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（2023 海淀一模——關(guān)聯(lián)直線）★★★☆
28．在平面直角坐標系 xOy 中，對于點
P m n ( , )
，我們稱直線 y＝mx＋n 為點 P 的關(guān)聯(lián)直
線．例如，點
P(2,4)
的關(guān)聯(lián)直線為 y＝2x＋4．
（1）已知點
A(1,2)．
①點 A 的關(guān)聯(lián)直線為__________；
②若⊙O 與點 A 的關(guān)聯(lián)直線相切，則⊙O 的半徑為__________；
（2）已知點
C(0,2)
，點
D d( ,0)
．點 M 為直線 CD 上的動點．
①當 d＝2 時，求點 O 到點 M 的關(guān)聯(lián)直線的距離的最大值；
②以
T( 1,1) ?為圓心，3 為半徑作⊙T．在點 M 運動過程中，當點 M 的關(guān)聯(lián)直線與⊙T
交于 E，F(xiàn) 兩點時，EF 的最小值為 4，請直接寫出 d 的值．
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吳老師圖解
（1）①
y x = + 2
；②
2 .
思路&圖解
1）根據(jù)定義，點
A
的關(guān)聯(lián)直線為
y x = + 2，
2）如圖，
O
與直線
y x = + 2
相切于點
G ，
易求得
2
2
2
OG = = ，
? O
的半徑為
2 .
（2）①
5 .
分析
如圖，
1）易求得直線
CD
的解析式為
y x = ? + 2，
2）設(shè)點
M
的坐標為
( , 2) a a? + ，根據(jù)定義，點
M
的關(guān)聯(lián)直線為
y ax a = ? + 2，
3）易知直線
y a x = ? + ( 1) 2
過定點
R(1,2) ，
綜上，點
M
的關(guān)聯(lián)直線是一條過定點
R
的直線，且該直線會隨著點
M
在直線
CD
上的運
動而繞點
R(1,2)
旋轉(zhuǎn)（斜率 a 的值發(fā)生了改變），
連接
OR
，易知當關(guān)聯(lián)直線與
OR
垂直時，點
O
到關(guān)聯(lián)直線的距離達到最大值.
思路&圖解
如圖，由【分析】知
R(1,2)，易求得
OR = 5
，即最大距離為
5 .
x
y
y = x + 2
45°
G
O
x
y
R
D
C
O
M
x
y
H
R
O
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（2）②
2
3
d =?
或
d = 2 .
分析
1】關(guān)聯(lián)直線
本題中
d
的值未知，我們不妨按照①的邏輯先試一試：
1）易求得直線
CD
的解析式為
2
y x 2
d
= ? + ，
2）令
2 M a a , 2
d
? ? ? ? ? + ? ?
，則關(guān)聯(lián)直線的解析式為
2
y ax a 2
d
= ? + ，
3）關(guān)聯(lián)直線必過點
2
R ,2
d
? ? ? ? ? ?
，只不過點
R
的橫坐標會隨著
d
值的改變而改變，
綜上，也就是說，對于某個
d
的值，點
M
的關(guān)聯(lián)直線會隨著點
M
在直線
CD
上的移動而
繞點
2
R ,2
d
? ? ? ? ? ?
旋轉(zhuǎn)…
2】弦的最小值為 4
如圖，
T
的半徑為 3，
1）過
T
上或
T
外一點作直線，若直線與
T
截得弦
EF
，顯然， EF
的最小值接近于 0，不符合題意！
2）過
T
內(nèi)一點
R
作直線，與
T
截得弦
EF ，易知當
EF TR
時， EF
取到最小值！
提示：弦心距越小，弦越長.
3】綜合考慮
如圖，點
2
R ,2
d
? ? ? ? ? ?
在直線
y = 2
上，且在半徑為 3 的
T
的內(nèi)部，過點
R
作
TR
的垂線，
交
T
于點
E ， F ，
我們可以假定
EF = 4 ，利用此條件求得點
R
的坐標，從而求得
d
的值！
備注：滿足
EF = 4
的弦有 2 條，另一條為圖中灰色線段.
F
E
T
R
x
y
y = 2
F
E
T
O
R
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思路&圖解
情況 1：
如圖，由【分析】知：
1）在
Rt ERT
中，
ET = 3， ER = 2 ，勾股定理得
TR = 5 ，
2）在
Rt HRT
中，
TH =1，勾股定理得
HR = 2 ，且
1 H T x x = = ? ，
? 1 2 1 R
x = ? + = ，即
2
1
d
=
，解得
d = 2 .
情況 2：
如圖，同理，此時
2
3
d
=?
，解得
2
3
d =? .
?
綜上所述：
2
3
d =?
或
d = 2 .
x
y
H
F
E
T
O
R
x
y
H
F
E
T
O
R
x
y
y = 2
F
E
T
O
R
