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第51頁

考點突破·題型剖析

考點一對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

例１ (１)(２０２３?北京東城區(qū)質(zhì)檢)函數(shù)y＝logax

與y＝－x＋a 在同一平面直角坐標系中的圖

象可能是 ( )

(２)若方程４

x ＝logax 在０,

１

２

?

è

?

ù

?

ú

ú 上有解,則實數(shù)

a的取值范圍為．

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感悟提升１? 在識別函數(shù)圖象時,要善于利用已

知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的

交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項．

２?一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函

數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解．

訓(xùn)練１ (１)(２０２３?石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)

＝x＋

１

x－２

,x∈(２,８),當(dāng)x＝m 時,f(x)有最

小值n．則在平面直角坐標系中,函數(shù)g(x)＝

log１

m|x＋n|的圖象是 ( )

(２)已知函數(shù)f(x)＝|log２x|,實數(shù)a,b滿足０＜

a＜b,且f(a)＝f(b),若f(x)在[a

２,b]上的最

大值為２,則

１

a

＋b＝．

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?

— ４１ —

第二章函數(shù)

第52頁

考點二對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

角度１比較大小

例２ (１)設(shè)a＝log４１２,b＝log５１５,c＝log６１８,則 ( )

Aa．＞b＞c Bb．＞c＞a

Ca．＞c＞b Dc．＞b＞a

(２)(２０２１?天津卷)設(shè)a＝log２０．３,b＝log１

２０．４,

c＝０４．

０．３,則a,b,c的大小關(guān)系為 ( )

Aa．＜b＜c Bc．＜a＜b

Cb．＜c＜a Da．＜c＜b

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角度２解對數(shù)不等式

例３ (２０２３?安徽江淮十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝

２x

２,x≥０,

－２x { ２,x＜０,

則不等式 f((log２x)２－３)＜

４f(log２x)的解集為．

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角度３對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例４ (２０２３?武漢模擬)函數(shù)f(x)＝loga(３－２ax)

在區(qū)間[１,２]上單調(diào)遞增,則實數(shù)a 的取值范

圍為 ( )

A．(０,１) B．

３

４

,１

?

è

?

÷

C．０,

３

４

?

è

?

÷ D．(１,＋∞)

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感悟提升利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求與對數(shù)函數(shù)有

關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題,必須弄清

三方面的問題:一是定義域,所有問題都必須在定

義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與１的大小關(guān)系;三是復(fù)合

函數(shù)的構(gòu)成,即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成

的．另外,解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與

化歸思想的應(yīng)用．

訓(xùn)練２ (１)(２０２３?沈陽調(diào)研)已知a＝log２．５７,

b＝log４１５,c＝

１

２

?

è

?

÷

－１

,則下列判斷正確的是( )

Aa．＜b＜c Bb．＜a＜c

Cc．＜b＜a Db．＜c＜a

(２)(２０２３?淄博模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R

上的偶函數(shù),當(dāng)x≤０時,f(x)單調(diào)遞減,則不等

式f(log１

３

(２x－５))＞f(log３８)的解集為．

(３)(２０２３?湖北七市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝

lg(x

２－２x－８)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,＋∞),則

a＝．

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提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２５９頁

?

— ４２ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第53頁

第８節(jié) 函數(shù)的圖象

考試要求１? 在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)．

２? 會畫簡單的函數(shù)圖象．３? 會運用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì),解決方程解的個數(shù)與不等式解的問題．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?利用描點法作函數(shù)的圖象

步驟:(１)確定函數(shù)的定義域;(２)化簡函數(shù)解析

式;(３)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期

性、對稱性等);(４)列表(尤其注意特殊點、零

點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等),

描點,連線．

２?利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

(１)平移變換

(２)對稱變換

y＝f(x)的圖象

關(guān)于x軸對稱

→y＝的圖象;

y＝f(x)的圖象

關(guān)于y軸對稱

→y＝的圖象;

y＝f(x)的圖象

關(guān)于原點對稱

→y＝的圖象．

(３)伸縮變換

y＝f(x)

縱坐標不變

各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>

１

a

(a＞０)倍

→

y＝f(ax)．

y＝f(x)

橫坐標不變

各點縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁(A＞０)倍→y＝Af(x)．

(４)翻折變換

y＝f(x)的圖象

x 軸下方部分翻折到上方

x 軸及上方部分不變 →

y＝的圖象;

y＝f(x)的圖象

y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)

原y軸左側(cè)部分去掉,右側(cè)不變→

y＝的圖象．

[常用結(jié)論]

１?記住幾個重要結(jié)論

(１)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(２a－x)的圖象關(guān)于直

線x＝a對稱．

(２)函數(shù)y＝f(x)與y＝２b－f(２a－x)的圖象關(guān)

于點(a,b)中心對稱．

(３)若函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)任意自變量x 滿

足:f(a＋x)＝f(a－x),則函數(shù)y＝f(x)的圖象

關(guān)于直線x＝a對稱．

２?圖象的左右平移僅僅是相對于

x 而言,如果x 的

系數(shù)不是１,常需把系數(shù)提出來,再進行變換．

３?圖象的上下平移僅僅是相對于

y 而言的,利用

“上加下減”進行．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)當(dāng) x∈ (０,＋ ∞)時,函數(shù) y＝|f(x)|與

y＝f(|x|)的圖象相同． ( )

(２)函數(shù)y＝af(x)與y＝f(ax)(a＞０且a≠１)

的圖象相同． ( )

(３)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于原點

對稱． ( )

(４)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(１＋x)＝f(１－x),則

函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝１對稱． ( )

?

— ４３ —

第二章函數(shù)

第54頁

２?小明騎車上學(xué),開始時勻速行駛,途中因交通堵

塞停留了一段時間,后為了趕時間加快速度行

駛．與以上事件吻合得最好的圖象是 ( )

３?(２０２３?長沙雅禮月考)函數(shù)y＝－cosxln|x|的

圖象可能是 ( )

４?函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝e

x 的圖象關(guān)于y軸對

稱,再把y＝f(x)的圖象向右平移１個單位長度后

得到函數(shù)y＝g(x)的圖象,則g(x)＝．

?

考點突破·題型剖析

考點一作函數(shù)的圖象

例１作出下列函數(shù)的圖象:

(１)y＝

１

２

?

è

?

÷

|x|

;(２)y＝|log２(x＋１)|;

(３)y＝x

２－２|x|－１．

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感悟提升１?描點法作圖:當(dāng)函數(shù)解析式(或變形

后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時,就可根據(jù)這些

函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點直接作出．

２?圖象變換法:若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖

象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到,可利用圖象變換作

出,并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單

位及解析式的影響．

訓(xùn)練１分別作出下列函數(shù)的圖象:

(１)y＝sin|x|;(２)y＝

２x－１

x－１

．

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?

— ４４ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第55頁

考點二函數(shù)圖象的識別

角度１函數(shù)圖象的識別

例２ (１)(２０２２?全國甲卷)函數(shù)f(x)＝(３

x －３

－x )?

cosx在區(qū)間[ －

π

２

,

π

２

] 上的圖象大致為 ( )

(２)(２０２２?全國乙卷)如圖是下列四個函數(shù)中

的某個函數(shù)在區(qū)間[－３,３]的大致圖象,則該函

數(shù)是 ( )

Ay．＝

－x

３＋３x

x

２＋１

By．＝

x

３－x

x

２＋１

Cy．＝

２xcosx

x

２＋１

Dy．＝

２sinx

x

２＋１

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感悟提升１?抓住函數(shù)的性質(zhì),定性分析:

(１)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)

的值域,判斷圖象的上下位置;(２)從函數(shù)的單調(diào)性,

判斷圖象的變化趨勢;(３)從周期性,判斷圖象的循

環(huán)往復(fù);(４)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性．

２?抓住函數(shù)的特征,定量計算:尋找函數(shù)的特征點,

利用特征點、特殊值的計算分析解決問題．

角度２借助動點探究函數(shù)圖象

例３如圖,不規(guī)則四邊形ABＧ

CD 中,AB 和CD 是線段,

AD 和BC 是圓弧,直線l⊥

AB 交AB 于E,當(dāng)l從左至

右移動(與線段 AB 有公共點)時,把四邊形

ABCD 分成兩部分,設(shè)AE＝x,左側(cè)部分的面

積為y,則y關(guān)于x 的圖象大致是 ( )

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感悟提升根據(jù)實際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的兩

種方法

(１)定量計算法:根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析

式,從而判斷函數(shù)圖象．

(２)定性分析法:采用“以靜觀動”,即判斷動點處于

不同的特殊的位置時圖象的變化特征,從而利用排

除法做出選擇．

注意求解的過程中注意實際問題中的定義域問題．

訓(xùn)練２ (１)(２０２３?湖南名校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝

cosxln

π－x

π＋x

的圖象大致為 ( )

?

— ４５ —

第二章函數(shù)

第56頁

(２)向高為 H 的水瓶中注

水,注滿為止,如果注水量V

與水深h 的函數(shù)關(guān)系的圖

象如圖所示,那么水瓶的形

狀是 ( )

考點三函數(shù)圖象的應(yīng)用

角度１研究函數(shù)的性質(zhì)

例４已知函數(shù)f(x)＝x|x|－２x,則下列結(jié)論正

確的是 ( )

Af．(x)是偶函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是(０,＋∞)

Bf．(x)是偶函數(shù),單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞,１)

Cf．(x)是奇函數(shù),單調(diào)遞減區(qū)間是(－１,１)

Df．(x)是奇函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞,０)

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角度２圖象法解不等式

例５已知函數(shù)f(x)＝

１

２

?

è

?

÷

x

,x≥１,

log４(x＋１),－１＜x＜１,

ì

?

í

?

則

f(x)≤

１

２

x 的解集為 ( )

A．(－∞,０] B．(－１,０]

C．(－１,０]∪[１,＋∞) D．[１,＋∞)

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角度３求參數(shù)的取值范圍

例６ (２０２３?湖州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝

sinπx,０≤x≤１,

{log２０２３x,x＞１,

若實數(shù)a,b,c 互不相等,且

f(a)＝f(b)＝f(c),則a＋b＋c的取值范圍是

．

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感悟提升１?利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù),其

性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點)常

借助于圖象研究,但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的

對應(yīng)關(guān)系．

２?利用函數(shù)的圖象可解決方程和不等式的求解問

題,如判斷方程是否有解,有多少個解．?dāng)?shù)形結(jié)合是

常用的思想方法．不等式的求解可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的

上下關(guān)系問題．

訓(xùn)練３ (１)(２０２３?河南頂尖名校聯(lián)考)若關(guān)于

x 的不等式ae

x ＋bx＋c＜０的解集是(－１,１),

則 ( )

Ab．＞０ Ba．＋c＞０

Ca．＋b＋c＞０ D８．a(chǎn)＋２b＋c＞０

(２)已知奇函數(shù)f(x)在x≥０

時的圖象如圖所示,則不等

式 xf(x)＜０的解集為

．

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提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２６１頁

?

— ４６ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第57頁

第９節(jié) 函數(shù)與方程

考試要求１? 理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系．２? 理解函數(shù)零點存在定理,并能簡單應(yīng)用．３? 了解用二分

法求方程的近似解．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?函數(shù)的零點

(１)概念:一般地,如果函數(shù)y＝f(x)在實數(shù)α處的

函數(shù)值等于零,即f(α)＝０,則稱為函數(shù)

y＝f(x)的零點．

(２)函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與x 軸的交點、對應(yīng)方

程的根的關(guān)系:

２?函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不

斷的,并且f(a)?f(b) ０(即在區(qū)間兩個端

點處的函數(shù)值異號),則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)

中至少有一個零點,即?x０∈(a,b),f(x０)＝０．

[常用結(jié)論]

１?若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函

數(shù),則f(x)至多有一個零點．函數(shù)的零點不是一

個“點”,而是方程f(x)＝０的實根．

２?由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間

[a,b]上有零點不一定能推出f(a)?f(b)＜０,

如圖所示,所以f(a)?f(b)＜０

是y＝f(x)在閉區(qū)間[a,b]上

有零點的充分不必要條件．

３?周期函數(shù)如果有零點,則必有無窮多個零點．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)函數(shù)f(x)＝２x 的零點為０． ( )

(２)圖象連續(xù)的函數(shù)y＝f(x)(x∈D)在區(qū)間

(a,b)?D 內(nèi)有零點,則f(a)?f(b)＜０．( )

(３)二次函數(shù)y＝ax

２＋bx＋c(a≠０)在b

２－

４ac＜０時沒有零點． ( )

２?函數(shù)f(x)＝

x

２＋x－２,x≤０,

{－１＋lnx,x＞０

的零點個數(shù)為

( )

A．３ B．２ C．７ D．０

３?函數(shù)f(x)＝log２x＋x－２的零點所在的區(qū)間為

( )

A．(０,１) B．(１,２) C．(２,３) D．(３,４)

４?函數(shù)f(x)＝ax

２－x－１有且僅有一個零點,則

實數(shù)a的值為．

?

考點突破·題型剖析

考點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷

例１ (１)(２０２３?荊州調(diào)研)若x０是方程

１

２

?

è

?

÷

x

＝

x

１

３的根,則x０屬于區(qū)間 ( )

A．

２

３

,１

?

è

?

÷ B．

１

２

,

２

３

?

è

?

÷ C．

１

３

,

１

２

?

è

?

÷ D．０,

１

３

?

è

?

÷

(２)(２０２３?濱州模擬)[x]表示不超過x 的最大

整數(shù),例如[３５．]＝３,[－０．５]＝－１．已知x０是方

程lnx＋３x－１５＝０的根,則[x０]＝ ( )

A２． B３． C４． D５．

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感悟提升確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法

(１)利用函數(shù) 零點存在定理:首先看函數(shù) y＝

f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有

f(a)?f(b)＜０．若有,則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間

(a,b)內(nèi)必有零點．

(２)數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x 軸

在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．

?

— ４７ —

第二章函數(shù)

第58頁

訓(xùn)練１ (１)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以判定方程

lnx－x＋２＝０的一個根所在的區(qū)間為 ( )

x １２３４５

lnx ００．６９３１．０９９１．３８６１．６０９

x－２－１０１２３

A．(１,２) B．(２,３) C．(３,４) D．(４,５)

(２)(２０２３?焦作質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝２

x ＋

x

３

的

零點為x０,則x０∈ ( )

A．(－４,－２) B．(－２,－１)

C．(１,２) D．(２,４)

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考點二函數(shù)零點個數(shù)的判斷

例２ (１)函數(shù)f(x)＝２

x ＋x

３－２在區(qū)間(０,１)內(nèi)的

零點個數(shù)是 ( )

A０． B１． C２． D３．

(２)(２０２２?長春二模)已知函數(shù)f(x)＝

|lnx|,x＞０,

{－２x(x＋２),x≤０,

則函數(shù)y＝f(x)－３的零

點個數(shù)是 ( )

A１． B２． C３． D４．

(３)(２０２３?湖南六校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝４cos

２x

２

?

cos

π

２

－x

?

è

?

÷－２sinx－|ln(x＋１)|的零點個數(shù)

為．

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感悟提升函數(shù)零點個數(shù)的判定有下列幾種方法

(１)直接求零點:令f(x)＝０,如果能求出解,那么有

幾個解就有幾個零點．

(２)零點存在定理:利用該定理不僅要求函數(shù)在

[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)?f(b)＜０,還

必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定

函數(shù)有多少個零點．

(３)畫兩個函數(shù)圖象,看其交點的個數(shù)有幾個,其中交

點的橫坐標有幾個不同的值,就有幾個不同的零點．

訓(xùn)練２ (１)(２０２３?海口質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)是定

義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x＞０時,f(x)＝e

x ＋x－

３,則f(x)的零點個數(shù)為 ( )

A１． B２． C３． D４．

(２)函數(shù)f(x)是R上最小正周期為２的周期函

數(shù),當(dāng)０≤x＜２時,f(x)＝x

２－x,則函數(shù)y＝

f(x)的圖象在區(qū)間[－３,３]上與x 軸的交點個

數(shù)為 ( )

A６． B７． C８． D９．

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考點三函數(shù)零點的應(yīng)用

角度１根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍

例３ (多選)(２０２３?廊坊模擬)已知函數(shù)f(x)＝

|x

２＋３x＋１|－a|x|,則下列結(jié)論正確的是 ( )

A．若f(x)沒有零點,則a∈(－∞,０)

B．若f(x)恰有２個零點,則a∈(１,５)

C．若f(x)恰有３個零點,則a＝１或a＝５

D．若f(x)恰有４個零點,則a∈(５,＋∞)

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?

— ４８ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第59頁

角度２根據(jù)零點范圍求參數(shù)范圍

例４ (２０２３?安康調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝e

－x －

ln(x＋a)在(０,＋∞)上存在零點,則實數(shù)a 的

取值范圍是 ( )

A．－

１

e

,＋∞

?

è

?

÷ B．(－e,＋∞)

C．－∞,

１

e

?

è

?

÷ D．(－∞,e)

???????????????????????

感悟提升已知函數(shù)有零點求參數(shù)值或取值范圍

常用的方法和思路

(１)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不

等式,再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍．

(２)分離參數(shù)法:將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的

問題加以解決．

(３)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角

坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解．

訓(xùn)練３ (１)(２０２３?北京順義區(qū)模擬)已知函數(shù)

f(x)＝３

x －

１＋ax

x

．若存在x０∈(－∞,－１),使

得f(x０)＝０,則實數(shù)a的取值范圍是 ( )

A．－∞,

４

３

?

è

?

÷ B．０,

４

３

?

è

?

÷

C．(－∞,０) D．

４

３

,＋∞

?

è

?

÷

(２)(２０２３?濟南模擬)已知函數(shù)f(x)＝

x,x≤０,

{|２x－３|,x＞０,

g(x)＝f(x)－

１

２

x＋a,

若g(x)存在３個零點,則實數(shù)a 的取值范圍

為．

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嵌套函數(shù)的零點問題

函數(shù)的零點是命題的熱點,常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)

問題交匯．對于嵌套函數(shù)的零點,通常先“換元解

套”,設(shè)中間函數(shù)為t,通過換元將復(fù)合函數(shù)拆解為

兩個相對簡單的函數(shù),借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解．

一、判斷嵌套函數(shù)的零點個數(shù)

例１ (２０２３?山東省實驗中學(xué)診斷)已知函數(shù)f(x)

＝

lnx－

１

x

,x＞０,

x

２＋２x,x≤０,

ì

?

í

?

則函數(shù)y＝f[f(x)＋１]的

零點個數(shù)是 ( )

A２． B３． C４． D５．

???????????????????????

訓(xùn)練１已知函數(shù)f(x)＝

e

x ,x＜０,

４x

３－６x

２ { ＋１,x≥０,

其中 e為自然對數(shù) 的底數(shù),則函數(shù)g(x)＝

３[f(x)]２－１０f(x)＋３的零點個數(shù)為 ( )

A４． B５． C６． D３．

二、由嵌套函數(shù)零點的情況求參數(shù)

例２ (２０２３?南通聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝

x

２＋

１

２

x,x≤０,

－|２x－１|＋１,x＞０,

ì

?

í

?

??

若關(guān)于x 的方程f

２(x)

－(k＋１)xf(x)＋kx

２＝０有且只有三個不同的

實數(shù)解,則正實數(shù)k的取值范圍為 ( )

A．０,

１

２

?

è

?

ù

?

ú

ú B．

１

２

,１

é

?

ê

?

÷∪(１,２)

C．(０,１)∪(１,２) D．(２,＋∞)

???????????????????????

訓(xùn)練２函數(shù)f(x)＝

ln(－x－１),x＜－１,

{２x＋１,x≥－１,

若

函數(shù)g(x)＝f(f(x))－a 有三個不同的零點,

則實數(shù)a的取值范圍是．

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２６３頁

?

— ４９ —

第二章函數(shù)

第60頁

第１０節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用

考試要求１? 了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異,理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等

術(shù)語的含義．２? 會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律,了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較

函數(shù)

性質(zhì)

y＝a

x

(a＞１)

y＝logax

(a＞１)

y＝x

n

(n＞０)

在(０,＋∞)

上的增減性

單調(diào) 單調(diào) 單調(diào)

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

圖象

的變化

隨x 的增大

逐漸表現(xiàn) 為

與

平行

隨x 的增大

逐漸表現(xiàn) 為

與

平行

隨n值

變化而

各有不同

值的比較

存在一個x０,當(dāng)x＞x０時,有l(wèi)ogax＜

x

n ＜a

x

２?幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函

數(shù)模型

f(x)＝ax＋b(a,b為常數(shù),a≠０)

二次函

數(shù)模型

f(x)＝ax

２＋bx＋c(a,b,c為常數(shù),

a≠０)

與指數(shù)函數(shù)

相關(guān)的模型

f(x)＝ba

x ＋c(a,b,c為常數(shù),a＞０

且a≠１,b≠０)

與對數(shù)函數(shù)

相關(guān)的模型

f(x)＝blogax＋c(a,b,c 為常數(shù),

a＞０且a≠１,b≠０)

與冪函數(shù)

相關(guān)的模型

f(x)＝ax

n ＋b(a,b,n為常數(shù),a≠０)

[常用結(jié)論]

１?“直線上升”是勻速增長,其增長量固定不變;“指

數(shù)增長”先慢后快,其增長量成倍增加,常用“指數(shù)

爆炸”來形容;“對數(shù)增長”先快后慢,其增長量越

來越?。?/p>

２?充分理解題意,并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象

和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

３?易忽視實際問題中自變量的取值范圍,需合理確

定函數(shù)的定義域,必須驗證數(shù)學(xué)結(jié)果對實際問題

的合理性．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)某種商品進價為每件１００元,按進價增加

１０％出售,后因庫存積壓降價,若按九折出售,則

每件還能獲利． ( )

(２)函數(shù)y＝２

x 的函數(shù)值比y＝x

２的函數(shù)值大．( )

(３)不存在x０,使a

x０＜x

n

０＜logax０． ( )

(４)在(０,＋∞)上,隨著x 的增大,y＝a

x (a＞１)

的增長速度會超過并遠遠大于y＝x

a (a＞０)的

增長速度． ( )

２?(２０２１?全國甲卷)青少年視力是社會普遍關(guān)注的

問題,視力情況可借助視力表測量,通常用五分記

錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)

據(jù)L 和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V 滿足L＝５＋lgV．已知

某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為４．９,則其視力

的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(

１０

１０≈１２．５９) ( )

A．１．５ B．１．２

C．０．８ D．０．６

?

— ５０ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第61頁

３?某建材商場國慶期間搞促銷活動,規(guī)定:顧客購物

總金額不超過８００元時,不享受任何折扣;如果顧

客購物總金額超過８００時,那么超過８００元部分享

受一定的折扣優(yōu)惠,按下表折扣分別累計計算

可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣率

不超過５００元的部分５％

超過５００元的部分１０％

某人在此商場購物總金額為x 元,可以獲得的折

扣金額為y 元,則y 關(guān)于x 的解析式為y＝

０,０＜x≤８００,

５％(x－８００),８００＜x≤１３００,

１０％(x－１３００)＋２５,x＞１３００．

ì

?

í

?

若y＝３０元,

則他購物實際所付金額為元．

４?某商品在最近３０天內(nèi)的價格f(t)與時間t(單位:

天)的函數(shù)關(guān)系是f(t)＝t＋１０(０＜t≤３０,t∈N),

銷售量g(t)與時間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)＝－t＋

３５(０＜t≤３０,t∈N),則這種商品的日銷售金額的

最大值是．

?

考點突破·題型剖析

考點一利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化

過程

例１已知正方形ABCD 的邊長為４,動點P 從B

點開始沿折線BCDA 向A 點運動．設(shè)點P 運動

的路程為x,△ABP 的面積為S,則函數(shù)S＝

f(x)的圖象是 ( )

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感悟提升判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相

吻合的兩種方法

(１)構(gòu)建函數(shù)模型法:當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型

時,先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象;

(２)驗證法:根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等

特點,結(jié)合圖象的變化趨勢,驗證是否吻合,從中排

除不符合實際的情況,選擇出符合實際情況的答案．

訓(xùn)練１ (２０２３?泰州調(diào)

研)中國茶文化博大精

深,茶水的口感與茶葉類

型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗

表明,某種綠茶用８５℃

的水泡制,再等到茶水溫度降至６０℃時飲用,

可以產(chǎn)生最佳口感．為分析泡制一杯最佳口感

茶水所需時間,某研究人員每隔１min測量一

次茶水的溫度,根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的

散點圖．觀察散點圖的分布情況,下列哪個函數(shù)

模型可以近似地刻畫茶水溫度y 隨時間x 變

化的規(guī)律 ( )

Ay．＝mx

２＋n(x＞０)

By．＝ma

x ＋n(m＞０,０＜a＜１)

Cy．＝ma

x ＋n(m＞０,a＞１)

Dy．＝mlogax＋n(m＞０,a＞０,a≠１)

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?

— ５１ —

第二章函數(shù)

第62頁

考點二已知函數(shù)模型解決實際問題

例２我國在２０２０年進行了第七次人口普查登

記,到２０２１年４月以后才能公布結(jié)果．人口增長

可以用英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯提出的模型:y＝

y０?e

rt,其中t表示經(jīng)過的時間(單位:年),y０

表示t＝０時的人口數(shù)(單位:億),r表示人口的

年平均增長率．以國家統(tǒng)計局發(fā)布的２０００年第

五次人口普查登記(已上報戶口)的全國總?cè)丝?/p>

１２４．３億人(不包括香港、澳門和臺灣地區(qū))和

２０１０年第六次人口普查登記(已上報戶口)的全

國總?cè)丝冢保常常硟|人(不包括香港、澳門和臺灣

地區(qū))為依據(jù),用馬爾薩斯人口增長模型估計我

國２０２０年年末(不包括香港、澳門和臺灣地區(qū))

的全國總?cè)丝跀?shù)為(１３．３３

２＝１７７．６８８９,１２．４３

２＝

１５４５．０４９) ( )

A１．４３．０億 B１．５２．０億

C１．４６．２億 D１．５７．２億

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感悟提升１?求解已知函數(shù)模型解決實際問題的

關(guān)注點．

(１)認清所給函數(shù)模型,弄清哪些量為待定系數(shù);

(２)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定

系數(shù)．

２?利用函數(shù)模型,借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實

際問題,并進行檢驗．

訓(xùn)練２在不考慮空氣阻力的條件下,從發(fā)射開

始,火箭的最大飛行速度v(單位:千米/秒)滿

足公式v＝wln１＋

M

m

?

è

?

÷,其中 M 為火箭推進劑

質(zhì)量,m 為去除推進劑后的火箭有效載荷質(zhì)量

(單位:噸),w 為火箭發(fā)動機噴流相對火箭的速

度(單位:千米/秒)．當(dāng) M＝３m 時,v＝５５．４４千

米/秒．在保持w 不變的情況下,若m＝２５噸,假

設(shè)要使v超過第一宇宙速度達到８千米/秒,則

M 至少約為(結(jié)果精確到１,參考數(shù)據(jù):e

２ ≈

７３．８９,ln２≈０６．９３) ( )

A１．３５噸 B１．６０噸 C１．８５噸 D２．１０噸

考點三構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題

角度１構(gòu)建二次函數(shù)模型

例３某城市對一種售價為每件１６０元的商品征

收附加稅,稅率為R％(即每銷售１００元征稅R

元),若每年銷售量為３０－

５

２

R

?

è

?

÷萬件,要使附加

稅不少于１２８萬元,則R 的取值范圍是 ( )

A．[４,８] B．[６,１０]

C．[４％,８％] D．[６％,１０％]

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角度２構(gòu)建分段函數(shù)模型

例４ (２０２３?臨沂測試)已知某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品的

年固定成本為１００萬元,每生產(chǎn)１千件需另投

入２７萬元,設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x 千件

(０＜x≤２５)并全部銷售完,每千件的銷售收入

為R(x)(單位:萬元),且

R(x)＝

１０８－

１

３

x

２,０＜x≤１０,

－x＋

１７５

x

＋５７,１０＜x≤２５．

ì

?

í

?

??

?

??

(１)寫出年利潤f(x)(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量

x(單位:千件)的函數(shù)解析式;

???????????????????????

?

— ５２ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第63頁

(２)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時,該公司在這一產(chǎn)品

的生產(chǎn)中所獲年利潤最大? (注:年利潤＝年銷

售收入－年總成本)

???????????????????????

感悟提升在應(yīng)用函數(shù)解決實際問題時需注意以

下四個步驟:

(１)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)

系,初步選擇函數(shù)模型．

(２)建模:將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,將文字語言

轉(zhuǎn)化為符號語言,利用數(shù)學(xué)知識,建立相應(yīng)的函數(shù)

模型．

(３)解模:求解函數(shù)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論．

(４)還原:將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際意義的問題．

訓(xùn)練３ (１)(２０２３?重慶巴蜀中學(xué)月考)某公司的

收入由保險業(yè)務(wù)收入和理財業(yè)務(wù)收入兩部分組

成．該公司２０２０年總收入為２００億元,其中保險業(yè)

務(wù)收入為１５０億元,理財業(yè)務(wù)收入為５０億元．該

公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定,預(yù)計每年總收入

比前一年增加２０億元．因越來越多的人開始注重

理財,公司理財業(yè)務(wù)發(fā)展迅速．要求從２０２１年起

每年通過理財業(yè)務(wù)的收入是前一年的t倍．若要

使得該公司２０２５年的保險業(yè)務(wù)收入不高于當(dāng)年

總收入的６０％,則t的值至少為 ( )

A．

５

２４． B．

５

３６． C．

６

２４． D．

６

３６．

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(２)國慶期間,某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游,若

每團人數(shù)在３０或３０以下,飛機票每張收費

９００元;若每團人數(shù)多于３０,則給予優(yōu)惠:每多

１人,機票每張減少１０元,直到達到規(guī)定人數(shù)

７５為止．每團乘飛機,旅行社需付給航空公司包

機費１５０００元．

①寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù);

②每團人數(shù)為多少時,旅行社可獲得最大利潤?

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提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２６４頁

?

— ５３ —

第二章函數(shù)

第64頁

第１節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運算

考試要求１? 了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．２? 通過函數(shù)圖象,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．

３? 能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡單的復(fù)合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù)．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?導(dǎo)數(shù)的概念

(１)稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x０處的瞬時變化率

limΔx→０

f(x０＋Δx)－f(x０)

Δx

為函數(shù)y＝f(x)在x＝x０

處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x０),即f′(x０)＝．

(２)在f(x)的定義域內(nèi),f′(x)是一個函數(shù),這個

函數(shù)通常稱為函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作

(或 y′,yx′),即f′(x)＝y(tǒng)′＝y(tǒng)x′＝

limΔx→０

f(x＋Δx)－f(x)

Δx

,導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)．

２?導(dǎo)數(shù)的幾何意義

f′(x０)是曲線y＝f(x)在點(x０,f(x０))處的切

線的斜率,從而在點(x０,f(x０))處的切線方程為

．

３?基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)

f(x)＝C(C 為常數(shù)) f′(x)＝

f(x)＝x

α (α∈Q,且α≠０) f′(x)＝

f(x)＝sinx f′(x)＝

f(x)＝cosx f′(x)＝

f(x)＝a

x (a＞０,且a≠１) f′(x)＝

f(x)＝e

x f′(x)＝

f(x)＝logax(a＞０,且a≠１) f′(x)＝

f(x)＝lnx f′(x)＝

４?導(dǎo)數(shù)的運算法則

若f′(x),g′(x)存在,則有:

(１)[f(x)±g(x)′]＝ ;

(２)[f(x)g(x)′]＝ ;

(３)

f(x)

g(x)

é

?

ê

ù

?

ú

′

＝ (g(x)≠０);

(４)[cf(x)′]＝．

５?復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u),

u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝ ,

即y 對x 的導(dǎo)數(shù)等于y 對u 的導(dǎo)數(shù)與u 對x 的

導(dǎo)數(shù)的乘積．

[常用結(jié)論]

１?

１

f(x)

é

?

ê

ù

?

ú′ú ＝－

f′(x)

[f(x)]２(f(x)≠０)．

２?曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有

一個,而直線與二次曲線相切只有一個公共點．并

注意“在點P 處的切線”,說明點P 為切點,點P

既在曲線上,又在切線上;“過點P 處的切線”,說

明點P 不一定是切點,點P 一定在切線上,但不

一定在曲線上．

３?函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的

瞬時變化趨勢,其正負號反映了變化的方向,

|f′(x)|的大小反映了f(x)圖象變化的快慢,

|f′(x)|越大,曲線在這點處的切線越“陡”．

?

— ５４ —

第65頁

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)f′(x０)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x０附近的瞬時

變化率． ( )

(２)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝cosx．

( )

(３)求f′(x０)時,可先求f(x０),再求f′(x０)．( )

(４)曲線 y＝f(x)在某點處的切線與曲線

y＝f(x)過某點的切線意義是相同的． ( )

２?(多選)下列導(dǎo)數(shù)的運算中正確的是 ( )

A．(３

x ′)＝３

xln３

B．(x

２lnx′)＝２xlnx＋x

C．

cosx

x

?

è

?

′

÷ ＝

xsinx－cosx

x

２

D．(sinxcosx′)＝cos２x

３?已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＝

f′

π

４

?

è

?

÷cosx－sinx,則f′

π

４

?

è

?

÷＝．

４?曲線y＝

２x－１

x＋２

在點(－１,－３)處的切線方程為

．

?

考點突破·題型剖析

考點一導(dǎo)數(shù)的運算

例１求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

(１)y＝x

２sinx;(２)y＝ln １＋x

２ ;

(３)y＝

cosx

e

x ;

(４)y＝xsin２x＋

π

２

?

è

?

÷cos２x＋

π

２

?

è

?

÷．

???????????????????????

感悟提升１?求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準確地把函數(shù)拆分

成基本初等函數(shù)的和、差、積、商,再利用運算法則

求導(dǎo)．

２?抽象函數(shù)求導(dǎo),恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵,然后活用方程

思想求解．

３?復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo),必要時要

進行換元．

訓(xùn)練１ (１)(多選)(２０２３?濟南質(zhì)檢)下列求導(dǎo)

運算正確的是 ( )

A．

１

lnx

?

è

?

÷

′＝－

１

xln

２x

B．(x

２e

x ′)＝２x＋e

x

C．cos２x－

π

３

?

è

?

÷

é

?

ê

ù

?

ú

′＝－sin２x－

π

３

?

è

?

÷

D．x－

１

x

?

è

?

÷

′＝１＋

１

x

２

(２)(２０２３?河北省部分學(xué)校模擬)已知函數(shù)

f(x)＝e

２x ＋f′(１)x

２,則f′(１)＝ ( )

A．－２e

２ B２．e

２ Ce．

２ D．－e

２

(３)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋４x,則

limΔx→０

f(π＋２Δx)－f(π)

Δx

＝．

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?

— ５５ —

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第66頁

考點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義

角度１求切線方程

例２ (１)(２０２３?臨沂一模)函數(shù)f(x)＝xln(－x),

則曲線y＝f(x)在x＝－e處的切線方程

為．

(２)(２０２２?新高考Ⅱ卷)曲線y＝ln|x|過坐標

原點的兩條切線的方程為 , ．

???????????????????????

角度２求切點坐標或參數(shù)

例３ (１)(２０２３?開封一模)若直線y＝１與曲線

f(x)＝ae

x －x

２相切,則a＝ ( )

A２．e Be． C．

２

e

D．

１

e

(２)在平面直角坐標系xOy中,點A 在曲線y＝

lnx 上,且該曲線在點A 處的切線經(jīng)過點(－e,

－１),則點A 的坐標是．

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角度３導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象問題

例４ (１)(多選)(２０２３?桂林?？?設(shè)f′(x)是函數(shù)

f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f′(x)＞０,且對?x１,x２∈R,

且x１≠x２,總有

f(x１)＋f(x２)

２

＜f

x１＋x２

２

?

è

?

÷,

則下列選項正確的是 ( )

Af．(π)＜f(e)＜f(２)

Bf．′(π)＜f′(e)＜f′(２)

Cf．′(１)＜f(２)－f(１)＜f′(２)

Df．′(２)＜f(２)－f(１)＜f′(１)

(２)已知y＝f(x)是可導(dǎo)

函數(shù),如圖,直線y＝kx＋２

是曲線y＝f(x)在x＝３處

的切線,令g(x)＝xf(x),

g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù),則g′(３)＝．

???????????????????????

感悟提升求曲線的切線方程要分清“在點處”與

“過點處”的切線方程的不同．過點處的切點坐標不

知道,要設(shè)出切點坐標,根據(jù)斜率相等,切點在切

線,切點在曲線建立方程(組)求解,求出切點坐標

是解題的關(guān)鍵．

訓(xùn)練２ (１)已知函數(shù)y＝

f(x)的圖象是下列四個圖象

之一,且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的

圖象如圖所示,則該函數(shù)的圖象是 ( )

(２)(２０２３?大連調(diào)研)已知曲線y＝x＋

１

k

lnx

在點(１,１)處的切線與直線x＋２y＝０垂直,則

k＝．

(３)已知函數(shù)f(x)＝xlnx,若直線l過點(０,

－１),且與曲線y＝f(x)相切,則直線l的方程

為．

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?

— ５６ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第67頁

考點三導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

例５ (１)(２０２１?新高考Ⅰ卷)若過點(a,b)可以作

曲線y＝e

x 的兩條切線,則 ( )

Ae．

b ＜a Be．

a ＜b

C０．＜a＜e

b D０．＜b＜e

a

(２)(２０２２?新高考Ⅰ卷)若曲線y＝(x＋a)e

x 有

兩條過坐標原點的切線,則a 的取值范圍是

．

???????????????????????

感悟提升處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題,通常利用

曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)

并解出參數(shù):(１)切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率;(２)切

點在切線上,故滿足切線方程;(３)切點在曲線上,故

滿足曲線方程．

訓(xùn)練３ (１)函數(shù)f(x)＝lnx＋ax 的圖象存在

與直線２x－y＝０平行的切線,則實數(shù)a 的取

值范圍是 ( )

A．(－∞,２] B．(－∞,２)

C．(２,＋∞) D．(０,＋∞)

(２)(２０２３?孝感聯(lián)考)若過點(a,b)可以作曲線

y＝lnx 的兩條切線,則 ( )

Aa．＜lnb Bb．＜lna

Cl．nb＜a Dl．na＜b

???????????????????????

公切線問題

(１)求兩條曲線的公切線,如果同時考慮兩條曲線

與直線相切,頭緒會比較亂,為了使思路更清晰,一

般是把兩條曲線分開考慮,先分析其中一條曲線與

直線相切,再分析另一條曲線與直線相切,直線與

拋物線相切可用判別式法．

(２)公切線條數(shù)的判斷問題可轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)

求解問題．

一、共切點的公切線問題

例１ (２０２３?金華模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax

２與

g(x)＝lnx 的圖象在公共點處有共同的切線,

則實數(shù)a的值為．

???????????????????????

二、不同切點的公切線問題

例２已知曲線y＝x＋lnx在點(１,１)處的切線與曲

線y＝ax

２＋(a＋２)x＋１相切,則a＝．

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三、公切線條數(shù)的判斷

例３曲線y＝－

１

x

(x＜０)與曲線y＝lnx 的公切

線的條數(shù)為條．

???????????????????????

訓(xùn)練 (１)若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋２

的切線,也是曲線y＝ln(x＋１)的切線,則

b＝．

(２)若曲線C１:y＝ax

２(a＞０)與曲線C２:y＝e

x

存在公共切線,則a的取值范圍為．

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２６７頁

?

— ５７ —

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第68頁

第２節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

考試要求１? 借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．２? 能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

條件恒有結(jié)論

函數(shù) y ＝

f(x)在區(qū)間

(a,b)上可

導(dǎo)

f′(x)＞０ f(x)在(a,b)上

f′(x)＜０ f(x)在(a,b)上

f′(x)＝０ f(x)在(a,b)上是

２?利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

第１步,確定函數(shù)的 ;

第２步,求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的 ;

第３步,用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為

若干個區(qū)間,列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負,

由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．

[常用結(jié)論]

１?若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,則x∈(a,b)時,

f′(x)≥０恒成立;若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞

減,則x∈(a,b)時,f′(x)≤０恒成立．

２?若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則x

∈(a,b)時,f′(x)＞０有解;若函數(shù)f(x)在(a,b)

上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則x∈(a,b)時,f′(x)＜０

有解．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,那么一定有

f′(x)＞０． ( )

(２)在(a,b)內(nèi)f′(x)≤０且f′(x)＝０的根為有

限個,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減． ( )

(３)若函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)＞０,則

f(x)在定義域上一定單調(diào)遞增． ( )

(４)函數(shù)f(x)＝x－sinx在R上是增函數(shù)．( )

２?(多選)已知定義在 R上的

函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)

的大致圖象如圖所示,則下

列敘述正確的是 ( )

A．f(b)＞f(c)＞f(d)

B．f(b)＞f(a)＞f(e)

C．f(c)＞f(b)＞f(a)

D．f(c)＞f(d)＞f(e)

３?函數(shù)f(x)＝x

３＋２x

２－４x 的單調(diào) 遞增區(qū) 間

是．

４?若y＝x＋

a

２

x

(a＞０)在[２,＋∞)上單調(diào)遞增,則a

的取值范圍是．

?

考點突破·題型剖析

考點一不含參函數(shù)的單調(diào)性

例１ (１)下列函數(shù)在(０,＋∞)上單調(diào)遞增的是 ( )

Af．(x)＝sin２x Bf．(x)＝xe

x

Cf．(x)＝x

３－x Df．(x)＝－x＋lnx

(２)若函數(shù)f(x)＝

lnx＋１

e

x ,則函數(shù)f(x)的單調(diào)

遞減區(qū)間為．

???????????????????????

感悟提升確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性,按照判斷

函數(shù)單調(diào)性的步驟即可,但應(yīng)注意一是不能漏掉求

函數(shù)的定義域,二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集,

要用“逗號”或“和”隔開．

?

— ５８ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第69頁

訓(xùn)練１ (１)函數(shù)f(x)＝x

２－２lnx 的單調(diào)遞減

區(qū)間是 ( )

A．(０,１) B．(１,＋∞)

C．(－∞,１) D．(－１,１)

(２)已知定義在區(qū)間(０,π)上的函數(shù)f(x)＝x＋

２cosx,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為．

???????????????????????

考點二含參函數(shù)的單調(diào)性

例２已知函數(shù)f(x)＝

１

２

ax

２－(a＋１)x＋lnx,

a＞０,試討論函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．

???????????????????????

感悟提升若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式,首先看能否因

式分解,再討論二次項系數(shù)的正負及兩根的大小;

若不能因式分解,則需討論判別式Δ 的正負,二次

項系數(shù)的正負,兩根的大小及根是否在定義域內(nèi)．

訓(xùn)練２ (２０２１?全國乙卷節(jié)選)討論函數(shù)f(x)

＝x

３－x

２＋ax＋１的單調(diào)性．

???????????????????????

?

— ５９ —

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第70頁

考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

角度１由單調(diào)性求參數(shù)

例３已知g(x)＝２x＋lnx－

a

x

．

(１)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[１,２]內(nèi)單調(diào)遞增,求實

數(shù)a的取值范圍;

(２)若g(x)在區(qū)間[１,２]上存在單調(diào)遞增區(qū)間,

求實數(shù)a的取值范圍．

???????????????????????

角度２比較大小

例４ (１)(２０２３?湖州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝３x＋

２cosx．若a＝f(３

２),b＝f(２),c＝f(log２７),則

a,b,c的大小關(guān)系是 ( )

Aa．＜b＜c Bc．＜b＜a

Cb．＜a＜c Db．＜c＜a

(２)已知函數(shù)f(x)＝xsinx,x∈R,則f

π

５

?

è

?

÷,

f(１),f －

π

３

?

è

?

÷的大小關(guān)系為．

???????????????????????

角度３解不等式

例５已知函數(shù)f(x)＝e

x －e

－x －２x＋１,則不等

式f(２x－３)＞１的解集為．

???????????????????????

感悟提升１?根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的方法:

(１)利用集合間的包含關(guān)系處理:y＝f(x)在(a,b)

上單調(diào),則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集．

(２)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x∈

(a,b)都有f′(x)≥０(f′(x)≤０),且在(a,b)內(nèi)的任

一非空子區(qū)間上,f′(x)不恒為零,應(yīng)注意此時式子

中的等號不能省略,否則會漏解．

(３)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)上不單調(diào),則轉(zhuǎn)化

為f′(x)＝０在(a,b)上有解(需驗證解的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)

是否異號)．

２?利用導(dǎo)數(shù)比較大小,其關(guān)鍵是判斷已知(或構(gòu)造

后的)函數(shù)的單調(diào)性,利用其單調(diào)性比較大?。?/p>

３?與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式,要充分挖掘條件關(guān)

系,恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)

性,從而解不等式．

訓(xùn)練３ (１)已知函數(shù)f(x)＝lnx－

x

e

x,設(shè)a＝

f

３

２

?

è

?

÷,b＝f(２),c＝f

７

３

?

è

?

÷,則 ( )

Aa．＞b＞c Bb．＞a＞c

Cc．＞b＞a Dc．＞a＞b

(２)已知函數(shù)g(x)＝２x＋lnx－

a

x

在區(qū)間[１,２]

上不單調(diào),則實數(shù)a的取值范圍是．

???????????????????????

?

— ６０ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第71頁

函數(shù)中的構(gòu)造問題

近三年的高考數(shù)學(xué)試題都出現(xiàn)了比較大小問題,且

是作為小題中的壓軸題出現(xiàn)的,此類問題,通常需

要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性,從而使問題

得以解決．

一、利用f(x)與e

x 構(gòu)造

(１)出現(xiàn)f′(x)－f(x)的形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)＝

f(x)

e

x ;

(２)出現(xiàn)f′(x)＋f(x)的形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)＝

f(x)e

x ．

例１f(x)為定義在 R上的可導(dǎo)函數(shù),且f′(x)

＞f(x),對任意正實數(shù)a,下列式子一定成立

的是 ( )

Af．(a)＜e

af(０) Bf．(a)＞e

af(０)

Cf．(a)＜

f(０)

e

a Df．(a)＞

f(０)

e

a

???????????????????????

二、利用f(x)與x

n 構(gòu)造

(１)出現(xiàn)nf(x)＋xf′(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)＝

x

nf(x);

(２)出現(xiàn)xf′(x)－nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)＝

f(x)

x

n ．

例２已知偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),x≠０,

且滿足 f(－１)＝０,當(dāng) x＞０時,２f(x)＞

xf′(x),則使得f(x)＞０成立的x 的取值范圍

是．

???????????????????????

三、利用f(x)與sinx、cosx 構(gòu)造可導(dǎo)型函數(shù)

(１)若F(x)＝f(x)sinx,則F′(x)＝f′(x)sinx＋

f(x)cosx;

(２)若F(x)＝

f(x)

sinx

,

則F′(x)＝

f′(x)sinx－f(x)cosx

sin

２x

;

(３)若F(x)＝f(x)cosx,

則F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx;

(４)若F(x)＝

f(x)

cosx

,

則F′(x)＝

f′(x)cosx＋f(x)sinx

cos

２x

．

例３ (多選)已知定義在０,

π

２

?

è

?

÷ 上的函數(shù)f(x),

f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),且恒有f′(x)sinx－

f(x)cosx＜０成立,則 ( )

Af．

π

６

?

è

?

÷＞２f

π

４

?

è

?

÷ B．２f

π

６

?

è

?

÷＞f

π

３

?

è

?

÷

C．３f

π

６

?

è

?

÷＞f

π

３

?

è

?

÷ D．２f

π

６

?

è

?

÷＞f

π

４

?

è

?

÷

???????????????????????

訓(xùn)練 (１)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函

數(shù)為f′(x),對任意x∈R,滿足f(x)＋f′(x)＜

０,則下列結(jié)論一定正確的是 ( )

Ae．

２f(２)＞e

３f(３) Be．

２f(２)＜e

３f(３)

Ce．

３f(２)＞e

２f(３) De．

３f(２)＜e

２f(３)

(２)(２０２３?紹興調(diào)研)已知定義在 R上的函數(shù)

f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),對任意x∈(０,π),有

f′(x)sinx＞f(x)cosx,設(shè)a＝２f

π

６

?

è

?

÷,b＝

２f

π

４

?

è

?

÷,c＝f

π

２

?

è

?

÷,則a,b,c 的大小關(guān) 系

為．

(３)(２０２３?湘豫名校聯(lián)考)已知定義在 R上的

函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),當(dāng)x＞０時,

f′(x)－

f(x)

x

＞０,若a＝２f(１),b＝f(２),c＝

４f

１

２

?

è

?

÷,則a,b,c的大小關(guān)系是．

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２６９頁

?

— ６１ —

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第72頁

第３節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

考試要求１? 借助函數(shù)圖象,了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件．２? 會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值．

３?會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?函數(shù)的極值

一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在x０處可導(dǎo),且f′(x０)＝０．

(１)如果對于x０左側(cè)附近的任意x,都有 ;

對于x０右側(cè)附近的任意x,都有 ,那么此

時x０是f(x)的極大值點．

(２)如果對于x０左側(cè)附近的任意x,都有 ;

對于x０右側(cè)附近的任意x,都有 ,那么此

時x０是f(x)的極小值點．

(３)如果f′(x)在x０的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為

正號(或均為負號),則x０一定不是y＝f(x)的

極值點．

(４)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為 ,極小值

和極大值統(tǒng)稱為．

２?函數(shù)的最大(小)值

(１)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值

如果函數(shù)y＝f(x)的定義域為[a,b]且存在最

值,函數(shù)y＝f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么函數(shù)的最

值點要么是區(qū)間端點a或b,要么是極值點．

(２)求y＝f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大(小)值的

步驟:

①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)上的 ;

②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值

比較,其中最大的一個是最大值,

最小的一個是最小值．

[常用結(jié)論]

１?求最值時,應(yīng)注意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系,關(guān)

系不確定時,需要分類討論,不可想當(dāng)然認為極

值就是最值．

２?函數(shù)最值是“整體”概念,而函數(shù)極值是“局部”概

念,極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),若f′(x０)＝０,則x０為

極值點． ( )

(２)函數(shù)的極大值不一定是最大值,最小值也不

一定是極小值． ( )

(３)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上不存在最值．( )

(４)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上一定存在最值．( )

２?如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象,則f(x)的

極小值點的個數(shù)為 ( )

A．１ B．２ C．３ D．４

３?已知f(x)＝x

３－１２x＋１,x∈ －

１

３

,１

é

?

ê

ù

?

ú

ú ,則f(x)

的最大值為 ,最小值為．

４?函數(shù)f(x)＝x

３－ax

２＋２x－１有極值,則實數(shù)a

的取值范圍是．

?

— ６２ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第73頁

考點突破·題型剖析

考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

角度１根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象判斷極值

例１ (多選)(２０２２?重慶檢測)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)

函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示,則 ( )

A．－３是函數(shù)y＝f(x)的極值點

B．－１是函數(shù)y＝f(x)的極小值點

Cy．＝f(x)在區(qū)間(－３,１)上單調(diào)遞增

D．－２是函數(shù)y＝f(x)的極大值點

???????????????????????

感悟提升由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值,要

抓住兩點:(１)由y＝f′(x)的圖象與x 軸的交點,

可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點;(２)由導(dǎo)函數(shù)

y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負,

從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得

極值點．

角度２求函數(shù)的極值

例２已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

(１)當(dāng)a＝

１

２

時,求f(x)的極值;

???????????????????????

(２)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù)．

???????????????????????

感悟提升運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步

驟:(１)確定函數(shù)f(x)的定義域;(２)求導(dǎo)數(shù)f′(x);

(３)解方程f′(x)＝０,求出函數(shù)在定義域內(nèi)的所有

根;(４)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝０的根x０左右兩

側(cè)值的符號;(５)求出極值．

角度３由函數(shù)的極值求參數(shù)

例３ (１)(２０２３?綿陽質(zhì)檢)若x＝２是函數(shù)f(x)

＝x

２＋２(a－２)x－４alnx 的極大值點,則實數(shù)

a的取值范圍是 ( )

A．(－∞,－２) B．(－２,＋∞)

C．(２,＋∞) D．(－２,２)

(２)(２０２３?南京模擬)已知函數(shù)f(x)＝x(lnx

－ax)在(０,＋∞)上有兩個極值,則實數(shù)a的取

值范圍為．

???????????????????????

感悟提升 (１)已知函數(shù)極值確定函數(shù)解析式中的

參數(shù)時,要根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為０和極值這兩個條

件列方程組,利用待定系數(shù)法求解,求解后要檢驗．

(２)判斷極值點的個數(shù),轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的根的個數(shù)．

?

— ６３ —

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第74頁

訓(xùn)練１ (１)設(shè)函數(shù)f(x)在 R上

可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函

數(shù)y＝(１－x)f′(x)的圖象如圖

所示,則下列結(jié)論中一定成立的

是 ( )

A．函數(shù)f(x)有極大值f(２)和極小值f(１)

B．函數(shù)f(x)有極大值f(－２)和極小值f(１)

C．函數(shù)f(x)有極大值f(２)和極小值f(－２)

D．函數(shù)f(x)有極大值f(－２)和極小值f(２)

(２)(２０２３?長沙模擬)若x＝１是函數(shù)f(x)＝

(x

２＋ax－１)e

x－１的極值點,則f(x)的極大值

為．

(３)設(shè)函數(shù)g(x)＝lnx－mx＋

m

x

,若g(x)存在

兩個極值點 x１,x２,則實數(shù) m 的取值范圍

為．

???????????????????????

考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

角度１求已知函數(shù)的最值

例４已知函數(shù)f(x)＝xlnx－a(x－１),求函數(shù)

f(x)在區(qū)間[１,e]上的最小值．

???????????????????????

角度２由函數(shù)的最值求參數(shù)

例５ (２０２３?蘇州模擬)函數(shù)f(x)＝－

１

３

x

３＋x

在(a,１０－a

２)上有最大值,則實數(shù)a 的取值范

圍是．

???????????????????????

感悟提升 (１)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最

值時,在得到極值的基礎(chǔ)上,結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)

值f(a),f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數(shù)

的最值．

(２)若所給函數(shù)f(x)含參數(shù),則需通過對參數(shù)分類討

論,判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)f(x)的最值．

訓(xùn)練２已知函數(shù)f(x)＝(４x

２＋４ax＋a

２)x,

其中a＜０．若f(x)在區(qū)間[１,４]上的最小值為

８,求a的值．

???????????????????????

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２７１頁

?

— ６４ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第75頁

第４節(jié) 導(dǎo)數(shù)中的綜合問題

第一課時不等式恒(能)成立問題

題型一分離參數(shù)法求參數(shù)范圍

例１ (２０２３?成都一診節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝

sinx－２ax,a∈R,若關(guān)于x 的不等式f(x)≤

cosx－１在區(qū)間

π

２

,π

?

è

?

÷ 上恒成立,求a 的取值

范圍．

???????????????????????

感悟提升 (１)分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題

轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,這要比分類討論法簡便

非常多．

(２)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max;

a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min;

a≥f(x)能成立?a≥f(x)min;

a≤f(x)能成立?a≤f(x)max．

訓(xùn)練１ (２０２０?全國Ⅰ卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝

e

x ＋ax

２－x．當(dāng)x≥０時,f(x)≥

１

２

x

３＋１恒成

立,求a的取值范圍．

???????????????????????

?

— ６５ —

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第76頁

題型二分類討論法求參數(shù)范圍

例２已知函數(shù)f(x)＝lnx－a(x－１),a∈R,x∈

[１,＋∞),且f(x)≤

lnx

x＋１

恒成立,求a 的取值

范圍．

???????????????????????

感悟提升根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵

是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題,此類問題關(guān)鍵是

對參數(shù)分類討論,在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最

值,并判斷是否滿足題意,若不滿足題意,只需找一

個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可．

訓(xùn)練２已知函數(shù)f(x)＝e

x－１－ax＋lnx(a∈R)．

若不等式f(x)≥lnx－a＋１對一切x∈

[１,＋∞)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍．

???????????????????????

?

— ６６ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第77頁

題型三雙變量的恒(能)成立

例３設(shè)f(x)＝

a

x

＋xlnx,g(x)＝x

３－x

２－３．

(１)如果存在x１,x２ ∈[０,２],使得g(x１)－

g(x２)≥M 成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M;

(２)如果對于任意的s,t∈

１

２

,２

é

?

ê

ù

?

ú

ú ,都有f(s)≥

g(t)成立,求實數(shù)a的取值范圍．

???????????????????????

感悟提升雙變量的恒(能)成立問題,常見的轉(zhuǎn)

化有:

(１)?x１∈M,?x２∈N,f(x１)＞g(x２)?

f(x)min＞g(x)min．

(２)?x１∈M,?x２∈N,f(x１)＞g(x２)?

f(x)min＞g(x)max．

(３)?x１∈M,?x２∈N,f(x１)＞g(x２)?

f(x)max＞g(x)min．

(４)?x１∈M,?x２∈N,f(x１)＞g(x２)?

f(x)max＞g(x)max．

訓(xùn)練３已知函數(shù)f(x)＝x－(a＋１)lnx－

a

x

(a∈R),g(x)＝

１

２

x

２＋e

x －xe

x ．

(１)當(dāng)x∈[１,e]時,求f(x)的最小值;

(２)當(dāng)a＜１時,若存在x１∈[e,e

２],使得對任意

的x２∈[－２,０],f(x１)＜g(x２)恒成立,求a 的

取值范圍．

???????????????????????

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２７３頁

?

— ６７ —

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第78頁

第二課時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

題型一數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)零點

例１設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋

m

x

,m∈R,討論函數(shù)

g(x)＝f′(x)－

x

３

零點的個數(shù)．

???????????????????????

感悟提升含參數(shù)的函數(shù)零點個數(shù),可轉(zhuǎn)化為方程

解的個數(shù),若能分離參數(shù),可將參數(shù)分離出來后,用

x 表示參數(shù)的函數(shù),作出該函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象

特征求參數(shù)的范圍．

訓(xùn)練１ (２０２２?甘肅九校聯(lián)考節(jié)選)已知函數(shù)

f(x)＝x－ae

x ,a∈R,討論函數(shù)f(x)的零點

個數(shù)．

???????????????????????

題型二利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點

例２ (１２分)(２０２２?全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝

ln(１＋x)＋axe

－x ．

(１)當(dāng)a＝１時,求曲線y＝f(x)在點(０,f(０))

處的切線方程;

(２)若f(x)在區(qū)間(－１,０),(０,＋∞)各恰有一

個零點,求a的取值范圍．

[思路分析] (１)先求出切點,再求導(dǎo)可得切線

的斜率,從而求出切線方程．

(２)對參數(shù)a 分類討論,根據(jù)a 的范圍確定

f′(x)在區(qū)間(－１,０),(０,＋∞)上的符號,進而

得到f(x)的單調(diào)性,再結(jié)合f(x)的符號,利用

零點的存在定理得出結(jié)論．

[規(guī)范解答] 解 (１)當(dāng)a＝１時,

f(x)＝ln(１＋x)＋x?e

－x ,

???????????????????

?

????????????????????

?

∴f′(x)＝

１

x＋１

＋e

－x ＋x?e

－x?(－１)① ,

→ 求導(dǎo)數(shù) (１分)

∴f′(０)＝１＋１＝２．

∵f(０)＝０,

∴所求切線方程為y－０＝２?(x－０),

即y＝２x． (２分)

(２)∵f(x)＝ln(x＋１)＋

ax

e

x ,

①當(dāng)a≥０時③ ,若x＞０,

則ln(x＋１)＞０,

ax

e

x ≥０,

??????

?

∴??f?(x?)＞?０?,?

→ 利用函數(shù)值大于０判定f(x)在(０,＋∞)上無零點

∴f(x)在(０,＋∞)上無零點,不符合題意． (３分)

②當(dāng)a＜０時③ ,f′(x)＝

e

x ＋a(１－x

２)

(x＋１)e

x

①

．

令g(x)＝e

x ＋a(１－x

２),則g′(x)＝e

x －２ax,

g′(x)在(－１,＋∞)上單調(diào)遞增,

g′(－１)＝e

－１＋２a,g′(０)＝１

② , (４分)

?

— ６８ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第79頁

(a)???????

?

若??g′?(－?１?)≥?０?,?

→ 討論g′(－１)的符號,確定f(x)的單調(diào)性

則－

１

２e

≤a＜０,

∴－

１

２e

≤a＜０時,g′(x)＞０在(－１,＋∞)上恒成立,

∴g(x)在(－１,＋∞)上單調(diào)遞增,

∵g(－１)＝e

－１＞０,

∴g(x)＞０在(－１,＋∞)上恒成立,

∴f′(x)＞０在(－１,＋∞)上恒成立,

∴f(x)在(－１,＋∞)上單調(diào)遞增,

??????

?

∵?

?f?(?０)?＝?０

②?,?

?

→根據(jù)f(x)的單調(diào)性與函數(shù)值的符號判定零點個數(shù)

∴f(x)在(－１,０),(０,＋∞)上均無零點,不符合

題意． (６分)

(b)若g′(－１)＜０,則a＜－

１

２e

,

???????????????????????

?

???????????????????????

?

∴a＜－

１

２e

時,存在x０∈(－１,０),使得g′(x０)＝０．

→

借助于隱零點x０,得g(x)的單調(diào)性,則g(x)在

(－１,x０)上單調(diào)遞減,在(x０,＋∞)上單調(diào)遞增

g(－１)＝e

－１＞０,g(０)＝１＋a,g(１)＝e＞０． (７分)

(ⅰ)當(dāng)g(０)≥０,即－１≤a＜－

１

２e

時,g(x)＞０在(０,

＋∞)上恒成立,

∴f′(x)＞０在(０,＋∞)上恒成立,

∴f(x)在(０,＋∞)上單調(diào)遞增．

∵f(０)＝０,∴當(dāng)x∈(０,＋∞)時,f(x)＞０,

∴f(x)在(０,＋∞)上無零點,不符合題意． (９分)

(ⅱ)當(dāng)g(０)＜０,即a＜－１時,

存在x１∈(－１,x０),x２∈(０,１),

使得g(x１)＝g(x２)＝０,

????????????????????

?

?????????????????????

?

?∴?f(x)在(－１,x１),(x２,＋∞)上單調(diào)遞增,

在(x１,x２)上單調(diào)遞減．

→ 借助于隱零點x１,x２,說明f(x)的單調(diào)性

∵f(０)＝０,∴f(x１)＞f(０)＝０

② ,

當(dāng)x→－１時,f(x)＜０

② ．

∴f(x)在(－１,x１)上存在一個零點,

??????????????????

?

??????????????????

?

?即?f(x)在(－１,０)上存在一個零點,

∵f(０)＝０,當(dāng)x→＋∞時,f(x)＞０

② ,

∴f(x)在(x２,＋∞)上存在一個零點,

即f(x)在(０,＋∞)上存在一個零點．

→

利用零點存在定理,判定f(x)在(－１,０),

(０,＋∞)上各存在一個零點

綜上,a的取值范圍是(－∞,－１)． (１２分)

[滿分規(guī)則]

?得步驟分:

①處的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解題步驟之一,也是最易得

分之處,不可漏掉．

?得關(guān)鍵分:

判斷函數(shù)在某區(qū)間上零點的個數(shù),關(guān)鍵就是判斷

函數(shù)的單調(diào)性及區(qū)間端點的符號,故②處為得分

的關(guān)鍵．

?得討論分:

解含參數(shù)的函數(shù)問題,要仔細觀察參數(shù)的符號與范

圍,對其進行討論以分解問題,如③處．

訓(xùn)練２ (２０２２?全國乙卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)

＝ax－

１

x

－(a＋１)lnx,若f(x)恰有一個零

點,求a的取值范圍．

???????????????????????

?

— ６９ —

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第80頁

題型三構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點

例３ (２０２１?全國甲卷節(jié)選)已知a＞０且a≠１,函

數(shù)f(x)＝

x

a

x (x＞０)．若曲線y＝f(x)與直線

y＝１有且僅有兩個交點,求a的取值范圍．

???????????????????????

感悟提升涉及函數(shù)的零點(方程的根)問題,主

要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點,根據(jù)

函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及

區(qū)間端點的函數(shù)值與０的關(guān)系,從而求得參數(shù)的

取值范圍．

訓(xùn)練３ (２０２３?長沙一模節(jié)選)已知函數(shù)f(x)

＝xlnx－ax

２(a∈R),若f(x)在定義域內(nèi)有

２個零點,求a的取值范圍．

???????????????????????

隱零點問題

對于隱零點問題,通常應(yīng)先設(shè)出隱零點,在判斷函

數(shù)的零點、不等式恒成立中都有應(yīng)用．

例已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

(１)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(２)證明不等式e

x－２－ax＞f(x)恒成立．

???????????????????????

訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)＝２sinx－xcosx－x,

f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)．

(１)證明:f′(x)在區(qū)間(０,π)存在唯一零點;

(２)若x∈[０,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍．

???????????????????????

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２７５頁

?

— ７０ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第81頁

第三課時構(gòu)造函數(shù)證明不等式

題型一移項構(gòu)造差函數(shù)證明不等式

例１當(dāng)x≥１時,證明:１－

lnx

x

－

e

x≥

１

x

－x．

???????????????????????

感悟提升待證不等式的兩邊含有同一個變量時,

一般地,可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù),有時對復(fù)

雜的式子要進行變形,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最

值,借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得證．

訓(xùn)練１證明:當(dāng)x＞１時,

１

２

x

２＋lnx＜

２

３

x

３．

???????????????????????

題型二分拆函數(shù)法證明不等式

例２ (２０２３?青島質(zhì)檢改編)已知函數(shù)f(x)＝

lnx＋x．證明:xf(x)＜e

x ．

???????????????????????

感悟提升１? 若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手

時,或兩次求導(dǎo)都不能判斷導(dǎo)數(shù)的正負時,可將待

證式進行變形,構(gòu)造兩個函數(shù),從而找到可以傳遞

的中間量,達到證明的目標．含lnx 與e

x 的混合式

不能直接構(gòu)造函數(shù),要將指數(shù)與對數(shù)分離,分別計

算它們的最值,借助最值進行證明．

２?等價變形的目的是求導(dǎo)后簡單地找到極值點,一

般地,e

x 與lnx 要分離,常構(gòu)造x

n 與lnx,x

n 與e

x

的積、商形式,便于求導(dǎo)后找到極值點．

訓(xùn)練２ (２０２３?武漢模擬改編)已知函數(shù)f(x)＝

ex

２－xlnx．求證:當(dāng)x＞０時,f(x)＜xe

x ＋

１

e

．

???????????????????????

?

— ７１ —

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第82頁

題型三放縮后構(gòu)造函數(shù)證明不等式

例３已知x∈(０,１),求證:x

２－

１

x

＜

lnx

e

x ．

???????????????????????

感悟提升１? 導(dǎo)數(shù)方法證明不等式中,最常見的

是e

x 和lnx 與其他代數(shù)式結(jié)合的問題,對于這類

問題,可以考慮先對e

x 和lnx 進行放縮,使問題簡

化,簡化后再構(gòu)造函數(shù)進行證明．

２?常見的放縮公式如下:(１)e

x ≥１＋x,當(dāng)且僅當(dāng)

x＝０時取等號．(２)lnx≤x－１,當(dāng)且僅當(dāng)x＝１時

取等號．若已知參數(shù)范圍,則利用參數(shù)的范圍進行放

縮,達到消參的目的．也可以利用局部函數(shù)的有界性

進行放縮,然后再構(gòu)造函數(shù)進行證明．

訓(xùn)練３ (２０２３?杭州調(diào)研改編)已知函數(shù)f(x)

＝e

x ,證明:當(dāng)x＞－２時,f(x)＞ln(x＋２)．

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雙變量問題

雙變量問題運算量大,綜合性強,解決起來需要很

強的技巧性,解題總的思想方法是化雙變量為單變

量,然后利用函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決．

例已知函數(shù)f(x)＝xe

－x ,如果x１≠x２,且f(x１)

＝f(x２),求證:x１＋x２＞２．

???????????????????????

訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)＝(x－２)e

x ＋a(x－１)２

有兩個零點,a＞０,設(shè)x１,x２是f(x)的兩個零

點,證明:x１＋x２＜２．

???????????????????????

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２７７頁

?

— ７２ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第83頁

第１節(jié) 任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念

考試要求１? 了解任意角的概念和弧度制的概念．２? 能進行弧度與角度的互化．３? 理解任意角的三角函數(shù)

(正弦、余弦、正切)的定義．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?角的概念的推廣

(１)定義:一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)到另一條射線

所形成的圖形稱為 ,這兩條射線分別稱

為角的始邊和．

(２)分類

按旋轉(zhuǎn)方向不同分為、、．

{按終邊位置不同分為和軸線角．

(３)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連

同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k?

３６０°,k∈Z}．

２?弧度制的定義和公式

(１)定義:長度等于的圓弧所對的圓心

角為１弧度的角,記作１rad．

(２)公式

角α的弧度數(shù)公式 |α|＝

l

r

(弧長用l表示)

角度與弧度的換算１°＝

π

１８０

rad;１rad＝

弧長公式弧長l＝

扇形面積公式 S＝＝

３?任意角的三角函數(shù)

對于任意角α來說,設(shè)P(x,y)是α終邊上異于原

點的任意一點,r ＝ x

２＋y

２ ,則 sinα ＝

,cosα＝ ,tanα＝

y

x

(x≠０)．

[常用結(jié)論]

１?三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律:一全正,二正

弦,三正切,四余弦．

２?角度制與弧度制可利用１８０°＝πrad進行互化,在

同一個式子中,采用的度量制必須一致,不可混用．

３?象限角

４?軸線角

?

— ７３ —

第84頁

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)小于９０°的角是銳角． ( )

(２)銳角是第一象限角,第一象限角也都是銳角．

( )

(３)角α 的三角函數(shù)值與其終邊上點P 的位置

無關(guān)． ( )

(４)若α為第一象限角,則sinα＋cosα＞１．( )

２?已知α是第一象限角,那么

α

２

是 ( )

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第一或二象限角 D．第一或三象限角

３?已知角θ 的終邊經(jīng)過點P(－１２,５),則sinθ＋

cosθ＝．

４?已知扇形的圓心角為３０°,其弧長為２π,則此扇形

的面積為．

?

考點突破·題型剖析

考點一象限角及終邊相同的角

例１ (１)(多選)下列命題正確的是 ( )

A．終邊落在x 軸的非負半軸的角的集合為{α|

α＝２kπ,k∈Z}

B．終邊落在y 軸上的角的集合為{α|α＝９０°＋

kπ,k∈Z}

C．第三象限角的集合為

α π＋２kπ≤α≤

３π

２ { ＋２kπ,k∈Z}

D．在－７２０°~０°范圍內(nèi)所有與４５°角終邊相同的

角為－６７５°和－３１５°

(２)已知角θ在第二象限,且 sin

θ

２

＝－sin

θ

２

,

則角

θ

２

在 ( )

A．第一象限或第三象限

B．第二象限或第四象限

C．第三象限

D．第四象限

???????????????????????

感悟提升１?利用終邊相同的角的集合可以求適

合某些條件的角,方法是先寫出與這個角的終邊相

同的所有角的集合,然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)

賦值來求得所需的角．

２?確定kα,

α

k

(k∈N

? )的終邊位置的方法

先寫出kα或

α

k

的范圍,然后根據(jù)k 的可能取值確

定kα或

α

k

的終邊所在的位置．

訓(xùn)練１ (１)集合{αkπ＋

π

４

≤α≤kπ＋

π

２

,k∈Z}

中的角所表示的范圍(陰影部分)是 ( )

(２)終邊在直線y＝３x 上,且在[－２π,２π)內(nèi)的

角α的集合為．

???????????????????????

?

— ７４ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第85頁

考點二弧度制及其應(yīng)用

例２已知扇形的圓心角是α,半徑為R,弧長為l．

(１)若α＝

π

３

,R＝１０cm,求扇形的弧長l．

(２)若扇形的周長是２０cm,當(dāng)扇形的圓心角α

為多少弧度時,這個扇形的面積最大?

(３)若α＝

π

３

,R＝２cm,求扇形的弧所在的弓形

的面積．

???????????????????????

感悟提升應(yīng)用弧度制解決問題時應(yīng)注意:

(１)利用扇形的弧長和面積公式解題時,要注意角

的單位必須是弧度．

(２)求扇形面積最大值的問題時,常轉(zhuǎn)化為二次函

數(shù)的最值問題．

(３)在解決弧長問題和扇形面積問題時,要合理地

利用圓心角所在的三角形．

訓(xùn)練２ (１)(多選)(２０２２?青島質(zhì)檢)已知扇形的周

長是６,面積是２,下列選項可能正確的有 ( )

A．圓的半徑為２

B．圓的半徑為１

C．圓心角的弧度數(shù)是１

D．圓心角的弧度數(shù)是２

(２)(２０２３?廣州檢測)數(shù)學(xué)中處

處存在著美,機械學(xué)家萊洛發(fā)

現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱

的美感．萊洛三角形的畫法:先

畫等邊三角形ABC,再分別以

點A,B,C 為圓心,線段AB 長為半徑畫圓弧,

由這三段圓弧組成的曲邊三角形稱為萊洛三角

形(如圖所示)．若萊洛三角形的周長為２π,則其

面積是 ( )

A．

２π

３

＋３ B２．π＋２３ C．

２π

３

－３ D２．π－２３

考點三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

角度１三角函數(shù)的定義

例３ (１)(２０２３?石家莊質(zhì)檢)已知角α的終邊上一

點P 的坐標為(－２,１),則cosα的值為 ( )

A．

５

B．－

５

C．

２５

５

D．－

２５

５

(２)(２０２３?長沙質(zhì)檢)若角α的終邊過點P(８m,

－３),且tanα＝

３

４

,則m 的值為 ( )

A．－

１

２

B．

１

２

C．－

３

２

D．

３

２

???????????????????????

角度２三角函數(shù)值的符號

例４ (多選)(２０２２?重慶八中月考)已知角α的頂

點與原點重合,始邊與x 軸的非負半軸重合,終

邊經(jīng)過點P(m,１－m)．若m＞０,則下列各式的

符號無法確定的是 ( )

As．inα Bc．osα

Cs．inα－cosα Ds．inα＋cosα

???????????????????????

感悟提升１?三角函數(shù)定義的應(yīng)用

(１)直接利用三角函數(shù)的定義,找到給定角的終邊

上一個點的坐標,及這點到原點的距離,確定這個

角的三角函數(shù)值．

(２)已知角的某一個三角函數(shù)值,可以通過三角函

數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程,求參數(shù)的值．

２?要判定三角函數(shù)值的符號,關(guān)鍵是要搞清三角函

數(shù)中的角是第幾象限角,再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在

各象限的符號確定值的符號．如果不能確定角所在

象限,那就要進行分類討論求解．

訓(xùn)練３ (１)(２０２３?無錫調(diào)考)已知角α的頂點為坐

標原點,始邊為x 軸的非負半軸,若點P(sinα,

tanα)在第四象限,則角α的終邊在 ( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

(２)sin２?cos３?tan４的值 ( )

A．小于０ B．大于０ C．等于０ D．不存在

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２７９頁

?

— ７５ —

第四章三角函數(shù)、解三角形

第86頁

第２節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

考試要求１? 理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin

２x＋cos

２x＝１,

sinx

cosx

＝tanx．２? 能利用單位圓中的對稱性推導(dǎo)

出

π

２

±α,π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(１)平方關(guān)系: ．

(２)商數(shù)關(guān)系:

sinα

cosα

＝tanαα≠

π

２

＋kπ,k∈Z

?

è

?

÷．

２?三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式一二三四五六

角

２kπ＋α

(k∈Z)

π＋α －α π－α

π

２

－α

π

２

＋α

正弦 sinα

余弦 cosα

正切 tanα

口訣奇變偶不變,符號看象限

[常用結(jié)論]

１?同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形

(sinα±cosα)２＝１±２sinαcosα;sinα＝tanα?

cosα．

２?誘導(dǎo)公式的記憶口訣

“奇變偶不變,符號看象限”,其中的奇、偶是指

π

２

的奇數(shù)倍和偶數(shù) 倍,變與不變指函數(shù) 名稱的

變化．

３?在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時,若開方,要

特別注意判斷符號．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)若α,β為銳角,則sin

２α＋cos

２β＝１． ( )

(２)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．( )

(３)若α∈R,則tanα＝

sinα

cosα

恒成立． ( )

(４)若sin(kπ－α)＝

１

３

(k∈Z),則sinα＝

１

３

．( )

２?已知sin

７π

２

＋α

?

è

?

÷＝

３

５

,那么cosα＝ ( )

A．－

４

５

B．－

３

５

C．

３

５

D．

４

５

３?已知α是第三象限角,sinα＝－

３

５

,則tanα＝

( )

A．－

３

４

B．

３

４

C．－

４

３

D．

４

３

４?化簡

cosα－

π

２

?

è

?

÷

sin

５π

２

＋α

?

è

?

÷

?sin(α－π)?cos(２π－α)的結(jié)果

為．

?

— ７６ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第87頁

考點突破·題型剖析

考點一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用

例１ (１)已知cosα＝－

５

１３

,則１３sinα＋５tanα

＝．

(２)已知

tanα

tanα－１

＝－１,則

sinα－３cosα

sinα＋cosα

＝

;sin

２α＋sinαcosα＋２＝．

(３)(多選)已知θ∈(０,π),sinθ＋cosθ＝

１

５

,則

下列結(jié)論正確的是 ( )

As．inθ＝

４

５

Bc．osθ＝－

３

５

Ct．a(chǎn)nθ＝－

３

４

Ds．inθ－cosθ＝

７

５

???????????????????????

感悟提升同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法

(１)利用sin

２α＋cos

２α＝１可實現(xiàn)角α 的正弦、余弦

的互化,利用

sinα

cosα

＝tanα可實現(xiàn)角α的弦切互化．

(２)由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的另

外兩個三角函數(shù)值,當(dāng)利用“平方關(guān)系”公式求平方

根時,會出現(xiàn)兩解,需根據(jù)角所在的象限判斷角的

符號,當(dāng)角所在的象限不明確時,要進行分類討論．

(３)當(dāng)分式中分子與分母是關(guān)于sinα,cosα的齊次

式時,往往轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子求解．

訓(xùn)練１ (１)(２０２３?青島調(diào)研)若sinθ＋cosθ＝

２３

３

,則sin

４θ＋cos

４θ＝ ( )

A．

５

６

B．

１７

１８

C．

８

９

D．

２

３

(２)(２０２３?湖北九師聯(lián)盟質(zhì)檢)若tan(α－π)＝

２,則

１－２sin

２α

１＋sin２α

＝ ( )

A．－

１

３

B．－３ C．

１

３

D３．

考點二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

例２ (１)(２０２３?南通檢測)已知sin

２０２３π

２

＋α

?

è

?

÷ ＝

１

３

,

則cos(π－α)的值為 ( )

A．

７

９

B．

１

３

C．－

１

３

D．－

７

９

(２)

tan(π－α)cos(２π－α)sin －α＋

３π

２

?

è

?

÷

cos(－α－π)sin(－π－α)

的值為( )

A．－２ B．－１ C１． D２．

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感悟提升１?誘導(dǎo)公式的應(yīng)用步驟

任意負角的三角函數(shù)

利用誘導(dǎo)公式

三或一 →任意正角的三

角函數(shù)

利用誘導(dǎo)公式一

→０~２π內(nèi)的角的三角函數(shù)

利用誘導(dǎo)公式二

或四或五或六→銳角三角函數(shù)．

２?誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用

(１)求值:負化正,大化小,化到銳角為終了．

(２)化簡:統(tǒng)一角,統(tǒng)一名,同角名少為終了．

訓(xùn)練２ (１)(２０２３?長沙調(diào)研)已知sin

π

３

＋２α

?

è

?

÷ ＝

２

３

,則cos

π

６

－２α

?

è

?

÷＝ ( )

A．

５

３

B．－

２

３

C．

２

３

D．±

５

３

(２)設(shè)f(α)＝

２sin(π＋α)cos(π－α)－cos(π＋α)

１＋sin

２α＋cos

３π

２

＋α

?

è

?

÷－sin

２ π

２

＋α

?

è

?

÷

(１＋２sinα≠０),則f －

２３π

６

?

è

?

÷＝．

?

— ７７ —

第四章三角函數(shù)、解三角形

第88頁

考點三同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

例３已知f(α)＝

sin(α－３π)cos(２π－α)sin －α＋

３π

２

?

è

?

÷

cos(－π－α)sin(－π－α) ．

(１)化簡f(α);

???????????????????????

(２)若α＝－

３１π

３

,求f(α)的值;

???????????????????????

(３)若cos －α－

π

２

?

è

?

÷ ＝

１

５

,α∈ π,

３π

２

é

?

ê

ù

?

ú

ú ,求f(α)

的值．

???????????????????????

感悟提升１?利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公

式求值或化簡時,關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,

靈活使用公式進行變形．

２?注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響．

訓(xùn)練３ (１)(２０２３?懷仁模擬)若sin(３π＋α) ＝

１

２

,α∈ π,

３π

２

?

è

?

÷,則tan(２０２３π－α)＝ ( )

A．－

１

２

B．－

３

２

C．－３ D．－

３

(２)已知－π＜x＜０,sin(π＋x)－cosx＝－

１

５

,

則

sin２x＋２sin

２x

１－tanx

＝．

???????????????????????

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２８１頁

?

— ７８ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第89頁

第３節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

考試要求１? 會推導(dǎo)兩角差的余弦公式．２? 會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式．

３? 掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,并會簡單應(yīng)用．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

(１)公式C(α－β):cos(α－β)＝ ;

(２)公式C(α＋β):cos(α＋β)＝ ;

(３)公式S(α－β):sin(α－β)＝ ;

(４)公式S(α＋β):sin(α＋β)＝ ;

(５)公式T(α－β):tan(α－β)＝ ;

(６)公式T(α＋β):tan(α＋β)＝．

２?輔助角公式

asinα＋bcosα＝ ,其中

sinφ＝

b

a

２＋b

２

,cosφ＝

a

２＋b

２．

[常用結(jié)論]

兩角和與差的公式的常用變形:

(１)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ;

(２)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ;

(３)tanα±tanβ＝tan(α±β)(１?tanαtanβ),

tanαtanβ＝１－

tanα＋tanβ

tan(α＋β)＝

tanα－tanβ

tan(α－β)－１．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是

任意的． ( )

(２)存在實數(shù)α,β,使等式sin(α＋β)＝sinα＋

sinβ成立． ( )

(３)公式tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ

１－tanαtanβ

可以變形為

tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(１－tanαtanβ),且對任

意角α,β都成立． ( )

(４)存在實數(shù)α,使tan２α＝２tanα． ( )

２?已知cosα＝－

３

５

,α∈

π

２

,π

?

è

?

÷,則cos

π

４

－α

?

è

?

÷ ＝

．

３?計算:sin１０８°cos４２°－cos７２°sin４２°＝．

４?若tanα＝

１

３

,tan(α＋β)＝

１

２

,則tanβ＝．

?

考點突破·題型剖析

考點一公式的基本應(yīng)用

例１ (１)若cosα＝－

４

５

,α 是第三象限的角,則

sinα＋

π

４

?

è

?

÷＝ ( )

A．

７２

１０

B．－

７２

１０

C．－

２

１０

D．

２

１０

(２)已知sinα＝

３

５

,α∈

π

２

,π

?

è

?

÷,tan(π－β)＝

１

２

,

則tan(α－β)的值為 ( )

A．－

２

１１

B．

２

１１

C．

１１

２

D．－

１１

２

???????????????????????

感悟提升１? 使用兩角和與差的三角函數(shù)公式,

首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征．

２?使用公式求值,應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值,再代

入公式求值．

?

— ７９ —

第四章三角函數(shù)、解三角形

第90頁

訓(xùn)練１ (１)已知點P(x,２２)是角α終邊上一

點,且cosα＝－

１

３

,則cos

π

６

＋α

?

è

?

÷等于 ( )

A．－

３＋２２

６

B．

３＋２２

６

C．

３－２２

６

D．

２２－３

６

(２)(２０２３? 濟南聯(lián) 考)已知α∈ －

π

２

,

π

２

?

è

?

÷,

tanα－

π

４

?

è

?

÷＝

１

３

,則sin(π－α)＝ ( )

A．

２５

５

B．

５

C．－

５

D．－

２５

５

???????????????????????

考點二公式的逆用及變形

角度１公式的活用

例２ (１)(２０２３?濮陽一模)cos４０°sin７０°－sin４０°?

sin１６０°＝ ( )

A．－

１

２

B．

１

２

C．－

３

２

D．

３

２

(２)若α＋β＝－

３π

４

,則(１＋tanα)(１＋tanβ)

＝．

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角度２輔助角公式的運用

例３化簡:(１)sin

π

１２

－３cos

π

１２

;(２)

１

sin１０°

－

３

sin８０°

．

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感悟提升三角函數(shù)公式活用技巧

(１)逆用公式應(yīng)準確找出所給式子與公式的異同,

創(chuàng)造條件逆用公式．

(２)tanαtanβ,tanα＋tanβ(或tanα－tanβ),

tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一．應(yīng)注

重公式的逆用和變形使用．

訓(xùn)練２ (１)求值:

sin１５°sin４５°－cos１５°cos４５°＝．

(２)求值:cos１５°＋sin１５°＝．

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考點三角的變換問題

例４ (１)已知α,β∈

π

３

,

５π

６

?

è

?

÷,若sinα＋

π

６

?

è

?

÷ ＝

４

５

,

cosβ－

５π

６

?

è

?

÷＝

５

１３

,則sin(α－β)的值為 ( )

A．

１６

６５

B．

３３

６５

C．

５６

６５

D．

６３

６５

(２)(２０２２?青島模擬)若tan(α＋２β)＝２,tanβ＝

－３,則tan(α＋β)＝ ,tanα＝．

???????????????????????

感悟提升角的變換:明確各個角之間的關(guān)系(包括

非特殊角與特殊角、已知角與未知角),熟悉角的變換

技巧,及半角與倍角的相互轉(zhuǎn)化,如:２α＝(α＋β)＋

(α－β),α＝

α＋β

２

＋

α－β

２

,

π

３

＋α＝

π

２

－

π

６

－α

?

è

?

÷,α＝

(α＋β)－β＝(α－β)＋β,

π

４

＋α

?

è

?

÷＋

π

４

－α

?

è

?

÷＝

π

２

等．

訓(xùn)練３ (１)已知α為銳角,且cosα＋

π

６

?

è

?

÷ ＝

５

１３

,

則cosα的值為．

(２)已知０＜α＜

π

２

＜β＜π,tanα＝

４

３

,cos(β－α)

＝

２

１０

,則sinα＝ ,cosβ＝．

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２８３頁

?

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