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“手拉手”難逃“瓜和豆”——“確定軌跡”、“構(gòu)造函數(shù)”、“構(gòu)造方程”、

“數(shù)形結(jié)合”和“分類討論”一個(gè)都不能少

上周，我們進(jìn)入二輪專題復(fù)習(xí)，第 1 講是主題是“手拉手”模型應(yīng)用，請同學(xué)們要非常熟悉手拉手基本圖形

（上課時(shí)已發(fā)各位同學(xué)），為配合二輪復(fù)習(xí)，我們還將不定期對全國經(jīng)典中考或最新題型進(jìn)行分享。今天分享一

道容易出錯(cuò)的湖北十堰 2021 中考幾何壓軸題解析——“手拉手”模型應(yīng)用。 請大家一定一定不外傳！

（湖北十堰 2021）已知等邊三角形 ABC，過 A 點(diǎn)作 AC 的垂線 l，點(diǎn) P 為 l 上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A 重合），連接 CP，

把線段 CP 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60°得到 CQ，連 QB．

（1）如圖 1，直接寫出線段 AP 與 BQ 的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) P、B 在 AC 同側(cè)且 AP＝AC 時(shí)，求證：直線 PB 垂直平分線段 CQ；

（3）如圖 3，若等邊三角形 ABC 的邊長為 4，點(diǎn) P、B 分別位于直線 AC 異側(cè)，且△APQ 的面積等于 ，求線

段 AP 的長度． 請同學(xué)們先思考，再看我們的剖析！重點(diǎn)講第 3 問。

【分析】這道題目的第（1）問和第（2）問相對來說比較簡單，咱們直接套用“手拉

手模型”的解題策略，即可解決。

【解析】

（1）易證明△CAP≌△CBQ，則 AP=BQ；

（2）仍然可以證明△CAP≌△CBP，當(dāng) AP=AC 時(shí)，△CAP 是等腰直角三角形，則△

ABD 也是直角三角形，則 BC=BQ；連接 PQ，則易證明△CPQ 是正三角形，∴PC=PQ，

所以直線 PB 垂直平分線段 CQ；

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（3）解決第（3）問，首先是要畫出適合題意的示意圖，以形助數(shù)，幫助對題目進(jìn)行

分析。

“積不離高”，遇到面積問題，要想到高！

若把 AP 看做△APQ 的底的話，由于點(diǎn) P 時(shí)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q 也是動(dòng)點(diǎn)，△PAQ 的底邊

AP 的長和 AP 邊上的高均為變量。而點(diǎn) Q 是隨著點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，也就是說，點(diǎn) P

可以看做是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q 可以看做是從動(dòng)點(diǎn)，則可以猜測出點(diǎn) Q 到直線 l 的距離必為

線段 AP 長的函數(shù)。那么，這個(gè)高和 AP 之間究竟是怎樣的函數(shù)關(guān)系呢？

策略一：“龍生龍，鳳生鳳，老鼠兒子會(huì)打洞”。若從“瓜豆原理”的角度來看，

主動(dòng)點(diǎn) P 和從動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡必然相同——由于主動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是直線，從動(dòng)點(diǎn) Q 的軌

跡也必然是直線！——因?yàn)槭冀K保持“CP=CQ”和“∠PCQ=60°”這兩個(gè)條件，符合

“定比定角”的“瓜豆”特點(diǎn)！

策略二：注意到無論在任何情況下，必有△CPA≌△CQB 的結(jié)論，則∠PAC=∠QBC，

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而 CB 為方向和長度均確定的線段，則點(diǎn) Q 必然在過點(diǎn) B 且和 CB 垂直的直線上！

綜上所述，過點(diǎn) B 作直線 m⊥CB，則動(dòng)點(diǎn) Q 必在直線 m 上，設(shè)直線 m 和直線 l

交于點(diǎn) M，如圖，顯然 MB=MA，且∠MAB=∠MBA=30°。因?yàn)?AB=4，則 MB=

4 3

3

如圖，若△APQ 的面積為

3

4 ，過點(diǎn) Q 作 QN⊥l 于點(diǎn) N。

若設(shè) AP=x，則 BQ=x，所以 QM=BM ? BQ =

4 3

3 ? x，

QN = QM ? sin60° = （

4 3

3 ? x） ×

3

2 = 2 ?

3

2

x，

則有

1

2

? x ? (2 ?

3

2

x) =

3

4

解得 x = 3或

3

3 （居然有兩個(gè)答案？是不是要舍去一個(gè)？顯然不用舍去，這兩個(gè)

都成立，你知道為什么嗎？

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當(dāng)點(diǎn) Q 在直線 l 的下方時(shí)，

如圖，若設(shè) AP=x，則 BQ=x，

所以 QM = BM + BQ =

4 3

3 + x, 所以 QN = QM ? sin60° = (

4 3

3 + x) ×

3

2 = 2 +

3

2

x

則有

1

2

? x ? (2 +

3

2

x) =

3

4

解得 x =

2 3

3 +

21

3 或 x =

2 3

3 ?

21

3 仍然有兩個(gè)答案，不過這次 x =

2 3

3 ?

21

3 不合

題意，需要舍去——為什么？

綜上，當(dāng)△APQ 的面積等于

3

4 ，AP 線段的長度為 3或

3

3 或

2 3

3 +

21

3

小結(jié)：本題主要考查我們幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用和幾何變換，求相關(guān)線段的長度和解

一元二次方程是利用代數(shù)方法解決幾何問題，圖形與幾何的邏輯推理以及代數(shù)幾何

綜合能力．第（3）問中需要根據(jù)點(diǎn) Q 的位置分類討論，此處屬于易錯(cuò)點(diǎn)。

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具體解答，供參考：

【解答】解：（1）在等邊△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝60°，

由旋轉(zhuǎn)可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，

∴∠ACB＝∠PCQ，

∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，

∴△ACP≌△BCQ（SAS），

∴AP＝BQ．

（2）在等邊△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝60°，

由旋轉(zhuǎn)可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，

∴∠ACB＝∠PCQ，

∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，

∴△ACP≌△BCQ（SAS），

∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°；

∴BQ＝AP＝AC＝BC，

∵AP＝AC，∠CAP＝90°，

∴∠BAP＝30°，∠ABP＝∠APB＝75°，

∴∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，

∴∠CBD＝45°，

∴∠QBD＝45°，

∴∠CBD＝∠QBD，即 BD 平分∠CBQ，

∴BD⊥CQ 且點(diǎn) D 是 CQ 的中點(diǎn)，即直線 PB 垂直平分線段 CQ．

（3）①當(dāng)點(diǎn) Q 在直線 l 上方時(shí)，如圖所示，延長 BQ 交 l 于點(diǎn) E，過點(diǎn) Q 作 QF⊥l 于點(diǎn) F，

由題意可得 AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，

∴∠ACP＝∠BCQ，

∴△APC≌△BCQ（SAS），

∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，

∵∠CAB＝∠ABC＝60°，

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∴∠BAE＝∠ABE＝30°，

∵AB＝AC＝4，

∴AE＝BE＝ ，

∴∠BEF＝60°，

設(shè) AP＝t，則 BQ＝t，

∴EQ＝ ﹣t，

在 Rt△EFQ 中，QF＝ EQ＝ （ ﹣t），

∴S△APQ＝ AP?QF＝ ，即 ?t （ ﹣t）＝ ，

解得 t＝ 或 t＝ ．即 AP 的長為 或 ． ②當(dāng)點(diǎn) Q 在直線 l 下方時(shí)，如圖所示，設(shè) BQ 交 l 于點(diǎn) E，過點(diǎn) Q 作 QF⊥l 于點(diǎn) F，

由題意可得 AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，

∴∠ACP＝∠BCQ，

∴△APC≌△BCQ（SAS），

∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，

∵∠CAB＝∠ABC＝60°，

∴∠BAE＝∠ABE＝30°，

∴∠BEF＝120°，∠QEF＝60°，

∵AB＝AC＝4，

∴AE＝BE＝ ，

設(shè) AP＝m，則 BQ＝m，

∴EQ＝m﹣ ，

在 Rt△EFQ 中，QF＝ EQ＝ （m﹣ ），

∴S△APQ＝ AP?QF＝ ，即 ?m? （m﹣ ）＝ ，

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解得 m＝ （m＝ 負(fù)值舍去）．

綜上可得，AP 的長為： 或 或 ．

日期：2022/3/7 19:40:31 ；用戶： 初高數(shù)學(xué)；郵 箱：lxl2@xyh.com ；學(xué)號： 41218137