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數(shù)學(xué)(配人教B版偏文)

發(fā)布時(shí)間:2022-12-19 | 雜志分類(lèi):其他
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數(shù)學(xué)(配人教B版偏文)

考點(diǎn)突破·題型剖析考點(diǎn)一 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例1 (1)(2023?北京東城區(qū)質(zhì)檢)函數(shù)y=logax與y=-x+a 在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是 ( )(2)若方程4x =logax 在 0,12?è?ù?úú 上有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????感悟提升 1? 在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí),要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).2?一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.訓(xùn)練1 (1)(2023?... [收起]
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數(shù)學(xué)(配人教B版偏文)
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第51頁(yè)

考點(diǎn)突破·題型剖析

考點(diǎn)一 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

例1 (1)(2023?北京東城區(qū)質(zhì)檢)函數(shù)y=logax

與y=-x+a 在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖

象可能是 ( )

(2)若方程4

x =logax 在 0,

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è

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ú 上有解,則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為 .

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感悟提升 1? 在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí),要善于利用已

知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的

交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).

2?一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函

數(shù)圖象問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.

訓(xùn)練1 (1)(2023?石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)

=x+

x-2

,x∈(2,8),當(dāng)x=m 時(shí),f(x)有最

小值n.則在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)g(x)=

log1

m|x+n|的圖象是 ( )

(2)已知函數(shù)f(x)=|log2x|,實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足0<

a<b,且f(a)=f(b),若f(x)在[a

2,b]上的最

大值為2,則

a

+b= .

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— 41 —

第二章 函 數(shù)

第52頁(yè)

考點(diǎn)二 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

角度1 比較大小

例2 (1)設(shè)a=log412,b=log515,c=log618,則 ( )

Aa.>b>c Bb.>c>a

Ca.>c>b Dc.>b>a

(2)(2021?天津卷)設(shè)a=log20.3,b=log1

20.4,

c=04.

0.3,則a,b,c的大小關(guān)系為 ( )

Aa.<b<c Bc.<a<b

Cb.<c<a Da.<c<b

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角度2 解對(duì)數(shù)不等式

例3 (2023?安徽江淮十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=

2x

2,x≥0,

-2x { 2,x<0,

則 不 等 式 f((log2x)2 -3)<

4f(log2x)的解集為 .

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角度3 對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例4 (2023?武漢模擬)函數(shù)f(x)=loga(3-2ax)

在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a 的取值范

圍為 ( )

A.(0,1) B.

,1

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C.0,

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÷ D.(1,+∞)

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感悟提升 利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求與對(duì)數(shù)函數(shù)有

關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,必須弄清

三方面的問(wèn)題:一是定義域,所有問(wèn)題都必須在定

義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與1的大小關(guān)系;三是復(fù)合

函數(shù)的構(gòu)成,即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成

的.另外,解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與

化歸思想的應(yīng)用.

訓(xùn)練2 (1)(2023?沈陽(yáng)調(diào)研)已知a=log2.57,

b=log415,c=

?

è

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÷

-1

,則下列判斷正確的是( )

Aa.<b<c Bb.<a<c

Cc.<b<a Db.<c<a

(2)(2023?淄博模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R

上的偶函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,則不等

式f(log1

(2x-5))>f(log38)的解集為 .

(3)(2023?湖北七市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=

lg(x

2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+∞),則

a= .

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提醒:課后完成?一輪對(duì)點(diǎn)71練?第259頁(yè)

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高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第53頁(yè)

第8節(jié) 函數(shù)的圖象

考試要求 1? 在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).

2? 會(huì)畫(huà)簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象.3? 會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì),解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問(wèn)題.

知識(shí)診斷·基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1?利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象

步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)化簡(jiǎn)函數(shù)解析

式;(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期

性、對(duì)稱(chēng)性等);(4)列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零

點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等),

描點(diǎn),連線(xiàn).

2?利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)平移變換

(2)對(duì)稱(chēng)變換

y=f(x)的圖象

關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

→y= 的圖象;

y=f(x)的圖象

關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

→y= 的圖象;

y=f(x)的圖象

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

→y= 的圖象.

(3)伸縮變換

y=f(x)

縱坐標(biāo)不變

各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

a

(a>0)倍

y=f(ax).

y=f(x)

橫坐標(biāo)不變

各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A(A>0)倍→y=Af(x).

(4)翻折變換

y=f(x)的圖象

x 軸下方部分翻折到上方

x 軸及上方部分不變 →

y= 的圖象;

y=f(x)的圖象

y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)

原y軸左側(cè)部分去掉,右側(cè)不變→

y= 的圖象.

[常用結(jié)論]

1?記住幾個(gè)重要結(jié)論

(1)函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關(guān)于直

線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng).

(2)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖象關(guān)

于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱(chēng).

(3)若函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意自變量x 滿(mǎn)

足:f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)y=f(x)的圖象

關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng).

2?圖象的左右平移僅僅是相對(duì)于

x 而言,如果x 的

系數(shù)不是1,常需把系數(shù)提出來(lái),再進(jìn)行變換.

3?圖象的上下平移僅僅是相對(duì)于

y 而言的,利用

“上加下減”進(jìn)行.

【診斷自測(cè)】

1?思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)

(1)當(dāng) x∈ (0,+ ∞)時(shí),函 數(shù) y=|f(x)|與

y=f(|x|)的圖象相同. ( )

(2)函數(shù)y=af(x)與y=f(ax)(a>0且a≠1)

的圖象相同. ( )

(3)函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱(chēng). ( )

(4)若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(1+x)=f(1-x),則

函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng). ( )

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第二章 函 數(shù)

第54頁(yè)

2?小明騎車(chē)上學(xué),開(kāi)始時(shí)勻速行駛,途中因交通堵

塞停留了一段時(shí)間,后為了趕時(shí)間加快速度行

駛.與以上事件吻合得最好的圖象是 ( )

3?(2023?長(zhǎng)沙雅禮月考)函數(shù)y=-cosxln|x|的

圖象可能是 ( )

4?函數(shù)y=f(x)的圖象與y=e

x 的圖象關(guān)于y軸對(duì)

稱(chēng),再把y=f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后

得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則g(x)= .

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考點(diǎn)突破·題型剖析

考點(diǎn)一 作函數(shù)的圖象

例1 作出下列函數(shù)的圖象:

(1)y=

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÷

|x|

;(2)y=|log2(x+1)|;

(3)y=x

2-2|x|-1.

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感悟提升 1?描點(diǎn)法作圖:當(dāng)函數(shù)解析式(或變形

后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí),就可根據(jù)這些

函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.

2?圖象變換法:若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖

象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱(chēng)得到,可利用圖象變換作

出,并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單

位及解析式的影響.

訓(xùn)練1 分別作出下列函數(shù)的圖象:

(1)y=sin|x|;(2)y=

2x-1

x-1

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高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第55頁(yè)

考點(diǎn)二 函數(shù)圖象的識(shí)別

角度1 函數(shù)圖象的識(shí)別

例2 (1)(2022?全國(guó)甲卷)函數(shù)f(x)=(3

x -3

-x )?

cosx在區(qū)間[ -

π

,

π

] 上的圖象大致為 ( )

(2)(2022?全國(guó)乙卷)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中

的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[-3,3]的大致圖象,則該函

數(shù)是 ( )

Ay.=

-x

3+3x

x

2+1

By.=

x

3-x

x

2+1

Cy.=

2xcosx

x

2+1

Dy.=

2sinx

x

2+1

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感悟提升 1?抓住函數(shù)的性質(zhì),定性分析:

(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)

的值域,判斷圖象的上下位置;(2)從函數(shù)的單調(diào)性,

判斷圖象的變化趨勢(shì);(3)從周期性,判斷圖象的循

環(huán)往復(fù);(4)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性.

2?抓住函數(shù)的特征,定量計(jì)算:尋找函數(shù)的特征點(diǎn),

利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問(wèn)題.

角度2 借助動(dòng)點(diǎn)探究函數(shù)圖象

例3 如圖,不規(guī)則四邊形ABG

CD 中,AB 和CD 是線(xiàn)段,

AD 和BC 是圓弧,直線(xiàn)l⊥

AB 交AB 于E,當(dāng)l從左至

右移動(dòng)(與線(xiàn)段 AB 有公共點(diǎn))時(shí),把四邊形

ABCD 分成兩部分,設(shè)AE=x,左側(cè)部分的面

積為y,則y關(guān)于x 的圖象大致是 ( )

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感悟提升 根據(jù)實(shí)際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的兩

種方法

(1)定量計(jì)算法:根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析

式,從而判斷函數(shù)圖象.

(2)定性分析法:采用“以靜觀(guān)動(dòng)”,即判斷動(dòng)點(diǎn)處于

不同的特殊的位置時(shí)圖象的變化特征,從而利用排

除法做出選擇.

注意 求解的過(guò)程中注意實(shí)際問(wèn)題中的定義域問(wèn)題.

訓(xùn)練2 (1)(2023?湖南名校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=

cosxln

π-x

π+x

的圖象大致為 ( )

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第二章 函 數(shù)

第56頁(yè)

(2)向高為 H 的水瓶中注

水,注滿(mǎn)為止,如果注水量V

與水深h 的函數(shù)關(guān)系的圖

象如圖所示,那么水瓶的形

狀是 ( )

考點(diǎn)三 函數(shù)圖象的應(yīng)用

角度1 研究函數(shù)的性質(zhì)

例4 已知函數(shù)f(x)=x|x|-2x,則下列結(jié)論正

確的是 ( )

Af.(x)是偶函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞)

Bf.(x)是偶函數(shù),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1)

Cf.(x)是奇函數(shù),單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,1)

Df.(x)是奇函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)

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角度2 圖象法解不等式

例5 已知函數(shù)f(x)=

?

è

?

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÷

x

,x≥1,

log4(x+1),-1<x<1,

ì

?

í

?

?

?

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f(x)≤

x 的解集為 ( )

A.(-∞,0] B.(-1,0]

C.(-1,0]∪[1,+∞) D.[1,+∞)

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角度3 求參數(shù)的取值范圍

例6 (2023?湖州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=

sinπx,0≤x≤1,

{log2023x,x>1,

若實(shí)數(shù)a,b,c 互不相等,且

f(a)=f(b)=f(c),則a+b+c的取值范圍是

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感悟提升 1?利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

對(duì)于已知或易畫(huà)出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù),其

性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點(diǎn))常

借助于圖象研究,但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的

對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2?利用函數(shù)的圖象可解決方程和不等式的求解問(wèn)

題,如判斷方程是否有解,有多少個(gè)解.?dāng)?shù)形結(jié)合是

常用的思想方法.不等式的求解可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的

上下關(guān)系問(wèn)題.

訓(xùn)練3 (1)(2023?河南頂尖名校聯(lián)考)若關(guān)于

x 的不等式ae

x +bx+c<0的解集是(-1,1),

則 ( )

Ab.>0 Ba.+c>0

Ca.+b+c>0 D8.a(chǎn)+2b+c>0

(2)已知奇函數(shù)f(x)在x≥0

時(shí)的圖象如圖所示,則不等

式 xf(x)<0 的 解 集 為

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提醒:課后完成?一輪對(duì)點(diǎn)71練?第261頁(yè)

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— 46 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第57頁(yè)

第9節(jié) 函數(shù)與方程

考試要求 1? 理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.2? 理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理,并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.3? 了解用二分

法求方程的近似解.

知識(shí)診斷·基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1?函數(shù)的零點(diǎn)

(1)概念:一般地,如果函數(shù)y=f(x)在實(shí)數(shù)α處的

函數(shù)值等于零,即f(α)=0,則稱(chēng) 為函數(shù)

y=f(x)的零點(diǎn).

(2)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與x 軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方

程的根的關(guān)系:

2?函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不

斷的,并且f(a)?f(b) 0(即在區(qū)間兩個(gè)端

點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)),則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)

中至少有一個(gè)零點(diǎn),即?x0∈(a,b),f(x0)=0.

[常用結(jié)論]

1?若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函

數(shù),則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一

個(gè)“點(diǎn)”,而是方程f(x)=0的實(shí)根.

2?由函數(shù)y=f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間

[a,b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)?f(b)<0,

如圖所示,所以f(a)?f(b)<0

是y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上

有零點(diǎn)的充分不必要條件.

3?周期函數(shù)如果有零點(diǎn),則必有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn).

【診斷自測(cè)】

1?思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)

(1)函數(shù)f(x)=2x 的零點(diǎn)為0. ( )

(2)圖象連續(xù)的函數(shù)y=f(x)(x∈D)在區(qū)間

(a,b)?D 內(nèi)有零點(diǎn),則f(a)?f(b)<0.( )

(3)二次函數(shù)y=ax

2 +bx+c(a≠0)在b

2 -

4ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn). ( )

2?函數(shù)f(x)=

x

2+x-2,x≤0,

{-1+lnx,x>0

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

( )

A.3 B.2 C.7 D.0

3?函數(shù)f(x)=log2x+x-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為

( )

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

4?函數(shù)f(x)=ax

2-x-1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則

實(shí)數(shù)a的值為 .

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考點(diǎn)突破·題型剖析

考點(diǎn)一 函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷

例1 (1)(2023?荊州調(diào)研)若x0 是方程

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÷

x

x

3 的根,則x0 屬于區(qū)間 ( )

A.

,1

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÷ B.

,

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è

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÷ C.

,

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è

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÷ D.0,

?

è

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÷

(2)(2023?濱州模擬)[x]表示不超過(guò)x 的最大

整數(shù),例如[35.]=3,[-0.5]=-1.已知x0 是方

程lnx+3x-15=0的根,則[x0]= ( )

A2. B3. C4. D5.

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感悟提升 確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法

(1)利 用 函 數(shù) 零 點(diǎn) 存 在 定 理:首 先 看 函 數(shù) y=

f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有

f(a)?f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).

(2)數(shù)形結(jié)合法:通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象,觀(guān)察圖象與x 軸

在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.

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— 47 —

第二章 函 數(shù)

第58頁(yè)

訓(xùn)練1 (1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以判定方程

lnx-x+2=0的一個(gè)根所在的區(qū)間為 ( )

x 1 2 3 4 5

lnx 0 0.693 1.099 1.386 1.609

x-2 -1 0 1 2 3

A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)

(2)(2023?焦作質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)=2

x +

x

零點(diǎn)為x0,則x0∈ ( )

A.(-4,-2) B.(-2,-1)

C.(1,2) D.(2,4)

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考點(diǎn)二 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

例2 (1)函數(shù)f(x)=2

x +x

3-2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的

零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( )

A0. B1. C2. D3.

(2)(2022?長(zhǎng)春二模)已知函數(shù)f(x)=

|lnx|,x>0,

{-2x(x+2),x≤0,

則函數(shù)y=f(x)-3的零

點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( )

A1. B2. C3. D4.

(3)(2023?湖南六校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=4cos

2x

?

cos

π

-x

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è

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÷-2sinx-|ln(x+1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

為 .

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感悟提升 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法

(1)直接求零點(diǎn):令f(x)=0,如果能求出解,那么有

幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在定理:利用該定理不僅要求函數(shù)在

[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn),且f(a)?f(b)<0,還

必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定

函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)畫(huà)兩個(gè)函數(shù)圖象,看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè),其中交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值,就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

訓(xùn)練2 (1)(2023???谫|(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)是定

義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=e

x +x-

3,則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( )

A1. B2. C3. D4.

(2)函數(shù)f(x)是R上最小正周期為2的周期函

數(shù),當(dāng)0≤x<2時(shí),f(x)=x

2-x,則函數(shù)y=

f(x)的圖象在區(qū)間[-3,3]上與x 軸的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)為 ( )

A6. B7. C8. D9.

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考點(diǎn)三 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

角度1 根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

例3 (多選)(2023?廊坊模擬)已知函數(shù)f(x)=

|x

2+3x+1|-a|x|,則下列結(jié)論正確的是 ( )

A.若f(x)沒(méi)有零點(diǎn),則a∈(-∞,0)

B.若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則a∈(1,5)

C.若f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn),則a=1或a=5

D.若f(x)恰有4個(gè)零點(diǎn),則a∈(5,+∞)

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— 48 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第59頁(yè)

角度2 根據(jù)零點(diǎn)范圍求參數(shù)范圍

例4 (2023?安康調(diào)研)若函數(shù)f(x)=e

-x -

ln(x+a)在(0,+∞)上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a 的

取值范圍是 ( )

A.-

e

,+∞

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÷ B.(-e,+∞)

C.-∞,

e

?

è

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÷ D.(-∞,e)

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感悟提升 已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)值或取值范圍

常用的方法和思路

(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不

等式,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍.

(2)分離參數(shù)法:將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的

問(wèn)題加以解決.

(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角

坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.

訓(xùn)練3 (1)(2023?北京順義區(qū)模擬)已知函數(shù)

f(x)=3

x -

1+ax

x

.若存在x0∈(-∞,-1),使

得f(x0)=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )

A.-∞,

?

è

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÷ B.0,

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è

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÷

C.(-∞,0) D.

,+∞

?

è

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÷

(2)(2023?濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)=

x,x≤0,

{|2x-3|,x>0,

g(x)=f(x)-

x+a,

若g(x)存在3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a 的取值范圍

為 .

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嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

函數(shù)的零點(diǎn)是命題的熱點(diǎn),常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)

問(wèn)題交匯.對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn),通常先“換元解

套”,設(shè)中間函數(shù)為t,通過(guò)換元將復(fù)合函數(shù)拆解為

兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù),借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.

一、判斷嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

例1 (2023?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知函數(shù)f(x)

lnx-

x

,x>0,

x

2+2x,x≤0,

ì

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í

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則函數(shù)y=f[f(x)+1]的

零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( )

A2. B3. C4. D5.

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訓(xùn)練1 已知函數(shù)f(x)=

e

x ,x<0,

4x

3-6x

2 { +1,x≥0,

其中 e為 自 然 對(duì) 數(shù) 的 底 數(shù),則 函 數(shù)g(x)=

3[f(x)]2-10f(x)+3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( )

A4. B5. C6. D3.

二、由嵌套函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)

例2 (2023?南通聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=

x

2+

x,x≤0,

-|2x-1|+1,x>0,

ì

?

í

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??

若關(guān)于x 的方程f

2(x)

-(k+1)xf(x)+kx

2=0有且只有三個(gè)不同的

實(shí)數(shù)解,則正實(shí)數(shù)k的取值范圍為 ( )

A.0,

?

è

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ù

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ú

ú B.

,1

é

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ê

ê

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÷∪(1,2)

C.(0,1)∪(1,2) D.(2,+∞)

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訓(xùn)練2 函數(shù)f(x)=

ln(-x-1),x<-1,

{2x+1,x≥-1,

函數(shù)g(x)=f(f(x))-a 有三個(gè)不同的零點(diǎn),

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

提醒:課后完成?一輪對(duì)點(diǎn)71練?第263頁(yè)

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— 49 —

第二章 函 數(shù)

第60頁(yè)

第10節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用

考試要求 1? 了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異,理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線(xiàn)上升”等

術(shù)語(yǔ)的含義.2? 會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律,了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.

知識(shí)診斷·基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1?指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較

函數(shù)

性質(zhì)

y=a

x

(a>1)

y=logax

(a>1)

y=x

n

(n>0)

在(0,+∞)

上的增減性

單調(diào) 單調(diào) 單調(diào)

增長(zhǎng)速度 越來(lái)越快 越來(lái)越慢 相對(duì)平穩(wěn)

圖象

的變化

隨x 的 增 大

逐 漸 表 現(xiàn) 為

平行

隨x 的 增 大

逐 漸 表 現(xiàn) 為

平行

隨n值

變化而

各有不同

值的比較

存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0 時(shí),有l(wèi)ogax<

x

n <a

x

2?幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型

函數(shù)模型 函數(shù)解析式

一次函

數(shù)模型

f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)

二次函

數(shù)模型

f(x)=ax

2+bx+c(a,b,c為常數(shù),

a≠0)

與指數(shù)函數(shù)

相關(guān)的模型

f(x)=ba

x +c(a,b,c為常數(shù),a>0

且a≠1,b≠0)

與對(duì)數(shù)函數(shù)

相關(guān)的模型

f(x)=blogax+c(a,b,c 為常數(shù),

a>0且a≠1,b≠0)

與冪函數(shù)

相關(guān)的模型

f(x)=ax

n +b(a,b,n為常數(shù),a≠0)

[常用結(jié)論]

1?“直線(xiàn)上升”是勻速增長(zhǎng),其增長(zhǎng)量固定不變;“指

數(shù)增長(zhǎng)”先慢后快,其增長(zhǎng)量成倍增加,常用“指數(shù)

爆炸”來(lái)形容;“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”先快后慢,其增長(zhǎng)量越

來(lái)越?。?/p>

2?充分理解題意,并熟練掌握幾種常見(jiàn)函數(shù)的圖象

和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3?易忽視實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍,需合理確

定函數(shù)的定義域,必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題

的合理性.

【診斷自測(cè)】

1?思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)

(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元,按進(jìn)價(jià)增加

10%出售,后因庫(kù)存積壓降價(jià),若按九折出售,則

每件還能獲利. ( )

(2)函數(shù)y=2

x 的函數(shù)值比y=x

2 的函數(shù)值大.( )

(3)不存在x0,使a

x0 <x

n

0<logax0. ( )

(4)在(0,+∞)上,隨著x 的增大,y=a

x (a>1)

的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=x

a (a>0)的

增長(zhǎng)速度. ( )

2?(2021?全國(guó)甲卷)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的

問(wèn)題,視力情況可借助視力表測(cè)量,通常用五分記

錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)

據(jù)L 和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V 滿(mǎn)足L=5+lgV.已知

某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力

的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(

10

10≈12.59) ( )

A.1.5 B.1.2

C.0.8 D.0.6

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— 50 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第61頁(yè)

3?某建材商場(chǎng)國(guó)慶期間搞促銷(xiāo)活動(dòng),規(guī)定:顧客購(gòu)物

總金額不超過(guò)800元時(shí),不享受任何折扣;如果顧

客購(gòu)物總金額超過(guò)800時(shí),那么超過(guò)800元部分享

受一定的折扣優(yōu)惠,按下表折扣分別累計(jì)計(jì)算

可以享受折扣優(yōu)惠金額 折扣率

不超過(guò)500元的部分 5%

超過(guò)500元的部分 10%

某人在此商場(chǎng)購(gòu)物總金額為x 元,可以獲得的折

扣金額為y 元,則y 關(guān)于x 的解析式為y=

0,0<x≤800,

5%(x-800),800<x≤1300,

10%(x-1300)+25,x>1300.

ì

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若y=30元,

則他購(gòu)物實(shí)際所付金額為 元.

4?某商品在最近30天內(nèi)的價(jià)格f(t)與時(shí)間t(單位:

天)的函數(shù)關(guān)系是f(t)=t+10(0<t≤30,t∈N),

銷(xiāo)售量g(t)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)=-t+

35(0<t≤30,t∈N),則這種商品的日銷(xiāo)售金額的

最大值是 .

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考點(diǎn)突破·題型剖析

考點(diǎn)一 利用函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的變化

過(guò)程

例1 已知正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)P 從B

點(diǎn)開(kāi)始沿折線(xiàn)BCDA 向A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)

的路程為x,△ABP 的面積為S,則函數(shù)S=

f(x)的圖象是 ( )

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感悟提升 判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相

吻合的兩種方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法:當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型

時(shí),先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象;

(2)驗(yàn)證法:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等

特點(diǎn),結(jié)合圖象的變化趨勢(shì),驗(yàn)證是否吻合,從中排

除不符合實(shí)際的情況,選擇出符合實(shí)際情況的答案.

訓(xùn)練1 (2023?泰州調(diào)

研)中國(guó)茶文化博大精

深,茶水的口感與茶葉類(lèi)

型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)

表明,某種綠茶用85℃

的水泡制,再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用,

可以產(chǎn)生最佳口感.為分析泡制一杯最佳口感

茶水所需時(shí)間,某研究人員每隔1min測(cè)量一

次茶水的溫度,根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的

散點(diǎn)圖.觀(guān)察散點(diǎn)圖的分布情況,下列哪個(gè)函數(shù)

模型可以近似地刻畫(huà)茶水溫度y 隨時(shí)間x 變

化的規(guī)律 ( )

Ay.=mx

2+n(x>0)

By.=ma

x +n(m>0,0<a<1)

Cy.=ma

x +n(m>0,a>1)

Dy.=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)

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第二章 函 數(shù)

第62頁(yè)

考點(diǎn)二 已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

例2 我國(guó)在2020年進(jìn)行了第七次人口普查登

記,到2021年4月以后才能公布結(jié)果.人口增長(zhǎng)

可以用英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯提出的模型:y=

y0?e

rt,其中t表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間(單位:年),y0

表示t=0時(shí)的人口數(shù)(單位:億),r表示人口的

年平均增長(zhǎng)率.以國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2000年第

五次人口普查登記(已上報(bào)戶(hù)口)的全國(guó)總?cè)丝?/p>

124.3億人(不包括香港、澳門(mén)和臺(tái)灣地區(qū))和

2010年第六次人口普查登記(已上報(bào)戶(hù)口)的全

國(guó)總?cè)丝冢保常常硟|人(不包括香港、澳門(mén)和臺(tái)灣

地區(qū))為依據(jù),用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型估計(jì)我

國(guó)2020年年末(不包括香港、澳門(mén)和臺(tái)灣地區(qū))

的全國(guó)總?cè)丝跀?shù)為(13.33

2=177.6889,12.43

2=

1545.049) ( )

A1.43.0億 B1.52.0億

C1.46.2億 D1.57.2億

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感悟提升 1?求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的

關(guān)注點(diǎn).

(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型,弄清哪些量為待定系數(shù);

(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定

系數(shù).

2?利用函數(shù)模型,借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)

際問(wèn)題,并進(jìn)行檢驗(yàn).

訓(xùn)練2 在不考慮空氣阻力的條件下,從發(fā)射開(kāi)

始,火箭的最大飛行速度v(單位:千米/秒)滿(mǎn)

足公式v=wln1+

M

m

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÷,其中 M 為火箭推進(jìn)劑

質(zhì)量,m 為去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量

(單位:噸),w 為火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流相對(duì)火箭的速

度(單位:千米/秒).當(dāng) M=3m 時(shí),v=55.44千

米/秒.在保持w 不變的情況下,若m=25噸,假

設(shè)要使v超過(guò)第一宇宙速度達(dá)到8千米/秒,則

M 至少約為(結(jié)果精確到1,參考數(shù)據(jù):e

2 ≈

73.89,ln2≈06.93) ( )

A1.35噸 B1.60噸 C1.85噸 D2.10噸

考點(diǎn)三 構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

角度1 構(gòu)建二次函數(shù)模型

例3 某城市對(duì)一種售價(jià)為每件160元的商品征

收附加稅,稅率為R%(即每銷(xiāo)售100元征稅R

元),若每年銷(xiāo)售量為 30-

R

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è

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÷萬(wàn)件,要使附加

稅不少于128萬(wàn)元,則R 的取值范圍是 ( )

A.[4,8] B.[6,10]

C.[4%,8%] D.[6%,10%]

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角度2 構(gòu)建分段函數(shù)模型

例4 (2023?臨沂測(cè)試)已知某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品的

年固定成本為100萬(wàn)元,每生產(chǎn)1千件需另投

入27萬(wàn)元,設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x 千件

(0<x≤25)并全部銷(xiāo)售完,每千件的銷(xiāo)售收入

為R(x)(單位:萬(wàn)元),且

R(x)=

108-

x

2,0<x≤10,

-x+

175

x

+57,10<x≤25.

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í

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??

(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)f(x)(單位:萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量

x(單位:千件)的函數(shù)解析式;

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高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第63頁(yè)

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一產(chǎn)品

的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大? (注:年利潤(rùn)=年銷(xiāo)

售收入-年總成本)

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感悟提升 在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)需注意以

下四個(gè)步驟:

(1)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)

系,初步選擇函數(shù)模型.

(2)建模:將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將文字語(yǔ)言

轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的函數(shù)

模型.

(3)解模:求解函數(shù)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論.

(4)還原:將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問(wèn)題.

訓(xùn)練3 (1)(2023?重慶巴蜀中學(xué)月考)某公司的

收入由保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入和理財(cái)業(yè)務(wù)收入兩部分組

成.該公司2020年總收入為200億元,其中保險(xiǎn)業(yè)

務(wù)收入為150億元,理財(cái)業(yè)務(wù)收入為50億元.該

公司經(jīng)營(yíng)狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定,預(yù)計(jì)每年總收入

比前一年增加20億元.因越來(lái)越多的人開(kāi)始注重

理財(cái),公司理財(cái)業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從2021年起

每年通過(guò)理財(cái)業(yè)務(wù)的收入是前一年的t倍.若要

使得該公司2025年的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入不高于當(dāng)年

總收入的60%,則t的值至少為 ( )

A.

24. B.

36. C.

24. D.

36.

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(2)國(guó)慶期間,某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游,若

每團(tuán)人數(shù)在30或30以下,飛機(jī)票每張收費(fèi)

900元;若每團(tuán)人數(shù)多于30,則給予優(yōu)惠:每多

1人,機(jī)票每張減少10元,直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)

75為止.每團(tuán)乘飛機(jī),旅行社需付給航空公司包

機(jī)費(fèi)15000元.

①寫(xiě)出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù);

②每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn)?

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提醒:課后完成?一輪對(duì)點(diǎn)71練?第264頁(yè)

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第二章 函 數(shù)

第64頁(yè)

第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

考試要求 1? 了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2? 通過(guò)函數(shù)圖象,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

3? 能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(形如f(ax+b))的導(dǎo)數(shù).

知識(shí)診斷·基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1?導(dǎo)數(shù)的概念

(1)稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在x=x0 處的瞬時(shí)變化率

limΔx→0

f(x0+Δx)-f(x0)

Δx

為函數(shù)y=f(x)在x=x0

處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0),即f′(x0)= .

(2)在f(x)的定義域內(nèi),f′(x)是一個(gè)函數(shù),這個(gè)

函數(shù)通常稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作

(或 y′,yx′),即f′(x)=y(tǒng)′=y(tǒng)x′=

limΔx→0

f(x+Δx)-f(x)

Δx

,導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù).

2?導(dǎo)數(shù)的幾何意義

f′(x0)是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切

線(xiàn)的斜率,從而在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線(xiàn)方程為

3?基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)

f(x)=C(C 為常數(shù)) f′(x)=

f(x)=x

α (α∈Q,且α≠0) f′(x)=

f(x)=sinx f′(x)=

f(x)=cosx f′(x)=

f(x)=a

x (a>0,且a≠1) f′(x)=

f(x)=e

x f′(x)=

f(x)=logax(a>0,且a≠1) f′(x)=

f(x)=lnx f′(x)=

4?導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

若f′(x),g′(x)存在,則有:

(1)[f(x)±g(x)′]= ;

(2)[f(x)g(x)′]= ;

(3)

f(x)

g(x)

é

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ê

ê

ù

?

ú

ú

= (g(x)≠0);

(4)[cf(x)′]= .

5?復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),

u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′= ,

即y 對(duì)x 的導(dǎo)數(shù)等于y 對(duì)u 的導(dǎo)數(shù)與u 對(duì)x 的

導(dǎo)數(shù)的乘積.

[常用結(jié)論]

1?

f(x)

é

?

ê

ê

ù

?

ú′ú =-

f′(x)

[f(x)]2(f(x)≠0).

2?曲線(xiàn)的切線(xiàn)與曲線(xiàn)的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不一定只有

一個(gè),而直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)相切只有一個(gè)公共點(diǎn).并

注意“在點(diǎn)P 處的切線(xiàn)”,說(shuō)明點(diǎn)P 為切點(diǎn),點(diǎn)P

既在曲線(xiàn)上,又在切線(xiàn)上;“過(guò)點(diǎn)P 處的切線(xiàn)”,說(shuō)

明點(diǎn)P 不一定是切點(diǎn),點(diǎn)P 一定在切線(xiàn)上,但不

一定在曲線(xiàn)上.

3?函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的

瞬時(shí)變化趨勢(shì),其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向,

|f′(x)|的大小反映了f(x)圖象變化的快慢,

|f′(x)|越大,曲線(xiàn)在這點(diǎn)處的切線(xiàn)越“陡”.

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第65頁(yè)

【診斷自測(cè)】

1?思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)

(1)f′(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0 附近的瞬時(shí)

變化率. ( )

(2)函數(shù)f(x)=sin(-x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=cosx.

( )

(3)求f′(x0)時(shí),可先求f(x0),再求f′(x0).( )

(4)曲 線(xiàn) y=f(x)在 某 點(diǎn) 處 的 切 線(xiàn) 與 曲 線(xiàn)

y=f(x)過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)意義是相同的. ( )

2?(多選)下列導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中正確的是 ( )

A.(3

x ′)=3

xln3

B.(x

2lnx′)=2xlnx+x

C.

cosx

x

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è

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÷ =

xsinx-cosx

x

D.(sinxcosx′)=cos2x

3?已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)=

f′

π

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÷cosx-sinx,則f′

π

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è

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÷= .

4?曲線(xiàn)y=

2x-1

x+2

在點(diǎn)(-1,-3)處的切線(xiàn)方程為

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考點(diǎn)突破·題型剖析

考點(diǎn)一 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=x

2sinx;(2)y=ln 1+x

2 ;

(3)y=

cosx

e

x ;

(4)y=xsin2x+

π

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÷cos2x+

π

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÷.

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感悟提升 1?求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分

成基本初等函數(shù)的和、差、積、商,再利用運(yùn)算法則

求導(dǎo).

2?抽象函數(shù)求導(dǎo),恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵,然后活用方程

思想求解.

3?復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo),必要時(shí)要

進(jìn)行換元.

訓(xùn)練1 (1)(多選)(2023?濟(jì)南質(zhì)檢)下列求導(dǎo)

運(yùn)算正確的是 ( )

A.

lnx

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÷

′=-

xln

2x

B.(x

2e

x ′)=2x+e

x

C.cos2x-

π

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÷

é

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ê

ê

ù

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ú

ú

′=-sin2x-

π

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÷

D.x-

x

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è

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÷

′=1+

x

(2)(2023?河北省部分學(xué)校模擬)已知函數(shù)

f(x)=e

2x +f′(1)x

2,則f′(1)= ( )

A.-2e

2 B2.e

2 Ce.

2 D.-e

(3)已知函數(shù)f(x)=sinx+4x,則

limΔx→0

f(π+2Δx)-f(π)

Δx

= .

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— 55 —

第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第66頁(yè)

考點(diǎn)二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義

角度1 求切線(xiàn)方程

例2 (1)(2023?臨沂一模)函數(shù)f(x)=xln(-x),

則曲線(xiàn)y=f(x)在x=-e處的切線(xiàn)方程

為 .

(2)(2022?新高考Ⅱ卷)曲線(xiàn)y=ln|x|過(guò)坐標(biāo)

原點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的方程為 , .

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角度2 求切點(diǎn)坐標(biāo)或參數(shù)

例3 (1)(2023?開(kāi)封一模)若直線(xiàn)y=1與曲線(xiàn)

f(x)=ae

x -x

2 相切,則a= ( )

A2.e Be. C.

e

D.

e

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A 在曲線(xiàn)y=

lnx 上,且該曲線(xiàn)在點(diǎn)A 處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-e,

-1),則點(diǎn)A 的坐標(biāo)是 .

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角度3 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象問(wèn)題

例4 (1)(多選)(2023?桂林???設(shè)f′(x)是函數(shù)

f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f′(x)>0,且對(duì)?x1,x2∈R,

且x1≠x2,總有

f(x1)+f(x2)

<f

x1+x2

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è

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÷,

則下列選項(xiàng)正確的是 ( )

Af.(π)<f(e)<f(2)

Bf.′(π)<f′(e)<f′(2)

Cf.′(1)<f(2)-f(1)<f′(2)

Df.′(2)<f(2)-f(1)<f′(1)

(2)已知y=f(x)是可導(dǎo)

函數(shù),如圖,直線(xiàn)y=kx+2

是曲線(xiàn)y=f(x)在x=3處

的切線(xiàn),令g(x)=xf(x),

g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù),則g′(3)= .

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感悟提升 求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程要分清“在點(diǎn)處”與

“過(guò)點(diǎn)處”的切線(xiàn)方程的不同.過(guò)點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)不

知道,要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)斜率相等,切點(diǎn)在切

線(xiàn),切點(diǎn)在曲線(xiàn)建立方程(組)求解,求出切點(diǎn)坐標(biāo)

是解題的關(guān)鍵.

訓(xùn)練 2 (1)已知函數(shù)y=

f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象

之一,且其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的

圖象如圖所示,則該函數(shù)的圖象是 ( )

(2)(2023?大連調(diào)研)已知曲線(xiàn)y=x+

k

lnx

在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+2y=0垂直,則

k= .

(3)已知函數(shù)f(x)=xlnx,若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(0,

-1),且與曲線(xiàn)y=f(x)相切,則直線(xiàn)l的方程

為 .

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— 56 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第67頁(yè)

考點(diǎn)三 導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

例5 (1)(2021?新高考Ⅰ卷)若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作

曲線(xiàn)y=e

x 的兩條切線(xiàn),則 ( )

Ae.

b <a Be.

a <b

C0.<a<e

b D0.<b<e

a

(2)(2022?新高考Ⅰ卷)若曲線(xiàn)y=(x+a)e

x 有

兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn),則a 的取值范圍是

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感悟提升 處理與切線(xiàn)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題,通常利用

曲線(xiàn)、切線(xiàn)、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)

并解出參數(shù):(1)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線(xiàn)的斜率;(2)切

點(diǎn)在切線(xiàn)上,故滿(mǎn)足切線(xiàn)方程;(3)切點(diǎn)在曲線(xiàn)上,故

滿(mǎn)足曲線(xiàn)方程.

訓(xùn)練3 (1)函數(shù)f(x)=lnx+ax 的圖象存在

與直線(xiàn)2x-y=0平行的切線(xiàn),則實(shí)數(shù)a 的取

值范圍是 ( )

A.(-∞,2] B.(-∞,2)

C.(2,+∞) D.(0,+∞)

(2)(2023?孝感聯(lián)考)若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線(xiàn)

y=lnx 的兩條切線(xiàn),則 ( )

Aa.<lnb Bb.<lna

Cl.nb<a Dl.na<b

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公切線(xiàn)問(wèn)題

(1)求兩條曲線(xiàn)的公切線(xiàn),如果同時(shí)考慮兩條曲線(xiàn)

與直線(xiàn)相切,頭緒會(huì)比較亂,為了使思路更清晰,一

般是把兩條曲線(xiàn)分開(kāi)考慮,先分析其中一條曲線(xiàn)與

直線(xiàn)相切,再分析另一條曲線(xiàn)與直線(xiàn)相切,直線(xiàn)與

拋物線(xiàn)相切可用判別式法.

(2)公切線(xiàn)條數(shù)的判斷問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)

求解問(wèn)題.

一、共切點(diǎn)的公切線(xiàn)問(wèn)題

例1 (2023?金華模擬)已知函數(shù)f(x)=ax

2 與

g(x)=lnx 的圖象在公共點(diǎn)處有共同的切線(xiàn),

則實(shí)數(shù)a的值為 .

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二、不同切點(diǎn)的公切線(xiàn)問(wèn)題

例2 已知曲線(xiàn)y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)與曲

線(xiàn)y=ax

2+(a+2)x+1相切,則a= .

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三、公切線(xiàn)條數(shù)的判斷

例3 曲線(xiàn)y=-

x

(x<0)與曲線(xiàn)y=lnx 的公切

線(xiàn)的條數(shù)為 條.

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訓(xùn)練 (1)若直線(xiàn)y=kx+b是曲線(xiàn)y=lnx+2

的切線(xiàn),也是曲線(xiàn)y=ln(x+1)的切線(xiàn),則

b= .

(2)若曲線(xiàn)C1:y=ax

2(a>0)與曲線(xiàn)C2:y=e

x

存在公共切線(xiàn),則a的取值范圍為 .

提醒:課后完成?一輪對(duì)點(diǎn)71練?第267頁(yè)

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第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第68頁(yè)

第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

考試要求 1? 借助幾何直觀(guān)了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2? 能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).

知識(shí)診斷·基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1?函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

條件 恒有 結(jié)論

函 數(shù) y =

f(x)在區(qū)間

(a,b)上 可

導(dǎo)

f′(x)>0 f(x)在(a,b)上

f′(x)<0 f(x)在(a,b)上

f′(x)=0 f(x)在(a,b)上是

2?利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

第1步,確定函數(shù)的 ;

第2步,求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的 ;

第3步,用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為

若干個(gè)區(qū)間,列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù),

由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

[常用結(jié)論]

1?若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,則x∈(a,b)時(shí),

f′(x)≥0恒成立;若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞

減,則x∈(a,b)時(shí),f′(x)≤0恒成立.

2?若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則x

∈(a,b)時(shí),f′(x)>0有解;若函數(shù)f(x)在(a,b)

上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則x∈(a,b)時(shí),f′(x)<0

有解.

【診斷自測(cè)】

1?思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)

(1)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,那么一定有

f′(x)>0. ( )

(2)在(a,b)內(nèi)f′(x)≤0且f′(x)=0的根為有

限個(gè),則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減. ( )

(3)若函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)>0,則

f(x)在定義域上一定單調(diào)遞增. ( )

(4)函數(shù)f(x)=x-sinx在R上是增函數(shù).( )

2?(多選)已知定義在 R上的

函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)

的大致圖象如圖所示,則下

列敘述正確的是 ( )

A.f(b)>f(c)>f(d)

B.f(b)>f(a)>f(e)

C.f(c)>f(b)>f(a)

D.f(c)>f(d)>f(e)

3?函數(shù)f(x)=x

3 +2x

2 -4x 的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間

是 .

4?若y=x+

a

x

(a>0)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則a

的取值范圍是 .

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考點(diǎn)突破·題型剖析

考點(diǎn)一 不含參函數(shù)的單調(diào)性

例1 (1)下列函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是 ( )

Af.(x)=sin2x Bf.(x)=xe

x

Cf.(x)=x

3-x Df.(x)=-x+lnx

(2)若函數(shù)f(x)=

lnx+1

e

x ,則函數(shù)f(x)的單調(diào)

遞減區(qū)間為 .

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感悟提升 確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性,按照判斷

函數(shù)單調(diào)性的步驟即可,但應(yīng)注意一是不能漏掉求

函數(shù)的定義域,二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集,

要用“逗號(hào)”或“和”隔開(kāi).

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— 58 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第69頁(yè)

訓(xùn)練1 (1)函數(shù)f(x)=x

2-2lnx 的單調(diào)遞減

區(qū)間是 ( )

A.(0,1) B.(1,+∞)

C.(-∞,1) D.(-1,1)

(2)已知定義在區(qū)間(0,π)上的函數(shù)f(x)=x+

2cosx,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .

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考點(diǎn)二 含參函數(shù)的單調(diào)性

例2 已知函數(shù)f(x)=

ax

2-(a+1)x+lnx,

a>0,試討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.

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感悟提升 若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式,首先看能否因

式分解,再討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)及兩根的大小;

若不能因式分解,則需討論判別式Δ 的正負(fù),二次

項(xiàng)系數(shù)的正負(fù),兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).

訓(xùn)練2 (2021?全國(guó)乙卷節(jié)選)討論函數(shù)f(x)

=x

3-x

2+ax+1的單調(diào)性.

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— 59 —

第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第70頁(yè)

考點(diǎn)三 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

角度1 由單調(diào)性求參數(shù)

例3 已知g(x)=2x+lnx-

a

x

(1)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)

數(shù)a的取值范圍;

(2)若g(x)在區(qū)間[1,2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間,

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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角度2 比較大小

例4 (1)(2023?湖州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=3x+

2cosx.若a=f(3

2),b=f(2),c=f(log27),則

a,b,c的大小關(guān)系是 ( )

Aa.<b<c Bc.<b<a

Cb.<a<c Db.<c<a

(2)已知函數(shù)f(x)=xsinx,x∈R,則f

π

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÷,

f(1),f -

π

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÷的大小關(guān)系為 .

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角度3 解不等式

例5 已知函數(shù)f(x)=e

x -e

-x -2x+1,則不等

式f(2x-3)>1的解集為 .

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感悟提升 1?根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的方法:

(1)利用集合間的包含關(guān)系處理:y=f(x)在(a,b)

上單調(diào),則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈

(a,b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且在(a,b)內(nèi)的任

一非空子區(qū)間上,f′(x)不恒為零,應(yīng)注意此時(shí)式子

中的等號(hào)不能省略,否則會(huì)漏解.

(3)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上不單調(diào),則轉(zhuǎn)化

為f′(x)=0在(a,b)上有解(需驗(yàn)證解的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)

是否異號(hào)).

2?利用導(dǎo)數(shù)比較大小,其關(guān)鍵是判斷已知(或構(gòu)造

后的)函數(shù)的單調(diào)性,利用其單調(diào)性比較大?。?/p>

3?與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式,要充分挖掘條件關(guān)

系,恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)

性,從而解不等式.

訓(xùn)練3 (1)已知函數(shù)f(x)=lnx-

x

e

x,設(shè)a=

f

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÷,b=f(2),c=f

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è

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÷,則 ( )

Aa.>b>c Bb.>a>c

Cc.>b>a Dc.>a>b

(2)已知函數(shù)g(x)=2x+lnx-

a

x

在區(qū)間[1,2]

上不單調(diào),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

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— 60 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第71頁(yè)

函數(shù)中的構(gòu)造問(wèn)題

近三年的高考數(shù)學(xué)試題都出現(xiàn)了比較大小問(wèn)題,且

是作為小題中的壓軸題出現(xiàn)的,此類(lèi)問(wèn)題,通常需

要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性,從而使問(wèn)題

得以解決.

一、利用f(x)與e

x 構(gòu)造

(1)出現(xiàn)f′(x)-f(x)的形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=

f(x)

e

x ;

(2)出現(xiàn)f′(x)+f(x)的形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=

f(x)e

x .

例1f(x)為定義在 R上的可導(dǎo)函數(shù),且f′(x)

>f(x),對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,下列式子一定成立

的是 ( )

Af.(a)<e

af(0) Bf.(a)>e

af(0)

Cf.(a)<

f(0)

e

a Df.(a)>

f(0)

e

a

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二、利用f(x)與x

n 構(gòu)造

(1)出現(xiàn)nf(x)+xf′(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=

x

nf(x);

(2)出現(xiàn)xf′(x)-nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=

f(x)

x

n .

例2 已知偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),x≠0,

且滿(mǎn) 足 f(-1)=0,當(dāng) x>0 時(shí),2f(x)>

xf′(x),則使得f(x)>0成立的x 的取值范圍

是 .

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三、利用f(x)與sinx、cosx 構(gòu)造可導(dǎo)型函數(shù)

(1)若F(x)=f(x)sinx,則F′(x)=f′(x)sinx+

f(x)cosx;

(2)若F(x)=

f(x)

sinx

,

則F′(x)=

f′(x)sinx-f(x)cosx

sin

2x

;

(3)若F(x)=f(x)cosx,

則F′(x)=f′(x)cosx-f(x)sinx;

(4)若F(x)=

f(x)

cosx

,

則F′(x)=

f′(x)cosx+f(x)sinx

cos

2x

例3 (多選)已知定義在 0,

π

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è

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÷ 上的函數(shù)f(x),

f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),且恒有f′(x)sinx-

f(x)cosx<0成立,則 ( )

Af.

π

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è

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÷> 2f

π

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÷ B.2f

π

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÷>f

π

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÷

C.3f

π

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÷>f

π

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÷ D.2f

π

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÷>f

π

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÷

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訓(xùn)練 (1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函

數(shù)為f′(x),對(duì)任意x∈R,滿(mǎn)足f(x)+f′(x)<

0,則下列結(jié)論一定正確的是 ( )

Ae.

2f(2)>e

3f(3) Be.

2f(2)<e

3f(3)

Ce.

3f(2)>e

2f(3) De.

3f(2)<e

2f(3)

(2)(2023?紹興調(diào)研)已知定義在 R上的函數(shù)

f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),對(duì)任意x∈(0,π),有

f′(x)sinx>f(x)cosx,設(shè)a=2f

π

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è

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÷,b=

2f

π

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è

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÷,c=f

π

?

è

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÷,則a,b,c 的 大 小 關(guān) 系

為 .

(3)(2023?湘豫名校聯(lián)考)已知定義在 R上的

函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),當(dāng)x>0時(shí),

f′(x)-

f(x)

x

>0,若a=2f(1),b=f(2),c=

4f

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è

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÷,則a,b,c的大小關(guān)系是 .

提醒:課后完成?一輪對(duì)點(diǎn)71練?第269頁(yè)

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第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第72頁(yè)

第3節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

考試要求 1? 借助函數(shù)圖象,了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.2? 會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.

3?會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.

知識(shí)診斷·基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1?函數(shù)的極值

一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在x0 處可導(dǎo),且f′(x0)=0.

(1)如果對(duì)于x0 左側(cè)附近的任意x,都有 ;

對(duì)于x0 右側(cè)附近的任意x,都有 ,那么此

時(shí)x0 是f(x)的極大值點(diǎn).

(2)如果對(duì)于x0 左側(cè)附近的任意x,都有 ;

對(duì)于x0 右側(cè)附近的任意x,都有 ,那么此

時(shí)x0 是f(x)的極小值點(diǎn).

(3)如果f′(x)在x0 的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為

正號(hào)(或均為負(fù)號(hào)),則x0一定不是y=f(x)的

極值點(diǎn).

(4)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為 ,極小值

和極大值統(tǒng)稱(chēng)為 .

2?函數(shù)的最大(小)值

(1)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值

如果函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇a,b]且存在最

值,函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么函數(shù)的最

值點(diǎn)要么是區(qū)間端點(diǎn)a或b,要么是極值點(diǎn).

(2)求y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大(小)值的

步驟:

①求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的 ;

②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值

比較,其中最大的一個(gè)是最大值,

最小的一個(gè)是最小值.

[常用結(jié)論]

1?求最值時(shí),應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系,關(guān)

系不確定時(shí),需要分類(lèi)討論,不可想當(dāng)然認(rèn)為極

值就是最值.

2?函數(shù)最值是“整體”概念,而函數(shù)極值是“局部”概

念,極大值與極小值之間沒(méi)有必然的大小關(guān)系.

【診斷自測(cè)】

1?思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)

(1)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),若f′(x0)=0,則x0 為

極值點(diǎn). ( )

(2)函數(shù)的極大值不一定是最大值,最小值也不

一定是極小值. ( )

(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上不存在最值.( )

(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上一定存在最值.( )

2?如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象,則f(x)的

極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

3?已知f(x)=x

3-12x+1,x∈ -

,1

é

?

ê

ê

ù

?

ú

ú ,則f(x)

的最大值為 ,最小值為 .

4?函數(shù)f(x)=x

3-ax

2+2x-1有極值,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是 .

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高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第73頁(yè)

考點(diǎn)突破·題型剖析

考點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

角度1 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象判斷極值

例1 (多選)(2022?重慶檢測(cè))函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)

函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則 ( )

A.-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)

B.-1是函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)

Cy.=f(x)在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增

D.-2是函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)

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感悟提升 由圖象判斷函數(shù)y=f(x)的極值,要

抓住兩點(diǎn):(1)由y=f′(x)的圖象與x 軸的交點(diǎn),

可得函數(shù)y=f(x)的可能極值點(diǎn);(2)由導(dǎo)函數(shù)

y=f′(x)的圖象可以看出y=f′(x)的值的正負(fù),

從而可得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得

極值點(diǎn).

角度2 求函數(shù)的極值

例2 已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R).

(1)當(dāng)a=

時(shí),求f(x)的極值;

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(2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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感悟提升 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步

驟:(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x);

(3)解方程f′(x)=0,求出函數(shù)在定義域內(nèi)的所有

根;(4)列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)=0的根x0 左右兩

側(cè)值的符號(hào);(5)求出極值.

角度3 由函數(shù)的極值求參數(shù)

例3 (1)(2023?綿陽(yáng)質(zhì)檢)若x=2是函數(shù)f(x)

=x

2+2(a-2)x-4alnx 的極大值點(diǎn),則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是 ( )

A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)

C.(2,+∞) D.(-2,2)

(2)(2023?南京模擬)已知函數(shù)f(x)=x(lnx

-ax)在(0,+∞)上有兩個(gè)極值,則實(shí)數(shù)a的取

值范圍為 .

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感悟提升 (1)已知函數(shù)極值確定函數(shù)解析式中的

參數(shù)時(shí),要根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條

件列方程組,利用待定系數(shù)法求解,求解后要檢驗(yàn).

(2)判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的根的個(gè)數(shù).

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第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第74頁(yè)

訓(xùn)練1 (1)設(shè)函數(shù)f(x)在 R上

可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函

數(shù)y=(1-x)f′(x)的圖象如圖

所示,則下列結(jié)論中一定成立的

是 ( )

A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)

B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)

C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)

D.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)

(2)(2023?長(zhǎng)沙模擬)若x=1是函數(shù)f(x)=

(x

2+ax-1)e

x-1的極值點(diǎn),則f(x)的極大值

為 .

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=lnx-mx+

m

x

,若g(x)存在

兩個(gè) 極 值 點(diǎn) x1,x2,則 實(shí) 數(shù) m 的 取 值 范圍

為 .

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考點(diǎn)二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

角度1 求已知函數(shù)的最值

例4 已知函數(shù)f(x)=xlnx-a(x-1),求函數(shù)

f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.

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角度2 由函數(shù)的最值求參數(shù)

例5 (2023?蘇州模擬)函數(shù)f(x)=-

x

3+x

在(a,10-a

2)上有最大值,則實(shí)數(shù)a 的取值范

圍是 .

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感悟提升 (1)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最

值時(shí),在得到極值的基礎(chǔ)上,結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)

值f(a),f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)

的最值.

(2)若所給函數(shù)f(x)含參數(shù),則需通過(guò)對(duì)參數(shù)分類(lèi)討

論,判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)f(x)的最值.

訓(xùn)練2 已知函數(shù)f(x)=(4x

2+4ax+a

2)x,

其中a<0.若f(x)在區(qū)間[1,4]上的最小值為

8,求a的值.

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提醒:課后完成?一輪對(duì)點(diǎn)71練?第271頁(yè)

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— 64 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第75頁(yè)

第4節(jié) 導(dǎo)數(shù)中的綜合問(wèn)題

第一課時(shí) 不等式恒(能)成立問(wèn)題

題型一 分離參數(shù)法求參數(shù)范圍

例1 (2023?成都一診節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=

sinx-2ax,a∈R,若關(guān)于x 的不等式f(x)≤

cosx-1在區(qū)間

π

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÷ 上恒成立,求a 的取值

范圍.

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感悟提升 (1)分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題,這要比分類(lèi)討論法簡(jiǎn)便

非常多.

(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max;

a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min;

a≥f(x)能成立?a≥f(x)min;

a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.

訓(xùn)練1 (2020?全國(guó)Ⅰ卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=

e

x +ax

2-x.當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥

x

3+1恒成

立,求a的取值范圍.

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— 65 —

第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第76頁(yè)

題型二 分類(lèi)討論法求參數(shù)范圍

例2 已知函數(shù)f(x)=lnx-a(x-1),a∈R,x∈

[1,+∞),且f(x)≤

lnx

x+1

恒成立,求a 的取值

范圍.

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感悟提升 根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵

是將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是

對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論,在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最

值,并判斷是否滿(mǎn)足題意,若不滿(mǎn)足題意,只需找一

個(gè)值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿(mǎn)足題意即可.

訓(xùn)練2 已知函數(shù)f(x)=e

x-1-ax+lnx(a∈R).

若不等式f(x)≥lnx-a+1對(duì)一切x∈

[1,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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— 66 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第77頁(yè)

題型三 雙變量的恒(能)成立

例3 設(shè)f(x)=

a

x

+xlnx,g(x)=x

3-x

2-3.

(1)如果存在x1,x2 ∈[0,2],使得g(x1)-

g(x2)≥M 成立,求滿(mǎn)足上述條件的最大整數(shù)M;

(2)如果對(duì)于任意的s,t∈

,2

é

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ê

ù

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ú

ú ,都有f(s)≥

g(t)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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感悟提升 雙變量的恒(能)成立問(wèn)題,常見(jiàn)的轉(zhuǎn)

化有:

(1)?x1∈M,?x2∈N,f(x1)>g(x2)?

f(x)min>g(x)min.

(2)?x1∈M,?x2∈N,f(x1)>g(x2)?

f(x)min>g(x)max.

(3)?x1∈M,?x2∈N,f(x1)>g(x2)?

f(x)max>g(x)min.

(4)?x1∈M,?x2∈N,f(x1)>g(x2)?

f(x)max>g(x)max.

訓(xùn)練3 已知函數(shù)f(x)=x-(a+1)lnx-

a

x

(a∈R),g(x)=

x

2+e

x -xe

x .

(1)當(dāng)x∈[1,e]時(shí),求f(x)的最小值;

(2)當(dāng)a<1時(shí),若存在x1∈[e,e

2],使得對(duì)任意

的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求a 的

取值范圍.

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提醒:課后完成?一輪對(duì)點(diǎn)71練?第273頁(yè)

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— 67 —

第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第78頁(yè)

第二課時(shí) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

題型一 數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)零點(diǎn)

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+

m

x

,m∈R,討論函數(shù)

g(x)=f′(x)-

x

零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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感悟提升 含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù),可轉(zhuǎn)化為方程

解的個(gè)數(shù),若能分離參數(shù),可將參數(shù)分離出來(lái)后,用

x 表示參數(shù)的函數(shù),作出該函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象

特征求參數(shù)的范圍.

訓(xùn)練1 (2022?甘肅九校聯(lián)考節(jié)選)已知函數(shù)

f(x)=x-ae

x ,a∈R,討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)

個(gè)數(shù).

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題型二 利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點(diǎn)

例2 (12分)(2022?全國(guó)乙卷)已知函數(shù)f(x)=

ln(1+x)+axe

-x .

(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))

處的切線(xiàn)方程;

(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一

個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

[思路分析] (1)先求出切點(diǎn),再求導(dǎo)可得切線(xiàn)

的斜率,從而求出切線(xiàn)方程.

(2)對(duì)參數(shù)a 分類(lèi)討論,根據(jù)a 的范圍確定

f′(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)上的符號(hào),進(jìn)而

得到f(x)的單調(diào)性,再結(jié)合f(x)的符號(hào),利用

零點(diǎn)的存在定理得出結(jié)論.

[規(guī)范解答] 解 (1)當(dāng)a=1時(shí),

f(x)=ln(1+x)+x?e

-x ,

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∴f′(x)=

x+1

+e

-x +x?e

-x?(-1)① ,

→ 求導(dǎo)數(shù) (1分)

∴f′(0)=1+1=2.

∵f(0)=0,

∴所求切線(xiàn)方程為y-0=2?(x-0),

即y=2x. (2分)

(2)∵f(x)=ln(x+1)+

ax

e

x ,

①當(dāng)a≥0時(shí)③ ,若x>0,

則ln(x+1)>0,

ax

e

x ≥0,

??????

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∴??f?(x?)>?0?,?

→ 利用函數(shù)值大于0判定f(x)在(0,+∞)上無(wú)零點(diǎn)

∴f(x)在(0,+∞)上無(wú)零點(diǎn),不符合題意. (3分)

②當(dāng)a<0時(shí)③ ,f′(x)=

e

x +a(1-x

2)

(x+1)e

x

令g(x)=e

x +a(1-x

2),則g′(x)=e

x -2ax,

g′(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,

g′(-1)=e

-1+2a,g′(0)=1

② , (4分)

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— 68 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第79頁(yè)

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若??g′?(-?1?)≥?0?,?

→ 討論g′(-1)的符號(hào),確定f(x)的單調(diào)性

則-

2e

≤a<0,

∴-

2e

≤a<0時(shí),g′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,

∴g(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,

∵g(-1)=e

-1>0,

∴g(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,

∴f′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,

∴f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,

??????

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∵?

?f?(?0)?=?0

②?,?

?

→根據(jù)f(x)的單調(diào)性與函數(shù)值的符號(hào)判定零點(diǎn)個(gè)數(shù)

∴f(x)在(-1,0),(0,+∞)上均無(wú)零點(diǎn),不符合

題意. (6分)

(b)若g′(-1)<0,則a<-

2e

,

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∴a<-

2e

時(shí),存在x0∈(-1,0),使得g′(x0)=0.

借助于隱零點(diǎn)x0,得g(x)的單調(diào)性,則g(x)在

(-1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增

g(-1)=e

-1>0,g(0)=1+a,g(1)=e>0. (7分)

(ⅰ)當(dāng)g(0)≥0,即-1≤a<-

2e

時(shí),g(x)>0在(0,

+∞)上恒成立,

∴f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,

∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

∵f(0)=0,∴當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)>0,

∴f(x)在(0,+∞)上無(wú)零點(diǎn),不符合題意. (9分)

(ⅱ)當(dāng)g(0)<0,即a<-1時(shí),

存在x1∈(-1,x0),x2∈(0,1),

使得g(x1)=g(x2)=0,

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?∴?f(x)在(-1,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增,

在(x1,x2)上單調(diào)遞減.

→ 借助于隱零點(diǎn)x1,x2,說(shuō)明f(x)的單調(diào)性

∵f(0)=0,∴f(x1)>f(0)=0

② ,

當(dāng)x→-1時(shí),f(x)<0

② .

∴f(x)在(-1,x1)上存在一個(gè)零點(diǎn),

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?即?f(x)在(-1,0)上存在一個(gè)零點(diǎn),

∵f(0)=0,當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)>0

② ,

∴f(x)在(x2,+∞)上存在一個(gè)零點(diǎn),

即f(x)在(0,+∞)上存在一個(gè)零點(diǎn).

利用零點(diǎn)存在定理,判定f(x)在(-1,0),

(0,+∞)上各存在一個(gè)零點(diǎn)

綜上,a的取值范圍是(-∞,-1). (12分)

[滿(mǎn)分規(guī)則]

?得步驟分:

①處的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解題步驟之一,也是最易得

分之處,不可漏掉.

?得關(guān)鍵分:

判斷函數(shù)在某區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù),關(guān)鍵就是判斷

函數(shù)的單調(diào)性及區(qū)間端點(diǎn)的符號(hào),故②處為得分

的關(guān)鍵.

?得討論分:

解含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題,要仔細(xì)觀(guān)察參數(shù)的符號(hào)與范

圍,對(duì)其進(jìn)行討論以分解問(wèn)題,如③處.

訓(xùn)練2 (2022?全國(guó)乙卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)

=ax-

x

-(a+1)lnx,若f(x)恰有一個(gè)零

點(diǎn),求a的取值范圍.

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— 69 —

第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第80頁(yè)

題型三 構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)

例3 (2021?全國(guó)甲卷節(jié)選)已知a>0且a≠1,函

數(shù)f(x)=

x

a

a

x (x>0).若曲線(xiàn)y=f(x)與直線(xiàn)

y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),求a的取值范圍.

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感悟提升 涉及函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問(wèn)題,主

要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),根據(jù)

函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及

區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系,從而求得參數(shù)的

取值范圍.

訓(xùn)練3 (2023?長(zhǎng)沙一模節(jié)選)已知函數(shù)f(x)

=xlnx-ax

2(a∈R),若f(x)在定義域內(nèi)有

2個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

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隱零點(diǎn)問(wèn)題

對(duì)于隱零點(diǎn)問(wèn)題,通常應(yīng)先設(shè)出隱零點(diǎn),在判斷函

數(shù)的零點(diǎn)、不等式恒成立中都有應(yīng)用.

例 已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)證明不等式e

x-2-ax>f(x)恒成立.

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訓(xùn)練 已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,

f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點(diǎn);

(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.

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提醒:課后完成?一輪對(duì)點(diǎn)71練?第275頁(yè)

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— 70 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第81頁(yè)

第三課時(shí) 構(gòu)造函數(shù)證明不等式

題型一 移項(xiàng)構(gòu)造差函數(shù)證明不等式

例1 當(dāng)x≥1時(shí),證明:1-

lnx

x

e

e

x≥

x

-x.

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感悟提升 待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí),

一般地,可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù),有時(shí)對(duì)復(fù)

雜的式子要進(jìn)行變形,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最

值,借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得證.

訓(xùn)練1 證明:當(dāng)x>1時(shí),

x

2+lnx<

x

3.

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題型二 分拆函數(shù)法證明不等式

例2 (2023?青島質(zhì)檢改編)已知函數(shù)f(x)=

lnx+x.證明:xf(x)<e

x .

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感悟提升 1? 若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無(wú)從下手

時(shí),或兩次求導(dǎo)都不能判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)時(shí),可將待

證式進(jìn)行變形,構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),從而找到可以傳遞

的中間量,達(dá)到證明的目標(biāo).含lnx 與e

x 的混合式

不能直接構(gòu)造函數(shù),要將指數(shù)與對(duì)數(shù)分離,分別計(jì)

算它們的最值,借助最值進(jìn)行證明.

2?等價(jià)變形的目的是求導(dǎo)后簡(jiǎn)單地找到極值點(diǎn),一

般地,e

x 與lnx 要分離,常構(gòu)造x

n 與lnx,x

n 與e

x

的積、商形式,便于求導(dǎo)后找到極值點(diǎn).

訓(xùn)練2 (2023?武漢模擬改編)已知函數(shù)f(x)=

ex

2-xlnx.求證:當(dāng)x>0時(shí),f(x)<xe

x +

e

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— 71 —

第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第82頁(yè)

題型三 放縮后構(gòu)造函數(shù)證明不等式

例3 已知x∈(0,1),求證:x

2-

x

lnx

e

x .

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感悟提升 1? 導(dǎo)數(shù)方法證明不等式中,最常見(jiàn)的

是e

x 和lnx 與其他代數(shù)式結(jié)合的問(wèn)題,對(duì)于這類(lèi)

問(wèn)題,可以考慮先對(duì)e

x 和lnx 進(jìn)行放縮,使問(wèn)題簡(jiǎn)

化,簡(jiǎn)化后再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.

2?常見(jiàn)的放縮公式如下:(1)e

x ≥1+x,當(dāng)且僅當(dāng)

x=0時(shí)取等號(hào).(2)lnx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)

取等號(hào).若已知參數(shù)范圍,則利用參數(shù)的范圍進(jìn)行放

縮,達(dá)到消參的目的.也可以利用局部函數(shù)的有界性

進(jìn)行放縮,然后再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.

訓(xùn)練3 (2023?杭州調(diào)研改編)已知函數(shù)f(x)

=e

x ,證明:當(dāng)x>-2時(shí),f(x)>ln(x+2).

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雙變量問(wèn)題

雙變量問(wèn)題運(yùn)算量大,綜合性強(qiáng),解決起來(lái)需要很

強(qiáng)的技巧性,解題總的思想方法是化雙變量為單變

量,然后利用函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決.

例 已知函數(shù)f(x)=xe

-x ,如果x1≠x2,且f(x1)

=f(x2),求證:x1+x2>2.

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訓(xùn)練 已知函數(shù)f(x)=(x-2)e

x +a(x-1)2

有兩個(gè)零點(diǎn),a>0,設(shè)x1,x2 是f(x)的兩個(gè)零

點(diǎn),證明:x1+x2<2.

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提醒:課后完成?一輪對(duì)點(diǎn)71練?第277頁(yè)

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— 72 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第83頁(yè)

第1節(jié) 任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念

考試要求 1? 了解任意角的概念和弧度制的概念.2? 能進(jìn)行弧度與角度的互化.3? 理解任意角的三角函數(shù)

(正弦、余弦、正切)的定義.

知識(shí)診斷·基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1?角的概念的推廣

(1)定義:一條射線(xiàn)繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一條射線(xiàn)

所形成的圖形稱(chēng)為 ,這兩條射線(xiàn)分別稱(chēng)

為角的始邊和 .

(2)分類(lèi)

按旋轉(zhuǎn)方向不同分為 、 、 .

{按終邊位置不同分為 和軸線(xiàn)角.

(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連

同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k?

360°,k∈Z}.

2?弧度制的定義和公式

(1)定義:長(zhǎng)度等于 的圓弧所對(duì)的圓心

角為1弧度的角,記作1rad.

(2)公式

角α的弧度數(shù)公式 |α|=

l

r

(弧長(zhǎng)用l表示)

角度與弧度的換算 1°=

π

180

rad;1rad=

弧長(zhǎng)公式 弧長(zhǎng)l=

扇形面積公式 S= =

3?任意角的三角函數(shù)

對(duì)于任意角α來(lái)說(shuō),設(shè)P(x,y)是α終邊上異于原

點(diǎn) 的 任 意 一 點(diǎn),r = x

2+y

2 ,則 sinα =

,cosα= ,tanα=

y

x

(x≠0).

[常用結(jié)論]

1?三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律:一全正,二正

弦,三正切,四余弦.

2?角度制與弧度制可利用180°=πrad進(jìn)行互化,在

同一個(gè)式子中,采用的度量制必須一致,不可混用.

3?象限角

4?軸線(xiàn)角

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— 73 —

第84頁(yè)

【診斷自測(cè)】

1?思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)

(1)小于90°的角是銳角. ( )

(2)銳角是第一象限角,第一象限角也都是銳角.

( )

(3)角α 的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P 的位置

無(wú)關(guān). ( )

(4)若α為第一象限角,則sinα+cosα>1.( )

2?已知α是第一象限角,那么

α

是 ( )

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第一或二象限角 D.第一或三象限角

3?已知角θ 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-12,5),則sinθ+

cosθ= .

4?已知扇形的圓心角為30°,其弧長(zhǎng)為2π,則此扇形

的面積為 .

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考點(diǎn)突破·題型剖析

考點(diǎn)一 象限角及終邊相同的角

例1 (1)(多選)下列命題正確的是 ( )

A.終邊落在x 軸的非負(fù)半軸的角的集合為{α|

α=2kπ,k∈Z}

B.終邊落在y 軸上的角的集合為{α|α=90°+

kπ,k∈Z}

C.第三象限角的集合為

α π+2kπ≤α≤

3π

2 { +2kπ,k∈Z}

D.在-720°~0°范圍內(nèi)所有與45°角終邊相同的

角為-675°和-315°

(2)已知角θ在第二象限,且 sin

θ

=-sin

θ

,

則角

θ

在 ( )

A.第一象限或第三象限

B.第二象限或第四象限

C.第三象限

D.第四象限

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感悟提升 1?利用終邊相同的角的集合可以求適

合某些條件的角,方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相

同的所有角的集合,然后通過(guò)集合中的參數(shù)k(k∈Z)

賦值來(lái)求得所需的角.

2?確定kα,

α

k

(k∈N

? )的終邊位置的方法

先寫(xiě)出kα或

α

k

的范圍,然后根據(jù)k 的可能取值確

定kα或

α

k

的終邊所在的位置.

訓(xùn)練1 (1)集合{αkπ+

π

≤α≤kπ+

π

,k∈Z}

中的角所表示的范圍(陰影部分)是 ( )

(2)終邊在直線(xiàn)y= 3x 上,且在[-2π,2π)內(nèi)的

角α的集合為 .

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— 74 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第85頁(yè)

考點(diǎn)二 弧度制及其應(yīng)用

例2 已知扇形的圓心角是α,半徑為R,弧長(zhǎng)為l.

(1)若α=

π

,R=10cm,求扇形的弧長(zhǎng)l.

(2)若扇形的周長(zhǎng)是20cm,當(dāng)扇形的圓心角α

為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大?

(3)若α=

π

,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形

的面積.

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感悟提升 應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意:

(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí),要注意角

的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí),常轉(zhuǎn)化為二次函

數(shù)的最值問(wèn)題.

(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí),要合理地

利用圓心角所在的三角形.

訓(xùn)練2 (1)(多選)(2022?青島質(zhì)檢)已知扇形的周

長(zhǎng)是6,面積是2,下列選項(xiàng)可能正確的有 ( )

A.圓的半徑為2

B.圓的半徑為1

C.圓心角的弧度數(shù)是1

D.圓心角的弧度數(shù)是2

(2)(2023?廣州檢測(cè))數(shù)學(xué)中處

處存在著美,機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)

現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱(chēng)

的美感.萊洛三角形的畫(huà)法:先

畫(huà)等邊三角形ABC,再分別以

點(diǎn)A,B,C 為圓心,線(xiàn)段AB 長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧,

由這三段圓弧組成的曲邊三角形稱(chēng)為萊洛三角

形(如圖所示).若萊洛三角形的周長(zhǎng)為2π,則其

面積是 ( )

A.

2π

+ 3 B2.π+23 C.

2π

- 3 D2.π-23

考點(diǎn)三 三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

角度1 三角函數(shù)的定義

例3 (1)(2023?石家莊質(zhì)檢)已知角α的終邊上一

點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(-2,1),則cosα的值為 ( )

A.

B.-

C.

25

D.-

25

(2)(2023?長(zhǎng)沙質(zhì)檢)若角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(8m,

-3),且tanα=

,則m 的值為 ( )

A.-

B.

C.-

D.

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角度2 三角函數(shù)值的符號(hào)

例4 (多選)(2022?重慶八中月考)已知角α的頂

點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x 軸的非負(fù)半軸重合,終

邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m,1-m).若m>0,則下列各式的

符號(hào)無(wú)法確定的是 ( )

As.inα Bc.osα

Cs.inα-cosα Ds.inα+cosα

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感悟提升 1?三角函數(shù)定義的應(yīng)用

(1)直接利用三角函數(shù)的定義,找到給定角的終邊

上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,確定這個(gè)

角的三角函數(shù)值.

(2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值,可以通過(guò)三角函

數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程,求參數(shù)的值.

2?要判定三角函數(shù)值的符號(hào),關(guān)鍵是要搞清三角函

數(shù)中的角是第幾象限角,再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在

各象限的符號(hào)確定值的符號(hào).如果不能確定角所在

象限,那就要進(jìn)行分類(lèi)討論求解.

訓(xùn)練3 (1)(2023?無(wú)錫調(diào)考)已知角α的頂點(diǎn)為坐

標(biāo)原點(diǎn),始邊為x 軸的非負(fù)半軸,若點(diǎn)P(sinα,

tanα)在第四象限,則角α的終邊在 ( )

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

(2)sin2?cos3?tan4的值 ( )

A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在

提醒:課后完成?一輪對(duì)點(diǎn)71練?第279頁(yè)

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— 75 —

第四章 三角函數(shù)、解三角形

第86頁(yè)

第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

考試要求 1? 理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin

2x+cos

2x=1,

sinx

cosx

=tanx.2? 能利用單位圓中的對(duì)稱(chēng)性推導(dǎo)

π

±α,π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.

知識(shí)診斷·基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1?同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系: .

(2)商數(shù)關(guān)系:

sinα

cosα

=tanαα≠

π

+kπ,k∈Z

?

è

?

?

?

÷.

2?三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式 一 二 三 四 五 六

2kπ+α

(k∈Z)

π+α -α π-α

π

-α

π

+α

正弦 sinα

余弦 cosα

正切 tanα

口訣 奇變偶不變,符號(hào)看象限

[常用結(jié)論]

1?同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;sinα=tanα?

cosα.

2?誘導(dǎo)公式的記憶口訣

“奇變偶不變,符號(hào)看象限”,其中的奇、偶是指

π

的奇數(shù)倍和偶 數(shù) 倍,變 與 不 變 指 函 數(shù) 名 稱(chēng) 的

變化.

3?在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí),若開(kāi)方,要

特別注意判斷符號(hào).

【診斷自測(cè)】

1?思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)

(1)若α,β為銳角,則sin

2α+cos

2β=1. ( )

(2)sin(π+α)=-sinα成立的條件是α為銳角.( )

(3)若α∈R,則tanα=

sinα

cosα

恒成立. ( )

(4)若sin(kπ-α)=

(k∈Z),則sinα=

.( )

2?已知sin

7π

+α

?

è

?

?

?

÷=

,那么cosα= ( )

A.-

B.-

C.

D.

3?已知α是第三象限角,sinα=-

,則tanα=

( )

A.-

B.

C.-

D.

4?化簡(jiǎn)

cosα-

π

?

è

?

?

?

÷

sin

5π

+α

?

è

?

?

?

÷

?sin(α-π)?cos(2π-α)的結(jié)果

為 .

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— 76 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第87頁(yè)

考點(diǎn)突破·題型剖析

考點(diǎn)一 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用

例1 (1)已知cosα=-

13

,則13sinα+5tanα

= .

(2)已知

tanα

tanα-1

=-1,則

sinα-3cosα

sinα+cosα

;sin

2α+sinαcosα+2= .

(3)(多選)已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=

,則

下列結(jié)論正確的是 ( )

As.inθ=

Bc.osθ=-

Ct.a(chǎn)nθ=-

Ds.inθ-cosθ=

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感悟提升 同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法

(1)利用sin

2α+cos

2α=1可實(shí)現(xiàn)角α 的正弦、余弦

的互化,利用

sinα

cosα

=tanα可實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.

(2)由一個(gè)角的任一三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的另

外兩個(gè)三角函數(shù)值,當(dāng)利用“平方關(guān)系”公式求平方

根時(shí),會(huì)出現(xiàn)兩解,需根據(jù)角所在的象限判斷角的

符號(hào),當(dāng)角所在的象限不明確時(shí),要進(jìn)行分類(lèi)討論.

(3)當(dāng)分式中分子與分母是關(guān)于sinα,cosα的齊次

式時(shí),往往轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子求解.

訓(xùn)練1 (1)(2023?青島調(diào)研)若sinθ+cosθ=

23

,則sin

4θ+cos

4θ= ( )

A.

B.

17

18

C.

D.

(2)(2023?湖北九師聯(lián)盟質(zhì)檢)若tan(α-π)=

2,則

1-2sin

2α

1+sin2α

= ( )

A.-

B.-3 C.

D3.

考點(diǎn)二 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

例2 (1)(2023?南通檢測(cè))已知sin

2023π

+α

?

è

?

?

?

÷ =

,

則cos(π-α)的值為 ( )

A.

B.

C.-

D.-

(2)

tan(π-α)cos(2π-α)sin -α+

3π

?

è

?

?

?

÷

cos(-α-π)sin(-π-α)

的值為( )

A.-2 B.-1 C1. D2.

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感悟提升 1?誘導(dǎo)公式的應(yīng)用步驟

任意負(fù)角的三角函數(shù)

利用誘導(dǎo)公式

三或一 →任意正角的三

角函數(shù)

利用誘導(dǎo)公式一

→0~2π內(nèi)的角的三角函數(shù)

利用誘導(dǎo)公式二

或四或五或六→銳角三角函數(shù).

2?誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用

(1)求值:負(fù)化正,大化小,化到銳角為終了.

(2)化簡(jiǎn):統(tǒng)一角,統(tǒng)一名,同角名少為終了.

訓(xùn)練2 (1)(2023?長(zhǎng)沙調(diào)研)已知sin

π

+2α

?

è

?

?

?

÷ =

,則cos

π

-2α

?

è

?

?

?

÷= ( )

A.

B.-

C.

D.±

(2)設(shè)f(α)=

2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α)

1+sin

2α+cos

3π

+α

?

è

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?

÷-sin

2 π

+α

?

è

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÷

(1+2sinα≠0),則f -

23π

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è

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÷= .

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— 77 —

第四章 三角函數(shù)、解三角形

第88頁(yè)

考點(diǎn)三 同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

例3 已知f(α)=

sin(α-3π)cos(2π-α)sin -α+

3π

?

è

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÷

cos(-π-α)sin(-π-α) .

(1)化簡(jiǎn)f(α);

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(2)若α=-

31π

,求f(α)的值;

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(3)若cos -α-

π

?

è

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÷ =

,α∈ π,

3π

é

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ê

ê

ù

?

ú

ú ,求f(α)

的值.

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感悟提升 1?利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公

式求值或化簡(jiǎn)時(shí),關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,

靈活使用公式進(jìn)行變形.

2?注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響.

訓(xùn)練3 (1)(2023?懷仁模擬)若sin(3π+α) =

,α∈ π,

3π

?

è

?

?

?

÷,則tan(2023π-α)= ( )

A.-

B.-

C.- 3 D.-

(2)已知-π<x<0,sin(π+x)-cosx=-

,

sin2x+2sin

2x

1-tanx

= .

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提醒:課后完成?一輪對(duì)點(diǎn)71練?第281頁(yè)

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— 78 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第89頁(yè)

第3節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

考試要求 1? 會(huì)推導(dǎo)兩角差的余弦公式.2? 會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.

3? 掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

知識(shí)診斷·基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1?兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

(1)公式C(α-β):cos(α-β)= ;

(2)公式C(α+β):cos(α+β)= ;

(3)公式S(α-β):sin(α-β)= ;

(4)公式S(α+β):sin(α+β)= ;

(5)公式T(α-β):tan(α-β)= ;

(6)公式T(α+β):tan(α+β)= .

2?輔助角公式

asinα+bcosα= ,其中

sinφ=

b

a

2+b

,cosφ=

a

a

2+b

2 .

[常用結(jié)論]

兩角和與差的公式的常用變形:

(1)sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ;

(2)cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ;

(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ),

tanαtanβ=1-

tanα+tanβ

tan(α+β)=

tanα-tanβ

tan(α-β)-1.

【診斷自測(cè)】

1?思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)

(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是

任意的. ( )

(2)存在實(shí)數(shù)α,β,使等式sin(α+β)=sinα+

sinβ成立. ( )

(3)公式tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

可以變形為

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且對(duì)任

意角α,β都成立. ( )

(4)存在實(shí)數(shù)α,使tan2α=2tanα. ( )

2?已知cosα=-

,α∈

π

?

è

?

?

?

÷,則cos

π

-α

?

è

?

?

?

÷ =

3?計(jì)算:sin108°cos42°-cos72°sin42°= .

4?若tanα=

,tan(α+β)=

,則tanβ= .

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考點(diǎn)突破·題型剖析

考點(diǎn)一 公式的基本應(yīng)用

例1 (1)若cosα=-

,α 是第三象限的角,則

sinα+

π

?

è

?

?

?

÷= ( )

A.

72

10

B.-

72

10

C.-

10

D.

10

(2)已知sinα=

,α∈

π

?

è

?

?

?

÷,tan(π-β)=

,

則tan(α-β)的值為 ( )

A.-

11

B.

11

C.

11

D.-

11

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感悟提升 1? 使用兩角和與差的三角函數(shù)公式,

首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.

2?使用公式求值,應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值,再代

入公式求值.

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— 79 —

第四章 三角函數(shù)、解三角形

第90頁(yè)

訓(xùn)練1 (1)已知點(diǎn)P(x,22)是角α終邊上一

點(diǎn),且cosα=-

,則cos

π

+α

?

è

?

?

?

÷等于 ( )

A.-

3+22

B.

3+22

C.

3-22

D.

22- 3

(2)(2023? 濟(jì) 南 聯(lián) 考)已 知α∈ -

π

,

π

?

è

?

?

?

÷,

tanα-

π

?

è

?

?

?

÷=

,則sin(π-α)= ( )

A.

25

B.

C.-

D.-

25

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考點(diǎn)二 公式的逆用及變形

角度1 公式的活用

例2 (1)(2023?濮陽(yáng)一模)cos40°sin70°-sin40°?

sin160°= ( )

A.-

B.

C.-

D.

(2)若α+β=-

3π

,則(1+tanα)(1+tanβ)

= .

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角度2 輔助角公式的運(yùn)用

例3 化簡(jiǎn):(1)sin

π

12

-3cos

π

12

;(2)

sin10°

sin80°

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感悟提升 三角函數(shù)公式活用技巧

(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同,

創(chuàng)造條件逆用公式.

(2)tanαtanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),

tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一.應(yīng)注

重公式的逆用和變形使用.

訓(xùn)練2 (1)求值:

sin15°sin45°-cos15°cos45°= .

(2)求值:cos15°+sin15°= .

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考點(diǎn)三 角的變換問(wèn)題

例4 (1)已知α,β∈

π

,

5π

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è

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?

÷,若sinα+

π

?

è

?

?

?

÷ =

,

cosβ-

5π

?

è

?

?

?

÷=

13

,則sin(α-β)的值為 ( )

A.

16

65

B.

33

65

C.

56

65

D.

63

65

(2)(2022?青島模擬)若tan(α+2β)=2,tanβ=

-3,則tan(α+β)= ,tanα= .

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感悟提升 角的變換:明確各個(gè)角之間的關(guān)系(包括

非特殊角與特殊角、已知角與未知角),熟悉角的變換

技巧,及半角與倍角的相互轉(zhuǎn)化,如:2α=(α+β)+

(α-β),α=

α+β

α-β

,

π

+α=

π

π

-α

?

è

?

?

?

÷,α=

(α+β)-β=(α-β)+β,

π

+α

?

è

?

?

?

÷+

π

-α

?

è

?

?

?

÷=

π

等.

訓(xùn)練3 (1)已知α為銳角,且cosα+

π

?

è

?

?

?

÷ =

13

,

則cosα的值為 .

(2)已知0<α<

π

<β<π,tanα=

,cos(β-α)

10

,則sinα= ,cosβ= .

提醒:課后完成?一輪對(duì)點(diǎn)71練?第283頁(yè)

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— 80 —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

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