2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師50（多選）長方體 ? 1111中， = 2 = 21 = 2，為棱的中點，平面1上一動點滿足∠ = 90

°，則下列說法正確的是（ ）

A．長方體外接球的表面積為 6π B． ⊥ 1

C．到平面1距離為

2 3

3

D．的軌跡長度為

6

3

π

考點二 點、直線、平面之間的位置關(guān)系? 命題點 1 直線、平面平行的判定與性質(zhì)典例 01（2024 預(yù)測·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖已知正方體 ? 1111，M，N 分別是1，1的中點，則（ ）

A．直線1與直線1垂直，直線//平面

B．直線1與直線1平行，直線 ⊥平面11

C．直線1與直線1相交，直線//平面

D．直線1與直線1異面，直線 ⊥平面11

典例 03（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐 ? 中， ⊥ ， = 2， =2 2，==6，, , 的中點分別為, , ，點在上， ⊥ ．

(1)求證：//平面；

(2)若∠ = 120°，求三棱錐 ? 的體積．命題點 2 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師51典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱 ? 111中，1 ⊥平面, ∠=90°．(1)證明：平面11 ⊥平面11；

(2)設(shè) = 1, 1 = 2，求四棱錐1 ? 11的高．典例 02（2024 預(yù)測·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，//，//，=5， = 3， = 1，∠ = ∠ = 60°，二面角 ? ? 的平面角為 60°．設(shè)M，N 分別為, 的中點．

(1)證明： ⊥ ；

(2)求直線與平面所成角的正弦值．典例 03（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中， ⊥ , = , ∠=∠，E為 AC 的中點．

(1)證明：平面 ⊥平面 ACD；

(2)設(shè) = = 2, ∠ = 60°，點 F 在 BD 上，當(dāng)△ 的面積最小時，求三棱錐 ? 的體積．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師52命題點 3 二面角

典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知△ 為等腰直角三角形，AB 為斜邊，△為等邊三角形，若二面角 ? ? 為 150°，則直線 CD 與平面 ABC 所成角的正切值為（ ）A．

1

5 B．

2

5 C．

3

5 D．

2

5

典例 02（多選）（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的頂點為 P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠ = 120°， = 2，點 C 在底面圓周上，且二面角 ? ? 為 45°，則（）．A．該圓錐的體積為π B．該圓錐的側(cè)面積為 4 3π

C． = 2 2 D．△ 的面積為 3

典例 03（2024 新·天津·統(tǒng)考高考真題）三棱臺 ? 111中，若1 ⊥面, ⊥ , ==1 = 2, 11 = 1，, 分別是, 中點. (1)求證：1//平面1；

(2)求平面1與平面11所成夾角的余弦值；

(3)求點到平面1的距離．

1．在正四棱柱 ? 1111中， = 2, 1 = 4，平面與棱1

, 1

, 1

, 1分別交于點, , , ，其中, 分別是1

, 1的中點，且1 ⊥ ，則1 = ．

2．如圖，在三棱錐 ? 中，平面 ⊥平面，△ 為等腰直角三角形，其中 ==1，為中點．

(1)證明：平面 ⊥平面；

(2)已知∠ = 120

°，二面角 ? ? 的大小為45

°，求三棱錐 ? 的體積．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師533．如圖，在三棱柱 ? ???中，1 ⊥平面 ， △ 是等邊三角形，且為棱的中點. (1)證明： ⊥ 平面?；

(2)若 2? = 3，求平面 ?與平面?所成銳二面角的余弦值.

4．如圖，在三棱柱 ? 111中，1 ⊥平面，△ 是等邊三角形，且為棱的中點. (1)證明： ⊥平面1；

(2)若 21 = 3 = 6，求點1到平面1的距離.考點三空間向量? 命題點 1 空間向量及其運算典例 01（2014·廣東·高考真題）已知向量 = (1,0, ? 1)，則下列向量中與 成60

°的是A．( ? 1,1,0) B．(1, ? 1,0) C．(0, ? 1,1) D．( ? 1,0,1)

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師54典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）在正三棱柱 ? 111中， = 1 = 1，點滿足 = +1

，其中 ∈ 0,1 ， ∈ 0,1 ，則（ ）

A．當(dāng) = 1 時，△ 1的周長為定值

B．當(dāng) = 1 時，三棱錐 ? 1的體積為定值

C．當(dāng) =

1

2時，有且僅有一個點，使得1 ⊥

D．當(dāng) =

1

2時，有且僅有一個點，使得1 ⊥平面1

典例 03（2024 預(yù)測·上?！そy(tǒng)考高考真題）如圖，以長方體 ? 1111的頂點為坐標(biāo)原點，過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若1

的坐標(biāo)為(4,3,2)，則1

的坐標(biāo)為命題點 2 空間向量的應(yīng)用典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐 ? 中， = = ，⊥，∠=∠ = 60

°，E 為 BC 的中點．

(1)證明： ⊥ ；

(2)點 F 滿足 = ，求二面角 ? ? 的正弦值．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師551．（多選）如圖，設(shè)正方體 ? 1111的棱長為 2，點是的中點，點, 為空間內(nèi)兩點，且 = + 1

, , ∈ 0,1 , = ∈ 0,1 ，則（ ）

A．若1 ⊥平面11，則點與點重合

B．設(shè)1 = 5，則動點的軌跡長度為

π

2

C．平面11與平面11的夾角的余弦值為

10

5

D．若 =

1

2，則平面1截正方體所得截面的面積為

7 17

6

2．（多選）如圖①，四邊形 ABCD 是兩個直角三角形拼接而成， = 1， = 2，∠=∠=90°，∠ = 45°.現(xiàn)沿著 BD 進行翻折，使平面 ⊥平面 BCD，連接 AC，得到三棱錐 ?（如圖②），則下列選項中正確的是（ ）

A．平面 ⊥平面 ACD

B．二面角 ? ? 的大小為 60° C．異面直線 AD 與 BC 所成角的余弦值為

3

3

D．三棱錐 ? 外接球的表面積為π

3．（多選）如圖 1，矩形11由正方形11與11

拼接而成．現(xiàn)將圖形沿1對折成直二面角，如圖 2．點（不與1

, 重合）是線段1上的一個動點，點在線段上，點在線段11上，且滿足 ⊥ ， ⊥ 11，則（ ）

圖 1 圖 2

A． = B．1 ⊥ 平面

C．∠的最大值為

2π

3

D．多面體的體積為定值

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師564．（多選）如圖，在三棱柱 ? 111中，∠ = 90°，∠1 = ∠1 = 60°， = = 1 = 1，是線段1上的點，且 = 21，則下列說法正確的是（）A． =

2

3

+

1

3

+

1

3

1

B． ? 1

=?

1

2

C． =

15

3

D．直線1與1所成角的余弦值為1

6

5．在四棱錐 ? 中，△ 為等邊三角形，四邊形 ABCD 為直角梯形， ∥ , ⊥ ，平面⊥平面 PCD， = 2 = 2．

(1)證明： ⊥ ；

(2)若四棱錐 ? 的體積為

3

2，求直線 PB 與平面 PAD 所成角的正弦值．專題 14 解析幾何中的軌跡與方程（解密講義）考點 命題點 考題

直線與圓 ①直線的方程

②圓的方程

2024 新北京卷 T15，2024 新新課標(biāo)I 卷T6

2024 預(yù)測新高考 II 卷 T15，2024 預(yù)測全國甲卷（文）T142024 預(yù)測新高考 II 卷 T3，2024 預(yù)測新高考II 卷T10曲線方程 ①橢圓、雙曲線和拋物線的方程

②求軌跡方程

2024 新北京卷 T12，2024 新北京卷T6

2024 新全國甲卷（文）T7，2024 新全國甲卷（理）T8，2024 新全國甲卷（理）T12，2024 新全國乙卷（理）T11，考點一 直線與圓? 命題點 1 直線的方程

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師57典例 01（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）拋物線

2 = 2( > 0)的焦點到直線 = +1 的距離為2，則 =（ ）

A．1 B．2 C．2 2 D．4

典例 03（2024 預(yù)測·山東·統(tǒng)考高考真題）已知直線: = sin + cos的圖像如圖所示，則角是（ ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角命題點 2 圓的方程

典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知實數(shù), 滿足

2 +

2 ? 4 ? 2 ? 4 = 0，則 ?的最大值是（ ）

A．1 +

3 2

2

B．4 C．1 + 3 2 D．7

典例 02（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線: ? + 1 = 0 與⊙ : ? 1

2 +

2 =4 交于A，B兩點，寫出滿足“△ 面積為

8

5”的 m 的一個值 ．典例 03（2024 預(yù)測·天津·統(tǒng)考高考真題）若直線 ? + = 0 > 0 與圓 ? 1

2 + ?12 =3相交所得的弦長為，則 = ．

1．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)， 1,0 ， 2,0 ，動點在直線 = 上，若圓過，，三點，則圓面積的最小值為（ ）

A．

π

2

B．

π

4

C．π D．

2π

3

2．已知圓：

2 +

2 ? 4 + 3 = 0，一條光線從點 2,1 射出經(jīng)軸反射，則下列結(jié)論不正確的是（）A．圓關(guān)于軸的對稱圓的方程為

2 +

2 + 4 + 3 = 0

B．若反射光線平分圓的周長，則入射光線所在直線方程為 3 ? 2 ? 4 = 0

C．若反射光線與圓相切于，與軸相交于點，則 + = 2

D．若反射光線與圓交于，兩點，則△ 面積的最大值為

1

2

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師583．（多選）設(shè)動直線: ? ? 2 + 3 = 0( ∈ R)交圓: ( ? 4)

2 + ( ? 5)

2 = 12 于，兩點（點為圓心），則下列說法正確的有（ ）

A．直線過定點(2,3) B．當(dāng)||取得最大值時， = 1

C．當(dāng)∠最小時，其余弦值為

1

4

D． ? 的最大值為 24

考點二曲線方程? 命題點 1 橢圓、雙曲線和拋物線的方程典例 01（2024 預(yù)測·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線

2 = 4 5, 1

, 2分別是雙曲線

2

2 ?

2

2 =1(>0, >0)的左、右焦點，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點1，與雙曲線的漸近線交于點A，若∠12=

4，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）

A．

2 10 ?

2 = 1 B．

2 ?

2 16 = 1

C．

2 ?

24 = 1 D．

24 ?

2 = 1

典例 02（2024 新·天津·統(tǒng)考高考真題）過原點的一條直線與圓: ( + 2)

2 +

2 = 3 相切，交曲線2 =2( > 0)于點，若 = 8，則的值為 ．典例 03（2024 新·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線 C 的焦點為( ? 2,0)和(2,0)，離心率為2，則C的方程為 ．典例 04（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點 1, 5 在拋物線 C：

2 = 2上，則A 到C的準(zhǔn)線的距離為 .命題點 2 求軌跡方程

典例 01（2024 預(yù)測·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知, ∈ R, > 0，函數(shù) =

2 + ( ∈ R).若(?), (), ( + )成等比數(shù)列，則平面上點 , 的軌跡是（ ）

A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）在平面內(nèi)，A，B 是兩個定點，C 是動點，若 ? =1，則點C 的軌跡為（ ）

A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師59典例 03（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點到軸的距離等于點到點0, 1

2 的距離，記動點的軌跡為．求的方程；

1．已知為直線: + 2 + 1 = 0 上的動點，點滿足 = 1, ? 3 ，記的軌跡為，則（）A．是一個半徑為 5的圓 B．是一條與相交的直線

C．上的點到的距離均為 5 D．是兩條平行直線

2．已知1

, 2是橢圓:

24

+

23 = 1 的長軸上的兩個頂點，點是橢圓上異于長軸頂點的任意一點，點與點關(guān)于軸對稱，則直線1與直線2的交點所形成的軌跡為（ ）

A．雙曲線 B．拋物線

C．橢圓 D．兩條互相垂直的直線

3．已知拋物線1

:

2 =? 2( > 0)的焦點與橢圓2

:

2

2 +

2

2 = 1( > > 0)的左焦點1重合，點為拋物線1與橢圓2的公共點，且1 ⊥ 軸，則橢圓的離心率為（ ）

A．

3

3

B．

2

2

C． 2 ? 1 D． 3 ? 1

4．過拋物線

2 = 2( > 0)的焦點作直線交拋物線于 1

, 2 ， 2

, ? 2 2 兩點，則 =（）A．1 B．2 C．3 D．4

專題 15 圓錐曲線中的綜合問題（解密講義）考點 命題點 考題

直線與圓錐曲線

的位置關(guān)系

①直線與橢圓的位置關(guān)系

②直線與雙曲線的位置關(guān)系

③直線與拋物線的位置關(guān)系

2024 新天津卷 T18，2024 新新課標(biāo)II 卷T5，2024新新課標(biāo) II 卷 T10，2024 新全國乙卷（理）T11，2024 預(yù)測天津卷T19，2024 預(yù)測北京卷T19，2024預(yù)測新課標(biāo) II 卷 T21，2024 預(yù)測新高考I 卷T21，2024 預(yù)測新高考II 卷T10

圓錐曲線中的定

點、定值問題

①橢圓中的定點、定值

②雙曲線和拋物線的定點、定值

2024 新北京卷 T19，2024 新全國乙卷（理）T20，2024 預(yù)測全國乙卷（理）T20，2024 預(yù)測全國甲卷（理）T20，

圓錐曲線中的參

數(shù)范圍及最值

①橢圓、雙曲線中的參數(shù)范圍及最值

②拋物線中的參數(shù)范圍及最值

2024 新新課標(biāo) II 卷T5，2024 預(yù)測浙江卷T21，2024 預(yù)測全國甲卷（理）T20，

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師60考點一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

? 命題點 1 直線與橢圓的位置關(guān)系

典例 01（2024 新·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓

2

2 +

2

2 = 1( > > 0)的左右頂點分別為1

, 2，右焦點為，已知 1 = 3, 2 = 1．

(1)求橢圓方程及其離心率；

(2)已知點是橢圓上一動點（不與端點重合），直線2交軸于點，若三角形1的面積是三角形2面積的二倍，求直線2的方程．典例 02（2024 預(yù)測·天津·統(tǒng)考高考真題）橢圓

2

2 +

2

2 = 1 > > 0 的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為 B，且滿足

=

3

2 ．

(1)求橢圓的離心率；

(2)直線 l 與橢圓有唯一公共點 M，與 y 軸相交于 N（N 異于 M）．記 O 為坐標(biāo)原點，若=，且△的面積為 3，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．典例 03（2024 預(yù)測·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓:

2

2 +

2

2 = 1( > > 0)的一個頂點為(0,1)，焦距為2 3．

(1)求橢圓 E 的方程；

(2)過點( ? 2,1)作斜率為 k 的直線與橢圓 E 交于不同的兩點 B，C，直線 AB，AC 分別與x 軸交于點M，N，當(dāng)|| = 2 時，求 k 的值．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師61? 命題點 2 直線與雙曲線的位置關(guān)系典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè) A，B 為雙曲線

2 ?

29 = 1 上兩點，下列四個點中，可為線段AB 中點的是（ ）

A． 1,1 B． ?1,2 C． 1,3 D． ?1, ? 4

? 命題點 3 直線與拋物線的位置關(guān)系典例 01（多選）（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知 O 為坐標(biāo)原點，過拋物線:

2 =2(>0)焦點F 的直線與 C 交于 A，B 兩點，其中 A 在第一象限，點(, 0)，若|| = ||，則（）A．直線的斜率為 2 6 B．|| = ||

C．|| > 4|| D．∠ + ∠ < 180°典例 02（多選）（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè) O 為坐標(biāo)原點，直線 =? 3 ?1 過拋物線: 2=2 > 0 的焦點，且與 C 交于 M，N 兩點，l 為 C 的準(zhǔn)線，則（ ）．

A． = 2 B． =

8

3

C．以 MN 為直徑的圓與 l 相切 D．△ 為等腰三角形

典例 03（2024 預(yù)測·山東·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，橢圓

24

+

2 =1 的頂點分別為1，2，1，2，其中點2為拋物線的焦點，如圖所示. （1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過點1的直線與拋物線交于，兩點，且 + //12

，求直線

的方程.

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師621．設(shè)橢圓 C1：

2

2 +

2

2 =1（a＞b＞0）的左焦點為 F，右頂點為 A，離心率是

1

2，已知A 是拋物線C2：y2＝2px（p＞0）的焦點，F(xiàn) 到拋物線 C2的準(zhǔn)線 l 的距離為

1

2．

(1)求 C1的方程及 C2的方程；

(2)設(shè) l 上兩點 P，Q 關(guān)于軸對稱，直線 AP 交 C1于點 B（異于點 A），直線BQ 交x 軸于點D，若△APD的面積為

6

2 ，求直線 AP 的斜率．

2．已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為軸，軸，且過 2,0 ， 4,3 兩點. (1)求雙曲線的方程；

(2)已知點 2,1 ，設(shè)過點的直線交于，兩點，直線，分別與軸交于點，，當(dāng)=6時，求直線的斜率. 3．己知直線: = ? 2 與拋物線:

2 = 2( > 0)交于 A，B 兩點，F(xiàn) 為E 的焦點，直線FA，F(xiàn)B的斜率之和為 0．

(1)求 E 的方程；

(2)直線, 分別交直線 =? 2 于, 兩點，若|| ≥ 16，求 k 的取值范圍．考點二 圓錐曲線中的定點、定值問題? 命題點 1 橢圓中的定點、定值

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師63典例 01（2024 新·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓:

2

2 +

2

2 = 1( > > 0)的離心率為5

3 ，A、C分別是E的上、下頂點，B，D 分別是的左、右頂點，|| = 4．

(1)求的方程；

(2)設(shè)為第一象限內(nèi) E 上的動點，直線與直線交于點，直線與直線 =? 2 交于點．求證：//．典例 02（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓:

2

2 +

2

2 = 1( > > 0)的離心率是5

3 ，點?2,0在上．

(1)求的方程；

(2)過點 ?2,3 的直線交于, 兩點，直線, 與軸的交點分別為, ，證明：線段的中點為定點．命題點 2 雙曲線和拋物線中的定點、定值典例 01（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線:

2 = 2( > 0)的焦點為F，點, 0 ，過F的直線交 C 于 M，N 兩點．當(dāng)直線 MD 垂直于 x 軸時， = 3．

(1)求 C 的方程；

(2)設(shè)直線, 與 C 的另一個交點分別為 A，B，記直線, 的傾斜角分別為, ．當(dāng) ?取得最大值時，求直線 AB 的方程．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師64典例 03（2024 預(yù)測·全國·高考真題）已知點 A，B 關(guān)于坐標(biāo)原點 O 對稱，│AB│ =4，⊙M過點A，B且與直線 x+2=0 相切．

（1）若 A 在直線 x+y=0 上，求⊙M 的半徑．

（2）是否存在定點 P，使得當(dāng) A 運動時，│MA│－│MP│為定值？并說明理由．1．已知橢圓Γ:

2

2 +

2

2 = 1( > > 0)的左焦點為1 ?1,0 ，且過點 1, 8

3 ．(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過1作一條斜率不為 0 的直線交橢圓Γ于、兩點，為橢圓的左頂點，若直線、與直線: +4=0分別交于、兩點，與軸的交點為，則 ? 是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由．

2．已知, 分別為雙曲線:

2

2 ?

2

2 = 1 , > 0 的左、右頂點，為雙曲線上異于, 的任意一點，直線、斜率乘積為

3

4，焦距為 2 7．

(1)求雙曲線的方程；

(2)設(shè)過 4,0 的直線與雙曲線交于，兩點（, 不與, 重合），記直線，的斜率為1，2，證明：12為定值．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師653．已知 4,4 為拋物線:

2 = 2 > 0 上的一點，為的焦點，為坐標(biāo)原點．(1)求△ 的面積；

(2)若, 為上的兩個動點，直線與的斜率之積恒等于?2，作 ⊥ ，為垂足，證明：存在定點，使得 為定值．考點三 圓錐曲線中的參數(shù)范圍及最值? 命題點 1 橢圓、雙曲線中的參數(shù)范圍及最值

典例 01（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè) B 是橢圓:

25 +

2 = 1 的上頂點，點P 在C上，則的最大值為（ ）

A．

5

2

B． 6 C． 5 D．2

典例 02（2024 預(yù)測·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓

2 12

+

2 = 1．設(shè)A，B 是橢圓上異于(0,1)的兩點，且點 0, 1

2 在線段上，直線, 分別交直線 =?

1

2

+ 3 于 C，D 兩點．(1)求點 P 到橢圓上點的距離的最大值；

(2)求||的最小值．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師66典例 03（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點1 ? 17, 0 、2 17, 0，1 ? 2 = 2，點的軌跡為. （1）求的方程；

（2）設(shè)點在直線 =

1

2上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且 ? =? ，求直線的斜率與直線的斜率之和.命題點 2 拋物線中的參數(shù)范圍及最值典例 01（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線:

2 = 2( > 0)的焦點F 到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求 C 的方程;

（2）已知 O 為坐標(biāo)原點，點 P 在 C 上，點 Q 滿足 = 9 ，求直線斜率的最大值.典例 03（2024 預(yù)測·北京·高考真題）已知拋物線 C：

2=2px 經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線 C 有兩個不同的交點 A，B，且直線 PA 交 y 軸于 M，直線 PB 交 y 軸于N．（Ⅰ）求直線 l 的斜率的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè) O 為原點， = ， = ，求證：

1

+

1

為定值．

1．已知橢圓中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，且焦距為 4 2，橢圓上一點到兩焦點的距離之和為6. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)設(shè)點是橢圓上一動點，點是圓

2 + ( ? 2)

2 = 1 上一動點，求||的最大值，并求出此時點的坐標(biāo).

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師672．已知拋物線:

2 = 2（ > 0）的焦點 F 到雙曲線

23 ?

2 = 1 的漸近線的距離是1

2．(1)求 p 的值；

(2)已知過點 F 的直線與 E 交于 A，B 兩點，線段的中垂線與 E 的準(zhǔn)線 l 交于點P，且線段的中點為M，設(shè) = ，求實數(shù)的取值范圍．專題 16 計數(shù)原理、二項式定理（解密講義）考點 命題點 考題

計數(shù)原理、排

列與組合

①加法原理與乘法原理

②排列

③組合

2024 新全國甲卷（理）T9，2024 新全國乙卷（理）T7，2024 新新課標(biāo) I 卷 T13，2024 新新課標(biāo)II 卷T3，2024預(yù)測新高考 II 卷 T5，2024 預(yù)測全國乙卷（理）T13二項式定理 ①二項式定理 2024 新天津卷 T11，2024 新北京卷T5，2024預(yù)測浙江卷 T12，2024 預(yù)測北京卷T8，2024 預(yù)測新高考I 卷T13，2024 預(yù)測天津卷 T11

考點一 計數(shù)原理、排列與組合? 命題點 1 加法原理與乘法原理

典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）某校文藝部有 4 名學(xué)生，其中高一、高二年級各2 名．從這4名學(xué)生中隨機選 2 名組織校文藝匯演，則這 2 名學(xué)生來自不同年級的概率為（）A．

1

6

B．

1

3

C．

1

2

D．

2

3

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師68典例 03（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）某學(xué)校開設(shè)了 4 門體育類選修課和4 門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這 8 門課中選修 2 門或 3 門課，并且每類選修課至少選修 1 門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）． ? 命題點 2 排列

典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)有 5 名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這 5 人中安排 2 人參加公益活動，則恰有 1 人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）A．120 B．60 C．30 D．20

典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）

A．12 種 B．24 種 C．36 種 D．48 種典例 03（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）甲乙兩位同學(xué)從 6 種課外讀物中各自選讀2 種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有 1 種相同的選法共有（ ）

A．30 種 B．60 種 C．120 種 D．240 種? 命題點 3 組合

典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取 60 名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和 200 名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）．

A．C400

45

? C200

15 種 B．C400

20

? C200

40 種

C．C400

30

? C200

30 種 D．C400

40

? C200

20 種

典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）從甲、乙等 5 名同學(xué)中隨機選 3 名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為 ．典例 03（2024 預(yù)測·全國·高考真題）從 2 位女生，4 位男生中選 3 人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有 種．（用數(shù)字填寫答案）

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師691．某中學(xué)教師節(jié)活動分上午和下午兩場，且上午和下午的活動均為 A，B，C，D，E 這5 個項目.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁四位教師參加教師節(jié)活動，每位教師上午、下午各參加一個項目，每場活動中的每個項目只能有一位老師參加，且每位教師上午和下午參加的項目不同.已知丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目 A 和下午的項目 E，其余項目上午和下午都需要有人參加，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．20 B．40 C．66 D．80

2．從 5 名學(xué)生中選出 4 名分別參加 A，B，C，D 四科競賽，其中甲不能參加A，B 兩科競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（ ）

A．24 B．48 C．72 D．120

3．小李準(zhǔn)備下載手機 APP，可供選擇的社交 APP 有 3 個，音樂 APP 有 2 個，視頻APP 有2 個，生活A(yù)PP有 3 個，從上述 10 個 APP 中選 3 個，且必須含有社交 APP 以及生活 APP 的不同選法種數(shù)為.考點二二項式定理? 命題點 1 二項式定理

典例 01（2024 新·北京·統(tǒng)考高考真題） 2 ?

1

5

的展開式中的系數(shù)為（）．A．?80 B．?40 C．40 D．80

典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題） 1 ?

( + )

8的展開式中

2

6的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．典例 03（2024 新·天津·統(tǒng)考高考真題）在 2

3 ?

1

6

的展開式中，

2項的系數(shù)為．1．

2 ? +

5的展開式中

5

2的系數(shù)為（ ）

A．?30 B．?20 C．20 D．30

2．（多選）在

1

2

2 ?

1

的展開式中，若第 4 項與第 8 項的二項式系數(shù)相等，則（）A．展開式中

5 的系數(shù)為 ?

105

8

B．展開式中所有項的系數(shù)的和為

1

1024

C．展開式中系數(shù)的絕對值最大的項是第 5 項

D．從展開式中任取 2 項，取到的項都是的整數(shù)次冪的概率為

3

11

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師703．已知二項式

1

2+

的展開式中第二、三項的二項式系數(shù)的和等于 45，則展開式的常數(shù)項為．1．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）7 個人站成兩排，前排 3 人，后排 4 人，其中甲乙兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有（ ）種站排方式．

A．672 B．864 C．936 D．1056

2．（2024 新·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測）某校在開展“深化五育并舉、強大核心素養(yǎng)”活動中，選派了 5 名學(xué)生到、、三個勞動實踐點去勞動，每個勞動實踐點至少1 人，每名學(xué)生只能去一個勞動實踐點，不同的選派方法種數(shù)有（ ）

A．25 B．60 C．90 D．150

3．（2024 新·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）學(xué)校運動會上，有，，三位運動員分別參加3000米，1500 米和跳高比賽，為了安全起見，班委為這三位運動員分別成立了后勤服務(wù)小組，甲和另外四個同學(xué)參加后勤服務(wù)工作（每個同學(xué)只能參加一個后勤服務(wù)小組）.若甲在 A 的后勤服務(wù)小組，則這五位同學(xué)的分派方案有（ ）種

A．44 B．50 C．42 D．38

4．（2024 新·遼寧·遼寧實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）2024 新年的五一勞動節(jié)是疫情后的第一個小長假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費旅游．除常見的五個旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有（）A．1800 B．1080 C．720 D．360

5．（2024 新·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）為進一步在全市掀起全民健身熱潮，興義市于9 月10 日在萬峰林舉辦半程馬拉松比賽.已知本次比賽設(shè)有 4 個服務(wù)點，現(xiàn)將 6 名志愿者分配到 4 個服務(wù)點，要求每位志愿者都要到一個服務(wù)點服務(wù)，每個服務(wù)點都要安排志愿者，且最后一個服務(wù)點至少安排2 名志愿者，有（）種分配方式

A．540 B．660 C．980 D．1200

6．（2024 新·河南信陽·信陽高中校考模擬預(yù)測）畢業(yè)典禮上，某班有, , , , , 六人站一排照相，要求，兩人均不在排頭，且, 兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（ ）

A．160 B．288 C．336 D．480

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師717．（多選）（2024·湖南株洲·統(tǒng)考一模）高中學(xué)生要從必選科目（物理和歷史）中選一門，再在化學(xué)、生物、政治、地理這 4 個科目中，依照個人興趣、未來職業(yè)規(guī)劃等要素，任選2 個科目構(gòu)成“1＋2 選考科目組合”參加高考.已知某班 48 名學(xué)生關(guān)于選考科目的結(jié)果統(tǒng)計如下：

選考科目名稱 物理 化學(xué) 生物 歷史 地理 政治

選考該科人數(shù) 36 39 24 12 a b

下面給出關(guān)于該班學(xué)生選考科目的四個結(jié)論中，正確的是（ ）

A． + = 33

B．選考科目組合為“歷史＋地理＋政治”的學(xué)生可能超過 9 人

C．在選考化學(xué)的所有學(xué)生中，最多出現(xiàn) 6 種不同的選考科目組合

D．選考科目組合為“歷史＋生物＋地理”的學(xué)生人數(shù)一定是所有選考科目組合中人數(shù)最少的8．（2024·湖南株洲·統(tǒng)考一模）在 ? 1 + 1

4的展開式中，含

2的項的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）9．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）若多項式( ? 1)

3 + ( + 1)

4 =

4 + 1

3 +2

2 +3+4，則1 + 2 + 3 = ．

10．（2024 新·上海徐匯·統(tǒng)考一模）要排出高一某班一天上午 5 節(jié)課的課表，其中語文、數(shù)學(xué)、英語、藝術(shù)、體育各一節(jié)，若要求語文、數(shù)學(xué)選一門第一節(jié)課上，且藝術(shù)、體育不相鄰上課，則不同的排法種數(shù)是 ．

11．（2024 新·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）

2 ? 1 + 2

4的展開式中

2的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．12．（2024 新·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）二項式( + ) 2 ?

1

3

的展開式中，所有項的系數(shù)和為 1，則( + ) 2 ?

1

5

的展開式中常數(shù)項為 . 13．（2024 新·廣西梧州·蒼梧中學(xué)?？寄M預(yù)測）在二項式 +

1

2

4 的展開式中，二項式的系數(shù)和為256，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰的概率為 ．專題 17 概率及隨機變量的分布列（解密講義）

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師72考點 命題點 考題

概率 ①隨機事件的概率

②古典概型

2024 新北京卷 T18，2024 新全國乙卷（文）T9，2024新全國甲卷（文）T4，2024 新全國乙卷（理）T5，2024新天津卷 T13，2024 新新課標(biāo)II 卷T12

隨機變量的分

布列

①離散型隨機變量分布列、均值

及方差

②超幾何分布、二項分布

2024 新全國甲卷（理）T19，2024 新新課標(biāo)I 卷T21，2024預(yù)測浙江卷 T15，2024 預(yù)測新高考II 卷T13，2024預(yù)測全國甲卷（理）T19，2024 預(yù)測北京卷T18，2024預(yù)測新高考 I 卷 T20

考點一概率? 命題點 1 隨機事件的概率典例 1（多選）（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）在信道內(nèi)傳輸 0，1 信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到 1 的概率為(0 < < 1)，收到 0 的概率為 1 ? ；發(fā)送 1 時，收到0 的概率為(0 <<1)，收到 1 的概率為 1 ? . 考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1 次，三次傳輸 是指每個信號重復(fù)發(fā)送 3 次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）. A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送 1，0，1，則依次收到 l，0，1 的概率為(1 ? )(1 ?)

2

B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送 1，則依次收到 1，0，1 的概率為(1 ? )

2

C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送 1，則譯碼為 1 的概率為(1 ? )

2 + (1 ? )

3

D．當(dāng) 0 < < 0.5 時，若發(fā)送 0，則采用三次傳輸方案譯碼為 0 的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

典例 03（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，

隨機調(diào)查了 100 位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布

直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點值為代表）；

(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率；

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師73(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為 0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40,50)，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到 0.0001）. ? 命題點 2 古典概型

典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共 6 個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（ ）

A．

5

6

B．

2

3

C．

1

2

D．

1

3

典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）從分別寫有 1，2，3，4，5，6 的6 張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的 2 張卡片上的數(shù)字之積是 4 的倍數(shù)的概率為（ ）

A．

1

5 B．

1

3

C．

2

5 D．

2

3

典例 03（2024 新·天津·統(tǒng)考高考真題）甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5: 4: 6．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為 40%, 25%, 50%．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為 ；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為．1．古城贛州最早有五大城門，分別為鎮(zhèn)南門、百盛門、涌金門、建春門和西津門，贛州某學(xué)校歷史興趣小組決定利用兩個周日的時間對五大城門的地理位置及歷史意義進行調(diào)研．若約定：每個城門只調(diào)研一次，且每個周日只調(diào)研五大城門中的兩大城門或三大城門，則恰好在同一個周日調(diào)研百盛門和建春門的概率為（ ）

A．

2

5

B．

1

3

C．

1

5

D．

4

5

2．設(shè)，為任意兩個事件，且 ? ， > 0，則下列選項必成立的是（）A． > | B． ≥ |

C． < | D． ≤ |

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師74考點二 隨機變量的分布列? 命題點 1 離散型隨機變量分布列、均值及方差典例 01（2024 預(yù)測·浙江·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)有 7 張卡片，分別寫上數(shù)字 1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取 3 張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則( = 2) = ，() =．典例 02（2024 預(yù)測·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得 10 分，負(fù)方得 0 分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為 0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用 X 表示乙學(xué)校的總得分，求 X 的分布列與期望． ? 命題點 2 超幾何分布、二項分布典例 01（2024 新·全國·統(tǒng)考高考真題）某地的中學(xué)生中有 60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（ ）

A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4

1．人工智能（AI）是一門極富挑戰(zhàn)性的科學(xué)，自誕生以來，理論和技術(shù)日益成熟.某公司研究了一款答題機器人，參與一場答題挑戰(zhàn).若開始基礎(chǔ)分值為（ ∈ ?）分，每輪答 2 題，都答對得1 分，僅答對1題得0 分，都答錯得?1 分.若該答題機器人答對每道題的概率均為

1

2，每輪答題相互獨立，每輪結(jié)束后機器人累計得分為，當(dāng) = 2時，答題結(jié)束，機器人挑戰(zhàn)成功，當(dāng) = 0 時，答題也結(jié)束，機器人挑戰(zhàn)失敗. (1)當(dāng) = 3 時，求機器人第一輪答題后累計得分的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)當(dāng) = 4 時，求機器人在第 6 輪答題結(jié)束且挑戰(zhàn)成功的概率

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師752．民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過高考招收飛行學(xué)生，報名的學(xué)生參加預(yù)選初檢?體檢鑒定?飛行職業(yè)心理學(xué)檢測?背景調(diào)查?高考選拔等 5 項流程，其中前 4 項流程選拔均通過，則被確認(rèn)為有效招飛申請，然后參加高考，由招飛院校擇優(yōu)錄取.據(jù)統(tǒng)計，每位報名學(xué)生通過前4 項流程的概率依次約為3

4

, 1

3

, 2

3

, 1.假設(shè)學(xué)生能否通過這 5 項流程相互獨立，現(xiàn)有某校高三學(xué)生甲?乙?丙三人報名民航招飛. (1)估計每位報名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請的概率；

(2)求甲?乙?丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請的概率；

(3)根據(jù)甲?乙?丙三人的平時學(xué)習(xí)成績，預(yù)估高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為2

3

, 3

5

, 3

5，設(shè)甲?乙?丙三人能被招飛院校錄取的人數(shù)為 X，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望.

3．2024 新年 5 月 31 日，習(xí)近平主席在學(xué)?？疾鞎r指出：“體育鍛煉是增強少年兒童體質(zhì)的最有效手段”．為提升學(xué)生身體素質(zhì)，某班組織投籃比賽，比賽分為，兩個項目．

（i）選手在每個項目中投籃 5 次，每個項目中投中 3 次及以上為合格；

（ii）第一個項目投完 5 次并且合格后可以進入下一個項目，否則該選手結(jié)束比賽；（iii）選手進入第二個項目后，投籃 5 次，無論投中與否均結(jié)束比賽．若選手甲在項目比賽中每次投中的概率都是 0.5．

(1)求選手甲參加項目合格的概率；

(2)已知選手甲參加項目合格的概率為 0.6．比賽規(guī)定每個項目合格得 5 分，不合格得0 分．設(shè)累計得分為，為使累計得分的期望最大，選手甲應(yīng)選擇先進行哪個項目的比賽（每個項目合格的概率與次序無關(guān)）？并說明理由．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師762．（2024 新·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測）在形狀、大小完全相同的4 個小球上分別寫上4位學(xué)生的名字，放入袋子中，現(xiàn)在 4 位學(xué)生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機取出一個，則恰有1 位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球的概率為（ ）

A．

1

6

B．

1

3

C．

1

2

D．

2

3

3．（2024 新·四川成都·石室中學(xué)校考一模）下列說法正確的是（ ）

A．已知非零向量 ， ， ，若 ? = ? ，則 = B．設(shè) x， ∈ R，則“

2 +

2 ≥ 4”是“ ≥ 2 且 ≥ 2”的充分不必要條件

C．用秦九韶算法求這個多項式 =

5 + 2

4 ? 3

3 + 4

2 ? + 1 的值，當(dāng) = 2 時，3（第三次計算一次多項式）的值為 14

D．從裝有 2 個紅球和 2 個黑球的口袋內(nèi)任取 2 個球，“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”是兩個互斥且不對立的事件

4．（2024 新·全國·模擬預(yù)測）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣 2 次，設(shè)“第 1 次正面朝上”為事件，“第2次反面朝上”為事件，“2 次朝上結(jié)果相同”為事件，有下列三個命題：

①事件與事件相互獨立；②事件與事件相互獨立；③事件與事件相互獨立．以上命題中，正確的個數(shù)是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．（2024 新·四川成都·石室中學(xué)?？家荒＃┦倚@，望樓漢闕，紅墻掩映，步移景異！現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“錦水文風(fēng)”、“魁星閣”、“銀杏大道”4 處景點追憶石室讀書時光.若每人只去一處景點，設(shè)事件為“4 個人去的景點各不相同”，事件為“只有甲去了錦水文風(fēng)”，則 =. 7．（2024 新·天津·?？寄M預(yù)測）甲、乙兩人參加玩游戲活動，每輪游戲活動由甲、乙各玩一盤，已知甲每盤獲勝的概率為

3

4，乙每盤獲勝的概率為

2

3

.在每輪游戲活動中，甲和乙獲勝與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動中共獲勝 3 盤的概率為 . 8．（2024 新·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）某中學(xué)選拔出 20 名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊，其中高一學(xué)生有 8 名、高二學(xué)生有 7 名、高三學(xué)生有 5 名．

(1)若從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊中隨機抽取 3 人參加一項數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的 3 名同學(xué)中恰有2 名同學(xué)來自高一的概率．

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師77(2)現(xiàn)學(xué)校欲對數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊成員進行考核，考核規(guī)則如下：考核共 4 道題，前2 道題答對每道題計1分，答錯計 0 分，后 2 道題答對每道題計 2 分，答錯計 0 分，累積計分不低于 5 分的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)員．已知張同學(xué)前 2 道題每道題答對的概率均為

2

3，后 2 道題每道題答對的概率均為

1

2，是否正確回答每道題之間互不影響．記張同學(xué)在本次考核中累積計分為 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱號的概率．

10．（2024 新·全國·模擬預(yù)測）班會課上，甲、乙兩位同學(xué)參加了“心有靈犀”活動：從5 個成語中隨機抽取3 個，甲同學(xué)負(fù)責(zé)比劃，乙同學(xué)負(fù)責(zé)猜成語．甲會比劃其中 3 個，甲會比劃的成語，乙猜對的概率為12，甲不會比劃的成語，乙無法猜對．

(1)求甲乙配合猜對 2 個成語的概率；

(2)設(shè)甲乙配合猜對成語個數(shù)為 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望．

1．現(xiàn)隨機安排甲、乙等 4 位同學(xué)參加校運會跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項比賽，每項比賽至少一位同學(xué)參加，事件 =“甲參加跳高比賽”，事件 =“乙參加跳高比賽”，事件 =“乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則（ ）

A．事件 A 與 B 相互獨立 B．事件 A 與 C 為互斥事件

C． =

5

12

D． =

1

9

2．（多選）已知Ω為隨機試驗的樣本空間，事件 A，B 滿足 ? Ω, ? Ω，則下列說法正確的是（）A．若 ? ，且 =

1

3

, =

1

2，則 + =

5

6

B．若 ∩ = ?，且 =

1

3

, =

1

2，則 + =

5

6

C．若 = =

1

3

, =

1

2，則 =

1

4

D．若 =

1

2

, =

3

4

, =

3

8，則 =

2

3

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師783．（多選）已知, 是兩個事件，且 0 < < 1，則事件, 相互獨立的充分條件可以是（）A． = 0

B．( ) = ()( )

C．(∣) = (∣ )

D．

2() +

2( ) +

2( ) +

2( ) =

1

4

4．（多選）設(shè)，是一個隨機試驗中的兩個事件，且 =

1

3， =

3

4， + =1

2，則（）A． =

1

6

B． =

3

4

C． = D． + =

7

12

5．某排球教練帶領(lǐng)甲、乙兩名排球主力運動員訓(xùn)練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運動員，然后該運動員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運動員，則這次有

1

3的概率再傳給該運動員，有

2

3的概率傳給另一位運動員.已知教練第一次傳給了甲運動員，且教練第次傳球傳給甲運動員的概率為. (1)求2，3；

(2)求的表達(dá)式；

(3)設(shè)= 2? 1 ，證明： =1 +1 ? sin+1 ? sin <

1

2

.

2024 高考數(shù)學(xué)專題突破及解密講義整理：陳老師797．品酒師需要定期接受品酒鑒別能力測試，測試方法如下：拿出 n 瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，經(jīng)過一段時間，等他等記憶淡忘之后，再讓他品嘗這n 瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試.設(shè)在第一次排序時被排為 1，2，3，…，n 的n 種酒，在第二次排序時的序號為1

, 2

, 3

, …, ，并令 ==1 ? ，稱 X 是兩次排序的偏離度.評委根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離度的高低為其評分. (1)當(dāng) = 3 時，若1

, 2

, 3等可能地為 1，2，3 的各種排列，求 X 的分布列；(2)當(dāng) = 4 時，

①若1

, 2

, 3

, 4等可能地為 1，2，3，4 的各種排列，計算 ≤ 2 的概率；

②假設(shè)某品酒師在連續(xù)三輪測試中，都有 ≤ 2（各輪測試相互獨立），你認(rèn)為該品酒師的鑒別能力如何，請說明理由.

8．甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計獲勝3 局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為

1

2，乙、丙比賽乙勝概率為

1

3，丙、甲比賽丙勝概率為2

3，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局. (1)比賽完 3 局時，求甲、乙、丙各旁觀 1 局的概率；

(2)已知比賽進行 5 局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.