目 錄

專題 １ 實(shí)數(shù) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １

專題 ２ 代數(shù)式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５

專題 ３ 一次方程 （組） !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９

專題 ４ 分式方程 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３

專題 ５ 一次二次方程 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １７

專題 ６ 一元一次不等式 （組） !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２１

專題 ７ 統(tǒng)計(jì) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２５

專題 ８ 概率 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２９

專題 ９ 幾何基礎(chǔ) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３３

專題 １０ 三角形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３７

專題 １１ 三角形中的線段旋轉(zhuǎn) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４１

專題 １２ 三角形的旋轉(zhuǎn) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４５

專題 １３ 三角形的相似 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４９

專題 １４ 三角形的旋轉(zhuǎn)與相似 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５３

專題 １５ 平行四邊形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５７

專題 １６ 菱形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６１

專題 １７ 矩形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６５

專題 １８ 正方形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６９

專題 １９ 三角函數(shù) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７３

專題 ２０ 三角函數(shù)的應(yīng)用之方向角 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７７

專題 ２１ 三角函數(shù)的應(yīng)用之俯角、仰角 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８１

專題 ２２ 點(diǎn)與圓的關(guān)系 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８５

專題 ２３ 直線與圓的關(guān)系 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８９

專題 ２４ 圓的有關(guān)計(jì)算 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９３

專題 ２５ 圖形的變換 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９７

專題 ２６ 圖形的探索、發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０１

專題 ２７ 反比例函數(shù) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０５

專題 ２８ 一次函數(shù) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０９

專題 ２９ 一次函數(shù)的應(yīng)用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１３

專題 ３０ 二次函數(shù)的圖象 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１７

專題 ３１ 二次函數(shù)的性質(zhì) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２１

專題 ３２ 二次函數(shù)的最值 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２５

專題 ３３ 二次函數(shù)的應(yīng)用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２９

專題 ３４ 二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３３

專題 ３５ 二次函數(shù)與四邊形動(dòng)點(diǎn)綜合應(yīng)用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３７

專題 ３６ 二次函數(shù)與新定義綜合應(yīng)用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １４１

專題 ３７ 新定義與函數(shù)綜合應(yīng)用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １４５

參考答案

· １· · ２·

專題 １ 實(shí)數(shù)

一、選擇題

１．!!\"!#\"#$%&' 越山向海，一路花開(kāi)．在 ５月 ２４日舉行的 ２０２４遼寧省高品質(zhì)文體旅融合發(fā)

展大產(chǎn)業(yè)招商推介活動(dòng)中，全省 ３０個(gè)重大文體旅項(xiàng)目進(jìn)行集中簽約，總金額達(dá) ５３２億元．將

５３２００００００００用科學(xué)記數(shù)法表示為 （ ）

Ａ．５３２×１０８ Ｂ．５３２×１０９ Ｃ．５３２×１０１０ Ｄ．５３２×１０１１

２．!!\"!#\"#$%&' 亞洲、歐洲、非洲和南美洲的最低海拔如表：

大洲 亞洲 歐洲 非洲 南美洲

最低海拔／ｍ －４１５ －２８ －１５６ －４０

其中最低海拔最小的大洲是 （ ）

Ａ．亞洲 Ｂ．歐洲 Ｃ．非洲 Ｄ．南美洲

３．!!\"!#\"()' 山海關(guān)不住，春游選遼寧．２０２４年清明節(jié)假期我省 ７家 ５Ａ級(jí)旅游景區(qū)累計(jì)接待

游客 ２３１３００人次．將 ２３１３００用科學(xué)記數(shù)法表示為 （ ）

Ａ．２３１３×１０４ Ｂ．２３１３×１０５ Ｃ．２３１３×１０６ Ｄ．０２３１３×１０６

４．!!\"!#\"()' 在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，鎢、萘、冰、固態(tài)氫四種晶體的熔點(diǎn)如表：

晶體 鎢 萘 冰 固態(tài)氫

熔點(diǎn)／℃ ３４１０ ８０５ ０ －２５９

其中熔點(diǎn)最低的晶體為 （ ）

Ａ．鎢 Ｂ．萘 Ｃ．冰 Ｄ．固態(tài)氫

５．!!\"!#\"*+,)' 如圖，比數(shù)軸上的點(diǎn) Ａ表示的數(shù)大 １的數(shù)是 （ ）

第 ５題圖

Ａ． －１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ． －２

６．!!\"!#\"-.,)' 今年的 ２月 １０日是我國(guó)的農(nóng)歷春節(jié)，這一天錦州市的最高氣溫為 ４℃，最低

氣溫為 －６℃，則這天的溫差是 （ ）

Ａ．２℃ Ｂ．４℃ Ｃ．６℃ Ｄ．１０℃

７．!!\"!#\"/0,)' 化學(xué)老師在實(shí)驗(yàn)室中發(fā)現(xiàn)了四個(gè)因操作不規(guī)范沾染污垢或被腐蝕的砝碼，經(jīng)

過(guò)測(cè)量，超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的部分記為正數(shù)，不足的部分記為負(fù)數(shù)，它們中質(zhì)量最接近標(biāo)準(zhǔn)的是 （ ）

８．!!\"!#\"123)' 據(jù)第七次全國(guó)人口普查數(shù)據(jù)，截至 ２０２１年，遼寧省總?cè)丝跀?shù)超過(guò) ４２２９萬(wàn)

人．其中 “４２２９萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為 （ ）

Ａ．４２２９×１０３ Ｂ．４２２９×１０５ Ｃ．４２２９×１０７ Ｄ．０４２２９×１０８

９．!!\"!#\"12,)' 隨著商業(yè)的發(fā)展和技術(shù)的進(jìn)步，手機(jī)支付已經(jīng)成為常見(jiàn)的支付方式．若手機(jī)

錢包收入 １００元記作 ＋１００元，則 －１５元表示 （ ）

Ａ．支出 １５元 Ｂ．收入 １５元 Ｃ．支出 １１５元 Ｄ．收入 １１５元

１０．!!\"!#\"45,)' ２０２４年５月３日，嫦娥六號(hào)探測(cè)器由長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭在中國(guó)文昌航天發(fā)射

場(chǎng)成功發(fā)射，嫦娥六號(hào)探測(cè)器開(kāi)啟世界首次月球背面采樣返回之旅．月球距離地球的平均距離為

３８４０００千米，數(shù)據(jù) ３８４０００用科學(xué)記數(shù)法表示為 （ ）

Ａ．３８４×１０３ Ｂ．３８４×１０５ Ｃ．３８４×１０４ Ｄ．０３８４×１０６

１１．!!\"!#\"67,)' 遼寧地處松遼平原，在北緯 ３８度到 ４３度的黃金農(nóng)業(yè)緯度帶上，是全國(guó)十三

個(gè)糧食主產(chǎn)省之一．去年遼寧的糧食總產(chǎn)量達(dá)到 ５１２７０００００００斤，創(chuàng)歷史新高．將數(shù)據(jù)

５１２７０００００００用科學(xué)記數(shù)法表示為 （ ）

Ａ．５１２７×１０１１ Ｂ．０５１２７×１０１１ Ｃ．５１２７×１０１０ Ｄ．５１２７×１０７

１２．!!\"!#\"/03)' 如圖，數(shù)軸上點(diǎn) Ａ表示的數(shù)的相反數(shù)是 （ ）

Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ． －１ Ｄ． －２

第 １２題圖 第 １３題圖

１３．!!\"!#\"12,)' 如圖，數(shù)軸上點(diǎn) Ｍ，Ｎ表示兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，點(diǎn) Ａ表示的數(shù)是 槡１３，則點(diǎn) Ｎ表

示的數(shù)是 （ ）

Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６

１４．!!\"!#\"/03)' 共享開(kāi)放機(jī)遇，共創(chuàng)美好生活．２０２３年 ４月 １０日至 １５日，第三屆中國(guó)國(guó)際

消費(fèi)品博覽會(huì)在海南省?？谑信e行，以 “打造全球消費(fèi)精品展示交易平臺(tái)”為目標(biāo)，進(jìn)場(chǎng)觀眾

超 ３２萬(wàn)人次，數(shù)據(jù) ３２００００用科學(xué)記數(shù)法表示為 （ ）

Ａ．３２×１０４ Ｂ．３２×１０５ Ｃ．３２×１０６ Ｄ．３２×１０４

· ５· · ６·

專題 ２ 代數(shù)式

一、選擇題

１．!!\"!#\"#$%&' 下列計(jì)算正確的是 （ ）

Ａ．ａ

２＋ａ

３＝２ａ

５ Ｂ．ａ

２

·ａ

３＝ａ

６

Ｃ．（ａ

２

）３＝ａ

５ Ｄ．ａ（ａ＋１）＝ａ

２＋ａ

２．!!\"!#\"()' 下列計(jì)算正確的是 （ ）

Ａ．ａ

３

·ａ

４＝ａ

１２ Ｂ．（２ａ

２

）３＝２ａ

６

Ｃ．ａ

２＋ａ

２＝２ａ

２ Ｄ．（ａ＋２）２＝ａ

２＋４

３．!!\"!#\"123)' 下列計(jì)算正確的是 （ ）

Ａ．ａ

３

·ａ

２＝ａ

６ Ｂ．（ａ

３

）４＝ａ

７ Ｃ．ａ

６

ａ

３＝ａ

２ Ｄ．ａ

５＋ａ

５＝２ａ

５

４．!!\"!#\"*+,)' 下列計(jì)算正確的是 （ ）

Ａ．３ａ

３－ａ

２＝２ａ Ｂ．（ａ＋ｂ）２＝ａ

２＋ｂ２

Ｃ．ａ

３

ｂ２÷ａ

２＝ａｂ２ Ｄ．（ａ

２

ｂ）２＝ａ

４

ｂ

５．!!\"!#\"/0,)' 下列計(jì)算不正確獉獉獉的是 （ ）

Ａ．（ａ＋２ｂ）２＝ａ

２＋２ａｂ＋４ｂ２ Ｂ．ａ

２

·ａ

３＝ａ

５

Ｃ．（ａ－１

ｂ２

）３＝ａ－３

ｂ６ Ｄ．３ａ－ａ＝２ａ

６．!!\"!#\"#+@)' 下列計(jì)算正確的是 （ ）

Ａ．ａ· （ｂ２

）３＝ａｂ５ Ｂ．（ａ－ｂ）（ｂ－ａ）＝ｂ２－ａ

２

Ｃ．ｘ

４÷ｘ

２＝ｘ

２ Ｄ．２ｘ

３＋３ｘ

２＝５ｘ

５

７．!!\"!#\"67,)' 下列計(jì)算正確的是 （ ）

Ａ．（－２ａ）３

·ａ

２＝－６ａ

５ Ｂ．ａ

３÷ａ

２＝ａ

Ｃ．２ａ

３－ａ

３＝１ Ｄ．（ａ－ｂ）（－ａ＋ｂ）＝ｂ２－ａ

２

８．!!\"!#\"45,)' 下列計(jì)算正確的是 （ ）

Ａ．ｘ

２

·ｘ

３＝ｘ

６ Ｂ．５ｘ－２ｘ＝３

Ｃ．ｘ

６÷ｘ

２＝ｘ

４ Ｄ．（－２ｘ

２

）３＝－６ｘ

６

９．!!\"!#\">?,)' 下列計(jì)算正確的是 （ ）

Ａ．（ａ

２

）４＝ａ

８ Ｂ．ａ

２

·ａ

４＝ａ

８

Ｃ．（ａ＋ｂ）２＝ａ

２＋ｂ２ Ｄ．ａ

２＋ａ

２＝ａ

４

１０．!!\"!#\"*+89:;)' 下列計(jì)算正確的是 （ ）

Ａ．３ａ

２－２ａ＝ａ Ｂ． －（ａ－２）＝－ａ－２

Ｃ．３（ａ－１）＝３ａ－１ Ｄ．３ａ＋２ａ＝５ａ

１１．!!\"!#\"-.,)' 若 ２ａ＋３ｂ＝４，則整式 －２ａ－３ｂ＋７的值是 （ ）

Ａ． －３ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．１１

１２．!!\"!#\"*+,)' 計(jì)算ａ－１

ａ

＋

１

ａ

的結(jié)果是 （ ）

Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．ａ Ｄ．ａ－２

１３．!!\"!#\"*+AB;)' 已知 ２ａ

２－ａ－３＝０，則 （２ａ＋３）（２ａ－３）＋（２ａ－１）２的值是 （ ）

Ａ．６ Ｂ． －５ Ｃ． －３ Ｄ．４

１４．!!\"!#\"*+CD;)' 計(jì)算 ３ａ

ａ－ｂ－ ３ｂ

ａ－ｂ

的結(jié)果是 （ ）

Ａ．３ Ｂ．３ａ＋３ｂ Ｃ．１ Ｄ． ６ａ

ａ－ｂ

１５．!!\"!#\"-.,)' 如圖，下列各圓中三個(gè)扇形上標(biāo)記的數(shù)字之間都有相同的規(guī)律，則根據(jù)此規(guī)

律，可以得出圖中 ｂ的值為 （ ）

第 １５題圖

Ａ．１４３ Ｂ．１４０ Ｃ．１２３ Ｄ．１２０

二、填空題

１６．!!\"!#\"()' 因式分解：ａ

２＋ａｂ＝ ．

１７．!!\"!#\"/0,)' 因式分解：ａ

２－４ｂ２＝ ．

１８．!!\"!#\"*+AB;)' 因式分解：３ｍａ

２－６ｍａｂ＋３ｍｂ２＝ ．

１９．!!\"!#\"45,)' 因式分解：ｘｙ

２＋２ｘｙ＋ｘ＝ ．

２０．!!\"!#\"/03)' 因式分解：ａｘ

３＋４ａｘ＝ ．

２１．!!\"!#\"/0EF)G' 已知 ａ＝２＋槡３，ｂ＝２－槡３，則代數(shù)式 ａ

２

ｂ－ａｂ２的值等于 ．

２２．!!\"!#\"123)' 若二次根式 槡ｘ－３在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則 ｘ的取值范圍為 ．

三、解答題

２３．!!\"!#\"#$%&' 計(jì)算：

ａ

ａ＋１

·ａ

２－１

ａ

２ ＋

１

ａ．

· ９· · １０·

專題 ３ 一次方程 （組）

一、選擇題

１．!!\"!#\"#$%&' 我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作 《孫子算經(jīng)》中有 “雉兔同籠”問(wèn)題： “今有雉兔同籠，

上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”其大意是：雞兔同籠，共有 ３５個(gè)頭，９４條腿，

問(wèn)：雞兔各多少只？設(shè)雞有 ｘ只，兔有 ｙ只，根據(jù)題意可列方程組為 （ ）

Ａ． ｘ＋ｙ＝９４，

{４ｘ＋２ｙ＝３５

Ｂ． ｘ＋ｙ＝９４，

{２ｘ＋４ｙ＝３５

Ｃ． ｘ＋ｙ＝３５，

{４ｘ＋２ｙ＝９４

Ｄ． ｘ＋ｙ＝３５，

{２ｘ＋４ｙ＝９４

２．!!\"!#\"*+,)' 《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作之一．書(shū)中記載： “今有人共買

兔．人出九，盈六；人出七，不足十四．問(wèn)人數(shù)幾何？”意思是：“有若干人共同出錢買兔，如果

每人出九錢，那么多了六錢；如果每人出七錢，那么少了十四錢．問(wèn)：共有幾個(gè)人？”設(shè)共有 ｘ個(gè)

人共同出錢買兔，根據(jù)題意可列一元一次方程為 （ ）

Ａ．９ｘ＋６＝７ｘ－１４ Ｂ．９ｘ－６＝７ｘ＋１４

Ｃ．９ｘ－６＝７ｘ－１４ Ｄ．９ｘ＋６＝７ｘ＋１４

３．!!\"!#\"123)' 明代的數(shù)學(xué)著作 《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題： “隔墻聽(tīng)得客分銀，不知

人數(shù)不知銀，七兩分之少四兩，五兩分之多半斤．”其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七

兩，則還差四兩，如果每人分五兩，則還多半斤 （注：明代 １斤 ＝１６兩，故有 “半斤八兩”這個(gè)

成語(yǔ)）．問(wèn)：人數(shù)和銀子數(shù)各多少．設(shè)共有 ｘ兩銀子，則可列方程為 （ ）

Ａ．７ｘ－４＝５ｘ＋８ Ｂ．ｘ－４

７ ＝ｘ＋８

５

Ｃ．７ｘ＋４＝５ｘ－８ Ｄ．ｘ＋４

７ ＝ｘ－８

５

４．!!\"!#\"-.,)' 中國(guó)古今詩(shī)歌中蘊(yùn)含著很多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，下列一首古詩(shī)歌中就蘊(yùn)含著方

程的數(shù)量關(guān)系： “老頭提籃去趕集，一共花去七十七．滿滿裝了一菜籃，十斤大肉三斤魚(yú)；買好

未曾問(wèn)單價(jià)，只因回家心里急；道旁行人告訴他，九斤肉錢五斤魚(yú)．”其意思是：老頭用 ７７元錢

共買了 １０斤肉和 ３斤魚(yú)，９斤肉的錢數(shù)等于 ５斤魚(yú)的錢數(shù)，問(wèn)每斤肉和魚(yú)各是多少錢．如果設(shè)每

斤肉 ｘ元，每斤魚(yú) ｙ元，那么可列二元一次方程組為 （ ）

Ａ． １０ｘ＋３ｙ＝７７，

{５ｘ＝９ｙ

Ｂ． １０ｘ＋３ｙ＝７７，

{９ｘ＝５ｙ

Ｃ． ３ｘ＋１０ｙ＝７７，

{５ｘ＝９ｙ

Ｄ． ３ｘ＋１０ｙ＝７７，

{９ｘ＝５ｙ

５．!!\"!#\"12J53)' 《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊．人出五，不足四十五；人出八．盈

十八．人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊．若每人出 ５錢，還差 ４５錢；若每人出

８錢，還多 １８錢．問(wèn)合伙人數(shù)、羊價(jià)各是多少．設(shè)人數(shù)為 ｘ人，羊價(jià)為 ｙ錢，則可列方程組

（ ）

Ａ． ｙ－５ｘ＝４５，

{ｙ－８ｘ＝１８

Ｂ． ｙ－５ｘ＝４５，

{８ｘ－ｙ＝１８

Ｃ． ５ｘ－ｙ＝４５，

{ｙ－８ｘ＝１８

Ｄ． ５ｘ－ｙ＝４５，

{８ｘ－ｙ＝１８

６．!!\"!#\"45CD<=' 我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作 《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有鳧起南海，七

日至北海．雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問(wèn)：何日相逢？其大意為：野鴨從南海飛到北

海用 ７天，大雁從北海飛到南海用 ９天．它們從兩地同時(shí)起飛，幾天后相遇？設(shè) ｘ天后相遇，根

據(jù)題意所列方程正確的是 （ ）

Ａ．７ｘ＋９ｘ＝１ Ｂ．１

７ｘ＋

１

９ｘ＝１ Ｃ．９ｘ－７ｘ＝１ Ｄ．１

７ｘ－１

９ｘ＝１

７．!!\"!#\"45C?,)' 我國(guó)古代著作 《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩(shī)： “林下牧童鬧如

簇，不知人數(shù)不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童們?cè)跇?shù)下拿著竹竿

高興地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人 ６竿，多 １４竿；每人 ８竿，少 ２竿．”若設(shè)有牧童 ｘ人，

根據(jù)題意可列方程為 （ ）

Ａ．６ｘ＋１４＝８ｘ－２ Ｂ．６ｘ－１４＝８ｘ＋２ Ｃ．６ｘ＋１４＝８ｘ＋２ Ｄ．６ｘ－１４＝８ｘ－２

第 ８題圖

８．!!\"!#\">?,)' 《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，是 《算經(jīng)十

書(shū)》中最重要的一種，成于公元一世紀(jì)左右，其中有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，原

文如下：“清明游園，共坐八船，大船滿六，小船滿四，三十八學(xué)子，滿船坐

觀．請(qǐng)問(wèn)客家，大小幾船？”其大意為：清明時(shí)節(jié)出去游園，所有人共坐了 ８

只船，每只大船坐 ６人，每只小船坐 ４人，３８人剛好坐滿，問(wèn)：大小船各有幾只？若設(shè)有 ｘ只大

船，則可列方程為 （ ）

Ａ．４ｘ＝３８－６ｘ Ｂ．６ｘ＝３８－４ｘ Ｃ．６ｘ＋４（８－ｘ）＝３８ Ｄ．４ｘ＋６（８－ｘ）＝３８

二、填空題

９．!!\"!#\"*+HI;)' 我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作 《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題： “今有共買物．人

出八，盈三；人出七，不足四．問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”意思是：“幾個(gè)人一起去購(gòu)買某物品．每

人出 ８錢，則多出 ３錢；每人出 ７錢，則還差 ４錢．問(wèn)人數(shù)、物品的價(jià)格分別是多少．”則物品的

價(jià)格為 錢．

１０．!!\"!#\"12KL3)' 《九章算術(shù)》卷八方程 【七】中記載： “今有牛五、羊二，值金十兩．

牛二、羊五，值金八兩．牛、羊各值金幾何？”題目大意是：５頭牛、２只羊共值金 １０兩，２頭

牛、５只羊共值金 ８兩．每頭牛、每只羊各值金多少兩？若設(shè)一頭牛值金 ｘ兩，一只羊值金 ｙ兩，

則可列方程組為 ．

· ８１· · ８２·

專題 ２１ 三角函數(shù)的應(yīng)用之俯角、仰角

解答題

１．!!\"!#\"#$%&' 如圖 １，在水平地面上，一輛小車用一根繞過(guò)定滑輪的繩子將物體豎直向上

提起，起始位置示意圖如圖 ２，此時(shí)測(cè)得點(diǎn) Ａ到 ＢＣ所在直線的距離 ＡＣ＝３ｍ，∠ＣＡＢ＝６０°，停止

位置示意圖如圖 ３，此時(shí)測(cè)得∠Ｄ＝３７°（點(diǎn) Ｃ，Ａ，Ｄ在同一直線上，且直線 ＣＤ與地面平行），圖

３中所有點(diǎn)在同一平面內(nèi)．定滑輪半徑忽略不計(jì)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩子總長(zhǎng)不變．

（１）求 ＡＢ的長(zhǎng)．

（２）求物體上升的高度 ＣＥ．

（結(jié)果精確到 ０１ｍ，參考數(shù)據(jù)：ｓｉｎ３７°≈０６０，ｃｏｓ３７°≈０８０，ｔａｎ３７°≈０７５，槡３≈１７３）

第 １題圖

２．!!\"!#\"()' 如圖 １，在水平桌面上擺放著一個(gè)主體部分為圓柱體的透明容器，容器的截面示

意圖如圖 ２所示，其中 ＣＥ＝２１ｃｍ，∠ＣＥＦ＝９０°．

（１）如圖３，點(diǎn) Ｃ固定不動(dòng)，將容器傾斜至 Ａ１Ｂ１ＣＤ１位置，液面剛好位于 Ｍ１Ｅ１處，點(diǎn) Ｅ１到直線 ｌ

的距離 Ｅ１Ｋ，記為 ｈｃｍ，測(cè)得∠Ｅ１ＣＫ＝６０°，求 ｈ的值．

（２）如圖 ４，在 （１）的條件下，再將容器緩慢傾斜倒出適量的液體，此時(shí)容器位于 Ａ２Ｂ２ＣＤ２ 位

置，液面剛好位于 Ｍ２Ｅ２處，Ｅ１Ｆ１，Ｅ２Ｆ２的延長(zhǎng)線分別與直線 ｌ相交于點(diǎn) Ｈ，Ｇ，點(diǎn) Ｃ，Ｇ，Ｈ

都在直線 ｌ上，測(cè)得∠Ｅ２ＣＧ＝３７°，求 ＧＨ的長(zhǎng)．

（結(jié)果精確到 ０１ｃｍ，參考數(shù)據(jù)：ｓｉｎ３７°≈０６０，ｃｏｓ３７°≈０８０，槡３≈１７３）

第 ２題圖

３．!!\"!#\"*+,)' 小明新買了一臺(tái) ＬＥＤ護(hù)眼臺(tái)燈放置于桌面上 （如圖 １所示），主體部分由燈

頭 ＡＢ（可以繞點(diǎn) Ｂ轉(zhuǎn)動(dòng)）、燈臂 ＢＣ（可以繞點(diǎn) Ｃ轉(zhuǎn)動(dòng)）、燈柱 ＣＤ和燈座組成，其主視圖如圖 ２

所示，已知燈柱 ＣＤ⊥ＥＨ，ＡＢ＝２４ｃｍ，ＢＣ＝３０ｃｍ，ＣＤ＝２０ｃｍ，ＥＦ＝２ｃｍ （ＢＲ，ＣＫ為水平

線）．改變∠ＢＣＤ的大小，能改變燈頭照明的高度；改變∠ＡＢＣ的大小，能改變燈頭的角度．當(dāng)

∠ＢＣＤ＝∠ＡＢＣ＝１４０°時(shí)，小明感覺(jué)照明效果最佳，此時(shí)臺(tái)燈最高點(diǎn) Ａ距桌面的距離是多少厘米？

（結(jié)果精確到 ０１ｃｍ，參考數(shù)據(jù)：ｓｉｎ５０°≈０７７，ｃｏｓ５０°≈０６４，ｔａｎ５０°≈１１９，ｓｉｎ１０°≈０１７，

ｃｏｓ１０°≈０９８，ｔａｎ１０°≈０１８）

第 ３題圖

４．!!\"!#\"-.,)' 在物理學(xué)中，我們學(xué)過(guò)，光線從空氣中進(jìn)入液體，會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象，如圖 １，

若入射角為 α，折射角為 β，法線垂直于液面，由此我們可以得到物理公式：折射率 ｎ＝ｓｉｎα

ｓｉｎβ

．

某課外活動(dòng)小組為觀察光的折射現(xiàn)象，設(shè)計(jì)如圖 ２的實(shí)驗(yàn)，通過(guò)點(diǎn) Ｐ發(fā)射一束光線，經(jīng)由點(diǎn) Ｄ光

線折射到點(diǎn) Ｂ（Ｐ，Ｄ，Ｂ三點(diǎn)不在一條直線上），圖 ３為實(shí)驗(yàn)示意圖，法線 ＧＨ垂直于液面 ＥＦ于

點(diǎn) Ｄ，交液面底部于點(diǎn) Ｈ，四邊形 ＡＢＦＥ為矩形，經(jīng)測(cè)量，ＥＤ＝２５ｃｍ，ＤＦ＝１６ｃｍ，光線由空氣

進(jìn)入液體的折射率 ｎ＝５槡２

６ ．

（１）在 ＡＥ延長(zhǎng)線上量取 ＥＰ＝５槡１１ｃｍ，光線由點(diǎn) Ｐ射出經(jīng)由點(diǎn) Ｄ，恰好折射到點(diǎn) Ｂ，求出入射

角∠ＰＤＧ的正弦值和折射角∠ＨＤＢ的度數(shù)．

（２）光線再次由點(diǎn) Ｑ射出，經(jīng)由點(diǎn) Ｄ折射到點(diǎn) Ｃ且入射角∠ＱＤＧ＝４５°，求 ＣＢ的長(zhǎng)．

第 ４題圖

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專題 ２６ 圖形的探索、發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用

解答題

１．!!\"!#\"/0,)'

（１）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師給出如下問(wèn)題，如圖 １，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，∠Ｂ＝９０°，Ｄ是邊

ＢＣ上一點(diǎn)，連接 ＡＤ，在 ＡＢ的右側(cè)作△ＡＤＥ，使 ＤＥ＝ＡＤ，∠ＡＤＥ＝９０°，連接 ＣＥ，求證：

∠ＤＣＥ＝１３５°．

①小創(chuàng)同學(xué)從△ＡＢＣ與△ＡＤＥ均為等腰直角三角形這個(gè)條件出發(fā)給出如下解題思路，通過(guò)證

明△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ，將∠ＤＣＥ轉(zhuǎn)化為∠Ｂ＋∠ＡＣＥ．

②小新同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出另一種解題思路：如圖 ２，在線段 ＡＢ上截取 ＢＰ＝ＢＤ，連

接 ＤＰ，通過(guò)證明△ＡＰＤ≌△ＤＣＥ，將∠ＤＣＥ轉(zhuǎn)化為∠ＡＰＤ．

請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫(xiě)出證明過(guò)程．

（２）張老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，張老師將

圖 １進(jìn)行變換并提出了下面問(wèn)題，請(qǐng)你解答．

如圖 ３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ是邊 ＢＣ上一點(diǎn)，連接 ＡＤ，在 ＡＢ右側(cè)作△ＡＤＥ，使 ＤＥ＝

ＡＤ，∠ＡＤＥ＝∠Ｂ＝α（α＞９０°），連接 ＣＥ，過(guò)點(diǎn) Ｃ作 ＣＦ∥ＡＢ交 ＡＥ于點(diǎn) Ｆ，探究∠ＥＣＦ與

α的數(shù)量關(guān)系．

（３）如圖 ４，在 （２）的條件下，當(dāng) α＝１２０°時(shí)，若 ＡＢ＝ＢＣ＝３槡３，ＣＦ＝２槡３，求 ＣＤ的長(zhǎng)．

第 １題圖

２．!!\"!#\"123)'

（１）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師提出如下問(wèn)題：如圖 １，在四邊形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝９０°，∠Ｃ＝４５°，

ＢＤ平分∠ＡＢＣ，求證：ＡＢ＋ＡＤ＝ＢＣ．

①豆豆同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出如下解題思路：如圖 ２，在 ＢＣ上截取 ＢＥ＝ＡＢ，連接 ＤＥ，

將線段 ＡＢ，ＡＤ，ＢＣ的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為 ＤＥ與 ＣＥ的數(shù)量關(guān)系．

②樂(lè)琪同學(xué)從 ＢＤ平分∠ＡＢＣ這個(gè)條件出發(fā)，想到將△ＢＤＣ沿 ＢＤ翻折，所以她延長(zhǎng)線段 ＢＡ

到點(diǎn) Ｆ，使 ＦＢ＝ＣＢ，連接 ＦＤ，如圖 ３，發(fā)現(xiàn)了∠Ｆ與∠ＡＤＦ的數(shù)量關(guān)系．

請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫(xiě)出證明過(guò)程．

（２）李老師發(fā)現(xiàn)兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師

提出了下面的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．

如圖 ４，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，平面內(nèi)有一點(diǎn) Ｄ （點(diǎn) Ｄ和點(diǎn) Ａ在 ＢＣ的同側(cè)），連接 ＤＣ，

ＤＢ，∠Ｄ＝４５°，∠ＡＢＤ＋２∠ＡＢＣ＝１８０°，求證：槡２ＢＤ＋槡２ＡＢ＝ＣＤ．

（３）如圖 ５，在 （２）的條件下，若∠ＡＢＤ＝３０°，ＡＢ＝１，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段 ＡＣ的長(zhǎng)．

第 ２題圖

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專題 ３２ 二次函數(shù)的最值

解答題

１．!!\"!#\";<,)' 新定義：我們把拋物線 ｙ１＝ａｘ

２ ＋ｂｘ＋ｃ與拋物線 ｙ２ ＝ｂｘ

２ ＋ａｘ＋ｃ（其中 ａｂ≠

０）稱為 “伴隨拋物線”．例如：拋物線 ｙ１＝３ｘ

２＋４ｘ＋２的 “伴隨拋物線”為 ｙ２＝４ｘ

２＋３ｘ＋２．已

知拋物線 Ｃ１：ｙ１＝２ａｘ

２＋ａｘ＋ａ－２（ａ＞０）的 “伴隨拋物線”為 Ｃ２．

（１）求出 Ｃ２的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)．（用含 ａ的代數(shù)式表示）

（２）過(guò) ｘ軸上一點(diǎn) Ｐ，作 ｘ軸的垂線分別交拋物線 Ｃ１，Ｃ２于點(diǎn) Ｍ，Ｎ．當(dāng) ＭＮ＝１２ａ時(shí)，求點(diǎn) Ｐ的

坐標(biāo)．

（３）當(dāng) ａ－３≤ｘ≤ａ－１時(shí)，Ｃ２的最大值與最小值的差為 ２ａ，求 ａ的值．

２．!!\"!#\"p*)M' 在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì) “縱橫值”給出如下定義：點(diǎn) Ａ（ｘ，ｙ）是函數(shù)圖象

上任意一點(diǎn)，縱坐標(biāo) ｙ與橫坐標(biāo) ｘ的差 “ｙ－ｘ”稱為點(diǎn) Ａ的 “縱橫值”．函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的

“縱橫值”中的最大值稱為函數(shù)的 “最優(yōu)縱橫值”．

例如：點(diǎn) Ａ（１，３）在函數(shù) ｙ＝２ｘ＋１圖象上，點(diǎn) Ａ的 “縱橫值”為 ３－１＝２，函數(shù) ｙ＝２ｘ＋１圖象

上所有點(diǎn)的 “縱橫值”可以表示為 ｙ－ｘ＝２ｘ＋１－ｘ＝ｘ＋１，當(dāng) ３≤ｘ≤６時(shí)，ｘ＋１的最大值為 ６＋１

＝７，所以函數(shù) ｙ＝２ｘ＋１（３≤ｘ≤６）的 “最優(yōu)縱橫值”為 ７．

根據(jù)定義，解答下列問(wèn)題：

（１）①點(diǎn) Ｂ（－６，２）的 “縱橫值”為 ．

②函數(shù) ｙ＝４

ｘ

＋ｘ（－４≤ｘ≤ －２）的 “最優(yōu)縱橫值”為 ．

（２）若二次函數(shù) ｙ＝－ｘ

２＋ｂｘ＋ｃ的頂點(diǎn)在直線 ｘ＝３

２上，且 “最優(yōu)縱橫值”為 ５，求 ｃ的值．

（３）若二次函數(shù) ｙ＝－（ｘ－ｈ）２＋ｋ的頂點(diǎn)在直線 ｙ＝ｘ＋９上，當(dāng) －１≤ｘ≤４時(shí)，二次函數(shù)的 “最

優(yōu)縱橫值”為 ７，求 ｈ的值．

３．!!\"!#\"12ab' 大連理工大學(xué)主樓前廣場(chǎng)修建了一個(gè)圓形音樂(lè)噴水池，在池中心豎直安裝一

根水管 ＯＡ，在水管的頂端 Ａ處安裝一個(gè)可調(diào)節(jié)角度的噴水頭，從噴水頭噴出的水柱形狀是一條拋

物線．愛(ài)思考的小麗建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．

怎樣求從噴水頭噴出的某條水柱的拋物線解析式呢？若噴出的水柱軌跡 ＡＢ上某一點(diǎn)與水管 ＯＡ的

水平距離為 ｘ（ｍ），與廣場(chǎng)地面的垂直高度為 ｙ（ｍ），小麗在噴泉安裝工人師傅的幫助下，測(cè)量

記錄了 ｙ與 ｘ的五組數(shù)據(jù)，如下表所示．

ｘ／ｍ ０ ２ ４ １０

ｙ／ｍ ２ ２９

７

３８

７

２９

７

（１）求水柱軌跡 ＡＢ所在拋物線的解析式．

（２）求水柱 ＡＢ落地點(diǎn) Ｂ與水管 ＯＡ的水平距離．

（３）為實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)噴水效果，廣場(chǎng)管理處決定對(duì)噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn)：噴水頭的高度不變，調(diào)

整噴水頭的角度，使噴出的水柱軌跡 ＡＢ的形狀不變，水柱軌跡 ＡＢ的噴水半徑 （動(dòng)態(tài)噴水

時(shí)，點(diǎn) Ｂ到 ＯＡ的距離）隨著音樂(lè)的節(jié)奏控制在 ６ｍ到 １２ｍ之間 （含 ６ｍ和 １２ｍ）．當(dāng)噴水

半徑為 ６ｍ時(shí)，水柱軌跡 ＡＢ的最大高度為 ｈ１；當(dāng)噴水半徑為 １２ｍ時(shí)，水柱軌跡 ＡＢ的最大

高度為 ｈ２．求 ｈ２－ｈ１的值．

第 ３題圖

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專題 ３５ 二次函數(shù)與四邊形動(dòng)點(diǎn)綜合應(yīng)用

解答題

１．!!\"!#\"/0IJA8)' 如圖，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝４，ＢＣ＝２，Ｄ為射線 ＡＣ上的

動(dòng)點(diǎn)，以 ＣＤ為一邊作矩形 ＣＤＥＦ，其中點(diǎn) Ｅ，Ｆ分別在射線 ＡＢ、射線 ＣＢ上，設(shè) ＡＤ的長(zhǎng)為 ｘ，矩

形 ＣＤＥＦ的面積為 ｙ（ｘ，ｙ均可以等于 ０）．

（１）如圖 １，當(dāng)點(diǎn) Ｄ從點(diǎn) Ａ運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) Ｃ時(shí)：

①求線段 ＤＥ的長(zhǎng)．（用含 ｘ的代數(shù)式表示）

②求 ｙ關(guān)于 ｘ的函數(shù)解析式，并通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線，在圖 ２中畫(huà)出它的圖象．

ｘ ０ １ ２ ３ ４

ｙ ０ １５ ２ ｍ ｎ

求表中 ｍ的值和 ｎ的值．

（２）當(dāng)點(diǎn) Ｄ運(yùn)動(dòng)到線段 ＡＣ的延長(zhǎng)線上時(shí)：

①直接用含 ｘ的代數(shù)式表示 ＤＥ的長(zhǎng)：ＤＥ＝ ．

②求 ｙ關(guān)于 ｘ的函數(shù)解析式．

（３）若從上至下存在三個(gè)不同位置的點(diǎn) Ｄ１，Ｄ２，Ｄ３，對(duì)應(yīng)的矩形 ＣＤＥＦ面積均相等，當(dāng) ＡＤ３ ＝

２ＡＤ２－ＡＤ１時(shí)，求矩形 ＣＤ３ＥＦ的面積．

第 １題圖

２．!!\"!#\"/0?@A3)' 如圖 １，在矩形 ＡＢＣＤ中，點(diǎn) Ｅ在 ＢＣ上，且 ＢＥ＝４．動(dòng)點(diǎn) Ｆ以每秒 １

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn) Ｂ出發(fā)，在折線段 Ｂ—Ａ—Ｄ上運(yùn)動(dòng)，連接 ＥＦ，當(dāng) ＥＦ⊥ＢＣ時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，

過(guò)點(diǎn) Ｅ作 ＥＧ⊥ＥＦ，交矩形 ＡＢＣＤ的邊于點(diǎn) Ｇ，連接 ＦＧ．設(shè)動(dòng)點(diǎn) Ｆ的運(yùn)動(dòng)路程為 ｘ，線段 ＦＧ與矩

形 ＡＢＣＤ的邊圍成的三角形的面積為 Ｓ．

動(dòng)點(diǎn) Ｆ由點(diǎn) Ｂ向點(diǎn) Ａ運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn) Ｓ是關(guān)于 ｘ的二次函數(shù)，如圖 ２所示，拋物線頂

點(diǎn) Ｐ的坐標(biāo)為 （３，ｔ），與 ｙ軸的交點(diǎn) Ｎ的坐標(biāo)為 （０，１６），與 ｘ軸的交點(diǎn)為 Ｍ．

（１）求矩形 ＡＢＣＤ的邊 ＡＢ和 ＡＤ的長(zhǎng)．

（２）點(diǎn) Ｆ由點(diǎn) Ａ向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求 Ｓ關(guān)于 ｘ的函數(shù)解析式．

（３）是否存在 ３個(gè)路程 ｘ１，ｘ２，ｘ３ （ｘ１＜ｘ２＜ｘ３），當(dāng) ｘ３－ｘ２＝ｘ２－ｘ１時(shí)，３個(gè)路程對(duì)應(yīng)的面積 Ｓ均

相等？

第 ２題圖

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專題 ３６ 二次函數(shù)與新定義綜合應(yīng)用

解答題

１．!!\"!#\"95x5)M' 我們把兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為 １、對(duì)稱軸相同、且圖象與 ｙ軸交點(diǎn)也相

同的二次函數(shù)稱為 “同軸相交二次函數(shù)”．例如：ｙ＝３ｘ

２＋６ｘ－３的 “同軸相交二次函數(shù)”為 ｙ＝

－２ｘ

２－４ｘ－３．

（１）ｙ＝２ｘ

２－４ｘ＋３的 “同軸相交二次函數(shù)”為 ．

（２）證明：二次項(xiàng)系數(shù)為１

２的二次函數(shù)的 “同軸相交二次函數(shù)”是它本身．

（３）如圖，二次函數(shù) Ｌ１：ｙ＝ａｘ

２－４ａｘ＋１與其 “同軸相交二次函數(shù)”Ｌ２都與 ｙ軸交于點(diǎn) Ａ，點(diǎn) Ｂ

和點(diǎn) Ｃ分別在 Ｌ１，Ｌ２上，點(diǎn) Ｂ和點(diǎn) Ｃ的橫坐標(biāo)均為 ｍ （０＜ｍ＜２），它們關(guān)于 Ｌ１的對(duì)稱軸的

對(duì)稱點(diǎn)分別為 Ｂ′Ｃ′，連接 ＢＢ′，Ｂ′Ｃ′，Ｃ′Ｃ，ＣＢ．

第 １題圖

①若 ａ＝２，且四邊形 ＢＢ′Ｃ′Ｃ為正方形，求 ｍ的值；

②若 ｍ＝１，且四邊形 ＢＢ′Ｃ′Ｃ鄰邊之比為 ２∶３，直接寫(xiě)出 ａ的值．

２．!!\"!#\"12?H' 定義：一般地，如果函數(shù) Ｃ：ｙ＝ａｘ

２＋ｂｘ＋ｃ的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) （ｘ，ｙ），（－ｘ， －ｙ）

（ｘ，ｙ≠０），那么我們稱函數(shù) Ｃ為 “卡爾達(dá)諾函數(shù)”，這對(duì)點(diǎn)叫做函數(shù) Ｃ的一對(duì) “最佳偏移點(diǎn)”．

（１）對(duì)于函數(shù) Ｃ：ｙ＝ａｘ

２＋ｂｘ＋ｃ，當(dāng) ａ＝０，ｂ≠０時(shí)：

①求證：若 Ｃ：ｙ＝ｂｘ＋ｃ為 “卡爾達(dá)諾函數(shù)”，則 ｃ＝０．

②設(shè)函數(shù) Ｃ１：ｙ＝ｂｘ＋ｃ為 “卡爾達(dá)諾函數(shù)”，Ｃ２：ｙ＝ｍｘ

２＋２ｘ＋ｑ（ｍ≠０）也為 “卡爾達(dá)諾函

數(shù)”，且 Ｃ１，Ｃ２恒存在相同的一對(duì) “最佳偏移點(diǎn)”，求函數(shù) Ｃ１的解析式．

（２）已知 “卡爾達(dá)諾函數(shù)”Ｃ３：ｙ＝ｘ

２＋２ｂｘ＋ｃ的一個(gè) “最佳偏移點(diǎn)”為 （２ｂ，ｎ）：

①當(dāng) ２ｂ≤ｘ≤２時(shí)，該函數(shù) Ｃ３的最大值與最小值之差為 ４，求 ｂ的值．

②已知點(diǎn) Ａ（ｂ，０），Ｂ（ｂ＋２，０），Ｃ（ｂ＋１，１），當(dāng)△ＡＢＣ與 Ｃ３的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)

直接寫(xiě)出 ｂ的取值范圍．

３．!!\"!#\"cZ3)' 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 ｙ＝ａｘ

２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）與 ｙ軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

為 （０，ｃ），那么我們把經(jīng)過(guò)點(diǎn) （０，ｃ）且平行于 ｘ軸的直線稱為這條拋物線的 “極限分割線”．

（１）拋物線 ｙ＝ｘ

２＋２ｘ＋１的 “極限分割線”與這條拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ．

（２）經(jīng)過(guò)點(diǎn) Ａ（－２，０）和 Ｂ（ｘ，０）（ｘ＞－２）的拋物線 ｙ＝－１

４ｘ

２ ＋

１

２ｍｘ＋ｎ與 ｙ軸交于點(diǎn) Ｃ，它

的 “極限分割線”與該拋物線另一個(gè)交點(diǎn)為 Ｄ，請(qǐng)用含 ｍ的代數(shù)式表示點(diǎn) Ｄ的坐標(biāo)．

（３）在 （２）的條件下，設(shè)拋物線 ｙ＝－１

４ｘ

２＋

１

２ｍｘ＋ｎ的頂點(diǎn)為 Ｐ，直線 ＥＦ垂直平分 ＯＣ，垂足

為 Ｅ，交該拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn) Ｆ．

①當(dāng)∠ＣＤＦ＝４５°時(shí)，求點(diǎn) Ｐ的坐標(biāo)．

②若直線 ＥＦ與直線 ＭＮ關(guān)于 “極限分割線”對(duì)稱，是否存在使點(diǎn) Ｐ到直線 ＭＮ的距離與點(diǎn)

Ｂ到直線 ＥＦ的距離相等的 ｍ的值？若存在，直接寫(xiě)出 ｍ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

４．!!\"!#\"p*)M' 我們定義 【ａ，ｂ，ｃ】為函數(shù) ｙ＝ａｘ

２ ＋ｂｘ＋ｃ的 “特征數(shù)”．如：函數(shù) ｙ＝２ｘ

２

－３ｘ＋５的 “特征數(shù)”是 【２， －３，５】，函數(shù) ｙ＝ｘ＋２的 “特征數(shù)”是 【０，１，２】，函數(shù) ｙ＝

－２ｘ的 “特征數(shù)”是 【０， －２，０】．

（１）若一個(gè)函數(shù)的 “特征數(shù)”是 【１， －４，１】，將此函數(shù)的圖象先向左平移 ２個(gè)單位，再向上平

移 １個(gè)單位，得到一個(gè)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù) “特征數(shù)”是 ．

（２）將 “特征數(shù)”是 【０， －槡３

３， －１】的函數(shù)圖象向上平移 ２個(gè)單位，得到一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)新

函數(shù)的解析式是 ．

（３）若一個(gè)函數(shù)的 “特征數(shù)”為 【ａ，ｂ，ｃ】，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝０，與 ｘ軸的一個(gè)交點(diǎn)為 Ａ（ｍ，０），ｍ

≠１，另一交點(diǎn)為 Ｂ，該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為 Ｄ（－１，ｋ），ｋ＞０，Ｐ是 ｙ軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) ＰＡ＋

ＰＤ的最小值為 ５時(shí)，求這個(gè)函數(shù)的 “特征數(shù)”．

（４）當(dāng) “特征數(shù)”是 【１， －２ｍ，ｍ

２－３ｍ】的函數(shù)在直線 ｘ＝ｍ－２和直線 ｘ＝１之間的部分 （包

括邊界點(diǎn)）的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ５時(shí)，求 ｍ的值．

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專題 ３７ 新定義與函數(shù)綜合應(yīng)用

解答題

１．!!\"!#\"()' 在平面直角坐標(biāo)系中，正方形 ＯＡＢＣ的邊長(zhǎng)為 ｎ（ｎ為正整數(shù)），點(diǎn) Ａ在 ｘ軸正半

軸上，點(diǎn) Ｃ在 ｙ軸正半軸上．若點(diǎn) Ｍ（ｘ，ｙ）在正方形 ＯＡＢＣ的邊上，且 ｘ，ｙ均為整數(shù)，定義點(diǎn)

Ｍ為正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ點(diǎn)”．

若某函數(shù)的圖象與正方形 ＯＡＢＣ只有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)均是正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ點(diǎn)”，定義該函

數(shù)為正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函數(shù)”．

例如：如圖 １，當(dāng) ｎ＝２時(shí)，某函數(shù)的圖象 Ｃ１ 經(jīng)過(guò)點(diǎn) （０，１）和 （２，２），則該函數(shù)是正方形

ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函數(shù)”．

（１）當(dāng) ｎ＝１時(shí)，若一次函數(shù) ｙ＝ｋｘ＋ｔ是正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函數(shù)”，則一次函數(shù)的解析式是

（寫(xiě)出一個(gè)即可）．

（２）如圖 ２，當(dāng) ｎ＝３時(shí)，函數(shù) ｙ＝ｍ

ｘ

（ｘ＞０）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) Ｄ（１，３），與邊 ＡＢ相交于點(diǎn) Ｅ，判斷

該函數(shù)是否是正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函數(shù)”，并說(shuō)明理由．

（３）當(dāng) ｎ＝４時(shí)，二次函數(shù) ｙ＝ａｘ

２ ＋ｂｘ＋４的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) Ｂ，若該函數(shù)是正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函

數(shù)”，求 ａ的取值范圍．

（４）在 （３）的條件下，點(diǎn) Ｐ（ａ－１，ｙ１），Ｑ（ａ＋３，ｙ２）是二次函數(shù) ｙ＝ａｘ

２ ＋ｂｘ＋４圖象上的兩

點(diǎn)，若點(diǎn) Ｐ，Ｑ之間的圖象 （包括點(diǎn) Ｐ，Ｑ）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的差為 １０ａ

２

，求 ａ的

值．

第 １題圖

２．!!\"!#\"]^_25,)' 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) Ｍ的坐標(biāo)為 （ｘ１，ｙ１），若圖形 Ｆ上存在一

點(diǎn) Ｎ（ｘ２，ｙ２），且滿足當(dāng) ｘ１＝ｘ２時(shí)，ＭＮ≤２，則稱點(diǎn) Ｍ為圖形 Ｆ的一個(gè) “垂近點(diǎn)”．

（１）如圖 １，圖形 Ｆ為線段 ＡＢ，點(diǎn) Ａ的坐標(biāo)為（－１，２），點(diǎn) Ｂ的坐標(biāo)為（３，２）．

①判斷點(diǎn) Ｍ（１５，０５）是否是線段 ＡＢ的 “垂近點(diǎn)”，并說(shuō)明理由．

②請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn) Ｍ所有可能的位置．（用陰影部分表示）

（２）如圖 ２，若圖形 Ｆ為雙曲線 ｙ＝４

ｘ

（ｘ＞０），點(diǎn) Ｍ（４，ｍ） （ｍ為大于 １的整數(shù)）為圖形 Ｆ的

“垂近點(diǎn)”，求 ｍ的值．

（３）若圖形 Ｆ為直線 ｙ＝ｂ，在二次函數(shù) ｙ＝ａｘ

２＋２ａｘ＋ａ－３

２圖象上僅有一個(gè)圖形 Ｆ的 “垂近點(diǎn)”，

求 ｂ的值．

（４）如圖 ３，若圖形 Ｆ為拋物線 ｙ＝１

４ｘ

２ －４，在正方形 ＡＢＣＤ中，Ａ（ｔ，０），Ｂ（ｔ，１），Ｃ（ｔ＋１，

１），Ｄ（ｔ＋１，０），如果正方形 ＡＢＣＤ上存在此圖形 Ｆ的 “垂近點(diǎn)”，求 ｔ的取值范圍．

第 ２題圖

· １· · ２·

參考答案

專題 １ 實(shí)數(shù)

１．Ｃ ２．Ａ ３．Ｂ ４．Ｄ ５．Ｂ ６．Ｄ ７．Ｄ ８．Ｃ

９．Ａ １０．Ｂ １１．Ｃ １２．Ａ １３．Ｂ １４．Ｂ １５．Ｂ

１６．Ａ １７．Ｂ １８．Ｂ

１９．解：原式 ＝１６－１０＋２槡２＋３－槡２＝９＋槡２．

２０．解：原式 ＝－８＋４＋４－槡３＋２槡３＝槡３．

２１．解：原式 ＝－６－４＋４－１＝－７．

２２．解：原式 ＝１＋

１

４－１

２×

１

２＋３＝４．

２３．解：原式 ＝－１＋３＋１６÷（－８）＝０．

２４．解：原式 ＝－１＋２－（２－槡３）＋２槡３＋１＝３槡３．

２５．解：原式 ＝１＋４＋５－２槡２＋２槡２＝１０．

２６．解：原式 ＝２槡３－２×槡３

２＋２－（槡３－１）＝３．

２７．解：原式 ＝－１＋１－２×

１

２＋３－槡５＝２－槡５．

２８．解：原式 ＝２槡２＋３－２槡２－１＋４＝６．

專題 ２ 代數(shù)式

１．Ｄ ２．Ｃ ３．Ｄ ４．Ｃ ５．Ａ ６．Ｃ ７．Ｂ ８．Ｃ

９．Ａ １０．Ｄ １１．Ｂ １２．Ｂ １３．Ｄ １４．Ａ １５．Ａ

１６．ａ（ａ＋ｂ） １７．（ａ＋２ｂ）（ａ－２ｂ） １８．３ｍ（ａ－ｂ）２

１９．ｘ（ｙ＋１）２ ２０．ａｘ（ｘ２＋４） ２１．２槡３ ２２．ｘ≥３

２３．解：原式 ＝ ａ

ａ＋１·（ａ＋１）（ａ－１）

ａ２ ＋

１

ａ＝ａ－１

ａ ＋

１

ａ

＝ａ

ａ＝１．

２４．解：原式 ＝ ｘ２－１

ｘ２－１－ｘ－１

( ｘ２－１) ÷ｘ－１

ｘ＋１＝ｘ２－ｘ

ｘ２－１

·ｘ＋１

ｘ－１＝

ｘ（ｘ－１）

（ｘ＋１）（ｘ－１）

·ｘ＋１

ｘ－１＝ ｘ

ｘ－１

．

２５．解：原式 ＝（ａ＋１）（ａ－１）－３

ａ－１ · ａ－１

（ａ＋２）２ ＝ａ２－４

ａ－１·

ａ－１

（ａ＋２）２＝ａ－２

ａ＋２

．

２６．解：原式 ＝（ａ＋３）（ａ－３）

ａ－２ ÷（ａ－２）（ａ－２）－（２ａ－５）

ａ－２

＝（ａ＋３）（ａ－３）

ａ－２ · ａ－２

ａ２－４ａ＋４－２ａ＋５＝（ａ＋３）（ａ－３）

ａ－２

· ａ－２

（ａ－３）２＝ａ＋３

ａ－３

．

２７．解：原式 ＝ （ｘ＋２）２

ｘ（ｘ＋２）－３ [ ｘ] · ２

ｘ－１＝ ｘ＋２

ｘ －３ ( ｘ) ·

２

ｘ－１＝ｘ－１

ｘ · ２

ｘ－１＝２

ｘ，當(dāng) ｘ＝ｓｉｎ３０°－１＝１

２－１＝

－１

２時(shí)，原式 ＝ ２

－１

２

＝－４．

２８．解：原 式 ＝ ２ｘ（ｘ＋１）

（ｘ＋１）（ｘ－１）－ｘ（ｘ－１） [ （ｘ－１）２] · ｘ＋１

ｘ ＝

２ｘ

ｘ－１－ ｘ ( ｘ－１)·ｘ＋１

ｘ ＝ ｘ

ｘ－１·ｘ＋１

ｘ ＝ｘ＋１

ｘ－１

，∵ｘ＝

±１或 ０時(shí)，原分式無(wú)意義，∴ｘ＝－２，當(dāng) ｘ＝－２

時(shí)，原式 ＝－２＋１

－２－１＝１

３．

２９．解：原式 ＝ １＋ｘ

（１＋ｘ）（１－ｘ）＋ ｘ（１＋ｘ） [ （１－ｘ）（１＋ｘ）] ·

（ｘ－１）２

ｘ＋１ ＝ １＋ｘ＋ｘ＋ｘ２

（１－ｘ）（１＋ｘ） · （ｘ－１）２

ｘ＋１ ＝

（ｘ＋１）２

（１－ｘ）（１＋ｘ）

·（ｘ－１）２

ｘ＋１ ＝１－ｘ，∵１－ｘ≠０，１＋

ｘ≠０，∴ｘ≠１，ｘ≠ －１，∵ －槡２＜ｘ＜槡３，且 ｘ為整

數(shù)，∴ｘ＝０，當(dāng) ｘ＝０時(shí)，原式 ＝１－ｘ＝１．

專題 ３ 一次方程 （組）

１．Ｄ ２．Ｂ ３．Ｄ ４．Ｂ ５．Ｂ ６．Ｂ ７．Ａ ８．Ｃ

９．５３ １０． ５ｘ＋２ｙ＝１０，

{２ｘ＋５ｙ＝８

１１．３

１２．解：（１）設(shè) Ａ品牌垃圾桶的單價(jià)是 ｘ元，Ｂ品牌垃

圾桶的單價(jià)是 ｙ元，根據(jù)題意得

３ｘ＋４ｙ＝９００，

{３ｘ＝２ｙ，解

得 ｘ＝１００，

{ｙ＝１５０．

答：Ａ品牌垃圾桶的單價(jià)是 １００元，Ｂ品牌垃圾桶

的單價(jià)是 １５０元．

（２）設(shè)該校此次可購(gòu)買 ｍ個(gè) Ｂ品牌垃圾桶，則購(gòu)

買 （２０－ｍ）個(gè) Ａ品牌垃圾桶，根據(jù)題意得 １００（２０

－ｍ）＋１５０ｍ≤２４００，解得 ｍ≤８．

答：該校此次最多可購(gòu)買 ８?jìng)€(gè) Ｂ品牌垃圾桶．

１３．解：（１）設(shè) １個(gè) Ａ型部件的質(zhì)量是 ｘ噸，１個(gè) Ｂ型

部件的質(zhì)量是 ｙ噸，根據(jù)題意得 ｘ＋２ｙ＝２８，

{２ｘ＝３ｙ，解得

ｘ＝１２，

{ｙ＝０８．

答：１個(gè) Ａ型部件的質(zhì)量是 １２噸，１個(gè) Ｂ型部件

的質(zhì)量是 ０８噸．

（２）設(shè)這輛卡車運(yùn)輸 ｍ個(gè) Ｂ型部件，則運(yùn)輸 （１６

－ｍ）個(gè) Ａ型部件，根據(jù)題意得 １２（１６－ｍ）＋

０８ｍ≤１５，解得 ｍ≥

２１

２，又因?yàn)?ｍ為整數(shù)，所以 ｍ

的最小值為 １１．

答：這輛卡車最少要運(yùn)輸 １１個(gè) Ｂ型部件．

１４．解：（１）設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成 ｘ平方米的綠化改

造面積，則甲工程隊(duì)每天能完成 （ｘ＋２００）平方米

的綠化改造面積，根據(jù)題意得 ｘ＋２００＋ｘ＝８００，解

得 ｘ＝３００，則 ｘ＋２００＝３００＋２００＝５００．

答：甲工程隊(duì)每天能完成 ５００平方米的綠化改造面

積，乙工程隊(duì)每天能完成３００平方米的綠化改造面積．

（２）選擇方案①所需施工費(fèi)用為 ６００×

１２０００

５００ ＝

１４４００（元）；選擇方案②所需施工費(fèi)用為 ４００×

１２０００

３００ ＝１６０００（元）；選擇方案③所需施工費(fèi)用為

（６００＋４００） ×

１２０００

５００＋３００＝１５０００ （元）．因 為

１４４００＜１５０００＜１６０００，故選擇方案①的施工費(fèi)用

最少．

１５．解：（１）設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn) ２匹立地式空調(diào)的單價(jià)為 ｘ

元，３匹立地式空調(diào)的單價(jià)為 ｙ元，根據(jù)題意得

２０ｘ＋３０ｙ＝２６００００，

{１０ｘ＋２０ｙ＝１６００００，

解得 ｘ＝４０００，

{ｙ＝６０００．

答：該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn) ２匹立地式空調(diào)的單價(jià)為 ４０００元，

３匹立地式空調(diào)的單價(jià)為 ６０００元．

（２）根據(jù)題意得 （５４００－４０００）×

２０＋１０

２ ＋（５４００×

０９－４０００）×

２０＋１０

２ ＋（８４００－６０００）×

３０＋２０

２ ＋

（８４００×０８－６０００）×

３０＋２０

２ ＝１１１９００（元）．

答：銷售兩種立地式空調(diào)商場(chǎng)獲利 １１１９００元．

專題 ４ 分式方程

１．Ａ ２．Ｃ ３．Ｃ ４．Ｃ ５．Ｄ ６．Ｄ ７．Ｂ ８．Ｄ

９．解：設(shè)每輛 Ｂ型汽車的進(jìn)價(jià)為 ｘ萬(wàn)元，則每輛 Ａ型

汽車的進(jìn)價(jià)為 １２ｘ萬(wàn)元，根據(jù)題意得 ２４０

１２ｘ－２４０

ｘ ＝

－４，解得 ｘ＝１０，經(jīng)檢驗(yàn)，ｘ＝１０是原分式方程的

解，且符合題意，則 １２ｘ＝１２×１０＝１２．

答：每輛 Ａ型汽車的進(jìn)價(jià)為 １２萬(wàn)元，每輛 Ｂ型汽車

的進(jìn)價(jià)為 １０萬(wàn)元．

１０．解：設(shè)第一批商品的購(gòu)進(jìn)單價(jià)為 ｘ元，則第二批商

品的購(gòu)進(jìn)單價(jià)為 （１＋２０％） ｘ元，根據(jù)題意得

１２００

ｘ ＝ １２００

（１＋２０％）ｘ＋５，解得 ｘ＝４０，經(jīng)檢驗(yàn)，ｘ＝

４０是 原 分 式 方 程 的 解，且 符 合 題 意，則 （１＋

２０％）ｘ＝１２×４０＝４８．

答：第一批商品的購(gòu)進(jìn)單價(jià)為 ４０元，第二批商品

的購(gòu)進(jìn)單價(jià)為 ４８元．

１１．解：（１）１２５ｘ

（２）根據(jù)題意得５０００

ｘ －２＝６０００

１２５ｘ

，解得 ｘ＝１００，

經(jīng)檢驗(yàn)，ｘ＝１００是原分式方程的解，且符合題意，

則 １２５ｘ＝１２５×１００＝１２５．

答：更新設(shè)備后每天生產(chǎn) １２５件產(chǎn)品．

１２．解： （１）設(shè)足球的單價(jià)是 ｘ元，則籃球的單價(jià)是

（２ｘ－３０）元，根據(jù)題意得６００

ｘ ＝ ４５０

２ｘ－３０×２，解得 ｘ

＝６０，經(jīng)檢驗(yàn)，ｘ＝６０是原方式方程的解，且符合

題意，則 ２ｘ－３０＝２×６０－３０＝９０．

答：足球的單價(jià)是 ６０元，籃球的單價(jià)是 ９０元．

（２）設(shè)學(xué)校可以購(gòu)買 ｍ個(gè)籃球，則購(gòu)買 （１００－ｍ）

· ６１· · ６２·

６．解：（１）① （４，０）

②圖象 Ｌ′如圖所示．

第 ６題答圖

（２）①３ 【解析】當(dāng) ｍ＝－１時(shí)，拋物線 Ｌ：ｙ＝

－ｘ２ －２ｘ，與 ｘ軸交點(diǎn)為 Ｏ（０，０），Ａ（－２，０），

ｙ＝－ｘ２－２ｘ＝－（ｘ＋１）２ ＋１，∴頂點(diǎn) Ｐ的坐標(biāo)為

（－１， １）， 設(shè) 拋 物 線 Ｌ′： ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ， 則

－１＋ａ＝１，

－ｂ

２ａ＝ －２

２×（－２） { ，

解得 ａ＝２，

{ｂ＝４，

∴拋物線 Ｌ′：ｙ＝２ｘ２

＋４ｘ，當(dāng) ｘ＝－１時(shí)，ｙ＝２×（－１）２ ＋４×（－１）＝

－２，∴點(diǎn) Ｑ的坐標(biāo)為（－１， －２），∴Ｓ四邊形ＯＰＡＱ ＝

Ｓ△ＯＡＰ ＋Ｓ△ＯＡＱ ＝１

２×２×１＋

１

２×２×２＝３．

②拋物線 Ｌ：ｙ＝－ｘ２＋２ｍｘ與 ｘ軸的交點(diǎn)為 （０，０）

和 （２ｍ，０），則設(shè)拋物線 Ｌ′：ｙ＝２ｘ２ ＋ｂｘ與 ｘ軸的

交點(diǎn)為 （０，０） 和 －ｂ

２ ( ，０)，代入得 ２ｍ＝－ｂ

２，

解得 ｂ＝－４ｍ，拋物線 Ｌ′：ｙ＝２ｘ２ －４ｍｘ，∴ｙ＝２ｘ２

－４ｍｘ＝２（ｘ－ｍ）２－２ｍ２

，∴拋物線 Ｌ′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

（ｍ， －２ｍ２

），∵其橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴ｍ－

２ｍ２＝０，解得 ｍ＝０或 ｍ＝１

２，∴拋物線 Ｌ′的解析式

為 ｙ＝２ｘ２或 ｙ＝２ｘ２－２ｘ．

（３）拋物線 Ｌ：ｙ＝－ｘ２＋２ｍｘ＝－（ｘ－ｍ）２＋ｍ２

，其

頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （ｍ，ｍ２

），則拋物線 Ｌ′：ｙ＝２ｘ２ －４ｍｘ

＝２（ｘ－ｍ）２－２ｍ２

，∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （ｍ， －２ｍ２

），

當(dāng)直線 ｙ＝ｍ過(guò)拋物線頂點(diǎn)時(shí)，才有可能滿足有且只

有三個(gè)交點(diǎn)，∴ｍ＝ｍ２ 或 ｍ＝－２ｍ２

，解得 ｍ＝０或

ｍ＝１或 －１

２，當(dāng) ｍ＝０時(shí)，兩個(gè)拋物線與 ｙ＝ｍ只有

一個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，故舍去，∴ｍ的值為 １或

－１

２．

專題 ３７ 新定義與函數(shù)綜合應(yīng)用

１．解：（１）ｙ＝ｘ 【解析】當(dāng) ｎ＝１時(shí)，點(diǎn) Ａ的坐標(biāo)為

（１，０），點(diǎn) Ｂ的坐標(biāo)為（１，１），點(diǎn) Ｃ的坐標(biāo)為（０，

１），當(dāng)一次函數(shù) ｙ＝ｋｘ＋ｔ的圖象過(guò) Ｏ（０，０），Ｂ（１，

１）時(shí)，其解析式為 ｙ＝ｘ，此時(shí)直線 ｙ＝ｘ與正方形

ＯＡＢＣ只有兩個(gè)交點(diǎn)，∴一次函數(shù) ｙ＝ｘ是正方形

ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函數(shù)”．

（２）該函數(shù)是正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函數(shù)”，理由如

下：把點(diǎn) Ｄ（１，３）代入 ｙ＝ｍ

ｘ中得 ３＝ｍ

１，解得 ｍ＝

３，∴ｙ＝３

ｘ，把 ｘ＝３代入 ｙ＝３

ｘ得 ｙ＝１，∴點(diǎn) Ｅ的

坐標(biāo)為 （３，１），∴ 函數(shù) ｙ＝３

ｘ的圖象與正方 形

ＯＡＢＣ只有兩個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn) Ｄ，Ｅ均是 “ＬＳ點(diǎn)”，

∴函數(shù) ｙ＝３

ｘ （ｘ＞０）是正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函數(shù)”．

（３）當(dāng) ｎ＝４時(shí)，點(diǎn) Ｂ的坐標(biāo)為 （４，４），點(diǎn) Ｃ的坐

標(biāo)為 （０，４），把點(diǎn) Ｂ（４，４）代入二次函數(shù) ｙ＝ａｘ２

＋ｂｘ＋４中，得 ４＝１６ａ＋４ｂ＋４，∴ｂ＝－４ａ，∴ｙ＝

ａｘ２－４ａｘ＋４，∴該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （２， －４ａ

＋４），在 ｙ＝ａｘ２－４ａｘ＋４中，令 ｘ＝０得 ｙ＝４，∴點(diǎn)

Ｃ（０，４）在函數(shù) ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４的圖象上，函數(shù) ｙ＝

ａｘ２＋ｂｘ＋４是正方形 ＯＡＢＣ的 “ＬＳ函數(shù)”，其圖象經(jīng)

過(guò)點(diǎn) Ｂ，Ｃ．分兩種情況：當(dāng) ａ＞０時(shí)，拋物線的頂

點(diǎn)在 ｘ軸上方，∴ －４ａ＋４＞０，解得 ａ＜１，∴０＜ａ

＜１；當(dāng) ａ＜０時(shí)，函數(shù) ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

Ｂ，Ｃ，則函數(shù) ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４一定是正方形 ＯＡＢＣ的

“ＬＳ函數(shù)”．綜上所述，ａ的取值范圍為 ０＜ａ＜１或

ａ＜０．

（４）由 （３）知該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線 ｘ＝２，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （２， －４ａ＋４）．當(dāng) ０＜ａ＜１時(shí)，有 －１

＜ａ－１＜０，３＜ａ＋３＜４，∵拋物線開(kāi)口向上，∴點(diǎn)

Ｐ，Ｑ之間的圖象的最高點(diǎn)是 Ｐ，最低點(diǎn)是頂點(diǎn)，

∴ａ（ａ－１）２－４ａ（ａ－１）＋４－（－４ａ＋４）＝１０ａ２

，解

得 ａ１＝８－槡５５，ａ２ ＝８＋槡５５（舍去）；當(dāng) ａ＜０時(shí)，

拋物線開(kāi)口向下，當(dāng) ａ＋３≥２，即 －１≤ａ＜０時(shí)，有

－２≤ａ－１＜－１，２≤ａ＋３＜３，∴點(diǎn) Ｐ，Ｑ之間的圖

象的最高點(diǎn)是頂點(diǎn)，最低點(diǎn)是 Ｐ，∴（－４ａ＋４）－

［ａ（ａ－１）２－４ａ（ａ－１）＋４］＝１０ａ２

，整理得 ａ２ ＋４ａ

＋９＝０，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，ａ的值不存在，當(dāng) ａ＋３

＜２，即 ａ＜－１時(shí)，有 ａ－１＜ａ＋３＜２，∴點(diǎn) Ｐ，Ｑ

之間的圖象的最高點(diǎn)是 Ｑ，最低點(diǎn)是 Ｐ，∴［ａ（ａ＋

３）２－４ａ（ａ＋３）＋４］－［ａ（ａ－１）２－４ａ（ａ－１）＋４］＝

１０ａ２

，整理得 ａ＋４＝０，解得 ａ＝－４．綜上所述，ａ

的值是 ８－槡５５或 －４．

２．解：（１）①是，理由如下：∵點(diǎn) Ｍ的坐標(biāo)為（１５，

０５），∴點(diǎn) Ｎ的坐標(biāo)為（１５，２），∵ＭＮ＝２－０５＝

１５＜２，∴點(diǎn) Ｍ（１５，０５） 是線段 ＡＢ的 “垂近

點(diǎn)”．

②點(diǎn) Ｍ所有可能的位置，如圖 １陰影部分所示．

（２）∵圖形 Ｆ為雙曲線 ｙ＝４

ｘ （ｘ＞０），點(diǎn) Ｍ的坐標(biāo)

為（４，ｍ），∴點(diǎn) Ｎ的坐標(biāo)為（４，１），∵ｍ為大于 １

的整數(shù)，∴ｍ－１≤２，∴ｍ≤３，∴ｍ的值為 ２或 ３．

（３）ｙ＝ａｘ２ ＋２ａｘ＋ａ－３

２＝ａ（ｘ＋１）２ －３

２，∵二次

函數(shù) ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋ａ－３

２圖象上僅有一個(gè)圖形 Ｆ的

“垂近點(diǎn)”，∴當(dāng) ａ＝０時(shí)，ｂ＝－３

２＋２＝１

２，當(dāng) ａ＞０

時(shí)，ｂ＝－３

２－２＝－７

２，∴ｂ的值為 １

２或 －７

２．

（４）設(shè)正方形上點(diǎn) Ｍ是拋物線 ｙ＝１

４ｘ２－４的 “垂近

點(diǎn)”，拋物線上存在點(diǎn) Ｎ（ｘＮ，ｙＮ），使得當(dāng) ｘＭ ＝ｘＮ

時(shí)，ＭＮ≤２，正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為 Ａ（ｔ，０），Ｂ（ｔ，１），

Ｃ（ｔ＋１，１），Ｄ（ｔ＋１，０）．分四種情況：當(dāng) ｔ＞０

時(shí)，如圖 ２，當(dāng)點(diǎn) Ｍ與點(diǎn) Ｂ重合時(shí)，點(diǎn) Ｎ的坐標(biāo)為

ｔ， １

４ｔ２

( －４)，∴ＭＮ＝１

４ｔ２ －４－１＝２，解得 ｔ＝２槡７

或 ｔ＝－２槡７（舍去）；如圖 ３，當(dāng)點(diǎn) Ｍ與點(diǎn) Ｄ重合

時(shí)，點(diǎn) Ｎ的坐標(biāo)為 ｔ＋１， １

４（ｔ＋１）２

( －４)，∴ＭＮ＝

－１

４ （ｔ＋１）２ ＋４＝２，解得 ｔ＝２槡２－１或 ｔ＝－２槡２

－１（舍去）；當(dāng) ｔ＜０時(shí)，如圖 ４，當(dāng)點(diǎn) Ｍ與點(diǎn) Ｃ重

合時(shí)，點(diǎn) Ｎ的坐標(biāo)為 ｔ＋１， １

４（ｔ＋１）２

( －４)，∴ＭＮ

＝１

４（ｔ＋１）２ －４－１＝２，解得 ｔ＝－２槡７－１或 ｔ＝

２槡７－１（舍去）；如圖５，當(dāng)點(diǎn) Ｍ與點(diǎn) Ａ重合時(shí)，點(diǎn)

Ｎ的坐標(biāo)為 ｔ， １

４ｔ２

( －４)，∴ＭＮ＝－１

４ｔ２ ＋４＝２，解

得 ｔ＝－２槡２或 ｔ＝２槡２（舍去）．綜上所述，當(dāng) ２槡２

－１≤ｔ≤２槡７或 －２槡７－１≤ｔ≤ －２槡２時(shí)，正方形上存

在拋物線 ｙ＝１

４ｘ２－４的 “垂近點(diǎn)”．

第 ２題答圖