1 / 3

（2023-2024 海淀九上期中）★★★☆

26．已知二次函數(shù) y＝

1

2

x

2＋bx＋1．

（1）若 b＝－1，求該二次函數(shù)圖象的對稱軸及最小值；

（2）若對于任意的 0≤x≤2，都有 y≥－1，求 b 的取值范圍．

2 / 3

吳老師圖解

（1）x＝1，

1

2

．

思路&圖解

1）由題知拋物線的解析式為 y＝

1

2

x

2－x＋1，

2）易求得對稱軸為 x＝－

2

b

a

＝－

1

1

2

2

?

?

＝1，

3）將 x＝1 代入解析式得 y＝

1

2

×1－1＋1＝

1

2

，即函數(shù)的最小值為

1

2

．

∴綜上所述：對稱軸為 x＝1，最小值為

1

2

．

（2）b≥－2．

思路一：頂點軌跡

分析

【1】“定調(diào)”

拋物線開口向上，大小固定！無需對開口方向進行分類討論！

【2】“五大步”

對稱軸 x＝－b

頂點（有軌跡） （－b，－

1

2

b

2＋1）→y＝－

1

2

x

2＋1

y

軸交點以及對稱點 （0，1），（－2b，1）

x

軸交點 ——

“支撐點” （0，1）

【3】綜合分析

如圖，二次函數(shù)圖像的頂點在軌跡 y＝－

1

2

x

2＋1（一個新拋物線）上運動，且開口向上

大小固定，過定點（0，1），故只需保證原二次函數(shù)圖像在 0≤x≤2 之間的部分，一直在直

線 y＝－1 的上方即可（備注：可以在 y＝－1 上）！

x

y

×

y = 1

O

3 / 3

思路&圖解

如圖，

1）易求得拋物線的頂點為（－b，－

1

2

b

2＋1），故頂點在 y＝－

1

2

x

2＋1 上，

2）點 M（2，1）恰好在 y＝－

1

2

x

2＋1 上（提示：任意 0≤x≤2，都有 y≥－1），

3）由題知拋物線的頂點應在點 M 上或點 M 的左側(cè)，即－b≤2，

∴b≥－2．

備注：要是頂點的軌跡不過點（2，－1）呢？本題還是比較特殊的！

思路二：區(qū)間最值

思路&圖解

1）由題知，當 0≤x≤2 時，ymin≥－1，

2）如圖，

①若 2≤－b（b≤－2），則當 x＝2 時，ymin＝2b＋3，

由題知 2b＋3≥－1，解得 b≥－2，

∴b＝－2，

②若－b≤0（b≥0），則當 x＝0 時，ymin＝1，顯然，1＞－1，

∴b≥0 恒成立，

③若 0＜－b＜2（－2＜b＜0），則當 x＝－b 時，ymin＝－

1

2

b

2＋1，

令－

1

2

b

2＋1≥－1，解得－2≤b≤2，

∴－2＜b＜0．

∴綜上所述：b≥－2．

x

y

y = 1

O M

x= b

0

2

x= b

0

2

x= b

0

2

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（2023-2024 海淀九上期中）★★★

27．如圖，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點 D 在 AB 上（BD＜AD），過點 D 作 D

E⊥BC 于點 E，連接 AE，將線段 EA 繞點 E 順時針旋轉(zhuǎn) 90°，得到線段 EF，連接 DF．

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：FD＝AB；

（3）DF 交 BC 于點 G，用等式表示線段 CE 和 FG 的數(shù)量關系，并證明．

備用圖

E

A

B C

D

E

A

B C

D

2 / 4

吳老師圖解

（1）如圖.

補全圖形

（2）

思路&圖解

如圖，易證△BEA≌△DEF（SAS，提示：手拉手模型），故 FD＝AB.

（3）FG＝ 2

CE.

分析

如左圖，補全圖形！顯然，有 FG＝ 2

CE，那就想辦法構(gòu)造等腰直嘍（或 45°）~

如右圖，利用（2）的手拉手全等，我們可以進一步得到 FD⊥AB，從而得出∠EDG＝∠

EGD＝∠CGF＝45°...

F

E

A

B C

D

F

E

A

B C

D

G

F

E

A

B C

D

45°

G

F

E

A

B C

D

3 / 4

思路&圖解

法 1：手拉手（提示：△DEG 和△AEF 是等腰直）

如圖，作 DH⊥AC，

1）矩形 DECH，等腰 Rt△AHD，

2）由（2）知∠1＝∠2，

3）△DEA≌△GEF（ASA）

∴FG＝AD＝ 2

CE.

法 2：轉(zhuǎn)化構(gòu)造等腰直

如圖，取 CE＝CH，

1）△ECH 是等腰直，

2）EH∥AB，

3）∠1＝∠2＝∠3（提示：90°－∠AEC），

4）由（2）知∠6＝∠5＝∠4，

5）△EFG≌△AEH（ASA），

∴FG＝EH＝ 2

CE.

法 3：三垂直（需要提前證【分析】中的 45°）

如圖，作 FH⊥BC，交延長線于點 H，

1）由【分析】知∠1＝45°，

2）△ACE≌△EHF（三垂直模型），

∴FG＝ 2

FH＝ 2

CE.

H

G

F

E

A

B C

D

1

2

H

G

F

E

A

B C

D

6

5

4

3

2

1

H

G

F

E

A

B C

D

1

45°

H

G

F

E

A

C

B

D

H

G

F

E

A

C

B

D

4 / 4

思路&圖解

法 4：轉(zhuǎn)化構(gòu)造等腰直（需要提前證【分析】中的 45°）

如圖，作 DH⊥AC，

1）矩形 DECH，等腰 Rt△AHD，

2）由【分析】知∠1＝∠2＝45°＝∠B，即 DG＝DB，

3）由（2）知 AB＝FD，則 AD＝FG（提示：等量減等量），

∴FG＝AD＝ 2

CE.

備注：此法與【法 1】其實是一樣的，就看同學們在考場上的第一反應是啥——是延續(xù)

手拉手的結(jié)論？還是上來就奔著結(jié)論去構(gòu)造全等三角形？

H

G

F

E

A

B C

D

2

1

H

G

F

E

A

B C

D

1 / 3

（2023-2024 海淀九上期中——轉(zhuǎn)稱點）★★★☆

28．在平面直角坐標系 xOy 中，已知點 M 不與原點重合．對于點 P 給出如下定義：點 P

關于點 M 的對稱點為 P'，點 P'關于直線 OM 的對稱點為 Q，稱點 Q 是點 P 關于點 M 的“轉(zhuǎn)稱

點”．

（1）如圖，已知點 M（t，0），P（t＋1，1），點 Q 是點 P 關于點 M 的“轉(zhuǎn)稱點”．

①當 t＝2 時，在圖中畫出點 Q 的位置，并直接寫出點 Q 的坐標；

②PQ 的長度是否與 t 有關？若無關，求 PQ 的長；若有關，說明理由；

（2）已知點 A（3，4），△ABC 是邊長為 2 的等邊三角形（點 A，B，C 按逆時針方向排

列），點 N 是點 B 關于點 C 的“轉(zhuǎn)稱點”，在△ABC 繞點 A 旋轉(zhuǎn)的過程中，當 BN 最

大時，直接寫出此時 OB 的長．

備用圖

x

y

P

O M x

y

O

2 / 3

吳老師圖解

（1）①（1，1）.

思路&圖解

如圖，Q（1，1）.

（1）②無關，PQ＝2.

思路&圖解

如圖，P（t＋1，1），

1）P'（t－1，－1），

2）Q（t－1，1），

∴PQ＝xP－xQ＝t＋1－（t－1）＝2，是

個定值，與 t 的取值無關.

（2）

22

±1.

規(guī)律總結(jié)

如圖，先隨意畫一個△ABC，根據(jù)定義作出點 N，發(fā)現(xiàn)：

1）△BB'N 是個斜邊長為 4 的直角三角形（提示：中位線得平行），

2）點 N 與點 B'重合時，BN 取到最大值（提示：斜大于直），

3）點 N 和點 B'重合，只能重合于對稱軸 OC 上，

4）點 B'在 OC 上，意味著 O，B，C 三點共線（提示：點 B'和點 B 關于點 C 對稱），

綜上，△ABC 在旋轉(zhuǎn)的過程中，只要能保證 O，B，C 三點共線，就能使 BN 取到最大

值，而這樣的位置應該有 2 個——①點 B 在 OC 上，②點 C 在 OB 上，

最后，同學們動動小手，畫個盡量標準的圖就可以去計算求值啦~

x

y

Q

P'

P

O M

x

y

Q

P'

P

O M

x

y

N

B'

C

A

O

B

x

y

D

N

B'

C

A

O

B

3 / 3

思路&圖解

臨界狀態(tài) 1：

如圖，點 B 在 OC 上，作 AH⊥BC，

1）在 Rt△ABH 中，BH＝1，AH＝ 3 ，

2）在 Rt△AOH 中，AO＝5，勾股定理得 OH＝ 22 ，

∴OB＝ 22 －1.

臨界狀態(tài) 2：

如圖，點 C 在 OB 上，同理得 OB＝ 22

＋1.

∴綜上所述：OB＝ 22

±1.

x

y

5

3

30°

1

H

C

A

O

B

x

y

1

3

5

1

H

C

A

O

B