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（2023 豐臺一模——中稱點）★★★☆
28．對于點 P 和圖形 G，若在圖形 G 上存在不重合的點 M 和點 N，使得點 P 關(guān)于線段 MN
中點的對稱點在圖形 G 上，則稱點 P 是圖形 G 的“中稱點”．
在平面直角坐標系 xOy 中，已知點
A(1,0) ， B(1,1)，C(0,1)．
（1）在點
1
1
,0
2
P
? ? ? ? ? ?
， 2
1 1
,
2 2
P
? ? ? ? ? ?
， 3P (1, 2) ? ， 4 P ( 1,2) ?中，____________是正方形 OABC 的
“中稱點”；
（2）⊙T 的圓心在 x 軸上，半徑為 1．
①當(dāng)圓心 T 與原點 O 重合時，若直線 y＝x＋m 上存在⊙T 的“中稱點”，求 m 的取值
范圍；
②若正方形 OABC 的“中稱點”都是⊙T 的“中稱點”，直接寫出圓心 T 的橫坐標 t
的取值范圍．
相似題：2022-2023 北京四中九下月考·2 月開學(xué)考——倍視點
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吳老師圖解
（1）
P1， P2
.
審題&規(guī)律總結(jié) 1
審題：
研究對象是“中稱點”
P
，它原來在哪我們不知道，但是它最終要落在圖形
G
上！
吳老師常跟同學(xué)們講，這類問題最適合用“逆向思維”來倒推了…
那么，我們只要將整個圖形
G
關(guān)于線段
MN
的中點對稱回去，得到的區(qū)域便是“中稱
點”
P
所在的位置，所以，
MN
的中點（對稱中心）成了問題的關(guān)鍵！
分析：
如圖，在正方形邊上取點
MN
，點
T
為線段
MN
的中點，
①先讓點
M
不動，當(dāng)點
N
在正方形的邊上運動一周時，根據(jù)“瓜豆原理”，點
T
的軌跡
是一個正方形（縮放比為 2:1），
②換一個位置的點
M
，讓點
N
再運動一周，得到的正方形和之前大小一樣，只是換了個
位置，說明點
N
的運動“負責(zé)”生成一個邊長為 0.5 的正方形，而點
M
的運動，決定了該正
方形的位置…
③當(dāng)點
M
運動一周時，邊長為 0.5 的正方形掃過的區(qū)域，正好是正方形
OABC
的內(nèi)部以
及邊界（不包括點
O ， A ， B ，C
），即中點
T
的所在區(qū)域！
如圖，將正方形
OABC
關(guān)于每一個點
T
對稱，得到的正方形會形成一個邊長為 3 的正方
形
RSWU
（不包括 4 個頂點），
得出結(jié)論：
正方形
OABC
的“中稱點”
P
在：圖示邊長為 3 的正方形
RSTU
的內(nèi)部或邊界上（不包
括 4 個頂點）.
x
y
T
C B
O A
N
M
x
y
T
C B
O A
N
M
x
y
R
W U
S
C B
O A
T
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思路&圖解
如圖，
由【規(guī)律總結(jié) 1】知，點
P1 ， P2
是正方
形
OABC
的“中稱點”.
（2）①
? ? ? 3 2 3 2 m .
規(guī)律總結(jié) 2
如圖，
T
的“中稱點”在：以
T
為圓心，
3
為半徑的圓的內(nèi)部?。ㄌ崾荆号c【規(guī)律總
結(jié) 1】同理，利用“瓜豆原理”可知線段
MN
的中點在
T
的內(nèi)部…）
思路&圖解
如圖，由【規(guī)律總結(jié) 2】知直線
y x m = +
應(yīng)與半徑為 3 的
T
有交點，當(dāng)直線與圓相切
時，易求得
m = ?3 2 .
?
綜上所述：
? ? ? 3 2 3 2 m .
x
y
P3
P2
P1
P4
C B
O A
x
y
T
x
y
y=x+m
3
R
H
G
T
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（2）②
2 5 1 5 ? ? + t .
分析
如圖，由【規(guī)律總結(jié) 1】和【規(guī)律總結(jié) 2】知：半徑為
3
的
T
，應(yīng)把邊長為 3 的正方形
RSWU
完全“包住”！
思路&圖解
臨界狀態(tài) 1：
如圖，此時
T
過點
R
，易求得
TH = 5
，則
t = ?2 5 .
臨界狀態(tài) 2：
如圖，此時
T
過點
S
，易求得
t = ? +1 5 .
?
綜上所述：
2 5 1 5 ? ? + t
（注意：都可以取等）.
x
y
R
W U
S
T
x
y
3
2
H
R
W U
S
T
x
y
2
3
H H
R
W U
S
T
