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遇到難題不要慌，三角函數(shù)來幫忙 6.7
在直角三角形 ABC 中，AC=BC=6，D 為中線 AE 上一點(diǎn)，連接 BD，以 D 為旋轉(zhuǎn)中
心，將線段 DB 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段 DP，連接 BP、CP.如圖，當(dāng)點(diǎn) P 落在 AC 的
延長線上時(shí)，求線段 CP 的長.
深度思考（樂學(xué)林）：這種方法通過作雙
垂線得到兩個(gè)直角，根據(jù)題目中給出的條
件進(jìn)行“8”字型倒角就可以再得到兩個(gè)相
等的角，再由旋轉(zhuǎn)可以得到線段相等，然
后證得全等，繼而證明出正方形. 利用中
點(diǎn)的條件和三角函數(shù)得到比例，即可求出
線段 DP 的長度.
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做一個(gè)”有備而來“的高中生，新高一銜接找樂學(xué)林
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方法二：作垂線證相似
解：如圖，過點(diǎn) D 作 DN⊥AB，則∠BND=∠BCP=90°
∵等腰直角△ABC 和等腰直角△BDP
深度思考（樂學(xué)林）：這種方法與上一種方法殊途同歸，但是此方法是通過作垂線構(gòu)造
出一組共頂點(diǎn)的相似，再利用等腰三角形三邊的比計(jì)算出線段的長度，進(jìn)而證明出垂直
平分線，得到線段相等.然后證明出全等。
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方法三（李亞霖）：構(gòu)造手拉手相似
解:延長 BC 至 F，使 BC=CF
連接 AF、PF.易得：AP 垂直平分線段 BF，為△ABF 等腰直角三角形
則 BP=FP
深度思考（樂學(xué)林）：這種方法通過構(gòu)造手拉手的相似來證明 BD=AD，進(jìn)而推出 AD=PD，
運(yùn)用三線合一可以得出 AM=PM.這種方法構(gòu)造輔助線看起來像倍長中線，但實(shí)際上卻有著
很大的區(qū)別.因?yàn)檫@里倍長線段不是用來證全等，而是用來構(gòu)造中垂線，為證明相似提供
條件的。
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方法四:構(gòu)造一線三垂足
深度思考（樂學(xué)林）：見等腰直角三角形構(gòu)造一線三垂足，這是一種很容易想到的方法，
但是證完全等后該怎么做成為一大難點(diǎn).在這種方法中，運(yùn)用了設(shè)參的方法，再借助三角
函數(shù)，列出方程，即可得出答案.
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方法五：套 12345 模型
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方法六：圓周角定理的逆定理
深度思考（樂學(xué)林）：證得點(diǎn) A、B、P 在以點(diǎn) D 為圓心，AD 長為半徑的圓上
是這種方法最精彩的一步，這樣就可以一步到位，不用想其他方法一樣辛辛苦苦
地證垂直平分線來證明 AD=BD.這種方法也沒有通過構(gòu)造正方形來得到線段相
等，而是通過構(gòu)造等腰直角三角形來得到線段相等之后就同樣是設(shè)參求出線段的
長度.
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