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（2023 順義一模）★☆
27．已知：如圖，△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點 D 在 AB 邊上，點 A 關(guān)于直線 C
D 的對稱點為 E，射線 BE 交直線 CD 于點 F，連接 AF．
（1）設(shè)∠ACD＝? ，用含
?
的代數(shù)式表示∠CBF 的大小，并求∠CFB 的度數(shù)；
（2）用等式表示線段 AF，CF，BF 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
備用圖
F
E
C
A B
D
F
E
C
A B
D
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吳老師圖解
（1）
? = ? + CBF 45 ? ，? = ? CFB 45 .
思路&圖解
法 1：等腰三角形
如圖，
1）
? = ? = 1 2 ?
，則
? = ? ? 3 90 2? ，
?
180 3 45
2
CBF ?
? ? ? ? = = ? + ，
2）
? = ? = ? + 4 45 CBF ? ，
? CFB = ? ?? = ? 4 2 45
（外角）.
備注：也可用
CBF
的內(nèi)角和求.
法 2：共圓
如圖，
1）點
A ， E ， B
在
C
上，
? ? =1 ? ，即
? = ? + CBF 45 ? ，
2）
? = ? = ? + 2 45 CBF ? ，
? CFB = ? ? = ? 2 45 ?
（外角）.
（2）
AF BF CF + = 2 .
分析
本題為“共端點的三邊數(shù)量關(guān)系問題”，即“雞爪模型”問題，此類問題的常規(guī)思路是—
—利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等腰直角三角形…
思路&圖解
法 1：旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等
如圖，作
CG CF
，交
FB
的延長線于點
G ，
1）由（1）知
FCG
是等腰直角三角形，
2）易證
CAF CBG
（手拉手模型），
? AF BF CF + = 2 .
1 2
3
4
F
E
C
A B
D
α α
45°
2
1
F
E
C
A B
D
45°
G
F
E
C
A B
D
G
F
E
C
A B
D
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思路&圖解
法 2：旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等
如圖，作
CG CF
，交
FA
的延長線于點
G ，
1）由對稱和（1）知
? = ? = ? 1 2 45
，即
CFG
是等腰直角三角形，
2）易證
CGA CFB
（手拉手模型），
? AF BF CF + = 2 .
法 3：相似
如圖，作
BH CF ，
1）由（1）知
FBH
是等腰直角三角形，
2）易證
CBH ABF
（手拉手模型），且相似比為
1: 2 ，
?
2 2
2 2
CF AF BF = + ，即
AF BF CF + = 2 .
法 4：相似
如圖，作
AH CF
，與【法 3】同理，可證得結(jié)論！
2
1
45°
G
F
E
C
A B
D
G
F
E
C
A B
D
H
F
E
C
A B
D
H
F
E
C
A B
D
H
F
E
C
A B
D
H
F
E
C
A B
D
