1/3
（2022-2023 首師大附中九下月考·2 月開學考——位置正方形）★★★☆
28．在平面直角坐標系 xOy 中有一個動點 A（點 A 不在 x 軸上），以 A 為圓心，OA 為半徑
的⊙A 與 y 軸的另一個交點為 E，如果線段 OE 上存在點 B，⊙A 上存在點 C，⊙A 內(nèi)存在點
D，使點 A，B，C，D 順時針排列構(gòu)成正方形 ABCD，則稱正方形 ABCD 是點 A 的“位置正方
形”．
例如，圖中正方形 ABCD 是點 A 的一個“位置正方形”．
（1）求點
A(3,4)
的“位置正方形”面積；
（2）如果點
A( 1,3) ?存在“位置正方形”，則此時點 D 的坐標為____________；
（3）點 A 在以原點 O 為圓心，2 為半徑的圓及其內(nèi)部運動，直接寫出存在“位置正方形的
點 A 所在的區(qū)域面積．
x
y
D
C
B
E
A
O
2/3
吳老師圖解
（1）
25
2
.
規(guī)律總結(jié)
定義的關(guān)鍵在于確定點
B
的位置！
如圖，對于某一位置的點
A ：
1）以
A
為圓心，
AO
為半徑作
A，在
A
上取點
C
，以
AC
為對角線構(gòu)造正方形
ABCD
（順時針），
2）當點
C
在
A
上運動時，點
B
的軌跡
為：以
A
為圓心，
2
2
AC
為半徑的圓，
3）注意，點
B
與點
D
肯定是在
A
的內(nèi)部的（滿足題目要求），故點
B
的軌跡圓與
y
軸
的交點即為所求；若沒有交點，則說明不存在“位置正方形”…
思路&圖解
由【規(guī)律總結(jié)】知“位置正方形”的對角線長為
AO =5，故
1 25 5 5
2 2
S = ? ? =
（菱形）.
（2）
( 3,2) ?或
(1,2).
分析
如圖，
已知
AO = 10 ，
由【規(guī)律總結(jié)】知點
B
在：以
A
為圓
心， 5
為半徑的圓上，
故圖中點
B1
與點
B2
即為所求.
思路&圖解
如圖，
1）以
D1
為例，構(gòu)造“弦圖”，
易得
1 HD AR = =1， 1 AH B R = = 2 ，
? 1 D (1,2) ，
2）同理，可得
2 D ( 3,2) ? ，
?
點
D
的坐標為
( 3,2) ?或
(1,2) .
x
y
E
B2
B1
D
B
A
O
C
x
y
D2
C2
D1
C1
B2
B1
A
O
x
y
R H
D2
C2
D1
C1
B2
B1
A
O
3/3
（3）
2? .
分析
如圖，由【規(guī)律總結(jié)】知，若要滿足題意，則以
A
為圓心，
2
2
AO
為半徑的圓應(yīng)與
y
軸
有交點，即
2
2
AH AO
（當
2
2
AH AO =
時，
? = ? AOH 45
），
所以，當
? ? AOH 45
時存在“位置正方形”，即點
A
在下圖所示的陰影區(qū)域內(nèi).
備注：或設(shè)
A x y ( , )
，利用
2 2 2
2
x x y = ? +
，求得
x y = .
思路&圖解
由【分析】知，
1 1 2
2 2
2 2 O
S S = = ? ? = ? ? .
x
y
E
O
A
x
y
H
E
O
A
x
y
O
