1 / 3

（2023-2024 海淀九上期中）★★★☆

26．已知二次函數(shù) y＝

1

2

x

2＋bx＋1．

（1）若 b＝－1，求該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸及最小值；

（2）若對(duì)于任意的 0≤x≤2，都有 y≥－1，求 b 的取值范圍．

2 / 3

吳老師圖解

（1）x＝1，

1

2

．

思路&圖解

1）由題知拋物線的解析式為 y＝

1

2

x

2－x＋1，

2）易求得對(duì)稱軸為 x＝－

2

b

a

＝－

1

1

2

2

?

?

＝1，

3）將 x＝1 代入解析式得 y＝

1

2

×1－1＋1＝

1

2

，即函數(shù)的最小值為

1

2

．

∴綜上所述：對(duì)稱軸為 x＝1，最小值為

1

2

．

（2）b≥－2．

思路一：頂點(diǎn)軌跡

分析

【1】“定調(diào)”

拋物線開口向上，大小固定！無(wú)需對(duì)開口方向進(jìn)行分類討論！

【2】“五大步”

對(duì)稱軸 x＝－b

頂點(diǎn)（有軌跡） （－b，－

1

2

b

2＋1）→y＝－

1

2

x

2＋1

y

軸交點(diǎn)以及對(duì)稱點(diǎn) （0，1），（－2b，1）

x

軸交點(diǎn) ——

“支撐點(diǎn)” （0，1）

【3】綜合分析

如圖，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在軌跡 y＝－

1

2

x

2＋1（一個(gè)新拋物線）上運(yùn)動(dòng)，且開口向上

大小固定，過定點(diǎn)（0，1），故只需保證原二次函數(shù)圖像在 0≤x≤2 之間的部分，一直在直

線 y＝－1 的上方即可（備注：可以在 y＝－1 上）！

x

y

×

y = 1

O

3 / 3

思路&圖解

如圖，

1）易求得拋物線的頂點(diǎn)為（－b，－

1

2

b

2＋1），故頂點(diǎn)在 y＝－

1

2

x

2＋1 上，

2）點(diǎn) M（2，1）恰好在 y＝－

1

2

x

2＋1 上（提示：任意 0≤x≤2，都有 y≥－1），

3）由題知拋物線的頂點(diǎn)應(yīng)在點(diǎn) M 上或點(diǎn) M 的左側(cè)，即－b≤2，

∴b≥－2．

備注：要是頂點(diǎn)的軌跡不過點(diǎn)（2，－1）呢？本題還是比較特殊的！

思路二：區(qū)間最值

思路&圖解

1）由題知，當(dāng) 0≤x≤2 時(shí)，ymin≥－1，

2）如圖，

①若 2≤－b（b≤－2），則當(dāng) x＝2 時(shí)，ymin＝2b＋3，

由題知 2b＋3≥－1，解得 b≥－2，

∴b＝－2，

②若－b≤0（b≥0），則當(dāng) x＝0 時(shí)，ymin＝1，顯然，1＞－1，

∴b≥0 恒成立，

③若 0＜－b＜2（－2＜b＜0），則當(dāng) x＝－b 時(shí)，ymin＝－

1

2

b

2＋1，

令－

1

2

b

2＋1≥－1，解得－2≤b≤2，

∴－2＜b＜0．

∴綜上所述：b≥－2．

x

y

y = 1

O M

x= b

0

2

x= b

0

2

x= b

0

2

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（2023-2024 海淀九上期中）★★★

27．如圖，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn) D 在 AB 上（BD＜AD），過點(diǎn) D 作 D

E⊥BC 于點(diǎn) E，連接 AE，將線段 EA 繞點(diǎn) E 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，得到線段 EF，連接 DF．

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）求證：FD＝AB；

（3）DF 交 BC 于點(diǎn) G，用等式表示線段 CE 和 FG 的數(shù)量關(guān)系，并證明．

備用圖

E

A

B C

D

E

A

B C

D

2 / 4

吳老師圖解

（1）如圖.

補(bǔ)全圖形

（2）

思路&圖解

如圖，易證△BEA≌△DEF（SAS，提示：手拉手模型），故 FD＝AB.

（3）FG＝ 2

CE.

分析

如左圖，補(bǔ)全圖形！顯然，有 FG＝ 2

CE，那就想辦法構(gòu)造等腰直嘍（或 45°）~

如右圖，利用（2）的手拉手全等，我們可以進(jìn)一步得到 FD⊥AB，從而得出∠EDG＝∠

EGD＝∠CGF＝45°...

F

E

A

B C

D

F

E

A

B C

D

G

F

E

A

B C

D

45°

G

F

E

A

B C

D

3 / 4

思路&圖解

法 1：手拉手（提示：△DEG 和△AEF 是等腰直）

如圖，作 DH⊥AC，

1）矩形 DECH，等腰 Rt△AHD，

2）由（2）知∠1＝∠2，

3）△DEA≌△GEF（ASA）

∴FG＝AD＝ 2

CE.

法 2：轉(zhuǎn)化構(gòu)造等腰直

如圖，取 CE＝CH，

1）△ECH 是等腰直，

2）EH∥AB，

3）∠1＝∠2＝∠3（提示：90°－∠AEC），

4）由（2）知∠6＝∠5＝∠4，

5）△EFG≌△AEH（ASA），

∴FG＝EH＝ 2

CE.

法 3：三垂直（需要提前證【分析】中的 45°）

如圖，作 FH⊥BC，交延長(zhǎng)線于點(diǎn) H，

1）由【分析】知∠1＝45°，

2）△ACE≌△EHF（三垂直模型），

∴FG＝ 2

FH＝ 2

CE.

H

G

F

E

A

B C

D

1

2

H

G

F

E

A

B C

D

6

5

4

3

2

1

H

G

F

E

A

B C

D

1

45°

H

G

F

E

A

C

B

D

H

G

F

E

A

C

B

D

4 / 4

思路&圖解

法 4：轉(zhuǎn)化構(gòu)造等腰直（需要提前證【分析】中的 45°）

如圖，作 DH⊥AC，

1）矩形 DECH，等腰 Rt△AHD，

2）由【分析】知∠1＝∠2＝45°＝∠B，即 DG＝DB，

3）由（2）知 AB＝FD，則 AD＝FG（提示：等量減等量），

∴FG＝AD＝ 2

CE.

備注：此法與【法 1】其實(shí)是一樣的，就看同學(xué)們?cè)诳紙?chǎng)上的第一反應(yīng)是啥——是延續(xù)

手拉手的結(jié)論？還是上來就奔著結(jié)論去構(gòu)造全等三角形？

H

G

F

E

A

B C

D

2

1

H

G

F

E

A

B C

D

1 / 3

（2023-2024 海淀九上期中——轉(zhuǎn)稱點(diǎn)）★★★☆

28．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) M 不與原點(diǎn)重合．對(duì)于點(diǎn) P 給出如下定義：點(diǎn) P

關(guān)于點(diǎn) M 的對(duì)稱點(diǎn)為 P'，點(diǎn) P'關(guān)于直線 OM 的對(duì)稱點(diǎn)為 Q，稱點(diǎn) Q 是點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) M 的“轉(zhuǎn)稱

點(diǎn)”．

（1）如圖，已知點(diǎn) M（t，0），P（t＋1，1），點(diǎn) Q 是點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) M 的“轉(zhuǎn)稱點(diǎn)”．

①當(dāng) t＝2 時(shí)，在圖中畫出點(diǎn) Q 的位置，并直接寫出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；

②PQ 的長(zhǎng)度是否與 t 有關(guān)？若無(wú)關(guān)，求 PQ 的長(zhǎng)；若有關(guān)，說明理由；

（2）已知點(diǎn) A（3，4），△ABC 是邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形（點(diǎn) A，B，C 按逆時(shí)針方向排

列），點(diǎn) N 是點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn) C 的“轉(zhuǎn)稱點(diǎn)”，在△ABC 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng) BN 最

大時(shí)，直接寫出此時(shí) OB 的長(zhǎng)．

備用圖

x

y

P

O M x

y

O

2 / 3

吳老師圖解

（1）①（1，1）.

思路&圖解

如圖，Q（1，1）.

（1）②無(wú)關(guān)，PQ＝2.

思路&圖解

如圖，P（t＋1，1），

1）P'（t－1，－1），

2）Q（t－1，1），

∴PQ＝xP－xQ＝t＋1－（t－1）＝2，是

個(gè)定值，與 t 的取值無(wú)關(guān).

（2）

22

±1.

規(guī)律總結(jié)

如圖，先隨意畫一個(gè)△ABC，根據(jù)定義作出點(diǎn) N，發(fā)現(xiàn)：

1）△BB'N 是個(gè)斜邊長(zhǎng)為 4 的直角三角形（提示：中位線得平行），

2）點(diǎn) N 與點(diǎn) B'重合時(shí)，BN 取到最大值（提示：斜大于直），

3）點(diǎn) N 和點(diǎn) B'重合，只能重合于對(duì)稱軸 OC 上，

4）點(diǎn) B'在 OC 上，意味著 O，B，C 三點(diǎn)共線（提示：點(diǎn) B'和點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn) C 對(duì)稱），

綜上，△ABC 在旋轉(zhuǎn)的過程中，只要能保證 O，B，C 三點(diǎn)共線，就能使 BN 取到最大

值，而這樣的位置應(yīng)該有 2 個(gè)——①點(diǎn) B 在 OC 上，②點(diǎn) C 在 OB 上，

最后，同學(xué)們動(dòng)動(dòng)小手，畫個(gè)盡量標(biāo)準(zhǔn)的圖就可以去計(jì)算求值啦~

x

y

Q

P'

P

O M

x

y

Q

P'

P

O M

x

y

N

B'

C

A

O

B

x

y

D

N

B'

C

A

O

B

3 / 3

思路&圖解

臨界狀態(tài) 1：

如圖，點(diǎn) B 在 OC 上，作 AH⊥BC，

1）在 Rt△ABH 中，BH＝1，AH＝ 3 ，

2）在 Rt△AOH 中，AO＝5，勾股定理得 OH＝ 22 ，

∴OB＝ 22 －1.

臨界狀態(tài) 2：

如圖，點(diǎn) C 在 OB 上，同理得 OB＝ 22

＋1.

∴綜上所述：OB＝ 22

±1.

x

y

5

3

30°

1

H

C

A

O

B

x

y

1

3

5

1

H

C

A

O

B