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（2023-2024 首師大附中九上月考·10 月）★★★☆

26．已知二次函數(shù) y＝x2－2mx＋1．

（1）若該二次函數(shù)圖象過（m－1，1），且不過第四象限，求 y＞1 所對(duì)應(yīng)的自變量 x 的取

值范圍；

（2）若點(diǎn)（－1，y1），（m＋1，y2），（2m，y3）在拋物線上，且 y1＜y2＜y3，求 m 的取值范

圍．

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吳老師圖解

（1）當(dāng) m＝1 時(shí)，x＜0 或 x＞2；m＝－1 時(shí)，x＜－2 或 x＞0.

思路&圖解

1）將（m－1，1）代入解析式得 0＝（m－1）2－2m（m－1）＋1，

解得 m＝1 或－1，

2）當(dāng) m＝1 時(shí)，拋物線的解析式為 y＝x2－2x＋1，

如右圖，當(dāng) y＝1 時(shí)，解得 x＝0 或 2，

故當(dāng) y＞1 時(shí)，有 x＜0 或 x＞2，

3）當(dāng) m＝－1 時(shí)，拋物線的解析式為 y＝x2＋2x＋1，

同理，得有 x＜－2 或 x＞0.

∴綜上所述：當(dāng) m＝1 時(shí)，x＜0 或 x＞2；m＝－1 時(shí)，x＜－2 或 x＞0.

（2）－2＜m＜－1.

思路一：對(duì)稱性比遠(yuǎn)近

分析

3 個(gè)函數(shù)值比較大小的問題，正常情況下，我們都是用“對(duì)稱軸偏移”，將 3 個(gè)點(diǎn)同時(shí)

放在一個(gè)數(shù)軸上來比較的，但是由于本題有 2 個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)未知，故我們要想把它們同時(shí)放

在一個(gè)數(shù)軸上，顯然，分類討論的情況太多了！

仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，不等式組 y1＜y2＜y3中，y2 起到了一個(gè)非常關(guān)鍵的串聯(lián)作用，因?yàn)樗c

對(duì)稱軸 x＝m 的位置關(guān)系是相對(duì)確定的，

所以，我們可以將 y1＜y2＜y3 拆分成 2 個(gè)不等式，兩兩比較來做...

思路&圖解

1）由題知拋物線開口向上，則圖像上距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，

2）易求得拋物線的對(duì)稱軸為 x＝m，

3）如圖：

①如左圖，點(diǎn)（m＋1，y2）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（m－1，y2），

由 y1＜y2 知，m－1＜－1＜m＋1，解得－2＜m＜0，

②如右圖，同理得 2m＜m－1 或 2m＞m＋1，解得 m＜－1 或 m＞1.

∴綜上所述：－2＜m＜－1.

x1

x=m

m-1 m+1

x3

x=m

m-1 m+1

x

y

y = 1

O

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思路二：代數(shù)硬算

思路&圖解

1）y1＝1＋2m＋1＝2m＋2，

y2＝（m＋1）2－2m（m＋1）＋1＝－m2＋2，

y3＝（2m）2－2m（2m）＋1＝1，

2）①由 y1＜y2 知，2m＋2＜－m2＋2，整理得 m（m＋2）＜0，

如圖，解得－2＜m＜0，

②由 y2＜y3 知，－m2＋2＜1，整理得（m＋1）（m－1）＞0，

如圖，解得 m＜－1 或 m＞1.

∴綜上所述：－2＜m＜－1.

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