６.證明∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 為平行四邊形?

∴ ＡＢ∥ＣＤ?ＡＢ＝ＣＤ?

∴ ∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ?

在△ＡＢＥ 和△ＣＤＦ 中?

∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ?

ＡＢ＝ＣＤ?

∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ?

ì

?

í

?

?

?

?

∴ △ＡＢＥ≌△ＣＤＦ?

∴ ＡＥ＝ＣＦ.

７.１８

８.證明:∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是平行四邊形?

∴ ＡＤ∥ＢＣ?ＡＤ＝ＢＣ?

又∵ 點(diǎn) Ｅ、Ｆ 分別是 ＡＤ、ＢＣ 的中點(diǎn)?

∴ ＡＥ∥ＣＦ?ＡＥ＝ＣＦ＝

１

２

ＡＤ?

∴ 四邊形 ＡＥＣＦ 為平行四邊形(一組對(duì)邊平

行且相等的四邊形為平行四邊形)?

∴ ＡＦ＝ＣＥ(平行四邊形的對(duì)邊相等).

９.

９ １０

５０

解:如圖?過(guò)點(diǎn) Ｂ 作 ＢＦ⊥ＥＣ 于點(diǎn) Ｆ?

∵ ＤＥ⊥ＡＢ?ＡＤ＝ ５?∴ ｓｉｎ Ａ ＝

ＤＥ

ＡＤ

＝

４

５

?

∴ ＤＥ＝ ４?

∴ ＡＥ＝ ＡＤ

２－ＤＥ

２ ＝ ３?

在?ＡＢＣＤ 中?ＡＤ＝ＢＣ＝ ５?ＡＢ＝ＣＤ＝ １２?

∴ ＢＥ＝ ＡＢ－ＡＥ＝ １２－３ ＝ ９?

∵ ＣＤ∥ＡＢ?

∴ ∠ＤＥＡ ＝∠ＥＤＣ＝ ９０°?∠ＣＥＢ＝∠ＤＣＥ?

∴ ｔａｎ∠ＣＥＢ＝ ｔａｎ∠ＤＣＥ?

∴

ＢＦ

ＥＦ

＝

ＤＥ

ＣＤ

＝

４

１２

＝

１

３

?

∴ ＥＦ＝ ３ＢＦ?

在 Ｒｔ△ＢＥＦ 中?根據(jù)勾股定理?得

ＥＦ

２＋ＢＦ

２ ＝ＢＥ

２

?

∴ (３ＢＦ)

２＋ＢＦ

２ ＝ ９

２

?

解得 ＢＦ＝

９ １０

１０

?

∴ ｓｉｎ∠ＢＣＥ＝

ＢＦ

ＢＣ

＝

９ １０

１０

５

＝

９ １０

５０

.

１０. ２ １１.Ｃ

１２.證明:(１)①∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 為矩形?

∴ ∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＤ＝ ９０°?

∵ ＡＦ 平分∠ＢＡＤ?

∴ ∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ＝ ４５°?

∴ △ＡＢＦ 為等腰直角三角形?

∴ ＡＢ＝ＢＦ.

∵ ＢＥ＝ＦＣ?

∴ ＡＢ＋ＢＥ＝ＢＦ＋ＣＦ?即 ＡＥ＝ＢＣ＝ ＡＤ.

∵ ＡＧ＝ ＡＧ?

∴ △ＡＤＧ≌△ＡＥＧ?

∴ ＧＥ＝ＧＤ.

②如圖?連接 ＢＧ?ＣＧ?

∵ Ｇ 為 ＡＦ 的中點(diǎn)?四邊形 ＡＢＣＤ 為矩形?

∴ ∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＤ＝ ９０°?ＡＤ＝ＢＣ?

∴ ＢＧ＝ ＡＧ＝ＦＧ.

∵ ＡＦ 平分 ∠ＢＡＤ?△ＡＢＦ 為等腰直角三

角形?

∴ ∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ＝ ４５° ＝∠ＡＢＧ＝∠ＣＢＧ?

∴ △ＡＤＧ≌△ＢＣＧ?

∴ ∠ＡＤＧ＝∠ＢＣＧ?ＧＤ＝ＧＣ?

∵ △ＡＤＧ≌△ＡＥＧ?

∴ ∠Ｅ＝∠ＡＤＧ?

∴ ∠Ｅ＝∠ＢＣＧ.

∵ ∠ＢＯＥ＝∠ＧＯＣ?

?

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２６

∴ △ＢＯＥ≌△ＧＯＣ?

∴

ＢＯ

ＢＥ

＝

ＧＯ

ＧＣ

＝

ＧＯ

ＧＤ

＝

ＢＯ

ＣＦ

?

∴ ＢＯ?ＧＤ＝ＧＯ?ＦＣ.

(２)如圖?過(guò)點(diǎn) Ｄ 作 ＤＭ⊥ＢＣ 交 ＢＣ 于點(diǎn)

Ｍ?連接 ＧＭ?作 ＧＮ⊥ＤＭ 交 ＤＭ 于點(diǎn) Ｎ?

∴ ∠ＤＭＢ ＝ ９０° ＝ ∠ＧＮＭ ＝ ∠ＧＮＤ ＝

∠ＤＭＣ?

由(１)同理可證:△ＡＤＧ≌△ＡＥＧ?

∴ ∠Ｅ＝∠ＡＤＧ?

∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 為平行四邊形?

∴ ＡＤ∥ＢＣ?

∴ ∠ＡＤＭ＝∠ＤＭＣ＝ ９０°?

∴ ＢＣ∥ＧＮ∥ＡＤ?

∵ Ｇ 為 ＡＦ 的中點(diǎn)?由平行線分線段成比例

可得 ＤＮ＝ＭＮ?

∴ ＤＧ＝ＭＧ?

∴ ∠ＧＤＭ＝∠ＧＭＤ?

∴ ∠ＡＤＧ＝∠ＢＭＧ＝∠Ｅ?

∵ ∠ＢＯＥ＝ＧＯＭ?

∴ △ＢＯＥ∽△ＧＯＭ?

∴

ＢＯ

ＢＥ

＝

ＧＯ

ＧＭ

＝

ＧＯ

ＧＤ

＝

ＢＯ

ＣＦ

?

∴ ＢＯ?ＧＤ＝ＧＯ?ＦＣ.

第 ２２ 講 矩形與菱形

課前熱身

１.Ｂ ２.Ｃ ３.Ｄ ４.Ｄ

本課練習(xí)

１.解:四邊形 ＡＢＣＤ 是矩形.理由如下:

∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是平行四邊形?

∴ ＯＣ＝

１

２

ＡＣ?ＯＢ＝

１

２

ＢＤ.

又∵ ∠１ ＝∠２?

∴ ＯＢ＝ＯＣ?

∴ ＢＤ＝ ＡＣ?

∴ ?ＡＢＣＤ 是矩形.

２.解:(１)∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是菱形?

∴ ＤＣ ＝ ＢＣ? ∠ＢＣＤ ＝ ２ ∠ＡＣＤ? ∠ＡＢＣ ＝

∠ＡＤＣ?

∴ ∠ＢＣＤ＝ ６０°?

∴ △ＢＣＤ 為等邊三角形?

∴ ∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ＝ ６０°?

∴ ∠ＢＤＣ＝ ６０°?

∴ ∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝ １２０°?

(２)∵ △ＢＣＤ 為等邊三角形?ＢＤ＝ ６?

∴ ＢＣ＝ＤＣ＝ ＡＢ＝ ６?

∴ ＤＯ＝

１

２

ＤＣ＝ ３?

∴ ＣＯ＝ ３ ３ ?

∴ ＡＣ＝ ２ＣＯ＝ ６ ３ .

３. ( １) 證明: ∵ ∠ＢＰＱ ＝ ∠ＢＰＣ ＋ ∠ＣＰＱ ＝

∠Ａ＋∠ＡＱＰ?又∠ＢＰＣ＝∠ＡＱＰ?

∴ ∠ＣＰＱ＝∠Ａ?

∵ ＰＱ⊥ＣＰ?

∴ ∠Ａ ＝∠ＣＰＱ＝ ９０°?

∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 為平行四邊形?

∴ 四邊形 ＡＢＣＤ 是矩形?

(２)解:∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是矩形?

∴ ∠Ｄ＝∠ＣＰＱ＝ ９０°?

在 Ｒｔ△ＣＤＱ 和 Ｒｔ△ＣＰＱ 中?

ＣＱ＝ＣＱ?

ＣＤ＝ＣＰ? {

∴ Ｒｔ△ＣＤＱ≌Ｒｔ△ＣＰＱ(ＨＬ)?

∴ ＤＱ＝ＰＱ?

設(shè) ＡＱ＝ ｘ?則 ＤＱ＝ＰＱ＝ ６－ｘ?

在 Ｒｔ△ＡＰＱ 中?ＡＱ

２＋ＡＰ

２ ＝ＰＱ

２

?

∴ ｘ

２＋２

２ ＝ (６－ｘ)

２

?

解得 ｘ ＝

８

３

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?

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?

２７

∴ ＡＱ 的長(zhǎng)是

８

３

.

４.(１)證明:∵ ∠Ｃ＝ ９０°?

∴ ＥＣ⊥ＤＣ?

∵ ＥＦ⊥ＢＤ?ＥＦ＝ＥＣ?

∴ ＤＥ 是∠ＢＤＣ 的平分線?

∴ ∠ＥＤＢ＝∠ＥＤＣ?

∵ ∠ＡＤＢ＝

１

２

∠ＢＤＣ?

∴ ∠ＡＤＢ＝∠ＥＤＢ?

∵ ∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ?

∴ ∠ＡＢＤ＝∠ＥＤＢ?

∴ ＡＢ∥ＤＥ?

∵ ＡＤ∥ＢＣ?

∴ ＡＤ∥ＢＥ?

∴ 四邊形 ＡＢＥＤ 是平行四邊形?

∵ ∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ?

∴ ＡＢ＝ ＡＤ?

∴ 四邊形 ＡＢＥＤ 是菱形?

(２)解:由(１)知?四邊形 ＡＢＥＤ 是菱形?

∴ ＤＥ＝ＢＥ＝ ＡＤ＝ ４?

∵ ＡＤ∥ＢＣ?

∴ ∠ＡＤＣ＋∠Ｃ＝ １８０°?

∵ ∠Ｃ＝ ９０°?

∴ ∠ＡＤＣ＝ ９０°?

∵ ∠ＥＤＢ＝∠ＥＤＣ＝∠ＡＤＢ?

∴ ∠ＥＤＣ＝ ３０°?

∴ ＣＤ＝ＤＥ?ｃｏｓ ３０° ＝ ４×

３

２

＝ ２ ３ ?

∴ Ｓ△ＢＥＤ

＝

１

２

ＢＥ?ＣＤ＝

１

２

×４×２ ３ ＝ ４ ３ .

５.Ｂ

６.解: ( １) 證明: ∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是平行四

邊形?

∴ ＡＢ∥ＣＤ?即 ＡＢ∥ＣＦ?

∴ ∠ＢＡＥ＝∠ＦＤＥ?

∵ Ｅ 為線段 ＡＤ 的中點(diǎn)?

∴ ＡＥ＝ＤＥ?

又∵ ∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＦ?

∴ △ＡＢＥ≌△ＤＦＥ(ＡＳＡ)?

∴ ＡＢ＝ＤＦ?

又∵ ＡＢ∥ＤＦ?

∴ 四邊形 ＡＢＤＦ 是平行四邊形?

∵ ∠ＢＤＦ＝ ９０°?

∴ 四邊形 ＡＢＤＦ 是矩形?

(２)解:由(１)知?四邊形 ＡＢＤＦ 是矩形?

∴ ＡＢ＝ＤＦ＝ ３?∠ＡＦＤ＝ ９０°?

在 Ｒｔ △ＡＤＦ 中? ＡＦ ＝ ＡＤ

２－ＤＦ

２ ＝ ５

２－３

２

＝ ４?

∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是平行四邊形?

∴ ＡＢ＝ＣＤ＝ ３?

∴ ＣＦ＝ＣＤ＋ＤＦ＝ ３＋３ ＝ ６?

∴ Ｓ ＝

１

２

(ＡＢ＋ＣＦ) ?ＡＦ＝

１

２

×(３＋６) ×４ ＝ １８.

７.∠Ａ ＝ ９０°(答案不唯一)

８.(１)證明:∵ Ｅ 是 ＡＤ 的中點(diǎn)?

∴ ＡＥ＝ＤＥ

∵ ＡＦ∥ＢＣ?∴ ∠ＡＦＥ＝∠ＤＣＥ?

在△ＡＥＦ 和△ＤＥＣ 中?

∠ＡＦＥ＝∠ＤＣＥ?

∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＣ?

ＡＥ＝ＤＥ?

ì

?

í

?

?

?

?

∴ △ＡＥＦ≌△ＤＥＣ(ＡＡＳ)?

∴ ＡＦ＝ＣＤ?

∵ Ｄ 是 ＢＣ 的中點(diǎn)?

∴ ＣＤ＝ＢＤ?

∴ ＡＦ＝ＢＤ?

∴ 四邊形 ＡＤＢＦ 是平行四邊形?

∵ ∠ＢＡＣ＝ ９０°?Ｄ 是 ＢＣ 的中點(diǎn)?

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２８

∴ ＡＤ＝ＢＤ＝

１

２

ＢＣ?

∴ 四邊形 ＡＤＢＦ 是菱形?

(２)解:如圖?連接 ＤＦ 交 ＡＢ 于點(diǎn) Ｏ?

由(１)知:四邊形 ＡＤＢＦ 是菱形?

∴ ＡＢ⊥ＤＦ?ＯＡ ＝

１

２

ＡＢ＝

１

２

×８ ＝ ４?

Ｓ菱形ＡＤＢＦ

＝

１

２

ＡＢ?ＤＦ＝ ４０?

∴

１

２

ＤＦ×８ ＝ ４０?

∴ ＤＦ＝ １０?

∴ ＯＤ＝ ５?

∵ 四邊形 ＡＤＢＦ 是菱形?

∴ Ｏ 是 ＡＢ 的中點(diǎn)?

∵ Ｄ 是 ＢＣ 的中點(diǎn)?

∴ ＯＤ 是△ＢＡＣ 的中位線?

∴ ＡＣ＝ ２ＯＤ＝ ２×５ ＝ １０.

９.Ａ

解:如圖?過(guò)點(diǎn) Ｆ 作 ＦＨ⊥ＡＤ 于點(diǎn) Ｈ?設(shè) ＡＧ

與 ＥＦ 交于點(diǎn) Ｏ?

由折疊的性質(zhì)得:∠ＡＯＥ＝ ９０°?

∵ ∠ＥＡＯ＋∠ＡＥＯ＝ ９０°?

∠ＥＡＯ＋∠ＡＧＤ＝ ９０°?

∴ ∠ＡＥＯ＝∠ＡＧＤ?即∠ＦＥＨ＝∠ＡＧＤ?

又∵ ∠ＡＤＧ＝∠ＦＨＥ＝ ９０°?

∴ △ＡＤＧ∽△ＦＨＥ?

∴

ＥＦ

ＡＧ

＝

ＨＦ

ＡＤ

＝

ＡＢ

ＡＤ

＝

１

２

＝

２

２

.

１０.Ａ

解:連接 ＡＣ?延長(zhǎng) ＡＰ?交 ＢＣ 于點(diǎn) Ｅ?

∵ 在菱形 ＡＢＣＤ 中?∠Ｄ＝ ６０°?ＡＢ＝ ２?

∴ ∠ＡＢＣ＝∠Ｄ＝ ６０°?ＡＢ＝ＢＣ＝ ２?

∴ △ＡＢＣ 是等邊三角形?

∴ ＡＢ＝ ＡＣ?

∵ △ＰＢＣ 為等腰直角三角形?

∴ ＰＢ＝ＰＣ?

在△ＡＰＢ 和△ＡＰＣ 中?

ＡＢ＝ ＡＣ?

ＡＰ＝ ＡＰ?

ＰＢ＝ＰＣ?

ì

?

í

?

?

?

?

∴ △ＡＰＢ≌△ＡＰＣ(ＳＳＳ)?

∴ ∠ＰＡＢ＝∠ＰＡＣ?

∴ ＡＥ⊥ＢＣ?ＢＥ＝ＣＥ＝ １?

∵ △ＢＰＣ 為等腰直角三角形?

∴ ＰＥ＝

１

２

ＢＣ＝ １?

在 Ｒｔ△ＡＢＥ 中?ＡＥ＝

３

２

ＡＢ＝ ３ ?

∴ ＡＰ＝ ３ －１?

∴ Ｓ陰影

＝ Ｓ扇形ＡＢＣ

－ Ｓ△ＰＡＢ

－ Ｓ△ＰＢＣ

＝

６０π×２

２

３６０

－

１

２

( ３ －１) ×１－

１

２

×２×１ ＝

２

３

π－

３ ＋１

２

?

故選:Ａ.

１１.２

４ ０３８

３

解:∵ 在菱形 ＡＢＣＤ 中?∠ＡＢＣ ＝ １２０°?ＡＢ

＝ １?

∴ ∠ＡＤＣ＝ １２０°?ＡＤ＝ＣＤ＝ １?

∴ ∠ＡＤＡ１

＝ ６０°?

∵ ＤＡ１

＝ＣＤ?

∴ ＡＤ＝ＤＡ１ ?

∴ △ＡＤＡ１ 為等邊三角形且邊長(zhǎng)為 １?

同理:△Ａ１Ｄ１Ａ２ 為等邊三角形且邊長(zhǎng)為 ２?

△Ａ２Ｄ２Ａ３ 為等邊三角形且邊長(zhǎng)為 ４?

△Ａ３Ｄ３Ａ４ 為等邊三角形且邊長(zhǎng)為 ８?

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２９

??

△Ａ２ ０２０ Ｄ２ ０２０ Ａ２ ０２１ 為 等 邊 三 角 形 且 邊 長(zhǎng)

為 ２

２ ０２０

?

∴ Ｓ１

＝

３

４

×１

２

?

Ｓ２

＝

３

４

×２

２

?

Ｓ３

＝

３

４

×４

２

?

??

Ｓｎ

＝

３

４

×２

２ｎ－２

?

∴ Ｓ２ ０２１

＝

３

４

×２

４ ０４０ ＝ ２

４ ０３８

３ ?

故答案為 ２

４ ０３８

３ .

１２.(１)證明:∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是平行四邊形?

∴ ＡＤ∥ＢＣ?ＡＤ＝ＢＣ?

∵ ＤＥ＝ ＡＤ?∴ ＤＥ＝ＢＣ?

又∵ 點(diǎn) Ｅ 在 ＡＤ 的延長(zhǎng)線上?∴ ＤＥ∥ＢＣ?

∴ 四邊形 ＤＢＣＥ 為平行四邊形?

又∵ ＢＥ⊥ＤＣ?∴ 四邊形 ＤＢＣＥ 為菱形?

(２) 解:如圖?由菱形對(duì)稱性得?點(diǎn) Ｎ 關(guān)于

ＢＥ 的對(duì)稱點(diǎn) Ｎ′在 ＤＥ 上?

∴ ＰＭ＋ＰＮ＝ＰＭ＋ＰＮ′?

當(dāng) Ｐ、Ｍ、Ｎ′三點(diǎn)共線時(shí)?

ＰＭ＋ＰＮ＝ＰＭ＋ＰＮ′＝ＭＮ′?

過(guò)點(diǎn) Ｄ 作 ＤＨ⊥ＢＣ?垂足為 Ｈ?

∵ ＤＥ∥ＢＣ?

∴ ＭＮ′的最小值即為平行線間的距離 ＤＨ

的長(zhǎng)?

∵ △ＤＢＣ 是邊長(zhǎng)為 ２ 的等邊三角形?

∴ 在 Ｒｔ △ＤＢＨ 中? ∠ＤＢＣ ＝ ６０°? ＤＢ ＝ ２?

ｓｉｎ∠ＤＢＣ＝

ＤＨ

ＤＢ

?

∴ ＤＨ＝ＤＢ?ｓｉｎ∠ＤＢＣ＝ ２×

３

２

＝ ３ ?

∴ ＰＭ＋ＰＮ 的最小值為 ３ .

第 ２３ 講 正方形

課前熱身

１.Ｃ ２.Ｄ ３.Ｂ ４.４５°

本課練習(xí)

１.解:四邊形 ＥＦＭＮ 是正方形.

證明:∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是正方形?ＡＥ ＝ ＢＦ ＝

ＣＭ＝ＤＮ?

∴ ＡＮ＝ＤＭ＝ＣＦ＝ＢＥ.

∵ ∠Ａ ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝ ９０°?

∴ △ＡＮＥ≌△ＤＭＮ≌△ＣＦＭ≌△ＢＥＦ?

∴ ＥＦ＝ＥＮ＝ＮＭ＝ＭＦ?∠ＥＮＡ ＝∠ＤＭＮ?

∴ 四邊形 ＥＦＭＮ 是菱形.

∵ ∠ＥＮＡ ＝∠ＤＭＮ?∠ＤＭＮ＋∠ＤＮＭ＝ ９０°?

∴ ∠ＥＮＡ＋∠ＤＮＭ＝ ９０°.

∴ ∠ＥＮＭ＝ ９０°.

∴ 四邊形 ＥＦＭＮ 是正方形.

２.證明:∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是正方形?

∴ ＡＢ＝ＤＡ?ＡＢ⊥ＡＤ.

∵ ＢＥ⊥ＡＧ?ＤＦ⊥ＡＧ?

∴ ∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝ ９０°?

又∵ ∠ＢＡＥ＋∠ＤＡＦ ＝ ９０°?∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＥ ＝

９０°?

∴ ∠ＡＢＥ＝∠ＤＡＦ?

在△ＡＢＥ 和△ＤＡＦ 中?

∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ?

∠ＡＢＥ＝∠ＤＡＦ?

ＡＢ＝ＤＡ?

ì

?

í

?

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?

∴ △ＡＢＥ≌△ＤＡＦ(ＡＡＳ)?

∴ ＡＦ＝ＢＥ?

∴ ＡＥ－ＢＥ＝ＥＦ.

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?

３０

３.(１)證明:∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是菱形?

∴ ∠Ｂ＝∠Ｄ?ＡＢ＝ＢＣ＝ＤＣ＝ ＡＤ?

∵ 點(diǎn) Ｅ?Ｏ?Ｆ 分別為 ＡＢ?ＡＣ?ＡＤ 的中點(diǎn)?

∴ ＡＥ＝ＢＥ ＝ ＤＦ ＝ ＡＦ?ＯＦ ＝

１

２

ＤＣ?ＯＥ ＝

１

２

ＢＣ?

ＯＥ∥ＢＣ?

在△ＢＣＥ 和△ＤＣＦ 中?

ＢＥ＝ＤＦ?

∠Ｂ＝∠Ｄ?

ＢＣ＝ＤＣ?

ì

?

í

?

?

?

?

∴ △ＢＣＥ≌△ＤＣＦ(ＳＡＳ)?

(２)解:當(dāng) ＡＢ⊥ＢＣ 時(shí)?四邊形 ＡＥＯＦ 是正方

形?理由如下:

由(１)得:ＡＥ＝ＯＥ＝ＯＦ＝ ＡＦ?

∴ 四邊形 ＡＥＯＦ 是菱形?

∵ ＡＢ⊥ＢＣ?ＯＥ∥ＢＣ?

∴ ＯＥ⊥ＡＢ?

∴ ∠ＡＥＯ＝ ９０°?

∴ 四邊形 ＡＥＯＦ 是正方形.

故答案為 ＡＢ⊥ＢＣ.

４.解:如圖?延長(zhǎng) ＢＦ 交 ＣＤ 于點(diǎn) Ｈ?連接 ＥＨ.

∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是正方形?

∴ ＡＢ∥ＣＤ?∠Ｄ ＝ ∠ＤＡＢ ＝ ９０°? ＡＤ ＝ ＣＤ ＝

ＡＢ＝ １?

∴ ＡＣ＝ ＡＤ

２＋ＣＤ

２ ＝ １

２＋１

２ ＝ ２ ?

由翻折的性質(zhì)可知?ＡＥ ＝ＥＦ?∠ＥＡＢ ＝∠ＥＦＢ ＝

∠ＥＦＨ＝９０°?∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＢ?

∵ 點(diǎn) Ｅ 是 ＡＤ 的中點(diǎn)?

∴ ＡＥ＝ＤＥ＝ＥＦ?

在 Ｒｔ△ＥＨＤ 和 Ｒｔ△ＥＨＦ 中?

ＥＨ＝ＥＨ?

ＥＤ＝ＥＦ? {

∴ Ｒｔ△ＥＨＤ≌Ｒｔ△ＥＨＦ(ＨＬ)?

∴ ∠ＤＥＨ＝∠ＦＥＨ?

∴ ∠ＨＥＢ＝ ９０°?

∴ ∠ＤＥＨ＋∠ＡＥＢ＝ ９０°?

∵ ∠ＡＥＢ＋∠ＡＢＥ＝ ９０°?

∴ ∠ＤＥＨ＝∠ＡＢＥ?

∴ △ＥＤＨ∽△ＢＡＥ?

∴

ＥＤ

ＡＢ

＝

ＤＨ

ＥＡ

＝

１

２

?

∴ ＤＨ＝

１

４

?ＣＨ＝

３

４

?

∵ ＣＨ∥ＡＢ?

∴

ＣＧ

ＧＡ

＝

ＣＨ

ＡＢ

＝

３

４

?

∴ ＣＧ＝

３

７

ＡＣ＝

３ ２

７

.

５.Ｂ

６.解:∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是正方形?

∴ ∠ＦＤＣ＝∠ＤＣＦ＝ ４５°?

∵ ∠Ｅ＝ ９０°?ＥＤ＝ＥＣ?

∴ ∠ＥＤＣ＝∠ＥＣＤ＝ ４５°?

∴ ∠ＦＣＥ＝∠ＦＤＥ＝∠Ｅ＝ ９０°?

∴ 四邊形 ＤＦＣＥ 是矩形?

∵ ＤＥ＝ＣＥ?

∴ 四邊形 ＤＦＣＥ 是正方形.

７.∠ＢＡＤ＝ ９０°

８.(１)證明:∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是正方形?

∴ ＡＢ＝ ＡＤ?∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＦ＝ ９０°?

在△ＡＢＥ 和△ＡＤＦ 中?

ＡＢ＝ ＡＤ?

∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＦ?

ＢＥ＝ＤＦ?

ì

?

í

?

?

?

?

∴ △ＡＢＥ≌△ＡＤＦ(ＳＡＳ)?

(２)解:∵ △ＡＢＥ≌△ＡＤＦ?

∴ ＡＥ＝ ＡＦ?∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ?

∵ ∠ＢＡＥ＋∠ＥＡＤ＝ ９０°?

∴ ∠ＤＡＦ＋∠ＥＡＤ＝ ９０°?即∠ＥＡＦ＝ ９０°?

∴ ＥＦ＝ ２ ＡＥ＝ ５ ２ .

９.(１)證明:∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是正方形?

?

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３１

∴ ∠Ｂ＝ ９０°?ＡＢ＝ＢＣ?

∵ ＦＨ⊥ＢＨ?

∴ ∠Ｈ＝ ９０° ＝∠Ｂ?∠Ｆ＝ ９０°－∠ＦＥＨ?

∵ ∠ＡＥＦ＝ ９０°?

∴ ∠ＡＥＢ＝ ９０°－∠ＦＥＨ?

∴ ∠ＡＥＢ＝∠Ｆ?

在△ＡＢＥ 和△ＥＨＦ 中?

∠Ｂ＝∠Ｈ?

∠ＡＥＢ＝∠Ｆ?

ＡＥ＝ＥＦ?

ì

?

í

?

?

?

?

∴ △ＡＢＥ≌△ＥＨＦ(ＡＡＳ)?

∴ ＥＨ＝ ＡＢ＝ＢＣ?ＢＥ＝ＦＨ?

∴ ＥＨ－ＥＣ＝ＢＣ－ＦＣ?即 ＣＨ＝ＢＥ?

(２) 如圖?連接 ＤＦ?過(guò)點(diǎn) Ｆ 作 ＦＰ⊥ＣＤ 于

點(diǎn) Ｐ?

∵ ∠Ｈ＝∠ＤＣＨ＝∠ＦＰＣ＝ ９０°?

∴ 四邊形 ＰＣＨＦ 是矩形?

由(１)知:ＢＥ＝ＦＨ＝ＣＨ?

∴ 四邊形 ＰＣＨＦ 是正方形?

∴ ＰＦ＝ＣＰ＝ＣＨ＝ＢＥ＝ ｘ?

∵ ＤＣ＝ ＡＢ＝ ３?

∴ ＤＰ＝ＤＣ－ＣＰ＝ ３－ｘ?

Ｒｔ△ＤＰＦ 中?ＤＦ＝ ＤＰ

２＋ＰＦ

２

?

∴ ＤＦ＝ (３－ｘ)

２＋ｘ

２ ＝ ２ｘ

２－６ｘ＋９ .

１０.證明:∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是正方形?點(diǎn) Ｇ?Ｅ 分

別為邊 ＡＢ?ＢＣ 中點(diǎn)?

∴ ＡＧ＝ＥＣ?△ＢＥＧ 為等腰直角三角形?

∴ ∠ＡＧＥ＝ １８０°－４５° ＝ １３５°?

又∵ ＣＦ 為正方形外角平分線?

∴ ∠ＥＣＦ＝ ９０°＋４５° ＝ １３５°?

∵ ∠ＡＥＦ＝ ９０°?

∴ ∠ＧＡＥ＝ ９０°－∠ＡＥＢ＝∠ＣＥＦ?

在△ＡＧＥ 和△ＥＣＦ 中?

∠ＡＧＥ＝∠ＥＣＦ?

ＡＧ＝ＣＥ?

∠ＧＡＥ＝∠ＣＥＦ?

ì

?

í

?

?

?

?

∴ △ＡＧＥ≌△ＥＣＦ(ＡＳＡ)?

∴ ＥＧ＝ＣＦ.

１１.Ａ

解:設(shè) ＡＢ＝ ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ ３ａ?

∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是正方形?

∴ ∠ＤＡＥ ＝ ∠ＤＣＦ ＝ ４５°?∠ＤＡＭ ＝ ∠ＤＣＮ ＝

９０°?

在△ＤＡＥ 和△ＤＣＦ 中?

ＤＡ ＝ＤＣ?

∠ＤＡＥ＝∠ＤＣＦ?

ＡＥ＝ＣＦ?

ì

?

í

?

?

?

?

∴ △ＤＡＥ≌△ＤＣＦ(ＳＡＳ)?

∴ ∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＦ?

在△ＤＡＭ 和△ＤＣＮ 中?

∠ＡＤＭ＝∠ＣＤＮ?

ＤＡ ＝ＤＣ?

∠ＤＡＭ＝∠ＤＣＮ?

ì

?

í

?

?

?

?

∴ △ＤＡＭ≌△ＤＣＮ(ＡＳＡ)?

∴ ＡＭ＝ＣＮ?

∵ ＡＢ＝ＢＣ?

∴ ＢＭ＝ＢＮ?

∵ ＣＮ∥ＡＤ?

∴

ＣＮ

ＡＤ

＝

ＣＦ

ＡＦ

＝

１

３

?

∴ ＣＮ＝ ＡＭ＝ ａ?ＢＭ＝ＢＮ＝ ２ａ?

∴

Ｓ△ＡＤＭ

Ｓ△ＢＭＮ

＝

１

２

?ＡＤ?ＡＭ

１

２

?ＢＭ?ＢＮ

＝

３ａ×ａ

２ａ×２ａ

＝

３

４

?

故選:Ａ.

１２.(１)證明:∵ 將△ＡＥＢ 沿 ＢＥ 翻折到△ＢＥＦ

處?四邊形 ＡＢＣＤ 是正方形?

∴ ＡＢ＝ＢＦ?∠ＢＦＥ＝∠Ａ ＝ ９０°?

∴ ∠ＢＦＧ＝ ９０° ＝∠Ｃ?

∵ ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＦ?ＢＧ＝ＢＧ?

?

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?

３２

∴ Ｒｔ△ＢＦＧ≌Ｒｔ△ＢＣＧ(ＨＬ)?

(２) 解: 如圖? 延長(zhǎng) ＢＨ? ＡＤ 交延長(zhǎng)線于

點(diǎn) Ｑ?

設(shè) ＦＨ＝ＨＣ＝ ｘ?

在 Ｒｔ△ＢＣＨ 中?ＢＣ

２＋ＣＨ

２ ＝ＢＨ

２

?

∴ ８

２＋ｘ

２ ＝ (６＋ｘ)

２

?

解得 ｘ ＝

７

３

?

∴ ＤＨ＝ＤＣ－ＨＣ＝

１１

３

?

∵ ∠ＢＦＧ＝∠ＢＣＨ＝ ９０°?∠ＨＢＣ＝∠ＦＢＧ?

∴ △ＢＦＧ∽△ＢＣＨ?

∴

ＢＦ

ＢＣ

＝

ＢＧ

ＢＨ

＝

ＦＧ

ＨＣ

?即

６

８

＝

ＢＧ

６＋

７

３

＝

ＦＧ

７

３

?

∴ ＢＧ＝

２５

４

?ＦＧ＝

７

４

?

∵ ＥＱ∥ＧＢ?ＤＱ∥ＣＢ?

∴ △ＥＦＱ∽△ＧＦＢ?△ＤＨＱ∽△ＣＨＢ?

∴

ＢＣ

ＤＱ

＝

ＣＨ

ＤＨ

?即

８

ＤＱ

＝

７

３

６－

７

３

?

∴ ＤＱ＝

８８

７

?

設(shè) ＡＥ＝ＥＦ＝ｍ?則 ＤＥ＝ ８－ｍ?

∴ ＥＱ＝ＤＥ＋ＤＱ＝ ８－ｍ＋

８８

７

＝

１４４

７

－ｍ?

∵ △ＥＦＱ∽△ＧＦＢ?

∴

ＥＱ

ＢＧ

＝

ＥＦ

ＦＧ

?即

１４４

７

－ｍ

２５

４

＝

ｍ

７

４

?

解得 ｍ＝

９

２

?

∴ ＡＥ 的長(zhǎng)為

９

２

?

(３)解:(Ⅰ)如圖?當(dāng) ＤＥ ＝

１

３

ＤＣ ＝ ２ 時(shí)?延

長(zhǎng) ＦＥ 交 ＡＤ 于點(diǎn) Ｑ?過(guò)點(diǎn) Ｑ 作 ＱＨ⊥ＣＤ 于

點(diǎn) Ｈ?

設(shè) ＤＱ＝ ｘ?ＱＥ＝ ｙ?則 ＡＱ＝ ６－ｘ?

∵ ＣＰ∥ＤＱ?

∴ △ＣＰＥ∽△ＱＤＥ?

∴

ＣＰ

ＤＱ

＝

ＣＥ

ＤＥ

＝ ２?

∴ ＣＰ＝ ２ｘ?

∵ △ＡＤＥ 沿 ＡＥ 翻折得到△ＡＦＥ?

∴ ＥＦ＝ＤＥ＝ ２?ＡＦ＝ ＡＤ＝ ６?∠ＱＡＥ＝∠ＦＡＥ?

∴ ＡＥ 是△ＡＱＦ 的角平分線?

∴

ＡＱ

ＡＦ

＝

ＱＥ

ＥＦ

?即

６－ｘ

６

＝

ｙ

２

①?

∵ ∠Ｄ＝ ６０°?

∴ ＤＨ＝

１

２

ＤＱ ＝

１

２

ｘ?ＨＥ ＝ ＤＥ－ＤＨ ＝ ２－

１

２

ｘ?

ＨＱ＝ ３ＤＨ＝

３

２

ｘ?

在 Ｒｔ△ＨＱＥ 中?ＨＥ

２＋ＨＱ

２ ＝ＥＱ

２

?

∴ (１－

１

２

ｘ)

２

＋(

３

２

ｘ)

２

＝ ｙ

２②?

聯(lián)立①②可解得 ｘ ＝

３

４

?

∴ ＣＰ＝ ２ｘ ＝

３

２

?

(Ⅱ)如圖?當(dāng) ＣＥ＝

１

３

ＤＣ ＝ ２ 時(shí)?延長(zhǎng) ＦＥ 交

ＡＤ 延長(zhǎng)線于點(diǎn) Ｑ′?過(guò)點(diǎn) Ｄ 作 ＤＮ⊥ＡＢ 交

ＢＡ 延長(zhǎng)線于點(diǎn) Ｎ?

?

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３３

同理∠Ｑ′ＡＥ＝∠ＥＡＦ?

∴

ＡＱ′

ＡＦ

＝

Ｑ′Ｅ

ＥＦ

?即

６＋ｘ

６

＝

ｙ

４

?

由 ＨＱ′

２ ＋ＨＤ

２ ＝ Ｑ′Ｄ

２ 得:(

３

２

ｘ)

２

＋ (

１

２

ｘ＋４)

２

＝ｙ

２

?

解得 ｘ ＝

１２

５

?

∴ ＣＰ＝

１

２

ｘ ＝

６

５

.

綜上所述?ＣＰ 的長(zhǎng)為

３

２

或

６

５

.

第 ２４ 講 與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)

課前熱身

１.Ｂ ２.Ｂ ３.Ｃ ４.Ｄ

本課練習(xí)

１.７５° ２.３０° ３.Ｄ

４.(１) 證明:在☉Ｏ 中?∵ ＣＤ 是∠ＡＣＢ 的平

分線?

∴ ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ?∴ ＡＤ＝ＢＤ?

(２)解:∵ ＡＢ 是☉Ｏ 的直徑?

∴ ∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝ ９０°?

在 Ｒｔ△ＡＣＢ 中? 由 勾 股 定 理 得 ＢＣ ＝

ＡＢ

２－ＡＣ

２ ＝ １０

２－６

２ ＝ ８?

在 Ｒｔ△ＡＤＢ 中?由勾股定理得 ＡＤ ＝ ＢＤ ＝

２

２

ＡＢ＝ ５ ２ ?

(３) 如圖?過(guò)點(diǎn) Ａ 作 ＡＨ⊥

ＣＤ 于點(diǎn) Ｈ?

∵ ∠ＡＣＢ ＝ ９０°? ＣＤ 是

∠ＡＣＢ 的平分線?

∴ ∠ＡＣＤ＝ ４５°?

∴ ＣＨ＝ ｃｏｓ∠ＡＣＤ?ＡＣ＝ ３ ３ ?

同理可得 ＡＨ＝ ３ ３ ?

在 Ｒｔ △ＡＤＨ 中? 由 勾 股 定 理 得 ＤＨ ＝

ＡＤ

２－ＡＨ

２ ＝ (５ ２ )

２

－(３ ２ )

２

＝ ４ ２ ?

∴ ＣＤ＝ＣＨ＋ＤＨ＝ ３ ３ ＋ ４ ３ ＝ ７ ３ .

５.５ ｃｍ ６.２５° ７.１１０° ８.Ａ ９.Ｂ １０.Ｃ

１１.解:(１)△ＡＢＣ 是等腰直角三角形?證明過(guò)

程如下:

∵ ＡＣ 為☉Ｏ 的直徑?

∴ ∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝ ９０°?

∵ ∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ?

∴ ＡＢ

(

＝ＢＣ

(

?

∴ ＡＢ＝ＢＣ?

∴ △ＡＢＣ 是等腰直角三角形?

(２)在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中?ＡＢ＝ＢＣ＝ ２ ?

∴ ＡＣ＝ ２?

在 Ｒｔ△ＡＤＣ 中?ＡＤ＝ １?ＡＣ＝ ２?

∴ ＣＤ＝ ３ .

１２.

１０

３

１３.２ ３ １４.７０ １５.Ｂ １６.Ｃ １７.Ｄ

１８.Ｃ １９.７ ２０.Ａ ２１.Ｃ ２２.２ ３ ２３.Ｂ

２４.２ １０

第 ２５ 講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系

課前熱身

１.Ｂ ２.Ｃ ３.Ｃ ４.Ｃ

本課練習(xí)

１.Ａ ２.相離 ３.４５°

４.證明:如圖?連接 ＯＣ?∵ ＡＤ⊥ＣＤ?

∴ ∠ＡＤＣ＝ ９０°?∴ ∠ＤＡＣ＋∠ＤＣＡ ＝ ９０°?

∵ ＡＣ 平分∠ＤＡＢ?

∴ ∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＯ?

又∵ ＡＯ＝ＣＯ?∴ ∠ＣＡＯ＝∠ＡＣＯ?

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?

３４

∴ ∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＯ?

∴ ∠ＡＣＯ ＋∠ＤＣＡ ＝ ９０°?即∠ＤＣＯ＝ ９０°?

∴ ＤＣ⊥ＣＯ?

又∵ ＣＯ 是☉Ｏ 的半徑?

∴ ＣＤ 是☉Ｏ 的切線.

５.５０° ６.４ ７.６.５ ｃｍ 或 ２.５ ｃｍ

８.Ｄ ９.２５

１０.(１)證明:∵ ＡＤ⊥ＭＣ?

∴ ∠Ｄ＝ ９０°?

∵ ＯＡ ＝ＯＣ?

∴ ∠ＯＣＡ ＝∠ＯＡＣ?

∵ ＡＣ 平分∠ＭＡＤ?

∴ ∠ＤＡＣ＝∠ＯＡＣ?

∴ ∠ＯＣＡ ＝∠ＤＡＣ?

∴ ＯＣ∥ＤＡ?

∴ ∠Ｄ＝∠ＯＣＭ＝ ９０°?

∵ ＯＣ 是☉Ｏ 的半徑?

∴ ＭＣ 是☉Ｏ 的切線?

(２)解:∵ ＡＢ＝ ４?

∴ ＯＣ＝ＯＢ＝

１

２

ＡＢ＝ ２?

∴ ＯＭ＝ＯＢ＋ＢＭ＝ ６?

在 Ｒｔ△ＯＣＭ 中?ＭＣ ＝ ＯＭ

２－ＯＣ

２ ＝ ６

２－２

２ ＝

４ ２?

∵ ∠Ｍ＝∠Ｍ?∠ＯＣＭ＝∠Ｄ＝ ９０°?

∴ △ＭＣＯ∽△ＭＤＡ?

∴

ＭＣ

ＭＤ

＝

ＯＣ

ＡＤ

＝

ＭＯ

ＡＭ

?

∴

４ ２

ＭＤ

＝

２

ＡＤ

＝

６

８

?

∴ ＭＤ＝

１６ ２

３

?ＡＤ＝

８

３

?

∴ ＣＤ＝ＭＤ－ＭＣ＝

４ ２

３

?

在 Ｒｔ△ＡＣＤ 中?ｔａｎ∠ＤＡＣ＝

ＤＣ

ＡＤ

＝

４ ２

３

８

３

＝

２

２

?

∴ ｔａｎ∠ＭＡＣ＝ ｔａｎ∠ＤＡＣ＝

２

２

?

∴ ｔａｎ∠ＭＡＣ 的值為

２

２

.

１１.Ｃ １２.１ １３. ５ １４.６４° １５.３５ １６.Ｂ

１７.Ｄ １８.Ｂ １９. (８－ ２ ２ ) ２０.Ｂ ２１.Ｃ

２２.Ｄ

第 ２６ 講 與圓有關(guān)的計(jì)算

課前熱身

１.Ｂ ２.π ３.Ｂ ４.

１

３

π

本課練習(xí)

１.６ ２.１５０° ３.

π

８

ｍ

２

４.

８００π

３

ｃｍ

２

５.Ｃ ６.１２ ３ ｍｍ ７.１６０° ５ ２００π ｃｍ

２

８.１０ ９.２７π １０.Ｃ １１.Ｃ １２.Ｃ

１３.

２０ ３

３

１４.６０π １５.

２

３

π １６.

１

２

π １７.Ａ

１８.Ｃ １９.

９

４

π－

９

２

２０.

３πａ

２

１０

３ａ

５

２１.

６ ３ －２π

３

２２.

５π

３

２３.

６ ２ ＋π

３

第 ２７ 講 尺規(guī)作圖

課前熱身

１.Ｄ ２.６０

本課練習(xí)

１.解:如圖?線段 ＯＣ 為所求作.

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３５

２.解:如圖?

(１)畫射線 ＡＭ?

(２)在射線 ＡＭ 上依次截取 ＡＢ＝ ａ?

ＢＣ＝ＣＤ＝ ｂ?

(３)在線段 ＡＤ 上截取 ＤＥ＝ ｃ?

則線段 ＡＥ 即為所求.

３.解:如圖?∠Ａ′Ｏ′Ｂ′為所求作.

４.解:如圖?射線 ＯＣ 為所求作.

５.解:如圖?ＣＤ 為所求作.

６.解:如圖 １?直線 ＡＥ 為所求作?

如圖 ２?直線 ＡＦ 為所求作.

７.解:如圖?ＣＥ 為所求作.

８.解:如圖?∠ＥＡＣ 為所求作.

９.解:如圖?ＢＤ 為所求作.

１０.解:如圖?ＥＦ 為所求作.

１１.解:(１)如圖?ＣＤ 為所求作.

(２)

２４

５

１２.Ａ １３.Ａ １４.Ｄ １５.Ｂ

１６.解:如圖?射線 ＣＰ 為所求作.

１７.解:如圖?△ＡＢＣ 為所求作.

１８.解:(１)如圖?分別以點(diǎn) Ａ、Ｃ 為圓心?大于

１

２

ＡＣ 長(zhǎng)為半徑畫弧?在 ＡＣ 的兩側(cè)分別相

交于 Ｐ、Ｑ 兩點(diǎn)?畫直線 ＰＱ 交劣弧 ＡＣ 于點(diǎn)

Ｄ?交 ＡＣ 于點(diǎn) Ｅ?即作線段 ＡＣ 的垂直平分

線?由垂徑定理可知?直線 ＰＱ 一定過(guò)點(diǎn) Ｏ?

(２)∵ ＡＢ 是☉Ｏ 的直徑?

∴ ∠ＡＣＢ＝ ９０°?

在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中?∵ ＡＣ＝ ８?ＢＣ＝ ６.

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３６

∴ ＡＢ＝ ＡＣ

２＋ＢＣ

２ ＝ １０?

∵ ＯＤ⊥ＡＣ?

∴ ＡＥ＝ＣＥ＝

１

２

ＡＣ＝ ４?

又∵ ＯＡ ＝ＯＢ?

∴ ＯＥ 是△ＡＢＣ 的中位線?

∴ ＯＥ＝

１

２

ＢＣ＝ ３?

由于 ＰＱ 過(guò)圓心 Ｏ?且 ＰＱ⊥ＡＣ?

即點(diǎn) Ｏ 到 ＡＣ 的距離為 ３?

連接 ＯＣ?在 Ｒｔ△ＣＤＥ 中?

∵ ＤＥ＝ＯＤ－ＯＥ＝ ５－３ ＝ ２?ＣＥ＝ ４?

∴ ＣＤ＝ ＤＥ

２＋ＣＥ

２ ＝ ２

２＋４

２ ＝ ２ ５ ?

∴ ｓｉｎ∠ＡＣＤ＝

ＤＥ

ＣＤ

＝

２

２ ５

＝

５

５

.

１９.解:(１)如圖?點(diǎn) Ｏ 為所求作?

(２)由題意?△ＡＢＣ 的面積 ＝

１

２

× １４× １.３ ＝

９.１(ｃｍ

２

).

２０.(１)解:如圖 １?☉Ｏ 即為△ＡＢＣ 的外接圓?

(２)①證明:如圖 ２?連接 ＯＢ?

∵ ＢＤ 是☉Ｏ 的切線?

∴ ＯＢ⊥ＢＤ?

∵ 點(diǎn) Ｂ 是ＣＥ

(

的中點(diǎn)?

∴ ＢＣ

(

＝ＢＥ

(

?

∴ ∠ＣＡＢ＝∠ＥＡＢ?

∵ ＯＡ ＝ＯＢ?

∴ ∠ＯＢＡ ＝∠ＥＡＢ?

∴ ∠ＣＡＢ＝∠ＯＢＡ?

∴ ＯＢ∥ＡＤ?

∴ ＢＤ⊥ＡＤ?

②解:如圖 ２?連接 ＥＣ?

由圓周角定理得:∠ＡＥＣ＝∠ＡＢＣ?

∵ ｔａｎ∠ＡＢＣ＝

３

４

?

∴ ｔａｎ∠ＡＥＣ＝

３

４

?

∵ ＡＥ 是☉Ｏ 的直徑?

∴ ∠ＡＣＥ＝ ９０°?

∴

ＡＣ

ＥＣ

＝

３

４

?

∵ ＡＣ＝ ６?

∴ ＥＣ＝ ８?

∴ ＡＥ＝ ＡＣ

２＋ＥＣ

２ ＝ １０?∴ ☉Ｏ 的半徑為 ５.

２１.(１)解:如圖?四邊形 ＡＢＣＤ 為所求作?

(２)證明:設(shè) ＰＱ 交 ＡＤ 于點(diǎn) Ｇ?ＢＣ 交 ＡＤ 于

點(diǎn) Ｇ′?

∵ ＤＱ∥ＡＰ?

∴

ＧＤ

ＧＡ

＝

ＤＱ

ＡＰ

?

∵ ＤＣ∥ＡＢ?

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３７

∴

Ｇ′Ｄ

Ｇ′Ａ

＝

ＤＣ

ＡＢ

?

∵ Ｐ?Ｑ 分別為邊 ＡＢ?ＣＤ 的中點(diǎn)?

∴ ＤＣ＝ ２ＤＱ?ＡＢ＝ ２ＡＰ?

∴

Ｇ′Ｄ

Ｇ′Ａ

＝

ＤＣ

ＡＢ

＝

２ＤＱ

２ＡＰ

＝

ＤＱ

ＡＰ

?

∴

Ｇ′Ｄ

Ｇ′Ａ

＝

ＧＤ

ＧＡ

?

∴ 點(diǎn) Ｇ 與點(diǎn) Ｇ′重合?

∴ 直線 ＡＤ?ＢＣ?ＰＱ 相交于同一點(diǎn).

第 ２８ 講 視圖與投影

課前熱身

１.Ａ ２.Ｄ ３.Ａ ４.Ｄ

本課練習(xí)

１.Ｄ ２.Ａ ３.Ｃ ４.Ｄ ５.Ｃ ６.Ｂ ７.Ａ

８.(１) ５ ２２

(２)解:如圖:

９.Ｃ １０.Ｂ １１.Ａ １２.Ｃ １３.Ｄ １４.２４π

１５.解:(１)三棱柱

(２)如圖:

(３)Ｖ ＝

１

２

×３×４×１０ ＝ ６０(ｃｍ

３

).

１６.Ａ １７.Ｂ １８.Ｅ １９.Ｂ

２０.５ ２１.Ｃ ２２.Ｂ ２３.Ｃ

第 ２９ 講 圖形的對(duì)稱、平移、

旋轉(zhuǎn)、折疊

課前熱身

１.Ｄ ２.Ｃ ３.Ａ

本課練習(xí)

１.９０° ６ ｃｍ ２.１９ ３.６３ ４.ａ＋２ｂ

５.解:如圖:

∵ 線段 ＢＡ 繞點(diǎn) Ｂ 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ９０°?

∴ ＢＡ１

＝ ＢＡ?且 ∠ＡＢＡ１

＝ ９０°?連接 ＡＡ１ ? 則

△ＡＢＡ１ 是等腰直角三角形?

在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中?ＡＢ

２ ＝ ＢＣ

２ ＋ＡＣ

２ ＝ ９＋１６ ＝ ２５?

則 ＡＢ＝ ５?

∴ ＡＡ１

＝ ２５＋２５ ＝ ５ ２ .

６.５ ７.Ａ ８.４０° ９.Ａ １０.Ｂ １１.１２０° ７５°

１２.３ ５ １３.Ｃ １４.Ｄ １５.Ｄ １６.Ｂ １７.Ｃ

１８.Ｃ １９. ３

２０.解:①當(dāng) ＭＢ′＝

１

３

ＭＮ 時(shí)?如圖?

Ｒｔ△ＡＭＢ′中?ＡＢ′＝ ＡＢ＝ ３?ＭＢ′＝

１

３

ＡＢ＝ １?

∴ ＡＭ＝ ＡＢ′

２－ＭＢ′

２ ＝ ２ ２ ?

∵ ＡＤ∥ＢＣ?ＡＢ⊥ＢＣ?ＭＮ⊥ＡＤ?

∴ 四邊形 ＡＢＮＭ 是矩形?

∴ ＢＮ＝ ＡＭ＝ ２ ２ ?ＭＮ＝ ＡＢ＝ ３?

設(shè) ＢＥ＝ ｘ?則 Ｂ′Ｅ＝ ｘ?ＥＮ＝ ２ ２ －ｘ?

Ｒｔ△Ｂ′ＥＮ 中? Ｂ′Ｎ ＝ ＭＮ － ＭＢ′ ＝ ２? ＥＮ

２ ＋

Ｂ′Ｎ

２ ＝Ｂ′Ｅ

２

?

∴ (２ ２ －ｘ)

２

＋２

２ ＝ ｘ

２

?

解得 ｘ ＝

３ ２

２

?∴ ＢＥ 的長(zhǎng)為

３ ２

２

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３８

②當(dāng) ＮＢ′＝

１

３

ＭＮ 時(shí)?如圖?

∵ ＮＢ′＝

１

３

ＭＮ＝ １?

∴ ＭＢ′＝ ２?

設(shè) ＢＥ＝ ｙ?

同①可得 ｙ ＝

３ ５

５

?

∴ ＢＥ 的長(zhǎng)為

３ ５

５

.

綜上所述?ＢＥ 的長(zhǎng)為

３ ２

２

或

３ ５

５

.

２１.解:(１)∵ ＣＥ＝ ＡＥ?

∴ ∠ＥＣＡ ＝∠ＥＡＣ?

根據(jù)翻折可得:∠ＥＣＡ ＝ ∠ＦＣＡ?∠ＢＡＣ ＝

∠ＣＡＦ?

∵ 四邊形 ＡＢＣＤ 是矩形?

∴ ＤＡ∥ＣＢ?

∴ ∠ＥＣＡ ＝∠ＣＡＤ?

∴ ∠ＥＡＣ＝∠ＣＡＤ?

∴ ∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＥ?

∵ ∠ＢＡＤ＝ ９０°?

∴ ∠ＥＡＦ＝ ９０°?

設(shè) ＣＥ＝ ＡＥ＝ ｘ?則 ＢＥ＝ ４－ｘ?

在 Ｒｔ△ＢＡＥ 中?根據(jù)勾股定理可得:

ＢＡ

２＋ＢＥ

２ ＝ ＡＥ

２

?

即(２ ２ )

２

＋(４－ｘ)

２ ＝ ｘ

２

?

解得 ｘ ＝ ３?

在 Ｒｔ△ＥＡＦ 中?ＥＦ＝ ＡＦ

２＋ＡＥ

２ ＝ １７ ?

(２)如圖?過(guò)點(diǎn) Ｆ 作 ＦＧ⊥ＢＣ 交 ＢＣ 于點(diǎn) Ｇ?

設(shè) ＣＧ＝ ｘ?則 ＧＥ＝ ３－ｘ?

∵ ＦＣ＝ ４?ＦＥ＝ １７ ?

∴ ＦＧ

２ ＝ＦＣ

２－ＣＧ

２ ＝ＦＥ

２－ＥＧ

２

?

即 １６－ｘ

２ ＝ １７－(３－ｘ)

２

?

解得 ｘ ＝

４

３

?

∴ ＦＧ＝ ＦＣ

２－ＣＧ

２ ＝

８ ２

３

?

∴ ｓｉｎ∠ＣＥＦ＝

ＦＧ

ＥＦ

＝

８ ３４

５１

.

第 ３０ 講 統(tǒng)計(jì)

課前熱身

１.Ｃ ２.Ａ ３.Ｂ ４.Ｃ

本課練習(xí)

１.Ａ ２.Ｄ ３.Ｃ ４.７.５ ５.１ ２００

６. 解:(１)由統(tǒng)計(jì)圖知 ９０ 分對(duì)應(yīng)的人數(shù)最多?

因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 ９０?

由于人數(shù)總和是 ２０ 人為偶數(shù)?將數(shù)據(jù)從小

到大排列后?第 １０ 個(gè)和第 １１ 個(gè)數(shù)據(jù)都是

９０ 分?因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 ９０?

平均數(shù)是:

８０×２＋８５×３＋９０×８＋９５×５＋１００×２

２＋３＋８＋５＋２

＝ ９０.５?

(２)根據(jù)題意得:

６００×

８＋５＋２

２０

＝ ４５０(人)?

答:估計(jì)該年級(jí)獲優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生人數(shù)是

４５０ 人.

７.Ｂ ８.Ｃ ９.Ｄ １０.乙 １１.９００ 人

１２.解:(１) 月銷售額數(shù)據(jù)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖

所示:

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３９

( ２ ) ｘ ＝

３＋４×４＋５×３＋７＋８×２＋１０×３＋１８

１５

＝

７(萬(wàn)元)

∴ 月銷售額的眾數(shù)是 ４ 萬(wàn)元?中間的月銷

售額是 ５ 萬(wàn)元?平均月銷售額是 ７ 萬(wàn)元.

(３)月銷售額定為 ７ 萬(wàn)元合適.

１３.Ｂ １４.Ｄ １５.Ｂ １６.Ｂ １７.Ｄ

１８.解:(１)５０ 人?４０％

(２)不合格人數(shù)是 １６ 人?補(bǔ)全圖形如下:

(３)１１５.２°

(４)

１

３

１９. (１)解:由題意得?

ｍ＝ １０２＋４８＋７５＋５１＋２４?

２５５＋１５＋２４＋ｎ＋０ ＝ｍ? {

解得

ｍ＝ ３００?

ｎ ＝ ６? {

∴

ｎ

ｍ

＝

６

３００

＝

１

５０

?

故答案為:３００?

１

５０

(２)匯總表 １ 和圖 １ 可得:

０ １ ２ ３

４ 及

以上

總數(shù)

“雙減”前 １７２ ８２ １１８ ８２ ４６ ５００

“雙減”后 ４２３ ２４ ４０ １２ １ ５００

∴ “雙減”后報(bào)班數(shù)為 ３ 的學(xué)生人數(shù)所占

的百分比為

１２

５００

×１００％ ＝ ２.４％?

(３)“雙減”前共調(diào)查 ５００ 個(gè)數(shù)據(jù)?從小到

大排列后?第 ２５０ 個(gè)和第 ２５１ 個(gè)數(shù)據(jù)均

為 １?

∴ “雙減”前學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的中位數(shù)為 １?

“雙減”后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的

是 ０?

∴ “雙減”后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的眾數(shù)為 ０?

故答案為:１?０?

②從“雙減”前后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的變化情

況說(shuō)明:“雙減”政策宣傳落實(shí)到位?參加

校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的學(xué)生大幅度減少?“雙減”

取得了顯著效果.

第 ３１ 講 概率

課前熱身

１.Ｄ ２.Ｂ ３.Ｃ ４.Ｃ

本課練習(xí)

１.Ｄ ２.Ａ ３.Ｄ

４.解:(１) 從 Ａ 盒里抽取一張卡?抽到的卡片

上標(biāo)有數(shù)字為奇數(shù)的概率為

２

３

?

(２)畫樹狀圖得:

共有 ９ 種等可能的結(jié)果?抽到的兩張卡片上

標(biāo)有的數(shù)字之和大于 ４ 的有 ３ 種情況?∴ 兩

次抽取的卡片上數(shù)字之和大于 ７ 的概率為

３

９

＝

１

３

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４０

５.Ｄ ６.Ｂ ７.Ｂ ８.Ａ ９.Ｂ １０.Ａ １１.Ｃ

１２.

７

１５

１３.Ｄ １４.Ｂ １５.Ａ １６.

１

３

１７.

１

３

１８.甲

１９.解: ( １) 調(diào)查的總?cè)藬?shù)為 ４０ ÷ ４０％ ＝ １００

(人)?２０００ × ４０％ ＝ ８００ ( 人)?故答案為:

１００?８００?

(２) 單 板 滑 雪 的 人 數(shù) 為 １００ × １０％ ＝

１０(人)?自由式滑雪的人數(shù)為 １００－４０－２０

－１０ ＝ ３０(人)?

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下:

(３)根據(jù)題意?畫出樹狀圖如下:

從四項(xiàng)中任取兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的所有機(jī)會(huì)均等的

結(jié)果共有 １２ 種?抽到項(xiàng)目中恰有一個(gè)項(xiàng)目

為自由式滑雪 Ｃ 的有 ６ 種等可能結(jié)果?

∴ 抽到項(xiàng)目中恰有一項(xiàng)為自由式滑雪 Ｃ 的

概率為

６

１２

＝

１

２

.

２０.解:(１)∵ Ｄ 組人數(shù)為 ８ 人?所占百分比為

１６％?∴ 總?cè)藬?shù)為 ８÷１６％ ＝ ５０(人)?

∴ ｘ ＝ ４÷５０ ＝ ８％?故答案為:５０ 人?８％?

(２)等級(jí)為 Ｂ 的學(xué)生所占的百分比為 ２０÷

５０ ＝ ４０％?∴ 等級(jí)為 Ｂ 的學(xué)生人數(shù)為 ５００×

４０％ ＝ ２００(人).

(３)記兩名男生為 ａ?ｂ?記兩名女生為 ｃ?ｄ?

列出表格如下:

一共有 １２ 種等可能結(jié)果數(shù)?其中恰好抽到

一男一女的有 ８ 種?∴ 恰好抽到一名男生

和一名女生的概率 Ｐ＝

８

１２

＝

２

３

.

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第二輪復(fù)習(xí) 專題能力整合

專題 １ 函數(shù)圖象與性質(zhì)

課前熱身

１.Ａ ２.Ｂ ３.Ｂ ４.Ａ

本課練習(xí)

１.Ｃ

２.ｘ１

＝ ３?ｘ２

＝ －１ ｘ<－１ 或 ｘ>３ －１<ｘ<３

３.Ｃ ４.Ｃ ５.Ｃ ６.Ｃ ７.Ｂ ８.Ｃ ９.Ａ １０.Ｂ

１１.Ｄ １２.Ｃ １３.Ｄ １４.Ｄ １５.Ｂ

專題 ２ 幾何多結(jié)論問(wèn)題

課前熱身

１.Ｃ ２.Ｃ ３.Ｄ ４.Ｃ

本課練習(xí)

１.Ｄ ２.Ａ ３.Ｃ ４.Ｂ ５.Ｃ ６.Ａ ７.Ｄ ８.Ｃ

９.Ｃ １０.Ｃ １１.Ａ １２.Ｃ １３.Ａ １４.Ｂ

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４１

專題 ３ 平移、折疊與旋轉(zhuǎn)

課前熱身

１.１ ２.Ｄ ３.Ｃ ４.Ｃ

本課練習(xí)

１.１２ ２. ３ ３.２ ３ ４.Ｃ ５.Ｃ ６.Ｃ ７.Ｄ

８.Ａ ９.Ｂ １０.Ｄ １１.Ｄ １２.Ｄ １３.

π

３

＋

３

２

１４.Ｄ

１５.解:(１)∵ ∠ＡＢＣ＝ ３０°?ＡＢ＝ ＡＣ?ＡＥ⊥ＢＣ?

∴ ∠ＢＡＥ ＝ ６０°?∵ 將△ＡＣＤ 沿 ＡＤ 折疊得

到△ＡＥＤ?

∴ ＡＣ＝ ＡＥ?∴ ＡＢ＝ ＡＥ?

∴ ∠ＡＥＢ＝ ６０°?故答案為:６０?

(２)∠ＡＥＢ＝ ３０°＋∠ＣＡＤ?理由如下:

∵ 將△ＡＣＤ 沿 ＡＤ 折疊得到△ＡＥＤ?

∴ ＡＥ＝ ＡＣ?∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ?

∵ ∠ＡＢＣ＝ ３０°?ＡＢ＝ ＡＣ?

∴ ∠ＢＡＣ＝ １２０°?∴ ∠ＢＡＥ ＝ １２０°－２∠ＣＡＤ?

∵ ＡＢ＝ ＡＥ＝ ＡＣ?

∴ ∠ＡＥＢ ＝

１８０°－(１２０°－２∠ＣＡＤ)

２

＝ ３０° ＋

∠ＣＡＤ?

(３)如圖?連接 ＯＡ?

∵ ＡＢ＝ ＡＣ?點(diǎn) Ｏ 是 ＢＣ 的中點(diǎn)?∴ ＯＡ⊥ＢＣ?

∵ ∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝ ３０°?ＡＣ＝ ４?

∴ ＡＯ＝ ２?ＯＣ＝ ２ ３ ?∵ ＯＤ

２ ＝ ＡＤ

２－ＡＯ

２

?

∴ ＯＤ＝ ｙ－４ ?

∵ Ｓ△ＡＤＣ

＝

１

２

×ＯＣ×ＡＯ－

１

２

×ＯＤ×ＯＡ?

∴ ｘ ＝

１

２

×２×２ ３ －

１

２

×２× ｙ－４ ?

∴ ｙ ＝ (２ ３ －ｘ)

２

＋４.

１６.解:(１)四邊形 ＡＭＤＮ 為矩形.理由如下:

∵ 點(diǎn) Ｍ 為 ＡＢ 的中點(diǎn)?點(diǎn) Ｄ 為 ＢＣ 的中點(diǎn)?

∴ ＭＤ∥ＡＣ?

∴ ∠ＡＭＤ＋∠Ａ ＝ １８０°?

∵ ∠Ａ ＝ ９０°?∴ ∠ＡＭＤ＝ ９０°?

∵ ∠ＥＤＦ＝ ９０°?

∴ ∠Ａ ＝∠ＡＭＤ＝∠ＭＤＮ＝ ９０°?

∴ 四邊形 ＡＭＤＮ 為矩形?

(２) 在 Ｒｔ △ＡＢＣ 中? ∠Ａ ＝ ９０°? ＡＢ ＝ ６?

ＡＣ＝ ８?

∴ ∠Ｂ＋∠Ｃ＝ ９０°?ＢＣ＝ ＡＢ

２＋ＡＣ

２ ＝ １０.

∵ 點(diǎn) Ｄ 是 ＢＣ 的中點(diǎn)?∴ ＣＤ＝

１

２

ＢＣ＝ ５.

∵ ∠ＥＤＦ＝ ９０°?∴ ∠ＭＤＢ＋∠１ ＝ ９０°.

∵ ∠Ｂ＝∠ＭＤＢ?∴ ∠１ ＝∠Ｃ.

∴ ＮＤ＝ＮＣ.

如圖?過(guò)點(diǎn) Ｎ 作 ＮＧ⊥ＢＣ 于點(diǎn) Ｇ?則∠ＣＧＮ

＝ ９０°.

∴ ＣＧ＝

１

２

ＣＤ＝

５

２

.

∵ ∠Ｃ＝∠Ｃ?∠ＣＧＮ＝∠ＣＡＢ＝ ９０°?

∴ △ＣＧＮ∽△ＣＡＢ?∴

ＣＧ

ＣＡ

＝

ＣＮ

ＣＢ

?

即

５

２

８

＝

ＣＮ

１０

?∴ ＣＮ＝

２５

８

?

(３)如圖?延長(zhǎng) ＮＤ 至 Ｈ?使 ＤＨ ＝ ＤＮ?連接

ＭＨ?ＮＭ?ＢＨ?

?

?

?

?

?

?

?

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?

?

４２

∵ ＭＤ⊥ＨＮ?∴ ＭＮ ＝ ＭＨ?∵ Ｄ 是 ＢＣ 中點(diǎn)?

∴ ＢＤ＝ＤＣ?

又∵ ∠ＢＤＨ＝∠ＣＤＮ?∴ △ＢＤＨ≌△ＣＤＮ?

∴ ＢＨ ＝ ＣＮ?∠ＤＢＨ ＝ ∠Ｃ?∵ ∠ＢＡＣ ＝ ９０°?

∴ ∠Ｃ＋∠ＡＢＣ＝ ９０°?

∴ ∠ＤＢＨ＋∠ＡＢＣ＝ ９０°?∴ ∠ＭＢＨ＝ ９０°?

設(shè) ＡＭ＝ ＡＮ＝ ｘ?則 ＢＭ＝ ６－ｘ?ＢＨ＝ＣＮ＝ ８－ｘ?

ＭＮ ＝ ＭＨ ＝ ２ ｘ? 在 Ｒｔ △ＢＭＨ 中? ＢＭ

２ ＋

ＢＨ

２ ＝ＭＨ

２

?

∴ (６－ｘ)

２＋(８－ｘ)

２ ＝ ( ２ ｘ)

２

?解得 ｘ ＝

２５

７

?

∴ 線段 ＡＮ 的長(zhǎng)為

２５

７

.

專題 ４ 規(guī)律探索

課前熱身

１.Ｄ ２.Ｃ ３.(４?２) ４.Ｂ

本課練習(xí)

１.解:(１)(－２)

ｎ

?

(２)第②③行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系為:第②

行數(shù)比第①行相對(duì)應(yīng)的數(shù)大 ２?第③行數(shù)是

第①行相對(duì)應(yīng)的數(shù)的

１

２

?

(３)第一行的第十個(gè)數(shù)為:１ ０２４?第二行的

第 十 個(gè) 數(shù) 為: １ ０２６? 第 三 行 的 第 十 個(gè) 數(shù)

為:５１２?

１ ０２４＋１ ０２６＋５１２ ＝ ２ ５６２.故這三個(gè)數(shù)的和

為:２ ５６２.

２.解:( １) 根據(jù)題意得兩位數(shù)為 １０ × ｂ ＋ ａ ＝

１０ｂ＋ａ?

(２)依題意得 １０(１０ｂ＋ａ)?

(３)是.理由如下:依題意 １０ｂ＋ａ＋１０(１０ｂ＋ａ)＝

１１０ｂ＋１１ａ＝１１(１０ｂ＋ａ).

∵ １１(１０ｂ＋ａ) ÷１１ ＝ １０ｂ＋ａ?∴ (１)中的兩位

數(shù)與它的 １０ 倍的和是 １１ 的倍數(shù).

３.解:(１)３０×３２＋１ ＝ ９６１ ＝ ３１

２

(２)(２

ｎ＋１－２)×２

ｎ＋１＋１ ＝ (２

ｎ＋１－１)

２

４.１７ａ ２０ａ (３ｎ＋２)ａ

５.解:(１)９ １５

觀察圖形的變化可知:當(dāng) ｎ ＝ ２ 時(shí)?Ｓ 的值為

３ ＝ ３×１?當(dāng) ｎ ＝ ３ 時(shí)?Ｓ 的值為 ６ ＝ ３×２?當(dāng) ｎ ＝

４ 時(shí)?Ｓ 的值為 ９ ＝ ３×３?當(dāng) ｎ ＝ ５ 時(shí)?Ｓ 的值為

１２ ＝ ３×４?當(dāng) ｎ ＝ ６ 時(shí)?Ｓ 的值為 １５ ＝ ３×５?

故答案為:９?１５?

(２)３(ｎ－１)

由(１)知:每條“邊”有 ｎ 個(gè)點(diǎn)時(shí)的總點(diǎn)數(shù) Ｓ

是 ３(ｎ－１)?故答案為:３(ｎ－１)?

(３)當(dāng) ｎ＝２ ０２１ 時(shí)?總點(diǎn)數(shù) Ｓ ＝ ３×(２ ０２１－１)＝

６ ０６０.

６.解:(１)３６０ ５４０ (ｎ－２) (ｎ－２)?１８０

(２)

(８－２)?１８０°

８

＝ １３５°.

７.Ｃ ８.２

２ ０１６－１ ２

２ ０１６

９.Ａ １０.３

１１.解:(１)ｘ＋１?ｘ＋７?ｘ＋８?

(２)依題意有 ｘ＋ｘ＋１＋ｘ＋７＋ｘ＋８ ＝ ２１６?解得

ｘ ＝ ５０.故 ｘ 的值為 ５０?

(３)不能?理由如下:依題意有 ｘ＋ｘ＋１＋ｘ＋

７＋ｘ＋８ ＝ ２９６?解得 ｘ ＝ ７０?∵ ７０ 在第 ７ 列?

∴ 不能.

１２.Ｃ １３.Ｂ １４.１ ２７５ １５.ａ＋８ｂ １６.Ｄ

１７.Ａ １８.

２０１

１８２

１９.３ ７５ ２０.( ２ )

ｎ

２１.－

１

２ ０２１

２２.(２ ０２１?２ ０２１ ３ )

２３.解:(１)設(shè) ＡＣ＝ ｘ?則 ＢＣ＝ ＡＢ－ＡＣ＝ １－ｘ?

∵ ＡＣ

２ ＝ＢＣ?ＡＢ?∴ ｘ

２ ＝ １×(１－ｘ)?

整理得 ｘ

２ ＋ ｘ － １ ＝ ０?解得 ｘ１

＝

５ －１

２

?ｘ２

＝

－ ５ －１

２

( 舍 去)? 所 以 線 段 ＡＣ 的 長(zhǎng) 度

為

５ －１

２

?

?

?

?

?

?

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?

４３

(２)∵ ＡＤ

２ ＝ＣＤ?ＡＣ?

由(１)得 ＡＣ＝

５ －１

２

ＡＢ?

∴ 線段 ＡＤ 的長(zhǎng)度為

５ －１

２

ＡＣ＝

３－ ５

２

?

(３)同理得到線段 ＡＥ 的長(zhǎng)度為

５ －１

２

ＡＤ ＝

５ －２.

２４.解:(１)Ｓ ＝ １＋５＋５

２＋５

３＋?＋５

２ ０１７

?

５Ｓ ＝ ５＋５

２＋５

３＋?＋５

２ ０１７＋５

２ ０１８

?

∴ ４Ｓ ＝ ５

２ ０１８－１?Ｓ ＝

５

２ ０１８－１

４

?

(２)Ｓ ＝ ３－３

２＋３

３－３

４＋?＋３

９９－３

１００

?

３Ｓ ＝ ３

２－３

３＋３

４－３

５＋?＋３

１００－３

１０１

?

４Ｓ ＝ ３－３

１０１

?

Ｓ ＝

３－３

１０１

４

.

２５.解: ( １) ∵ 第一個(gè)式子

１

２

＝

１

３

＋

１

６

＝

１

２＋１

＋

１

２(２＋１)

?

第二個(gè)式子

１

３

＝

１

４

＋

１

１２

＝

１

３＋１

＋

１

３(３＋１)

?

第三個(gè)式子

１

４

＝

１

５

＋

１

２０

＝

１

４＋１

＋

１

４(４＋１)

?

?

∴ 第(ｎ＋１)個(gè)式子

１

ｎ

＝

１

ｎ＋１

＋

１

ｎ(ｎ＋１)

?

(２)∵ 右邊 ＝

１

ｎ＋１

＋

１

ｎ(ｎ＋１)

＝

ｎ

ｎ(ｎ＋１)

＋

１

ｎ(ｎ＋１)

＝

ｎ＋１

ｎ(ｎ＋１)

＝

１

ｎ

＝左邊?

∴

１

ｎ

＝

１

ｎ＋１

＋

１

ｎ(ｎ＋１)

.

專題 ５ 面積問(wèn)題

課前熱身

１.Ｄ ２.

１３

４

π ３.Ｃ ４.

π

２

ｍ

２

本課練習(xí)

１.解:相等.

∵ ｌ

１∥ｌ

２ ?

∴ ｌ

１ ?ｌ

２ 之間的距離是固定的?

∴ △ＡＢＣ 和△ＤＢＣ 的 ＢＣ 邊上的高相等?

∴ △ＡＢＣ 和△ＤＢＣ 的面積相等?

如圖所示.

２.解:陰影部分的面積 ＝ ３ ａ

２ － ３ ×

６０πａ

２

３６０

＝

２ ３ －π

２

ａ

２

.

３.證明:∵ △ＡＣＤ 是直角三角形?

∴ ＡＣ

２＋ＣＤ

２ ＝ ＡＤ

２

?

∵ 以等腰 Ｒｔ△ＡＣＤ 的邊 ＡＤ、ＡＣ、ＣＤ 為直徑

畫半圓?

∴ Ｓ半圓ＡＣＤ

＝

１

２

π ?

１

４

ＡＤ

２

? Ｓ半圓ＡＥＣ

＝

１

２

π ?

１

４

ＡＣ

２

?Ｓ半圓ＣＦＤ

＝

１

２

π?

１

４

ＣＤ

２

?

∴ Ｓ半圓ＡＣＤ

＝ Ｓ半圓ＡＥＣ

＋Ｓ半圓ＣＦＤ?

∴ 所得兩個(gè)月型圖案 ＡＧＣＥ 和 ＤＨＣＦ 的面

積之和(圖中陰影部分) 等于 Ｒｔ△ＡＣＤ 的

面積.

４.解:∵ ｐ ＝

ａ＋ｂ＋ｃ

２

＝

４＋５＋６

２

＝

１５

２

?

∴ △ＡＢＣ 的面積為:

Ｓ ＝ ｐ(ｐ－ａ)(ｐ－ｂ)(ｐ－ｃ)

?

?

?

?

?

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?

?

?

?

?

?

?

４４

＝

１５

２

×(

１５

２

－４)×(

１５

２

－５)×(

１５

２

－６)

＝

１５ ７

４

.

５. ２ －１ ６.２

７.解:設(shè)等邊三角形 ＡＢＣ 的邊長(zhǎng)為 ｒ?

∴

６０πｒ

１８０

＝

２π

３

?解得 ｒ ＝ ２?即正三角形的邊長(zhǎng)

為 ２?

∴ 這個(gè)曲邊三角形的面積 ＝ ２ × ３ ×

１

２

＋

(

６０π×４

３６０

－ ３ )×３ ＝ ２π－２ ３ .

８.３ １５ ９.１ １０.

１５

２

１１.

２π

３

１２.５ ２ －π

１３.４８ １４.

４π

３

－

３

４

１５.(１)①１.５?１ 或 ３?

②解答詳見(jiàn)解答?

③Ａ?

(２)①Ｓ ＝

１

２

ａ

２

(０≤０≤２)

１

２

(４－ａ)

２

(２<ａ≤４)

ì

?

í

?

?

?

?

??

?

②１ 或 ３.

專題 ６ 最值問(wèn)題

課前熱身

１.Ｃ ２.２ ５ －２ ３.３２

本課練習(xí)

１.Ｄ

２.解:(１)根據(jù)題意知?ｙ ＝ ５０－

ｘ－１２０

１０

?

即 ｙ ＝ －

１

１０

ｘ＋６２?

(２)根據(jù)題意得 Ｗ＝ (ｘ－２０)(－

１

１０

ｘ＋６２)

＝ －

１

１０

ｘ

２＋６４ｘ－１ ２４０

＝ －

１

１０

(ｘ－３２０)

２＋９ ０００?

∵ －

１

１０

<０?

∴ 當(dāng) ｘ ＝ ３２０ 時(shí)?Ｗ 取得最大值?最大值為

９ ０００?

此時(shí) ｙ ＝ －

１

１０

×３２０＋６２ ＝ ３０?

答:當(dāng)每間房?jī)r(jià)定價(jià)為 ３２０ 元/ 天時(shí)?賓館每

天所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是 ９ ０００ 元?此

時(shí)有 ３０ 個(gè)房間被游客入住.

３.３ ２ ４.６

５.解:(１)設(shè)租用甲種客車每輛 ｘ 元?租用乙種

客車每輛 ｙ 元?

根據(jù)題意可得

ｘ＋ｙ ＝ ５００?

２ｘ＋３ｙ ＝ １ ３００? {

解得

ｘ ＝ ２００?

ｙ ＝ ３００? {

∴ 租用甲種客車每輛 ２００ 元?租用乙種客車

每輛 ３００ 元.

(２)設(shè)租用甲種客車 ｍ 輛?則租用乙種客車

(８－ｍ)輛?租車總費(fèi)用為 ｗ 元?

根據(jù)題意可知? ｗ ＝ ２００ｍ ＋ ３００ ( ８ － ｍ) ＝

－１００ｍ＋２ ４００?

∵ １５ｍ＋２５(８－ｍ)≥１８０?

∴ ０<ｍ≤２?

∵ －１００<０?

∴ ｗ 隨 ｍ 的增大而減小?

∴ 當(dāng) ｍ ＝ ２ 時(shí)? ｗ 的 最 小 值 為 － １００ × ２ ＋

２ ４００ ＝ ２ ２００.

∴ 當(dāng)租用甲種客車 ２ 輛?租用乙種客車 ６

輛?租車總費(fèi)用最少為 ２ ２００ 元.

６.

１２

５

７.９ ８.Ｄ ９.

３

３

π １０.Ａ １１.

２５＋５ ５

２

?

?

?

?

?

?

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?

?

?

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?

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?

?

?

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?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

４５