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競賽常用知識手冊

《中等數(shù)學》資料室

數(shù)論部分

1 整除

1. 定義

對于整數(shù)a、b(b 6= 0), 存在整數(shù)q, 滿足a = bq就叫做a能被b整除, 記作b|a. 其中a叫做b的倍數(shù), b叫

做a的約數(shù)(因數(shù)).

若b 6= ±1, 則b叫做a的真約數(shù).

若a不能被b整除, 則記作b - a.

如果a

t

|b, a

t+1 - b, t ∈ N, 記作a

tkb.

2. 關于整除的一些簡單性質

(1)b|0, ±1|a, a|a(a 6= 0).

(2)若b|a, a 6= 0, 則1 6 |b| 6 |a|.

(3)若c|b, b|a, 則c|a.

(4)若b|a, c 6= 0, 則bc|ac.

(5)若c|a, c|b, 則c|(ma + nb)(m、n ∈ Z).

(6)若

P

k

i=1

ai = 0, b能整除a1, a2, · · · , ak中的k ? 1個, 則b能整除另一個.

2 同余

1. 定義

設m為正整數(shù), 若整數(shù)a和b被m除的余數(shù)相同, 則稱a和b對模m同余, 記作a ≡ b(modm).

2. 基本性質

(1)a ≡ b(modm) ? m|(b ? a).

(2)a ≡ b(modm) ? b = km + a(k ∈ Z).

(3)a ≡ a(modm).

(4)若a ≡ b(modm), 則b ≡ a(modm).

(5)若a ≡ b(modm), b ≡ c(modm), 則a ≡ c(modm).

2

(6)若a ≡ b(modm), c ≡ d(modm), 則a ± c ≡ b ± d(modm), ac ≡ bd(modm), a

n ≡ b

n(modm).

(7)若ac ≡ bc(modm), (c, m) = d, 則a ≡ b(mod m

d

). 其中符號(c, m)表示c與m的最大公約數(shù).

特別地, 當(c, m) = 1時, 若ac ≡ bc(modm), 則a ≡ b(modm).

3. 同余類

由關于模m同余的整數(shù)組成的集合, 每一個集合叫做關于模m的同余類(或叫做關于模m的剩余類).

由于任何整數(shù)被m除的余數(shù)只能是0, 1, · · · , m ? 1這m種情形, 所以, 整數(shù)集可以按對模m同余的關系

分成m個子集: A0, A1, · · · , Am?1.

其中Ai = {qm + i|m為模, q ∈ Z}, i = 0, 1, · · · , m ? 1.

所有的Ai(i = 0, 1, · · · , m ? 1)滿足

mS?1

i=0

Ai = Z,

mT?1

i=0

Ai = ?.

4. 完全剩余系

從橫m的m個同余類A0, A1, · · · , Am?1中, 每一類Ai取一數(shù)ai

, 則a0, a1, · · · , am?1叫做模m的一個完

全剩余系(簡稱模m的完系).

最簡單的模m的完全剩余系是0, 1, · · · , m ? 1, 也叫做模m的最小非負完系.

顯然m個相繼整數(shù)構成模m的一個完系.

3 質數(shù)與合數(shù)

1. 一個大于1的整數(shù), 如果只有1和它本身作為它的約數(shù), 這樣的正整數(shù)叫做質數(shù)(也叫素數(shù)); 如果除

了1和它本身之外還有其他的正約數(shù), 這樣的正整數(shù)叫做合數(shù).

1既不是質數(shù)也不是合數(shù). 因此, 正整數(shù)集Z+ = {1}

S

{質數(shù)}

S

{合數(shù)}.

2. 大于1的整數(shù)的所有真約數(shù)中, 最小的正約數(shù)一定是質數(shù).

3. 合數(shù)a的最小質約數(shù)不大于√

a.

4. 質數(shù)有無窮多個.

5. 不存在這樣的整系數(shù)多項式f(n) = Pm

i=0

ain

i

, 使得對任意的自然數(shù)n, f(n)都是質數(shù).

6. 威爾遜(Wilson)定理

p為質數(shù)的充分必要條件是(p ? 1)! ≡ ?1(modp).

4 質因數(shù)分解

1. 質因數(shù)分解定理(整數(shù)的唯一分解定理)

每一個大于1的整數(shù)都能分解成質因數(shù)連乘積的形式, 且如果把這些質因數(shù)按照由小到大的順序排

列(相同因數(shù)的乘積寫成冪的形式), 這種分解方法是唯一的.

3

2. 整數(shù)n(n > 1)的標準分解式為n =

Qm

i=1

p

αi

i

. 其中pi為質數(shù), αi為正整數(shù), i = 1, 2, · · · , m.

3. 約數(shù)個數(shù)定理

設d(n) = P

d|n

1表示大于1的整數(shù)n的所有正約數(shù)的個數(shù), n的標準分解式為n =

Qm

i=1

p

αi

i

, 則

d(n) = Ym

i=1

(1 + αi).

4. 約數(shù)和定理

設σ(n) = P

d|n

d表示大于1的整數(shù)n的所有正約數(shù)的和, n的標準分解式為n =

Qm

i=1

p

αi

i

, 則

σ(n) = Ym

i=1

p

αi+1

i ? 1

pi ? 1

.

5. 在n!的標準分解式中, 質因數(shù)p的方冪為P∞

r=1 ·

n

p

r

?

. 其中記號[x]表示不超過x的最大整數(shù).

5 公約數(shù)和公倍數(shù)

1. 公約數(shù)和最大公約數(shù)

(1)若c|a1, c|a2, · · · , c|an, 則c稱為a1, a2, · · · , an的公約數(shù).

a1, a2, · · · , an的所有公約數(shù)中最大的一個稱為a1, a2, · · · , an的最大公約數(shù). 記作(a1, a2, · · · , an).

(2)若a1, a2, · · · , an的標準分解式為a1 =

Qm

i=1

p

αi

i

, a2 =

Qm

i=1

p

βi

i

, · · · , an =

Qm

i=1

p

δi

i

, 其中pi為質數(shù), αi

, βi

,

· · · , δi為非負整數(shù), i = 1, 2, · · · , m, 則(a1, a2, · · · , an) = Qm

i=1

p

ti

i

, 其中ti = min{αi

, βi

, · · · , δi}.

(3)如果a是b的倍數(shù), 那么a和b的公約數(shù)的集合與b的約數(shù)集合相等.

(4)如果a是b的倍數(shù), 則(a, b) = b.

(5)設a和b是不同時等于1的正整數(shù), 且d = ax0 + by0是形如ax + by(x、y是整數(shù))的整數(shù)中的最小正整

數(shù), 則d = (a, b).

(6)正整數(shù)a和b的公約數(shù)集合與它們的最大公約數(shù)的約數(shù)集合相等.

(7)設m是任意正整數(shù), 則(am, bm) = (a, b)m.

(8)設n是a和b的一個公約數(shù), 則

μ

a

n

,

b

n

?

=

(a, b)

n

.

(9)設正整數(shù)a和b(a > b)滿足等式a = bq + r, 0 6 r < b, q、r ∈ Z. 則(a, b) = (b, r).

由此可得到求a、b最大公約數(shù)的輾轉相除法.

設a = bq1 + r1, 0 6 r1 < b.

4

若r1 = 0, 則(a, b) = b.

若r1 6= 0, 則又可用r1去除b得b = r1q2 + r2, 0 6 r2 < r1.

若r2 = 0, 則(a, b) = (b, r1) = r1.

若r2 6= 0, 再用r2去除r1得r1 = r2q3 + r3, 0 6 r3 < r2.

如此繼續(xù)下去, 由于b > r1 > r2 > r3 > · · ·以及ri(i = 1, 2, · · ·)是非負整數(shù), 則一定在進行到某一次

時, 例如第n + 1次得到rn+1 = 0. 但由于rn 6= 0, 則有(a, b) = (b, r1) = (r1, r2) = · · · = (rn?1, rn) = rn.

用此法還可以求(5)中形如ax + by的最小正整數(shù)d = ax0 + by0.

2. 公倍數(shù)和最小公倍數(shù)

(1)若a1|b, a2|b, · · · , an|b, 則b稱為a1, a2, · · · , an的公倍數(shù). a1, a2, · · · , an的所有公倍數(shù)中最小的一個

稱為a1, a2, · · · , an的最小公倍數(shù). 記作[a1, a2, · · · , an].

(2)若a1, a2, · · · , an的標準分解式為a1 =

Qm

i=1

p

αi

i

, a2 =

Qm

i=1

p

βi

i

, · · · , an =

Qm

i=1

p

δi

i

, 其中pi為質數(shù), αi

, βi

,

· · · , δi為非負整數(shù), i = 1, 2, · · · , m, 則[a1, a2, · · · , an] = Qm

i=1

p

ri

i

, 其中ri = max{αi

, βi

, · · · , δi}.

(3)a1, a2, · · · , an的最小公倍數(shù)是它們的任一公倍數(shù)的約數(shù).

(4)[a, b] = ab

(a, b)

.

6 互質數(shù)、費馬小定理和孫子定理

1. 互質數(shù)

(1)若(a1, a2, · · · , an) = 1, 就叫做a1, a2, · · · , an互質(也叫做互素). 這n個數(shù)叫互質數(shù)(互素數(shù)).

特別地, 1和任何整數(shù)互質; 相鄰兩個整數(shù)互質; 相鄰兩個奇數(shù)互質; 對質數(shù)p, 若p不能整除a, 則p與a互

質.

(2)若(a, b) = 1, 則(a ± b, a) = 1, (a ± b, ab) = 1.

(3)若(a, b) = 1, a|bc, 則a|c.

(4)若a|c, b|c, (a, b) = 1, 則ab|c.

(5)若(a, b) = 1, 則(b, ac) = (b, c).

(6)若(a, b) = 1, c|a, 則(c, b) = 1.

(7)若(a, b) = 1, 則(a, bk

) = 1.

(8)若a1, a2, · · · , am中的每一個與b1, b2, · · · , bn中的每一個互質, 則(a1a2 · · · am, b1b2 · · · bn) = 1.

2. 歐拉函數(shù)

定義: 小于m且與m互質的正整數(shù)的個數(shù)叫做歐拉(Euler)函數(shù), 記作?(m).

5

若m =

Qn

i=1

p

αi

i

, 則?(m) = m

Qn

i=1 μ

1 ?

1

pi

?

.

其中pi是質數(shù), αi是正整數(shù)(i = 1, 2, · · · , n).

當m為質數(shù)時, ?(m) = m ? 1.

性質:

(1)?(m)是積性函數(shù), 即(a, b) = 1, 則?(a)?(b) = ?(ab).

(2)若p是質數(shù), 則?(p) = p ? 1, ?(p

k

) = p

k ? p

k?1

.

(3)設m = p

α1

1

p

α2

2

· · · p

αk

k

, 則?(m) = m

μ

1 ?

1

p1

? μ1 ?

1

p2

?

· · · μ

1 ?

1

pk

?

.

(4)設d1, d2, · · · , dT(m)是m的所有正約數(shù), 則

T

P

(m)

i=1

?(di) = m.

3. 歐拉定理和費馬小定理

(1)歐拉定理

設m > 2, 且(a, m) = 1, ?(m)為歐拉函數(shù), 則a

?(m) ≡ 1(modm).

(2)費馬(Fermat)小定理

設p是質數(shù), 且(a, p) = 1, 則a

p?1 ≡ 1(modp).

注: 費馬小定理是歐拉定理當m為質數(shù)時的特例.

4. 孫子定理

設m1, m2, · · · , mk是k個兩兩互質的正整數(shù). 則同余式組

x ≡ b1(modm1),

x ≡ b2(modm2),

· · · · · ·

x ≡ bk(modmk)

有唯一解x ≡ M0

1M1b1 + M0

2M2b2 + · · · + M0

kMkbk(modM).

其中M = m1m2 · · · mk, Mi =

M

mi

, i = 1, 2, · · · , k, M0

iMi ≡ 1(modmi), i = 1, 2, · · · , k.

注: 孫子定理又叫中國剩余定理.

7 奇數(shù)和偶數(shù)

1. 若一個整數(shù)能被2整除, 則這個整數(shù)叫偶數(shù); 若一個整數(shù)被2除余1, 則這個整數(shù)叫奇數(shù).

奇數(shù)集合和偶數(shù)集合都是以2為模的同余類.

6

2. 奇數(shù)個奇數(shù)的和(或差)是奇數(shù), 偶數(shù)個奇數(shù)的和(或差)是偶數(shù).

任意多個偶數(shù)的和(或差)為偶數(shù).

一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的和(或差)是奇數(shù).

兩個整數(shù)的和與差在相同的奇偶性.

3. 任意多個奇數(shù)的積是奇數(shù).

若任意多個整數(shù)中至少有一個偶數(shù), 則它們的積是偶數(shù).

8 完全平方數(shù)

1. 若a是整數(shù), 則a

2叫做a的完全平方數(shù).

2. 完全平方數(shù)的個位數(shù)只能是0, 1, 4, 5, 6, 9.

3. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)是偶數(shù).

4. 個位數(shù)是5的平方數(shù), 其十位數(shù)是2, 百位數(shù)是偶數(shù).

5. 如果一個完全平方數(shù)的個位數(shù)是6, 那么它的十位數(shù)是奇數(shù).

6. 偶數(shù)的平方能被4整除; 奇數(shù)的平方被4除余1.

7. 偶數(shù)的平方被8余余0或4; 奇數(shù)的平方被8除余1.

8. 若一個整數(shù)能被3整除, 則這個數(shù)的平方能被3整除; 若一個整數(shù)不能被3整除, 則這個數(shù)的平方被3除

余1.

9. 若一個整數(shù)能被5整除, 則這個數(shù)的平方能被5整除; 若一個整數(shù)不能被5整除, 則這個數(shù)的平方被5除

余+1或?1.

10. 把完全平方數(shù)的各位數(shù)碼相加, 如果所得到的和不是一位數(shù), 再把這個和的各位數(shù)碼相加, 直到

和是一位數(shù)為止, 這個一位數(shù)只能是0, 1, 4, 7, 9.

11. 兩個相鄰完全平方數(shù)之間不可能有完全平方數(shù).

12. 完全平方數(shù)的所有正約數(shù)個數(shù)為奇數(shù), 并且反過來也成立.

13. 如果質數(shù)p是一個完全平方數(shù)的約數(shù), 那么p

2也是這個完全平方數(shù)的約數(shù).

9 整數(shù)的可除性特征

1. 一個整數(shù)能被2整除的充分必要條件是這個數(shù)的個位數(shù)是偶數(shù).

2. 一個整數(shù)能被4整除的充分必要條件是這個數(shù)的末兩位數(shù)能被4整除.

3. 一個整數(shù)能被5整除的充分必要條件是這個數(shù)的個位數(shù)是0或5.

4. 一個整數(shù)能被3整除的充分必要條件是這個數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除.

7

5. 一個整數(shù)能被9整除的充分必要條件是這個數(shù)的各位數(shù)字之和能被9整除.

6. 一個整數(shù)能被11整除的充分必要條件是這個數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除.

7. 一個整數(shù)能被10n ? 1(n為正整數(shù))整除的充分必要條件是把這個數(shù)的個位數(shù)截去之后, 再加上這

個個位數(shù)的n倍, 它的和能被10n ? 1整除, 即把A寫成A = 10x + y, y ∈ {0, 1, · · · , 9}, 則(10n ? 1)|A ?

(10n ? 1)|(x + ny).

由此可判斷整數(shù)A能否被9, 19, 29, 39, · · ·整除.

8. 一個整數(shù)能被10n + 1(n為正整數(shù))整除的充分必要條件是把這個數(shù)的個位數(shù)截去之后, 再減去這

個個位數(shù)的n倍, 它的差能被10n + 1整除. 即把A寫成A = 10x + y, y ∈ {0, 1, · · · , 9}, 則(10n + 1)|A ?

(10n + 1)|(x ? ny).

由此可判斷整數(shù)A能否被11, 21, 31, 41, · · ·整除.

10 十進制記數(shù)法

1. 數(shù)A的十進制表示為A =

Pn

i=1

ai10i

, 其中ai ∈ {0, 1, · · · , 9}, i = 0, 1, · · · , n?1, an ∈ {1, 2, · · · , 9}.

2. A的n次冪的個位數(shù)等于A的個位數(shù)的n次冪的個位數(shù), 即An ≡ a

n

0

(mod10).

3. An的個位數(shù)以4為周期循環(huán)出現(xiàn).

4. A與它的各位數(shù)字之和S(A) = Pn

i=0

ai關于模9同余, 即A ≡

Pn

i=0

ai(mod9).

5. A的各位數(shù)字之和S(A) = Pn

i=0

ai滿足S(A + B) 6 S(A) + S(B), S(AB) 6 S(A)S(B).

6. 若a和b為任意非負整數(shù), 則

1

2

a × 5

b的小數(shù)展開式是有限的.

7. 若

1

n

具有有限小數(shù)展開式, 則n = 2a × 5

b

, 其中a、b為非負整數(shù).

8. 在

1

n

的十進制小數(shù)展開式中, 循環(huán)節(jié)長不大于n ? 1.

9. 若(n, 10) = 1, 則

1

n

的循環(huán)節(jié)長為r, r是滿足10r ≡ 1(modn)的最小正整數(shù).

11 k進制記數(shù)法

1. 設k > 2為任一整數(shù)(稱為基), 則任一十進制整數(shù)A可唯一地用基k表示, 即可寫成如下的形式: A =

d0+d1k+d2k

2+· · ·+dnk

n =

Pn

i=0

dik

i

. 其中di ∈ {0, 1, · · · , k?1}, i = 0, 1, · · · , n?1, dn ∈ {1, 2, · · · , k?1}.

2. A的k進制表示可記為A = (dndn?1 · · · d1d0)k.

3. 設B為正的純小數(shù), 則B可以唯一地用基k表示, 即可寫成如下的形式: B = d?1k

?1 +d?2k

?2 +· · ·+

d?nk

?n + · · ·其中d?i ∈ {0, 1, · · · , k ? 1}, i = 1, 2, · · · , n, · · ·

注: 若B為有限小數(shù), 則上式為有限項; 若B為無限小數(shù), 則上式為無限項.

8

12 不定方程

1. 二元一次不定方程ax + by = c

(1)不定方程ax + by = c(a、b、c為整數(shù))有整數(shù)解的充分必要條件是(a, b)|c.

(2)若(a, b) = 1, 且(x0, y0)是不定方程ax + by = c的一組整數(shù)解, 則x = x0 + bt, y = y0 ? at(t是整

數(shù))是方程的全部整數(shù)解.

2. 不定方程x

2 + y

2 = z

2的整數(shù)解

(1)若x = a, y = b, z = c(a、b、c為正整數(shù))是方程x

2 + y

2 = z

2的一組解, 且(a, b) = 1, 就稱這組解為

方程的一組基本解.

(2)若x = a, y = b, z = c為方程x

2 + y

2 = z

2的一組基本解, 則a和b中恰有一個為偶數(shù), c為奇數(shù).

(3)設x = a, y = b, z = c為方程x

2 + y

2 = z

2的一組基本解, 且假定a是偶數(shù), 則存在正整數(shù)m和n,

m > n, (m, n) = 1, 且m 6≡ n(mod2), 使得a = 2mn, b = m2 ? n

2

, c = m2 + n

2

.

(4)若a = 2mn, b = m2 ? n

2

, c = m2 + n

2

, 則a、b、c是x

2 + y

2 = z

2的一組解; 如果還有m > n > 0,

(m, n) = 1和m 6≡ n(mod2), 則a、b、c就是方程的一組基本解.

3. 佩爾(Pell)方程

(1)方程x

2 ? dy2 = 1(d為給定的正整數(shù)), 叫做佩爾方程.

(2)無論d取什么值, x = ±1, y = 0是佩爾方程的解, 這組解稱為佩爾方程的平凡解.

(3)設d > 0是一個非平方數(shù), 則佩爾方程x

2 ? dy2 = 1有無窮多個不同的整數(shù)解.

(4)設n > 0, (x1, y1)是佩爾方程x

2 ? dy2 = 1的一個解, 又設xn與yn由下式定義(x1 ?

√

dy1)

n = xn +

√

dyn, 則(xn, yn)是佩爾方程x

2 ? dy2 = 1的一個解.

13 整點

在平面直角坐標系中, 橫、縱坐標均為整數(shù)的點叫做整點, 整點也叫格點. 類似地, 可定義空間直角坐

標系中的整點.

1. 整點多邊形的面積公式

頂點都在整點上的簡單多邊形(即不自交的多邊形), 其面積為S, 多邊形內的整點數(shù)為N, 多邊形邊上

的整點數(shù)為L, 則S = N +

L

2

? 1.

2. 正方形內的整點

(1)各邊均平行于坐標軸的正方形, 如果內部不含整點, 它的面積最大是1.

(2)內部不含整點的正方形面積, 最大是2.

(3)內部只含一個整點的最大正方形面積是4.

9

3. 圓內整點問題

設A(r)表示區(qū)域x

2 + y

2 6 r

2上的整點數(shù), r是正實數(shù), 則

A(r) = 1 + 4[r] + 4 X

16s6r

[

p

r

2 ? s

2]

或A(r) = 1 + 4[r] + 8 P

16s6 √r

2

[

√

r

2 ? s

2] ? 4

·

r

√

2

?2

.

其中, [x]表示不超過x的最大整數(shù).

此外, 當r充分大時, 區(qū)域x

2 + y

2 6 r

2上的格點數(shù)A(r)接近于πr.

4. 不存在整點正三角形.

5. 當n > 5時, 不存在整點正n邊形.

14 函數(shù)[x]

1. 定義

設x ∈ R, 則[x]表示不超過x的最大整數(shù).

2. 函數(shù)[x]的性質

(1)y = [x]的定義域為實數(shù)集R, 值域為整數(shù)集Z.

(2)x = [x] + r, 0 6 r < 1.

(3)x ? 1 < [x] 6 x < [x] + 1.

(4)y = [x]是廣義增函數(shù), 即當x1 6 x2時, [x1] 6 [x2]成立.

(5)設n ∈ Z, 則[n + x] = n + [x].

(6)·Pn

i=1

xi

?

>

Pn

i=1

[xi

].

(7)對正實數(shù)x1, x2, · · · , xn有

· Qn

i=1

xi

?

>

Qn

i=1

[xi

].

特別地, 對正數(shù)x及正整數(shù)n有[x

n] > [x]

n, [x] > [

√n x]

n.

(8)對正實數(shù)x、y有

h

y

x

i

6

[y]

[x]

.

(9)設n為正整數(shù), 則

h

x

n

i

=

·

[x]

n

?

.

(10)對整數(shù)x, 有[?x] = ?[x]; 對非整數(shù)x, 有[?x] = ?[x] ? 1.

(11)對正整數(shù)m和n, 不大于m的n的倍數(shù)共有hm

n

i

個.

(12)函數(shù){x}定義為實數(shù)x的正的純小數(shù)部分, 即{x} = x ? [x].

10

y = {x}還有如下一些性質:

(i){x} ∈ [0, 1).

(ii){x}是以1為最小正周期的周期函數(shù).

(iii){n + x} = {x}(n為整數(shù)).

(13)設p ∈ N, 滿足2

λ

|(2p

)!的λ的最大值為M = 2p ? 1.

由(11)知M =

·

2

p

2

?

+

·

2

p

2

2

?

+

·

2

p

2

3

?

+ · · · = 2p?1 + 2p?2 + · · · + 2 + 1 = 2p ? 1.

15 階數(shù)與原根

1. 階數(shù)定義

當(a, m) = 1, 有最小正整數(shù)λ, 使a

λ ≡ 1(modm), 且a

k 6≡ 1(modm), 0 < k < m, 則λ叫做a關于m的

階數(shù).

由歐拉定理得λ 6 ?(m), λ|?(m).

2. 原根定義

如果λ = ?(m), 叫做a關于模m的階數(shù)是?(m), 此時, a叫做m的原根.

3. 階數(shù)λ的性質

(1)如果a關于m的階數(shù)是λ, 那么a

0

, a1

, · · · , aλ?1中, 任兩數(shù)關于模m不同余.

(2)若λ是關于m的階數(shù), 則滿足a

t ≡ 1(modm)的t, 都有λ|t.

幾何部分

1 平面幾何

1. 1 三角形的性質

設4ABC的三邊長分別為a、b、c, 三個內角分別為A、B、C, 內切圓、外接圓和三個旁切圓的半徑分

別為r、R、r1、r2、r3, 半周長為p, 三條高線長分別為ha、hb、hc, 三條中線長分別為ma、mb、mc, 三條角

平分線長分別為ta、tb、tc, ∠A的外角平分線長為t

0

a

, 邊BC上的斜高為h, 斜高與BC的夾角為α, 面積為S.

內心、外心、重心、垂心分別為I、O、G、H, 三個旁心分別為I1、I2、I3.

1. 1. 1 正弦定理

a

sin A

=

b

sin B

=

c

sin C

= 2R.

1. 1. 2 余弦定理

a

2 = b

2 + c

2 ? 2bc cos A, b

2 = c

2 + a

2 ? 2ca cos B, c

2 = a

2 + b

2 ? 2ab cos C.

11

1. 1. 3 三角形的面積公式

(1)S =

1

2

aha =

1

2

bhb =

1

2

chc;

(2)S =

1

2

ab sin C =

1

2

bc sin A =

1

2

ca sin B =

1

2

ah sin α;

(3)S =

abc

4R

= 2R

2

sin A · sin B · sin C =

R2

2

(sin 2A + sin 2B + sin 2C);

(4)S =

a

2

sin B · sin C

2 sin(B + C)

=

b

2

sin C · sin A

2 sin(C + A)

=

c

2

sin A · sin B

2 sin(A + B)

;

(5)海倫(Heron)公式S =

p

p(p ? a)(p ? b)(p ? c);

(6)S = r

2

μ

cot

A

2

+ cot

B

2

+ cot

C

2

?

;

(7)S = pr = (p ? a)r1 = (p ? b)r2 = (p ? c)r3.

1. 1. 4 若兩個三角形相似, 則面積比等于相似比的平方; 若兩個三角形有一條邊相等, 則面積比等

于對應邊上高的比或斜高的比; 若兩個三角形有一條高相等, 則面積比等于高對應的邊的比.

1. 1. 5 r = 4R sin

A

2

· sin

B

2

· sin

C

2

;

r1 = 4R sin

A

2

· cos

B

2

· cos

C

2

;

r2 = 4R cos

A

2

· sin

B

2

· cos

C

2

;

r3 = 4R cos

A

2

· cos

B

2

· sin

C

2

;

r1 + r2 + r3 = r + 4R.

1. 1. 6 ∠BIC = 90? +

∠A

2

, ∠CIA = 90? +

∠B

2

, ∠AIB = 90? +

∠C

2

, ∠BI1C = 90? ?

∠A

2

, ∠CI2A =

90? ?

∠B

2

, ∠AI3B = 90? ?

∠C

2

.

1. 1. 7 由頂點A、B、C引出的內切圓的切線長分別為p ? a、p ? b、p ? c; 所對角內的旁切圓的切

線長為p; 點B、C到∠A內的旁切圓的切線長分別為p ? c、p ? b; 點C、A到∠B內的旁切圓的切線長分別

為p ? a、p ? c; A、B到∠C內的旁切圓的切線長分別為p ? b、p ? a.

1. 1. 8 若AI與4ABC的外接圓交于點D, 則DI = DB = DC = DI1, 即I、B、C、I1四點共圓, 圓心

為D; 若在線段AD及其延長線上存在點I

0、I

0

1

, 滿足DI0 = DB = DC = DI0

1

, 則I

0、I

0

1分別為4ABC的內

心和∠A內的旁心.

1. 1. 9 ∠BOC = 2∠A, ∠COA = 2∠B, ∠AOB = 2∠C.

1. 1. 10 阿基米德(Archimedes)定理

三角形三條中線交于一點G(重心), 且G到頂點的距離等于這個頂點向對邊所作中線長的2

3

.

1. 1. 11 帕普斯(Pappus)定理(中線公式)

12

ma =

1

2

p

2b

2 + 2c

2 ? a

2, mb =

1

2

p

2c

2 + 2a

2 ? b

2, mc =

1

2

p

2a

2 + 2b

2 ? c

2.

1. 1. 12 ta =

2

b + c

p

bcp(p ? a), tb =

2

c + a

p

cap(p ? b), tc =

2

a + b

p

abp(p ? c).

1. 1. 13 t

0

a =

2

|b ? c|

p

bc(p ? b)(p ? c).

1. 1. 14 ∠BHC = 180? ? ∠A, ∠CHA = 180? ? ∠B, ∠AHB = 180? ? ∠C.

1. 1. 15 銳角三角形的垂心是其垂足三角形的內心; 鈍角三角形的垂心是其垂足三角形的旁心; 銳

角三角形的三個頂點是其垂足三角形的旁心.

1. 1. 16 4BHC、4CHA、4AHB的外接圓半徑都等于R.

1. 1. 17 卡諾(Carnot)定理

4BHC、4CHA、4AHB的垂心分別為A、B、C.

1. 1. 18 設AH交BC于點D, 交4ABC的外接圓于點K, 則HD = DK.

1. 1. 19 設AH、BH、CH分別交BC、CA、AB于D、E、F, 則AH · HD = BH · HE = CH · HF.

1. 1. 20 設邊BC的中點為L, 則AH∥OL, 且AH = 2OL = 2R cos A.

1. 2 多邊形的性質

1. 2. 1 n邊形內角和等于(n ? 2)π.

1. 2. 2 四邊形面積公式

(1)矩形

S = ab(a、b分別為矩形的鄰邊的長);

(2)平行四邊形

S = ah = ab sin θ(a、b分別為平行四邊形的鄰邊的長, θ是這兩條邊的夾角, h為底邊a上的高);

(3)梯形

S =

1

2

(a + b)h(a、b分別為上、下底的長, h為高);

(4)任意四邊形

S =

1

2

mn sin ?(m、n分別為兩條對角線的長, ?為對角線的夾角);

(5)貝利契納德(Bretschneider)面積公式

S =

1

4

p

4m2n2 ? (a

2 ? b

2 + c

2 ? d

2)

2(m、n分別為兩條對角線的長, a、b、c、d為四條邊的長);

(6)圓內接四邊形

S =

p

(p ? a)(p ? b)(p ? c)(p ? d)(p為半周長, a、b、c、d為四條邊的長);

13

(7)圓外切四邊形

S =

√

abcd sin

A + C

2

(a、b、c、d為四條邊的長);

(8)雙心四邊形(既有內切圓又有外接圓的四邊形)

S =

√

abcd(a、b、c、d為四條邊的長).

1. 2. 3 貝利契納德關于四邊形的余弦定理

設a、b、c、d為四條邊的長, m、n分別為兩條對角線的長, 則有m2n

2 = a

2

c

2 +b

2d

2 ?2abcd cos(A+C).

1. 2. 4 在周長一定的n邊形的集合中, 正n邊形的面積最大.

1. 2. 5 在周長一定的簡單閉曲線的集合中, 圓的面積最大.

1. 2. 6 在面積一定的n邊形的集合中, 正n邊形的周長最小.

1. 2. 7 在面積一定的簡單閉曲線的集合中, 圓的周長最小.

1. 3 重要定理和極值

(1)梅涅勞斯(Menelaus)定理

一直線與4ABC的三邊BC、CA、AB或延長線分別交于點X、Y 、Z. 則

AZ

ZB

·

BX

XC ·

CY

Y A = 1.

(2)梅涅勞苦定理的逆定理

設X、Y 、Z分別是4ABC的三邊BC、CA、AB或延長線上的點. 若

AZ

ZB

·

BX

XC ·

CY

Y A = 1, 則X、Y 、Z三

點共線(梅涅勞斯線).

(3)塞瓦(Ceva)定理

設P為4ABC內一點, 直線AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB或交于點D、E、F. 則

AF

F B

·

BD

DC ·

CE

EA =

1.

(4)塞瓦定理的逆定理

設D、E、F分別是4ABC的三邊BC、CA、AB上的點. 若

AF

F B

·

BD

DC ·

CE

EA = 1, 則AD、BE、CF三線

交于一點(塞瓦點).

(5)托勒密(Ptolemy)定理

若四邊形ABCD為圓內接四邊形, 則有AB · CD + BC · DA = AC · BD.

(6)托勒密定理的逆定理

若四邊形ABCD滿足AB · CD + BC · DA = AC · BD, 則四邊形ABCD為圓內接四邊形.

(7)廣義托勒密定理

14

在四邊形ABCD中, 有AB · CD + BC · DA > AC · BD, 等號成立的條件當且僅當四邊形ABCD為圓

內接四邊形.

(8)西姆松(Simson)定理

設4ABC外接圓上任意一點P在三邊BC、CA、AB上的投影為D、E、F. 則D、E、F在一條直線(西

姆松線)上.

(9)西姆松定理的逆定理

設4ABC所在平面上一點P在三邊BC、CA、AB上的投影為D、E、F. 若D、E、F三點共線, 則P在4ABC的

外接圓上.

(10)費馬(Fermat)問題

到4ABC三頂點距離之和最小的點——費馬點F. 當4ABC的最大角小于120?時, 點F關于三邊BC、CA、AB的

張角均為120?

; 當4ABC的最大角大于120?時, 點F即為最大角的頂點.

(11)到4ABC三頂點距離的平方和最小的點——重心G.

卡諾(Carnot)定理 若G為4ABC的重心, P為4ABC所在平面上任意一點, 則P A2 + P B2 + P C2 =

GA2 + GB2 + GC2 + 3P G2 > GA2 + GB2 + GC2

;

萊布尼茲(Leibnitz)公式 若G為4ABC的重心, P為4ABC所在平面上任意一點, 則P A2 + P B2 +

P C2 = 3P G2 +

1

3

(a

2 + b

2 + c

2

), 其中a、b、c分別為4ABC的三邊邊長.

(12)4ABC內到三邊距離之積最大的點——重心G.

1. 4 幾何變換

1. 4. 1 合同變換

在平面到其自身的映射下, 對于任意兩點A、B及其像A0、B0

, 總有AB = A0B0

, 這個映射叫做合同變

換.

(1)平移變換: 把圖形F上的所有點都按一定方向移動一定距離d, 形成圖形F

0

, 則由F到F

0的變換叫做

平移變換, 記為T(v), v表示有向線段, 說明平移的方向和平移的距離.

(2)旋轉變換: 將平面圖形F繞這平面內的一個定點O旋轉一個定角α(逆時針為正)而形成圖形F

0

, 把F變

為F

0的這種變換稱為旋轉變換, 記為R(O, α).

當α = π時為半周旋轉, 又叫中心反射或中心對稱變換, 即點對稱.

(3)對稱變換(反射變換): 把平面圖形F變到關于直線l成軸對稱的圖形F

0

, 這樣的變換叫做關于直線l的

對稱(反射)變換, 記為U(l).

1. 4. 2 相似變換

15

在平面到其自身的映射下, 對于任意兩點A、B及其像A0、B0

, 如果總有A0B0 = kAB(k > 0), 這個映

射叫做相似變換.

(1)位似變換: 設O為一個定點, 對于圖形F中的任意一點P, 如果它的像P

0在射線OP(或反向延長線)上,

并且總有OP0 = kOP(k 6= 0), 這種映射叫做以O為位似中心、k為位似比的位似變換, 記為H(O, k).

(2)位似旋轉變換: 設O為一個定點, k(k > 0)為常數(shù), θ為有向角, 對于圖形F中的任意一點P, 射

線OP繞點O旋轉角θ, 在射線上存在一點P

0

, 有OP0 = kOP, 把由點P到P

0點的變換叫做以點O為位似

旋轉中心、旋轉角為θ、位似比為k的位似旋轉變換, 記為S(O, θ, k).

1. 4. 3 性質

(1)如果圖形F到圖形F

0是一個平移變換, 則存在對稱變換, 經過連續(xù)兩次對稱變換, 可使F變到F

0

. 其

中兩對稱軸l1和l2與平移方向垂直, 一軸的位置可以任意選定, 而另一軸與前一軸的距離等于對應點移動

距離的一半.

(2)如果圖形F到圖形F

0是一個旋轉變換, 則存在對稱變換, 經過連續(xù)兩次對稱變換, 可使F變到F

0

. 其

中兩對稱軸l1和l2通過旋轉中心, 一軸的位置可以任意選定, 而另一軸與前一軸的夾角等于旋轉角的一半.

(3)對于不同的旋轉中心, 連續(xù)進行兩次旋轉變換R(O1, θ1)、R(O2, θ2), 如果θ1 +θ2 6= 2π, 則可用一次

旋轉變換R(O, θ1 + θ2)來代替, 旋轉中心O是分別過O1、O2的直線l、m的交點, 其中O1O2與l的夾角為θ1

2

,

m與O1O2的夾角為θ2

2

.

(4)對于不同的位似中心, 連續(xù)進行兩次位似變換H(O1, k1)、H(O2, k2), 則可以用一次位似變換

H(O, k1k2)

來代替, 位似中心O是任意一點M與經兩次位似變換后的對應點M00的連線和O1O2的交點O.

1. 5 凸圖形和覆蓋

1. 5. 1 凸多邊形: 如果一個多邊形內部任意兩點的連線也在這個多邊形內部, 則稱此多邊形為凸多

邊形.

1. 5. 2 凸圖形: 如果圖形F內任意兩點A、B的連線段上的每一點都在圖形F內, 則稱圖形F為凸圖

形.

1. 5. 3 凸包: 包含點集M的最小凸圖形稱為點集M的凸包. 凸包實際上是一個包含點集M的最小凸

多邊形.

定理 有限點的凸包存在且唯一.

1. 5. 4 直徑: 點集的直徑是滿足下面條件的一個正數(shù)d:

點集中任意兩點的距離都不超過d, 而對于比d小的任何正數(shù)d

0

, 點集中至少有兩點的距離要超過d

0

.

16

特別地, 對于有限點集和閉區(qū)域, 其直徑就是任意兩點間距離的最大值.

1. 5. 5 覆蓋: 如果圖形F的任何一點都屬于n張紙片G1, G2, · · · , Gn中之一, 則稱圖形F被G1, G2, · · · ,

Gn覆蓋; 如果無論怎樣放置G1, G2, · · · , Gn都至少有F中的一個點不能被這n紙片中的任一個所包含, 則

稱G1, G2, · · · , Gn蓋不住F.

1. 5. 6 性質

(1)F ? F.

(2)若G1 ? G, G2 ? G1, 則G2 ? G.

(3)若G1 ? F, G2 ? F, 則G1 ∩ G2 ? F.

(4)如果紙片G能覆蓋區(qū)域F, 則S(G) > S(F), 其中S(X)代表區(qū)域X的面積, 下同.

1. 5. 7 重疊原理

(1)兩個凸n邊形相似并且對應頂點依順時針次序相同, 則其中邊長較小的那個凸n邊形紙片一定能被

邊長較大的那個覆蓋;

(2)如果能在平面上找到一點O, 使得點集F中的每一點與O的距離都不超過某個定長r, 則F必可被一

個半徑為r的圓紙片覆蓋.

(3)A、B為定點, α為定角, 若點集F中的每一點P都在AB同側, 且與A、B所成視角∠AP B > α, 則點

集F能被以AB為弦、含定角α為弓形角的一個弓形紙片G所覆蓋.

(4)如果G與F都是平面區(qū)域, 且S(F) > S(G), 則G必不能覆蓋F.

(5)一個直徑為d的點集F不能被直徑小于d的點集G所覆蓋.

(6)在長為1的線段上放置某些線段, 這些線段的長度之和大于1, 則這些線段中至少有兩條是有公共

點的.

(7)如果在半徑為1的圓上放置某些圓弧, 這些圓弧的長度之和大于2π, 則這些圓弧中至少有兩段具有

公共點.

(8)假定有n張紙片, 它們的面積分別是S1, S2, · · · , Sn, 把它們嵌入到一個面積為S的平面區(qū)域中, 如

果S1 + S2 + · · · + Sn > S, 則至少有兩張紙片發(fā)生重疊.

(9)設面積為S的圖形G中包含有圖形G1, G2, · · · , Gn, 它們的面積分別為S1, S2, · · · , Sn. 如果圖形G的

每一點都至多被Gi中的k個所覆蓋, 則S1 + S2 + · · · + Sn 6 kS; 若S1 + S2 + · · · + Sn > kS, 則G中至少存

在一點被{Gi}中的k + 1個所覆蓋.

2 立體幾何

2. 1 多面角: 有公共端點并且任意三線不在同一平面內的n條射線, 以及相鄰兩條射線間的平面部

分所組成的圖形, 叫做多面角. 組成多面角的射線叫做多面角的棱, 這些射線的公共端點S叫做多面角的

17

頂點, 相鄰兩棱間的平面部分叫做多面角的面, 相鄰兩棱組成的角叫做多面角的面角, 相鄰兩個面組成的

二面角叫做多面角的二面角. 三面角的兩個面角的和大于第三個面角, 多面角各面角的和小于360?

.

2. 2 歐拉(Euler)定理: 若簡單多面體的頂點數(shù)為V , 面數(shù)為F, 棱數(shù)為E, 則有V + F ? E = 2.

3 解析幾何

3. 1 直線方程

(1)法線式: x cos α + y sin α = p, 其中p為由原點向直線所引的垂線長, α為該垂線與x軸正向所成的

角.

(2)極坐標方程: r(a cos θ + b sin θ) ? c = 0, 其中a = cos α, b = sin α, c = p, p為由原點向直線所引的垂

線長, α為該垂線與x軸正向所成的角.

(3)直線束(或直線系)方程: 已知兩條直線的方程分別為l1 = 0, l2 = 0, 則過這兩條直線的交點或與這

兩條直線都平行的所有直線方程為λl1 + μl2 = 0.

3. 2 三角形的面積公式: 設三角形的三個頂點的坐標按逆時針排列的順序分別為

(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3),

則該三角形的面積為S =

1

2

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

.

3. 3 圓錐曲線的切線和法線

(1)過圓x

2 + y

2 = R2上一點(x0, y0)的切線方程為

x0x + y0y = R

2

;

過圓(x ? a)

2 + (y ? b)

2 = R2上一點(x0, y0)的切線方程為

(x0 ? a)(x ? a) + (y0 ? b)(y ? b) = R

2

.

(2)過拋物線y = ax2 + bx + c上一點(x0, y0)的切線方程、法線方程分別為

y + y0

2

= ax0x +

b(x + x0)

2

+ c; y ? y0 = ?

1

2ax0 + b

(x ? x0).

(3)過橢圓x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1上一點(x0, y0)的切線方程、法線方程分別為

x0x

a

2

+

y0y

b

2

= 1;

a

2x

x0

?

b

2y

y0

= a

2 ? b

2

.

18

(4)過雙曲線上一點(x0, y0)的切線方程、法線方程分別為

x0x

a

2

?

y0y

b

2

= 1;

a

2x

x0

+

b

2y

y0

= a

2 + b

2

.

3. 4 圓的冪和根軸

(1)以O(a, b)為圓心, 半徑為R的圓的方程為(x ? a)

2 + (y ? b)

2 = R2

, 點P(x1, y1)關于圓O的圓冪

為P O2 ? R2 = (x1 ? a)

2 + (y1 ? b)

2 ? R2

.

(2)關于兩個圓的等冪的點的軌跡稱為這兩個圓的根軸(或等冪軸), 根軸是一條垂直于兩個圓的連心

線的直線.

若已知兩個圓的方程為C1 = 0, C2 = 0, 且二次項的系數(shù)為1, 則關于這兩個圓的根軸為C1 ? C2 = 0.

組合部分

1 排列與組合

1. 1 加法原理與乘法原理

加法原理 做一件事, 完成它可以分成n類方法, 在第一類辦法中有m1種不同的方法, 在第二類辦法

中有m2種不同的方法, · · · , 在第n類辦法中有mn種不同的方法, 則完成這件事共有m1 + m2 + · · · + mn種

不同的方法.

乘法原理 做一件事, 完成它需要分成n個步驟, 做第一步有m1種不同的方法, 做第二步有m2種不同

的方法, · · · , 做第n步有mn種不同的方法, 則完成這件事共有m1 × m2 × · · · × mn種不同的方法.

1. 2 排列與組合

1. 2. 1 排列

(1)無重排列 從n個不同元素中有序且不重復地選取k(1 6 k 6 n)個元素, 稱為從n個不同元素中取

出k個元素的一個無重排列, 簡稱為k-排列. 所有這樣的排列個數(shù)記作Ak

n

, Ak

n = n(n ? 1)· · · · ·(n ? k + 1) =

n!

(n ? k)!.

當k = n時, 得到n個不同元素的全排列公式Ak

n = n(n ? 1) · · · · · 2 · 1 = n!.

(2)重復排列 從n個不同元素中有序且可重復地選取k(k > 1)個元素, 稱為從n個不同元素的一個k-可

重排列. 所有這樣的排列數(shù)為n

k

.

(3)不全相異元素的全排列 設n個元素可分為k個組, 同一組的元素彼此相同, 不同組間的元素不相

同. 設k個組的元素個數(shù)依次為n1, n2, · · · , nk(n1 + n2 + · · · + nk = n), 則這n個元素的全排列稱為不全相

異元素的全排列, 其排列數(shù)為 n!

n1!n2! · · · nk!

.

19

(4)圓周排列 從n個不同元素中(無重復地)取出k(1 6 k 6 n)個元素排在一個圓周上, 稱為n個不同

元素的一個k-圓排列. 如果一個k-圓排列旋轉可以得到另一個k-圓排列, 則認為這兩個圓周排列相同. n個

不同元素的k-圓排列數(shù)為

Ak

n

k

=

n!

k · (n ? k)!.

特別地, 當k = n時, n個不同元素組成的圓周排列的總數(shù)為(n ? 1)!.

(5)錯位排列 集合{1, 2, · · · , n}的一個排列{a1, a2, · · · , an}中, 如果ai 6= i, i = 1, 2, · · · , n, 則稱

這種排列為一個錯位排列(也稱更列). 錯位排列的個數(shù)為

Dn = n!

·

1 ?

1

1! +

1

2! ? · · · + (?1)n

1

n!

?

.

1. 2. 2 組合

(1)無重組合 從n個不同元素中無序且不重復地選取k(1 6 k 6 n)個元素, 稱為n個不同元素中取

出k個元素的一個(無重)組合, 簡稱為k-組合. 所有這樣的組合數(shù)記作C

k

n

, 則

C

k

n =

Ak

n

k!

=

n(n ? 1)· · ·(n ? k + 1)

k!

=

n!

k!(n ? k)!.

(2)重復組合 從n個不同元素中無序但可重復地選取k(k > 1)個元素, 稱為n個不同元素的一個k-可

重組合. n個不同元素的一個k-可重組合數(shù)為C

k

n+k?1

.

(3)不定方程x1 + x2 + · · · + xn = m的正整數(shù)解(x1, x2, · · · , xn)的個數(shù)為C

n?1

m?1

.

(4)不定方程x1 + x2 + · · · + xn = m的非負整數(shù)解(x1, x2, · · · , xn)的個數(shù)為C

m

m+n?1

.

1. 3 組合恒等式

(1)C

r

n = C

n?r

n

;

(2)C

r

n + C

r+1

n = C

r+1

n+1;

(3)C

r

n =

n

r

C

r?1

n?1

;

(4)C

r

nC

m

r = C

m

n C

r?m

n?m;

(5)C

0

n + C

1

n + · · · + C

n

n = 2n;

(6)C

0

n ? C

1

n + C

2

n ? C

3

n + · · · + (?1)nC

n

n = 0;

(7)C

0

n + C

1

n+1 + C

2

n+2 + · · · + C

k

n+k = C

k

n+k+1;

(8)范德蒙恒等式C

0

mC

k

n + C

1

mC

k?1

n + C

2

mC

k?2

n + · · · + C

k

mC

0

n = C

k

m+n

.

2 對應與計數(shù)

20

一一對應 設A、B是兩個有限集合, f是A到B的一個映射. 如果f既是單射, 又是滿射, 那么, 稱f為

一一對應(或雙射).

如果兩個集合A和B之間存在一個一一對應f, 那么, 集合A和B的元素個數(shù)相等, 即|A| = |B|.

設A、B是兩個有限集合, f是A到B的一個映射. 如果f是單射, 那么, |A| 6 |B|.

設A、B是兩個有限集合, f是A到B的一個映射. 如果f是滿射, 那么, |A| > |B|.

容斥原理 設S1, S2, · · · , Sn是個集合, 則

|S1

S

S2

S

· · · S

Sn|

=

P

16i6n

|Si

|? P

16i1<i26n

|Si1

T

Si2

|+· · ·+(?1)k?1 P

16i1<···<ik6n

|Si1

T

· · · T

Sik

|+· · ·+(?1)n?1

|S1

T

· · · T

Sn|.

容斥原理的對偶形式: 設S1, S2, · · · , Sn是S的子集, 則

|S1

T

S2

T

· · · T

Sn|

= |S|? P

16i6n

|Si

|+

P

16i1<i26n

|Si1

T

Si2

|?· · ·+(?1)k P

16i1<···<ik6n

|Si1

T

· · · T

Sik

|+· · ·+(?1)n|S1

T

· · · T

Sn|.

夫婦入座問題 n(n > 3)對夫婦圍圓桌就坐, 男女交錯, 且夫婦不相鄰的坐法為

P(?1)r

2n

2n ? r

C

r

2n?r

(n ? r)! = n! ?

2n

2n ? 1

C

1

2n?1

(n ? 1)! + 2n

2n ? 2

C

2

2n?2

(n ? 2)! ? · · · + 2(?1)n

.

裝錯信封問題 n(n > 3)封信, 各配一個信封全部裝錯的個數(shù)為

Dn = n!

·

1 ?

1

1! +

1

2! ? · · · + (?1)n

1

n!

?

.

卡特蘭(Catalan)數(shù)之一 一個售貨亭前排著2n個人等候購物. 假定他們都購買價值五元的同一貨物,

其中n個人持整張的5元錢, n個人持整張的10元錢, 而售貨員開始時沒有零錢可找. 則有

1

n + 1

C

n

2n

種排隊方法, 可使售貨員能依次順利出售貨物, 而不出現(xiàn)找找不出錢的尷尬局面.

卡特蘭數(shù)之二 用在凸n邊形內部互不相交的對角線將凸n邊形分成n ? 2個三角形的剖分種數(shù)為

1

n ? 1

C

n?2

2n?4

.

卡特蘭數(shù)之三 2n個點均勻分布在一圓周上, 能用n條互不相交的弦兩兩配對的方法數(shù)為

1

n + 1

C

n

2n

.

21

福比尼(Fubini)原理 設A = {a1, a2, · · · , am}, B = {b1, b2, · · · , bn}, S ? A × B, 記

S(ai

, ·) = {(ai

, b) ∈ S|b ∈ B, S(·, bj ) = {(a, bj ) ∈ S|a ∈ A}.

則

|S| =

X

a∈A

|S(a, ·)| =

X

b∈B

|S(·, b)|.

3 抽屜原理

抽屜原理1 如果把n + 1件東西任意放入n個抽屜, 那么, 必定有一個抽屜里至少有兩件東西.

抽屜原理2 如果把m件東西任意放入n個抽屜, 那么, 必定有一個抽屜里至少有k件東西, 這里

k =

?

?

?

m

n

, 當m是n的倍數(shù)時;

hm

n

i

+ 1, 當m不是n的倍數(shù)時.

其中, [x]表示不超過x的最大整數(shù).

抽屜原理3 如果把無窮多個東西放入n個抽屜, 那么, 至少有一個抽屜里有無窮多個東西.

Erdos-Szekeres ¨ 定理 任意給定由k個互不相等的實數(shù)實數(shù)a1, a2, · · · , ak所組成的數(shù)列, 其中k >

mn(m、n、k均為正整數(shù)). 如果其中每一個遞減子數(shù)列至多含m項, 那么, 一定存在由多于n項所組成的上

升子數(shù)列.

4 極端原理

最小數(shù)原理1 設M是正整數(shù)集合的一個非空子集, 則M中必有最小數(shù).

最小數(shù)原理2 設M是實數(shù)集的一個有限的非空子集, 則M中必有最小數(shù).

最大數(shù)原理 設M是實數(shù)集的一個有限的非空子集, 則M中必有最大數(shù).

5 母函數(shù)

5. 1 介紹

母函數(shù)也叫生成函數(shù), 它的基本思想很巧妙, 即為了獲得一個數(shù)列{ak}, 就用一個冪級數(shù)

g(x) = X

+∞

k=0

akx

k

來整體地、形式地表示這個數(shù)列(當然有時是有限項). 而g(x)又是可以通過其他途徑求得簡單的有限

項的表達式; 或是通過建立若干母函數(shù)之間的運算(通常是乘積), 賦予其明顯的計數(shù)意義, 然后再計算結

果展開求其系數(shù).

22

母函數(shù)提供了一種“橋梁作用”, 它把一種困難的計算轉化成等價的然而卻簡單不少的計算.

設a0, a1, a2, · · ·是一個數(shù)列, 稱級數(shù)g(x) =

+

P∞

k=0

akx

k為給定數(shù)列的母函數(shù).

5. 2 幾個常用的級數(shù)展開式

(1) 1

1 ? x

=

X

+∞

k=0

x

n

, |x| < 1;

(2) 1

1 + x

=

X

+∞

k=0

(?1)nx

n

, |x| < 1;

(3)(1 + x)

α =

+

P∞

k=0

C

n

αx

n, α ∈ R, 其中C

n

α =

α(α ? 1)· · ·(α ? n + 1)

n!

, 規(guī)定C

0

α = 1.

6 圖論

6. 1 圖的基本概念

由若干個不同的頂點與連接其中某些頂點的線段(稱為邊)所組成的圖形稱為圖. 通常用G表示圖,

且V 表示所有頂點的集合, E表示所有邊的集合, 并且記成G(V, E). 圖G中頂點的個數(shù)|V |稱為圖G的階.

當|V |和|E|都是有限的, 稱為有限圖.

如無特別說明, 一般的圖都是無向的簡單圖(即不含多重邊和點與自身相連的環(huán)的有限圖). 若一個圖

中某兩點之間連了一條邊, 則稱這兩點是相鄰的, 否則就是不相鄰的.

在一個簡單圖中, 每一點v出發(fā)的邊的條數(shù)k稱為該點的度, 記作deg v = k, k分別等于0、1時, 稱v為孤

立點、懸掛點(或端點); 度為偶(奇)數(shù)的點稱為偶(奇)頂點. 如果一個簡單圖的全部n個點中任何兩點間恰

好連有一條邊, 那么, 稱該圖為完全圖, 記為Kn, 此處顯然有|E| =

1

2

n(n ? 1).

如果一圖中每一點的度正好都是r, 那么, 稱圖G是r正則圖(一般如無特別說明, 便稱G為正則圖), 此

時, 可記為deg G = r.

顯然, 若G是完全圖Kn, 則deg G = n ? 1.

歐拉定理 一個圖G中各個頂點的度之和是其邊數(shù)的2倍.

由此可知:

(1)每一個圖中奇頂點的個數(shù)是偶數(shù).

(2)一定各有一頂點的度>(6)

2倍邊數(shù)

頂點數(shù) .

在圖G中, 一個由不同的邊組成的序列: e1, e2, · · · , em, 如果其中邊ei = (vi?1, vi)(i = 1, 2, · · · , m), 則

稱這個序列是從v0到vm的鏈. 數(shù)m稱為這條鏈的長度, v0與vm稱為這條鏈的端點, 這條鏈記為v0v1 · · · vm.

圖G中任何兩個頂點u和v之間的最短長度, 稱為它們的距離, 記為d(u, v). 顯然, 距離滿足非負性、對

稱性和三角不等式.

23

一個圖中所有的距離中的最大值, 稱為此圖的直徑. 完全圖的直徑是1.

如果圖G中任意兩個頂點u和v, 都有一條從u到v的鏈, 稱這個圖是連通圖. 不連通的圖中, 每一個連

通的子圖稱為一個支.

設v0v1 · · · vm是一條鏈, 若v0與vm重合, 則稱這條鏈為一個圈, 同樣可以定義圈的“長度”.

如果圖G中存在一條鏈, 它經過圖上各頂點一次且僅僅一次, 則稱這條鏈為哈密頓鏈; 如果這種鏈是

一個圈, 則叫作哈密頓圈.

定理1 若一個圖中每一點的度都不小于2, 則該圖必定有圈.

定理2 G是一個n(n > 3)階簡單圖. 若對每一對不相鄰的頂點u、v, 都有d(u) + d(v) > n ? 1, 則G有

哈密頓鏈.

定理3(Ore) G是一個n(n > 3)階簡單圖. 若對每一對不相鄰的頂點u、v, 都有d(u)+d(v) > n, 則G必

有哈密頓圈.

定理4(Ore) G是一個有n個頂點、m條邊的簡單圖. 若n > 3, m >

1

2

(n

2 ? 3n + 6), 則圖G必有哈密

頓圈.

定理5(Dirac) G是一個n(n > 3)階簡單圖, 若對每一個頂點u, 都有d(u) >

n

2

, 則圖G一定存在哈密

頓圈.

定理6(Posa) ′ G是一個n(n > 3)階簡單圖. 若對每一個m, 1 6 m <

1

2

(n ? 1), 度不超過m的點的個數(shù)

少于m, 且若對奇數(shù)的n, 度至多等于1

2

(n ? 1)的點的數(shù)目不超過1

2

(n ? 1), 則G有哈密頓圈.

無圈的連通圖稱為樹. 若干棵樹組成一森林.

定理7 樹的頂點數(shù)=邊數(shù)+1, 且至少有兩個懸掛點(度為1的頂點).

樹可稱為最小的連通圖, 因為邊數(shù)減去1, 圖就不連通了; 而邊數(shù)增加1, 就會有圈出現(xiàn). 由此可見, 樹

是研究圖論問題的一個較好的出發(fā)點.

定理8 一個圖是樹, 當且僅當任何兩個頂點之間恰好存在一條道路(鏈).

如果一個圖G中可以找到一條鏈或通道正好通過每條邊一次, 則稱這個圖為歐拉圖, 也就是能夠一筆

畫的圖.

歐拉一筆畫定理 有限圖G可一筆畫的充要條件是: G連通, 并且奇頂點的個數(shù)為0或2, 當且僅當奇

頂點的個數(shù)為0時, G的一筆鏈是一個圈.

此外, 圖的可平面性, 也是一個值得一提的內容.

如果一個圖及其一切與之同構的圖中, 至少有一個能畫在平面上使得它的邊僅在端點處相交, 則稱

這個圖為平面圖. 這個平面圖的邊把圖分成若干塊不連通的區(qū)域.

24

定理9(歐拉定理的平面形式) 如果一個連通平面圖G有v個頂點、e條邊、f個區(qū)域, 則v?e+f = 2(若

整個圖外部那個唯一的無界面也算一塊區(qū)域的話, 否則v ? e + f = 1).

定理10 一個連通的平面簡單圖G有v(v > 3)個頂點、e條邊, 則e 6 3v ? 6.

兩個圖G1、G2稱為同構的, 如果它們的頂點數(shù)相同, 而且存在一個一一映射f : G1 → G2, 使得G1中

的任意兩個頂點A、B, 它們相鄰或不相鄰, 當且僅當f(A)、f(B)相鄰或不相鄰.

如果兩個圖共用一些頂點, 而它們的邊集合不相交, 兩圖之并又是一個完全圖, 則稱這兩個圖中的每

一個是另一個圖的補圖. 如果一個圖與它的補圖同構, 則稱其為自補圖.

6. 2 拉姆賽(Ramsey)定理

拉姆賽定理最普及的說法是:

世界上任意六個人中, 必有三個人, 兩兩認識或兩兩不認識.

用k種顏色c1, c2, · · · , ck去染完全圖Kn的邊, 每條邊只染其中一種顏色, 這樣得到的完全圖Kn稱為k色

完全圖Kn.

定理1 2色完全圖K6中, 至少有2個同色三角形.

定理2 3色完全圖K17中至少有3個同色三角形.

當n充分大時, k色完全圖Kn中必然會出現(xiàn)同色三角形, 使得每一個k色完全圖Kn都含有同色三角形

的最小n記為rk, 稱為拉姆賽數(shù).

定理3 (1)對每個正整數(shù)k(k > 2), 拉姆賽數(shù)rk存在, 并且rk 6 (rk?1 ? 1) + 2;

(2)對一切正整數(shù)k, 都有rk 6 1 + 1 + k + (k ? 1) + · · · +

k!

2! +

k!

1! + k!.

設完全圖Kn的每條邊被染為紅、藍兩色, 對固定的正整數(shù)p、q, 當n充分大時, 2色完全圖Kn中就必然

會出現(xiàn)紅色Kp, 或者藍色Kq. 把滿足上述性質的最小n記為r(p, q), r(p, q)也稱為拉姆賽數(shù).

定理4(Erdos) ¨ 當p > 2, q > 2時, 拉姆賽數(shù)滿足: r(p, q) 6 r(p ? 1, q) + r(p, q ? 1).

定理5(Erdos-Szekeres) ¨ 當p > 2, q > 2時, r(p, q) 6 C

p?1

p+q?2

.

許爾(Schur)定理 對任意給定的正整數(shù)k, 存在數(shù)n0, 使得只要n > n0, 則將{1, 2, · · · , n}任意k染

色后, 必有同色的x、y、z ∈ {1, 2, · · · , n}, 滿足x + y = z. 這里x、y不一定不同.

6. 3 極圖理論

定理1(Turan) ′ n個點的圖中若無三角形, 則其最多含有·

n

2

4

?

條邊.

定理2(Erdos) ¨ 圖G有n(n > 5)個頂點, n + 4條邊, 則圖G中含有兩個無公共邊的圈.

定理3 當n > 6時, n個頂點, 3n ? 5條邊的圖G中含有兩個不相交的圈.

25

定理4 n個點的圖中若無長度為n的圈, 則其最多含有1 +

1

2

(n ? 1)(n ? 2)條邊.

定理5(Mantel) 圖G有n個頂點, m條邊, 則圖G中至少有4m

3n

μ

m ?

n

2

4

?

個三角形.

定理6 設圖G有n(n > 5)個頂點, 則G中的三角形個數(shù)與G的補圖中的三角形個數(shù)的和不小于 1

24

n(n?

1)(n ? 5).

代數(shù)部分

1 集合

1. 1 集合、元素、交集、并集、補集、空集、集合相等

1. 2 差集

集合A和B的差集A\\B是集合A的子集, 差集定義為A\\B = {x|x ∈ A且x /∈ B}. A\\B也可記為A ? B.

如果B ? A, 則A\\B = {AB.

1. 3 積集(也叫直積)

集合A × B叫做集合A和B的直積(也叫積集).

直積定義為A × B = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B}.

1. 4 對稱差集

定義(A ? B)

S

(B ? A)為A、B的對稱差集, 記為A4B, 即A4B = (A ? B)

S

(B ? A) = {x|x ∈ A或x ∈

B, 但x /∈ A

T

B}.

A4B可用韋恩圖表示, 即圖1中的陰影部分.

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx

xxxxxxxxx xxxxxxxxx

A

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

B

圖 1

1. 5 摩爾根法則

設I為全集, A ? I, B ? I. 則{I (A

S

B) = ({IA)

T

({IB), {I (A

T

B) = ({IA)

S

({IB).

1. 6 集合的并、交、差、對稱差的運算關系

26

(1)A

S

(B

T

C) = (A

S

B)

T

(A

S

C);

(2)A

T

(B

S

C) = (A

T

B)

S

(A

T

C);

(3)(A ? B)

T

C = (A

T

C) ? (B

T

C);

(4)(A ? B) ? C = A ? (B

S

C) = (A ? B)

T

(A ? C);

(5)A ? (B

T

C) = (A ? B)

S

(A ? C);

(6)C

T

(A4B) = (C

T

A)4(C

T

B);

(7)A

S

(A4B) = A

S

B.

1. 7 有限集的子集個數(shù)

n元集合有2

n個子集.

1. 8 數(shù)集的最小數(shù)原理

原理1 設M是自然數(shù)集的一個非空子集, 則M中必有最小數(shù).

原理2 設M是實數(shù)集的一個有限非空子集, 則M中必有最小數(shù), 也必有最大數(shù).

1. 9 有限集合A的元素的個數(shù)叫做該集合的階, 記為CardA(或|A|, 或n(A)).

1. 10 容斥原理

設集合A = A1

S

A2

S

· · · S

Am. 則有

|A| =

P

16i6m

|Ai

|? P

16i<j6m

|Ai

T

Aj |+

P

16i<j<k6m

|Ai

T

Aj

T

Ak|?· · ·+ (?1)m?1

|A1

T

A2

T

· · · T

Am|.

當A1, A2, · · · , Am兩兩不相交時, 則是加法公式|A1

S

A2

S

· · · S

Am| = |A1| + |A2| + · · · + |Am|.

1. 11 子集類

1. 11. 1 C類

設Q是一個n階集合, 記作Q = {a1, a2, · · · , an}.

由Q的所有子集構成的子集類叫做C類, 即C類包括了Q的所有子集: A1, A2, · · · , A2n . 記作A =

{A1, A2, · · · , A2n }.

可以將Q和C類A 中的元素排成一類, 使得每兩個相鄰者的元素都僅差1個.

1. 11. 2 R類

設Q是一個n階集合, A = {A1, A2, · · · , Ak}是它的一個子集類. 如果對某個2 6 r 6 k ? 1, 有

(1)Ai1

T

Ai2

T

· · · T

Air

6= ?, 其中1 6 i1 < i2 < · · · < ir 6 k;

(2)Ai1

T

Ai2

T

· · · T

Air

T

Air+1 = ?, 其中1 6 i1 < i2 < · · · < ir+1 6 k.

27

則稱A 是Q的一個指數(shù)為r的R類.

R類的每個子集的階數(shù)不小于C

r?1

k?1

.

1. 11. 3 K類

設Q是一個n階集合, A = {A1, A2, · · · , Ak}是它的一個子集類. 如果A 中的任何兩個不同子集Ai、Aj都

有Ai 6? Aj , 且Aj 6? Ai

, 則稱A 是一個K類.

n階集合Q的K類中, 階數(shù)最高者為C

[

n

2 ]

n 階.

2 函數(shù)

2. 1 函數(shù)的值域(或最值)的求法

求函數(shù)的值域可利用函數(shù)的單調性或配方法、判別式法、反求法、換元法、不等式法、圖像法、導數(shù)

法等.

2. 2 函數(shù)的性質

2. 2. 1 有界性

設D為函數(shù)f(x)定義域的子集. 若存在常數(shù)M, 使對所有的x ∈ D, 有f(x) 6 M(或f(x) > M), 則

稱f(x)在D上有上(或下)界, 并稱M為其一個上(或下)界.

若f(x)在D上既有上界又有下界, 則稱f(x)為D上的有界函數(shù).

對有界函數(shù), 必存在正數(shù)M, 使對所有的x ∈ D, 恒有|f(x)| 6 M.

在f(x)的所有上界中, 若存在一個最小的, 則這個最小上界為f(x)在D上的上確界, 記作sup ?

f(x)

￠

.

在f(x)的所有下界中, 若存在一個最大的, 則這個最大下界為f(x)在D上的下確界, 記作inf ?

f(x)

￠

.

如函數(shù)y = ax2 + bx + c, 當a > 0時, 有下界, 且下確界為4ac ? b

2

4a

; 當a < 0時, 有上界, 且上確界

為

4ac ? b

2

4a

.

又如y = sin x與y = cos x為有界函數(shù), 其上、下界為±1.

2. 2. 2 單調性

設D為函數(shù)f(x)定義域的一個子區(qū)間, 對任意x1、x2 ∈ D, 且x1 < x2.

若f(x1) < f(x2), 則稱f(x)是D上的(嚴格)增函數(shù);

若f(x1) > f(x2), 則稱f(x)是D上的(嚴格)減函數(shù).

關于函數(shù)的單調性有如下規(guī)律:

(1)若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間D上單調遞增(減), 且D上的值域為E, 則y = f(x)在D上必有反函數(shù)y =

f

?1

(x), 且反函數(shù)在E上也單調遞增(減).

28

(2)設f(x)、g(x)在集合D上有相同的單調性, 則

(i)f(x) + g(x)是單調函數(shù), 且與f(x)、g(x)的單調性相同;

(ii)若f(x)和g(x)在D上恒為正(或恒為負), 則f(x)g(x)是單調函數(shù), 且與f(x)、g(x)的單調性相同(或相

反).

(3)復合函數(shù)的單調性. 若函數(shù)u = g(x)在Dg上有定義, 且為單調函數(shù), y = f(u)在Df上有定義且為

單調函數(shù), g(x)的值域為G, 且G

T

Df 6= ?, 則當u = g(x)與y = f(u)的增減性相同(或相反)時, 復合函

數(shù)y = f

?

g(x)

￠

在定義域上是增(減)函數(shù).

一般地, 若討論的復合函數(shù)是有限層的, 且每層均有意義, 并且是單調的, 則其中減函數(shù)的層數(shù)為偶

數(shù)時, 復合函數(shù)是增函數(shù), 減函數(shù)的層數(shù)為奇數(shù)時, 復合函數(shù)是減函數(shù).

(4)判斷單調性的方法有定義法、圖像法, 對可導函數(shù)可用求導數(shù)法.

(5)在數(shù)學競賽中, 函數(shù)的單調性通常用來討論函數(shù)值的大小, 解方程、不等式或極值問題, 也用來解

決參數(shù)范圍問題.

2. 2. 3 對稱性

(1)函數(shù)的奇偶性: 設函數(shù)f(x)的定義域D是關于原點對稱的集合. 若對所有的x ∈ D, 有f(?x) = f(x),

則稱f(x)為偶函數(shù); f(?x) = ?f(x), 則稱f(x)為奇函數(shù).

偶函數(shù)的圖像關于y軸(x = 0)對稱; 奇函數(shù)的圖像關于原點((0, 0)對稱).

(2)廣義偶(奇)函數(shù): 對于定義在實數(shù)集R上的函數(shù), 若存在常數(shù)a, 使得f(a+x) = f(a?x), 則稱f(x)為

廣義偶函數(shù); f(a + x) = ?f(a ? x), 則稱f(x)為廣義奇函數(shù).

廣義偶函數(shù)的圖像關于直線x = a成軸對稱; 廣義奇函數(shù)的圖像關于點(a, 0)成中心對稱.

(3)關于對稱性有下列性質:

(i)任一定義在R上的函數(shù)f(x), 總能表示為一個奇函數(shù)g(x)與一個偶函數(shù)h(x)的和, 即f(x) = g(x) +

h(x), 其中, g(x) = f(x) ? f(?x)

2

, h(x) = f(x) + f(?x)

2

.

(ii)f(a + x) = f(a ? x)也可表示為f(x) = f(2a ? x)或f(?x) = f(2a + x);

f(a + x) = ?f(a ? x)也可表示為f(x) = ?f(2a ? x)或f(?x) = ?f(2a + x).

(iii)若將函數(shù)f(x)(x ∈ R)的圖像關于直線x = a對稱得到F(x)的圖像, 則F(x)的表達式為F(x) =

f(2a ? x).

若將函數(shù)f(x)(x ∈ R)的圖像關于點(a, 0)對稱得到F(x)的圖像, 則F(x)的表達式為F(x) = ?f(2a ?

x).

2. 2. 4 周期性

29

設函數(shù)f(x)的定義域為D, 若存在非零常數(shù)t, 使f(x)滿足:

(1)對于所有的x ∈ D, 有x + t ∈ D;

(2)f(x + t) = f(x).

則稱f(x)為周期函數(shù), 常數(shù)t為它的一個周期.

關于函數(shù)周期性有下列性質:

(1)定義域D至少有一端無界.

(2)若t是f(x)的周期, 則nt(n ∈ Z)也是f(x)的周期.

(3)f(x)可以沒有正周期, 也可以沒有負周期, 有正周期的函數(shù)可以沒有最小正周期.

(4)設λ 6= 0. 對函數(shù)f(x)定義域D中的任一x, 滿足下列條件之一:

(i)f(x + λ) = ?f(x);

(ii)f(x + λ) = 1

f(x)

;

(iii)f(x + λ) = ?

1

f(x)

;

(iv)f(x + λ) = f(x) + 1

f(x) ? 1

;

(v)f(x + λ) = 1 ? f(x)

1 + f(x)

;

(vi)f(x + λ) = f(x ? λ);

(vii)f(x)為奇函數(shù), 且f(λ + x) = ?f(λ ? x);

(viii)f(x)為偶函數(shù), 且f(λ + x) = f(λ ? x).

則f(x)是以2λ為一個周期的周期函數(shù).

(5)設λ 6= 0, 對函數(shù)f(x)定義域D中的任一x, 滿足下列條件之一:

(i)f(x + λ) = ?f(x ? λ);

(ii)f(x)為奇函數(shù), 且f(λ + x) = f(λ ? x);

(iii)f(x)為偶函數(shù), 且f(λ + x) = ?f(λ ? x);

(iv)f(x + λ) = 1 + f(x)

1 ? f(x)

;

(v)f(x + λ) = f(x) ? 1

f(x) + 1.

則f(x)是以4λ為一個周期的周期函數(shù).

2. 2. 5 周期性與對稱性的關系

30

f(x)在R上定義.

(1)若f(a + x) = f(a ? x)且f(b + x) = f(b ? x), 即f(x)有兩條對稱軸x = a, x = b, 則f(x)為周期函數(shù),

其中一個周期為2|b ? a|.

(2)若f(a + x) = ?f(a ? x)且f(b + x) = ?f(b ? x), 即f(x)有兩個對稱中心(a, 0)和(b, 0), 則f(x)為周

期函數(shù), 其中一個周期為2|b ? a|.

(3)若f(a + x) = f(a ? x)且f(b + x) = ?f(b ? x), 即f(x)有一條對稱軸和一個對稱中心, 則f(x)為周

期函數(shù), 其中一個周期為4|b ? a|.

2. 2. 6 凹凸性

設函數(shù)f(x)的定義域為D.

若對任意的x1、x2 ∈ D, 且α ∈ [0, 1], 有f

?

αx1 + (1 ? α)x2

￠

6 αf(x1) + (1 ? α)f(x2), 則稱f(x)在D上

是下凸的;

若對任意的x1、x2 ∈ D, 且α ∈ [0, 1], 有f

?

αx1 + (1 ? α)x2

￠

> αf(x1) + (1 ? α)f(x2), 則稱f(x)在D上

是上凸的.

當α =

1

2

時, 上面的式子可表示為f

μ

x1 + x2

2

?

6

f(x1) + f(x2)

2

和f

μ

x1 + x2

2

?

>

f(x1) + f(x2)

2

.

2. 3 函數(shù)的迭代和不動點

2. 3. 1 函數(shù)的迭代

設f(x)是定義在D上且取值于D上的函數(shù), 記f

(0)(x) = x, f

(1)(x) = f(x), f

(2)(x) = f

?

f(x)

￠

, · · · ,

f

(n)

(x) = f

?

f

(n?1)(x)

￠

, 則稱f

(n)

(x)為f(x)在D上的n次迭代, n為迭代指數(shù).

若f(x)有反函數(shù)f

?1

(x), 則f

(n)

(x)的反函數(shù)為f

?1

(x)的n次迭代, 記作f

(?n)

(x).

2. 3. 2 迭代周期

若存在自然數(shù)n(n > 2), 使f

(n+1)(x) = f(x), 則稱f(x)為迭代周期函數(shù), 其迭代周期為n.

迭代函數(shù)的迭代周期的集合是N+的一個無窮子集, 其中, 必有最小正整數(shù)n0, 使f

?

f

(n0)

(x)

￠

= f(x),

則稱n0為f(x)的基本迭代周期.

若n0為f(x)的基本迭代周期, 則n是f(x)的迭代周期的充要條件是n0|n.

2. 3. 3 函數(shù)迭代的簡單舉例

(1)f(x) = x + c, 則f

(n)

(x) = x + nc, f

(?n)

(x) = x ? nc.

(2)f(x) = ax, 則f

(n)

(x) = a

nx, f

(?n)

(x) = 1

a

n

x.

(3)f(x) = ax2

, 則f

(n)

(x) = a

2

n?1

x

2

n

, f

(?n)

(x) = a

?2

n?1

x

2

?n

.

31

(4)f(x) = ax + b, 則f

(n)

(x) = a

n

μ

x ?

b

1 ? a

?

+

b

1 ? a

, f

(?n)

(x) = 1

a

n

μ

x ?

b

1 ? a

?

+

b

1 ? a

.

(5)f(x) = x

3

, 則f

(n)

(x) = x

3

n

, f

(?n)

(x) = x

3

?n

.

2. 3. 4 函數(shù)f(x)的不動點

f(x) = x的根稱為f(x)的不動點.

(1)若x0是f(x)不動點, 那么, f

(n)

(x0) = x0, 即x0也是f

(n)

(x)的不動點.

(2)若f

(n)

(x0) = x0, 則稱x0為f(x)的n-不動點.

若存在最小的n ∈ N+, 使f

(n)

(x0) = x0, 則稱x0為f(x)的n-周期點.

(3)若k|n, 且x0是f(x)的k-不動點, 則x0是f(x)的n-不動點.

(4)若x0既是f(x)的k-不動點, 又是f(x)的n-不動點, 則x0是f(x)的(k, n)-不動點, 這里(k, n)是k與n的

最大公約數(shù).

2. 4 函數(shù)方程

含有未知函數(shù)的等式叫做函數(shù)方程. 尋求函數(shù)方程的解或證明函數(shù)方程無解的過程叫做解函數(shù)方程.

解函數(shù)方程常用方法有代換法、賦值法、待定系數(shù)法、遞歸法、柯西法和數(shù)學歸納法.

3 多項式

3. 1 關于多項式的基本概念

(1)形如f(x) = Pn

i=0

aix

i = anx

n + an?1x

n?1 + · · · + a1x + a0(an 6= 0)的表達式稱為關于x的一元n次多

項式. 其中, 非負整數(shù)n稱為f(x)的次數(shù), 記作deg f.

當系數(shù)ai(i = 0, 1, · · · , n)分別取整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)時, 多項式f(x)依次稱為整系數(shù)、有理系

數(shù)、實系數(shù)、復系數(shù)多項式.

(2)對于兩個多項式f(x) = Pn

i=0

aix

i

, h(x) = P

k

i=0

bix

i

, 有deg(f ± h) 6 max{deg f, deg h}, deg(fh) 6

deg f + deg h.

(3)對于n元多項式f(x1, x2, · · · , xn), 如果對于任意的i、j(1 6 i < j 6 n), 都有

f(x1, · · · , xi

, · · · , xj , · · · , xn) = f(x1, · · · , xj , · · · , xi

, · · · , xn),

則稱這個多項式為對稱多項式.

(4)σ1 =

Pn

j=1

xj , σ2 =

P

16j1<j26n

xj1 xj2

, · · · , σi =

P

16j1<j2<···<ji6n

xj1 xj2

· · · xji

, · · · , σn = x1x2 · · · xn叫

做n元初等對稱多項式.

3. 2 關于多項式的常用定理

32

3. 2. 1 多項式恒等定理

定理1 兩個多項式f(x) = Pn

k=0

akx

k

, h(x) = Pm

k=0

bkx

k恒等的充要條件是n = m且ak = bk(k = 0, 1, · · · , n).

3. 2. 2 帶余除法定理

定理2 對于給定的多項式f(x)、g(x), 其中, g(x) 6= 0, 存在唯一的多項式q(x)及r(x), 使得f(x) =

g(x)q(x) + r(x), 其中, r(x)是零多項式或deg r(x) < deg g(x).

若r(x) = 0, 則稱g(x)整除f(x), 記作g(x)|f(x), g(x)叫做f(x)的因式. 否則, 記作g(x) - f(x).

3. 2. 3 余數(shù)定理

定理3 多項式f(x)除以x ? a的余數(shù)為f(a).

3. 2. 4 因式定理

定理4 f(a) = 0的充要條件是x ? a是f(x)的因式.

3. 2. 5 有理根定理

定理5 若既約分數(shù)q

p

((p, q) = 1, p、q ∈ Z, p 6= 0)是整系數(shù)多項式的一個有理根, 則p|an, q|a0.

3. 2. 6 不可約多項式判別法(Eisenstein判別法)

設f(x)是一個整系數(shù)多項式, 如果一個質數(shù)p滿足p - an, P|ak(k = 0, 1, · · · , n ? 1), p

2

- a0, 那么,

f(x)在有理數(shù)集上不可約.

3. 2. 7 代數(shù)基本定理

定理6 任何n(n > 1)次多項式至少有一個復數(shù)根.

推論 任何n(n > 1)次多項式有且僅有n個復根(k重根按k個根計算).

3. 2. 8 唯一分解定理

定理7 如果不考慮因式的順序, 則每一個非常的復系數(shù)多項式f(x)可唯一分解為f(x) = A(x?α1)

m1 (x?

α2)

m2

· · ·(x ? αt)

mt的形式, 其中, α1, α2, · · · , αt為多項式f(x)的所有不同的復根, m1, m2, · · · , mt是它

們的重數(shù).

3. 2. 9 韋達定理

定理8 設方程a0x

n + a1x

n?1 + · · · + an?1x + an = 0(a0 6= 0)的n個復根為x1, x2, · · · , xn, 則有σj =

(?1)j

aj

a0

(j = 1, 2, · · · , n). 其中, σj為初等對稱多項式, 定義見3. 2. 3.

3. 2. 10 牛頓公式

設σj (j = 1, 2, · · · , n)為初等對稱多項式, 規(guī)定σ0 = 1, 記等冪和Sk =

Pn

i=1

x

k

i

(k = 0, 1, · · ·), 則

33

(1)當k > n時,

Pn

i=0

(?1)iσiSk?i = 0;

(2)當1 6 k 6 n時,

P

k

i=0

(?1)iσiSk?i = 0.

3. 2. 11 拉格朗日插值公式

在復數(shù)集上的任何一個次數(shù)不超過n的多項式都可唯一的表示為

f(x) = (x ? x1)(x ? x2)· · ·(x ? xn)

(x0 ? x1)(x0 ? x2)· · ·(x0 ? xn)

f(x0) + (x ? x0)(x ? x2)· · ·(x ? xn)

(x1 ? x0)(x1 ? x2)· · ·(x1 ? xn)

f(x1) +

· · · +

(x ? x0)(x ? x1)· · ·(x ? xn?1)

(xn ? x0)(xn ? x1)· · ·(xn ? xn?1)

f(xn), 其中, x1, x2, · · · , xn兩兩不同.

拉格朗日插值公式可簡化為f(x) = Pn

i=0

?

?f(xi) ·

Q

06j6n

j6=i

x ? xj

xi ? xj

?

?.

數(shù)列

4. 1 一般數(shù)列

設Sn = a1 + a2 + · · · + an. 則an =

?

?

?

S1, n = 1;

Sn ? Sn?1, n > 2.

4. 2 等差數(shù)列

設公差為d, 則an = a1 + (n ? 1)d, Sn = na1 +

n(n ? 1)

2

d或Sn =

(a1 + an)n

2

.

4. 3 高階等差數(shù)列

4. 3. 1 定義

給定一個數(shù)列{an}, 將其連續(xù)兩項的差求出, 得到一個新數(shù)列{bn}, 其中, bn = an+1?an(n = 1, 2, · · ·),

這個數(shù)列稱為原數(shù)列{an}的一階差數(shù)列. 再求出{bn}的連續(xù)兩項的差, 得到新數(shù)列{cn}, 其中, cn = bn+1 ?

bn(n = 1, 2, · · ·), 這個數(shù)列稱為原數(shù)列{an}的二階差數(shù)列. 依此類推.

如果某一個數(shù)列的p階差數(shù)列是一非零常數(shù)列, 則稱此數(shù)列為p階等差數(shù)列.

特別地, 一階等差數(shù)列就是通常定義的等差數(shù)列. 又如, 自然數(shù)的平方數(shù)數(shù)列是二階等差數(shù)列.

4. 3. 2 高階等差數(shù)列的性質

性質1 如果數(shù)列{an}是p階等差數(shù)列, 則它的一階差數(shù)列是p ? 1階等差數(shù)列.

性質2 設S

(k)

n =

Pn

p=1

p

k

(k = 1, 2, · · · , n). 則S

(k)

n 是關于n的k + 1次多項式.

性質3 數(shù)列{an}是p階等差數(shù)列的充要條件是: 通項an是關于n的p次多項式.

性質4 數(shù)列{an}是p階等差數(shù)列, 則Sn是關于n的p + 1次多項式.

4. 4 等比數(shù)列

34

設公比q 6= 0, a1 6= 0, 則an = a1q

n?1

, Sn =

?

??

??

a1(1 ? q

n)

1 ? q

, q 6= 1;

na1, q = 1.

4. 5 數(shù)列求和

(1)裂項求和法

an = a1 + (a2 ? a1) + (a3 ? a2) + · · · + (an ? an?1), 即an = a1 +

nP?1

k=1

(ak+1 ? ak)(n > 2).

(2)裂項求積法

an = a1 ·

a2

a1

·

a3

a2

· · · · ·

an

an?1

, 即an = a1

nQ?1

k=1

ak+1

ak

(ak 6= 0, n > 2).

4. 6 遞歸數(shù)列及已知遞推關系求通項

4. 6. 1 遞歸數(shù)列

(1)一個數(shù)列{an}的第n項an與它的前面k項an?1, an?2, · · · , an?k, (k < n, k、n ∈ N+)的關系

an = f(an?1, an?2, · · · , an?k),

稱為k階遞歸關系. 這里an是關于an?1, an?2, · · · , an?k的k元函數(shù), 稱為遞歸函數(shù).

(2)由k階遞歸關系及給定的前k項a1, a2, · · · , ak的值(稱為初始值)所確定的數(shù)列稱為k階遞歸數(shù)列.

(3)對于滿足an = p1an?1 + p2an?2 + · · · + pkan?k(k < n), 稱為k階常系數(shù)齊次線性遞歸數(shù)列.

其對應的一元k次方程x

k = p1x

k?1 + p2x

k?2 + · · · + pk?1x + pk(pk 6= 0), 稱為數(shù)列{an}的特征方程,

其根稱為特征根.

4. 6. 2 遞歸數(shù)列求通項的方法

(1)形如an+1 = an + f(n)的一階遞歸式.

an = a1 +

Pn

k=2

(ak ? ak?1) = a1 +

Pn

k=2

f(k ? 1) = a1 +

nP?1

k=1

f(k).

(2)形如an+1 = pan+q的遞歸式. 構造輔助數(shù)列{an?

q

1 ? p

}, 則{an?

q

1 ? p

}為以a1?

q

1 ? p

為首項、p為

公比的等比數(shù)列. an =

q

1 ? p

+

μ

a1 ?

q

1 ? p

?

p

n?1

.

(3)形如an+1 = qap

n的遞歸式.

對遞歸式兩邊取對數(shù), 有l(wèi)g an+1 = lg q + p lg an. 記bn = lg an, 則有bn+1 = pbn + lg q, 轉化為(2)的情

形.

(4)形如an+1 = pan + qan?1的遞歸式. 其特征方程為x

2 = px + q. 設其特征根為α、β, 則

(i)當α 6= β時, an = λ1α

n?1 + λ2β

n?1

, 其中, λ1、λ2用待定系數(shù)法由初始值a1、a2決定.

35

(ii)當α = β時, an = (λ1n + λ2)α

n?1

, 其中, λ1、λ2用待定系數(shù)法由初始值a1、a2決定.

(5)形如an+1 =

ban

can + d

的遞歸式. 取倒數(shù)得 1

an+1

=

can + d

ban

=

d

b

an

+

c

b

. 設tn =

1

an

, 則有tn+1 =

d

b

tn +

c

b

轉化為(2)的情形.

(6)其他非線性遞歸關系求通項可通過韋達定理、換元法、數(shù)學歸納法等求得.

4. 7 周期數(shù)列

如果數(shù)列{an}滿足: 存在正整數(shù)M和T, 使得對于一切正整數(shù)n(n > M), 都有an+T = an成立, 就稱數(shù)

列{an}為從第M項起的、周期為T的周期數(shù)列.

若an+T ≡ an(modm), 則稱數(shù)列{an}為以m為模的模周期數(shù)列.

5 不等式

5. 1 平均不等式

(1)調和平均、幾何平均、算術平均和平方平均的關系. 記

Hn =

n

1

a1

+

1

a2

+ · · · +

1

an

, Gn =

√n a1a2 · · · an, An =

a1 + a2 + · · · + an

n

, Qn =

r

a

2

1 + a

2

2 + · · · + a

2

n

n

.

其中ai > 0(i = 1, 2, · · · , n), Hn、Gn、An、Qn依次為a1, a2, · · · , an的調和平均、幾何平均、算術

平均、平方平均. 則Hn 6 Gn 6 An 6 Qn, 當且僅當a1 = a2 = · · · = an時, 等號成立.

(2)記Mr =

μ

a

r

1 + a

r

2 + · · · + a

r

n

n

?1

r

, 其中, ai > 0(i = 1, 2, · · · , n, r 6= 0), 則稱Mr為a1, a2, · · · , an的r次

冪平均.

當α > β時, 有Mα > Mβ, 即

μ

a

α

1 + a

α

2 + · · · + a

α

n

n

? 1

α

>

?

a

β

1 + a

β

2 + · · · + a

β

n

n

! 1

β

, 當且僅當a1 = a2 =

· · · = an時, 等號成立.

5. 2 柯西不等式

設ai、bi ∈ R(i = 1, 2, · · · , n). 則

μPn

i=1

aibi

?2

6

μPn

i=1

a

2

i

? μPn

i=1

b

2

i

?

, 當且僅當ai、bi不全為0, 且bi =

λai(i = 1, 2, · · · , n)時, 等號成立.

5. 3 排序不等式

設有兩組數(shù)a1, a2, · · · , an; b1, b2, · · · , bn, 滿足a1 6 a2 6 · · · 6 an, b1 6 b2 6 · · · 6 bn.

則有a1bn + a2bn?1 + · · · + anb1 6 a1bj1 + a2bj2 + · · · + anbjn 6 a1b1 + a2b2 · · · + anbn.

簡言為“反序和6亂序和6同序和”.

5. 4 琴生(Jensen)不等式

36

設pi ∈ R+(i = 1, 2, · · · , n), f(x)是區(qū)間D上的嚴格下凸函數(shù). 則對于任意的x1, x2, · · · , xn ∈ D, 有

f

μ

p1x1 + p2x2 + · · · + pnxn

p1 + p2 + · · · + pn

?

6

p1f(x1) + p2f(x2) + · · · + pnf(xn)

p1 + p2 + · · · + pn

. ①

若f(x)是D上嚴格上凸函數(shù), 則有

f

μ

p1x1 + p2x2 + · · · + pnxn

p1 + p2 + · · · + pn

?

>

p1f(x1) + p2f(x2) + · · · + pnf(xn)

p1 + p2 + · · · + pn

. ②

特別地, 當pi =

1

n

(i = 1, 2, · · · , n)時, 式①、②化為

f

μ

x1 + x2 + · · · + xn

n

?

6

f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn)

n

或f

μ

x1 + x2 + · · · + xn

n

?

>

f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn)

n

.

6 三角

6. 1 三角函數(shù)的定義, 定義域, 值域, 單調性, 奇偶性, 周期性, 凹凸性與對稱性（略）.

6. 2 和、差、倍、半角公式, 和差化積, 積化和差公式, 萬能置換公式(略).

6. 3 常用的三角形中的恒等式和不等式:

(1)正弦定理、余弦定理(略).

(2)常見的恒等式

(i)tan A + tan B + tan C = tan A · tan B · tan C(非直角三角形).

(ii)sin A + sin B + sin C = 4 cos A

2

· cos

B

2

· cos

C

2

.

(iii)cos A + cos B + cos C = 4 sin A

2

· sin

B

2

· sin

C

2

+ 1.

(iv)sin A

2

+ sin

B

2

+ sin

C

2

= 1 + 4 sin π ? A

4

· sin

π ? B

4

· sin

π ? C

4

μ

或 = 1 + 4 sin B + C

4

· sin

C + A

4

· sin

A + B

4

?

.

(v)cos A

2

+ cos

B

2

+ cos

C

2

= 4 cos A + B

4

· cos

B + C

4

· cos

C + A

4

.

(vi)sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2(1 + cos A · cos B · cos C).

(vii)cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 ? 2 cos A · cos B · cos C.

(3)常見的不等式

(i)sin A + sin B + sin C 6

3

√

3

2

.

(ii)sin A · sin B · sin C 6

3

√

3

8

.

(iii)cos 2A + cos 2B + cos 2C > ?

3

2

.

37

(iv)cos2 A + cos2 B + cos2 C >

3

4

.

(v)cos A

2

· cos

B

2

· cos

C

2

6

3

√

3

8

.

(vi)cos A · cos B · cos C 6

1

8

.

7 復數(shù)

7. 1 復數(shù)的三種表示法

(1)代數(shù)形式: z = a + bi(a、b ∈ R).

(2)三角形式: z = r(cos θ + i sin θ)(r > 0, θ ∈ R).

(3)指數(shù)形式: z = reiθ

(r > 0, θ ∈ R).

其中, a叫做復數(shù)z的實部, 記作a = Re(z), b叫做復數(shù)z的虛部, 記作b = Im(z), r叫做復數(shù)z的模, 記

作r = |z| =

√

a

2 + b

2, θ叫做復數(shù)z的輻角, 記作θ = Argz, 當θ ∈ [0, 2π)時, 叫做復數(shù)z的輻角的主值, 記

作θ = arg z. 因此, Argz = 2kπ + arg z(k ∈ Z).

7. 2 關于模與共軛復數(shù)

z = a ? bi叫做z的共軛復數(shù).

(1)z1 ± z2 = z1 ± z2.

(2)z1z2 = z1 · z2.

(3)μ

z1

z2

?

=

z1

z2

(z2 6= 0).

(4)z = z ? z ∈ R.

(5)Re(z) = 1

2

(z + z), Im(z) = 1

2i

(z ? z).

(6)z · z = |z|

2 = |z|

2

.

(7)|z1z2| = |z1| · |z2|.

(8)|z1 + z2|

2 + |z1 ? z2|

2 = 2|z1|

2 + 2|z2|

2

.

(9)

ˉ

ˉ

|z1| ? |z2|

ˉ

ˉ 6 |z1 ± z2| 6 |z1| + |z2|.

(10)|z| > max{Re(z), Im(z)}.

(11)|z| 6 |Re(z)| + |Im(z)| 6

√

2|z|.

7. 3 棣莫弗公式

z

n = [r(cos θ + i sin θ)]n = r

n(cos nθ + i sin nθ)(n ∈ Z).

38

特別地, 當|z| = 1時, cos nθ = Re(z

n) = 1

2

(z

n + z

n

), sin nθ = Im(z

n) = 1

2i

(z

n ? z

n

), 1 + z = 2 cos

θ

2

e

i

θ

2 ,

1 ? z = ?2i sin

θ

2

e

i

θ

2 .

7. 4 單位根

方程x

n ? 1 = 0的n個根: 1, ε, ε

2

, · · · , ε

n?1叫做n次單位根. 其中, ε = ei

2π

n 叫做n次單位原根.

關于n次單位根有下列常用結果:

(1)ε

nq+r = ε

r

(n、q、r ∈ Z).

(2)1 + x + x

2 + · · · + x

n?1 = (x ? ε)(x ? ε

2

)· · ·(x ? ε

n?1

).

(3)

nP?1

k=0

ε

km =

?

?

?

n, n|m;

0, n - m.

實系數(shù)一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 6= 0)的兩個根滿足? = b

2 ? 4ac > 0, x1, 2 =

?b ±

√

?

2a

;

? = b

2 ? 4ac < 0, x1, 2 =

?b ±

√

??i

2a

.

7. 5 復數(shù)的幾何意義

設復數(shù)z對應于復平面上的點M及向量OM, 復數(shù)z1、z2對應于復平面上的點A、B. 則

(1)|z1 ? z2|表示A、B的距離.

(2)|z ? z1| = |z ? z2|表示點M的軌跡是AB的垂直平分線.

(3)|z ? z1| = r表示點M的軌跡是以為A圓心、r為半徑的圓.

(4)|z ? z1| + |z ? z2| = 2a(2a > |z1 ? z2|)表示點M的軌跡是以A和B為焦點、2a為長軸長的橢圓.

(5)

ˉ

ˉ

|z ? z1| ? |z ? z2|

ˉ

ˉ = 2a(2a < |z1 ? z2|)表示點M的軌跡是以A和B為焦點、2a為實軸長的雙曲線.

(6)|z1 ? z|

|z ? z2|

= λ表示點M是AB關于λ的定比分點.

(7)設z1、z2、z3對應于復平面上的點A、B、C. 則z =

z1 + z2 + z3

3

對應4ABC的重心.

(8)夾角∠AMB = arg

z2 ? z

z1 ? z

.

(9)平行與垂直

設z1、z2、z3、z4對應于復平面上的四點A、B、C、D. 則

z2 ? z1

z4 ? z3

= k ? AB∥CD,

z2 ? z1

z4 ? z3

= ki ? AB⊥CD,

z2 ? z1

z2 ? z3

∈ R ? A、B、C三點共線.