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第一部分 考點(diǎn)專題

專題一 實(shí)數(shù)

考點(diǎn) 1 實(shí)數(shù)的相關(guān)概念

1. 【2022 江西省】下列各數(shù)中,負(fù)數(shù)是 ( )

A. - 1 B. 0 C. 2 D. 2

2. 【2022 甘肅武威】 - 2 的相反數(shù)為 ( )

A. - 2 B. 2 C. ± 2 D.

1

2

3. 【2022 廣東省】計(jì)算 2

2 的結(jié)果是 ( )

A. 1 B. 2 C. 2 D. 4

4. 【2022 廣西梧州】

2

5

的倒數(shù)是 ( )

A.

5

2

B. -

2

5

C. ±

2

5

D. -

5

2

5. 【2022 貴州黔東南州】下列說(shuō)法中,正確的是 ( )

A. 2 與 - 2 互為倒數(shù) B. 2 與

1

2

互為相反數(shù)

C. 0 的相反數(shù)是 0 D. 2 的絕對(duì)值是 - 2

6. 【2022 湖北黃岡】 - 5 的絕對(duì)值是 ( )

A. 5 B. - 5 C. -

1

5

D.

1

5

7. 【2022 吉林省】要使算式( - 1)□3 的運(yùn)算結(jié)果最大,則“□”內(nèi)應(yīng)填入的

運(yùn)算符號(hào)為 ( )

A. + B. - C. × D. ÷

8. 【2022 內(nèi)蒙古包頭】若 a,b 互為相反數(shù),c 的倒數(shù)是 4,則 3a + 3b - 4c 的值

為 ( )

A. - 8 B. - 5 C. - 1 D. 16

考點(diǎn) 2 實(shí)數(shù)的大小比較

9. 【2022 黑龍江大慶】實(shí)數(shù) c,d 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示,則下列式子正

確的是 ( )

A. c > d B. |c| > | d | C. - c < d D. c + d < 0

10. 【2022 湖北荊州】實(shí)數(shù) a,b,c,d 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,其中

有兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù),它們是 ( )

A. a 與 d B. b 與 d C. c 與 d D. a 與 c

11. 【2022 湖南湘潭】如圖,點(diǎn) A、B 表示的實(shí)數(shù)互為相反數(shù),則點(diǎn) B 表示的實(shí)

數(shù)是 ( )

A. 2 B. - 2 C.

1

2

D. -

1

2

12. 【2022 遼寧營(yíng)口】在 2 ,0, - 1,2 這四個(gè)實(shí)數(shù)中,最大的數(shù)是 ( )

A. 0 B. - 1 C. 2 D. 2

13. 【2022 山東濰坊】秦兵馬俑的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為“世界第八大奇跡”,兵馬俑的

眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為

5 - 1

2

,下列估算正確

的是 ( )

A. 0 <

5 - 1

2

<

2

5

B.

2

5

<

5 - 1

2

<

1

2

C.

1

2

<

5 - 1

2

< 1

D.

5 - 1

2

> 1

14. 【2022 江蘇常州】如圖,數(shù)軸上的點(diǎn) A、B 分別表示實(shí)數(shù) a,b,則

1

a

1

b

. (填“ > ”“ = ”或“ < ”)

15. 【2022 陜西省】實(shí)數(shù) a,b 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,則 a

- b. (填“ > ”“ = ”或“ < ”)

考點(diǎn) 3 科學(xué)計(jì)數(shù)法

16. 【2022 河北省】某正方形廣場(chǎng)的邊長(zhǎng)為 4 × 10

2 m,其面積用科學(xué)記數(shù)法

表示為 ( )

A. 4 × 10

4 m

2 B. 16 × 10

4 m

2 C. 1. 6 × 10

5 m

2 D. 1. 6 × 10

4 m

2

17. 【2022 河南省】 《孫子算經(jīng)》中記載:“凡大數(shù)之法,萬(wàn)萬(wàn)曰億,萬(wàn)萬(wàn)億曰

兆”說(shuō)明了大數(shù)之間的關(guān)系:1 億 = 1 萬(wàn) × 1 萬(wàn),1 兆 = 1 萬(wàn) × 1 萬(wàn) × 1 億,

則 1 兆等于 ( )

A. 10

8 B. 10

12 C. 10

16 D. 10

24

18. 【2022 黑龍江齊齊哈爾】據(jù)統(tǒng)計(jì),2022 屆高校畢業(yè)生規(guī)模預(yù)計(jì)首次突破

千萬(wàn),約為 10760000 人,總量和增量均為近年之最. 將 10760000 用科學(xué)

記數(shù)法表示為 .

19. 【2022 湖北十堰】袁隆平院士被譽(yù)為“雜交水稻之父”,經(jīng)過(guò)他帶領(lǐng)的團(tuán)

隊(duì)的多年努力,目前我國(guó)雜交水稻種植面積約為 2. 5 億畝. 將 250000000

用科學(xué)記數(shù)法表示為 2. 5 × 10

n

,則 n = .

考點(diǎn) 4 平方根(算術(shù)平方根)、立方根

20. 【2022 江蘇常州】計(jì)算:

3

8 = .

21. 【2022 陜西省】計(jì)算:3 - 25 = .

22. 【2022 廣西桂林】化簡(jiǎn) 12的結(jié)果是 ( )

A. 2 3 B. 3 C. 2 2 D. 2

23. 【2022 河北省】下列正確的是 ( )

A. 4 + 9 = 2 + 3 B. 4 × 9 = 2 × 3

C. 9

4

= 3

2 D. 4. 9 = 0. 7

考點(diǎn) 5 實(shí)數(shù)的運(yùn)算

24. 【2022 廣西賀州】計(jì)算: ( - 3)

2

+ - 2 + ( 5 - 1)

0

- tan45°.

25. 【2022 廣西梧州】計(jì)算: 9 - 5 + ( - 3) × ( - 2)

2

.

26. 【2022 廣西玉林】計(jì)算:2022

0

+ 4 + -

1

2

- sin30°.

27. 【2022 貴州黔東南州】 計(jì)算: ( - 1 )

- 3

+

3

8 + 2 - 5 +

π

2

- 1. 57 ( )

0

- 20 .

28. 【2022 黑龍江大慶】計(jì)算: 3 - 2 × (3 - π)

0

+

3

- 8 .

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2

專題二 整式與因式分解

考點(diǎn) 1 整式的運(yùn)算

1. 【2022 河北省】計(jì)算 a

3

÷ a 得 a

?

,則“?”是 ( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 【2022 湖南湘潭】下列整式與 ab

2 為同類項(xiàng)的是 ( )

A. a

2

b B. - 2ab

2 C. ab D. ab

2

c

3. 【2022 江西省】下列計(jì)算正確的是 ( )

A. m

2·m

3

= m

6 B. - (m - n) = - m + n

C. m(m + n) = m

2

+ n D. (m + n)

2

= m

2

+ n

2

4. 【2022 內(nèi)蒙古包頭】若 2

4

× 2

2

= 2

m

,則 m 的值為 ( )

A. 8 B. 6 C. 5 D. 2

5. 【2022 湖北武漢】計(jì)算 2a

4

( )

3 的結(jié)果是 ( )

A. 2a

12 B. 8a

12 C. 6a

7 D. 8a

7

6. 【2022 內(nèi)蒙古包頭】若一個(gè)多項(xiàng)式加上 3xy + 2y

2

- 8,結(jié)果是 2xy + 3y

2

- 5,

則這個(gè)多項(xiàng)式為 .

7. 【2022 湖南衡陽(yáng)】先化簡(jiǎn),再求值: ( a + b ) ( a - b ) + b (2a + b ),其中 a = 1,b

= - 2.

8. 【2022 湖南岳陽(yáng)】已知a

2

- 2a + 1 = 0,求代數(shù)式 a(a - 4) + (a + 1)(a - 1)

+ 1 的值.

9. 【2022 江蘇常州】計(jì)算:(1)( 2 )

2

- (π - 3)

0

+ 3

- 1

;(2)(x + 1)

2

- (x - 1)

(x + 1).

考點(diǎn) 2 因式分解

10. 【2022 廣西桂林】因式分解:a

2

+ 3a = .

11. 【2022 貴州黔東南州】分解因式:2022x

2

- 4044x + 2022 = .

12. 【2022 黑龍江哈爾濱】把多項(xiàng)式 mn

2

- 9m 分解因式的結(jié)果是 .

13. 【2022 黑龍江大慶】已知代數(shù)式 a

2

+ (2t - 1) ab + 4b

2 是一個(gè)完全平方

式,則實(shí)數(shù) t 的值為 .

考點(diǎn) 3 列代數(shù)式及代數(shù)式求解

14. 【2022 內(nèi)蒙古赤峰】已知( x + 2 ) ( x - 2 ) - 2x = 1,則 2x

2

- 4x + 3 的值為

( )

A. 13 B. 8 C. - 3 D. 5

15. 【2022 河北省】若 x 和 y 互為倒數(shù),則 x +

1

y

( ) 2y -

1

x

( )的值是 ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

16. 【2022 浙江杭州】照相機(jī)成像應(yīng)用了一個(gè)重要原理,用公式

1

f

=

1

u

+

1

v

(v≠f)表示,其中 f 表示照相機(jī)鏡頭的焦距,u 表示物體到鏡頭的距離,v

表示膠片(像)到鏡頭的距離. 已知 f,v,則 u 等于 ( )

A.

fv

f - v

B.

f - v

fv

C.

fv

v - f

D.

v - f

fv

17. 【2022 內(nèi)蒙古包頭】已知實(shí)數(shù) a,b 滿足 b - a = 1,則代數(shù)式 a

2

+ 2b - 6a +

7 的最小值等于 ( )

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

18. 【2022 山東威?！吭嚲砩弦粋€(gè)正確的式子(

1

a + b

+

1

a - b

) ÷ ★ =

2

a + b

被小

穎同學(xué)不小心滴上了墨汁,則被墨汁遮住部分的代數(shù)式為 ( )

A.

a

a - b

B.

a - b

a

C.

a

a + b

D.

4a

a

2

- b

2

19. 【2022 吉林省】籃球隊(duì)要購(gòu)買 10 個(gè)籃球,每個(gè)籃球 m 元,一共需要

元. (用含 m 的代數(shù)式表示)

20. 【2022 湖南邵陽(yáng)】已知 x

2

- 3x + 1 = 0,則 3x

2

- 9x + 5 = .

21. 【2022 吉林省】下面是一道例題及其解答過(guò)程的一部分,其中 A 是關(guān)于

m 的多項(xiàng)式. 請(qǐng)寫出多項(xiàng)式 ,并將該例題的解答過(guò)程補(bǔ)充完整.

例:先去括號(hào),再合并同類項(xiàng):m(A) - 6(m + 1).

解:m(A) - 6(m + 1)

= m

2

+ 6m - 6m - 6

= .

22. 【2022 江蘇揚(yáng)州】掌握地震知識(shí),提升防震意識(shí). 根據(jù)里氏震級(jí)的定義,

地震所釋放出的能量 E 與震級(jí) n 的關(guān)系為:E = k × 10

1. 5n

(其中 k 為大于

0 的常數(shù)),那么震級(jí)為 8 級(jí)的地震所釋放的能量是震級(jí)為 6 級(jí)的地震所

釋放能量的 倍.

23. 【2022 山東煙臺(tái)】如圖,是一個(gè)“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”的示意圖. 若 x = - 5,y = 3,

則輸出結(jié)果為 .

24. 【2022 湖北隨州】 《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著

作,是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個(gè)里程碑. 在該書的第 2 幕“幾何與代數(shù)”部分,記

載了很多利用幾何圖形來(lái)論證的代數(shù)結(jié)論,利用幾何給人以強(qiáng)烈印象將

抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中.

(1)我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí),可以用幾何圖形來(lái)推理,觀察下列圖

形,找出可以推出的代數(shù)公式,(下面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條

件,只需填寫對(duì)應(yīng)公式的序號(hào))

公式①: ( a + b + c)d = ad + bd + cd

公式②: ( a + b ) (c + d ) = ac + ad + bc + bd

公式③: ( a - b )

2

= a

2

- 2ab + b

2

公式④: ( a + b )

2

= a

2

+ 2ab + b

2

圖 1 對(duì)應(yīng)公式 ,圖 2 對(duì)應(yīng)公式 ,圖 3 對(duì)應(yīng)公式

,圖 4 對(duì)應(yīng)公式 ;

(2) 《 幾 何 原 本》 中 記 載 了 一 種 利 用 幾 何 圖 形 證 明 平 方 差 公 式:

( a + b ) ( a - b ) = a

2

- b

2 的方法,如圖 5,請(qǐng)寫出證明過(guò)程;(已知圖中

各四邊形均為矩形)

(3)如圖 6,在等腰直角三角形 ABC 中,∠BAC = 90°,D 為 BC 的中點(diǎn),E

為邊 AC 上任意一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),過(guò)點(diǎn) E 作 EG⊥BC 于點(diǎn) G,作

EH⊥AD 于點(diǎn) H,過(guò)點(diǎn) B 作 BF∥AC 交 EG 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F. 記△BFG

與△CEG 的面積之和為 S1 ,△ABD 與△AEH 的面積之和為 S2

.

①若 E 為邊 AC 的中點(diǎn),則

S1

S2

的值為 ;

②若 E 不為邊 AC 的中點(diǎn)時(shí),試問①中的結(jié)論是

否仍成立? 若成立,寫出證明過(guò)程;若不成立,請(qǐng)

說(shuō)明理由.

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3

專題三 二次根式

考點(diǎn) 1 二次根式有意義的條件

1. 【2022 廣西賀州】若代數(shù)式 x - 5在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則實(shí)數(shù) x 的取值

范圍是 .

2. 【2022 內(nèi)蒙古包頭】若代數(shù)式 x + 1 +

1

x

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則 x 的取

值范圍是 .

3. 【2022 湖南邵陽(yáng)】若

1

x - 2

有意義,則 x 的取值范圍是 .

4. 【2022 四川雅安】使 x -2有意義的 x 的取值范圍在數(shù)軸上表示為 ( )

A. B.

C. D.

考點(diǎn) 2 二次根式的性質(zhì)

5. 【2022 貴州銅仁】在實(shí)數(shù) 2 , 3 , 4 , 5中,有理數(shù)是 ( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6. 【2022 湖南懷化】下列計(jì)算正確的是 ( )

A. (2a

2

)

3

= 6a

6 B. a

8

÷ a

2

= a

4

C. ( - 2)

2

= 2 D. (x - y)

2

= x

2

- y

2

7. 【2022 內(nèi)蒙古呼和浩特】下列運(yùn)算正確的是 ( )

A.

1

2

× 8 = ± 2 B. (m + n)

2

= m

2

+ n

2

C.

1

x - 1

-

2

x

= -

1

x

D. 3xy ÷

- 2y

2

3x

( ) = -

9x

2

2y

8. 【2022 浙江杭州】計(jì)算: 4 = ; ( - 2 )

2

= .

考點(diǎn) 3 二次根式的估算

9. 【2022 浙江寧波】寫出一個(gè)大于 2 的無(wú)理數(shù) .

10. 【2022 江蘇宿遷】滿足 11≥k 的最大整數(shù) k 是 .

11. 【2022 湖北荊州】 若 3 - 2 的整數(shù)部分為 a,小數(shù)部分為 b,則代數(shù)式

(2 + 2 a )·b 的值是 .

12. 【2022 湖北隨州】已知 m 為正整數(shù),若 189m 是整數(shù),則根據(jù) 189m =

3 × 3 × 3 × 7m = 3 3 × 7m可知,m 有最小值 3 × 7 = 21. 設(shè) n 為正整數(shù),

若

300

n

是大于 1 的整數(shù),則 n 的最小值為 ,最大值為

.

13. 【2022 山東臨沂】滿足 m > 10 - 1 的整數(shù) m 的值可能是 ( )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

考點(diǎn) 4 二次根式的運(yùn)算

14. 【2022 山東泰安】計(jì)算: 8 × 6 - 3

4

3

= .

15. 【2022 湖南衡陽(yáng)】計(jì)算: 2 × 8 = .

16. 【2022 廣西梧州】下列計(jì)算錯(cuò)誤的是 ( )

A. a

3·a

5

= a

8 B. (a

2

b)

3

= a

6

b

3

C. 3 5 + 2 5 = 5 5 D. (a + b)

2

= a

2

+ b

2

17. 【2022 河南省】下列運(yùn)算正確的是 ( )

A. 2 3 - 3 = 2 B. ( a + 1 )

2

= a

2

+ 1

C. a

2

( )

3

= a

5 D. 2a

2·a = 2a

3

18. 【2022 貴州黔東南州】若 (2x + y - 5 )

2

+ x + 2y + 4 = 0,則 x - y 的值是

.

19. 【2022 廣西賀州】若實(shí)數(shù) m,n 滿足∣ m - n - 5 ∣ + 2m + n - 4 = 0,則

3m + n = .

20. 【2022 四川宜賓】 《數(shù)學(xué)九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著

作,書中提出了已知三角形三邊 a、b、c,求面積的公式,其求法是:“以小

斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減上,余

四約之,為實(shí).一為從隅,開平方得積. ”若把以上這段文字寫成公式,即

為:S =

1

4

c

2

a

2

-

c

2

+ a

2

- b

2

2

( )

2

[ ]. 現(xiàn)有周長(zhǎng)為 18 的三角形的三邊滿

足 a ∶ b ∶ c = 4 ∶ 3 ∶ 2, 則用以上給出的公式求得這個(gè)三角形的面積

為 .

21. 【湖南懷化】計(jì)算:(3. 14 - π)

0

+ 2 - 1 + (

1

2

)

- 1

- 8 .

22. 【2022 遼寧營(yíng)口】先化簡(jiǎn),再求值: a + 1 -

5 + 2a

a + 1

( ) ÷

a

2

+ 4a + 4

a + 1

,其中 a =

9 + - 2 -

1

2

( )

- 1

.

23. 【2022 內(nèi)蒙古赤峰】 先化簡(jiǎn), 再求值: 1 +

2a - 1

a + 1

( ) ÷

a

a

2

- 1

, 其中 a =

1

2

( )

- 1

- 8 + 4cos45°.

24. (2021 湖南懷化)先化簡(jiǎn),再求值:

1

x

+

2x +6

x

2

-4x +4

·

x -2

x

2

+3x

,其中 x = 2 +2.

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4

專題四 分式

考點(diǎn) 1 分式的性質(zhì)

1. 【2022 湖南懷化】代數(shù)式

2

5

x,

1

π

,

2

x

2

+ 4

,x

2

-

2

3

,

1

x

,

x + 1

x + 2

中,屬于分式的有

( )

A. 2 個(gè) B. 3 個(gè) C. 4 個(gè) D. 5 個(gè)

2. 【2022 寧夏】下列各式正確的是 ( )

A.

- x + y

- x - y

=

x - y

x + y

B.

- x + y

x - y

=

- x - y

x - y

C.

- x + y

- x - y

=

x + y

x - y

D.

- x + y

- x - y

= -

x - y

x + y

3. 【2021 內(nèi)蒙古呼和浩特】下列計(jì)算正確的是 ( )

A. - 6 ÷

1

3

-

1

2

( ) = - 6 B. 2a

2

b·3abc = 6a

3

b

2

C. ( x + 2 ) ( - x - 2 ) = x

2

- 4 D.

3x

( x - 1 )

2

-

3

(1 - x )

2

=

3

x - 1

考點(diǎn) 2 分式有意義的條件

4. 【2022 江蘇揚(yáng)州】不論 x 取何值,下列代數(shù)式的值不可能為 0 的是 ( )

A. x + 1 B. x

2

- 1 C.

1

x + 1

D. ( x + 1 )

2

5. 【2022 湖北黃岡】若分式

2

x - 1

有意義,則 x 的取值范圍是 .

6. 【四川涼山】若關(guān)于 x 的分式方程

2x

x - 1

- 3 =

m

1 - x

的解為正數(shù),則 m 的取值

范圍是 .

考點(diǎn) 3 分式的運(yùn)算

7. 【2022 湖南衡陽(yáng)】計(jì)算:

2a

a + 2

+

4

a + 2

= .

8. 【2022 湖南懷化】計(jì)算:

x + 5

x + 2

-

3

x + 2

= .

9. 【2022 湖北武漢】化簡(jiǎn):

2x

x

2

- 9

-

1

x - 3

的結(jié)果是 .

10. 【2022 甘肅武威】化簡(jiǎn):

( x + 3 )

2

x + 2

÷

x

2

+ 3x

x + 2

-

3

x

.

11. 【2022 陜西省】化簡(jiǎn):

a + 1

a - 1

+ 1 ( ) ÷

2a

a

2

- 1

.

考點(diǎn) 4 分式的化簡(jiǎn)求值

12. 【2022 浙江金華】若分式

2

x - 3

的值為 2,則 x 的值是 .

13. 【2022 廣西玉林】若 x 是非負(fù)整數(shù),則表示

2x

x + 2

-

x

2

- 4

(x + 2)

2的值的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

落在下圖數(shù)軸上的范圍是 ( )

A. ① B. ② C. ③ D. ①或②

14. 【2022 黑龍江哈爾濱】先化簡(jiǎn),再求代數(shù)式

1

x - 1

-

x - 3

x

2

- 2x + 1

( ) ÷

2

x - 1

的

值,其中 x = 2cos45° + 1.

15. 【2022 江西省】以下是某同學(xué)化簡(jiǎn)分式

x + 1

x

2

- 4

-

1

x + 2 ( ) ÷

3

x - 2

的部分運(yùn)

算過(guò)程:

解:原式 =

x + 1

(x + 2)(x - 2)

-

1

x + 2

[ ]·

x - 2

3

①

=

x + 1

(x + 2)(x - 2)

-

x - 2

(x + 2)(x - 2)

[ ]·

x - 2

3

②

=

x + 1 - x - 2

(x + 2)(x - 2)

·

x - 2

3

③

…

(1)上面的運(yùn)算過(guò)程中第 步出現(xiàn)了錯(cuò)誤;

(2)請(qǐng)你寫出完整的解答過(guò)程.

16. 【2022 內(nèi)蒙古通遼】 先化簡(jiǎn),再求值: a -

4

a

( ) ÷

a - 2

a

2

,請(qǐng)從不等式組

a + 1 > 0

4a - 5

3

≤1

ì

?

í

??

??

的整數(shù)解中選擇一個(gè)合適的數(shù)求值.

17. 【2022 山東濰坊】(1)在計(jì)算

- 2

2

- ( - 1)

10

+ | - 6 | + 3

3

3 tan30°-

3

64 × ( - 2)

- 2

+ ( - 2)

0時(shí),小亮

的計(jì)算過(guò)程如下:

- 2

2

- ( - 1)

10

+ | - 6 | + 3

3

3 tan30°-

3

64 × ( - 2)

- 2

+ ( - 2)

0

=

4 - ( - 1) - 6 + 27

3 × 3 - 4 × 4 + 0

=

4 + 1 - 6 + 27

3 - 16

= - 2

小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計(jì)算有誤,幫助小亮找出了 3 個(gè)錯(cuò)誤. 請(qǐng)你找出其他錯(cuò)

誤,參照① ~ ③的格式寫在橫線上,并依次標(biāo)注序號(hào):

① - 2

2

= 4;②( - 1)

10

= - 1;③ - 6 = - 6;

.

請(qǐng)寫出正確的計(jì)算過(guò)程.

(2)先化簡(jiǎn),再求值:

2

x - 3

-

1

x

( )·

x

2

- 3x

x

2

+ 6x + 9

,其中 x 是方程 x

2

- 2x - 3

= 0 的根.

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5

階段測(cè)評(píng)(一) 數(shù)與式

注意事項(xiàng):本試卷共三道大題,21 道小題,滿分 100 分,建議用時(shí) 40 分鐘。

一、選擇題(每小題 3 分,共 30 分)

1. 【2022 浙江金華】在 - 2,

1

2

, 3 ,2 中,是無(wú)理數(shù)的是 ( )

A. - 2 B.

1

2

C. 3 D. 2

2. 【2022 浙江溫州】計(jì)算 9 + ( - 3)的結(jié)果是 ( )

A. 6 B. - 6 C. 3 D. - 3

3. 【2022 四川成都】2022 年 5 月 17 日,工業(yè)和信息化部負(fù)責(zé)人在“2022 世

界電信和信息社會(huì)日”大會(huì)上宣布,我國(guó)目前已建成 5G 基站近 160 萬(wàn)個(gè),

成為全球首個(gè)基于獨(dú)立組網(wǎng)模式規(guī)模建設(shè) 5G 網(wǎng)絡(luò)的國(guó)家. 將數(shù)據(jù) 160 萬(wàn)

用科學(xué)記數(shù)法表示為 ( )

A. 1. 6 × 10

2 B. 1. 6 × 10

5 C. 1. 6 × 10

6 D. 1. 6 × 10

7

4. 【2022 四川宜賓】2020 年 12 月 17 日,我國(guó)嫦娥五號(hào)返回器攜帶著月球樣

本玄武巖成功著陸地球. 2021 年 10 月 19 日,中國(guó)科學(xué)院發(fā)布了一項(xiàng)研究

成果:中國(guó)科學(xué)家測(cè)定,嫦娥五號(hào)帶回的玄武巖形成的年齡為 20. 30 ±

0. 04億年. 用科學(xué)記數(shù)法表示此玄武巖形成的年齡最小的為

( )(單位:年)

A. 2. 034 × 10

8 B. 2. 034 × 10

9

C. 2. 026 × 10

8 D. 2. 026 × 10

9

5. 【2022 浙江紹興】下列計(jì)算正確的是 ( )

A. (a

2

+ ab) ÷ a = a + b B. a

2·a = a

2

C. (a + b)

2

= a

2

+ b

2 D. (a

3

)

2

= a

5

6. 【2022 新疆省】下列運(yùn)算正確的是 ( )

A. 3a - 2a = 1 B. a

3·a

5

= a

8

C. a

8

÷ 2a

2

= 2a

4 D. (3ab)

2

= 6a

2

b

2

7. 【2022 浙江溫州】化簡(jiǎn)( - a)

3·( - b)的結(jié)果是 ( )

A. - 3ab B. 3ab C. - a

3

b D. a

3

b

8. 【2022 陜西省】計(jì)算:2x· - 3x

2

y

3

( ) = ( )

A. 6x

3

y

3 B. - 6x

2

y

3 C. - 6x

3

y

3 D. 18x

3

y

3

9. 【2022 四川內(nèi)江】如圖,數(shù)軸上的兩點(diǎn) A、B 對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是 a,b,則下列

式子中成立的是 ( )

A. 1 - 2a > 1 - 2b B. - a < - b C. a + b < 0 D. | a | - | b | > 0

10. 【2022 浙江寧波】將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按

如圖方式不重疊地放置在矩形 ABCD 內(nèi),其中矩形紙片和正方形紙片的

周長(zhǎng)相等. 若知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出 ( )

A. 正方形紙片的面積 B. 四邊形 EFGH 的面積

C. △BEF 的面積 D. △AEH 的面積

二、填空題(每小題 3 分,共 15 分)

11. 【2022 湖南岳陽(yáng)】要使 x - 1有意義,則 x 的取值范圍是 .

12. 【2022 浙江溫州】分解因式:m

2

- n

2

= .

13. 【2022 浙江溫州】計(jì)算:

x

2

+ xy

xy

+

xy - x

2

xy

= .

14. 【2022 黑龍江齊齊哈爾】若關(guān)于 x 的分式方程

1

x - 2

+

2

x + 2

=

x + 2m

x

2

- 4

的解

大于 1,則 m 的取值范圍是 .

15. 【2022 四川內(nèi)江】勾股定理被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》

中,漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅如圖 1 所示的“弦

圖”,后人稱之為“趙爽弦圖”. 圖 2 由弦圖變化得到,它是由八個(gè)全等的

直角三角形拼接而成. 記圖中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT

的面積分別為 S1 、S2 、S3

. 若正方形 EFGH 的邊長(zhǎng)為 4,則 S1 + S2 + S3

= .

三、解答題(本大題共 6 個(gè)小題,共 55 分)

16. 【2022 四川宜賓】(10 分)計(jì)算或化簡(jiǎn):

(1) 12 - 4sin30° + 3 - 2 ;

(2) 1 -

1

a + 1

( ) ÷

a

a

2

- 1

.

17. 【2022 湖北十堰】(8 分)化簡(jiǎn):

a

2

- b

2

a

÷ a +

b

2

- 2ab

a

( ).

18. 【2022 湖南邵陽(yáng)】 (9 分)先化簡(jiǎn),再?gòu)?- 1,0,1, 3 中選擇一個(gè)合適的 x

值代入求值.

1

x + 1

+

1

x

2

- 1

( ) ÷

x

x - 1

.

19. 【2022 遼寧盤錦】 (9 分)先化簡(jiǎn),再求值:

x -3

x

2

-1

÷

x -3

x

2

+2x +1

-

1

x -1

+1 ( ),

其中 x = - 2 +1.

20. 【2022 黑龍江大慶】 (9 分)先化簡(jiǎn),再求值:

a

2

b

- a ( ) ÷

a

2

- b

2

b

. 其中 a =

2b,b≠0.

21. 【2022 湖北荊州】(10 分)先化簡(jiǎn),再求值:

a

a

2

- b

2

-

1

a + b ( ) ÷

b

a

2

-2ab + b

2

,

其中 a =

1

3

( )

- 1

,b = ( -2022 )

0

.

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6

專題五 整式方程(組)及應(yīng)用

考點(diǎn) 1 一次方程(組)及解法

1. 【2022 湖北隨州】 已知二元一次方程組

x + 2y = 4

2x + y = 5 { ,則 x - y 的值為

.

2. 【2022 四川雅安】已知

x = 1

y = 2 { 是方程 ax + by = 3 的解,則代數(shù)式 2a + 4b - 5

的值為 .

3. 【2022 浙江紹興】元朝朱世杰的《算學(xué)啟蒙》中記載:“良馬日行二百四十

里,駑馬日行一百五十里,駑馬先行一十二日,問良馬幾何追及之. ” 其題

意為:“良馬每天行 240 里,劣馬每天行 150 里,劣馬先行 12 天,良馬要幾

天追上劣馬?”答:良馬追上劣馬需要的天數(shù)是 .

4. 【2022 湖北武漢】幻方是古老的數(shù)學(xué)問題,我國(guó)古代的《洛書》中記載了最

早的幻方———九宮格. 將 9 個(gè)數(shù)填入幻方的空格中,要求每一橫行、每一

豎列以及兩條對(duì)角線上的 3 個(gè)數(shù)之和相等,例如圖 1 就是一個(gè)幻方. 圖 2

是一個(gè)未完成的幻方,則 x 與 y 的和是 ( )

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

5. 【2022 湖南岳陽(yáng)】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題,原文如

下:今有百鹿入城,家取一鹿,不盡,又三家共一鹿,適盡,問:城中家?guī)缀?

大意為:今有 100 頭鹿進(jìn)城,每家取一頭鹿,沒有取完,剩下的鹿每 3 家共

取一頭,恰好取完,問:城中有多少戶人家? 在這個(gè)問題中,城中人家的戶

數(shù)為 ( )

A. 25 B. 75 C. 81 D. 90

6. 【2022 江蘇宿遷】我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩(shī):“我問店家李三

公,眾客都來(lái)到店中,一房七客多七客,一房九客一房空. ”詩(shī)中后面兩句

的意思是:如果一間客房住 7 人,那么有 7 人無(wú)房可住;如果一間客房住 9

人,那么就空出一間客房,若設(shè)該店有客房 x 間,房客 y 人,則列出的關(guān)于

x、y 的二元一次方程組正確的是 ( )

A.

7x - 7 = y

9 ( x - 1 ) = y { B.

7x + 7 = y

9 ( x - 1 ) = y { C.

7x + 7 = y

9x - 1 = y { D.

7x - 7 = y

9x - 1 = y {

7. 【2022 浙江杭州】計(jì)算: ( - 6 ) ×

2

3

( - ■) - 2

3

. 圓圓在做作業(yè)時(shí),發(fā)現(xiàn)題

中有一個(gè)數(shù)字被墨水污染了.

(1)如果被污染的數(shù)字是

1

2

,請(qǐng)計(jì)算( - 6 ) ×

2

3

-

1

2

( ) - 2

3

;

(2)如果計(jì)算結(jié)果等于 6,求被污染的數(shù)字.

8. 【2022 內(nèi)蒙古呼和浩特】解方程組

4x + y = 5

x - 1

2

+

y

3

= 2

ì

?

í

??

??

.

9. 【2022 山東泰安】泰安某茶葉店經(jīng)銷泰山女兒茶,第一次購(gòu)進(jìn)了 A 種茶 30

盒,B 種茶 20 盒,共花費(fèi) 6000 元;第二次購(gòu)進(jìn)時(shí),兩種茶每盒的價(jià)格都提

高了 20% ,該店又購(gòu)進(jìn)了 A 種茶 20 盒,B 種茶 15 盒,共花費(fèi) 5100 元. 求

第一次購(gòu)進(jìn)的 A、B 兩種茶每盒的價(jià)格.

考點(diǎn) 2 一次二次方程及應(yīng)用

10. 【2022 廣西梧州】一元二次方程( x - 2 ) ( x + 7 ) = 0 的根是 .

11. 【2022 廣東省】若 x = 1 是方程 x

2

- 2x + a = 0 的根,則 a = .

12. 【2022 四川雅安】若關(guān)于 x 的一元二次方程 x

2

+ 6x + c = 0 配方后得到方

程(x + 3)

2

= 2c,則 c 的值為 ( )

A. - 3 B. 0 C. 3 D. 9

13. 【2022 湖南常德】關(guān)于 x 的一元二次方程 x

2

- 4x + k = 0 無(wú)實(shí)數(shù)解,則 k

的取值范圍是 ( )

A. k > 4 B. k < 4 C. k < - 4 D. k > 1

14. 【2022 湖北荊州】關(guān)于 x 的方程 x

2

- 3kx - 2 = 0 實(shí)數(shù)根的情況,下列判斷

正確的是 ( )

A. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C. 沒有實(shí)數(shù)根 D. 無(wú)法判斷

15. 【2022 內(nèi)蒙古呼和浩特】已知 x1 ,x2 是方程 x

2

- x - 2022 = 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)

根,則代數(shù)式 x

3

1 - 2022x1 + x

2

2 的值是 ( )

A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1

16. 【2022 新疆省】臨近春節(jié)的三個(gè)月,某干果店迎來(lái)了銷售旺季,第一個(gè)月

的銷售額為 8 萬(wàn)元,第三個(gè)月的銷售額為 11. 52 萬(wàn)元,設(shè)這兩個(gè)月銷售

額的月平均增長(zhǎng)率為 x,則根據(jù)題意,可列方程為 ( )

A. 8(1 + 2x) = 11. 52 B. 2 × 8(1 + x) = 11. 52

C. 8 (1 + x)

2

= 11. 52 D. 8 1 + x

2

( ) = 11. 52

17. 【2022 湖北十堰】已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x

2

- 2x - 3m

2

= 0.

(1)求證:方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為 α,β,且 α + 2β = 5,求 m 的值.

18. 【2022 湖北隨州】已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x

2

+ (2k + 1 )x + k

2

+ 1 = 0

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1 ,x2

.

(1)求 k 的取值范圍;

(2)若 x1

x2 = 5,求 k 的值.

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7

19. 【2022 湖南湘潭】為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育

的意見》,某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻(墻長(zhǎng) 12 m)和 21 m 長(zhǎng)的籬笆墻,

圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地. 某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案(除

圍墻外,實(shí)線部分為籬笆墻,且不浪費(fèi)籬笆墻),請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下

列問題:

(1)方案一:如圖 1,全部利用圍墻的長(zhǎng)度,但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度 AE

= 1 m 的水池且需保證總種植面積為 32 m

2

,試分別確定 CG、DG

的長(zhǎng);

(2)方案二:如圖 2,使圍成的兩塊矩形總種植面積最大,請(qǐng)問 BC 應(yīng)設(shè)計(jì)

為多長(zhǎng)? 此時(shí)最大面積為多少?

考點(diǎn) 3 方程組的應(yīng)用

20. 【2022 浙江杭州】 某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái) 2019 年的新注冊(cè)用戶數(shù)為 100 萬(wàn),

2021 年的新注冊(cè)用戶數(shù)為 169 萬(wàn),設(shè)新注冊(cè)用戶數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為 x

(x > 0),則 x = (用百分?jǐn)?shù)表示).

21. 【2022 浙江杭州】某體育比賽的門票分 A 票和 B 票兩種,A 票每張 x 元,

B 票每張 y 元. 已知 10 張 A 票的總價(jià)與 19 張 B 票的總價(jià)相差 320 元,則

( )

A.

10x

19y

= 320 B.

10y

19x

= 320

C. 10x - 19y = 320 D. 19x - 10y = 320

22. 【2022 山東濰坊】觀察我國(guó)原油進(jìn)口月度走勢(shì)圖,2022 年 4 月原油進(jìn)口

量比 2021 年 4 月增加 267 萬(wàn)噸,當(dāng)月增速為 6. 6% (計(jì)算方法:

267

4036

×

100% ≈6. 6% ). 2022 年 3 月當(dāng)月增速為 - 14. 0% ,設(shè) 2021 年 3 月原油

進(jìn)口量為 x 萬(wàn)噸,下列算法正確的是 ( )

A.

x - 4271

4271

× 100% = - 14. 0% B.

4271 - x

4271

× 100% = - 14. 0%

C.

x - 4271

x

× 100% = - 14. 0% D.

4271 - x

x

× 100% = - 14. 0%

23. 【2022 黑龍江齊齊哈爾】端午節(jié)前夕,某食品加工廠準(zhǔn)備將生產(chǎn)的粽子

裝入 A、B 兩種食品盒中,A 種食品盒每盒裝8 個(gè)粽子,B 種食品盒每盒裝

10 個(gè)粽子,若現(xiàn)將 200 個(gè)粽子分別裝入 A、B 兩種食品盒中(兩種食品盒

均要使用并且裝滿),則不同的分裝方式有 ( )

A. 2 種 B. 3 種 C. 4 種 D. 5 種

24. 【2022 河北省】發(fā)現(xiàn)兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和

一定是偶數(shù),且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和. 驗(yàn)證:

如, (2 + 1 )

2

+ (2 - 1 )

2

= 10 為偶數(shù),請(qǐng)把 10 的一半表示為兩個(gè)正整數(shù)的

平方和. 探究:設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為 m,n,請(qǐng)論證“發(fā)現(xiàn)”中

的結(jié)論正確.

25. 【2022 江蘇常州】第十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)( ICME - 14)會(huì)徽的主題

圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素,展現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的文化魅力,其右下方

的“卦”是用我國(guó)古代的計(jì)數(shù)符號(hào)寫出的八進(jìn)制數(shù)3745. 八進(jìn)制是以8 作

為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng),有0 ~ 7 共8 個(gè)基本數(shù)字. 八進(jìn)制數(shù)3745 換算成

十進(jìn)制數(shù)是 3 × 8

3

+ 7 × 8

2

+ 4 × 8

1

+ 5 × 8

0

= 2021,表示 ICME - 14 的舉

辦年份.

(1)八進(jìn)制數(shù) 3746 換算成十進(jìn)制數(shù)是 ;

(2)小華設(shè)計(jì)了一個(gè) n 進(jìn)制數(shù) 143,換算成十進(jìn)制數(shù)是 120,求 n 的值.

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專題六 分式方程及應(yīng)用

考點(diǎn) 1 分式方程及解法

1. 【2022 湖南岳陽(yáng)】分式方程

3x

x + 1

= 2 的解為 x = .

2. 【2022 湖南邵陽(yáng)】分式方程

5

x - 2

-

3

x

= 0 的解為 .

3. 【2022 內(nèi)蒙古通遼】若關(guān)于 x 的分式方程 2 -

1 - 2k

x - 2

=

1

2 - x

的解為正數(shù),則

k 的取值范圍為 ( )

A. k < 2 B. k < 2 且 k≠0

C. k > - 1 D. k > - 1 且 k≠0

4. 【2022 四川宜賓】某家具廠要在開學(xué)前趕制 540 套桌凳,為了盡快完成任

務(wù),廠領(lǐng)導(dǎo)合理調(diào)配,加強(qiáng)第一線人力,使每天完成的桌凳比原計(jì)劃多 2

套,結(jié)果提前 3 天完成任務(wù). 問原計(jì)劃每天完成多少套桌凳? 設(shè)原計(jì)劃每

天完成 x 套桌凳,則所列方程正確的是 ( )

A.

540

x - 2

-

540

x

= 3 B.

540

x + 2

-

540

x

= 3

C.

540

x

-

540

x + 2

= 3 D.

540

x

-

540

x - 2

= 3

5. 【2022 江蘇宿遷】解方程:

2x

x - 2

= 1 +

1

x - 2

.

6. 【2022 湖北隨州】解分式方程:

1

x

=

4

x + 3

.

考點(diǎn) 2 分式方程的實(shí)際應(yīng)用

7. 【2022 浙江寧波】定義一種新運(yùn)算:對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù) a,b,都有 a?b =

1

a

+

1

b

. 若(x + 1)?x =

2x + 1

x

,則 x 的值為 .

8. 【2022 廣西玉林】我市某鄉(xiāng)村振興果蔬加工公司先后兩次購(gòu)買龍眼共 21

噸,第一次購(gòu)買龍眼的價(jià)格為 0. 4 萬(wàn)元/ 噸;因龍眼大量上市,價(jià)格下跌,

第二次購(gòu)買龍眼的價(jià)格為 0. 3 萬(wàn)元/ 噸,兩次購(gòu)買龍眼共用了 7 萬(wàn)元.

(1)求兩次購(gòu)買龍眼各是多少噸?

(2)公司把兩次購(gòu)買的龍眼加工成桂圓肉和龍眼干,1 噸龍眼可加工成桂

圓肉 0. 2 噸或龍眼干 0. 5 噸,桂圓肉和龍眼干的銷售價(jià)格分別是 10

萬(wàn)元/ 噸和 3 萬(wàn)元/ 噸,若全部的銷售額不少于 39 萬(wàn)元,則至少需要把

多少噸龍眼加工成桂圓肉?

9. 【2022 黑龍江大慶】某工廠生產(chǎn)某種零件,由于技術(shù)上的改進(jìn),現(xiàn)在平均

每天比原計(jì)劃多生產(chǎn) 20 個(gè)零件,現(xiàn)在生產(chǎn) 800 個(gè)零件所需時(shí)間與原計(jì)劃

生產(chǎn) 600 個(gè)零件所需時(shí)間相同. 求現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)多少個(gè)零件?

10. 【2022 吉林省】劉芳和李婷進(jìn)行跳繩比賽. 已知?jiǎng)⒎济糠昼姳壤铈枚嗵?/p>

20 個(gè),劉芳跳 135 個(gè)所用的時(shí)間與李婷跳 120 個(gè)所用的時(shí)間相等. 求李

婷每分鐘跳繩的個(gè)數(shù).

11. 【2022 江蘇揚(yáng)州】某中學(xué)為準(zhǔn)備十四歲青春儀式,原計(jì)劃由八年級(jí)(1)班

的 4 個(gè)小組制作 360 面彩旗,后因 1 個(gè)小組另有任務(wù),其余 3 個(gè)小組的每

名學(xué)生要比原計(jì)劃多做 3 面彩旗才能完成任務(wù). 如果這 4 個(gè)小組的人數(shù)

相等,那么每個(gè)小組有學(xué)生多少名?

12. 【2022 內(nèi)蒙古赤峰】某學(xué)校建立了勞動(dòng)基地,計(jì)劃在基地上種植 A、B 兩

種苗木共 6000 株,其中 A 種苗木的數(shù)量比 B 種苗木的數(shù)量的一半多 600

株.

(1)請(qǐng)問 A、B 兩種苗木各多少株?

(2)如果學(xué)校安排 350 人同時(shí)開始種植這兩種苗木,每人每天平均能種

植 A 種苗木 50 株或 B 種苗木 30 株,應(yīng)分別安排多少人種植 A 種苗

木和 B 種苗木,才能確保同時(shí)

??

完成任務(wù)?

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9

專題七 不等式(組)及其應(yīng)用

考點(diǎn) 1 不等式的性質(zhì)

1. 【2022 吉林省】y 與 2 的差不大于 0,用不等式表示為 ( )

A. y - 2 > 0 B. y - 2 < 0 C. y - 2≥0 D. y - 2≤0

2. 【2022 江蘇宿遷】如果 x < y,那么下列不等式正確的是 ( )

A. 2x < 2y B. - 2x < - 2y C. x - 1 > y - 1 D. x + 1 > y + 1

3. 【2021 河北省】由

1 + c

2 + c

-

1

2

( )值的正負(fù)可以比較 A =

1 + c

2 + c

與

1

2

的大小,下

列正確的是 ( )

A. 當(dāng) c = - 2 時(shí),A =

1

2

B. 當(dāng) c = 0 時(shí),A≠

1

2

C. 當(dāng) c < - 2 時(shí),A >

1

2

D. 當(dāng) c < 0 時(shí),A <

1

2

考點(diǎn) 2 不等式(組)的解法及解集

4. 【2021 重慶 A 卷】不等式 x≤2 在數(shù)軸上表示正確的是 ( )

A B

C D

5. 【2022 甘肅武威】不等式 3x - 2 > 4 的解集是 ( )

A. x > - 2 B. x < - 2 C. x > 2 D. x < 2

6. 【2022 湖南邵陽(yáng)】關(guān)于 x 的不等式組

-

1

3

x >

2

3

- x

1

2

x - 1 <

1

2

( a - 2 )

ì

?

í

?

?

?

?

有且只有三個(gè)整

數(shù)解,則 a 的最大值是 ( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

7. 【2022 遼寧營(yíng)口】不等式組

2x + 4 > 6

9 - x > 1 { 的解集為 .

8. 【2022 黑龍江大慶】滿足不等式組

2x - 5≤0

x - 1 > 0 { 的整數(shù)解是 .

9. 【2022 江蘇常州】解不等式組

5x - 10≤0

x + 3 > - 2x { ,并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

10. 【2022 江蘇揚(yáng)州】 解不等式組

x - 2≤2x

x - 1 <

1 + 2x

3

ì

?

í

??

??

,并求出它的所有整數(shù)解

的和.

11. 【2021 貴州貴陽(yáng)】(1)有三個(gè)不等式 2x + 3 < - 1, - 5x > 15,3(x - 1) > 6,

請(qǐng)?jiān)谄渲腥芜x兩個(gè)不等式,組成一個(gè)不等式組,并求出它的解集;

(2)小紅在化簡(jiǎn) a(1 + a) - (a - 1)

2時(shí),解答過(guò)程如下:

a(1 + a) - (a - 1)

2

= a + a

2

- (a

2

- 1)……第一步

= a + a

2

- a

2

- 1……第二步

= a - 1……第三步

小紅的解答從第 步開始出錯(cuò),請(qǐng)寫出正確的解答過(guò)程.

12. 【2022 河北省】整式 3

1

3

( - m )的值為 P.

(1)當(dāng) m = 2 時(shí),求 P 的值;

(2)若 P 的取值范圍如圖所示,求 m 的負(fù)整數(shù)值.

13. 【2022 湖北荊州】已知方程組

x + y = 3①

x - y = 2② { 的解滿足 2kx - 3y < 5,求 k 的

取值范圍.

考點(diǎn) 3 不等式的應(yīng)用

14. 【2021 湖北荊州】已知:a 是不等式 5(a - 2) + 8 < 6(a - 1) + 7 的最小整

數(shù)解,請(qǐng)用配方法解關(guān)于 x 的方程 x

2

+ 2ax + a + 1 = 0.

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10

15. 【2022 湖南岳陽(yáng)】為迎接湖南省第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)在岳陽(yáng)舉行,某班組織

學(xué)生參加全民健身線上跳繩活動(dòng),需購(gòu)買 A、B 兩種跳繩若干. 若購(gòu)買 3

根 A 種跳繩和 1 根 B 種跳繩共需 140 元;若購(gòu)買 5 根 A 種跳繩和 3 根 B

種跳繩共需 300 元.

(1)求 A、B 兩種跳繩的單價(jià)各是多少元?

(1)若該班準(zhǔn)備購(gòu)買 A、B 兩種跳繩共 46 根,總費(fèi)用不超過(guò) 1780 元,那么

至多可以購(gòu)買 B 種跳繩多少根?

16. 【2022 黑龍江哈爾濱】紹云中學(xué)計(jì)劃為繪畫小組購(gòu)買某種品牌的 A、B 兩

種型號(hào)的顏料,若購(gòu)買 1 盒 A 種型號(hào)的顏料和 2 盒 B 種型號(hào)的顏料需用

56 元;若購(gòu)買 2 盒 A 種型號(hào)的顏料和 1 盒 B 種型號(hào)的顏料需用 64 元.

(1)求每盒 A 種型號(hào)的顏料和每盒 B 種型號(hào)的顏料各多少元;

(2)紹云中學(xué)決定購(gòu)買以上兩種型號(hào)的顏料共 200 盒,總費(fèi)用不超過(guò)

3920 元,那么該中學(xué)最多可以購(gòu)買多少盒 A 種型號(hào)的顏料?

17. 【2022 湖北黃岡】某班去革命老區(qū)研學(xué)旅行,研學(xué)基地有甲、乙兩種快餐

可供選擇,買 1 份甲種快餐和 2 份乙種快餐共需 70 元,買 2 份甲種快餐

和 3 份乙種快餐共需 120 元.

(1)買一份甲種快餐和一份乙種快餐各需多少元?

(2)已知該班共買 55 份甲、乙兩種快餐,所花快餐費(fèi)不超過(guò) 1280 元,問

至少買乙種快餐多少份?

18. 【2022 內(nèi)蒙古呼和浩特】今年我市某公司分兩次采購(gòu)了一批土豆,第一

次花費(fèi) 30 萬(wàn)元,第二次花費(fèi) 50 萬(wàn)元,已知第一次采購(gòu)時(shí),每噸土豆的價(jià)

格比去年的平均價(jià)格上漲了 200 元,第二次采購(gòu)時(shí),每噸土豆的價(jià)格比

去年的平均價(jià)格下降了 200 元,第二次的采購(gòu)數(shù)量是第一次采購(gòu)數(shù)量的

2 倍.

(1)問去年每噸土豆的平均價(jià)格是多少元?

(2)該公司可將土豆加工成薯片或淀粉,因設(shè)備原因,兩種產(chǎn)品不能同時(shí)

加工,若單獨(dú)加工成薯片,每天可加工 5 噸土豆,每噸土豆獲利 700

元;若單獨(dú)加工成淀粉,每天可加工 8 噸土豆,每噸土豆獲利 400 元.

由于出口需要,所有采購(gòu)的土豆必須全部加工完且用時(shí)不超過(guò) 60

天,其中加工成薯片的土豆數(shù)量不少于加工成淀粉的土豆數(shù)量的

2

3

,

為獲得最大利潤(rùn),應(yīng)將多少噸土豆加工成薯片? 最大利潤(rùn)是多少?

19. 【2022 江蘇宿遷】某單位準(zhǔn)備購(gòu)買文化用品,現(xiàn)有甲、乙兩家超市進(jìn)行促

銷活動(dòng),該文化用品兩家超市的標(biāo)價(jià)均為 10 元/ 件,甲超市一次性購(gòu)買

金額不超過(guò)400 元的不優(yōu)惠,超過(guò)400 元的部分按標(biāo)價(jià)的6 折售賣;乙超

市全部按標(biāo)價(jià)的 8 折售賣.

(1)若該單位需要購(gòu)買 30 件這種文化用品,則在甲超市的購(gòu)物金額為

元;乙超市的購(gòu)物金額為 元;

(2)假如你是該單位的采購(gòu)員,你認(rèn)為選擇哪家超市支付的費(fèi)用較少?

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11

階段測(cè)評(píng)(二) 方程與不等式

注意事項(xiàng):本試卷共三道大題,21 道小題,滿分 100 分,建議用時(shí) 40 分鐘。

一、選擇題(每小題 3 分,共 30 分)

1. 已知 a,b,c,d 是實(shí)數(shù),若 a > b,c = d,則 ( )

A. a + c > b + d B. a + b > c + d

C. a + c > b - d D. a + b > c - d

2. 【2022 廣西梧州】不等式組

x > - 1

x < 2 { 的解集在數(shù)軸上表示為 ( )

A. B.

C. D.

3. 【2022 黑龍江哈爾濱】方程

2

x - 3

=

3

x

的解為 ( )

A. x = 3 B. x = - 9 C. x = 9 D. x = - 3

4. 【2022 浙江溫州】若關(guān)于 x 的方程 x

2

+ 6x + c = 0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則

c 的值是 ( )

A. 36 B. - 36 C. 9 D. - 9

5. 【2022 湖南懷化】下列一元二次方程有實(shí)數(shù)解的是 ( )

A. 2x

2

- x + 1 = 0 B. x

2

- 2x + 2 = 0 C. x

2

+ 3x - 2 = 0 D. x

2

+ 2 = 0

6. 【2022 湖北十堰】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》中記載:“今有清酒一

斗直粟十斗, 醑灑一斗直粟三斗,今持粟三斛,得酒五斗,問清、醑酒各幾

何?”大意是:現(xiàn)有一斗清酒價(jià)值 10 斗谷子,一斗醑酒價(jià)值 3 斗谷子, 現(xiàn)在

拿 30 斗谷子,共換了 5 斗酒,問清灑、醑酒各幾斗? 如果設(shè)清酒 x 斗,那么

可列方程為 ( )

A. 10x + 3 (5 - x ) = 30 B. 3x + 10 (5 - x ) = 30

C.

x

3

+

30 - x

10

= 5 D.

x

10

+

30 - x

3

= 5

7. 【2022 甘肅武威】《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)專著,其中記載了一

道有趣的題:“今有鳧起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海. 今鳧雁

俱起,問何日相逢?”大意是:今有野鴨從南海起飛,7 天到北海;大雁從北

海起飛,9 天到南海. 現(xiàn)野鴨從南海,大雁從北海同時(shí)起飛,問經(jīng)過(guò)多少天

相遇? 設(shè)經(jīng)過(guò) x 天相遇,根據(jù)題意可列方程為 ( )

A.

1

7

+

1

9

( )x = 1 B.

1

7

-

1

9

( )x = 1

C. (9 - 7 )x = 1 D. (9 + 7 )x = 1

8. 【2022 甘肅武威】用配方法解方程 x

2

- 2x = 2 時(shí),配方后正確的是 ( )

A. ( x + 1 )

2

= 3 B. ( x + 1 )

2

= 6

C. ( x - 1 )

2

= 3 D. ( x - 1 )

2

= 6

9. 【2022 內(nèi)蒙古包頭】 若 x1 ,x2 是方程 x

2

- 2x - 3 = 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則

x1·x

2

2 的值為 ( )

A. 3 或 - 9 B. - 3 或 9

C. 3 或 - 6 D. - 3 或 6

10. 【2022 四川宜賓】已知 m,n 是一元二次方程 x

2

+ 2x - 5 = 0 的兩個(gè)根,則

m

2

+ mn + 2m 的值為 ( )

A. 0 B. - 10 C. 3 D. 10

二、填空題(每小題 3 分,共 15 分)

11. 【2022 湖北十堰】關(guān)于 x 的不等式組中的兩個(gè)不等式的解集如圖所示,

則該不等式組的解集為 .

12. 【2022 貴州銅仁】不等式組

- 2x≤6

x + 1 < 0 { 的解集是 .

13. 【2022 江蘇宿遷】若關(guān)于 x 的一元二次方程 x

2

- 2x + k = 0 有實(shí)數(shù)根,則

實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 .

14. 【2022 湖北黃岡】已知一元二次方程 x

2

- 4x + 3 = 0 的兩根為 x1 ,x2 ,則 x1

·x2 = .

15. 【2022 吉林省】《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題,其譯文為:有大小兩

種盛酒的桶,已知 5 個(gè)大桶加上 1 個(gè)小桶可以盛酒 3 斛(斛,音 hú,是古

代一種容量單位),1 個(gè)大桶加上 5 個(gè)小桶可以盛酒 2 斛. 1 個(gè)大桶、1 個(gè)

小桶分別可以盛酒多少斛? 設(shè) 1 個(gè)大桶可以盛酒 x 斛、1 個(gè)小桶可以盛

酒 y 斛. 根據(jù)題意,可列方程組為 .

三、解答題(本大題共 6 個(gè)小題,共 55 分)

16. 【2022 廣西桂林】(6 分)解二元一次方程組:

x - y = 1①

x + y = 3② { .

17. 【2022 山 東 威 ?！?( 8 分) 解 不 等 式 組, 并 把 解 集 在 數(shù) 軸 上 表 示 出

來(lái):

4x - 2≤3(x + 1)

1 -

x - 1

2

<

x

4

ì

?

í

??

??

.

18. 【2022 山東泰安】(10 分)(1)化簡(jiǎn):(a - 2 -

4

a - 2

) ÷

a - 4

a

2

- 4

;

(2)解不等式:2 -

5x - 2

3

>

3x + 1

4

.

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12

19. 【2022 廣西桂林】(10 分)今年,某市舉辦了一屆主題為“強(qiáng)國(guó)復(fù)興有我”

的中小學(xué)課本劇比賽. 某隊(duì)伍為參賽需租用一批服裝,經(jīng)了解,在甲商店

租用服裝比在乙商店租用服裝每套多 10 元,用 500 元在甲商店租用服

裝的數(shù)量與用 400 元在乙商店租用服裝的數(shù)量相等.

(1)求在甲、乙兩個(gè)商店租用的服裝每套各多少元?

(2)若租用 10 套以上服裝,甲商店給以每套九折優(yōu)惠. 該參賽隊(duì)伍準(zhǔn)備

租用 20 套服裝,請(qǐng)問在哪家商店租用服裝的費(fèi)用較少,并說(shuō)明理由.

20. 【2022 山東聊城】(10 分)為了解決雨季時(shí)城市內(nèi)澇的難題,我市決定對(duì)

部分老街道的地下管網(wǎng)進(jìn)行改造. 在改造一段長(zhǎng) 3600 米的街道地下管

網(wǎng)時(shí),每天的施工效率比原計(jì)劃提高了 20% ,按這樣的進(jìn)度可以比原計(jì)

劃提前 10 天完成任務(wù).

(1)求實(shí)際施工時(shí),每天改造管網(wǎng)的長(zhǎng)度;

(2)施工進(jìn)行 20 天后,為了減少對(duì)交通的影響,施工單位決定再次加快

施工進(jìn)度,以確?？偣て诓怀^(guò) 40 天,那么以后每天改造管網(wǎng)至少

還要增加多少米?

21. 【2022 湖北荊州】(11 分)某企業(yè)投入 60 萬(wàn)元(只計(jì)入第一年成本)生產(chǎn)

某種產(chǎn)品,按網(wǎng)上訂單生產(chǎn)并銷售(生產(chǎn)量等于銷售量). 經(jīng)測(cè)算,該產(chǎn)品

網(wǎng)上每年的銷售量 y(萬(wàn)件)與售價(jià) x(元/ 件)之間滿足函數(shù)關(guān)系式:y =

24 - x,第一年除 60 萬(wàn)元外其他成本為 8 元/ 件.

(1)求該產(chǎn)品第一年的利潤(rùn) w(萬(wàn)元)與售價(jià) x 之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)該產(chǎn)品第一年利潤(rùn)為 4 萬(wàn)元,第二年將它全部作為技改資金再次投

入(只計(jì)入第二年成本)后,其他成本下降 2 元/ 件. ①求該產(chǎn)品第一

年的售價(jià);②若第二年售價(jià)不高于第一年,銷售量不超過(guò) 13 萬(wàn)件,則

第二年利潤(rùn)最少是多少萬(wàn)元?

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13

專題八 平面直角坐標(biāo)系和函數(shù)

考點(diǎn) 1 平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)特征

1. 【2022 山東煙臺(tái)】觀察如圖所示的象棋棋盤,若“兵”所在的位置用(1,3)

表示,“ 炮” 所在的位置用 (6,4 ) 表示,那么 “ 帥” 所在的位置可表示

為 .

第 1 題圖 第 3 題圖

2. 【2022 江蘇揚(yáng)州】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) P( - 3,a

2

+ 1)所在的象限是

( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 【2022 浙江金華】如圖是城市某區(qū)域的示意圖,建立平面直角坐標(biāo)系后,

學(xué)校和體育場(chǎng)的坐標(biāo)分別是(3,1),(4, - 2),下列各地點(diǎn)中,離原點(diǎn)最近

的是 ( )

A. 超市 B. 醫(yī)院 C. 體育場(chǎng) D. 學(xué)校

4. 【2022 貴州銅仁】如圖,在矩形 ABCD 中,A( - 3,2)、B(3,2)、C(3, - 1),

則 D 的坐標(biāo)為 ( )

A. ( - 2, - 1) B. (4, - 1) C. ( - 3, - 2) D. ( - 3, - 1)

第 4 題圖 第 6 題圖

5. 【2022 廣東省】在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)(1,1)向右平移 2 個(gè)單位后,得

到的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ( )

A. (3,1) B. ( - 1,1) C. (1,3) D. (1, - 1)

6. 【2022 江蘇常州】 某汽車評(píng)測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)市面上多款新能源汽車的 0 ~ 100

km / h 的加速時(shí)間和滿電續(xù)航里程進(jìn)行了性能評(píng)測(cè),評(píng)測(cè)結(jié)果繪制如圖,

每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一款新能源汽車的評(píng)測(cè)數(shù)據(jù). 已知 0 ~ 100 km / h 的加速時(shí)

間的中位數(shù)是 m s,滿電續(xù)航里程的中位數(shù)是 n km,相應(yīng)的直線將平面分

成了①、②、③、④四個(gè)區(qū)域(直線不屬于任何區(qū)域). 欲將最新上市的兩款

新能源汽車的評(píng)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)繪制到平面內(nèi),若以上兩組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)均保持不變,則這兩個(gè)點(diǎn)可能分別落在 ( )

A. 區(qū)域①、② B. 區(qū)域①、③ C. 區(qū)域①、④ D. 區(qū)域③、④

考點(diǎn) 2 函數(shù)自變量的取值范圍

7. 【2022 廣東省】水中漣漪(圓形水波)不斷擴(kuò)大,記它的半徑為 r,則圓周長(zhǎng)

C 與 r 的關(guān)系式為:C = 2πr. 下列判斷正確的是 ( )

A. 2 是變量 B. π 是變量 C. r 是變量 D. C 是常量

8. 【2022 黑龍江哈爾濱】 在函數(shù) y =

x

5x + 3

中,自變量 x 的取值范圍是

.

9. 【2022 黑 龍 江 大 慶】 在 函 數(shù) y = 2x + 3 中, 自 變 量 x 的 取 值 范 圍

是 .

10. 【2021 湖南懷化】函數(shù) y =

x - 2

x - 3

的自變量 x 的取值范圍是 .

11. 【2020 甘肅白銀】已知 y = (x - 4)

2

- x + 5,當(dāng) x 分別取 1,2,3,…,2020

時(shí),所對(duì)應(yīng) y 值的總和是 .

考點(diǎn) 3 函數(shù)圖象的判斷和分析

12. 【2022 四川雅安】一輛公共汽車從車站開出,加速行駛一段時(shí)間后開始

勻速行駛. 過(guò)了一段時(shí)間,汽車到達(dá)下一車站. 乘客上、下車后汽車開始

加速,一段時(shí)間后又開始勻速行駛. 下圖中近似地刻畫出汽車在這段時(shí)

間內(nèi)的速度變化情況的是 ( )

A. B.

C. D.

13. 【2022 廣西玉林】龜兔賽跑之后,輸了比賽的兔子決定和烏龜再賽一場(chǎng).

圖中的函數(shù)圖象表示了龜兔再次賽跑的過(guò)程( x 表示兔子和烏龜從起點(diǎn)

出發(fā)所走的時(shí)間,y1 、y2 分別表示兔子與烏龜所走的路程). 下列說(shuō)法錯(cuò)

誤的是 ( )

A. 兔子和烏龜比賽路程是 500 米

B. 中途,兔子比烏龜多休息了 35 分鐘

C. 兔子比烏龜多走了 50 米

D. 比賽結(jié)果,兔子比烏龜早 5 分鐘到達(dá)終點(diǎn)

第 13 題圖 第 14 題圖

14. 【2022 江西省】甲、乙兩種物質(zhì)的溶解度 y( g)與溫度 t(℃ )之間的對(duì)應(yīng)

關(guān)系如圖所示,則下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是 ( )

A. 甲、乙兩種物質(zhì)的溶解度均隨著溫度的升高而增大

B. 當(dāng)溫度升高至 t

2℃時(shí),甲的溶解度比乙的溶解度大

C. 當(dāng)溫度為 0 ℃時(shí),甲、乙的溶解度都小于 20g

D. 當(dāng)溫度為 30 ℃時(shí),甲、乙的溶解度相等

15. 【2022 廣西桂林】桂林作為國(guó)際旅游名城,每年吸引著大量游客前來(lái)觀

光. 現(xiàn)有一批游客分別乘坐甲、乙兩輛旅游大巴同時(shí)從旅行社前往某個(gè)

旅游景點(diǎn). 行駛過(guò)程中甲大巴因故停留一段時(shí)間后繼續(xù)駛向景點(diǎn),乙大

巴全程勻速駛向景點(diǎn). 兩輛大巴的行程 s(

km)隨時(shí)間 t(h)變化的圖象(全程)如圖所

示. 依據(jù)圖中信息,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

( )

A. 甲大巴比乙大巴先到達(dá)景點(diǎn)

B. 甲大巴中途停留了 0. 5 h

C. 甲大巴停留后用 1. 5 h 追上乙大巴

D. 甲大巴停留前的平均速度是 60 km / h

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14

16. 【2022 浙江溫州】小聰某次從家出發(fā)去公園游玩的行程如圖所示,他離

家的路程為 s 米,所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為 t 分鐘,下列選項(xiàng)中的圖象,能近似地

刻畫 s 與 t 之間的關(guān)系的是 ( )

A. B.

C. D.

17. 【2021 連云港】關(guān)于某個(gè)函數(shù)表達(dá)式,甲、乙、丙三位同學(xué)都正確地說(shuō)出

了該函數(shù)的一個(gè)特征.

甲:函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)( - 1,1);

乙:函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第四象限;

丙:當(dāng) x > 0 時(shí),y 隨 x 的增大而增大.

則這個(gè)函數(shù)表達(dá)式可能是 ( )

A. y = - x B. y =

1

x

C. y = x

2 D. y = -

1

x

18. 【2021 湖北黃岡】如圖,AC 為矩形 ABCD 的對(duì)角線,已知 AD = 3,CD = 4,

點(diǎn) P 沿折線 C - A - D 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)到 D 點(diǎn)停

止),過(guò)點(diǎn) P 作 PE⊥BC 于點(diǎn) E,則△CPE 的面積 y 與點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的路程 x

間的函數(shù)圖象大致是 ( )

A B

C D

19. 【2021 浙江嘉興】根據(jù)數(shù)學(xué)家凱勒的“百米賽跑數(shù)學(xué)模型”,前 30 米稱為

“加速期”,30 米 ~ 80 米為“中途期”,80 米 ~ 100 米為“沖刺期”. 市田徑

隊(duì)把運(yùn)動(dòng)員小斌某次百米跑訓(xùn)練時(shí)速度 y(m / s)與路程 x(m)之間的觀

測(cè)數(shù)據(jù),繪制成曲線如圖所示.

(1)y 是關(guān)于 x 的函數(shù)嗎? 為什么?

(2)“加速期”結(jié)束時(shí),小斌的速度為多少?

(3)根據(jù)如圖提供的信息,給小斌提一條訓(xùn)練建議.

20. 【2022 黑龍江齊齊哈爾】在一條筆直的公路上有 A、B 兩地,甲、乙二人同

時(shí)出發(fā),甲從 A 地步行勻速前往 B 地,到達(dá) B 地后,立刻以原速度沿原路

返回 A 地. 乙從 B 地步行勻速前往 A 地(甲、乙二人到達(dá) A 地后均停止運(yùn)

動(dòng)),甲、乙二人之間的距離 y (米)與出發(fā)時(shí)間 x (分鐘)之間的函數(shù)關(guān)

系如圖所示,請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問題:

(1) A、B 兩地之間的距離是 米,乙的步行速度是

米/ 分;

(2)圖中 a = ,b = ,c = ;

(3)求線段 MN 的函數(shù)解析式;

(4)在乙運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,何時(shí)兩人相距 80 米? (直接寫出答案即可)

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15

專題九 一次函數(shù)

考點(diǎn) 1 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1. 【2022 內(nèi)蒙古包頭】在一次函數(shù) y = - 5ax + b ( a≠0 )中,y 的值隨 x 值的增

大而增大,且 ab > 0,則點(diǎn) A(a,b)在 ( )

A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限

2. 【2021 湖北】下列說(shuō)法正確的是 ( )

A. 函數(shù) y = 2x 的圖象是過(guò)原點(diǎn)的射線

B. 直線 y = - x + 2 經(jīng)過(guò)第一、二、三象限

C. 函數(shù) y = -

2

x

(x < 0)中,y 隨 x 的增大而增大

D. 函數(shù) y = 2x - 3 中,y 隨 x 的增大而減小

3. 【2021 湖南益陽(yáng)】正比例函數(shù) y = 2x 與反比例函數(shù) y =

2

x

的圖象或性質(zhì)的

共有特征之一是 ( )

A. 函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大 B. 圖象在第一、三象限都有分布

C. 圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn) D. 圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)

4. 【2021 四川雅安】定義:min(a,b) =

a(a≤b)

b(a > b) { ,若函數(shù) y = min(x + 1, - x

2

+ 2x + 3),則該函數(shù)的最大值為 ( )

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

5. 【四川涼山】函數(shù) y = kx + b 的圖象如圖所示,則關(guān)于 x 的一元二次方程 x

2

+ bx + k - 1 = 0 的根的情況是 ( )

A. 沒有實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D. 無(wú)法確定

6. 【2021 廣東省】一次函數(shù) y = ax + b 和反比例函數(shù) y =

a - b

x

在同一直角坐

標(biāo)系中的大致圖象是 ( )

A B C D

7. 【2022 浙江紹興】已知(x1 ,y1 )、(x2 ,y2 )、(x3 ,y3 )為直線 y = - 2x + 3 上的

三個(gè)點(diǎn),且 x1 < x2 < x3 ,則以下判斷正確的是 ( )

A. 若 x1

x2 > 0,則 y1

y3 > 0 B. 若 x1

x3 < 0,則 y1

y2 > 0

C. 若 x2

x3 > 0,則 y1

y3 > 0 D. 若 x2

x3 < 0,則 y1

y2 > 0

8. 【2022 湖南邵陽(yáng)】在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn) A

3

2

( ,m )、點(diǎn) B

7

2

( ,n )是直線 y

= kx + b ( k < 0 )上的兩點(diǎn),則 m,n 的大小關(guān)系是 ( )

A. m < n B. m > n C. m≥n D. m≤n

9. 【2021 重慶 A 卷】甲無(wú)人機(jī)從地面起飛,乙無(wú)人機(jī)從距離地面 20 m 高的

樓頂起飛,兩架無(wú)人機(jī)同時(shí)勻速上升 10 s. 甲、乙兩架無(wú)人機(jī)所在的位置

距離地面的高度 y(單位:m)與無(wú)人機(jī)上升的時(shí)間 x(單位:s)之間的關(guān)系

如圖所示. 下列說(shuō)法正確的是 ( )

A. 5 s 時(shí),兩架無(wú)人機(jī)都上升了 40 m

B. 10 s 時(shí),兩架無(wú)人機(jī)的高度差為 20 m

C. 乙無(wú)人機(jī)上升的速度為 8m / s

D. 10 s 時(shí),甲無(wú)人機(jī)距離地面的高度是 60 m

考點(diǎn) 2 一次函數(shù)解析式的確定

10. 【2022 黑龍江大慶】寫出一個(gè)過(guò)點(diǎn) D(0,1)且 y

隨 x 增大而減小的一次函數(shù)關(guān)系式 .

11. 【2022 黑龍江哈爾濱】一輛汽車油箱中剩余的油量 y(L)與已行駛的路

程 x(km)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示,如果這輛汽車每千米的耗油量相同,當(dāng)

油箱中剩余的油量為 35 L 時(shí),該汽車已行駛的路程為 ( )

A. 150 km B. 165 km C. 125 km D. 350 km

第 11 題圖 第 12 題圖

12. (2021 四川樂山)如圖,已知直線 l

1 :y = - 2x + 4 與坐標(biāo)軸分別交于 A、B

兩點(diǎn),那么過(guò)原點(diǎn)且將△AOB 的面積平分的直線 l

2 的解析式為 ( )

A. y =

1

2

x B. y = x C. y =

3

2

x D. y = 2x

13. 【2022 陜西省】如圖,是一個(gè)“函數(shù)求值機(jī)” 的示意圖,其中 y 是 x 的函

數(shù). 下面表格中,是通過(guò)該“函數(shù)求值機(jī)”得到的幾組 x 與 y 的對(duì)應(yīng)值.

輸入 x … - 6 - 4 - 2 0 2 …

輸出 y … - 6 - 2 2 6 16 …

根據(jù)以上信息,解答下列問題:

(1)當(dāng)輸入的 x 值為 1 時(shí),輸出的 y 值為

;

(2)求 k,b 的值;

(3)當(dāng)輸出的 y 值為 0 時(shí),求輸入的 x 值.

14. 【2022 貴州銅仁】 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三點(diǎn) A( - 1,4)、B( - 3,2)、

C(0,6).

(1)求過(guò)其中兩點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式(選一種情形作答);

(2)判斷 A、B、C 三點(diǎn)是否在同一直線上,并說(shuō)明理由.

考點(diǎn) 3 一次函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系

15. 【2022 廣西梧州】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線 y = 2x + b 與直線 y =

- 3x + 6 相交于點(diǎn) A,則二元一次方程組

y = 2x + b

y = - 3x + 6 { 的解是 ( )

A.

x = 2

y = 0 { B.

x = 1

y = 3 { C.

x = - 1

y = 9 { D.

x = 3

y = 1 {

第 15 題圖 第 17 題圖 第 18 題圖

16. 【2022 陜西省】在同一平面直角坐標(biāo)系中,直線 y = - x + 4 與 y = 2x + m

相交于點(diǎn) P(3,n),則關(guān)于 x,y 的方程組

x + y - 4 = 0

2x - y + m = 0 { 的解為 ( )

A.

x = - 1

y = 5 { B.

x = 1

y = 3 { C.

x = 3

y = 1 { D.

x = 9

y = - 5 {

17. (2021 湖北鄂州)數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法. 如圖,直線

y = 2x - 1 與直線 y = kx + b( k≠0)相交于點(diǎn) P(2,3). 根據(jù)圖象可知,關(guān)

于 x 的不等式 2x - 1 > kx + b 的解集是 ( )

A. x < 2 B. x < 3 C. x > 2 D. x > 3

18. 【2022 廣西梧州】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù) y1 = kx + b 的圖

象與反比例函數(shù) y2 =

m

x

的圖象交于點(diǎn) A ( - 2,2 )、B ( n, - 1 ). 當(dāng) y1 < y2

時(shí),x 的取值范圍是 .

考點(diǎn) 4 一次函數(shù)的應(yīng)用

19. 【2022 廣東省】物理實(shí)驗(yàn)證實(shí):在彈性限度內(nèi),某彈簧長(zhǎng)度 y( cm)與所掛

物體質(zhì)量 x( kg)滿足函數(shù)關(guān)系 y = kx + 15. 下表是測(cè)量物體質(zhì)量時(shí),該彈

簧長(zhǎng)度與所掛物體質(zhì)量的數(shù)量關(guān)系.

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16

x 0 2 5

y 15 19 25

(1)求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為 20 cm 時(shí),求所掛物體的質(zhì)量.

20. 【2022 吉林省】李強(qiáng)用甲、乙兩種具有恒溫功能的熱水壺同時(shí)加熱相同

質(zhì)量的水,甲壺比乙壺加熱速度快. 在一段時(shí)間內(nèi),水溫 y(℃ )與加熱時(shí)

間 x(s)之間近似滿足一次函數(shù)關(guān)系,根據(jù)記錄的數(shù)據(jù),畫函數(shù)圖象如下:

(1)加熱前水溫是 ℃ ;

(2)求乙壺中水溫 y 關(guān)于加熱時(shí)間 x 的函數(shù)解析式;

(3)當(dāng)甲壺中水溫剛達(dá)到 80 ℃時(shí),乙壺中水溫是 ℃ .

21. 【2022 河南省】近日,教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》和課程標(biāo)準(zhǔn)(2022

年版),將勞動(dòng)從原來(lái)的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來(lái). 某中學(xué)為了讓學(xué)

生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng),開辟了一處耕種園,需要采購(gòu)一批菜苗開展種植活動(dòng).

據(jù)了解,市場(chǎng)上每捆 A 種菜苗的價(jià)格是菜苗基地的

5

4

倍,用 300 元在市

場(chǎng)上購(gòu)買的 A 種菜苗比在菜苗基地購(gòu)買的少 3 捆.

(1)求菜苗基地每捆 A 種菜苗的價(jià)格.

(2)菜苗基地每捆 B 種菜苗的價(jià)格是 30 元. 學(xué)校決定在菜苗基地購(gòu)買

A、B 兩種菜苗共 100 捆,且 A 種菜苗的捆數(shù)不超過(guò) B 種菜苗的捆數(shù).

菜苗基地為支持該校活動(dòng),對(duì) A、B 兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠. 求本

次購(gòu)買最少花費(fèi)多少錢.

22. 【2022 四川雅安】某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn) A、B 兩種商品,已知購(gòu)進(jìn) 3 件 A 商品和 5

件 B 商品費(fèi)用相同,購(gòu)進(jìn) 3 件 A 商品和 1 件 B 商品總費(fèi)用為 360 元.

(1)求 A、B 兩種商品每件進(jìn)價(jià)各為多少元? (列方程或方程組求解)

(2)若該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn) A、B 兩種商品共 80 件,其中 A 商品 m 件. 若 A 商

品按每件 150 元銷售,B 商品按每件 80 元銷售,求銷售完 A、B 兩種

商品后獲得總利潤(rùn) w(元)與 m(件)的函數(shù)關(guān)系式.

23. 【2022 湖南衡陽(yáng)】冰墩墩(Bing Dwen Dwen)、雪容融( Shuey Rhon Rhon)

分別是 2022 年北京冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)的吉樣物. 冬奧會(huì)來(lái)臨之際,冰墩

墩、雪容融玩偶暢銷全國(guó). 小雅在某網(wǎng)店選中兩種玩偶,決定從該網(wǎng)店進(jìn)

貨并銷售,第一次小雅用 1400 元購(gòu)進(jìn)了冰墩墩玩偶 15 個(gè)和雪容融玩偶

5 個(gè),已知購(gòu)進(jìn) 1 個(gè)冰墩墩玩偶和 1 個(gè)雪容融玩偶共需 136 元,銷售時(shí)每

個(gè)冰墩墩玩偶可獲利 28 元,每個(gè)雪容融玩偶可獲利 20 元.

(1)求兩種玩偶的進(jìn)貨價(jià)分別是多少?

(2)第二次小雅進(jìn)貨時(shí),網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進(jìn)

貨數(shù)量不得超過(guò)雪容融玩偶進(jìn)貨數(shù)量的 1. 5

倍. 小雅計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種玩偶共 40 個(gè),應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得

最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是多少元?

24. 【2022 貴州黔東南州】某快遞公司為了加強(qiáng)疫情防控需求,提高工作效

率,計(jì)劃購(gòu)買 A、B 兩種型號(hào)的機(jī)器人來(lái)搬運(yùn)貨物,已知每臺(tái) A 型機(jī)器人

比每臺(tái) B 型機(jī)器人每天少搬運(yùn) 10 噸,且 A 型機(jī)器人每天搬運(yùn) 540 噸貨

物與 B 型機(jī)器人每天搬運(yùn) 600 噸貨物所需臺(tái)數(shù)相同.

(1)求每臺(tái) A 型機(jī)器人和每臺(tái) B 型機(jī)器人每天分別搬運(yùn)貨物多少噸?

(2)每臺(tái) A 型機(jī)器人售價(jià) 1. 2 萬(wàn)元,每臺(tái) B 型機(jī)器人售價(jià) 2 萬(wàn)元,該公司

計(jì)劃采購(gòu) A、B 兩種型號(hào)的機(jī)器人共 30 臺(tái),必須滿足每天搬運(yùn)的貨物

不低于 2830 噸,購(gòu)買金額不超過(guò) 48 萬(wàn)元.

請(qǐng)根據(jù)以上要求,完成如下問題:

①設(shè)購(gòu)買 A 型機(jī)器人 m 臺(tái),購(gòu)買總金額為 w 萬(wàn)元,請(qǐng)寫出 w 與 m 的

函數(shù)關(guān)系式;

②請(qǐng)你求出最節(jié)省的采購(gòu)方案,購(gòu)買總金額最低是多少萬(wàn)元?

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17

專題十 反比例函數(shù)

考點(diǎn) 1 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1. 【2022 新疆省】 已知點(diǎn) M (1,2 ) 在反比例函數(shù) y =

k

x

的圖象上,則 k

= .

2. 【2022 黑龍江哈爾濱】已知反比例函數(shù) y = -

6

x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (4,a ),則 a

的值為 .

3. 【2022 內(nèi)蒙古呼和浩特】點(diǎn) 2a - 1,y1

( )、 a,y2

( )在反比例函數(shù) y =

k

x

( k >

0)的圖象上,若 0 < y1 < y2 ,則 a 的取值范圍是 .

4. 【2022 陜西省】已知點(diǎn) A( - 2,m)在一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn) A′與點(diǎn)

A 關(guān)于 y 軸對(duì)稱. 若點(diǎn) A′在正比例函數(shù) y =

1

2

x 的圖象上,則這個(gè)反比例函

數(shù)的表達(dá)式為 .

5. 【2022 河北省】某項(xiàng)工作,已知每人每天完成的工作量相同,且一個(gè)人完

成需 12 天. 若 m 個(gè)人共同完成需 n 天,選取 6 組數(shù)對(duì) (m,n ),在坐標(biāo)系中

進(jìn)行描點(diǎn),則正確的是 ( )

A. B.

C. D.

6. 【2022 廣東省】點(diǎn)(1,y1 )、(2,y2 )、(3,y3 ),(4,y4 )在反比例函數(shù) y =

4

x

的

圖象上,則 y1 ,y2 ,y3 ,y4 中最小的是 ( )

A. y1 B. y2 C. y3 D. y4

7. 【2022 廣西賀州】己知一次函數(shù) y = kx + b 的圖象如圖所示,則 y = - kx + b

與 y =

b

x

的圖象為 ( )

A. B.

C. D.

8. 【2022 湖北武漢】已知點(diǎn) A x1 ,y1

( )、B x2 ,y2

( )在反比例函數(shù) y =

6

x

的圖象

上,且 x1 < 0 < x2 ,則下列結(jié)論一定正確的是 ( )

A. y1 + y2 < 0 B. y1 + y2 > 0 C. y1 < y2 D. y1 > y2

9. 【2021 新疆省】如圖,一次函數(shù) y = k1

x + b(k1≠0)與反比例函數(shù) y =

k2

x

(k2

≠0)的圖象交于點(diǎn) A(2,3)、B(n, - 1).

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

(2)判斷點(diǎn) P( - 2,1)是否在一次函數(shù) y = k1

x + b 的圖象上,并說(shuō)明理由;

(3)直接寫出不等式 k1

x + b≥

k2

x

的解集.

考點(diǎn) 2 反比例函數(shù)中 k 的幾何意義

10. 【2022 湖南懷化】如圖,直線 AB 交 x 軸于點(diǎn) C,交反比例函數(shù) y =

a - 1

x

(a

> 1)的圖象于 A、B 兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn) B 作 BD⊥y 軸,垂足為點(diǎn) D,若 S△ BCD = 5,

則 a 的值為 ( )

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

第 10 題圖 第 11 題圖

11. 【2022 湖北隨州】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線 y = x + 1 與 x 軸、y 軸

分別交于點(diǎn) A、B,與反比例函數(shù) y =

k

x

的圖象在第一象限交于點(diǎn) C,若 AB

= BC,則 k 的值為 .

12. 【2022 山東威海】正方形 ABCD 在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,點(diǎn)

A 的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(0,4). 若反比例函數(shù) y =

k

x

(k≠0)的

圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) C,則 k 的值為 .

第 12 題圖 第 13 題圖

13. 【2022 四川宜賓】如圖,△OMN 是邊長(zhǎng)為 10 的等邊三角形,反比例函數(shù)

y =

k

x

( x > 0)的圖象與邊 MN、OM 分別交于點(diǎn) A、B(點(diǎn) B 不與點(diǎn) M 重

合). 若 AB⊥OM 于點(diǎn) B,則 k 的值為 .

考點(diǎn) 3 反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

14. 【2022 山東濰坊】地球周圍的大氣層阻擋了紫外線和宇宙射線對(duì)地球生

命的傷害,同時(shí)產(chǎn)生一定的大氣壓,海拔不同,大氣壓不同,觀察圖中數(shù)

據(jù),你發(fā)現(xiàn),正確的是 ( )

A. 海拔越高,大氣壓越大

B. 圖中曲線是反比例函數(shù)的圖象

C. 海拔為 4 千米時(shí),大氣壓約為

70 千帕

D. 圖中曲線表達(dá)了大氣壓和海拔

兩個(gè)量之間的變化關(guān)系

15. 【2022 河南省】呼氣式酒精測(cè)試儀中裝有酒精氣體傳感器,可用于檢測(cè)

駕駛員是否酒后駕車. 酒精氣體傳感器是一種氣敏電阻(圖 1 中的 R1 ),

R1 的阻值隨呼氣酒精濃度 K 的變化而變化(如圖 2),血液酒精濃度 M

與呼氣酒精濃度 K 的關(guān)系見圖 3. 下列說(shuō)法不正確的是 ( )

A. 呼氣酒精濃度 K 越大,R1 的阻值越小

B. 當(dāng) K = 0 時(shí),R1 的阻值為 100

C. 當(dāng) K = 10 時(shí),該駕駛員為非酒駕狀態(tài)

D. 當(dāng) R1 = 20 時(shí),該駕駛員為醉駕狀態(tài)

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18

16. 【2022 江蘇揚(yáng)州】某市舉行中學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽,如圖用四個(gè)點(diǎn)分別描

述甲、乙、丙、丁四所學(xué)校競(jìng)賽成績(jī)的優(yōu)秀率(該校優(yōu)秀人數(shù)與該校參加

競(jìng)賽人數(shù)的比值)y 與該校參加競(jìng)賽人數(shù) x 的情況,其中描述乙、丁兩所

學(xué)校情況的點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上,則這四所學(xué)校在這次

黨史知識(shí)競(jìng)賽中成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)最多的是 ( )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

17. 【2022 吉林省】密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的氣體,當(dāng)容器的體積 V(單位:m

3

)

變化時(shí),氣體的密度 ρ(單位:kg / m

3

)隨之變化. 已知密度 ρ 與體積 V 是反

比例函數(shù)關(guān)系,它的圖象如圖所示.

(1)求密度 ρ 關(guān)于體積 V 的函數(shù)解析式;

(2)當(dāng) V = 10 m

3 時(shí),求該氣體的密度 ρ.

考點(diǎn) 4 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合

18. 【2022 廣西玉林】如圖,點(diǎn) A 在雙曲線 y =

k

x

(k > 0,x > 0)上,點(diǎn) B 在直線

y = mx - 2b(m > 0,b > 0)上,且點(diǎn) A 與 B 關(guān)于 x 軸對(duì)稱,直線 l 與 y 軸交

于點(diǎn) C,當(dāng)四邊形 AOCB 是菱形時(shí),有以下結(jié)論:①A( b, 3 b);②當(dāng) b = 2

時(shí),k = 4 3 ; ③ m =

3

3

; ④ S四邊形AOCB = 2b

2

. 則 所 有 正 確 結(jié) 論 的 序 號(hào)

是 .

19. 【2022 江西省】如圖,點(diǎn) A(m,4)在反比例函數(shù) y =

k

x

( x > 0)的圖象上,

點(diǎn) B 在 y 軸上,OB = 2,將線段 AB 向右下方平移,得到線段 CD,此時(shí)點(diǎn) C

落在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn) D 落在 x 軸正半軸上,且 OD = 1.

(1)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ,點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ,點(diǎn) C 的坐標(biāo)為

(用含 m 的式子表示);

(2)求 k 的值和直線 AC 的表達(dá)式.

20. 【2022 甘肅武威】如圖,B、C 是反比例函數(shù) y =

k

x

(k≠0)在第一象限的圖

象上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn) B 的直線 y = x - 1 與 x 軸交于點(diǎn) A,CD⊥x 軸,垂足為 D,

CD 與 AB 交于點(diǎn) E,OA = AD,CD = 3.

(1)求此反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)求△BCE 的面積.

21. 【2022 河南省】如圖,反比例函數(shù) y =

k

x

( x > 0 )的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A (2,4 )和

點(diǎn) B,點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的下方,AC 平分∠OAB,交 x 軸于點(diǎn) C.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

(2)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出線段 AC 的垂直平分線. (要求:不寫

作法,保留作圖痕跡,使用 2B 鉛筆作圖)

(3)線段 OA 與(2)中所作的垂直平分線相交于點(diǎn) D,連接 CD. 求證:CD

∥AB.

22. 【2022 黑龍江大慶】已知反比例函數(shù) y =

k

x

和一次函數(shù) y = x - 1,其中一

次函數(shù)的圖象過(guò)(3a,b)、 3a + 1,b +

k

3

( )兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式;

(2)如圖,函數(shù) y =

1

3

x、y = 3x 的圖象分別與函數(shù) y =

k

x

(x > 0)的圖象交

于 A、B 兩點(diǎn),在 y 軸上是否存在點(diǎn) P,使得△ABP 周長(zhǎng)最小? 若存

在,求出周長(zhǎng)的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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19

專題十一 二次函數(shù)

考點(diǎn) 1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1. 【2022 新疆省】已知拋物線 y = (x - 2)

2

+ 1,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( )

A. 拋物線開口向上 B. 拋物線的對(duì)稱軸為直線 x = 2

C. 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1) D. 當(dāng) x < 2 時(shí),y 隨 x 的增大而增大

2. 【2022 浙江寧波】點(diǎn) A(m - 1,y1 )、B(m,y2 )在二次函數(shù) y = (x - 1)

2

+ n 的

圖象上. 若 y1 < y2 ,則 m 的取值范圍為 ( )

A. m > 2 B. m >

3

2

C. m < 1 D.

3

2

< m < 2

3. 【2022 廣西賀州】已知二次函數(shù) y = 2x

2

- 4x - 1 在 0≤x≤a 時(shí),y 取得的最

大值為 15,則 a 的值為 ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 【2022 四川宜賓】 已知拋物線 y = ax

2

+ bx + c 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) A

( - 2,0 )、B (4,0 ),若以 AB 為直徑的圓與在 x 軸下方的拋物線有交點(diǎn),則

a 的取值范圍是 ( )

A. a≥

1

3

B. a >

1

3

C. 0 < a <

1

3

D. 0 < a≤

1

3

5. 【2022 浙江杭州】已知二次函數(shù) y = x

2

+ ax + b(a,b 為常數(shù)). 命題①:該函

數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0);命題②:該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0);命題③:該

函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)位于 y 軸的兩側(cè);命題④:該函數(shù)的圖象的對(duì)稱

軸為直線 x = 1. 如果這四個(gè)命題中只有一個(gè)命題是假命題,則這個(gè)假命題

是 ( )

A. 命題① B. 命題② C. 命題③ D. 命題④

6. 【2022 新疆省】如圖,用一段長(zhǎng)為 16 m 的籬芭圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形

圍欄(墻足夠長(zhǎng)),則這個(gè)圍欄的最大面積為 m

2

.

7. 【2022 黑龍江大慶】已知函數(shù) y = mx

2

+ 3mx + m - 1 的圖象與坐標(biāo)軸恰有

兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù) m 的值為 .

考點(diǎn) 2 二次函數(shù)解析式的確定(含平移)

8. 【2022 黑龍江哈爾濱】拋物線 y = 2 (x + 9)

2

- 3 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ( )

A. (9, - 3) B. ( - 9, - 3) C. (9,3) D. ( - 9,3)

9. 【2022 內(nèi)蒙古通遼】在平面直角坐標(biāo)系中,將二次函數(shù) y = ( x - 1 )

2

+ 1 的

圖象向左平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度,所得函數(shù)的解析

式為 ( )

A. y = ( x - 2 )

2

- 1 B. y = ( x - 2 )

2

+ 3

C. y = x

2

+ 1 D. y = x

2

- 1

10. 【2022 廣西玉林】小嘉說(shuō):將二次函數(shù) y = x

2 的圖象平移或翻折后經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(2,0)有 4 種方法:①向右平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度;②向右平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)

度,再向下平移1 個(gè)單位長(zhǎng)度;③向下平移4 個(gè)單位長(zhǎng)度;④沿 x 軸翻折,

再向上平移 4 個(gè)單位長(zhǎng)度. 你認(rèn)為小嘉說(shuō)的方法中,正確的個(gè)數(shù)有

( )

A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè)

11. 【2022 四川雅安】拋物線的表達(dá)式為 y = (x - 2)

2

- 9,則下列結(jié)論:①當(dāng) x

= 2 時(shí),y 取得最小值 - 9;②若點(diǎn)(3,y1 )、(4,y2 )在其圖象上,則 y2 > y1 ;

③將其函數(shù)圖象向左平移 3 個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移 4 個(gè)單位長(zhǎng)度所得

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y = (x - 5)

2

- 5;④函數(shù)圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn),

且兩交點(diǎn)的距離為 6. 其中,正確的序號(hào)為 ( )

A. ②③④ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④

12. 【2022 貴州黔東南州】在平面直角坐標(biāo)系中,將拋物線 y = x

2

+ 2x - 1 的

圖象先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°,再向下平移 5 個(gè)單位長(zhǎng)度,所得到的拋物線的

頂點(diǎn)坐標(biāo)是 .

考點(diǎn) 3 二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系

13. 【2022 山東威?！咳鐖D,二次函數(shù) y = ax

2

+ bx( a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,0),

下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( )

A. b > 0

B. a + b > 0

C. x = 2 是關(guān)于 x 的方程 ax

2

+ bx = 0(a≠0)的一個(gè)根

D. 點(diǎn)(x1 ,y1 )、(x2 ,y2 )在二次函數(shù)的圖象上,當(dāng) x1 > x2 > 2 時(shí),y2 < y1 < 0

第 13 題圖 第 14 題圖

14. 【2022 廣西梧州】如圖,已知拋物線 y = ax

2

+ bx - 2 的對(duì)稱軸是 x = - 1,

直線 l∥x 軸,且交拋物線于點(diǎn) P x1 ,y1

( )、Q x2 ,y2

( ),下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

( )

A. b

2

> - 8a

B. 若實(shí)數(shù) m≠ - 1,則 a - b < a m

2

+ bm

C. 3a - 2 > 0

D. 當(dāng) y > - 2 時(shí),x1·x2 < 0

15. 【2022 貴州黔東南州】若二次函數(shù) y = ax

2

+ bx + c ( a≠0 )的圖象如圖所

示,則一次函數(shù) y = ax + b 與反比例函數(shù) y = -

c

x

在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致

圖象為 ( )

A. B.

C. D.

16. 【2022 黑龍江齊齊哈爾】如圖,二次函數(shù) y = ax

2

+ bx + c(a

≠0)的圖象與 y 軸的交點(diǎn)在(0,1)與(0,2)之間,對(duì)稱軸

為 x = - 1,函數(shù)最大值為 4,結(jié)合圖象給出下列結(jié)論:①b

= 2a;② - 3 < a < - 2;③4ac - b

2

< 0;④若關(guān)于 x 的一元

二次方程 ax

2

+ bx + c = m - 4 (a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則 m > 4;

⑤當(dāng) x < 0 時(shí),y 隨 x 的增大而減小. 其中正確的結(jié)論有 ( )

A. 2 個(gè) B. 3 個(gè) C. 4 個(gè) D. 5 個(gè)

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20

17. 【2022 山東濰坊】為落實(shí)“雙減”,老師布置了一項(xiàng)這樣的課后作業(yè):

二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)( - 1, - 1),且不經(jīng)過(guò)第一象限,寫出滿足這些條

件的一個(gè)函數(shù)表達(dá)式.

[觀察發(fā)現(xiàn)]

請(qǐng)完成作業(yè),并在直角坐標(biāo)系中畫出大致圖象.

[思考交流]

小亮說(shuō):“滿足條件的函數(shù)圖象的對(duì)稱軸一定在 y 軸的左側(cè). ”

小瑩說(shuō):“滿足條件的函數(shù)圖象一定在 x 軸的下方. ”

你認(rèn)同他們的說(shuō)法嗎? 若不認(rèn)同,請(qǐng)舉例說(shuō)明.

[概括表達(dá)]

小博士認(rèn)為這個(gè)作業(yè)的答案太多,老師不方便批閱,于是探究了二次函

數(shù) y = ax

2

+ bx + c 的圖象與系數(shù) a,b,c 的關(guān)系,得出了提高老師作業(yè)批

閱效率的方法.

請(qǐng)你探究這個(gè)方法,寫出探究過(guò)程.

考點(diǎn) 4 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

18. 【2022 甘肅武威】如圖,以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方

向擊出時(shí),小球的飛行路線是一條拋物線. 若不考慮空氣阻力,小球的飛

行高度 h(單位:m)與飛行時(shí)間 t(單位:s)之間具有函數(shù)關(guān)系:h = - 5t

2

+ 20t,則當(dāng)小球飛行高度達(dá)到最高時(shí),飛行時(shí)間 t = s.

第 18 題圖 第 19 題圖

19. 【2022 內(nèi)蒙古赤峰】如圖,拋物線 y = - x

2

- 6x - 5 的圖象交 x 軸于 A、B

兩點(diǎn),交 y 軸于點(diǎn) C,點(diǎn) D (m,m + 1 )是拋物線上的點(diǎn),則點(diǎn) D 關(guān)于直線

AC 的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

20. 【2022 山東威?！磕侈r(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng),雞場(chǎng)的一邊靠墻,另外三

邊用木柵欄圍成. 已知墻長(zhǎng) 25 m,木柵欄長(zhǎng) 47 m,在與墻垂直的一邊留

出 1 m 寬的出入口(另選材料建出入門). 求雞場(chǎng)面積的最大值.

21. 【2022 河北省】如圖,點(diǎn) P ( a,3 )在拋物線 C:y = 4 - (6 - x )

2 上,且在 C

的對(duì)稱軸右側(cè).

(1)寫出 C 的對(duì)稱軸和 y 的最大值,并求 a 的值;

(2)坐標(biāo)平面上放置一透明膠片,并在膠片上描畫出點(diǎn) P 及 C 的一段,

分別記為 P′,C′. 平移該膠片,使 C′所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為 y =

- x

2

+ 6x - 9. 求點(diǎn) P′移動(dòng)的最短路程.

22. 【2022 河南省】小紅看到一處噴水景觀,噴出的水柱呈拋物線形狀,她對(duì)

此展開研究:測(cè)得噴水頭 P 距地面 0. 7 m,水柱在距噴水頭 P 水平距離 5

m 處達(dá)到最高,最高點(diǎn)距地面 3. 2 m;建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

并設(shè)拋物線的表達(dá)式為 y = a ( x - h )

2

+ k,其中 x(m)是水柱距噴水頭的

水平距離,y(m)是水柱距地面的高度.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)爸爸站在水柱正下方,且距噴水頭 P 水平距離 3 m,身高 1. 6 m 的小

紅在水柱下方走動(dòng),當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí),求她與爸爸的水

平距離.

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2

1

2

3

.

【

2

0

2

2

黑

龍

江

大

慶

】

果

園

有

果

樹

6

0

棵

,

現(xiàn)

準(zhǔn)

備

多

種

一

些

果

樹

提

高

果

園

產(chǎn)

量

.

如

果

多

種

樹

,

那

么

樹

之

間

的

距

離

和

每

棵

果

樹

所

受

光

照

就

會(huì)

減

少

,

每

棵

果

樹

的

平

均

產(chǎn)

量

也

隨

之

降

低

.

根

據(jù)

經(jīng)

驗(yàn)

,

增

種

1

0

棵

果

樹

時(shí)

,

果

園

內(nèi)

的

每

棵

果

樹

的

平

均

產(chǎn)

量

為

7

5

k

g

.

在

確

保

每

棵

果

樹

的

平

均

產(chǎn)

量

不

低

于

4

0

k

g

的

前

提

下

,

設(shè)

增

種

果

樹

x

(

x

>

0

且

x

為

整

數(shù)

)

棵

,

該

果

園

每

棵

果

樹

的

平

均

產(chǎn)

量

為

y

k

g

,

它

們

之

間

的

函

數(shù)

關(guān)

系

滿

足

如

圖

所

示

的

圖

象

.

(

1

)

圖

中

點(diǎn)

P

所

表

示

的

實(shí)

際

意

義

是

,

每

增

種

1

棵

果

樹

時(shí)

,

每

棵

果

樹

的

平

均

產(chǎn)

量

減

少

k

g

;

(

2

)

求

y

與

x

之

間

的

函

數(shù)

關(guān)

系

式

,

并

直

接

寫

出

自

變

量

x

的

取

值

范

圍

;

(

3

)

當(dāng)

增

種

果

樹

多

少

棵

時(shí)

,

果

園

的

總

產(chǎn)

量

w

(

k

g

)

最

大

?

最

大

產(chǎn)

量

是

多

少

?

2

4

.

【

2

0

2

2

內(nèi)

蒙

古

赤

峰

】

【

生

活

情

境

】

為

美

化

校

園

環(huán)

境

,

某

學(xué)

校

根

據(jù)

地

形

情

況

,

要

對(duì)

景

觀

帶

中

一

個(gè)

長(zhǎng)

A

D

=

4

m

,

寬

A

B

=

1

m

的

長(zhǎng)

方

形

水

池

A

B

CD

進(jìn)

行

加

長(zhǎng)

改

造

(

如

圖

1

,

改

造

后

的

水

池

A

B

NM

仍

為

長(zhǎng)

方

形

,

以

下

簡(jiǎn)

稱

水

池

1

)

,

同

時(shí)

,

再

建

造

一

個(gè)

周

長(zhǎng)

為

1

2

m

的

矩

形

水

池

E

F

GH

(

如

圖

2

,

以

下

簡(jiǎn)

稱

水

池

2

)

.

【

建

立

模

型

】

如

果

設(shè)

水

池

A

B

CD

的

邊

A

D

的

加

長(zhǎng)

長(zhǎng)

度

D

M

為

x

(

m

)

(

x

>

0

)

,

加

長(zhǎng)

后

水

池

1

的

總

面

積

為

y

1

m

2

(

)

,

則

y

1

關(guān)

于

x

的

函

數(shù)

解

析

式

為

y

1

=

x

+

4

(

x

>

0

)

;

設(shè)

水

池

2

的

邊

E

F

的

長(zhǎng)

為

x

(

m

)

(

0

<

x

<

6

)

,

面

積

為

y

2

m

2

(

)

,

則

y

2

關(guān)

于

x

的

函

數(shù)

解

析

式

為

y

2

=

-

x

2

+

6

x

(

0

<

x

<

6

)

,

上

述

兩

個(gè)

函

數(shù)

在

同

一

平

面

直

角

坐

標(biāo)

系

中

的

圖

象

如

圖

3

.

【

問

題

解

決

】

(

1

)

若

水

池

2

的

面

積

隨

E

F

的

長(zhǎng)

度

的

增

加

而

減

小

,

則

E

F

的

長(zhǎng)

度

的

取

值

范

圍

是

(

可

省

略

單

位

)

,

水

池

2

面

積

的

最

大

值

是

m

2

;

(

2

)

在

圖

3

字

母

標(biāo)

注

的

點(diǎn)

中

,

表

示

兩

個(gè)

水

池

的

面

積

相

等

的

點(diǎn)

是

,

此

時(shí)

的

x

(

m

)

值

是

;

(

3

)

當(dāng)

水

池

1

的

面

積

大

于

水

池

2

的

面

積

時(shí)

,

x

(

m

)

的

取

值

范

圍

是

;

(

4

)

在

1

<

x

<

4

范

圍

內(nèi)

,

求

兩

個(gè)

水

池

的

面

積

差

的

最

大

值

和

此

時(shí)

x

的

值

;

(

5

)

假

設(shè)

水

池

A

B

CD

的

邊

A

D

的

長(zhǎng)

度

為

b

(

m

)

,

其

他

條

件

不

變

(

這

個(gè)

加

長(zhǎng)

改

造

后

的

新

水

池

簡(jiǎn)

稱

水

池

3

)

,

則

水

池

3

的

總

面

積

y

3

m

2

(

)

關(guān)

于

x

(

m

)

(

x

>

0

)

的

函

數(shù)

解

析

式

為

y

3

=

x

+

b

(

x

>

0

)

.

若

水

池

3

與

水

池

2

的

面

積

相

等

時(shí)

,

x

(

m

)

有

唯

一

值

,

求

b

的

值

.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

22

階段測(cè)評(píng)(三) 函數(shù)

注意事項(xiàng):本試卷共三道大題,21 道小題,滿分 100 分,建議用時(shí) 40 分鐘。

一、選擇題(每小題 3 分,共 30 分)

1. 【2022 江蘇常州】某城市市區(qū)人口 x 萬(wàn)人,市區(qū)綠地面積 50 萬(wàn)平方米,平

均每人擁有綠地 y 平方米,則 y 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式為 ( )

A. y = x + 50 B. y = 50x C. y =

50

x

D. y =

x

50

2. 【2022 湖北荊州】如圖是同一直角坐標(biāo)系中函數(shù) y1 = 2x 和 y2 =

2

x

的圖象.

觀察圖象可得不等式 2x >

2

x

的解集為 ( )

A. - 1 < x < 1 B. x < - 1 或 x > 1

C. x < - 1 或 0 < x < 1 D. - 1 < x < 0 或 x > 1

第 2 題圖 第 3 題圖 第 4 題圖

3. 【2022 湖南仙桃】二次函數(shù) y = (x + m)

2

+ n 的圖象如圖所示,則一次函數(shù)

y = mx + n 的圖象經(jīng)過(guò) ( )

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限

4. 【2022 山東煙臺(tái)】二次函數(shù) y = ax

2

+ bx + c( a≠0)的部分圖象如圖所示,

其對(duì)稱軸為直線 x = -

1

2

,且與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為( - 2,0). 下列結(jié)

論:①abc > 0;②a = b;③2a + c = 0;④關(guān)于 x 的一元二次方程 ax

2

+ bx + c

- 1 = 0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ( )

A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③

5. 【2022 四川成都】如圖,二次函數(shù) y = ax

2

+ bx + c 的圖象與 x 軸相交于 A

( - 1,0)、B 兩點(diǎn),對(duì)稱軸是直線 x = 1,下列說(shuō)法正確的是 ( )

A. a > 0

B. 當(dāng) x > - 1 時(shí),y 的值隨 x 值的增大而增大

C. 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(4,0)

D. 4a + 2b + c > 0

第 5 題圖 第 6 題圖 第 7 題圖

6. 【2022 四川內(nèi)江】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) M 為 x 軸正半軸上一點(diǎn),

過(guò)點(diǎn) M 的直線 l∥y 軸,且直線 l 分別與反比例函數(shù) y =

8

x

和 y =

k

x

的圖象

交于 P、Q 兩點(diǎn). 若 S△ POQ = 15,則 k 的值為 ( )

A. 38 B. 22 C. - 7 D. - 22

7. 【2022 浙江紹興】如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,點(diǎn) A(0,4)、B(3,4),將

△ABO 向右平移到△CDE 的位置,A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是 C,O 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是 E,函數(shù)

y =

k

x

(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) C 和 DE 的中點(diǎn) F,則 k 的值是 ( )

A. - 6 B. 12 C. 6 D. - 12

8. 【2022 湖北十堰】 如圖,正方形 ABCD 的頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù) y =

k1

x

k(

1 > 0 )和 y =

k2

x

k(

2 > 0 )的圖象上. 若 BD∥y 軸,點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 3,則 k1

+ k2 = ( )

A. 36 B. 18 C. 12 D. 9

第 8 題圖 第 9 題圖

9. 【2022 貴州銅仁】如圖,若拋物線 y = ax

2

+ bx + c(a≠0)與 x 軸交于 A、B

兩點(diǎn),與 y 軸交于點(diǎn) C,若∠OAC = ∠OCB. 則 ac 的值為 ( )

A. - 1 B. - 2 C. -

1

2

D. -

1

3

10. 【2022 湖北武漢】已知拋物線 y = ax

2

+ bx + c( a,b,c 是常數(shù))開口向下,

過(guò) A ( - 1,0 )、B (m,0 )兩點(diǎn),且 1 < m < 2. 下列四個(gè)結(jié)論:①b > 0;②若 m

=

3

2

,則 3a + 2c < 0;③若點(diǎn) M x1 ,y1

( )、N x2 ,y2

( )在拋物線上,x1 < x2 ,且

x1 + x2 > 1,則 y1 > y2 ;④當(dāng) a≤ - 1 時(shí),關(guān)于 x 的一元二次方程 ax

2

+ bx + c

= 1 必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,其中正確的有 ( )

A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè)

二、填空題(每小題 3 分,共 15 分)

11. 【2022 江蘇宿遷】甲、乙兩位同學(xué)各給出某函數(shù)的一個(gè)特征,甲:“函數(shù)值

y 隨自變量 x 的增大而減小”;乙:“函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)”,請(qǐng)你寫出一

個(gè)同時(shí)滿足這兩個(gè)特征的函數(shù),其表達(dá)式是 .

12. (【2022 湖南仙桃】在反比例函 y =

k - 1

x

的圖象的每一支上,y 都隨 x 的增

大而減小,且整式 x

2

- kx + 4 是一個(gè)完全平方式,則該反比例函數(shù)的解析

式為 .

13. 【2022 山東煙臺(tái)】如圖,A、B 是雙曲線 y =

k

x

(x > 0)上的兩點(diǎn),連接 OA、

OB. 過(guò)點(diǎn) A 作 AC⊥x 軸于點(diǎn) C,交 OB 于點(diǎn) D. 若 D 為 AC 的中點(diǎn),△AOD

的面積為 3,點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(m,2),則 m 的值為 .

第 13 題圖 第 14 題圖

14. 【2022 江蘇揚(yáng)州】如圖,函數(shù) y = kx + b ( k < 0 )的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) P,則關(guān)于 x

的不等式 kx + b > 3 的解集為 .

15. 【2022 山東煙臺(tái)】如圖 1,在△ABC 中,∠ABC = 60°,D 是 BC 邊上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) B、C 重合),DE∥AB,交 AC 于點(diǎn) E,EF∥BC,交 AB 于點(diǎn) F.

設(shè) BD 的長(zhǎng)為 x,四邊形 BDEF 的面積為 y,y 與 x 的函數(shù)圖象是如圖 2 所

示的一段拋物線,其頂點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2,3),則 AB 的長(zhǎng)為 .

三、解答題(本大題共 6 個(gè)小題,共 55 分)

16. 【2022 遼寧營(yíng)口】(8 分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△OAC 的邊 OC 在 y

軸上,反比例函數(shù) y =

k

x

( x > 0 )的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 和點(diǎn) B (2,6 ),且點(diǎn) B 為

AC 的中點(diǎn).

(1)求 k 的值和點(diǎn) C 的坐標(biāo);

(2)求△OAC 的周長(zhǎng).

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23

17. 【2022 廣西賀州】(8 分)2022 年在中國(guó)舉辦的冬奧會(huì)和殘奧會(huì)令世界矚

目,冬奧會(huì)和殘奧會(huì)的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻戶曉,成為熱銷產(chǎn)品,

某商家以每套 34 元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批冰墩墩和雪容融套件,若該產(chǎn)品每

套的售價(jià)是48 元時(shí),每天可售出200 套;若每套售價(jià)提高2 元,則每天少

賣 4 套.

(1)設(shè)冰墩墩和雪容融套件每套售價(jià)定為 x 元時(shí),求該商品銷售量 y 與 x

之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求每套售價(jià)定為多少元時(shí),每天銷售套件所獲利潤(rùn) W 最大,最大利

潤(rùn)是多少元?

18. 【2022 內(nèi)蒙古呼和浩特】(9 分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù) y1

= kx + b 的圖象與反比例函數(shù) y2 =

m

x

的圖象交于 A、B 兩點(diǎn),且 A 點(diǎn)的橫

坐標(biāo)為 1,過(guò)點(diǎn) B 作 BE∥x 軸,AD⊥BE 于點(diǎn) D,點(diǎn) C

7

2

, -

1

2

( )是直線

BE 上一點(diǎn),且 AC = 2 CD.

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;

(2)根據(jù)圖象,請(qǐng)直接寫出不等式 kx + b -

m

x

< 0 的解集.

19. 【2022 湖北武漢】(9 分)在一條筆直的滑道上有黑、白兩個(gè)小球同向運(yùn)

動(dòng),黑球在 A 處開始減速,此時(shí)白球在黑球前面 70 cm 處.

小聰測(cè)量黑球減速后的運(yùn)動(dòng)速度 v(單位:cm / s)、運(yùn)動(dòng)距離 y(單位:cm)

隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t(單位:s)變化的數(shù)據(jù),整理得下表.

運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t / s 0 1 2 3 4

運(yùn)動(dòng)速度 v / cm / s 10 9. 5 9 8. 5 8

運(yùn)動(dòng)距離 y / cm 0 9. 75 19 27. 75 36

小聰探究發(fā)現(xiàn),黑球的運(yùn)動(dòng)速度 v 與運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 之間成一次函數(shù)關(guān)系,運(yùn)

動(dòng)距離 y 與運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 之間成二次函數(shù)關(guān)系.

(1)直接寫出 v 關(guān)于 t 的函數(shù)解析式和 y 關(guān)于 t 的函數(shù)解析式;(不要求

寫出自變量的取值范圍)

(2)當(dāng)黑球減速后運(yùn)動(dòng)距離為 64 cm 時(shí),求它此時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度;

(3)若白球一直??

以 2 cm / s 的速度勻速運(yùn)動(dòng),問黑球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)不會(huì)

碰到白球? 請(qǐng)說(shuō)明理由.

20. 【2022 江西省】(10 分)跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)可分為助滑、起跳、飛行和落地四

個(gè)階段,運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分(如圖中實(shí)線部分

所示),落地點(diǎn)在著陸坡(如圖中虛線部分所示)上,著陸坡上的基準(zhǔn)點(diǎn) K

為飛行距離計(jì)分的參照點(diǎn),落地點(diǎn)超過(guò) K 點(diǎn)越遠(yuǎn),飛行距離分越高. 2022

年北京冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)的起跳臺(tái)的高度 OA 為 66 m,基準(zhǔn)點(diǎn) K 到

起跳臺(tái)的水平距離為 75 m,高度為 h m(h 為定值). 設(shè)運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn) A

起跳后的高度 y(m)與水平距離 x(m)之間的函數(shù)關(guān)系為:y = ax

2

+ bx + c

(a≠0).

(1)c 的值為 ;

(2)①若運(yùn)動(dòng)員的落地點(diǎn)恰好到達(dá) K 點(diǎn),且此時(shí) a = -

1

50

,b =

9

10

,則基準(zhǔn)

點(diǎn) K 的高度 h 為 ;

②若 a = -

1

50

時(shí),運(yùn)動(dòng)員的落地點(diǎn)要超過(guò) K 點(diǎn),則 b 的取值范圍

為 ;

(3)若運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為 25 m 時(shí),恰好達(dá)到最大高度 76 m,試判

斷他的落地點(diǎn)能否超過(guò) K 點(diǎn),并說(shuō)明理由.

21. 【2022 湖南懷化】(11 分)如圖 1 所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線 y =

ax

2

+ 2x + c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A( - 1,0)、B(3,0),與 y 軸交于點(diǎn) C,頂點(diǎn)為點(diǎn) D. 在

線段 CB 上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn) P,過(guò)點(diǎn) P 作 PE⊥BC 于點(diǎn) E,作 PF∥

AB 交 BC 于點(diǎn) F.

(1)求拋物線和直線 BC 的函數(shù)表達(dá)式;

(2)當(dāng)△PEF 的周長(zhǎng)為最大值時(shí),求點(diǎn) P 的坐標(biāo)和△PEF 的周長(zhǎng);

(3)若點(diǎn) G 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn) M 是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn),是否存在以 C、B、G、M 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形? 若存在,

求出點(diǎn) G 的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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24

專題十二 幾何圖形初步

考點(diǎn) 1 點(diǎn)、線、面、體

1. 【2022 湖南岳陽(yáng)】某個(gè)立體圖形的側(cè)面展開圖如圖所示,它的底面是正三

角形,那么這個(gè)立體圖形是 ( )

A. 圓柱 B. 圓錐 C. 三棱柱 D. 四棱柱

第 1 題圖 第 2 題圖

2. 【2022 湖北黃岡】某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體是 ( )

A. 圓錐 B. 三棱錐 C. 三棱柱 D. 四棱柱

3. 【2022 廣西賀州】下面四個(gè)幾何體中,主視圖為矩形的是 ( )

A. B. C. D.

4. 【2022 浙江金華】如圖,圓柱的底面直徑為 AB,高為 AC,一只螞蟻在 C 處,

沿圓柱的側(cè)面爬到 B 處,現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿 AC“剪開”,在側(cè)面展開圖上畫

出螞蟻爬行的最近路線,正確的是 ( )

A. B.

C. D.

考點(diǎn) 2 相交線和平行線

5. 【2022 湖北十堰】如圖,工人砌墻時(shí),先在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木

樁,再拉一條直的參照線,就能使砌的磚在一條直線上. 這樣做應(yīng)用的數(shù)

學(xué)知識(shí)是 ( )

A. 兩點(diǎn)之間,線段最短 B. 兩點(diǎn)確定一條直線

C. 垂線段最短 D. 三角形兩邊之和大于第三邊

第 5 題圖 第 6 題圖 第 7 題圖

6. 【2022 江蘇常州】如圖,斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過(guò)馬路.

小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線更為合理,這一想法體現(xiàn)的

數(shù)學(xué)依據(jù)是 ( )

A. 垂線段最短

B. 兩點(diǎn)確定一條直線

C. 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

D. 過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

7. 【2022 廣西賀州】如圖,直線 a、b 被直線 c 所截,下列各組角是同位角的是

( )

A. ∠1 與∠2 B. ∠1 與∠3 C. ∠2 與∠3 D. ∠3 與∠4

8. 【2021 山東臨沂】 如圖,AB∥CD,∠AEC = 40°,CB 平分∠DCE,則∠ABC

的度數(shù)為 ( )

A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°

第 8 題圖 第 9 題圖

9. 【2021 山東聊城】 如圖,AB∥CD∥EF,若∠ABC = 130°,∠BCE = 55°,則

∠CEF 的度數(shù)為 ( )

A. 95° B. 105° C. 110° D. 115°