第1頁
1
閔可夫斯基時空
與伽利略時空
周 方
tony_zf_zf_zf@126.com
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伽利略-周方變換 與“洛倫茲變換”—“伽利略時空”與“閔可夫斯基時空”
2 閔可夫斯基時空與伽利略時空 周 方 tony_zf_zf_zf@126.com 摘要 ‘閔可夫斯基時空’為‘只有一個觀測者’的“一人世界”，故其中只可能存在“恒等變換”（‘零’變換）（‘Null’Transformation）?！恪儞Q實際上就是‘無’變換。‘閔可夫斯基時空’為“恒等變換”之‘（單元素）集合’，故“恒等變換”屬于‘伽利略時空’?！だ詴r空’具有‘度規(guī)’，被包含于萬物所在的“宇宙時空”（不具有‘度規(guī)’的“絕對時空”）內(nèi)?！昂愕茸儞Q”適應(yīng)于“無多普勒效應(yīng)或多普勒效應(yīng)微不足道的（電磁波）有線傳輸或（光粒子）光纖傳輸”之場合，如通過顯微鏡、醫(yī)用內(nèi)窺鏡、（手持）望遠鏡等‘物鏡-目鏡’之間無相對運動（u = 0r ）的透視系統(tǒng)‘直接觀測’實時圖景。伽利略時空為‘至少有兩個觀測者’的“多人世界”，在“兩觀測者有相對運動（u ≠ 0r ）且真空中光傳播速率為有限值”的一般情況下，唯一的客觀存在的時空變換為“伽利略-周方變換”?！百だ?周方變換” 適應(yīng)于“有多普勒效應(yīng)的（光波，電磁波）無線傳輸”之場合，如通過‘太空望遠鏡’或‘太空飛船’、‘火星車’等‘物鏡-目鏡’之間有相對運...
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文本內(nèi)容
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閔可夫斯基時空與伽利略時空
周 方
tony_zf_zf_zf@126.com
摘要 ‘閔可夫斯基時空’為‘只有一個觀測者’的“一人世界”，故其中只可能存在
“恒等變換”（‘零’變換）（‘Null’Transformation）?！恪儞Q實際上就是‘無’變換。
‘閔可夫斯基時空’為“恒等變換”之‘（單元素）集合’，故“恒等變換”屬于‘伽利略
時空’?！だ詴r空’具有‘度規(guī)’，被包含于萬物所在的“宇宙時空”（不具有‘度規(guī)’
的“絕對時空”）內(nèi)?！昂愕茸儞Q”適應(yīng)于“無多普勒效應(yīng)或多普勒效應(yīng)微不足道的（電磁
波）有線傳輸或（光粒子）光纖傳輸”之場合，如通過顯微鏡、醫(yī)用內(nèi)窺鏡、（手持）望遠
鏡等‘物鏡-目鏡’之間無相對運動（u = 0
r ）的透視系統(tǒng)‘直接觀測’實時圖景。伽利略
時空為‘至少有兩個觀測者’的“多人世界”，在“兩觀測者有相對運動（u ≠ 0
r ）且真空
中光傳播速率為有限值”的一般情況下，唯一的客觀存在的時空變換為“伽利略-周方變換”。
“伽利略-周方變換” 適應(yīng)于“有多普勒效應(yīng)的（光波，電磁波）無線傳輸”之場合，如
通過‘太空望遠鏡’或‘太空飛船’、‘火星車’等‘物鏡-目鏡’之間有相對運動（u ≠ 0
v ）
的透視系統(tǒng)‘觀測’遙遠星系運動的實時圖景。此外，文中還首次揭示了“伽利略時空”
內(nèi)一條重要定律：“光傳播定律”— “伽利略時空”內(nèi)任意時空點（‘運動質(zhì)點’，‘閃光點’）
上的“光傳播時空彈性”恒等于 1?！肮鈧鞑ザ伞币卜Q為“真空中光傳播速率為恒定值定
律”或簡稱“光速不變性（絕對性）定律”— “在任意時空點（‘閃光點’），真空中光傳
播速率為恒定值 00
c = 1 μ ε ，乃是光的固有屬性，與光在哪個參考系內(nèi)進行傳播無關(guān)”。
這條定律為奠定“運動觀測論”的基礎(chǔ)定律。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
關(guān)鍵詞 時空 伽利略時空 相對論 狹義相對論 運動觀測論 伽利略-周方變換 伽利略變換
洛倫茲變換
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3
目 錄
第一章 “閔可夫斯基時空” 與“恒等變換”………………………………… (6)
一、“時空”與“時空變換”……………………………………………………… (6)
（一）“閔可夫斯基時空”與“恒等變換”………………………………………… (6)
二、實為“恒等變換”的“洛倫茲變換”………………………………………… (8)
（一）“洛倫茲變換”之導出 ……………………………………………………… (8)
（二）“洛倫茲變換”之性質(zhì)……………………………………………………… (13)
第二章 “伽利略時空” 與“伽利略-周方變換”…………………………… (16)
一、“光傳播定律”（Law of Light Propagation）………………………………… (16)
二、“伽利略時空”與“伽利略變換”…………………………………………… (17)
三、“伽利略-周方變換”之導出（A）…………………………………………… (22)
四、“伽利略-周方變換”之導出（B）…………………………………………… (24)
五、“伽利略-周方變換”之導出（C）…………………………………………… (26)
六、“伽利略-周方變換”之性質(zhì)………………………………………………… (28)
七、兩觀測者之間的‘相離運動’與‘相向運動’……………………………… (36)
（一）兩觀測者之間的相離運動………………………………………………… (37)
（二）兩觀測者之間的相向運動………………………………………………… (38)
八、（特殊）伽利略-周方變換計算示例…………………………………………… (39)
結(jié) 論 …………………………………………………………………………… (43)
參 考 文 獻 …………………………………………………………………… (50)
附錄 A: “速度、加速度及高階加速度不變性（絕對性）”定律 ………… (51)
附錄 B: “質(zhì)量不變性（絕對性）”定律 …………………………………… (53)
第4頁
4
1.伽利略時空
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
t
tr
,
)(
r
內(nèi)之諸定義：
（a） 系觀測者在時刻 觀測到運動質(zhì)點的位置記為 ≡ tx ),({ ty ),( tz })( 。 ?
?
?
?
?
?
t
tr )(
r
為‘ 系觀測者在時刻 觀測到運動質(zhì)點 時’指向該運動質(zhì)點 的“觀測矢量”
（Observation Vector）。 ?
?
?
?
?
?
t
tr )(
r
也稱為 系觀測者在時刻 的“時空點”，簡稱“ 系時
空點”。函數(shù) 為“ 系時空軌跡”。
（b） 系觀測者在時刻 觀測到運動質(zhì)點的位置記為 ≡ { ′(tx ′), ′(ty ′), ′ tz ′ })( 。
?
?
?
?
?
?
′
′ ′
t
r t )(
r
為‘ 系觀測者在時刻 觀測到運動質(zhì)點 時’指向該運動質(zhì)點 的“觀
測矢量”。 ?
?
?
?
?
?
′
′ ′
t
r t )(
r
也稱為 系觀測者在時刻 的“時空點”，簡稱“ 系時空點”。函數(shù)
為“ 系時空軌跡”。
2.（一維）伽利略時空
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
t
tx
,
)(
內(nèi)之諸定義：
（a） 、 分別為 系觀測者、 系觀測者所持‘時鐘’指示的‘時刻（讀數(shù)）’； 稱為
‘ 系時刻’， 稱為‘ 系時刻’。
（b） 、 分別為 系觀測者、 系觀測者所持‘量尺’指示的‘位置（讀數(shù)）’， 稱
為‘ 系坐標’， 稱為‘ 系坐標’。
（c） ′ tx ′)( 為 系觀測者在時刻 觀測到運動質(zhì)點所處的 系內(nèi)位置。
（d） tx )( 為 系觀測者在時刻 觀測到運動質(zhì)點所處的 系內(nèi)位置。
（e） ?
?
?
?
?
?
′
′ ′
t
tx )(
為 系觀測者在時刻 對運動質(zhì)點 ′ tx ′)( 的“觀測矢量”，即“ 系時空點”。
函數(shù) ′ tx ′)( 為“ 系時空軌跡”。
（f） ?
?
?
?
?
?
t
tx )(
為 系觀測者在時刻 對運動質(zhì)點 tx )( 的“觀測矢量”，即“ 系時空點”。函
K t tr )(
r
K t tr )(
r
tr )(
r
K t K
tr )(
r
K
K′ t′ r′ t′)(
r
K′ t′ ′ tr ′)(
r
r′ t′)(
r
K′ t′ K′
′ tr ′)(
r
K′
t′ t K′ K t′
K′ t K
x′ x K′ K x′
K′ x K
K′ t′ K′
K t K
K′ t′ K′
K′
K t K
第5頁
5
數(shù) tx )( 為“ 系時空軌跡”。
3.為了簡化書寫，略去自變量符號，即：
tx )( 、 ty )( 、 tz )( 、 tr )(
r 相應(yīng)地簡寫為 x 、 y 、 z 、 r
r ；
′ tx ′)( 、 y′ t′)( 、 ′ tz ′)( 、 ′ tr ′)(
r 相應(yīng)地簡寫為 x′、 y′ 、 z′、 r′
r ；
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
K
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6
第一章
“閔可夫斯基時空” 與“恒等變換”
一、“時空”與“時空變換”
“時空”（Space-time）是‘空間’（Space）與‘時間’（Time）相結(jié)合，容納萬物及其
活動過程于其中的‘場所’。筆者認為，在‘物理學’中，成為這種“場所”的必要條件是：
觀測者可以使用工具（‘時鐘’及‘量尺’）量測其中運動質(zhì)點（‘閃光點’）的‘位置’及
所處的‘時刻’。所以，只有‘一維’、‘二維’及‘三維’的‘歐氏空間’才能成為‘物理
學’中的“空間”。因此，在‘物理學’中，“時空”只能是觀測者可使用工具量測其中運
動質(zhì)點（‘閃光點’）的‘位置’及其所處‘時刻’的‘時間-空間’場所。只具有‘概念’
與相應(yīng)的‘定義’，而不具有“度規(guī)”（Metric）且只服從‘邏輯運算法則’（如：自反律、
反對稱律、傳遞律、交換律、結(jié)合律、分配律、De Morgan 定律等）的“時空”稱為“絕
對時空”，“宇宙時空”就是“絕對時空”。關(guān)于“絕對時空”的理論只涉及‘哲學’與‘邏
輯學’，而不涉及‘數(shù)學’與‘物理學’。
“時空變換”—“兩觀測者在各自時鐘所示時刻（t′與t ）‘同時’（t′ ≡ kt ， k > 0 ）
觀測到運動質(zhì)點”（構(gòu)成‘伽利略變換’）時，‘運動觀測者’的觀測矢量 ?
?
?
?
?
?
′
′ ′
t
r t )(
r
與‘靜止
觀測者’的觀測矢量 ?
?
?
?
?
?
t
tr )(
r
之間的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換關(guān)系稱為“時空變換”。
******************************************************************
（一）“閔可夫斯基時空”與“恒等變換”
（Minkowski Space-time & Identical Transformation）
閔可夫斯基時空 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
,
)(
,
)(
,
x )( y z
的一個重要特征是：
‘時刻τ ’具有‘排它性’，即：在任一時刻，運動質(zhì)點（‘閃光點’）只可被‘一個’觀測
者（運動質(zhì)點處的‘抵近觀測者’）觀測到。根據(jù)‘時刻τ ’的這一特點，閔可夫斯基時空
Min.ST （Minkowski Space-time）可定義為如下‘集合’：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
τ
τ
τ
,
r )(
r
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
? ′
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
τ
τ
τ
r (τ ) r )(
r r
第7頁
7
c
c
即：閔可夫斯基時空 Min.ST 是恒等變換 0
( ) )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
的‘（單元素）集合’。
恒等變換 0
( ) )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
又稱為‘零’變換（‘Null’ Transformation）。‘零’
變換實際上就是‘無’變換。所以，恒等變換 0
( ) )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
就是‘無’變換。
代表閔可夫斯基時空 Min.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等變換 的“世界線”
（World-line）示于圖 1。
x′(τ ′)，x τ )(
Min.ST 的“世界線”： x′(τ ′) = Φ(τ ′ ) = Φ τ )(
系時空點， 系時空點
x′(τ ′) = x τ )(
兩觀測者
τ ′,τ
τ ′,τ
圖 1 Min.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等變換 的“世界線”
K K′
Min.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等變換
（u
r 為兩觀測者之間的相對速度）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
τ
τ
τ
r (τ ) r )(
r r
第8頁
8
在圖 1 中，設(shè) x′(τ′) 為某個函數(shù)Φ(τ′ ) ： x′(τ′) = Φ(τ′ )
將 x′(τ′) = Φ(τ′ ) 代入圖中等式 x τ )( = x′(τ ′)，得：
τ ′ ≡ τ : x τ )( = Φ(τ′) = Φ τ )(
即：
x τ )( = Φ τ )(
代表閔可夫斯基時空 Min.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等變換 的“世界線”為：
閔可夫斯基時空 Min.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等變換 為“運動質(zhì)點
（‘閃光點’）只被‘一個’觀測者（‘閃光點’處的‘抵近觀測者’）觀測到”的“一人世
界”。
‘閔可夫斯基時空’為‘只有一個觀測者’的“一人世界”，故其中只可能存在“恒等
變換”（‘零’變換）。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
二、實為“恒等變換”的“洛倫茲變換”
（一）“洛倫茲變換”之導出
對‘全部方程都定義在閔可夫斯基時空 Min.ST 內(nèi)’的預(yù)設(shè)方程組（A）：
x′ = k(x ? uτ )
x = k(x′ + uτ ′)
(A)
x = cτ
x′ = cτ ′
進行聯(lián)立求解。
將 及 x = cτ x′ = cτ ′ 代入上面的方程 及 x′ = k(x ? uτ ) x = k(x′ + uτ ′) ，得：
通過兩觀測者‘重合點’的單一曲線
τ ′ ≡ τ :
x′(τ′) = Φ(τ′ )
x τ )( = Φ τ )(
第9頁
9
cτ ′ = (ck τ ? uτ )
cτ = (ck τ ′ + uτ ′)
兩式相乘，得：
ττ ′ = ( ? ) ττ ′
2 2 2 2
c k c u
系數(shù)k 必須為 k > 0 ，故在約束條件 0( )
2 2 2
< c ? u ≤ c ? 0( )
2 2
≤ u < c 下約去等式兩
邊的ττ ′，得：
2
2
2 2 2
2
1
1
c
k
c u u
c
= =
?
?
從而得：
2
2
1
1
k
u
c
=
?
s.t.
2 2
0 ≤ u < c
（1）將
2
2
1
1
k
u
c
=
?
代入方程 x′ = k(x ? uτ ) ，得：
空間變換式
2
2
1
c
u
x u
x
?
?
′ =
τ
（2）將
2
2
1
c
u
x u
x
?
?
′ =
τ 代入方程 x′ = cτ ′ ，得；
c
x′
τ ′ = ?
?
?
?
?
?
?
?
? =
?
?
?
?
?
?
?
=
c
x
c
u
c
c u
u
c
x
c
u
τ τ
2
2
2
2
1
1
1
1
即： 時間變換式
2
2
2
1
c
u
c
ux
?
?
′ =
τ
τ
第10頁
10
這樣，就得出洛倫茲變換
?
?
?
?
?
?
?
?
′ = ,
1 2
2
c
u
x u
x
τ
?
?
?
?
?
?
≤ <
?
?
′ =
2 2
2
2
2
0
1
u c
c
u
c
ux
τ
τ
但是，洛倫茲變換的這種表達形式
?
?
?
?
?
?
?
?
′ = ,
1 2
2
c
u
x u
x
τ
?
?
?
?
?
?
≤ <
?
?
′ =
2 2
2
2
2
0
1
u c
c
u
c
ux
τ
τ 還不是最
終的時空變換表達式，它仍舊是一個需待‘求解’的聯(lián)立方程組，還必須進一步‘求解’聯(lián)
立方程組
?
?
?
?
?
?
?
?
′ = ,
1 2
2
c
u
x u
x
τ
?
?
?
?
?
?
≤ <
?
?
′ =
2 2
2
2
2
0
1
u c
c
u
c
ux
τ
τ ，才可得到時空變換的最終表達式 —
“兩觀測者‘同時’（τ′ ≡ kτ ）觀測到運動質(zhì)點”（構(gòu)成‘伽利略變換’）時，‘運動觀測者’
的觀測矢量 ?
?
?
?
?
?
′
′ ′
τ
x (τ )
與‘靜止觀測者’的觀測矢量 ?
?
?
?
?
?
τ
τ
k
(kx )
之間的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換關(guān)系。
為此，記 k
c
u
=
? 2
2
1
1 ，將方程組
?
?
?
?
?
?
?
?
′ = ,
1 2
2
c
u
x u
x
τ
?
?
?
?
?
?
≤ <
?
?
′ =
2 2
2
2
2
0
1
u c
c
u
c
ux
τ
τ 換寫成如
下形式：
x′ = k(x ? uτ ) = kx ? kuτ
τ τ x kτ
c
ku
c
ux k ? = ? +
?
?
?
?
?
′ = ? 2 2
得： ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
? +
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
? +
?
=?
?
?
?
?
?
′
′
τ
τ
τ
τ
τ
τ
x
c
u
u
k
x
c
u
x u
k
x k
c
ku
kx ku x
1
1
2 2 2
求逆變換式：
kx ? kuτ = x′
? + τ = τ ′
?
?
?
?
?
? x k
c
ku
2
解方程組：
第11頁
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
′ + ′
=
?
′ + ′
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
′
′ ?
=
2
2
2
22
2
2
1
c
u
k
x u
c
k u
k
xk ku
k
c
ku
k ku
k
x ku
x
τ τ τ
τ ′
?
?
?
?
?
?
?
?
?
′ +
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
2
2
2
2
1 1
1
c
u
k
u
x
c
u
k
?
?
?
?
?
?
?
?
?
′ + ′
=
?
′ + ′
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ′
′
=
2
2
2
2
22
2
2
2
2
1
c
u
k
x
c
u
c
k u
k
x
c
ku k
k
c
ku
k ku
c
ku
k x
τ τ τ
τ τ ′
?
?
?
?
?
?
?
?
?
′ +
?
?
?
?
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2
2
2
2
1
1
1
c
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k
x
c
u
k
c
u
得：
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′
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x
c
u
u
c
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k
c
u
k
c
u
c
u
k
u
c
u
k
x
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1
1
1
1
1
1
1 1
1
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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τ τ
x
c
u
u
c
u
k
x
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1
1
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2
2
于是得：
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′
τ τ
x
c
u
u
k
x
1
1
2
逆變換式：
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′
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τ τ
x
c
u
u
c
u
k
x
1
1
1
1
2
2
2
第12頁
12
（a）將正變換與逆變換綜合，得：
?
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c
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u
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τ τ
τ
x x
c
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c
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x
c
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c
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c
u
0 1
1 0
0 1
1 0
1
1
1
0 1
1 0
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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′
′
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′
′
τ τ
x x
即：
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′
′
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′
′
τ τ
x x
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
（b）同理，將逆變換與正變換綜合，得：
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即：
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x
c
u
c
u
c
u
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2
2
2
2
2
0 1
1 0
1
1
第13頁
13
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x x
c
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x x
即：
≡ 0 ?
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?
τ τ
x x
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
故有： = 0 ?
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′
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′
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x x x x
即： = 0 ?
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′
′
≡?
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′
τ τ τ τ
x x x x
于是，得： 恒等變換 = 0 ?
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?
≡?
?
?
?
?
?
′
′
u
x x
τ τ
由于閔可夫斯基時空 Min.ST 為“一人世界”，在閔可夫斯基時空 Min.ST 內(nèi)只可能存
在“恒等變換”（‘零’變換），所以必然得：
******************************************************************
（二）“洛倫茲變換”之性質(zhì)
預(yù)設(shè)方程組（A）的‘完整解’為：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
≤ < = ′ = ′
?
?
′ =
?
?
′ = τ τ
τ
τ
τ
u c x c x c
c
u
c
ux
c
u
x u
x 0 , ,
1
,
1
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2
2
2
2
2
c
洛倫茲變換 2 2
2
2
2
2
2
0
1
,
1
u c
c
u
c
ux
c
u
x u
x ≤ <
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′ =
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?
′ =
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τ
τ
? 恒等變換 = 0 ?
?
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?
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?
≡?
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?
?
′
′
u
x x
τ τ
第14頁
14
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= = ′ = ′
?
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≡?
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′
τ τ
τ τ
u x c x c
x x 恒等變換 ,0 ,
c
?
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?
≡ =
′
′
c
x x
τ τ
很明顯，恒等變換
?
?
?
?
?
?
≡ =
′
′
c
x x
τ τ
自然可使（建立在閔可夫斯基時空 Min.ST 內(nèi)的）
Maxwell 電磁方程組中的‘電磁波不變性’獲得驗證，即：
?
?
?
?
?
?
≡ =
′
′
c
x x
τ τ ?
?
?
?
?
?
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≡
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?
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2
2
2 2
2
2
2
2 2
2
τ
φ
ξ
φ
τ
φ
ξ
φ
c c
即： { 0}
2 22 2 22
x′ ? c τ′ ≡ x ? c τ =
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
≡
? ′
?
?
? ′
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0
1 1
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2
τ
φ
ξ
φ
τ
φ
ξ
φ
c c
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
閔可夫斯基時空 Min.ST 內(nèi)的恒等變換
?
?
?
?
?
?
≡ =
′
′
c
x x
τ τ
示于圖 2。
?
?
第15頁
15
x′(τ ′)，x(τ )
c
x x
≡ =
′
′
τ τ
x′(τ ′) = x(τ )
觀測者 τ ′，τ
τ ′，τ
圖 2 兩觀測者的觀測矢量 ?
?
?
?
?
?
τ
cτ 與 ?
?
?
?
?
?
′
′
τ
cτ
圖 2 中，恒等變換
?
?
?
?
?
?
=
′
′
≡ c
x x
τ τ
描述的過程是：“一直靜止在重合點的兩觀測者在每
一時刻‘同時’（τ ′ ≡ τ ≥ 0 ）觀測到運動質(zhì)點 E ”，示于圖 3。
x′(τ ′) = cτ ′
兩觀測者
運動質(zhì)點
x
′
x
圖 3 兩觀測者在每個時刻‘同時’（τ ′ ≡ τ ≥ 0 ）觀測到運動質(zhì)點 E
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
E
第16頁
16
第二章
“伽利略時空” 與“伽利略-周方變換”
一、“光傳播定律”（Law of Light Propagation）
“光傳播定律”也稱為“真空中光傳播速率為恒定值定律”（Law of constancy of light
propagation velocity），或簡稱“光速不變性（絕對性）定律”— “在任意時空點 ?
?
?
?
?
?
t
tr )(
r
（運
動質(zhì)點，‘閃光點’），真空中光傳播速率為恒定值（ 00
c = 1 μ ε ），乃是光的固有屬性，
與光在哪個參考系內(nèi)進行傳播無關(guān)”。
在任意時空點 ?
?
?
?
?
?
t
tr )(
r
（‘閃光點’），‘光的傳播’滿足“各向同性”性質(zhì)：在某個時刻，
某個‘光源’發(fā)出‘光波’，以‘光粒子作群體波動’的方式（表現(xiàn)出‘波粒二重性’）向四
周傳播，致使‘波陣面’（球面）上的所有各點（‘光粒子’）在傳播中不斷地成為‘次生光
源’，各自發(fā)出‘光波’，‘光的傳播’按此種方式進行下去，其效應(yīng)為：‘波陣面’（球面）
上的所有各點（‘光粒子’）均以同一速率 1 .
00
c = μ ε = const 作徑向運動：
tr )( = ct
r
， 1 .
00
c = μ ε = const
（ 為真空中光傳播速率）
沿‘閃光點’四周任意方向（ x ）上，光波皆以平面波形式進行傳播，故有：
tx )( = ct ， （ 為真空中光傳播速率）
故有： ln tx )( = lnc + lnt
d ln tx )( = d ln t
即： 1
ln
ln )(
= =
d t
d tx
xt ε
即：沿‘閃光點’四周任意方向（ x ）上的“光傳播時空彈性（Space-Time Elasticity of Light
Propagation）”恒為 1：
因此，有：
c
c = const. c
1
ln
ln )(
= =
d t
d x t
xt ε
第17頁
17
“光傳播定律”（Law of Light Propagation）：
觀測者在時刻t 對運動質(zhì)點（‘閃光點’）的觀測矢量 ?
?
?
?
?
?
t
tx )(
示于圖 4。
tx )(
?
?
?
?
?
?
=?
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=?
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kt
x kt
kt
kx t
t
tx
k
)( )( ( )
kx t)( x(kt)
tx )( 運動質(zhì)點
?
?
?
?
?
?
t
tx )(
觀測者
kt
圖 4 觀測者對運動質(zhì)點的觀測矢量 ?
?
?
?
?
?
t
tx )(
增至 ?
?
?
?
?
?
t
tx
k
)(
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
二、“伽利略時空”與“伽利略變換”
伽利略時空
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
t
tr
,
)(
r
? 的一個重要特征是：‘時刻
t ’不具‘排它性’，即：在任一時刻，運動質(zhì)點（‘閃光點’）可以被‘至少兩個’觀測者 “同
時”（t kt k f (u)
r
′ ≡ , = ，u
r 為兩觀測者之間的相對速度）觀測到。
根據(jù)‘時刻 t ’的這一特性，伽利略時空Gal.ST （Galilean Space-time）可定義為
t t
?
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t
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,
)(
,
)(
,
)(
?及
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kt
x kt
t
tx
k
)( ( )
Q ?
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kt
kx t
t
tx
k
)( )(
∴ x(kt) = kx t)(
?
?
?
?
?
?
t
tx )(
為觀測者在時刻t 對運動質(zhì)點（‘閃光點’）的觀測矢量
第18頁
18
如下‘集合’：
即：伽利略時空Gal.ST 是伽利略變換 ( ), 0
)( ( )
= ≥ ?
?
?
?
?
? ? ?
=?
?
?
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?
?
′
′′
k f u u
kt
r kt u kt
t
r t r r
r r r
為‘元
素’的‘集合’。
代表伽利略時空 Gal.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ≥ ?
?
?
?
?
? ? ?
=?
?
?
?
?
?
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略變換
的“世界線”（World-line）示于圖 5。
x′ t′ x(, )( kt)
系時空點
Gal.ST 的“世界線”
tu ′ ≡ u ? kt
系時空點
x(kt)
x′ t′)( = x(kt) ? u ? kt
兩觀測者
t′,kt
t′,kt
圖 5
??
?
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?
??
?
?
?
= ≥ ?
?
?
?
?
? ? ?
=?
?
?
?
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?
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略變換 的“世界線”
在圖 5 中，設(shè) x(kt) 為某個函數(shù)Φ(kt) ： x(kt) = Φ(kt)
將 x(kt) = Φ(kt) 代入等式 x′ t′)( = x(kt) ? u ? kt ，得：
t′ ≡ kt : x′ t′)( = Φ(kt) ? u ? kt
= Φ t′)( ? u ? t′
K
K′
Gal.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ≥ ?
?
?
?
?
? ? ?
=?
?
?
?
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?
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略變換
第19頁
19
即： x′ t′)( = Φ t′)( ? tu ′
代表伽利略時空 Gal.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ≥ ?
?
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?
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? ? ?
=?
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?
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′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略變換
的“世界線”為：
伽利略時空 Gal.ST ??
?
?
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??
?
?
?
= ≥ ?
?
?
?
?
? ? ?
=?
?
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?
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略變換
為“運動質(zhì)點（‘閃光點’）可被至少兩個觀測者（‘閃光點’處的‘抵近觀測者’與至少一
個離開‘閃光點’的‘遠處觀測者’）‘同時’觀測到”的“多人世界”。
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
小結(jié)
（1）根據(jù)閔可夫斯基時空 Min.ST 內(nèi)‘時刻τ 有排它性’之特點，閔可夫斯基時空 Min.ST
（Minkowski Space-time）可定義為如下‘集合’：
即：閔可夫斯基時空 Min.ST 是恒等變換 0
( ) )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
為‘元素’的‘（單元素）
集合’。
恒等變換 0
( ) )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
又稱為‘零’變換（‘Null’ Transformation）?！恪?/p>
變換實際上就是‘無’變換。
閔可夫斯基時空 Min.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等變換 為“運動質(zhì)點只
通過兩觀測者‘重合點’的呈簇狀的多條相似曲線
t′ ≡ kt
x(kt) = Φ(kt)
x′ t′)( = Φ t′)( ? tu ′
Min.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等變換
（u
r 為兩觀測者之間的相對速度）
第20頁
20
被‘一個’觀測者（‘閃光點’處的‘抵近觀測者’）觀測到”的“一人世界”。
（2）根據(jù)伽利略時空Gal.ST 內(nèi)‘時刻t 無排它性’之特點，伽利略時空Gal.ST（Galilean
Space-time）可定義為如下‘集合’：
即：伽利略時空Gal.ST 是伽利略變換 ( ), 0
)( ( )
= ≥ ?
?
?
?
?
? ? ?
=?
?
?
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′
′′
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
為‘元素’
的‘集合’。
伽利略時空 Gal.ST ??
?
?
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??
?
?
?
= ≥ ?
?
?
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?
? ? ?
=?
?
?
?
?
?
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略變換
為“運動質(zhì)點（‘閃光點’）可被至少兩個觀測者（‘閃光點’處的‘抵近觀測者’與至少一
個離開‘閃光點’的‘遠處觀測者’）‘同時’觀測到”的“多人世界”。
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
將圖 1 與圖 5 重疊在一起，即得閔可夫斯基時空 Min.ST 的“世界線”與伽利略時空
Gal.ST 的“世界線”之間的關(guān)系，示于圖 6。
x′ t′ x(, )( kt)
Gal.ST（多人世界）的“世界線”— 一簇相似曲線
x(kt)
tu ′
Min.ST（一人世界）的“世界線”
′ tx ′)(
兩觀測者
t′,kt
t′,kt
圖 6 Min.ST 的“世界線”與 Gal.ST 的“世界線”之關(guān)系
Gal.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ≥ ?
?
?
?
?
? ? ?
=?
?
?
?
?
?
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略變換
第21頁
21
顯然，有：
因為 Min.ST 為恒等變換 0
( ) )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
的‘（單元素）集合’，故有：
從而有：
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
恒等變換 0
( ) )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
∈ Gal.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ≥ ?
?
?
?
?
? ? ?
=?
?
?
?
?
?
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略變換
恒等變換 0
)( )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
? 伽利略變換 ( ), 0
)( ( )
= = ?
?
?
?
?
? ? ?
=?
?
?
?
?
?
′
′′
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
Min.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等變換
? Gal.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ≥ ?
?
?
?
?
? ? ?
=?
?
?
?
?
?
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略變換
? “宇宙時空”（“絕對時空”）
第22頁
22
三、“伽利略-周方變換”之導出（A）
（1）在 時， K′系觀測者（ K′系原點）與 K 系觀測者（ K 系原點）相重合。
（2）在 ， 時， K′系相對于 K 系始終作速度為u
r 的平移運動。
（3）兩觀測者持有相同的‘時鐘’及相同的‘量尺’。
在時刻t′ ，K′系觀測者對 K 系觀測者的距離為 tu ′
r ，在此時刻，處在 K 系觀測者前方
的 K′系觀測者率先觀測到運動質(zhì)點（ K′系時空點）。如果光傳播速度為‘無窮大’，則兩
觀測者將‘同時’（t′ ≡ t ）觀測到運動質(zhì)點，構(gòu)成“伽利略變換”。“伽利略變換”的 K′ 系
時空點與 K 系時空點示于圖 7。
K′ 系時空點
K′系觀測者
K 系時空點
tu ′
r
K 系觀測者
圖 7 “伽利略變換”的 K′系時空點與 K 系時空點
可是，由于光傳播速度為‘有限值c ’（ 00
c = 1 μ ε ），所以，與 K′系觀測者的距離
為 tu ′
r 的 K 系觀測者不能在時刻t′ 與 K′系觀測者‘同時’觀測到運動質(zhì)點，而只能在延后
于時刻t′ 的時刻 t
c
u
c
tu
t t ′
?
?
?
?
?
?
?
?
= +
′
= ′+
r r
1 與 K′系觀測者‘同時’觀測到運動質(zhì)點。
根據(jù)“光傳播定律”，有：
??
?
?
?
??
?
?
?
? ′
?
?
?
?
?
?
?
?
′ + t
c
u
t
r
變?yōu)?1 ?
??
?
?
?
??
?
?
?
? ′
?
?
?
?
?
?
?
?
′ + tu
c
u
tu
r
r
r 變?yōu)?1 ?
??
?
?
?
??
?
?
?
? ′
?
?
?
?
?
?
?
?
′ + r
c
u
r
r
r
r 變?yōu)?1
?
??
?
?
?
??
?
?
?
? ′ + ′
?
?
?
?
?
?
?
?
( ′ + ′) 1 + (r tu )
c
u
r tu
r r
r
r r 變?yōu)?/p>
“伽利略-周方變換”的 K 系時空點示于圖 8。
t′ = t = 0
t′ t ≥ 0
r ′
r
r′ + tu ′
r r
第23頁
23
（伽利略變換的 系時空點）
伽利略-周方變換的 系時空點
系觀測者
系時空點
1 (r tu )
c
u
r ′ + ′
?
?
?
?
?
?
?
?
= +
r r
r
r
系觀測者
圖 8 “伽利略-周方變換”的 系時空點
從圖 8 可得伽利略-周方變換：
1 (r tu )
c
u
r ′ + ′
?
?
?
?
?
?
?
?
= +
r r
r
r
t
c
u
t ′
?
?
?
?
?
?
?
?
= +
r
1
可以表示為：
?
?
?
?
?
?
′
′ + ′
?
?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
t
r tu
c
u
t
r
r r r r
1
逆變換為：
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′
?
t
r tu
c
u
t
r
r r 1 r r
1
伽利略-周方變換 為“（一般）伽利略-周方變換”（General
Galilean-Zhou Transformation），可表為：
K
K
K ′
tu
c
u
′
?
?
?
?
?
?
?
?
+
r
r
1 r ′
r
tu ′
r
K ′
r′ + tu ′
r r
K
K
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′
?
t
r tu
c
u
t
r
r r 1 r r
1
第24頁
24
在（一維）伽利略時空之場合下，“伽利略-周方變換”表為：
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′
?
t
x ut
c
u
t
x
1
1
于是，就得到伽利略-周方變換：
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′
?
t
x ut
c
u
t
x
1
1
或表為：
c
u
x ut
x
+
?
′ =
1
c
u
t
t
+
′ =
1
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
四、“伽利略-周方變換”之導出（B）
從標準的‘空間變換式’出發(fā)進行演繹推導。
“時空變換”的數(shù)學表達式必須反映以下物理事實：
（1）在 時， K′系觀測者（ K′系原點）與 K 系觀測者（ K 系原點）相重合。
（2）在 ， 時， K′系相對于 K 系做速度為u 的平移運動。
（3）兩觀測者持有相同的‘時鐘’及相同的‘量尺’。
t′ = t = 0
t′ t ≥ 0
逆變換式：
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′
?
t
x ut
c
u
t
x
1
1
?
?
?
?
?
?
′
′+ ′
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
t
x tu
c
u
t
x
1
（一般）伽利略-周方變換
（General Galilean-Zhou Transformation）
,
1
c
u
r tu
r r
r r
r
+
?
′ =
c
u
t
t r
+
′ =
1
第25頁
25
因此，‘空間變換式’必須描述如下事實：“ 系內(nèi) 之點就是 系之原點 ”。
相應(yīng)地，‘空間變換式’必須是‘方程 ， k > 0 ’。下面就從這個標準的‘空
間變換式’ x′ = k(x ? ut) ，k > 0 ’出發(fā)進行演繹，推導出客觀存在的‘時空變換’。
空間變換式 x′ = k(x ? ut) 的‘逆函數(shù)’為：
( )
1
x kut
k
ut
k
x
x + = ′ +
′
=
即：
( )
1
( )
1
x tu
k
x kut
k
x = ′ + = ′ + ′
t
k
t = ′
1
換寫成矩陣形式：
?
?
?
?
?
?
′
′ + ′
=?
?
?
?
?
?
t
x tu
t k
x 1
由此得到‘互為正、逆函數(shù)’的兩組方程：
?
?
?
?
?
?
′
′ + ′
=?
?
?
?
?
?
t
x tu
t k
x 1
， ?
?
?
?
?
? ?
=?
?
?
?
?
?
′
′
t
x ut
k
t
x
下面確定系數(shù) 。
在某個時刻 ， 系觀測者觀測到運動質(zhì)點，形成觀測矢量 ?
?
?
?
?
?
′
′
t
x
，由于光傳播速率
為有限值（ 仟米/秒），故在同一時刻 ，與 系觀測者的距離為 的 系觀
測者尚不能觀測到該運動質(zhì)點。直到 系觀測者發(fā)出光波（電磁波）信號的時刻 之后的
時刻 ： ， 系觀測者才觀測到該運動質(zhì)點。故有關(guān)系式：
將方程組中的關(guān)系式 t
k
t = ′
1 與此關(guān)系式 t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+ 相對照，得 。
將
1
1
?
?
?
?
?
?
?
= +
c
u
k 代入上面的兩組方程 ?
?
?
?
?
?
′
′ + ′
=?
?
?
?
?
?
t
x tu
t k
x 1
， ?
?
?
?
?
? ?
=?
?
?
?
?
?
′
′
t
x ut
k
t
x ，得伽利略周方變換：
K x = ut K′ x′ = 0
x′ = k(x ? ut)
k
t′ K′ c
5
c ≈ 0.3 ×10 t′ K′ tu ′ K
K′ t′
t
c
tu
t t
′
= ′ + K
t
c
u
c
tu
t t ? ′
?
?
?
?
?
= +
′
= ′ + 1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
= +
c
u
k
第26頁
26
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
五、“伽利略-周方變換”之導出（C）
我們還可以更簡捷地推導出伽利略-周方變換 ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
t
tx ut
c
u
t
tx )(
1
)(
1
。
(1)在時刻 t′ :
tx ′)( = tu ′ + ′ tx ′)(
(2) 在時刻 1 t :
c
u
c
tu
t t ? ′
?
?
?
?
?
= +
′
= ′ + tx )( = ut + ′ tx )(
1 1( t )
c
u
t x
c
u
u ? ′
?
?
?
?
?
? ′ + ′ +
?
?
?
?
?
= +
根據(jù)“光傳播定律”得： )( 1 1 tx )(
c
u
t
c
u
tx u ? ′′
?
?
?
?
?
? ′ + +
?
?
?
?
?
= + 1 [ tu (tx )]
c
u
? ′ + ′′
?
?
?
?
?
= +
于是，得：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ′
?
?
?
?
?
+
? ′ + ′′
?
?
?
?
?
+
=?
?
?
?
?
?
t
c
u
tu tx
c
u
t
tx
1
1 [ ( )] )(
即“伽利略-周方變換”：
逆變換式：
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′
?
t
x ut
c
u
t
x
1
1
?
?
?
?
?
?
′
′+ ′
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
t
x tu
c
u
t
x
1
?
?
?
?
?
?
′
′ ′ + ′
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
t
x t tu
c
u
t
tx )(
1
)(
逆變換式：
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
t
tx ut
c
u
t
tx )(
1
)(
1
第27頁
27
伽利略-周方變換 ?
?
?
?
?
?
′
′ ′ + ′
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
t
tx tu
c
u
t
tx )(
1
)(
的 K′ 系時空點 ?
?
?
?
?
?
′
′ ′
t
tx )( 與 K 系時空點
?
?
?
?
?
?
t
tx )(
示于圖 9。
x′(t′); tx )(
K 系時空點 )( 1 [ tx )( tu ]
c
u
tx ? ′′ + ′
?
?
?
?
?
= +
tu
c
u
? ′
?
?
?
?
?
1+
K′系時空點
′ tx ′)( 1 tx )(
c
u
? ′′
?
?
?
?
?
+
；
t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+
圖 9 伽利略-周方變換的 K′系時空點 ?
?
?
?
?
?
′
′ ′
t
tx )( 與 K 系時空點 ?
?
?
?
?
?
t
tx )(
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
伽利略-周方變換的“速度變換式”——
將
c
u
t
t
+
′ =
1
代入
c
u
tx ut
tx
+
?
′′ =
1
)(
)( ：
c
u
t
u
c
u
t
x
c
u
t
x
+
?
+
=
+
′
1
)
1
) (
1
(
′ tx ′)( = tx ′)( ? tu ′
即： tx ′)( = ′ tx ′)( + tu ′
tu ′
t′
c
tu ′
t t′ t
第28頁
28
在伽利略時空內(nèi)，有：
t ≡ t′: tx )( = ′ tx ′)( + tu ′
dt
td
tu
dt
d
dt
td
dt
txd
dt
dx t ′
′
′
+
′
′
′ ′
= ( )
)( )(
得： u
dt
txd
dt
dx t
+
′
′ ′
=
)( )(
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
六、“伽利略-周方變換”之性質(zhì)
（A）伽利略-周方變換之‘正’變換 ——
將 x = ct 代入 ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′
?
t
x ut
c
u
t
x
1
1 ，得：
c tu
c
u
x ut
c
u
x 1 ( ) 1 ( )
1 1
? ?
?
?
?
?
?
? ? = +
?
?
?
?
?
′ = +
? ?
t
c
u
t
1
1
?
?
?
?
?
?
?
′ = +
將 t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+ 代入，得：
t c tu tc tu
c
u
c u
c
u
c tu
c
u
x ? ′ = ? ′ = ′ ? ′
?
?
?
?
?
? ? +
?
?
?
?
?
? ? = +
?
?
?
?
?
′ = +
? ?
1 ( ) 1 ( 1) ( )
1 1
（B）伽利略-周方變換之‘逆’變換 ——
將 x′ = (c ? )tu ′ 代入 ?
?
?
?
?
?
′
′+ ′
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
t
x tu
c
u
t
x
1 ，得：
tc
c
u
c tu tu
c
u
x tu
c
u
x ? ′
?
?
?
?
?
? ? ′ + ′ = +
?
?
?
?
?
? ′ + ′ = +
?
?
?
?
?
= 1+ ( ) 1 [( ) ] 1
t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+
u
dt
txd
dt
dx t
+
′
′ ′
=
)( )( （矢量合成三角形）
第29頁
29
將 t
c
u
t
1
1
?
?
?
?
?
?
?
′ = + 代入，得： t ct
c
u
c
c
u
tc
c
u
x ? =
?
?
?
?
?
? +
?
?
?
?
?
? ′ = +
?
?
?
?
?
= +
?1
1 1 1
綜合上述（A）及（B）之變換，可得：伽利略-周方變換{x = ct, x′ = (c ? )tu ′}。
伽利略時空Gal.ST 內(nèi)的伽利略-周方變換{x = ct, x′ = (c ? )tu ′}示于圖 10。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
′′ +
?
t
c
u
tx x
1
)( ， 1
tx )( = ct
tx )(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
t
c
u
x
1
1
t
c
u
tu u
1
1
?
?
?
?
?
?
?
′ = +
?ABC
′ tx ′)( ′ tx ′)( = (c ? )tu ′ = tc ′ ? tu ′
t′， t
c
u
1
1
?
?
?
?
?
?
?
+
t
t′， t
c
u
1
1
?
?
?
?
?
?
?
+
圖 10 兩觀測者的觀測矢量 ?
?
?
?
?
?
t
ct 與 ?
?
?
?
?
?
′
′ ? ′
t
tc tu
（與圖 2 對照）在圖 10 中，在每個時刻 t
c
u
t
1
1
?
?
?
?
?
?
?
′ = + ，兩觀測者‘同時’觀測到運
動質(zhì)點（構(gòu)成‘伽利略變換’）。在此時刻t′，K′系觀測者的觀測矢量 ?
?
?
?
?
?
′
′ ′
t
tx )( 與 K 系觀測者
的觀測矢量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
t
c
u
t
c
u
x
1
1
1
1
通過兩觀測者之間的距離 t
c
u
tu u
1
1
?
?
?
?
?
?
?
′ = + 構(gòu)成‘矢量合成三
角形?ABC ’。
第30頁
30
根據(jù)“光傳播定律”，伽利略-周方變換 ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
t
tx ut
c
u
t
tx )(
1
)(
1
可表示為：
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
t
tx ut
c
u
t
tx )(
1
)(
1
?
?
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?
?
?
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?
?
?
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+
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? +
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?
?
+
=
?
? ?
t
c
u
t
c
u
t u
c
u
x
1
1 1
1
1 1
由此得：
伽利略-周方變換 0
)(
1
)(
1
≠ ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
u
t
tr tu
c
u
t
tr r
r r r r
實際上就是在‘兩觀測者有相對
運動且真空中光傳播速率為有限值（u > 0）’場合下，由于‘多普勒效應(yīng)’導致兩參考系
之間的‘時空度規(guī)比’發(fā)生變動而在每個時刻 t
c
u
t
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
′ = +
r
下形成的“伽利略變換”
0
1
1 1
)(
1
1 1
≥
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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+
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? +
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?
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?
?
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?
+
=?
?
?
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?
?
′
′′
?
? ?
u
t
c
u
t
c
u
t u
c
u
r
t
tr r
r
r
r
r
r
r
。
所以，伽利略時空Gal.ST 是伽利略-周方變換 0
)(
1
)(
1
≥ ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
u
t
tr tu
c
u
t
r t r
r r r r
為
‘元素’的‘集合’：
伽利略-周方變換 ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
t
tx ut
c
u
t
tx )(
1
)(
1
c
伽利略變換
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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+
?
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? +
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?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
+
=?
?
?
?
?
?
′
′′
?
? ?
t
c
u
t
c
u
t u
c
u
x
t
tx
1
1 1
1
1 1
)(
Gal.ST
??
?
?
?
??
?
?
?
≥ ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
?
0
)(
1
)(
1
u
t
tr tu
c
u
t
r t r
r r r r
伽利略 周方變換
第31頁
31
伽利略-周方變換
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
+
?
?
?
?
?
?
? +
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
=?
?
?
?
?
?
′
′′
?
? ?
t
c
u
t
c
u
t u
c
u
x
t
tx
1
1 1
1
1 1
)(
示于圖 11。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
′′ +
?
t
c
u
tx x
1
( ), 1
K 系時空點 )( 1 1 )(
1 1
tx
c
u
t
c
u
tx x
? ?
?
?
?
?
?
?
= +
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
′ = +
K′系時空點 tu ′ = t
c
u
u
1
1
?
?
?
?
?
?
?
+
t
c
u
t u
c
u
tx x
1 1
)( 1 1
? ?
?
?
?
?
?
?
? +
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
′′ = +
t
c
u
t
1
1,
?
?
?
?
?
?
?
′ + t
c
u
t
1
1,
?
?
?
?
?
?
?
′ +
圖 11 伽利略-周方變換
[( ) ] ( )
( ) ?
?
?
?
?
?
+
+ ? +
=?
?
?
?
?
?
′
′′
?
? ?
cu t
x cu t u cu t
t
tx
1
1 1
1
)( 1 1
伽利略-周方變換可表為時刻 t
c
u
t
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
′ = +
r
時的伽利略變換：
第32頁
32
伽利略-周方變換 ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′
?
t
x ut
c
u
t
x
1
1 的逆變換 ?
?
?
?
?
?
′
′ + ′
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
t
x tu
c
u
t
x
1 示于圖 12。
（與圖 3 對照）
1 (x tu )
c
u
x ? ′ + ′
?
?
?
?
?
= + ， t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1 +
tu ′
K 系觀測者 x′
u
K′系觀測者
運動質(zhì)點 系
系
圖 12 伽利略-周方變換 ?
?
?
?
?
?
′
′ + ′
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
t
x tu
c
u
t
x
1
伽利略-周方變換 ?
?
?
?
?
?
′
′ ′ + ′
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
t
tx tu
c
u
t
tx )(
1
)(
的 K′ 系時空點 ?
?
?
?
?
?
′
′ ′
t
tx )(
與 K 系時空點
?
?
?
?
?
?
t
tx )(
示于圖 13。
E K ′
x
′
K
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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+
?
?
?
?
?
?
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?
? +
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
=?
?
?
?
?
?
′
′′
?
? ?
t
c
u
t
c
u
t u
c
u
r
t
r t
1
1 1
1
1 1
)(
r
r
r
r
r
r
逆變換為：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
′
?
?
?
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?
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+
′
?
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+ +
?
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′
?
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′ +
=?
?
?
?
?
?
t
c
u
t
c
u
t u
c
u
r
t
tr
r
r
r
r
r
r
1
1 1
)(
第33頁
33
x′(t′); tx )(
K 系時空點 )( 1 [ tx )( tu ]
c
u
tx ? ′′ + ′
?
?
?
?
?
= +
K′系時空點
x′ t′)( = tx ′)( ? tu ′
；
t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+
圖 13 伽利略-周方變換的 K′系時空點 ?
?
?
?
?
?
′
′ ′
t
tx )( 與 K 系時空點 ?
?
?
?
?
?
t
tx )(
解讀圖 13：（參看圖 11、圖 12）
（1）在t′，t ≥ 0 時， K′ 系對 K 系沿 軸正方向始終作速度為 的相對運動。
（2）在時刻t′，運動質(zhì)點（閃光點）在 K′系內(nèi)的位置為 x′ t′)( = tx ′)( ? tu ′ ，而此時 K′系
觀測者在 K 系內(nèi)的位置為 tu ′，故運動質(zhì)點（閃光點）在 K 系內(nèi)的位置為 tx ′)( = ′ tx ′)( + tu ′ 。
若不考慮光的傳播速率（或假設(shè)光以無窮大之速率進行傳播），則在 K′系觀測者‘接收’并
‘發(fā)出’運動質(zhì)點信息之時刻t′， K 系觀測者可以與在他前方距離為 tu ′的 K′系觀測者同
時觀測到該運動質(zhì)點（閃光點）?？墒?，因為光的傳播速率為有限值，所以 K 系觀測者在時
刻 t′ 尚不能與 K′ 系觀測者同時觀測到該運動質(zhì)點，而只能在滯后于時刻 t′ 的時刻
t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+ 觀測到該運動質(zhì)點。根據(jù)“光傳播定律”，伽利略時空內(nèi)任意時空點 ?
?
?
?
?
?
t
tx )(
的
tu ′
t′
c
tu ′
t t′ t
x(x′) u
第34頁
34
“傳播時空彈性”恒為 1
ln
ln )(
= =
d t
d tx
xt ε ，故在延遲時刻 t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+ ，運動質(zhì)點（閃光
點）在 K 系內(nèi)的位置相應(yīng)地為 )( 1 [x t )( tu ]
c
u
tx ? ′′ + ′
?
?
?
?
?
= + 。
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
下面驗證，伽利略-周方變換滿足“相對性原理”：
取伽利略-周方變換 ?
?
?
?
?
?
′
′ + ′
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
t
x tu
c
u
t
x
1 ， 記 k
c
u
? = ′
?
?
?
?
?
1+ ，則伽利略-周方變換
?
?
?
?
?
?
′
′ + ′
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
t
x tu
c
u
t
x
1 可以換寫成方程組：
x = k′(x′ + tu ′)
t = ′tk ′
求‘逆函數(shù)’：
′xk ′ + ′ tuk ′ = x
0x′ + ′tk ′ = t
( )
1
0
x ut
k
k
k uk
t k
x uk
x ?
′
=
′
′ ′
′
′
′ =
t
k
k
k uk
t
k x
t
′
=
′
′ ′
′
′ =
1
0
0
?
?
?
?
?
? ?
′
=?
?
?
?
?
?
′
′
t
x ut
t k
x 1
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′
?
t
x ut
c
u
t
x
1
1
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
第35頁
35
計 算 示 例 ： 設(shè) K′ 系 時 空 軌 跡 為 ′ tx ′)( =1+ sin t′ ， 代 入 伽 利 略 - 周 方 變 換
的方程組： )( 1 [ tx )( tu ]
c
u
tx ? ′′ + ′
?
?
?
?
?
= + 及 t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+ ，則 K
系時空軌跡為：
1 1( sin t tu )
c
u
x ? + ′ + ′
?
?
?
?
?
= + tu
c
u
t
c
u
? ′
?
?
?
?
?
? + ′ + +
?
?
?
?
?
= 1+ 1( sin ) 1 t ut
c
u
? + ′ +
?
?
?
?
?
= 1+ 1( sin )
ut
c
u
t
c
u
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
? +
?
?
?
?
?
= +
1
1 1 sin 。
計算結(jié)果示于圖 14。
，
K 系時空軌跡： ut
c
u
t
c
u
x +
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
? +
?
?
?
?
?
= +
1
1 1 sin
K′系時空軌跡： x′ = 1 + sin t′ ， t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+
‘伽利略變換’的 K 系時空軌跡
1.0
；
圖 14 伽利略-周方變換下 K′系時空軌跡與 K 系時空軌跡之間的‘協(xié)變’
圖 13 與圖 14 展示了運動質(zhì)點（‘閃光點’）的 K′系時空軌跡 在伽利略-周
方變換下與 K 系時空軌跡 ‘協(xié)變’（‘形狀相似’）情況。
（1）由于 K′系觀測者與 K 系觀測者之間有相對運動（u ）且真空中光傳播速率為有限值
?
?
?
?
?
?
′
′ ′ + ′
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
t
tx tu
c
u
t
tx )(
1
)(
x x′
1
u
c
+
1
u
c
+
t t′
x t ′ ′ = +1 sin
1 1 sin
1
u t
x ut
c u
c
? ? ? ? ? ?
= + + + ? ?? ? ? ?? ? +
? ?
第36頁
36
（c ），因而使得從 K′系觀測者向 K 系觀測者傳播的波動產(chǎn)生‘多普勒效應(yīng)’（“紅移”）。
因此，在 K 系觀測者看來，K′系中的波動變慢至 ?
?
?
?
?
?
+
c
u
1 倍[ 即頻率變低至 ?
?
?
?
?
?
+
c
u
1 倍 ]，
這等同于波動周期變大至 ?
?
?
?
?
?
+
c
u
1 倍。
（2） K 系觀測者的 系時空點 ?
?
?
?
?
?
t
tx )(
滿足‘光傳播定律’：“光傳播時空彈性”為
1
ln
ln )(
= =
d t
d tx
xt ε ，所以，在 K 系觀測者看來， K′系中的波動周期變大至 ?
?
?
?
?
?
+
c
u
1 倍，
就使得波長與振幅均變大至 ?
?
?
?
?
?
+
c
u
1 倍。
總體情況是：在 K 系觀測者看來， K′系中的波動是：頻率變低至 ?
?
?
?
?
?
+
c
u
1 倍，即周期
變大至 ?
?
?
?
?
?
+
c
u
1 倍，致使波長及振幅均變大至 ?
?
?
?
?
?
+
c
u
1 倍。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
七、兩觀測者之間的‘相離運動’與‘相向運動’
在兩觀測者相對速度為 的場合下，（一般）伽利略-周方變換
（General Galilean-Zhou Transformation）的變換方程組 ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
t
tr tu
c
u
t
r t
r r r r
)(
1
)(
1
便成為以下形式的（特殊）伽利略-周方變換（Special Galilean-Zhou Transformation）：
K
u [u 0 0] const.
T
= =
r
1 (x tu )
c
u
x ? ′ + ′
?
?
?
?
?
= + ( )
1
1
x ut
c
u
x ?
+
′ =
y
c
u
y ? ′
?
?
?
?
?
= 1+ y
c
u
y
+
′ =
1
1
z
c
u
z ? ′
?
?
?
?
?
= 1+ z
c
u
z
+
′ =
1
1
t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+ t
c
u
t
+
′ =
1
1
第37頁
37
******************************************************************
（一）兩觀測者之間的相離運動
兩觀測者相離運動下伽利略-周方變換的 系時空點示于圖 15、圖 16、圖 17。
伽利略-周方變換的 系時空點
系觀測者
系時空點
系觀測者
圖 15 兩觀測者相離運動下伽利略-周方變換的 系時空點
伽利略-周方變換的 系時空點
系時空點
系觀測者
系觀測者
圖 16 兩觀測者相離運動下伽利略-周方變換的 系時空點
K
K
K ′
tu
c
u
′
?
?
?
?
?
?
?
?
+
r
r
1 r ′
r
K ′
tu ′
r
r′ + tu ′
r r
1 (r tu )
c
u
r ′ + ′
?
?
?
?
?
?
?
?
= +
r r
r
r
K
K
K
′, xx
y′
u K′
y
z′
K′
K z
K
第38頁
38
伽利略-周方變換的 系時空點
系觀測者觀測到的影像
K′系觀測者觀測到的影像
系時空點
系觀測者
系觀測者
圖 17 兩觀測者相離運動下伽利略-周方變換的 系時空點
*****************************************************************
（二）兩觀測者之間的相向運動
兩觀測者相向運動下伽利略-周方變換的 系時空點示于圖 18、圖 19、圖 20。
系觀測者
系時空點
伽利略-周方變換的 系時空點
1 (r tu )
c
u
r
f
f
′ + ′
?
?
?
?
?
?
?
?
= ?
r r
r
r
系觀測者
圖 18 兩觀測者相向運動下伽利略-周方變換的 系時空點
K
K
y′
u K′
y
z′
K′
K z
K
K
K ′
r ′
r
K ′
tu ′
r
K
r′ + tu ′
r r
K
K
′, xx
第39頁
39
系時空點
伽利略-周方變換的 系時空點
系觀測者
系觀測者
圖 19 兩觀測者相向運動下伽利略-周方變換的 系時空點
系時空點
K′系觀測者觀測到的影像
系觀測者觀測到的影像
伽利略-周方變換的 系時空點
系觀測者
系觀測者
圖 20 兩觀測者相向運動下伽利略-周方變換的 系時空點
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
八、（特殊）伽利略-周方變換計算示例
設(shè)：某運動質(zhì)點的 系時空軌跡為 ， ， 3
tz ′′ )( = tb ′ 。
將 ， ， 3
tz ′′ )( = tb ′ 代入（特殊）伽利略-周方變換方程組：
y′ K′
′, xx
K
y u
z′
K′
z
K
K
K′
y′
K
K
y z′
u
K′
z
K
K
K′ ′ tx ′)( = 1+ sin t′
2
ty ′′ )( = ta ′
′ tx ′)( = 1+ sin t′
2
ty ′′ )( = ta ′
′, xx
第40頁
40
得出該運動質(zhì)點的 系時空軌跡：
ut
c
u
t
c
u
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
? +
?
?
?
?
?
= +
1
1 1 sin
3
3 2
3 3
)( 1 1 1 1 bt
c
u
c
u
bt
c
u
tb
c
u
tz
? ?
?
?
?
?
?
?
? = +
?
?
?
?
?
? +
?
?
?
?
?
? ′ = +
?
?
?
?
?
= +
反之，將 ut
c
u
t
c
u
tx +
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
? +
?
?
?
?
?
= +
1
)( 1 1 sin ， 2
1
)( 1 at
c
u
ty
?
?
?
?
?
?
?
= + ， 3
2
)( 1 bt
c
u
tz
?
?
?
?
?
?
?
= + 代入
“逆變換”：
得出該運動質(zhì)點的 系時空軌跡：
1 (x tu )
c
u
x ? ′ + ′
?
?
?
?
?
= +
y
c
u
y ? ′
?
?
?
?
?
= 1+
z
c
u
z ? ′
?
?
?
?
?
= 1+
t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+
K
)( 1 [ ] )( 1 1( sint tu )
c
u
tx tu
c
u
tx ? + ′ + ′
?
?
?
?
?
? ′′ + ′ = +
?
?
?
?
?
= +
2
2 1
2 2
)( 1 1 1 1 at
c
u
c
u
at
c
u
ta
c
u
ty
? ?
?
?
?
?
?
?
? = +
?
?
?
?
?
? +
?
?
?
?
?
? ′ = +
?
?
?
?
?
= +
t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+
( )
1
1
x ut
c
u
x ?
+
′ =
y
c
u
y
+
′ =
1
1
z
c
u
z
+
′ =
1
1
t
c
u
t
+
′ =
1
1
K′
第41頁
41
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+ ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
? +
?
?
?
?
?
? +
?
?
?
?
?
′′ = +
?
ut ut
c
u
t
c
u
c
u
tx
1
)( 1 1 1 sin
1
t
c
u
t
= + ′
+
= + 1 sin
1
1 sin
2 2
1 1
)( 1 )( 1 1 ta ta
c
u
c
u
ty
c
u
ty ? ′ = ′
?
?
?
?
?
? +
?
?
?
?
?
? = +
?
?
?
?
?
′′ = +
? ?
3 3
1 1 2
)( 1 )( 1 1 bt tb
c
u
c
u
tz
c
u
tz ? = ′
?
?
?
?
?
? +
?
?
?
?
?
? = +
?
?
?
?
?
′′ = +
? ? ?
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
計算結(jié)果 — 系時空軌跡[ , , ]與相應(yīng)的 系時空軌跡[ ,
, ] — 示于圖 21、圖 22、圖 23。
， 系時空軌跡 ut
c
u
t
c
u
tx +
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
? +
?
?
?
?
?
= +
1
)( 1 1 sin
系時空軌跡 ，
1.0
；
圖 21 在 軸方向上 系時空軌跡與 系時空軌跡之間的‘協(xié)變’
t
c
u
t
1
1
?
?
?
?
?
?
?
′ = +
K ′ ′ tx ′)( y′ t′)( ′ tz ′)( K tx )(
ty )( tz )(
x′ x K
K′ x t ′ ′ = +1 sin t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+
1
u
c
+
1
u
c
+
t′ t
x K′ K
第42頁
42
，
系時空軌跡 （拋物線）
系時空軌跡 （拋物線）
；
圖 22 在 軸方向上 系時空軌跡與 系時空軌跡之間的‘協(xié)變’
，
系時空軌跡： 3
2
)( 1 bt
c
u
tz
?
?
?
?
?
?
?
= + （三次拋物線）
系時空軌跡： 3
tz ′′ )( = tb ′ （三次拋物線）
；
圖 23 在 軸方向上 系時空軌跡與 系時空軌跡之間的‘協(xié)變’
圖 21、圖 22 及圖 23 揭示了 K 系時空軌跡與 系時空軌跡之間的‘協(xié)變’關(guān)系，展
示了‘兩觀測者’場合下的“世界線”（兩條相似的曲線），證明了“伽利略相對性原理”，
y′ y
K
2
1
)( 1 at
c
u
ty
?
?
?
?
?
?
?
= +
K′
2
ty ′′ )( = ta ′
t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+
t′ t
y K′ K
z′ z
K
K′
t
c
u
t ? ′
?
?
?
?
?
= 1+
t′ t
z K′ K
K′
第43頁
43
即驗證了所謂的‘伽利略大船’現(xiàn)象。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
結(jié) 論
（1）根據(jù)閔可夫斯基時空 Min.ST 內(nèi)‘時刻τ 有排它性’之特點，閔可夫斯基時空 Min.ST
（Minkowski Space-time）可定義為如下‘集合’：
即：閔可夫斯基時空 Min.ST 是恒等變換 0
( ) )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
為‘元素’的‘（單元素）
集合’。
恒等變換 0
( ) )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
又稱為‘零’變換（‘Null’ Transformation）。‘零’
變換實際上就是‘無’變換。
閔可夫斯基時空 Min.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等變換 為“運動質(zhì)點
（‘閃光點’）只被‘一個’觀測者（‘閃光點’處的‘抵近觀測者’）觀測到”的“一人世
界”。
（2）伽利略時空Gal.ST 是伽利略-周方變換 0
)(
1
)(
1
≥ ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
u
t
tr tu
c
u
t
r t r
r r r r
為‘元
素’的‘集合’：
伽利略時空Gal.ST 為“運動質(zhì)點（‘閃光點’）可以被至少兩個觀測者（‘閃光點’處
的‘抵近觀測者’與至少一個離開‘閃光點’的‘遠處觀測者’）‘同時’觀測到”的“多
人世界”。
Min.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等變換
（u
r 為兩觀測者之間的相對速度）
Gal.ST
??
?
?
?
??
?
?
?
≥ ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
?
0
)(
1
)(
1
u
t
tr tu
c
u
t
r t r
r r r r
伽利略 周方變換
第44頁
44
（3）參看圖 6：
x′ t′ x(, )( kt)
Gal.ST（多人世界）的“世界線”— 一簇相似曲線
x(kt)
tu ′
Min.ST（一人世界）的“世界線”
′ tx ′)(
兩觀測者
t′,kt
t′,kt
圖 6 Min.ST 的“世界線”與 Gal.ST 的“世界線”之關(guān)系
顯然，有：
因為 Min.ST 為恒等變換 0
( ) )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
的‘（單元素）集合’，故有：
從而有：
恒等變換 0
( ) )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
∈ Gal.ST
??
?
?
?
??
?
?
?
≥ ?
?
?
?
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? ?
?
?
?
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?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
?
0
)(
1
)(
1
u
t
tr tu
c
u
t
tr r
r r r r
伽利略 周方變換
Min.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等變換
? Gal.ST
??
?
?
?
??
?
?
?
≥ ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
?
0
)(
1
)(
1
u
t
tr tu
c
u
t
tr r
r r r r
伽利略 周方變換
? “宇宙時空”（“絕對時空”）
第45頁
45
伽利略時空Gal.ST 為“多人世界”。因此，在閔可夫斯基時空 Min.ST（“一人世界”）
內(nèi)推導出的‘數(shù)學（物理）公式’（如 Maxwell 電磁方程組以及‘狹義相對論’、‘廣義相對
論’的各種數(shù)學‘結(jié)論’、‘判斷’及‘預(yù)言’）都必須通過伽利略時空Gal.ST（“多人世界”）
內(nèi)的“伽利略-周方變換”作出‘驗證’，才能使這些‘數(shù)學（物理）公式’及‘結(jié)論’具
有確切而現(xiàn)實的物理涵義，否則這些公式只不過是一種數(shù)學上的“猜測”而已。
（4）
a.洛倫茲變換 2 2
2
2
2
2
2
0
1
,
1
u c
c
u
c
ux
c
u
x u
x ≤ <
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
′ =
?
?
′ =
τ
τ
τ
? 恒等變換 = 0 ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′
u
x x
τ τ
，適
應(yīng)于“無多普勒效應(yīng)或多普勒效應(yīng)微不足道的（電磁波）有線傳輸及（光粒子）光纖傳
輸”之場合，如通過顯微鏡、醫(yī)用內(nèi)窺鏡、（手持）望遠鏡等‘物鏡-目鏡’無相對運動
（u = 0
r ）的透視系統(tǒng)‘直接觀測’實時圖景。
b.伽利略-周方變換 1 0
1
> ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′
?
u
t
x ut
c
u
t
x
適應(yīng)于“有多普勒效應(yīng)的（光波，電
磁波）無線傳輸”之場合，如通過‘太空望遠鏡’或‘太空飛船’、‘火星車’等‘物鏡目鏡’有相對運動（u ≠ 0
v ）的透視系統(tǒng)‘觀測’遙遠星系運動的實時圖景。
c.在閔可夫斯基時空 Min.ST 內(nèi)推導出的‘狹義相對論’、‘廣義相對論’的數(shù)學‘理論’
有兩種：‘微觀理論’（關(guān)于微觀粒子運動的理論）與‘宏觀理論’（關(guān)于太空星系運動的
理論）?！⒂^理論’只能使用‘光信號有線傳輸方式’通過恒等變換 = 0 ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′
u
x x
τ τ
進
行‘驗證’。‘宏觀理論’及‘宇觀理論’無法使用‘（光子）信號有線傳輸方式’通過恒
等變換 = 0 ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′
u
x x
τ τ
進行‘驗證’，而必須運用‘（光波即電磁波）信號無線傳輸方式’
（ 如 太 空 望 遠 鏡 、‘ 太 空 飛 船 ’、‘ 火 星 車 ’ 等 ） 通 過 伽 利 略 - 周 方 變 換
恒等變換 0
)( )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
? 伽利略-周方變換 0
)(
1
)(
1
= ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
u
t
tr tu
c
u
t
tr r
r r r r
第46頁
46
1 0
1
> ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′
?
u
t
x ut
c
u
t
x
進行‘驗證’。
d.只有通過伽利略時空 Gal.ST 內(nèi)惟一的客觀存在的‘時空變換’— 伽利略-周方變換
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
= + ?
?
?
?
?
?
′
′′
?
t
tr tu
c
u
t
r t
r r r r
)(
1
)(
1
才能揭示太空星系以往的實時圖景。
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~
此外，文中還首次揭示了“伽利略時空”內(nèi)一條重要定律：“光傳播定律”— “伽利略時
空”內(nèi)任意時空點（‘運動質(zhì)點’，‘2 閃光點’）上的“光傳播時空彈性”恒等于 1?！肮鈧?/p>
播定律”也稱為“真空中光傳播速率為恒定值定律”或簡稱“光速不變性（絕對性）定律”
— “在任意時空點（‘閃光點’），真空中光傳播速率為恒定值 00
c = 1 μ ε ，乃是光的固
有屬性，與光在哪個參考系內(nèi)進行傳播無關(guān)”。這條定律為“運動觀測理論”的基礎(chǔ)定律。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
第47頁
47
特 性 與 定 義
Min.ST ‘時刻τ ’具有‘排它性’：在任一時刻，運動質(zhì)點（‘閃光點’）只可被‘一個’
觀測者（運動質(zhì)點處的‘抵近觀測者’）觀測到。 Min.ST （Minkowski
Space-time）可定義為‘集合’：
c
c
即： Min.ST 為恒等變換 0
( ) )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
的‘（單元素）集合’。
Gal.ST ‘時刻 t ’不具‘排它性’：在任一時刻，運動質(zhì)點（‘閃光點’）可以被‘至
少兩個’觀測者 “同時”（t kt k f (u)
r
′ ≡ , = ，u
r 為兩觀測者之間的相對速度）
觀測到。Gal.ST （Galilean Space-time）可定義為‘集合’：
即：Gal.ST 為伽利略變換 ( ), 0
)( ( )
= ≥ ?
?
?
?
?
? ? ?
=?
?
?
?
?
?
′
′′
k f u u
kt
r kt u kt
t
r t r r
r r r
的‘集
合’。
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ′
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
τ
τ
τ
r (τ ) r )(
r r
??
?
?
?
??
?
?
?
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
0
( ) )(
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ 恒等變換
（u
r 為兩觀測者之間的相對速度）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
τ
τ
τ
r (τ ) r )(
r r
Gal.ST ??
?
?
?
??
?
?
?
= ≥ ?
?
?
?
?
? ? ?
=?
?
?
?
?
?
′
′′
( ), 0
)( ( )
k uf u
kt
r kt u kt
t
tr r r
r r r
伽利略變換
第48頁
48
“世界線”
Min.ST “運動質(zhì)點只被‘一個’觀測者（運動質(zhì)點處的‘抵近觀測者’）觀測到”的“一
人世界”，“世界線”為：
（參看圖 1）
Gal.ST “運動質(zhì)點可被至少兩個觀測者（運動質(zhì)點處的‘抵近觀測者’與至少一個離
開運動質(zhì)點的‘遠處觀測者’）‘同時’觀測到”的“多人世界”，“世界線”為：
（參看圖 5）
通過兩觀測者‘重合點’的呈簇狀的多條相似曲線
t′ ≡ kt
x(kt) = Φ(kt)
x′ t′)( = Φ t′)( ? tu ′
通過兩觀測者‘重合點’的單一曲線
τ ′ ≡ τ :
x′(τ′) = Φ(τ′ )
x τ )( = Φ τ )(
第49頁
49
參看圖 6：
x′ t′ x(, )( kt)
Gal.ST（多人世界）的“世界線”— 一簇相似曲線
x(kt)
tu ′
Min.ST（一人世界）的“世界線”
′ tx ′)(
兩觀測者
t′,kt
t′,kt
因為 Min.ST 為恒等變換 0
( ) )(
= ?
?
?
?
?
?
≡?
?
?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
的‘（單元素）集合’，故有：
恒等變換 0
( ) )(
= ?
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?
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≡?
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′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
∈ Gal.ST
??
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??
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≥ ?
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′
′′
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0
)(
1
)(
1
u
t
tr tu
c
u
t
tr r
r r r r
伽利略 周方變換
0
)( )(
= ?
?
?
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?
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≡?
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?
?
?
?
′
′′
u
r r r
r r
τ
τ
τ
τ
? 伽利略-周方變換 0
)(
1
)(
1
= ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
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?
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?
= + ?
?
?
?
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?
′
′′
?
u
t
tr tu
c
u
t
tr r
r r r r
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伽利略 周方變換
? “宇宙時空”（“絕對時空”）
第50頁
50
參 考 文 獻
[1]《狹義與廣義相對論淺說》，（美）A.愛因斯坦/著 楊潤殷/譯 北京大學出版
社 2006 年版
[2]《狹義相對論（第二版）》，劉遼 費?？?張允中 編著 科學出版社 2008 年版
[3]《牛頓力學的新時空變換》，周 方/著 經(jīng)濟科學出版社 2013 年版
[4]《現(xiàn)代牛頓力學的運動觀測理論—兼評狹義相對論之“洛倫茲變換”》，
周 方/著 經(jīng)濟科學出版社 2014 年版
[5]《現(xiàn)代牛頓力學的運動觀測理論—兼評狹義相對論之“洛倫茲變換”》（第
二版），周 方/著 經(jīng)濟科學出版社 2016 年版
[6]《相對運動觀測理論》，周 方/著 經(jīng)濟科學出版社 2018 年版
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