diǎn) O 關(guān)于 CB 的對(duì)稱點(diǎn) O＇一定落在直

線 CP 上，求出點(diǎn) O＇的坐標(biāo)亦可,不再展開(kāi).

反

思

思路四(角平分線→角處理）：如圖 4-3-16,作CP1

//x 軸,交拋物線于點(diǎn) P1 ，易知 P1 即為第一個(gè)要找的 點(diǎn)，下

略；

在邊 OB 上取點(diǎn) D,使∠BCD=∠BC P1

=∠OBC,由前面的思路，可知符合條件的點(diǎn) P2 滿足∠BC P2

=∠BCO,導(dǎo)角可得 P2

∠ P2

C P1

=∠OCD；

設(shè) OD=t，則 CD=BD=4-t，在 Rt△OCD 中，由勾股定理得：4+t2=（4-1）2，解得 t= 2

3

,故 tan∠ P2

C P1

=tan∠OCD= ；

4

3

2

t ?

再作 P2

H 丄 C P1 于點(diǎn) H,可設(shè) P2

H = 3m,CH=4m 則點(diǎn) P2 的坐標(biāo)為(4m,2+3m),將其代入拋物線解析式即可,下略. 變式:如圖 4-3-17,二次函數(shù) y=ax2+bx+2 的圖像與 x 軸相交于點(diǎn) A（-1,0）、B（4,0）,與 y 軸相交于點(diǎn) C,點(diǎn) P

為該函數(shù)在第一象限內(nèi)圖像上的一點(diǎn).作 PG 丄 x 軸于點(diǎn) G.交線段 BC 于點(diǎn) M.若△PCM 是等腰三角形，求點(diǎn) P 的坐標(biāo). 溫馨提示：本題可以抓不變角∠PMC.表示出 PM、CM 的長(zhǎng).利用等腰三角形存在性問(wèn)題的“幾何解法”，分三類

情形完美演繹. 類型鞏固

1.如圖 4-4-1,拋物線 y =

1

8

x

2 ?

3

2

x + 4 軸交于 A、B 兩點(diǎn)（A 點(diǎn)在 B 點(diǎn)左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn) C.動(dòng) 直線 EF（EF//x 軸）從點(diǎn) C 開(kāi)始，以每秒 1 個(gè)單位的速度沿 y 軸負(fù)方向平移，且分別交 y 軸、線段 BC 于 E、F 兩點(diǎn);動(dòng)點(diǎn) P 同時(shí)從點(diǎn)

B 出發(fā),在線段 OB 上以每秒 2 個(gè)單位的速度向原點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng). 問(wèn):是否存在 t，使得△BPF 與△ABC 相似？若存在，求出

t 的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

轉(zhuǎn)化力無(wú)窮，構(gòu)造無(wú)極限.此法的本質(zhì)是.借助對(duì)稱，構(gòu)造等角，轉(zhuǎn)移等角，然后利用“正切處 理”，

増量巧設(shè)，妙趣橫生；

瞧，表面看來(lái)普通的相似三角形存在性問(wèn)題，竟可以通過(guò)轉(zhuǎn)化，變成角、角平分線、等腰等各 種有

趣的存在性問(wèn)題.數(shù)學(xué)的魅力不言而喻；

除了“一題多解",還可以“一題多變”，請(qǐng)思考下面的問(wèn)題： 反

思

總結(jié)相似三角形的存在性問(wèn)題常見(jiàn)的處理策略有：

1. “SAS”解法：先找一組關(guān)鍵的等角，再以此等角的鄰邊分兩類成比例列方程求解；

2. “AA”解法：先找一組關(guān)鍵的等角，再以另兩個(gè)內(nèi)角分兩類對(duì)應(yīng)相等，轉(zhuǎn)化為角處理等其他

存在 性問(wèn)題.

2.如圖 4-4-2,在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為 M 的拋物線 y=ax2+bx（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 和 x 軸正半軸上的點(diǎn) B,AO=BO=2, ∠AOB = 120°, （1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）連結(jié) QM,求∠ZAOM 的大?。?/p>

（3）如果點(diǎn) C 在 x 軸上，且△ABC 與△AOM 相似.求點(diǎn) C 的坐標(biāo).

3. (2017 年江蘇常州中考?jí)狠S題)如圖 4-4-3,已知一次函數(shù) x 4

3

4

y ? ? ? 的圖像是直線? ，設(shè)直線? 分別與 y 軸、x 軸交于點(diǎn) A、B. （1）求線段 AB 的長(zhǎng)度；

（2）設(shè)點(diǎn) M 在射線 AB 上，將點(diǎn) M 繞點(diǎn) A 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90°到點(diǎn) N,以點(diǎn) N 為圓心,NA 的長(zhǎng)為半徑作⊙N。

①當(dāng)⊙N 與 x 軸相切時(shí)，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)；

②在①的條件下,設(shè)直線 AN 與 x 軸交于點(diǎn) C,與⊙N 的另一個(gè)交點(diǎn)為 D.連接 MD 交 x 軸于點(diǎn) E.直線 m 過(guò)點(diǎn) N 分

別與丁軸、直線 Z 交于點(diǎn) P、Q,當(dāng) ZXAPQ 與△CDE 相似時(shí)，求點(diǎn) F 的坐標(biāo).