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（2023 昌平二?！p垂點）★★★★☆
28．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，對于點 P，點 Q 和直線 l，點 P 關(guān)于 l 的對稱點 P'，點 Q
是直線 l 上一點，將線段 P'Q 繞點 P'逆時針旋轉(zhuǎn) 90
?
得到 P'K，如果線段 P'K 與直線 l 有交點，
稱點 K 是點 P 關(guān)于直線 l 和點 Q 的“雙垂點”．
（1）若 P（2，1），點 K1（1，1），K2（1，0），K3（1，－2）中是點 P 關(guān)于 x 軸和點 Q 的
“雙垂點”的是________；
（2）若點 Q（0，5），點 P，K 是直線 y＝x＋3 上的點，點 K 是點 P 關(guān)于 y 軸和點 Q 的
“雙垂點”，求 P 點的坐標(biāo)；
（3）點 P 在以（0，t）為圓心，1 為半徑的圓 M 上，直線 l：y＝x＋2，若圓 M 上存在點
K 是點 P 關(guān)于直線 l 和點 Q 的“雙垂點”，直接寫出 t 的取值范圍．
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吳老師圖解
（1）
K1 ， K2
.
規(guī)律總結(jié)
如左圖，點
Q
在
x
軸上，
1）點
P(2,1)
關(guān)于
x
軸的對稱點為
P'(2, 1) ? ，
2）將點
Q
繞點
P'
逆時針旋轉(zhuǎn)
90?
，則點
Q'
的軌跡為直線
l x: 1=
（瓜豆原理），
3）當(dāng)點
Q'
在
x
軸下方時，
PQ' '
與
x
軸無交點，
所以，點“雙垂點”
K
在：射線
l
上（右圖）.
思路&圖解
如圖，
由【規(guī)律總結(jié)】知，點
K1 ， K2
是點 P
關(guān)于 x 軸和點 Q 的“雙垂點”.
（2）
( 1,2) ? .
分析
既然“雙垂點”
K
在直線
y x = + 3
上，那就直接用“逆向思維”倒推吧…
如圖：
1）在直線
y x = + 3
上找點
K ，
2）作出對應(yīng)的點
P'
（提示：等腰直角三角形的頂點，要注意旋轉(zhuǎn)方向哦），
3）根據(jù)“瓜豆原理”，點
P'
的軌跡是直線
x =1，
4）將直線
x =1
關(guān)于
y
軸對稱，得到直線
x =?1，
所以，直線
y x = + 3
與
x =?1
的交點即為點
P .
x
y
l
Q'
P'
P
O
Q
x
y
l
K
P'
P
O
Q
x
y
l
K3
K2
K1
O
x
y
y = x + 3
P'
Q
O
K
x
y
y = x + 3
P
Q
O
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思路&圖解
根據(jù)【分析】，將
x =?1
代入
y x = + 3
，得點
P
的坐標(biāo)為
( 1,2) ? .
補(bǔ)充：正向思考
分析
思路 1：
先找一點
P
，對稱得到點
P'
，旋轉(zhuǎn)得點
K
，讓
P'
動，根據(jù)“瓜豆原理”找到點
K
的軌
跡，確定點
K
后，利用線段
QK
的垂直平分線求得點
P'
的坐標(biāo)，最后可得點
P
的坐標(biāo)，
思路 2：
在直線
y x = + 3、 y x = ? + 3
上分別找點
K
和
P'
，直接假定一個等腰
Rt ' QKP
（注意旋
轉(zhuǎn)方向哦），設(shè)點
P
的坐標(biāo)為
( , 3) a a +
，利用“三垂直模型”全等得到點
K
的坐標(biāo)（用
a
表
示），代入直線解析式后求得
a
，即可知點
P
坐標(biāo).
（3）
? + 2 4 2 t .
思路一：正向思考
規(guī)律總結(jié)
先給出結(jié)論：
如圖，點 P 關(guān)于直線 l 和點 Q 的“雙垂點”
K
在：圖示綠色陰影部分的內(nèi)部或邊界上，
其中，陰影部分指的是直線
y x =?
與
y x = ? + 4
之間的區(qū)域，邊界指的就是這 2 條直線.
下面給出分析過程：
x
y
y = x + 3
y = x + 3
K
P'
Q
O
P
x
y
y = x
y = x + 4
y = 2
y = x + 2
K
P'
M'
O
M
P
Q
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規(guī)律總結(jié)
如圖，
1）將
M
和點
P
關(guān)于直線
y x = + 2
對稱，則
M '
在直線
y = 2
上，
2）在直線
y x = + 2
上取點
Q
，按題意作出點
K ，
3）點
P'
不動，當(dāng)點
Q
在直線
y x = + 2
上移動時，點
K
的軌跡是一條垂直于
y x = + 2
（
k =?1
）的直線（瓜豆原理），也就是說，對于某個位置的點
P'
，點
Q
的運動負(fù)責(zé)讓點
K
“搞出”一條
k =?1
的直線！
4）點
Q
不動，當(dāng)點
P'
在
M '
上運動時，點
K
的軌跡是一個半徑為
2
的圓（瓜豆原
理），那么，當(dāng)點
Q
和
P'
同時運動時，點
K
所在的區(qū)域就相當(dāng)于是→過半徑為
2
的圓上的
每一個點作
k =?1
的直線形成的區(qū)域（或可以理解為半徑為
2
的圓上的點沿著
k =?1
的直線
運動）…
5）當(dāng)
M '
的圓心
M '
在直線
y = 2
上運動時，不論點
Q
在何位置，半徑為
2
的圓的圓
心都恰好在直線
y x = ? + 2
上（瓜豆原理），
所以，點
K
在直線
y x =?
與
y x = ? + 4
所夾的區(qū)域內(nèi)或在這 2 條直線上！
x
y
y = 2
y = x + 2
K
P'
M'
O
M
P
Q
x
y
y = 2
y = x + 2
K
P'
M'
O
M
P
Q
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思路&圖解
如圖，
1）
M1
與直線
y x =?
相切于點
G
，易求得
1 OM = 2
，即
t =? 2 ，
2）
M2
與直線
y x = ? + 4
相切于點
H
，同理，易求得
t = +4 2 .
?
綜上所述：
? + 2 4 2 t .
補(bǔ)充：
分析
如圖，
考場上，如果同學(xué)們能確定此題跟點
Q
的位置無關(guān)，可以直接令點
Q
為一個特殊點（比
如直線
y x = + 2
與
x
軸或
y
軸的交點），最后只考慮點
P'
和點
M '
的運動就可以了…
思路二：逆向思考
分析
既然明確說明點
K
在
M
上，那我們就可以用“逆向思維”來解決此題…
x
y
y = x
y = x + 4
H
G
O
M1
M2
x
y
y = 2
y = x + 2
K
P'
M'
O
M
P
Q
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分析
如圖，
1）將
M
關(guān)于直線
y x = + 2
對稱得到
M '
，在
M '
上取點
P'，
2）將
M
繞點
P'
順時針旋轉(zhuǎn)
90?
得到
T ，
3）當(dāng)點
P'
運動時，點
T
在半徑為
2
的
R
上運動（瓜豆原理），故
T
掃過的區(qū)域是
半徑為
2 1+
和
2 1?的圓形成的圓環(huán)，
要想滿足題意，只需要讓圓環(huán)（的大圓）與直線
y x = + 2
有公共點（點
Q
）即可！
如圖，易知
RM y
軸，且
RM MM MG = = 2 ' 2
，故點
R
在直線
1
2
2
y x = +
上！
思路&圖解
臨界狀態(tài) 1：
如圖，令
OM x = ，由【分析】知
RH = + 2 1， RM GM = 2 ，則有
(2 2) (2 ) + + + = x
2(2 ) + x ，解得
x = 2
，即
t =? 2 .
x
y
y = 2
y = x + 2
R
T
P'
M'
O
M
x
y
y=
1
2
x+2
G
R
M'
O
M
x
y
2+x
y=
1
2
x+2
x
2
S
H
G
R
O
M
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思路&圖解
臨界狀態(tài) 2：
如圖，令
MG x = ，同理，易求得
x = +2 2
，即
t x = + = + 2 4 2 .
?
綜上所述：
? + 2 4 2 t .
x
y
x
x
2
S
G
H
R
O
M
