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（2022-2023 首師大附中九下月考·2 月開學(xué)考——位置正方形）★★★☆

28．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中有一個動點(diǎn) A（點(diǎn) A 不在 x 軸上），以 A 為圓心，OA 為半徑

的⊙A 與 y 軸的另一個交點(diǎn)為 E，如果線段 OE 上存在點(diǎn) B，⊙A 上存在點(diǎn) C，⊙A 內(nèi)存在點(diǎn)

D，使點(diǎn) A，B，C，D 順時(shí)針排列構(gòu)成正方形 ABCD，則稱正方形 ABCD 是點(diǎn) A 的“位置正方

形”．

例如，圖中正方形 ABCD 是點(diǎn) A 的一個“位置正方形”．

（1）求點(diǎn)

A(3,4)

的“位置正方形”面積；

（2）如果點(diǎn)

A( 1,3) ?存在“位置正方形”，則此時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為____________；

（3）點(diǎn) A 在以原點(diǎn) O 為圓心，2 為半徑的圓及其內(nèi)部運(yùn)動，直接寫出存在“位置正方形的

點(diǎn) A 所在的區(qū)域面積．

x

y

D

C

B

E

A

O

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吳老師圖解

（1）

25

2

.

規(guī)律總結(jié)

定義的關(guān)鍵在于確定點(diǎn)

B

的位置！

如圖，對于某一位置的點(diǎn)

A ：

1）以

A

為圓心，

AO

為半徑作

A，在

A

上取點(diǎn)

C

，以

AC

為對角線構(gòu)造正方形

ABCD

（順時(shí)針），

2）當(dāng)點(diǎn)

C

在

A

上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)

B

的軌跡

為：以

A

為圓心，

2

2

AC

為半徑的圓，

3）注意，點(diǎn)

B

與點(diǎn)

D

肯定是在

A

的內(nèi)部的（滿足題目要求），故點(diǎn)

B

的軌跡圓與

y

軸

的交點(diǎn)即為所求；若沒有交點(diǎn)，則說明不存在“位置正方形”…

思路&圖解

由【規(guī)律總結(jié)】知“位置正方形”的對角線長為

AO =5，故

1 25 5 5

2 2

S = ? ? =

（菱形）.

（2）

( 3,2) ?或

(1,2).

分析

如圖，

已知

AO = 10 ，

由【規(guī)律總結(jié)】知點(diǎn)

B

在：以

A

為圓

心， 5

為半徑的圓上，

故圖中點(diǎn)

B1

與點(diǎn)

B2

即為所求.

思路&圖解

如圖，

1）以

D1

為例，構(gòu)造“弦圖”，

易得

1 HD AR = =1， 1 AH B R = = 2 ，

? 1 D (1,2) ，

2）同理，可得

2 D ( 3,2) ? ，

?

點(diǎn)

D

的坐標(biāo)為

( 3,2) ?或

(1,2) .

x

y

E

B2

B1

D

B

A

O

C

x

y

D2

C2

D1

C1

B2

B1

A

O

x

y

R H

D2

C2

D1

C1

B2

B1

A

O

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（3）

2? .

分析

如圖，由【規(guī)律總結(jié)】知，若要滿足題意，則以

A

為圓心，

2

2

AO

為半徑的圓應(yīng)與

y

軸

有交點(diǎn)，即

2

2

AH AO

（當(dāng)

2

2

AH AO =

時(shí)，

? = ? AOH 45

），

所以，當(dāng)

? ? AOH 45

時(shí)存在“位置正方形”，即點(diǎn)

A

在下圖所示的陰影區(qū)域內(nèi).

備注：或設(shè)

A x y ( , )

，利用

2 2 2

2

x x y = ? +

，求得

x y = .

思路&圖解

由【分析】知，

1 1 2

2 2

2 2 O

S S = = ? ? = ? ? .

x

y

E

O

A

x

y

H

E

O

A

x

y

O