1/7

（2023 昌平二?！p垂點(diǎn)）★★★★☆

28．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，對(duì)于點(diǎn) P，點(diǎn) Q 和直線 l，點(diǎn) P 關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn) P'，點(diǎn) Q

是直線 l 上一點(diǎn)，將線段 P'Q 繞點(diǎn) P'逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90

?

得到 P'K，如果線段 P'K 與直線 l 有交點(diǎn)，

稱點(diǎn) K 是點(diǎn) P 關(guān)于直線 l 和點(diǎn) Q 的“雙垂點(diǎn)”．

（1）若 P（2，1），點(diǎn) K1（1，1），K2（1，0），K3（1，－2）中是點(diǎn) P 關(guān)于 x 軸和點(diǎn) Q 的

“雙垂點(diǎn)”的是________；

（2）若點(diǎn) Q（0，5），點(diǎn) P，K 是直線 y＝x＋3 上的點(diǎn)，點(diǎn) K 是點(diǎn) P 關(guān)于 y 軸和點(diǎn) Q 的

“雙垂點(diǎn)”，求 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn) P 在以（0，t）為圓心，1 為半徑的圓 M 上，直線 l：y＝x＋2，若圓 M 上存在點(diǎn)

K 是點(diǎn) P 關(guān)于直線 l 和點(diǎn) Q 的“雙垂點(diǎn)”，直接寫出 t 的取值范圍．

2/7

吳老師圖解

（1）

K1 ， K2

.

規(guī)律總結(jié)

如左圖，點(diǎn)

Q

在

x

軸上，

1）點(diǎn)

P(2,1)

關(guān)于

x

軸的對(duì)稱點(diǎn)為

P'(2, 1) ? ，

2）將點(diǎn)

Q

繞點(diǎn)

P'

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90?

，則點(diǎn)

Q'

的軌跡為直線

l x: 1=

（瓜豆原理），

3）當(dāng)點(diǎn)

Q'

在

x

軸下方時(shí)，

PQ' '

與

x

軸無(wú)交點(diǎn)，

所以，點(diǎn)“雙垂點(diǎn)”

K

在：射線

l

上（右圖）.

思路&圖解

如圖，

由【規(guī)律總結(jié)】知，點(diǎn)

K1 ， K2

是點(diǎn) P

關(guān)于 x 軸和點(diǎn) Q 的“雙垂點(diǎn)”.

（2）

( 1,2) ? .

分析

既然“雙垂點(diǎn)”

K

在直線

y x = + 3

上，那就直接用“逆向思維”倒推吧…

如圖：

1）在直線

y x = + 3

上找點(diǎn)

K ，

2）作出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

P'

（提示：等腰直角三角形的頂點(diǎn)，要注意旋轉(zhuǎn)方向哦），

3）根據(jù)“瓜豆原理”，點(diǎn)

P'

的軌跡是直線

x =1，

4）將直線

x =1

關(guān)于

y

軸對(duì)稱，得到直線

x =?1，

所以，直線

y x = + 3

與

x =?1

的交點(diǎn)即為點(diǎn)

P .

x

y

l

Q'

P'

P

O

Q

x

y

l

K

P'

P

O

Q

x

y

l

K3

K2

K1

O

x

y

y = x + 3

P'

Q

O

K

x

y

y = x + 3

P

Q

O

3/7

思路&圖解

根據(jù)【分析】，將

x =?1

代入

y x = + 3

，得點(diǎn)

P

的坐標(biāo)為

( 1,2) ? .

補(bǔ)充：正向思考

分析

思路 1：

先找一點(diǎn)

P

，對(duì)稱得到點(diǎn)

P'

，旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)

K

，讓

P'

動(dòng)，根據(jù)“瓜豆原理”找到點(diǎn)

K

的軌

跡，確定點(diǎn)

K

后，利用線段

QK

的垂直平分線求得點(diǎn)

P'

的坐標(biāo)，最后可得點(diǎn)

P

的坐標(biāo)，

思路 2：

在直線

y x = + 3、 y x = ? + 3

上分別找點(diǎn)

K

和

P'

，直接假定一個(gè)等腰

Rt ' QKP

（注意旋

轉(zhuǎn)方向哦），設(shè)點(diǎn)

P

的坐標(biāo)為

( , 3) a a +

，利用“三垂直模型”全等得到點(diǎn)

K

的坐標(biāo)（用

a

表

示），代入直線解析式后求得

a

，即可知點(diǎn)

P

坐標(biāo).

（3）

? + 2 4 2 t .

思路一：正向思考

規(guī)律總結(jié)

先給出結(jié)論：

如圖，點(diǎn) P 關(guān)于直線 l 和點(diǎn) Q 的“雙垂點(diǎn)”

K

在：圖示綠色陰影部分的內(nèi)部或邊界上，

其中，陰影部分指的是直線

y x =?

與

y x = ? + 4

之間的區(qū)域，邊界指的就是這 2 條直線.

下面給出分析過(guò)程：

x

y

y = x + 3

y = x + 3

K

P'

Q

O

P

x

y

y = x

y = x + 4

y = 2

y = x + 2

K

P'

M'

O

M

P

Q

4/7

規(guī)律總結(jié)

如圖，

1）將

M

和點(diǎn)

P

關(guān)于直線

y x = + 2

對(duì)稱，則

M '

在直線

y = 2

上，

2）在直線

y x = + 2

上取點(diǎn)

Q

，按題意作出點(diǎn)

K ，

3）點(diǎn)

P'

不動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)

Q

在直線

y x = + 2

上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)

K

的軌跡是一條垂直于

y x = + 2

（

k =?1

）的直線（瓜豆原理），也就是說(shuō)，對(duì)于某個(gè)位置的點(diǎn)

P'

，點(diǎn)

Q

的運(yùn)動(dòng)負(fù)責(zé)讓點(diǎn)

K

“搞出”一條

k =?1

的直線！

4）點(diǎn)

Q

不動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)

P'

在

M '

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)

K

的軌跡是一個(gè)半徑為

2

的圓（瓜豆原

理），那么，當(dāng)點(diǎn)

Q

和

P'

同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)

K

所在的區(qū)域就相當(dāng)于是→過(guò)半徑為

2

的圓上的

每一個(gè)點(diǎn)作

k =?1

的直線形成的區(qū)域（或可以理解為半徑為

2

的圓上的點(diǎn)沿著

k =?1

的直線

運(yùn)動(dòng)）…

5）當(dāng)

M '

的圓心

M '

在直線

y = 2

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，不論點(diǎn)

Q

在何位置，半徑為

2

的圓的圓

心都恰好在直線

y x = ? + 2

上（瓜豆原理），

所以，點(diǎn)

K

在直線

y x =?

與

y x = ? + 4

所夾的區(qū)域內(nèi)或在這 2 條直線上！

x

y

y = 2

y = x + 2

K

P'

M'

O

M

P

Q

x

y

y = 2

y = x + 2

K

P'

M'

O

M

P

Q

5/7

思路&圖解

如圖，

1）

M1

與直線

y x =?

相切于點(diǎn)

G

，易求得

1 OM = 2

，即

t =? 2 ，

2）

M2

與直線

y x = ? + 4

相切于點(diǎn)

H

，同理，易求得

t = +4 2 .

?

綜上所述：

? + 2 4 2 t .

補(bǔ)充：

分析

如圖，

考場(chǎng)上，如果同學(xué)們能確定此題跟點(diǎn)

Q

的位置無(wú)關(guān)，可以直接令點(diǎn)

Q

為一個(gè)特殊點(diǎn)（比

如直線

y x = + 2

與

x

軸或

y

軸的交點(diǎn)），最后只考慮點(diǎn)

P'

和點(diǎn)

M '

的運(yùn)動(dòng)就可以了…

思路二：逆向思考

分析

既然明確說(shuō)明點(diǎn)

K

在

M

上，那我們就可以用“逆向思維”來(lái)解決此題…

x

y

y = x

y = x + 4

H

G

O

M1

M2

x

y

y = 2

y = x + 2

K

P'

M'

O

M

P

Q

6/7

分析

如圖，

1）將

M

關(guān)于直線

y x = + 2

對(duì)稱得到

M '

，在

M '

上取點(diǎn)

P'，

2）將

M

繞點(diǎn)

P'

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90?

得到

T ，

3）當(dāng)點(diǎn)

P'

運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)

T

在半徑為

2

的

R

上運(yùn)動(dòng)（瓜豆原理），故

T

掃過(guò)的區(qū)域是

半徑為

2 1+

和

2 1?的圓形成的圓環(huán)，

要想滿足題意，只需要讓圓環(huán)（的大圓）與直線

y x = + 2

有公共點(diǎn)（點(diǎn)

Q

）即可！

如圖，易知

RM y

軸，且

RM MM MG = = 2 ' 2

，故點(diǎn)

R

在直線

1

2

2

y x = +

上！

思路&圖解

臨界狀態(tài) 1：

如圖，令

OM x = ，由【分析】知

RH = + 2 1， RM GM = 2 ，則有

(2 2) (2 ) + + + = x

2(2 ) + x ，解得

x = 2

，即

t =? 2 .

x

y

y = 2

y = x + 2

R

T

P'

M'

O

M

x

y

y=

1

2

x+2

G

R

M'

O

M

x

y

2+x

y=

1

2

x+2

x

2

S

H

G

R

O

M

7/7

思路&圖解

臨界狀態(tài) 2：

如圖，令

MG x = ，同理，易求得

x = +2 2

，即

t x = + = + 2 4 2 .

?

綜上所述：

? + 2 4 2 t .

x

y

x

x

2

S

G

H

R

O

M