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（2023 豐臺(tái)一模——中稱點(diǎn)）★★★☆

28．對于點(diǎn) P 和圖形 G，若在圖形 G 上存在不重合的點(diǎn) M 和點(diǎn) N，使得點(diǎn) P 關(guān)于線段 MN

中點(diǎn)的對稱點(diǎn)在圖形 G 上，則稱點(diǎn) P 是圖形 G 的“中稱點(diǎn)”．

在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn)

A(1,0) ， B(1,1)，C(0,1)．

（1）在點(diǎn)

1

1

,0

2

P

? ? ? ? ? ?

， 2

1 1

,

2 2

P

? ? ? ? ? ?

， 3P (1, 2) ? ， 4 P ( 1,2) ?中，____________是正方形 OABC 的

“中稱點(diǎn)”；

（2）⊙T 的圓心在 x 軸上，半徑為 1．

①當(dāng)圓心 T 與原點(diǎn) O 重合時(shí)，若直線 y＝x＋m 上存在⊙T 的“中稱點(diǎn)”，求 m 的取值

范圍；

②若正方形 OABC 的“中稱點(diǎn)”都是⊙T 的“中稱點(diǎn)”，直接寫出圓心 T 的橫坐標(biāo) t

的取值范圍．

相似題：2022-2023 北京四中九下月考·2 月開學(xué)考——倍視點(diǎn)

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吳老師圖解

（1）

P1， P2

.

審題&規(guī)律總結(jié) 1

審題：

研究對象是“中稱點(diǎn)”

P

，它原來在哪我們不知道，但是它最終要落在圖形

G

上！

吳老師常跟同學(xué)們講，這類問題最適合用“逆向思維”來倒推了…

那么，我們只要將整個(gè)圖形

G

關(guān)于線段

MN

的中點(diǎn)對稱回去，得到的區(qū)域便是“中稱

點(diǎn)”

P

所在的位置，所以，

MN

的中點(diǎn)（對稱中心）成了問題的關(guān)鍵！

分析：

如圖，在正方形邊上取點(diǎn)

MN

，點(diǎn)

T

為線段

MN

的中點(diǎn)，

①先讓點(diǎn)

M

不動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)

N

在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，根據(jù)“瓜豆原理”，點(diǎn)

T

的軌跡

是一個(gè)正方形（縮放比為 2:1），

②換一個(gè)位置的點(diǎn)

M

，讓點(diǎn)

N

再運(yùn)動(dòng)一周，得到的正方形和之前大小一樣，只是換了個(gè)

位置，說明點(diǎn)

N

的運(yùn)動(dòng)“負(fù)責(zé)”生成一個(gè)邊長為 0.5 的正方形，而點(diǎn)

M

的運(yùn)動(dòng)，決定了該正

方形的位置…

③當(dāng)點(diǎn)

M

運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，邊長為 0.5 的正方形掃過的區(qū)域，正好是正方形

OABC

的內(nèi)部以

及邊界（不包括點(diǎn)

O ， A ， B ，C

），即中點(diǎn)

T

的所在區(qū)域！

如圖，將正方形

OABC

關(guān)于每一個(gè)點(diǎn)

T

對稱，得到的正方形會(huì)形成一個(gè)邊長為 3 的正方

形

RSWU

（不包括 4 個(gè)頂點(diǎn)），

得出結(jié)論：

正方形

OABC

的“中稱點(diǎn)”

P

在：圖示邊長為 3 的正方形

RSTU

的內(nèi)部或邊界上（不包

括 4 個(gè)頂點(diǎn)）.

x

y

T

C B

O A

N

M

x

y

T

C B

O A

N

M

x

y

R

W U

S

C B

O A

T

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思路&圖解

如圖，

由【規(guī)律總結(jié) 1】知，點(diǎn)

P1 ， P2

是正方

形

OABC

的“中稱點(diǎn)”.

（2）①

? ? ? 3 2 3 2 m .

規(guī)律總結(jié) 2

如圖，

T

的“中稱點(diǎn)”在：以

T

為圓心，

3

為半徑的圓的內(nèi)部！（提示：與【規(guī)律總

結(jié) 1】同理，利用“瓜豆原理”可知線段

MN

的中點(diǎn)在

T

的內(nèi)部…）

思路&圖解

如圖，由【規(guī)律總結(jié) 2】知直線

y x m = +

應(yīng)與半徑為 3 的

T

有交點(diǎn)，當(dāng)直線與圓相切

時(shí)，易求得

m = ?3 2 .

?

綜上所述：

? ? ? 3 2 3 2 m .

x

y

P3

P2

P1

P4

C B

O A

x

y

T

x

y

y=x+m

3

R

H

G

T

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（2）②

2 5 1 5 ? ? + t .

分析

如圖，由【規(guī)律總結(jié) 1】和【規(guī)律總結(jié) 2】知：半徑為

3

的

T

，應(yīng)把邊長為 3 的正方形

RSWU

完全“包住”！

思路&圖解

臨界狀態(tài) 1：

如圖，此時(shí)

T

過點(diǎn)

R

，易求得

TH = 5

，則

t = ?2 5 .

臨界狀態(tài) 2：

如圖，此時(shí)

T

過點(diǎn)

S

，易求得

t = ? +1 5 .

?

綜上所述：

2 5 1 5 ? ? + t

（注意：都可以取等）.

x

y

R

W U

S

T

x

y

3

2

H

R

W U

S

T

x

y

2

3

H H

R

W U

S

T