1

閔可夫斯基時(shí)空

與伽利略時(shí)空

周 方

tony_zf_zf_zf@126.com

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閔可夫斯基時(shí)空與伽利略時(shí)空

周 方

tony_zf_zf_zf@126.com

摘要 ‘閔可夫斯基時(shí)空’為‘只有一個(gè)觀測(cè)者’的“一人世界”，故其中只可能存在

“恒等變換”（‘零’變換）（‘Null’Transformation）?！恪儞Q實(shí)際上就是‘無(wú)’變換。

‘閔可夫斯基時(shí)空’為“恒等變換”之‘（單元素）集合’，故“恒等變換”屬于‘伽利略

時(shí)空’?！だ詴r(shí)空’具有‘度規(guī)’，被包含于萬(wàn)物所在的“宇宙時(shí)空”（不具有‘度規(guī)’

的“絕對(duì)時(shí)空”）內(nèi)?！昂愕茸儞Q”適應(yīng)于“無(wú)多普勒效應(yīng)或多普勒效應(yīng)微不足道的（電磁

波）有線傳輸或（光粒子）光纖傳輸”之場(chǎng)合，如通過(guò)顯微鏡、醫(yī)用內(nèi)窺鏡、（手持）望遠(yuǎn)

鏡等‘物鏡-目鏡’之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)（u = 0

r ）的透視系統(tǒng)‘直接觀測(cè)’實(shí)時(shí)圖景。伽利略

時(shí)空為‘至少有兩個(gè)觀測(cè)者’的“多人世界”，在“兩觀測(cè)者有相對(duì)運(yùn)動(dòng)（u ≠ 0

r ）且真空

中光傳播速率為有限值”的一般情況下，唯一的客觀存在的時(shí)空變換為“伽利略-周方變換”。

“伽利略-周方變換” 適應(yīng)于“有多普勒效應(yīng)的（光波，電磁波）無(wú)線傳輸”之場(chǎng)合，如

通過(guò)‘太空望遠(yuǎn)鏡’或‘太空飛船’、‘火星車(chē)’等‘物鏡-目鏡’之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)（u ≠ 0

v ）

的透視系統(tǒng)‘觀測(cè)’遙遠(yuǎn)星系運(yùn)動(dòng)的實(shí)時(shí)圖景。此外，文中還首次揭示了“伽利略時(shí)空”

內(nèi)一條重要定律：“光傳播定律”— “伽利略時(shí)空”內(nèi)任意時(shí)空點(diǎn)（‘運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)’，‘閃光點(diǎn)’）

上的“光傳播時(shí)空彈性”恒等于 1?！肮鈧鞑ザ伞币卜Q為“真空中光傳播速率為恒定值定

律”或簡(jiǎn)稱“光速不變性（絕對(duì)性）定律”— “在任意時(shí)空點(diǎn)（‘閃光點(diǎn)’），真空中光傳

播速率為恒定值 00

c = 1 μ ε ，乃是光的固有屬性，與光在哪個(gè)參考系內(nèi)進(jìn)行傳播無(wú)關(guān)”。

這條定律為奠定“運(yùn)動(dòng)觀測(cè)論”的基礎(chǔ)定律。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

關(guān)鍵詞 時(shí)空 伽利略時(shí)空 相對(duì)論 狹義相對(duì)論 運(yùn)動(dòng)觀測(cè)論 伽利略-周方變換 伽利略變換

洛倫茲變換

3

目 錄

第一章 “閔可夫斯基時(shí)空” 與“恒等變換”………………………………… (6)

一、“時(shí)空”與“時(shí)空變換”……………………………………………………… (6)

（一）“閔可夫斯基時(shí)空”與“恒等變換”………………………………………… (6)

二、實(shí)為“恒等變換”的“洛倫茲變換”………………………………………… (8)

（一）“洛倫茲變換”之導(dǎo)出 ……………………………………………………… (8)

（二）“洛倫茲變換”之性質(zhì)……………………………………………………… (13)

第二章 “伽利略時(shí)空” 與“伽利略-周方變換”…………………………… (16)

一、“光傳播定律”（Law of Light Propagation）………………………………… (16)

二、“伽利略時(shí)空”與“伽利略變換”…………………………………………… (17)

三、“伽利略-周方變換”之導(dǎo)出（A）…………………………………………… (22)

四、“伽利略-周方變換”之導(dǎo)出（B）…………………………………………… (24)

五、“伽利略-周方變換”之導(dǎo)出（C）…………………………………………… (26)

六、“伽利略-周方變換”之性質(zhì)………………………………………………… (28)

七、兩觀測(cè)者之間的‘相離運(yùn)動(dòng)’與‘相向運(yùn)動(dòng)’……………………………… (36)

（一）兩觀測(cè)者之間的相離運(yùn)動(dòng)………………………………………………… (37)

（二）兩觀測(cè)者之間的相向運(yùn)動(dòng)………………………………………………… (38)

八、（特殊）伽利略-周方變換計(jì)算示例…………………………………………… (39)

結(jié) 論 …………………………………………………………………………… (43)

參 考 文 獻(xiàn) …………………………………………………………………… (50)

附錄 A: “速度、加速度及高階加速度不變性（絕對(duì)性）”定律 ………… (51)

附錄 B: “質(zhì)量不變性（絕對(duì)性）”定律 …………………………………… (53)

4

1.伽利略時(shí)空

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

t

t

tr

,

)(

r

內(nèi)之諸定義：

（a） 系觀測(cè)者在時(shí)刻 觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置記為 ≡ tx ),({ ty ),( tz })( 。 ?

?

?

?

?

?

t

tr )(

r

為‘ 系觀測(cè)者在時(shí)刻 觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn) 時(shí)’指向該運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn) 的“觀測(cè)矢量”

（Observation Vector）。 ?

?

?

?

?

?

t

tr )(

r

也稱為 系觀測(cè)者在時(shí)刻 的“時(shí)空點(diǎn)”，簡(jiǎn)稱“ 系時(shí)

空點(diǎn)”。函數(shù) 為“ 系時(shí)空軌跡”。

（b） 系觀測(cè)者在時(shí)刻 觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置記為 ≡ { ′(tx ′), ′(ty ′), ′ tz ′ })( 。

?

?

?

?

?

?

′

′ ′

t

r t )(

r

為‘ 系觀測(cè)者在時(shí)刻 觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn) 時(shí)’指向該運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn) 的“觀

測(cè)矢量”。 ?

?

?

?

?

?

′

′ ′

t

r t )(

r

也稱為 系觀測(cè)者在時(shí)刻 的“時(shí)空點(diǎn)”，簡(jiǎn)稱“ 系時(shí)空點(diǎn)”。函數(shù)

為“ 系時(shí)空軌跡”。

2.（一維）伽利略時(shí)空

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

t

t

tx

,

)(

內(nèi)之諸定義：

（a） 、 分別為 系觀測(cè)者、 系觀測(cè)者所持‘時(shí)鐘’指示的‘時(shí)刻（讀數(shù)）’； 稱為

‘ 系時(shí)刻’， 稱為‘ 系時(shí)刻’。

（b） 、 分別為 系觀測(cè)者、 系觀測(cè)者所持‘量尺’指示的‘位置（讀數(shù)）’， 稱

為‘ 系坐標(biāo)’， 稱為‘ 系坐標(biāo)’。

（c） ′ tx ′)( 為 系觀測(cè)者在時(shí)刻 觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所處的 系內(nèi)位置。

（d） tx )( 為 系觀測(cè)者在時(shí)刻 觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所處的 系內(nèi)位置。

（e） ?

?

?

?

?

?

′

′ ′

t

tx )(

為 系觀測(cè)者在時(shí)刻 對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn) ′ tx ′)( 的“觀測(cè)矢量”，即“ 系時(shí)空點(diǎn)”。

函數(shù) ′ tx ′)( 為“ 系時(shí)空軌跡”。

（f） ?

?

?

?

?

?

t

tx )(

為 系觀測(cè)者在時(shí)刻 對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn) tx )( 的“觀測(cè)矢量”，即“ 系時(shí)空點(diǎn)”。函

K t tr )(

r

K t tr )(

r

tr )(

r

K t K

tr )(

r

K

K′ t′ r′ t′)(

r

K′ t′ ′ tr ′)(

r

r′ t′)(

r

K′ t′ K′

′ tr ′)(

r

K′

t′ t K′ K t′

K′ t K

x′ x K′ K x′

K′ x K

K′ t′ K′

K t K

K′ t′ K′

K′

K t K

5

數(shù) tx )( 為“ 系時(shí)空軌跡”。

3.為了簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)，略去自變量符號(hào)，即：

tx )( 、 ty )( 、 tz )( 、 tr )(

r 相應(yīng)地簡(jiǎn)寫(xiě)為 x 、 y 、 z 、 r

r ；

′ tx ′)( 、 y′ t′)( 、 ′ tz ′)( 、 ′ tr ′)(

r 相應(yīng)地簡(jiǎn)寫(xiě)為 x′、 y′ 、 z′、 r′

r ；

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

K

6

第一章

“閔可夫斯基時(shí)空” 與“恒等變換”

一、“時(shí)空”與“時(shí)空變換”

“時(shí)空”（Space-time）是‘空間’（Space）與‘時(shí)間’（Time）相結(jié)合，容納萬(wàn)物及其

活動(dòng)過(guò)程于其中的‘場(chǎng)所’。筆者認(rèn)為，在‘物理學(xué)’中，成為這種“場(chǎng)所”的必要條件是：

觀測(cè)者可以使用工具（‘時(shí)鐘’及‘量尺’）量測(cè)其中運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（‘閃光點(diǎn)’）的‘位置’及

所處的‘時(shí)刻’。所以，只有‘一維’、‘二維’及‘三維’的‘歐氏空間’才能成為‘物理

學(xué)’中的“空間”。因此，在‘物理學(xué)’中，“時(shí)空”只能是觀測(cè)者可使用工具量測(cè)其中運(yùn)

動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（‘閃光點(diǎn)’）的‘位置’及其所處‘時(shí)刻’的‘時(shí)間-空間’場(chǎng)所。只具有‘概念’

與相應(yīng)的‘定義’，而不具有“度規(guī)”（Metric）且只服從‘邏輯運(yùn)算法則’（如：自反律、

反對(duì)稱律、傳遞律、交換律、結(jié)合律、分配律、De Morgan 定律等）的“時(shí)空”稱為“絕

對(duì)時(shí)空”，“宇宙時(shí)空”就是“絕對(duì)時(shí)空”。關(guān)于“絕對(duì)時(shí)空”的理論只涉及‘哲學(xué)’與‘邏

輯學(xué)’，而不涉及‘?dāng)?shù)學(xué)’與‘物理學(xué)’。

“時(shí)空變換”—“兩觀測(cè)者在各自時(shí)鐘所示時(shí)刻（t′與t ）‘同時(shí)’（t′ ≡ kt ， k > 0 ）

觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)”（構(gòu)成‘伽利略變換’）時(shí)，‘運(yùn)動(dòng)觀測(cè)者’的觀測(cè)矢量 ?

?

?

?

?

?

′

′ ′

t

r t )(

r

與‘靜止

觀測(cè)者’的觀測(cè)矢量 ?

?

?

?

?

?

t

tr )(

r

之間的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換關(guān)系稱為“時(shí)空變換”。

******************************************************************

（一）“閔可夫斯基時(shí)空”與“恒等變換”

（Minkowski Space-time & Identical Transformation）

閔可夫斯基時(shí)空 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

,

)(

,

)(

,

x )( y z

的一個(gè)重要特征是：

‘時(shí)刻τ ’具有‘排它性’，即：在任一時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（‘閃光點(diǎn)’）只可被‘一個(gè)’觀測(cè)

者（運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)處的‘抵近觀測(cè)者’）觀測(cè)到。根據(jù)‘時(shí)刻τ ’的這一特點(diǎn)，閔可夫斯基時(shí)空

Min.ST （Minkowski Space-time）可定義為如下‘集合’：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

τ

τ

τ

,

r )(

r

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ′

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

τ

τ

τ

r (τ ) r )(

r r

7

c

c

即：閔可夫斯基時(shí)空 Min.ST 是恒等變換 0

( ) )(

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ

的‘（單元素）集合’。

恒等變換 0

( ) )(

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ

又稱為‘零’變換（‘Null’ Transformation）?！恪?/p>

變換實(shí)際上就是‘無(wú)’變換。所以，恒等變換 0

( ) )(

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ

就是‘無(wú)’變換。

代表閔可夫斯基時(shí)空 Min.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

0

( ) )(

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ 恒等變換 的“世界線”

（World-line）示于圖 1。

x′(τ ′)，x τ )(

Min.ST 的“世界線”： x′(τ ′) = Φ(τ ′ ) = Φ τ )(

系時(shí)空點(diǎn)， 系時(shí)空點(diǎn)

x′(τ ′) = x τ )(

兩觀測(cè)者

τ ′,τ

τ ′,τ

圖 1 Min.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

0

( ) )(

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ 恒等變換 的“世界線”

K K′

Min.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

0

( ) )(

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ 恒等變換

（u

r 為兩觀測(cè)者之間的相對(duì)速度）

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

τ

τ

τ

r (τ ) r )(

r r

8

在圖 1 中，設(shè) x′(τ′) 為某個(gè)函數(shù)Φ(τ′ ) ： x′(τ′) = Φ(τ′ )

將 x′(τ′) = Φ(τ′ ) 代入圖中等式 x τ )( = x′(τ ′)，得：

τ ′ ≡ τ : x τ )( = Φ(τ′) = Φ τ )(

即：

x τ )( = Φ τ )(

代表閔可夫斯基時(shí)空 Min.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

0

( ) )(

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ 恒等變換 的“世界線”為：

閔可夫斯基時(shí)空 Min.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

0

( ) )(

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ 恒等變換 為“運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)

（‘閃光點(diǎn)’）只被‘一個(gè)’觀測(cè)者（‘閃光點(diǎn)’處的‘抵近觀測(cè)者’）觀測(cè)到”的“一人世

界”。

‘閔可夫斯基時(shí)空’為‘只有一個(gè)觀測(cè)者’的“一人世界”，故其中只可能存在“恒等

變換”（‘零’變換）。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

二、實(shí)為“恒等變換”的“洛倫茲變換”

（一）“洛倫茲變換”之導(dǎo)出

對(duì)‘全部方程都定義在閔可夫斯基時(shí)空 Min.ST 內(nèi)’的預(yù)設(shè)方程組（A）：

x′ = k(x ? uτ )

x = k(x′ + uτ ′)

(A)

x = cτ

x′ = cτ ′

進(jìn)行聯(lián)立求解。

將 及 x = cτ x′ = cτ ′ 代入上面的方程 及 x′ = k(x ? uτ ) x = k(x′ + uτ ′) ，得：

通過(guò)兩觀測(cè)者‘重合點(diǎn)’的單一曲線

τ ′ ≡ τ :

x′(τ′) = Φ(τ′ )

x τ )( = Φ τ )(

9

cτ ′ = (ck τ ? uτ )

cτ = (ck τ ′ + uτ ′)

兩式相乘，得：

ττ ′ = ( ? ) ττ ′

2 2 2 2

c k c u

系數(shù)k 必須為 k > 0 ，故在約束條件 0( )

2 2 2

< c ? u ≤ c ? 0( )

2 2

≤ u < c 下約去等式兩

邊的ττ ′，得：

2

2

2 2 2

2

1

1

c

k

c u u

c

= =

?

?

從而得：

2

2

1

1

k

u

c

=

?

s.t.

2 2

0 ≤ u < c

（1）將

2

2

1

1

k

u

c

=

?

代入方程 x′ = k(x ? uτ ) ，得：

空間變換式

2

2

1

c

u

x u

x

?

?

′ =

τ

（2）將

2

2

1

c

u

x u

x

?

?

′ =

τ 代入方程 x′ = cτ ′ ，得；

c

x′

τ ′ = ?

?

?

?

?

?

?

?

? =

?

?

?

?

?

?

?

=

c

x

c

u

c

c u

u

c

x

c

u

τ τ

2

2

2

2

1

1

1

1

即： 時(shí)間變換式

2

2

2

1

c

u

c

ux

?

?

′ =

τ

τ

10

這樣，就得出洛倫茲變換

?

?

?

?

?

?

?

?

′ = ,

1 2

2

c

u

x u

x

τ

?

?

?

?

?

?

≤ <

?

?

′ =

2 2

2

2

2

0

1

u c

c

u

c

ux

τ

τ

但是，洛倫茲變換的這種表達(dá)形式

?

?

?

?

?

?

?

?

′ = ,

1 2

2

c

u

x u

x

τ

?

?

?

?

?

?

≤ <

?

?

′ =

2 2

2

2

2

0

1

u c

c

u

c

ux

τ

τ 還不是最

終的時(shí)空變換表達(dá)式，它仍舊是一個(gè)需待‘求解’的聯(lián)立方程組，還必須進(jìn)一步‘求解’聯(lián)

立方程組

?

?

?

?

?

?

?

?

′ = ,

1 2

2

c

u

x u

x

τ

?

?

?

?

?

?

≤ <

?

?

′ =

2 2

2

2

2

0

1

u c

c

u

c

ux

τ

τ ，才可得到時(shí)空變換的最終表達(dá)式 —

“兩觀測(cè)者‘同時(shí)’（τ′ ≡ kτ ）觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)”（構(gòu)成‘伽利略變換’）時(shí)，‘運(yùn)動(dòng)觀測(cè)者’

的觀測(cè)矢量 ?

?

?

?

?

?

′

′ ′

τ

x (τ )

與‘靜止觀測(cè)者’的觀測(cè)矢量 ?

?

?

?

?

?

τ

τ

k

(kx )

之間的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換關(guān)系。

為此，記 k

c

u

=

? 2

2

1

1 ，將方程組

?

?

?

?

?

?

?

?

′ = ,

1 2

2

c

u

x u

x

τ

?

?

?

?

?

?

≤ <

?

?

′ =

2 2

2

2

2

0

1

u c

c

u

c

ux

τ

τ 換寫(xiě)成如

下形式：

x′ = k(x ? uτ ) = kx ? kuτ

τ τ x kτ

c

ku

c

ux k ? = ? +

?

?

?

?

?

′ = ? 2 2

得： ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

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?

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?

=

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?

?

? +

?

=

?

?

?

?

?

?

?

?

? +

?

=?

?

?

?

?

?

′

′

τ

τ

τ

τ

τ

τ

x

c

u

u

k

x

c

u

x u

k

x k

c

ku

kx ku x

1

1

2 2 2

求逆變換式：

kx ? kuτ = x′

? + τ = τ ′

?

?

?

?

?

? x k

c

ku

2

解方程組：

11

?

?

?

?

?

?

?

?

?

′ + ′

=

?

′ + ′

=

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

′

′ ?

=

2

2

2

22

2

2

1

c

u

k

x u

c

k u

k

xk ku

k

c

ku

k ku

k

x ku

x

τ τ τ

τ ′

?

?

?

?

?

?

?

?

?

′ +

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

2

2

2

2

1 1

1

c

u

k

u

x

c

u

k

?

?

?

?

?

?

?

?

?

′ + ′

=

?

′ + ′

=

?

?

?

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?

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?

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?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ′

′

=

2

2

2

2

22

2

2

2

2

1

c

u

k

x

c

u

c

k u

k

x

c

ku k

k

c

ku

k ku

c

ku

k x

τ τ τ

τ τ ′

?

?

?

?

?

?

?

?

?

′ +

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

2

2

2

2

2

1

1

1

c

u

k

x

c

u

k

c

u

得：

?

?

?

?

?

?

′

′

?

?

?

?

?

?

?

?

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?

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?

?

?

?

?

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=?

?

?

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′

′

?

?

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?

?

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=?

?

?

?

?

?

τ τ τ

x

c

u

u

c

u

k

x

c

u

k

c

u

k

c

u

c

u

k

u

c

u

k

x

1

1

1

1

1

1

1

1 1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

?

?

?

?

?

?

′

′

?

?

?

?

?

?

?

?

?

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?

?

?

?

?

?

?

=?

?

?

?

?

?

τ τ

x

c

u

u

c

u

k

x

1

1

1

1

2

2

2

于是得：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=?

?

?

?

?

?

′

′

τ τ

x

c

u

u

k

x

1

1

2

逆變換式：

?

?

?

?

?

?

′

′

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=?

?

?

?

?

?

τ τ

x

c

u

u

c

u

k

x

1

1

1

1

2

2

2

12

（a）將正變換與逆變換綜合，得：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=?

?

?

?

?

?

′

′

1

1

2

c

u

u

k

x

τ

?

?

?

?

?

?

′

′

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

τ

x

c

u

u

c

u

k

1

1

1

1

2

2

2

即：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=?

?

?

?

?

?

′

′

1

1

1

1

2

2

2

c

u

u

c

u

x

τ

?

?

?

?

?

?

′

′

?

?

?

?

?

?

?

?

τ

x

c

u

u

1

1

2

?

?

?

?

?

?

′

′

?

?

?

?

?

?

=?

?

?

?

?

?

′

′

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

?

?

?

?

?

?

′

′

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

τ τ

τ

x x

c

u

c

u

x

c

u

c

u

c

u

0 1

1 0

0 1

1 0

1

1

1

0 1

1 0

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴ ?

?

?

?

?

?

′

′

≡?

?

?

?

?

?

′

′

τ τ

x x

即：

≡ 0 ?

?

?

?

?

?

′

′

??

?

?

?

?

?

′

′

τ τ

x x

~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~

（b）同理，將逆變換與正變換綜合，得：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=?

?

?

?

?

?

1

1

1

1

2

2

2

c

u

u

c

u

k

x

τ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

τ

x

c

u

u

k

1

1

2

即：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=?

?

?

?

?

?

1

1

1

1

2

2

2

c

u

u

c

u

x

τ

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

τ

x

c

u

u

1

1

2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

τ

x

c

u

c

u

c

u

2

2

2

2

2

2

0 1

1 0

1

1

13

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

τ τ

x x

c

u

c

u 0 1

1 0

0 1

1 0

1

1

1

2

2

2

2

∴ ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

τ τ

x x

即：

≡ 0 ?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

τ τ

x x

~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~

故有： = 0 ?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′

??

?

?

?

?

?

′

′

τ τ τ τ

x x x x

即： = 0 ?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

′

′

≡?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

′

′

τ τ τ τ

x x x x

于是，得： 恒等變換 = 0 ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′

u

x x

τ τ

由于閔可夫斯基時(shí)空 Min.ST 為“一人世界”，在閔可夫斯基時(shí)空 Min.ST 內(nèi)只可能存

在“恒等變換”（‘零’變換），所以必然得：

******************************************************************

（二）“洛倫茲變換”之性質(zhì)

預(yù)設(shè)方程組（A）的‘完整解’為：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

≤ < = ′ = ′

?

?

′ =

?

?

′ = τ τ

τ

τ

τ

u c x c x c

c

u

c

ux

c

u

x u

x 0 , ,

1

,

1

2 2

2

2

2

2

2

c

洛倫茲變換 2 2

2

2

2

2

2

0

1

,

1

u c

c

u

c

ux

c

u

x u

x ≤ <

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

′ =

?

?

′ =

τ

τ

τ

? 恒等變換 = 0 ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′

u

x x

τ τ

14

?

?

?

?

?

?

?

?

= = ′ = ′

?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′

τ τ

τ τ

u x c x c

x x 恒等變換 ,0 ,

c

?

?

?

?

?

?

≡ =

′

′

c

x x

τ τ

很明顯，恒等變換

?

?

?

?

?

?

≡ =

′

′

c

x x

τ τ

自然可使（建立在閔可夫斯基時(shí)空 Min.ST 內(nèi)的）

Maxwell 電磁方程組中的‘電磁波不變性’獲得驗(yàn)證，即：

?

?

?

?

?

?

≡ =

′

′

c

x x

τ τ ?

?

?

?

?

?

=

?

?

?

?

?

≡

? ′

?

?

? ′

?

0

1 1

2

2

2 2

2

2

2

2 2

2

τ

φ

ξ

φ

τ

φ

ξ

φ

c c

即： { 0}

2 22 2 22

x′ ? c τ′ ≡ x ? c τ =

?

?

?

?

?

?

=

?

?

?

?

?

≡

? ′

?

?

? ′

?

0

1 1

2

2

2 2

2

2

2

2 2

2

τ

φ

ξ

φ

τ

φ

ξ

φ

c c

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

閔可夫斯基時(shí)空 Min.ST 內(nèi)的恒等變換

?

?

?

?

?

?

≡ =

′

′

c

x x

τ τ

示于圖 2。

?

?

15

x′(τ ′)，x(τ )

c

x x

≡ =

′

′

τ τ

x′(τ ′) = x(τ )

觀測(cè)者 τ ′，τ

τ ′，τ

圖 2 兩觀測(cè)者的觀測(cè)矢量 ?

?

?

?

?

?

τ

cτ 與 ?

?

?

?

?

?

′

′

τ

cτ

圖 2 中，恒等變換

?

?

?

?

?

?

=

′

′

≡ c

x x

τ τ

描述的過(guò)程是：“一直靜止在重合點(diǎn)的兩觀測(cè)者在每

一時(shí)刻‘同時(shí)’（τ ′ ≡ τ ≥ 0 ）觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn) E ”，示于圖 3。

x′(τ ′) = cτ ′

兩觀測(cè)者

運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)

x

′

x

圖 3 兩觀測(cè)者在每個(gè)時(shí)刻‘同時(shí)’（τ ′ ≡ τ ≥ 0 ）觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn) E

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

E

16

第二章

“伽利略時(shí)空” 與“伽利略-周方變換”

一、“光傳播定律”（Law of Light Propagation）

“光傳播定律”也稱為“真空中光傳播速率為恒定值定律”（Law of constancy of light

propagation velocity），或簡(jiǎn)稱“光速不變性（絕對(duì)性）定律”— “在任意時(shí)空點(diǎn) ?

?

?

?

?

?

t

tr )(

r

（運(yùn)

動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，‘閃光點(diǎn)’），真空中光傳播速率為恒定值（ 00

c = 1 μ ε ），乃是光的固有屬性，

與光在哪個(gè)參考系內(nèi)進(jìn)行傳播無(wú)關(guān)”。

在任意時(shí)空點(diǎn) ?

?

?

?

?

?

t

tr )(

r

（‘閃光點(diǎn)’），‘光的傳播’滿足“各向同性”性質(zhì)：在某個(gè)時(shí)刻，

某個(gè)‘光源’發(fā)出‘光波’，以‘光粒子作群體波動(dòng)’的方式（表現(xiàn)出‘波粒二重性’）向四

周傳播，致使‘波陣面’（球面）上的所有各點(diǎn)（‘光粒子’）在傳播中不斷地成為‘次生光

源’，各自發(fā)出‘光波’，‘光的傳播’按此種方式進(jìn)行下去，其效應(yīng)為：‘波陣面’（球面）

上的所有各點(diǎn)（‘光粒子’）均以同一速率 1 .

00

c = μ ε = const 作徑向運(yùn)動(dòng)：

tr )( = ct

r

， 1 .

00

c = μ ε = const

（ 為真空中光傳播速率）

沿‘閃光點(diǎn)’四周任意方向（ x ）上，光波皆以平面波形式進(jìn)行傳播，故有：

tx )( = ct ， （ 為真空中光傳播速率）

故有： ln tx )( = lnc + lnt

d ln tx )( = d ln t

即： 1

ln

ln )(

= =

d t

d tx

xt ε

即：沿‘閃光點(diǎn)’四周任意方向（ x ）上的“光傳播時(shí)空彈性（Space-Time Elasticity of Light

Propagation）”恒為 1：

因此，有：

c

c = const. c

1

ln

ln )(

= =

d t

d x t

xt ε

17

“光傳播定律”（Law of Light Propagation）：

觀測(cè)者在時(shí)刻t 對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（‘閃光點(diǎn)’）的觀測(cè)矢量 ?

?

?

?

?

?

t

tx )(

示于圖 4。

tx )(

?

?

?

?

?

?

=?

?

?

?

?

?

=?

?

?

?

?

?

kt

x kt

kt

kx t

t

tx

k

)( )( ( )

kx t)( x(kt)

tx )( 運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)

?

?

?

?

?

?

t

tx )(

觀測(cè)者

kt

圖 4 觀測(cè)者對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的觀測(cè)矢量 ?

?

?

?

?

?

t

tx )(

增至 ?

?

?

?

?

?

t

tx

k

)(

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

二、“伽利略時(shí)空”與“伽利略變換”

伽利略時(shí)空

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

t

t

tr

,

)(

r

? 的一個(gè)重要特征是：‘時(shí)刻

t ’不具‘排它性’，即：在任一時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（‘閃光點(diǎn)’）可以被‘至少兩個(gè)’觀測(cè)者 “同

時(shí)”（t kt k f (u)

r

′ ≡ , = ，u

r 為兩觀測(cè)者之間的相對(duì)速度）觀測(cè)到。

根據(jù)‘時(shí)刻 t ’的這一特性，伽利略時(shí)空Gal.ST （Galilean Space-time）可定義為

t t

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

t

t

tz

t

ty

t

tx

,

)(

,

)(

,

)(

?及

?

?

?

?

?

=?

?

?

?

?

?

kt

x kt

t

tx

k

)( ( )

Q ?

?

?

?

?

?

=?

?

?

?

?

?

kt

kx t

t

tx

k

)( )(

∴ x(kt) = kx t)(

?

?

?

?

?

?

t

tx )(

為觀測(cè)者在時(shí)刻t 對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（‘閃光點(diǎn)’）的觀測(cè)矢量

18

如下‘集合’：

即：伽利略時(shí)空Gal.ST 是伽利略變換 ( ), 0

)( ( )

= ≥ ?

?

?

?

?

? ? ?

=?

?

?

?

?

?

′

′′

k f u u

kt

r kt u kt

t

r t r r

r r r

為‘元

素’的‘集合’。

代表伽利略時(shí)空 Gal.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ≥ ?

?

?

?

?

? ? ?

=?

?

?

?

?

?

′

′′

( ), 0

)( ( )

k uf u

kt

r kt u kt

t

tr r r

r r r

伽利略變換

的“世界線”（World-line）示于圖 5。

x′ t′ x(, )( kt)

系時(shí)空點(diǎn)

Gal.ST 的“世界線”

tu ′ ≡ u ? kt

系時(shí)空點(diǎn)

x(kt)

x′ t′)( = x(kt) ? u ? kt

兩觀測(cè)者

t′,kt

t′,kt

圖 5

??

?

?

?

??

?

?

?

= ≥ ?

?

?

?

?

? ? ?

=?

?

?

?

?

?

′

′′

( ), 0

)( ( )

k uf u

kt

r kt u kt

t

tr r r

r r r

伽利略變換 的“世界線”

在圖 5 中，設(shè) x(kt) 為某個(gè)函數(shù)Φ(kt) ： x(kt) = Φ(kt)

將 x(kt) = Φ(kt) 代入等式 x′ t′)( = x(kt) ? u ? kt ，得：

t′ ≡ kt : x′ t′)( = Φ(kt) ? u ? kt

= Φ t′)( ? u ? t′

K

K′

Gal.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ≥ ?

?

?

?

?

? ? ?

=?

?

?

?

?

?

′

′′

( ), 0

)( ( )

k uf u

kt

r kt u kt

t

tr r r

r r r

伽利略變換

19

即： x′ t′)( = Φ t′)( ? tu ′

代表伽利略時(shí)空 Gal.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ≥ ?

?

?

?

?

? ? ?

=?

?

?

?

?

?

′

′′

( ), 0

)( ( )

k uf u

kt

r kt u kt

t

tr r r

r r r

伽利略變換

的“世界線”為：

伽利略時(shí)空 Gal.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ≥ ?

?

?

?

?

? ? ?

=?

?

?

?

?

?

′

′′

( ), 0

)( ( )

k uf u

kt

r kt u kt

t

tr r r

r r r

伽利略變換

為“運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（‘閃光點(diǎn)’）可被至少兩個(gè)觀測(cè)者（‘閃光點(diǎn)’處的‘抵近觀測(cè)者’與至少一

個(gè)離開(kāi)‘閃光點(diǎn)’的‘遠(yuǎn)處觀測(cè)者’）‘同時(shí)’觀測(cè)到”的“多人世界”。

~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~

小結(jié)

（1）根據(jù)閔可夫斯基時(shí)空 Min.ST 內(nèi)‘時(shí)刻τ 有排它性’之特點(diǎn)，閔可夫斯基時(shí)空 Min.ST

（Minkowski Space-time）可定義為如下‘集合’：

即：閔可夫斯基時(shí)空 Min.ST 是恒等變換 0

( ) )(

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ

為‘元素’的‘（單元素）

集合’。

恒等變換 0

( ) )(

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ

又稱為‘零’變換（‘Null’ Transformation）?！恪?/p>

變換實(shí)際上就是‘無(wú)’變換。

閔可夫斯基時(shí)空 Min.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

0

( ) )(

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ 恒等變換 為“運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)只

通過(guò)兩觀測(cè)者‘重合點(diǎn)’的呈簇狀的多條相似曲線

t′ ≡ kt

x(kt) = Φ(kt)

x′ t′)( = Φ t′)( ? tu ′

Min.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

0

( ) )(

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ 恒等變換

（u

r 為兩觀測(cè)者之間的相對(duì)速度）

20

被‘一個(gè)’觀測(cè)者（‘閃光點(diǎn)’處的‘抵近觀測(cè)者’）觀測(cè)到”的“一人世界”。

（2）根據(jù)伽利略時(shí)空Gal.ST 內(nèi)‘時(shí)刻t 無(wú)排它性’之特點(diǎn)，伽利略時(shí)空Gal.ST（Galilean

Space-time）可定義為如下‘集合’：

即：伽利略時(shí)空Gal.ST 是伽利略變換 ( ), 0

)( ( )

= ≥ ?

?

?

?

?

? ? ?

=?

?

?

?

?

?

′

′′

k uf u

kt

r kt u kt

t

tr r r

r r r

為‘元素’

的‘集合’。

伽利略時(shí)空 Gal.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ≥ ?

?

?

?

?

? ? ?

=?

?

?

?

?

?

′

′′

( ), 0

)( ( )

k uf u

kt

r kt u kt

t

tr r r

r r r

伽利略變換

為“運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（‘閃光點(diǎn)’）可被至少兩個(gè)觀測(cè)者（‘閃光點(diǎn)’處的‘抵近觀測(cè)者’與至少一

個(gè)離開(kāi)‘閃光點(diǎn)’的‘遠(yuǎn)處觀測(cè)者’）‘同時(shí)’觀測(cè)到”的“多人世界”。

~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~

將圖 1 與圖 5 重疊在一起，即得閔可夫斯基時(shí)空 Min.ST 的“世界線”與伽利略時(shí)空

Gal.ST 的“世界線”之間的關(guān)系，示于圖 6。

x′ t′ x(, )( kt)

Gal.ST（多人世界）的“世界線”— 一簇相似曲線

x(kt)

tu ′

Min.ST（一人世界）的“世界線”

′ tx ′)(

兩觀測(cè)者

t′,kt

t′,kt

圖 6 Min.ST 的“世界線”與 Gal.ST 的“世界線”之關(guān)系

Gal.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ≥ ?

?

?

?

?

? ? ?

=?

?

?

?

?

?

′

′′

( ), 0

)( ( )

k uf u

kt

r kt u kt

t

tr r r

r r r

伽利略變換

21

顯然，有：

因?yàn)?Min.ST 為恒等變換 0

( ) )(

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ

的‘（單元素）集合’，故有：

從而有：

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

恒等變換 0

( ) )(

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ

∈ Gal.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ≥ ?

?

?

?

?

? ? ?

=?

?

?

?

?

?

′

′′

( ), 0

)( ( )

k uf u

kt

r kt u kt

t

tr r r

r r r

伽利略變換

恒等變換 0

)( )(

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ

? 伽利略變換 ( ), 0

)( ( )

= = ?

?

?

?

?

? ? ?

=?

?

?

?

?

?

′

′′

k uf u

kt

r kt u kt

t

tr r r

r r r

Min.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ?

?

?

?

?

?

≡?

?

?

?

?

?

′

′′

0

( ) )(

u

r r r

r r

τ

τ

τ

τ 恒等變換

? Gal.ST ??

?

?

?

??

?

?

?

= ≥ ?

?

?

?

?

? ? ?

=?

?

?

?

?

?

′

′′

( ), 0

)( ( )

k uf u

kt

r kt u kt

t

tr r r

r r r

伽利略變換

? “宇宙時(shí)空”（“絕對(duì)時(shí)空”）

22

三、“伽利略-周方變換”之導(dǎo)出（A）

（1）在 時(shí)， K′系觀測(cè)者（ K′系原點(diǎn)）與 K 系觀測(cè)者（ K 系原點(diǎn)）相重合。

（2）在 ， 時(shí)， K′系相對(duì)于 K 系始終作速度為u

r 的平移運(yùn)動(dòng)。

（3）兩觀測(cè)者持有相同的‘時(shí)鐘’及相同的‘量尺’。

在時(shí)刻t′ ，K′系觀測(cè)者對(duì) K 系觀測(cè)者的距離為 tu ′

r ，在此時(shí)刻，處在 K 系觀測(cè)者前方

的 K′系觀測(cè)者率先觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（ K′系時(shí)空點(diǎn)）。如果光傳播速度為‘無(wú)窮大’，則兩

觀測(cè)者將‘同時(shí)’（t′ ≡ t ）觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，構(gòu)成“伽利略變換”?！百だ宰儞Q”的 K′ 系

時(shí)空點(diǎn)與 K 系時(shí)空點(diǎn)示于圖 7。

K′ 系時(shí)空點(diǎn)

K′系觀測(cè)者

K 系時(shí)空點(diǎn)

tu ′

r

K 系觀測(cè)者

圖 7 “伽利略變換”的 K′系時(shí)空點(diǎn)與 K 系時(shí)空點(diǎn)

可是，由于光傳播速度為‘有限值c ’（ 00

c = 1 μ ε ），所以，與 K′系觀測(cè)者的距離

為 tu ′

r 的 K 系觀測(cè)者不能在時(shí)刻t′ 與 K′系觀測(cè)者‘同時(shí)’觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，而只能在延后

于時(shí)刻t′ 的時(shí)刻 t

c

u

c

tu

t t ′

?

?

?

?

?

?

?

?

= +

′

= ′+

r r

1 與 K′系觀測(cè)者‘同時(shí)’觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)。

根據(jù)“光傳播定律”，有：

??

?

?

?

??

?

?

?

? ′

?

?

?

?

?

?

?

?

′ + t

c

u

t

r

變?yōu)?1 ?

??

?

?

?

??

?

?

?

? ′

?

?

?

?

?

?

?

?

′ + tu

c

u

tu

r

r

r 變?yōu)?1 ?

??

?

?

?

??

?

?

?

? ′

?

?

?

?

?

?

?

?

′ + r

c

u

r

r

r

r 變?yōu)?1

?

??

?

?

?

??

?

?

?

? ′ + ′

?

?

?

?

?

?

?

?

( ′ + ′) 1 + (r tu )

c

u

r tu

r r

r

r r 變?yōu)?/p>

“伽利略-周方變換”的 K 系時(shí)空點(diǎn)示于圖 8。

t′ = t = 0

t′ t ≥ 0

r ′

r

r′ + tu ′

r r

23

（伽利略變換的 系時(shí)空點(diǎn)）

伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)

系觀測(cè)者

系時(shí)空點(diǎn)

1 (r tu )

c

u

r ′ + ′

?

?

?

?

?

?

?

?

= +

r r

r

r

系觀測(cè)者

圖 8 “伽利略-周方變換”的 系時(shí)空點(diǎn)

從圖 8 可得伽利略-周方變換：

1 (r tu )

c

u

r ′ + ′

?

?

?

?

?

?

?

?

= +

r r

r

r

t

c

u

t ′

?

?

?

?

?

?

?

?

= +

r

1

可以表示為：

?

?

?

?

?

?

′

′ + ′

?

?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

t

r tu

c

u

t

r

r r r r

1

逆變換為：

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′

?

t

r tu

c

u

t

r

r r 1 r r

1

伽利略-周方變換 為“（一般）伽利略-周方變換”（General

Galilean-Zhou Transformation），可表為：

K

K

K ′

tu

c

u

′

?

?

?

?

?

?

?

?

+

r

r

1 r ′

r

tu ′

r

K ′

r′ + tu ′

r r

K

K

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′

?

t

r tu

c

u

t

r

r r 1 r r

1

24

在（一維）伽利略時(shí)空之場(chǎng)合下，“伽利略-周方變換”表為：

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′

?

t

x ut

c

u

t

x

1

1

于是，就得到伽利略-周方變換：

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′

?

t

x ut

c

u

t

x

1

1

或表為：

c

u

x ut

x

+

?

′ =

1

c

u

t

t

+

′ =

1

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

四、“伽利略-周方變換”之導(dǎo)出（B）

從標(biāo)準(zhǔn)的‘空間變換式’出發(fā)進(jìn)行演繹推導(dǎo)。

“時(shí)空變換”的數(shù)學(xué)表達(dá)式必須反映以下物理事實(shí)：

（1）在 時(shí)， K′系觀測(cè)者（ K′系原點(diǎn)）與 K 系觀測(cè)者（ K 系原點(diǎn)）相重合。

（2）在 ， 時(shí)， K′系相對(duì)于 K 系做速度為u 的平移運(yùn)動(dòng)。

（3）兩觀測(cè)者持有相同的‘時(shí)鐘’及相同的‘量尺’。

t′ = t = 0

t′ t ≥ 0

逆變換式：

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′

?

t

x ut

c

u

t

x

1

1

?

?

?

?

?

?

′

′+ ′

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

t

x tu

c

u

t

x

1

（一般）伽利略-周方變換

（General Galilean-Zhou Transformation）

,

1

c

u

r tu

r r

r r

r

+

?

′ =

c

u

t

t r

+

′ =

1

25

因此，‘空間變換式’必須描述如下事實(shí)：“ 系內(nèi) 之點(diǎn)就是 系之原點(diǎn) ”。

相應(yīng)地，‘空間變換式’必須是‘方程 ， k > 0 ’。下面就從這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的‘空

間變換式’ x′ = k(x ? ut) ，k > 0 ’出發(fā)進(jìn)行演繹，推導(dǎo)出客觀存在的‘時(shí)空變換’。

空間變換式 x′ = k(x ? ut) 的‘逆函數(shù)’為：

( )

1

x kut

k

ut

k

x

x + = ′ +

′

=

即：

( )

1

( )

1

x tu

k

x kut

k

x = ′ + = ′ + ′

t

k

t = ′

1

換寫(xiě)成矩陣形式：

?

?

?

?

?

?

′

′ + ′

=?

?

?

?

?

?

t

x tu

t k

x 1

由此得到‘互為正、逆函數(shù)’的兩組方程：

?

?

?

?

?

?

′

′ + ′

=?

?

?

?

?

?

t

x tu

t k

x 1

， ?

?

?

?

?

? ?

=?

?

?

?

?

?

′

′

t

x ut

k

t

x

下面確定系數(shù) 。

在某個(gè)時(shí)刻 ， 系觀測(cè)者觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，形成觀測(cè)矢量 ?

?

?

?

?

?

′

′

t

x

，由于光傳播速率

為有限值（ 仟米/秒），故在同一時(shí)刻 ，與 系觀測(cè)者的距離為 的 系觀

測(cè)者尚不能觀測(cè)到該運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)。直到 系觀測(cè)者發(fā)出光波（電磁波）信號(hào)的時(shí)刻 之后的

時(shí)刻 ： ， 系觀測(cè)者才觀測(cè)到該運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)。故有關(guān)系式：

將方程組中的關(guān)系式 t

k

t = ′

1 與此關(guān)系式 t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+ 相對(duì)照，得 。

將

1

1

?

?

?

?

?

?

?

= +

c

u

k 代入上面的兩組方程 ?

?

?

?

?

?

′

′ + ′

=?

?

?

?

?

?

t

x tu

t k

x 1

， ?

?

?

?

?

? ?

=?

?

?

?

?

?

′

′

t

x ut

k

t

x ，得伽利略周方變換：

K x = ut K′ x′ = 0

x′ = k(x ? ut)

k

t′ K′ c

5

c ≈ 0.3 ×10 t′ K′ tu ′ K

K′ t′

t

c

tu

t t

′

= ′ + K

t

c

u

c

tu

t t ? ′

?

?

?

?

?

= +

′

= ′ + 1

1

1

?

?

?

?

?

?

?

= +

c

u

k

26

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

五、“伽利略-周方變換”之導(dǎo)出（C）

我們還可以更簡(jiǎn)捷地推導(dǎo)出伽利略-周方變換 ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′′

?

t

tx ut

c

u

t

tx )(

1

)(

1

。

(1)在時(shí)刻 t′ :

tx ′)( = tu ′ + ′ tx ′)(

(2) 在時(shí)刻 1 t :

c

u

c

tu

t t ? ′

?

?

?

?

?

= +

′

= ′ + tx )( = ut + ′ tx )(

1 1( t )

c

u

t x

c

u

u ? ′

?

?

?

?

?

? ′ + ′ +

?

?

?

?

?

= +

根據(jù)“光傳播定律”得： )( 1 1 tx )(

c

u

t

c

u

tx u ? ′′

?

?

?

?

?

? ′ + +

?

?

?

?

?

= + 1 [ tu (tx )]

c

u

? ′ + ′′

?

?

?

?

?

= +

于是，得：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ′

?

?

?

?

?

+

? ′ + ′′

?

?

?

?

?

+

=?

?

?

?

?

?

t

c

u

tu tx

c

u

t

tx

1

1 [ ( )] )(

即“伽利略-周方變換”：

逆變換式：

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′

?

t

x ut

c

u

t

x

1

1

?

?

?

?

?

?

′

′+ ′

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

t

x tu

c

u

t

x

1

?

?

?

?

?

?

′

′ ′ + ′

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

t

x t tu

c

u

t

tx )(

1

)(

逆變換式：

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′′

?

t

tx ut

c

u

t

tx )(

1

)(

1

27

伽利略-周方變換 ?

?

?

?

?

?

′

′ ′ + ′

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

t

tx tu

c

u

t

tx )(

1

)(

的 K′ 系時(shí)空點(diǎn) ?

?

?

?

?

?

′

′ ′

t

tx )( 與 K 系時(shí)空點(diǎn)

?

?

?

?

?

?

t

tx )(

示于圖 9。

x′(t′); tx )(

K 系時(shí)空點(diǎn) )( 1 [ tx )( tu ]

c

u

tx ? ′′ + ′

?

?

?

?

?

= +

tu

c

u

? ′

?

?

?

?

?

1+

K′系時(shí)空點(diǎn)

′ tx ′)( 1 tx )(

c

u

? ′′

?

?

?

?

?

+

；

t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+

圖 9 伽利略-周方變換的 K′系時(shí)空點(diǎn) ?

?

?

?

?

?

′

′ ′

t

tx )( 與 K 系時(shí)空點(diǎn) ?

?

?

?

?

?

t

tx )(

~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~

伽利略-周方變換的“速度變換式”——

將

c

u

t

t

+

′ =

1

代入

c

u

tx ut

tx

+

?

′′ =

1

)(

)( ：

c

u

t

u

c

u

t

x

c

u

t

x

+

?

+

=

+

′

1

)

1

) (

1

(

′ tx ′)( = tx ′)( ? tu ′

即： tx ′)( = ′ tx ′)( + tu ′

tu ′

t′

c

tu ′

t t′ t

28

在伽利略時(shí)空內(nèi)，有：

t ≡ t′: tx )( = ′ tx ′)( + tu ′

dt

td

tu

dt

d

dt

td

dt

txd

dt

dx t ′

′

′

+

′

′

′ ′

= ( )

)( )(

得： u

dt

txd

dt

dx t

+

′

′ ′

=

)( )(

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

六、“伽利略-周方變換”之性質(zhì)

（A）伽利略-周方變換之‘正’變換 ——

將 x = ct 代入 ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′

?

t

x ut

c

u

t

x

1

1 ，得：

c tu

c

u

x ut

c

u

x 1 ( ) 1 ( )

1 1

? ?

?

?

?

?

?

? ? = +

?

?

?

?

?

′ = +

? ?

t

c

u

t

1

1

?

?

?

?

?

?

?

′ = +

將 t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+ 代入，得：

t c tu tc tu

c

u

c u

c

u

c tu

c

u

x ? ′ = ? ′ = ′ ? ′

?

?

?

?

?

? ? +

?

?

?

?

?

? ? = +

?

?

?

?

?

′ = +

? ?

1 ( ) 1 ( 1) ( )

1 1

（B）伽利略-周方變換之‘逆’變換 ——

將 x′ = (c ? )tu ′ 代入 ?

?

?

?

?

?

′

′+ ′

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

t

x tu

c

u

t

x

1 ，得：

tc

c

u

c tu tu

c

u

x tu

c

u

x ? ′

?

?

?

?

?

? ? ′ + ′ = +

?

?

?

?

?

? ′ + ′ = +

?

?

?

?

?

= 1+ ( ) 1 [( ) ] 1

t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+

u

dt

txd

dt

dx t

+

′

′ ′

=

)( )( （矢量合成三角形）

29

將 t

c

u

t

1

1

?

?

?

?

?

?

?

′ = + 代入，得： t ct

c

u

c

c

u

tc

c

u

x ? =

?

?

?

?

?

? +

?

?

?

?

?

? ′ = +

?

?

?

?

?

= +

?1

1 1 1

綜合上述（A）及（B）之變換，可得：伽利略-周方變換{x = ct, x′ = (c ? )tu ′}。

伽利略時(shí)空Gal.ST 內(nèi)的伽利略-周方變換{x = ct, x′ = (c ? )tu ′}示于圖 10。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

′′ +

?

t

c

u

tx x

1

)( ， 1

tx )( = ct

tx )(

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

?

t

c

u

x

1

1

t

c

u

tu u

1

1

?

?

?

?

?

?

?

′ = +

?ABC

′ tx ′)( ′ tx ′)( = (c ? )tu ′ = tc ′ ? tu ′

t′， t

c

u

1

1

?

?

?

?

?

?

?

+

t

t′， t

c

u

1

1

?

?

?

?

?

?

?

+

圖 10 兩觀測(cè)者的觀測(cè)矢量 ?

?

?

?

?

?

t

ct 與 ?

?

?

?

?

?

′

′ ? ′

t

tc tu

（與圖 2 對(duì)照）在圖 10 中，在每個(gè)時(shí)刻 t

c

u

t

1

1

?

?

?

?

?

?

?

′ = + ，兩觀測(cè)者‘同時(shí)’觀測(cè)到運(yùn)

動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（構(gòu)成‘伽利略變換’）。在此時(shí)刻t′，K′系觀測(cè)者的觀測(cè)矢量 ?

?

?

?

?

?

′

′ ′

t

tx )( 與 K 系觀測(cè)者

的觀測(cè)矢量

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

?

?

t

c

u

t

c

u

x

1

1

1

1

通過(guò)兩觀測(cè)者之間的距離 t

c

u

tu u

1

1

?

?

?

?

?

?

?

′ = + 構(gòu)成‘矢量合成三

角形?ABC ’。

30

根據(jù)“光傳播定律”，伽利略-周方變換 ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′′

?

t

tx ut

c

u

t

tx )(

1

)(

1

可表示為：

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′′

?

t

tx ut

c

u

t

tx )(

1

)(

1

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

?

?

?

?

?

?

? +

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

=

?

? ?

t

c

u

t

c

u

t u

c

u

x

1

1 1

1

1 1

由此得：

伽利略-周方變換 0

)(

1

)(

1

≠ ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′′

?

u

t

tr tu

c

u

t

tr r

r r r r

實(shí)際上就是在‘兩觀測(cè)者有相對(duì)

運(yùn)動(dòng)且真空中光傳播速率為有限值（u > 0）’場(chǎng)合下，由于‘多普勒效應(yīng)’導(dǎo)致兩參考系

之間的‘時(shí)空度規(guī)比’發(fā)生變動(dòng)而在每個(gè)時(shí)刻 t

c

u

t

1

1

?

?

?

?

?

?

?

?

?

′ = +

r

下形成的“伽利略變換”

0

1

1 1

)(

1

1 1

≥

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

?

?

?

?

?

?

?

?

? +

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

=?

?

?

?

?

?

′

′′

?

? ?

u

t

c

u

t

c

u

t u

c

u

r

t

tr r

r

r

r

r

r

r

。

所以，伽利略時(shí)空Gal.ST 是伽利略-周方變換 0

)(

1

)(

1

≥ ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′′

?

u

t

tr tu

c

u

t

r t r

r r r r

為

‘元素’的‘集合’：

伽利略-周方變換 ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′′

?

t

tx ut

c

u

t

tx )(

1

)(

1

c

伽利略變換

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

?

?

?

?

?

?

? +

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

=?

?

?

?

?

?

′

′′

?

? ?

t

c

u

t

c

u

t u

c

u

x

t

tx

1

1 1

1

1 1

)(

Gal.ST

??

?

?

?

??

?

?

?

≥ ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′′

?

?

0

)(

1

)(

1

u

t

tr tu

c

u

t

r t r

r r r r

伽利略 周方變換

31

伽利略-周方變換

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

?

?

?

?

?

?

? +

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

=?

?

?

?

?

?

′

′′

?

? ?

t

c

u

t

c

u

t u

c

u

x

t

tx

1

1 1

1

1 1

)(

示于圖 11。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

′′ +

?

t

c

u

tx x

1

( ), 1

K 系時(shí)空點(diǎn) )( 1 1 )(

1 1

tx

c

u

t

c

u

tx x

? ?

?

?

?

?

?

?

= +

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

′ = +

K′系時(shí)空點(diǎn) tu ′ = t

c

u

u

1

1

?

?

?

?

?

?

?

+

t

c

u

t u

c

u

tx x

1 1

)( 1 1

? ?

?

?

?

?

?

?

? +

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

′′ = +

t

c

u

t

1

1,

?

?

?

?

?

?

?

′ + t

c

u

t

1

1,

?

?

?

?

?

?

?

′ +

圖 11 伽利略-周方變換

[( ) ] ( )

( ) ?

?

?

?

?

?

+

+ ? +

=?

?

?

?

?

?

′

′′

?

? ?

cu t

x cu t u cu t

t

tx

1

1 1

1

)( 1 1

伽利略-周方變換可表為時(shí)刻 t

c

u

t

1

1

?

?

?

?

?

?

?

?

?

′ = +

r

時(shí)的伽利略變換：

32

伽利略-周方變換 ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′

?

t

x ut

c

u

t

x

1

1 的逆變換 ?

?

?

?

?

?

′

′ + ′

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

t

x tu

c

u

t

x

1 示于圖 12。

（與圖 3 對(duì)照）

1 (x tu )

c

u

x ? ′ + ′

?

?

?

?

?

= + ， t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1 +

tu ′

K 系觀測(cè)者 x′

u

K′系觀測(cè)者

運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn) 系

系

圖 12 伽利略-周方變換 ?

?

?

?

?

?

′

′ + ′

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

t

x tu

c

u

t

x

1

伽利略-周方變換 ?

?

?

?

?

?

′

′ ′ + ′

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

t

tx tu

c

u

t

tx )(

1

)(

的 K′ 系時(shí)空點(diǎn) ?

?

?

?

?

?

′

′ ′

t

tx )(

與 K 系時(shí)空點(diǎn)

?

?

?

?

?

?

t

tx )(

示于圖 13。

E K ′

x

′

K

x

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

?

?

?

?

?

?

?

?

? +

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

=?

?

?

?

?

?

′

′′

?

? ?

t

c

u

t

c

u

t u

c

u

r

t

r t

1

1 1

1

1 1

)(

r

r

r

r

r

r

逆變換為：

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

′

?

?

?

?

?

?

?

?

+

′

?

?

?

?

?

?

?

?

+ +

?

?

?

?

?

?

?

?

′

?

?

?

?

?

?

?

?

′ +

=?

?

?

?

?

?

t

c

u

t

c

u

t u

c

u

r

t

tr

r

r

r

r

r

r

1

1 1

)(

33

x′(t′); tx )(

K 系時(shí)空點(diǎn) )( 1 [ tx )( tu ]

c

u

tx ? ′′ + ′

?

?

?

?

?

= +

K′系時(shí)空點(diǎn)

x′ t′)( = tx ′)( ? tu ′

；

t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+

圖 13 伽利略-周方變換的 K′系時(shí)空點(diǎn) ?

?

?

?

?

?

′

′ ′

t

tx )( 與 K 系時(shí)空點(diǎn) ?

?

?

?

?

?

t

tx )(

解讀圖 13：（參看圖 11、圖 12）

（1）在t′，t ≥ 0 時(shí)， K′ 系對(duì) K 系沿 軸正方向始終作速度為 的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

（2）在時(shí)刻t′，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（閃光點(diǎn)）在 K′系內(nèi)的位置為 x′ t′)( = tx ′)( ? tu ′ ，而此時(shí) K′系

觀測(cè)者在 K 系內(nèi)的位置為 tu ′，故運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（閃光點(diǎn)）在 K 系內(nèi)的位置為 tx ′)( = ′ tx ′)( + tu ′ 。

若不考慮光的傳播速率（或假設(shè)光以無(wú)窮大之速率進(jìn)行傳播），則在 K′系觀測(cè)者‘接收’并

‘發(fā)出’運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)信息之時(shí)刻t′， K 系觀測(cè)者可以與在他前方距離為 tu ′的 K′系觀測(cè)者同

時(shí)觀測(cè)到該運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（閃光點(diǎn)）?？墒?，因?yàn)楣獾膫鞑ニ俾蕿橛邢拗?，所?K 系觀測(cè)者在時(shí)

刻 t′ 尚不能與 K′ 系觀測(cè)者同時(shí)觀測(cè)到該運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，而只能在滯后于時(shí)刻 t′ 的時(shí)刻

t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+ 觀測(cè)到該運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)。根據(jù)“光傳播定律”，伽利略時(shí)空內(nèi)任意時(shí)空點(diǎn) ?

?

?

?

?

?

t

tx )(

的

tu ′

t′

c

tu ′

t t′ t

x(x′) u

34

“傳播時(shí)空彈性”恒為 1

ln

ln )(

= =

d t

d tx

xt ε ，故在延遲時(shí)刻 t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+ ，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（閃光

點(diǎn)）在 K 系內(nèi)的位置相應(yīng)地為 )( 1 [x t )( tu ]

c

u

tx ? ′′ + ′

?

?

?

?

?

= + 。

~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~

下面驗(yàn)證，伽利略-周方變換滿足“相對(duì)性原理”：

取伽利略-周方變換 ?

?

?

?

?

?

′

′ + ′

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

t

x tu

c

u

t

x

1 ， 記 k

c

u

? = ′

?

?

?

?

?

1+ ，則伽利略-周方變換

?

?

?

?

?

?

′

′ + ′

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

t

x tu

c

u

t

x

1 可以換寫(xiě)成方程組：

x = k′(x′ + tu ′)

t = ′tk ′

求‘逆函數(shù)’：

′xk ′ + ′ tuk ′ = x

0x′ + ′tk ′ = t

( )

1

0

x ut

k

k

k uk

t k

x uk

x ?

′

=

′

′ ′

′

′

′ =

t

k

k

k uk

t

k x

t

′

=

′

′ ′

′

′ =

1

0

0

?

?

?

?

?

? ?

′

=?

?

?

?

?

?

′

′

t

x ut

t k

x 1

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′

?

t

x ut

c

u

t

x

1

1

~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~

35

計(jì) 算 示 例 ： 設(shè) K′ 系 時(shí) 空 軌 跡 為 ′ tx ′)( =1+ sin t′ ， 代 入 伽 利 略 - 周 方 變 換

的方程組： )( 1 [ tx )( tu ]

c

u

tx ? ′′ + ′

?

?

?

?

?

= + 及 t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+ ，則 K

系時(shí)空軌跡為：

1 1( sin t tu )

c

u

x ? + ′ + ′

?

?

?

?

?

= + tu

c

u

t

c

u

? ′

?

?

?

?

?

? + ′ + +

?

?

?

?

?

= 1+ 1( sin ) 1 t ut

c

u

? + ′ +

?

?

?

?

?

= 1+ 1( sin )

ut

c

u

t

c

u

+

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

? +

?

?

?

?

?

= +

1

1 1 sin 。

計(jì)算結(jié)果示于圖 14。

，

K 系時(shí)空軌跡： ut

c

u

t

c

u

x +

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

? +

?

?

?

?

?

= +

1

1 1 sin

K′系時(shí)空軌跡： x′ = 1 + sin t′ ， t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+

‘伽利略變換’的 K 系時(shí)空軌跡

1.0

；

圖 14 伽利略-周方變換下 K′系時(shí)空軌跡與 K 系時(shí)空軌跡之間的‘協(xié)變’

圖 13 與圖 14 展示了運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)（‘閃光點(diǎn)’）的 K′系時(shí)空軌跡 在伽利略-周

方變換下與 K 系時(shí)空軌跡 ‘協(xié)變’（‘形狀相似’）情況。

（1）由于 K′系觀測(cè)者與 K 系觀測(cè)者之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)（u ）且真空中光傳播速率為有限值

?

?

?

?

?

?

′

′ ′ + ′

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

t

tx tu

c

u

t

tx )(

1

)(

x x′

1

u

c

+

1

u

c

+

t t′

x t ′ ′ = +1 sin

1 1 sin

1

u t

x ut

c u

c

? ? ? ? ? ?

= + + + ? ?? ? ? ?? ? +

? ?

36

（c ），因而使得從 K′系觀測(cè)者向 K 系觀測(cè)者傳播的波動(dòng)產(chǎn)生‘多普勒效應(yīng)’（“紅移”）。

因此，在 K 系觀測(cè)者看來(lái)，K′系中的波動(dòng)變慢至 ?

?

?

?

?

?

+

c

u

1 倍[ 即頻率變低至 ?

?

?

?

?

?

+

c

u

1 倍 ]，

這等同于波動(dòng)周期變大至 ?

?

?

?

?

?

+

c

u

1 倍。

（2） K 系觀測(cè)者的 系時(shí)空點(diǎn) ?

?

?

?

?

?

t

tx )(

滿足‘光傳播定律’：“光傳播時(shí)空彈性”為

1

ln

ln )(

= =

d t

d tx

xt ε ，所以，在 K 系觀測(cè)者看來(lái)， K′系中的波動(dòng)周期變大至 ?

?

?

?

?

?

+

c

u

1 倍，

就使得波長(zhǎng)與振幅均變大至 ?

?

?

?

?

?

+

c

u

1 倍。

總體情況是：在 K 系觀測(cè)者看來(lái)， K′系中的波動(dòng)是：頻率變低至 ?

?

?

?

?

?

+

c

u

1 倍，即周期

變大至 ?

?

?

?

?

?

+

c

u

1 倍，致使波長(zhǎng)及振幅均變大至 ?

?

?

?

?

?

+

c

u

1 倍。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

七、兩觀測(cè)者之間的‘相離運(yùn)動(dòng)’與‘相向運(yùn)動(dòng)’

在兩觀測(cè)者相對(duì)速度為 的場(chǎng)合下，（一般）伽利略-周方變換

（General Galilean-Zhou Transformation）的變換方程組 ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

= + ?

?

?

?

?

?

′

′′

?

t

tr tu

c

u

t

r t

r r r r

)(

1

)(

1

便成為以下形式的（特殊）伽利略-周方變換（Special Galilean-Zhou Transformation）：

K

u [u 0 0] const.

T

= =

r

1 (x tu )

c

u

x ? ′ + ′

?

?

?

?

?

= + ( )

1

1

x ut

c

u

x ?

+

′ =

y

c

u

y ? ′

?

?

?

?

?

= 1+ y

c

u

y

+

′ =

1

1

z

c

u

z ? ′

?

?

?

?

?

= 1+ z

c

u

z

+

′ =

1

1

t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+ t

c

u

t

+

′ =

1

1

37

******************************************************************

（一）兩觀測(cè)者之間的相離運(yùn)動(dòng)

兩觀測(cè)者相離運(yùn)動(dòng)下伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)示于圖 15、圖 16、圖 17。

伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)

系觀測(cè)者

系時(shí)空點(diǎn)

系觀測(cè)者

圖 15 兩觀測(cè)者相離運(yùn)動(dòng)下伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)

伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)

系時(shí)空點(diǎn)

系觀測(cè)者

系觀測(cè)者

圖 16 兩觀測(cè)者相離運(yùn)動(dòng)下伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)

K

K

K ′

tu

c

u

′

?

?

?

?

?

?

?

?

+

r

r

1 r ′

r

K ′

tu ′

r

r′ + tu ′

r r

1 (r tu )

c

u

r ′ + ′

?

?

?

?

?

?

?

?

= +

r r

r

r

K

K

K

′, xx

y′

u K′

y

z′

K′

K z

K

38

伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)

系觀測(cè)者觀測(cè)到的影像

K′系觀測(cè)者觀測(cè)到的影像

系時(shí)空點(diǎn)

系觀測(cè)者

系觀測(cè)者

圖 17 兩觀測(cè)者相離運(yùn)動(dòng)下伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)

*****************************************************************

（二）兩觀測(cè)者之間的相向運(yùn)動(dòng)

兩觀測(cè)者相向運(yùn)動(dòng)下伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)示于圖 18、圖 19、圖 20。

系觀測(cè)者

系時(shí)空點(diǎn)

伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)

1 (r tu )

c

u

r

f

f

′ + ′

?

?

?

?

?

?

?

?

= ?

r r

r

r

系觀測(cè)者

圖 18 兩觀測(cè)者相向運(yùn)動(dòng)下伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)

K

K

y′

u K′

y

z′

K′

K z

K

K

K ′

r ′

r

K ′

tu ′

r

K

r′ + tu ′

r r

K

K

′, xx

39

系時(shí)空點(diǎn)

伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)

系觀測(cè)者

系觀測(cè)者

圖 19 兩觀測(cè)者相向運(yùn)動(dòng)下伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)

系時(shí)空點(diǎn)

K′系觀測(cè)者觀測(cè)到的影像

系觀測(cè)者觀測(cè)到的影像

伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)

系觀測(cè)者

系觀測(cè)者

圖 20 兩觀測(cè)者相向運(yùn)動(dòng)下伽利略-周方變換的 系時(shí)空點(diǎn)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

八、（特殊）伽利略-周方變換計(jì)算示例

設(shè)：某運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的 系時(shí)空軌跡為 ， ， 3

tz ′′ )( = tb ′ 。

將 ， ， 3

tz ′′ )( = tb ′ 代入（特殊）伽利略-周方變換方程組：

y′ K′

′, xx

K

y u

z′

K′

z

K

K

K′

y′

K

K

y z′

u

K′

z

K

K

K′ ′ tx ′)( = 1+ sin t′

2

ty ′′ )( = ta ′

′ tx ′)( = 1+ sin t′

2

ty ′′ )( = ta ′

′, xx

40

得出該運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的 系時(shí)空軌跡：

ut

c

u

t

c

u

+

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

? +

?

?

?

?

?

= +

1

1 1 sin

3

3 2

3 3

)( 1 1 1 1 bt

c

u

c

u

bt

c

u

tb

c

u

tz

? ?

?

?

?

?

?

?

? = +

?

?

?

?

?

? +

?

?

?

?

?

? ′ = +

?

?

?

?

?

= +

反之，將 ut

c

u

t

c

u

tx +

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

? +

?

?

?

?

?

= +

1

)( 1 1 sin ， 2

1

)( 1 at

c

u

ty

?

?

?

?

?

?

?

= + ， 3

2

)( 1 bt

c

u

tz

?

?

?

?

?

?

?

= + 代入

“逆變換”：

得出該運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的 系時(shí)空軌跡：

1 (x tu )

c

u

x ? ′ + ′

?

?

?

?

?

= +

y

c

u

y ? ′

?

?

?

?

?

= 1+

z

c

u

z ? ′

?

?

?

?

?

= 1+

t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+

K

)( 1 [ ] )( 1 1( sint tu )

c

u

tx tu

c

u

tx ? + ′ + ′

?

?

?

?

?

? ′′ + ′ = +

?

?

?

?

?

= +

2

2 1

2 2

)( 1 1 1 1 at

c

u

c

u

at

c

u

ta

c

u

ty

? ?

?

?

?

?

?

?

? = +

?

?

?

?

?

? +

?

?

?

?

?

? ′ = +

?

?

?

?

?

= +

t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+

( )

1

1

x ut

c

u

x ?

+

′ =

y

c

u

y

+

′ =

1

1

z

c

u

z

+

′ =

1

1

t

c

u

t

+

′ =

1

1

K′

41

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+ ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

? +

?

?

?

?

?

? +

?

?

?

?

?

′′ = +

?

ut ut

c

u

t

c

u

c

u

tx

1

)( 1 1 1 sin

1

t

c

u

t

= + ′

+

= + 1 sin

1

1 sin

2 2

1 1

)( 1 )( 1 1 ta ta

c

u

c

u

ty

c

u

ty ? ′ = ′

?

?

?

?

?

? +

?

?

?

?

?

? = +

?

?

?

?

?

′′ = +

? ?

3 3

1 1 2

)( 1 )( 1 1 bt tb

c

u

c

u

tz

c

u

tz ? = ′

?

?

?

?

?

? +

?

?

?

?

?

? = +

?

?

?

?

?

′′ = +

? ? ?

~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~

計(jì)算結(jié)果 — 系時(shí)空軌跡[ , , ]與相應(yīng)的 系時(shí)空軌跡[ ,

, ] — 示于圖 21、圖 22、圖 23。

， 系時(shí)空軌跡 ut

c

u

t

c

u

tx +

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

? +

?

?

?

?

?

= +

1

)( 1 1 sin

系時(shí)空軌跡 ，

1.0

；

圖 21 在 軸方向上 系時(shí)空軌跡與 系時(shí)空軌跡之間的‘協(xié)變’

t

c

u

t

1

1

?

?

?

?

?

?

?

′ = +

K ′ ′ tx ′)( y′ t′)( ′ tz ′)( K tx )(

ty )( tz )(

x′ x K

K′ x t ′ ′ = +1 sin t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+

1

u

c

+

1

u

c

+

t′ t

x K′ K

42

，

系時(shí)空軌跡 （拋物線）

系時(shí)空軌跡 （拋物線）

；

圖 22 在 軸方向上 系時(shí)空軌跡與 系時(shí)空軌跡之間的‘協(xié)變’

，

系時(shí)空軌跡： 3

2

)( 1 bt

c

u

tz

?

?

?

?

?

?

?

= + （三次拋物線）

系時(shí)空軌跡： 3

tz ′′ )( = tb ′ （三次拋物線）

；

圖 23 在 軸方向上 系時(shí)空軌跡與 系時(shí)空軌跡之間的‘協(xié)變’

圖 21、圖 22 及圖 23 揭示了 K 系時(shí)空軌跡與 系時(shí)空軌跡之間的‘協(xié)變’關(guān)系，展

示了‘兩觀測(cè)者’場(chǎng)合下的“世界線”（兩條相似的曲線），證明了“伽利略相對(duì)性原理”，

y′ y

K

2

1

)( 1 at

c

u

ty

?

?

?

?

?

?

?

= +

K′

2

ty ′′ )( = ta ′

t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+

t′ t

y K′ K

z′ z

K

K′

t

c

u

t ? ′

?

?

?

?

?

= 1+

t′ t

z K′ K

K′