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襟江帶海 通往美好未來
江海名師 新高考課時練
數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊 3版
《江海名師新高考》編寫組 編
江海名師 新高考課時練
數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊 3版
《江海名師新高考》編寫組編
圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)
江海名師新高考課時練．?dāng)?shù)學(xué)選擇性必修第一冊/《江海名師新高考》編寫組編.一3版.一南京：江蘇鳳凰美術(shù)出版社，2025.6
責(zé)任編輯李凡偉責(zé)任設(shè)計編輯責(zé)煒責(zé)任校對 曹玄麒責(zé)任監(jiān)印于磊
書名江海名師新高考課時練.數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊
編者 《江海名師新高考》編寫組
出版發(fā)行江蘇鳳凰美術(shù)出版社(南京湖南路1號郵編210009)
印 刷
開 本 890\mmx1240\mm 1/16
印 張26
版 次2024年6月第3版2025年6月第2次印刷
標(biāo)準(zhǔn)書號
估 價99.80元
編者的話
本書依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下稱新課標(biāo)）要求編寫，與時俱進、全面對接新課程、新高考，著重體現(xiàn)基礎(chǔ)性、思維性，與《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》(蘇教版)配套使用，以提升學(xué)生的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是一套集教、學(xué)案于一體的精品教輔資料。
本書力求體現(xiàn)“低起點、小坡度、目標(biāo)準(zhǔn)、路子正”的編寫特色，低起點，就是面向全體學(xué)生，貼近學(xué)生認(rèn)知實際，根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的特點，選題針對性強；小坡度，就是針對不同學(xué)校、不同班級的學(xué)生實際，例題與習(xí)題難度有一定的梯度，讓不同層次的學(xué)生都能學(xué)有所得；目標(biāo)準(zhǔn)，就是瞄準(zhǔn)新高考，對不同教學(xué)內(nèi)容有相應(yīng)的難度要求，例題講解力求通性通法，體現(xiàn)一般解題規(guī)律，讓學(xué)生學(xué)有所悟，切實減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，更好地提高本書的教學(xué)效益；路子正，就是嚴(yán)格遵循課程標(biāo)準(zhǔn)要求，知識內(nèi)容不超綱，不出現(xiàn)偏題、難題、怪題，注意知識之間的前后聯(lián)系，適當(dāng)滾動提高，拓展適度。
本書每課時設(shè)置【課標(biāo)要求】課本新知】辨析診斷】例題精析】隨堂練習(xí)】課后檢測【午練半小時】等欄目，讓學(xué)生在明確課標(biāo)要求的前提下，幫助學(xué)生梳理新知，檢驗自學(xué)效果，讓學(xué)生更好地辨析理解數(shù)學(xué)知識.
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本書由江蘇省南通地區(qū)高品質(zhì)示范高中、四星級重點高中的一線名師、備課組長和教研員聯(lián)合編寫，助力新課程教與學(xué)（標(biāo)注 /ideontimes 號的課時為補充拓展內(nèi)容，請根據(jù)學(xué)生實際選用），在使用過程中，懇請廣大師生多提寶貴意見，以便修訂時進一步完善.
目 錄
第一章直線與方程
1.1 直線的斜率與傾斜角
1.2 直線的方程···· 5
第1課時直線的點斜式方程 5
第2 課時直線的兩點式方程 8
第3課時直線的一般式方程 11
1.3兩條直線的平行與垂直 14
第1課時兩條直線平行 14
第2課時兩條直線垂直 17
1. 4 兩條直線的交點 20
1.5 平面上的距離 23
第1課時平面上兩點間的距離 23
第 2課時點到直線的距離 25
第3課時兩平行直線間的距離 28
￥微專題1對稱問題 30
章末復(fù)習(xí)課直線與方程 33
第二章圓與方程 38
2.1圓的方程 38
第1課時圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 38
第2課時圓的一般方程 41
2.2直線與圓的位置關(guān)系 45
2.3圓與圓的位置關(guān)系 48
/ideontimes 微專題2圓的切線與切點弦問題 51
/ideontimes 微專題3與圓有關(guān)的最值(范圍)問題 54
×微專題4圓的綜合問題(隱性軌跡、定點、定值問題) 57
章末復(fù)習(xí)課圓與方程… 60
第三章圓錐曲線與方程 63
3.1橢圓 63
第1課時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 63
第2課時橢圓的幾何性質(zhì) 67
第3課時直線與橢圓的位置關(guān)系 71
3.2雙曲線 75
第1課時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 75
第2課時雙曲線的幾何性質(zhì) 79
第 3課時直線與雙曲線的位置關(guān)系 82
3.3拋物線 85
第1課時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 85
第2課時拋物線的幾何性質(zhì) 89
第 3課時直線與拋物線的位置關(guān)系 92
微專題5橢圓和雙曲線的離心率問題 96
/ideontimes 微專題6最值范圍問題 99
/ideontimes 微專題7定點、定值問題 101
章末復(fù)習(xí)課圓錐曲線與方程 104
第四章數(shù)列 108
4.1數(shù)列數(shù)列的概念及通項公式 ·108
4.2等差數(shù)列 111
第1課時等差數(shù)列的概念·…· 111
第2 課時等差數(shù)列的通項公式 114
第3課時等差數(shù)列的前 n 項和公式 118
第 4課時等差數(shù)列的性質(zhì)…·· 123
4.3等比數(shù)列 126
第1課時等比數(shù)列的概念· 126
第2 課時等比數(shù)列的通項公式 129
第3課時等比數(shù)列的前 n 項和公式·…· 132
第 4 課時等比數(shù)列項的性質(zhì)及前 n 項和的性質(zhì) 135
微專題8函數(shù)視角下的等差、等比數(shù)列 138
/ideontimes 微專題9構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列求通項公式 142
/ideontimes 微專題10 數(shù)列求和(1)- 分組并項、裂項相消 145
/ideontimes 微專題11數(shù)列求和(2) 錯位相減、放縮求和 148
\ast4,4 數(shù)學(xué)歸納法· 151
第1課時數(shù)學(xué)歸納法 151
第2課時數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用 154
章末復(fù)習(xí)課數(shù)列 158
第五章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 161
5.1導(dǎo)數(shù)的概念 161
第1課時平均變化率 161
第 2 課時瞬時變化率 165
第3課時導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 168
5.2導(dǎo)數(shù)的運算 171
第1課時基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)·… 171
第2課時函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù) 174
第3課時簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)·…· 177
5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 180
第1課時導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用- 單調(diào)性 180
第2課時導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性 184
第3課時極大值與極小值··· 187
第4課時 最大值與最小值·… 191
第5課時導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用 194
注：帶￥的課時屬于補充或拓展內(nèi)容，請根據(jù)實際需求選用.
第一章 直線與方程
1.1 直線的斜率與傾斜角
課標(biāo)要求
1.了解直線的斜率和傾斜角的概念，理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性，了解斜率公式的推導(dǎo)過程，會應(yīng)用斜率公式求直線的斜率.
2.掌握用代數(shù)方法解決幾何問題的技能，掌握數(shù)形結(jié)合、分類討論的方法.
3.感悟傾斜角與斜率的關(guān)系，體會數(shù)形結(jié) 合的思想.
引入(鏈接教材)
在實際生活中，樓梯或路面的傾斜程度可以用“坡度”來刻畫，如圖，坡角為 α ，高度為 h 寬度為l,則坡度I=
可以看出，如果斜坡的高度與寬度的比值越大，那么坡度就越大，斜坡越陡.
在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以采用類似的方法來刻畫直線的傾斜程度.
新知學(xué)習(xí)
直線的斜率
【知識梳理】
對于直線 l 上的任意兩點 P~(~x_{1}, y_{1}~)~ ，Q(x_{2},y_{2}) ,如果 x_{1}\neq x_{2} ,那么直線 l 的斜率為
易錯警示：
（1）如果 x_{1}=x_{2} ，那么直線 l 的斜率
（2）對于與 _{x} 軸不垂直的直線 l ，它的斜率也可以看作 縱坐標(biāo)的增量 =(\Delta y)/(\Delta x) 橫坐標(biāo)的增量
（3）對于一條與 \boldsymbol{\mathscr{x}} 軸不垂直的直線而言，它的斜率是一個定值，由該直線上任意兩點確定的直線的斜率總是相等的.
例1（鏈接教材)如圖所示,直線 l_{rm{1}},l_{rm{2}},l_{rm{3}} 都經(jīng)過點 P\left(3,2\right) ，又 l_{1}, l_{2} , l_{3} 分別經(jīng)過點Q_{1}(-2,-1) ,Q_{2}(4,-2) ,Q_{3}(-3,2)
（1）試計算直線 l_{rm{1}},l_{rm{2}},l_{rm{3}} 的斜率；
（2）若點 Q(a ,3) 在直線 l_{rm{1}} 上，求 a 的值.
思維導(dǎo)圖：
首先判斷兩點橫坐標(biāo)是否相等，相等則斜率不存在
提煉小結(jié)：
（1）若給出兩個點的橫坐標(biāo)中含有參數(shù)，則要對參數(shù)進行分類討論，分類的依據(jù)便是“兩個橫坐標(biāo)是否相等”.
（2）由例題中圖可以看出： ① 當(dāng)直線的斜率為正時 \left( l_{ 1}\right) )，直線從左下方向右上方傾斜；② 當(dāng)直線的斜率為負(fù)時 \left( l_{ 2} \right) ，直線從左上方向右下方傾斜； ③ 當(dāng)直線的斜率為0時 \left(l_{3}\right) ，直線與 \boldsymbol{\mathscr{x}} 軸平行或重合.
變式演練 （1）（鏈接教材)若直線 l 經(jīng)過點(3,2)且斜率為 (3)/(4) ,則下列點在直線 l 上的為
A.(7,-5) B.(7,5) C.(-5,7) D.(5,7)
（2）經(jīng)過下列各組中的兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率.
① A ( 2 ,3 ) ,B ( 4 ,5 ) O\;C(-2,3) ,D\left(2,-1\right); \odot P (-3,1) ,Q(-3,10) ; ④ A(a,2),B(3,6).
二 直線的傾斜角
【知識梳理】
在平面直角坐標(biāo)系中,對于一條的直線，把 _{x} 軸繞著 按 方向旋轉(zhuǎn)到 時所轉(zhuǎn)過的 稱為這條直線的傾斜角.
規(guī)定：與 \boldsymbol{\mathscr{x}} 軸平行或者重合的直線的傾斜角為
易錯警示：
（1）由定義可知，直線的傾斜角 α 的取值范圍是
（2）直線的傾斜角和直線的斜率都是刻畫直線的傾斜程度的一個量，所有直線都有傾斜角，但不是所有直線都有斜率.
例2（1）直線 x=1 和直線 {y=1} 的傾斜角分別是
A．不存在， 0° B. 0°,90°
C. {90}°,{0}°
D. 90°,180° (2）（多選題)設(shè)直線 l 過坐標(biāo)原點，它的傾
斜角為 α ,如果將 l 繞坐標(biāo)原點按逆時針方向旋
轉(zhuǎn) 45° ，得到直線 l_{rm{1}} ,那么 l_{1} 的傾斜角可能為( ）A. α+45°
B. α-135°
C. 135°-α
D. α-45°
思維導(dǎo)圖：
提煉小結(jié)：
（1）解答本題要注意根據(jù)傾斜角的概念及傾斜角的取值范圍解答.（2）求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時要根據(jù)情況分類討論.
變式演練（1）（多選題）下列命題中，正確的有
（2）求直線 l 的傾斜角 α 的取值范圍，
A.任意一條直線都有唯一的傾斜角 B．一條直線的傾斜角可以為一 30° C.傾斜角為 0° 的直線有無數(shù)條 D.若直線的傾斜角為 α ，則s in\ α\in(0 ,1)
（2）已知直線 l 向上方向與 y 軸正向所成的角為 30° ,則直線 l 的傾斜角為
三斜率和傾斜角的應(yīng)用
【知識梳理】
當(dāng)直線與 \boldsymbol{x} 軸不垂直時，直線的斜率k與傾斜角 α 之間滿足
易錯警示：
（1）當(dāng)直線的斜率為正時，直線的傾斜角為銳角；當(dāng)直線的斜率為負(fù)時，直線的傾斜角為鈍角；當(dāng)直線的傾斜角為0時，直線的斜率為0；當(dāng)直線的傾斜角為直角時，直線的斜率不存在.
（2）當(dāng)直線的傾斜角為銳角時，傾斜角越大，直線越 ，相應(yīng)的斜率隨傾斜角的增大而 ；當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時，傾斜角越大，直線越 ,斜率隨傾斜角的增大而 .不難發(fā)現(xiàn)，直線越陡，直線斜率的絕對值
例3已知有 A ( - 3 ,4 ) ,B ( 3 ,2 ) 兩點，過 點 P\left(1,0\right) 的直線 l 與線段 A B 有公共點.
（1）若直線 l 的斜率存在,求直線 l 的斜率k 的取值范圍；
思維導(dǎo)圖：
提煉小結(jié)：
（1）由傾斜角（或范圍)求斜率(或范圍）,利用定義式 k=tan~α\left(α\neq90°\right) 解決.
（2）由兩點坐標(biāo)求斜率，運用兩點斜率公式k=(y_{2}-y_{1})/(x_{2)-x_{1}}(x_{1}\neq x_{2}) 求解。
（3）涉及直線與線段有交點問題，常利用數(shù)形結(jié)合及公式求解.
變式演練 已知有 \displaystyle A\left( 3 ,3 \right),B\left( - 4 ,2 \right), C(0,-2) 三點.
（1）求直線 A B 和 A C 的斜率；
（2）若點 D 在線段 B C （包括端點）上移動，求直線 A D 的斜率的取值范圍.
隨堂練習(xí)
1．如果過 P\left(-2,m\right),Q\left(m ,4\right) 兩點的直線的斜率為1,那么實數(shù) m 的值是
A. 1
B.4
C.1或3
D.1或4
2.直線 l 過原點（0,0），且不過第三象限，那么 l 的傾斜角 α 的取值范圍是
A. \left[0°,90°\right]
B. \left[90°,180°\right]
C. [90°,180°) 或 α=0° D. \left[90°,135°\right]
3.若過 A\left(m ,3\right),B\left(1,2\right) 兩點的直線的傾 斜角為 45° ，則 m=
A.2B.1C。 -1 D. -2
4．（多選題)下列命題中,正確的有（
A.若 α 是直線 l 的傾斜角，則 0°{<=slant}α{<}180° B.若 k 是直線的斜率，則 k\in\mathbf{R} C.任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角D.任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率
5.已知 m>=1 ，則過點 A\left(m,3\right) 與點 B\left(1\right. ，2)的直線的傾斜角 α 的取值范圍是
1.2直線的方程
第1課時 直線的點斜式方程
課標(biāo)要求
1.熟記直線的點斜式方程和斜截式方程，會用這兩種方程解決簡單問題.2.掌握直線方程的點斜式和斜截式，并會用它們求直線的方程.3.運用直線的點斜式方程，探索推導(dǎo)直線的斜截式方程，感受直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
引入(鏈接教材)
直線 l 斜率為一2，且過定點 A ( -1 ,3 ) ，動點 P\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) 的坐標(biāo)滿足什么關(guān)系？
新知學(xué)習(xí)
求直線的點斜式方程
【知識梳理】
我們把方程 稱為過點P_{~0~}(x_{~0~},y_{~0~}) ,斜率為 k 的直線 l 的方程.
方程 y-y_{~0~}{=}k\left(x-x_{~0~}\right) 由直線上一個定點(x_{~0~},y_{~0~}) 及該直線的斜率 k 確定，我們把它叫作直線的 ,簡稱點斜式.
易錯警示：
（1）點斜式應(yīng)用的前提是直線的斜率存在，若斜率不存在，則不能應(yīng)用此式.
（2）當(dāng)直線與 \boldsymbol{\mathscr{x}} 軸平行或重合時，方程可簡
寫為 .特別地， \boldsymbol{x} 軸的方程是;當(dāng)直線與 _y 軸平行或重合時，不能
應(yīng)用點斜式方程.此時可將方程寫成.特別地， y 軸的方程是
例1（鏈接教材)寫出下列直線的點斜式方程：
（1）過點 A\left(1,-1\right) ,斜率為2；（2）過點 B\left(2,-{√(2)}\right) )，傾斜角為 30° （3）過點 C\left(0,3\right) ，傾斜角為 0° （4）過點 D(-1,-2) ，傾斜角為 120°
提煉小結(jié)：
（1）求直線的點斜式方程的步驟：定點 (\boldsymbol{x}_{0} y_{~0~})\rightarrow 定斜率 k\rightarrow 寫出方程 y-y_{\mathit{0}} {=} k ( x {-} x_{\mathit{0}} )
（2）注意：點斜式方程 y-y_{~0~}=k ( x-x_{~0~}) 可表示過點 P\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{y}_{0}\right) 的所有直線，但 {\boldsymbol{x}}={\boldsymbol{x}}_{0} 除外.
變式演練（1）直線 l 的點斜式方程為 y- 2=k\left(x+1\right) ，則直線 l 過定點 ;若點(2，－1)在直線 l 上，則 k=
(2）過點（3,1)的直線 l 的傾斜角是直線 y=√(3) x+1 的傾斜角的2倍,則直線 l 的點斜式 方程為
二直線的斜截式方程
【知識梳理】
1．直線與 y 軸的交點 ( 0 ,b ) 的叫作直線 l 在 y 軸上的截距.
2.把方程 叫作直線的 斜截式方程，簡稱斜截式.
易錯警示：
（1）直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的特殊情況；由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和在 y 軸上的截距.
（2）截距是一個實數(shù)，它是直線與坐標(biāo)軸交點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)和0.當(dāng)直線過原點時，它在 _{\mathscr{x}} 軸上的截距和在 y 軸上的截距
例2（1）直線的點斜式方程為 y-3= 2(x+1) ,則直線的斜截式方程為
A. y=2x+5
B. y=2x+4
C. y=3x+5
D. y=3x+4
（2）（多選題）直線的斜截式方程為 y=1 3x-1 ,則直線的點斜式方程可以為 (
A. y+1=3x
B. y-2=3(x-1)
C. y-1=3x
D. y+4=3(x+1)
提煉小結(jié)：
（1）斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在。
（2）直線的斜截式方程 y=k x+b 中只有兩個參數(shù),因此要確定直線方程只需兩個獨立條件即可.
思維導(dǎo)圖：
（2）某條直線過點 A ( 0 ,2 ) 和點 B\left(2,-2\right) ，則直線的斜截式方程為
三點斜式方程的簡單應(yīng)用
變式演練（1）直線 y=3x-√(3) 在 y 軸上的截距為
例3已知直線 l 過點 P\left(1,2\right) ，且與 _{x} 軸正半軸和 _y 軸正半軸分別交于點 A , B .若\triangle A O B 的面積為4，求直線 l 的點斜式方程.
提煉小結(jié)：
已知過一點求直線方程，設(shè)方程時注意討論斜率是否存在，設(shè)出方程后求出直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，然后求出直角三角形的直角邊長，此時應(yīng)注意截距化距離時要加絕對值，然后根據(jù)已知面積建立關(guān)于斜率的方程，進而求出斜率，從而求出直線方程.
變式演練已知直線 l 過點 P\left(1,2\right) ，且與_{\mathscr{x}} 軸正半軸和 y 軸正半軸分別交于點 A ,B 求\triangle A O B 面積的最小值，及當(dāng)面積最小時，直線的斜截式方程.
隨堂練習(xí)
1．已知直線的方程是 y+2 {=} -x-1 ，則下列說法正確的是
A.直線經(jīng)過點 (-1,2) ,斜率為一1
B.直線經(jīng)過點 ( 2 ,-1) ,斜率為一1
C.直線經(jīng)過點 (-1,-2) ，斜率為一1
D．直線經(jīng)過點 (-2,-1) ,斜率為1
2.直線 y=√(3)\left(x-√(3) \right) 的斜率與在 y 軸上的截距分別是
A. √(3)\ ,√(3)
B. {√(3)}*-3
C. √(3)*3
D. -{√(3)} ,-3
3.（多選題）下列說法正確的有
A.若直線 y=k x+b 過第一、二、四象限，則點 ( k ,b ) 在第三象限B.直線 y=a.x-3a+2 過定點(3，2)C.過點 ( 2 ,-1 ) ，且斜率為 -{√(3)} 的直線的點斜式方程為 y+1=-√(3)\left(x-2\right) D.斜率為一2，且在 _y 軸上的截距為3的直線的方程為 y=-2x±3
4.直線 l 在 _y 軸上的截距為2，且傾斜角α=60° ，則直線 l 的斜截式方程為
5.寫出滿足“過點 A ( - 5 ,2 ) ，且在 _{x} 軸上的截距等于在 y 軸上的截距的2倍"的一條直線的點斜式方程：
第 2課時 直線的兩點式方程
課標(biāo)要求
1．了解直線的兩點式及截距式方程的形式特征及適用范圍.
2.能準(zhǔn)確地寫出直線的兩點式方程，能通過對兩點的特殊化，得到直線的截距式方程，能完成直線兩點式方程與截距式方程的相互轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).
3.經(jīng)歷用兩點坐標(biāo)計算直線斜率，并套用直線點斜式方程得到直線的兩點式方程的過程，知道直線的兩點式方程是點斜式方程的變式，發(fā)展學(xué)生的直觀想象及邏輯推理核心素養(yǎng).
引入(鏈接教材)
上一節(jié)學(xué)過在已知一點坐標(biāo)和斜率的條件下可以求出該直線的方程，那么已知直線上兩點坐標(biāo)可以求出這條直線方程嗎？
設(shè)直線 l 經(jīng)過兩點 P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),P_{2}\left(x_{2},z_{3}\right) y_{2} ),如何建立直線 l 的方程呢？
新知學(xué)習(xí)
直線的兩點式方程
【知識梳理】
經(jīng)過兩點 P_{1}(x_{1},y_{1}) ,P_{2}(x_{2},y_{2}) （其中 x_{rm{l}} \neq x_{2} ,y_{1}\neq y_{2} ) 的直線方程我們把它叫作直線的兩點式方程，簡稱兩點式.
易錯警示：
（1）當(dāng)經(jīng)過兩點 (x_{1},y_{1}) ,(x_{2},y_{2}) 的直線斜率不存在( \chi_{rm{l}}=x_{rm{2}} )或斜率為 0 ( y_{1}=y_{2} ）時，不能用兩點式方程表示.
（2）兩點式方程與這兩個點的順序
（3）方程中等號兩邊表達(dá)式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率
例1（鏈接教材）（1）已知△ABC的三個頂點 \boldsymbol{A}\left(-5,0\right),\boldsymbol{B}\left(3,-3\right),\boldsymbol{C}\left(0,2\right) ，分別求這個三角形三邊所在直線的方程.
（2）過點 A\left( 1,0 \right),B\left( 1,1 \right) 的直線方程是
提煉小結(jié)：
利用兩點式求直線的方程，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件，若滿足即可考慮用兩點式求方程.
在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫方程.
變式演練求過點 \boldsymbol{A}\left( 1 ,0 \right),\boldsymbol{B}\left( m ,1 \right) 的直 線方程.
二直線的截距式方程
【知識梳理】
我們把方程 {(x)/(a)}+{(y)/(b)}=1 叫作直線的截距式方程，簡稱截距式.直線在 \boldsymbol{\mathscr{x}} 軸上的截距是；直線在 y 軸上的截距是
易錯警示：
（1）如果問題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可.
（2）如果已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，可以直接代人截距式求直線的方程，與坐標(biāo)軸平行和 的直線都不能用截距式表示.
例2求過點 A ( 5,2 ) 且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.
思維導(dǎo)圖：
提煉小結(jié)：
求直線方程一般用待定系數(shù)法，在設(shè)截距式方程時，注意直線是否過坐標(biāo)原點，設(shè)點斜式方程時，注意討論斜率是否存在；設(shè)出方程后，代人已知條件，建立關(guān)于所設(shè)參數(shù)的方程，解方程求出所設(shè)參數(shù)，即可求出所求的直線方程.
變式演練求過點 A ( 5 ,2 ) ，且在 x 軸上的截距是在 y 軸上的截距的2倍的直線方程.
三直線方程的應(yīng)用
例3已知直線 l 過點 M( 2 ,1 ) ，且分別與\mathscr{x} 軸的正半軸 *\boldsymbol{y} 軸的正半軸交于 A ,B 兩點， O 為坐標(biāo)原點，求當(dāng) \triangle A O B 的面積最小時，直線 l 的方程.
拓展探究1．在例3條件下，求當(dāng) O A+ OB取得最小值時，直線L的方程.
2.在例3條件下，求當(dāng) M A* M B 取得最小值時，直線 l 的方程.
隨堂練習(xí)
1.過 A\left(x_{1} ,y_{1}\right),B\left(x_{2} ,y_{2}\right) 兩點的直線方程一定可以寫成
A (y-y_{1})/(y_{2)-y_{1}}{=}(x-x_{1})/(x_{2)-x_{1}} y-y_{1}=(y_{2}-y_{1})/(x_{2)-x_{1}}(x-x_{1}) C. x-x_{1}=(x_{2}-x_{1})/(y_{2)-y_{1}}(y-y_{1}) D. (y-y_{1})(x_{2}-x_{1})=(x-x_{1})(y_{2}-y_{1})
2.在 \boldsymbol{\mathscr{x}} 軸、 y 軸上的截距分別是一3,4的直線方程為
A. {(x)/(-3)}+{(y)/(4)}=1
B. (x)/(3)+(y)/(-4)=1
C. {(x)/(-3)}-{(y)/(4)}=1
D. (x)/(4)+(y)/(-3)=1
3.已知直線 l 的兩點式方程為 (y-0)/(-3-0)= (x-5)/(3-5) ,則 l 的斜率為
A. -{(3)/(8)}
B. (3)/(8)
C. -{(3)/(2)}
D. (3)/(2)
4.（多選題)過點 A\left(4,1\right) 且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程可以為
A. x+y=5
B. x-y=5
C. x-4y=0
D. x+4y=0
5.已知直線 x+y-k=0 與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于8，則實數(shù) k 的取值范圍是
第3 課時 直線的一般式方程
課標(biāo)要求
1.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的一般式.2．會進行直線方程的五種形式間的轉(zhuǎn)化.
引入(鏈接教材)
前幾節(jié)里我們學(xué)習(xí)了直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程，這些方程都是二元一次方程嗎？直線方程和二元一次方程有什么關(guān)系呢？本節(jié)課我們就來研究這個問題.
新知學(xué)習(xí)
直線的一般式方程
【知識梳理】
我們把關(guān)于 x* y 的二元一次方程 A x+ B y+C {=} 0 （其中 A ,B )叫作直線的一般式方程，簡稱一般式.
易錯警示：
（1）直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征
① 方程是關(guān)于 x* y 的
? 方程中等號的左側(cè)自左向右一般按 _{x} y ，常數(shù)的先后順序排列.
③_{x} 的系數(shù)一般不為
（2）當(dāng)直線方程 A x+B y+C=0 的系數(shù)A ,B ,C 滿足下列條件時，直線 A x+B y+C {=} 0 有如下性質(zhì)
① 當(dāng) A\neq0 ,B\neq0 時，直線與兩條坐標(biāo)軸都
? 當(dāng) A\neq0,B=0,C\neq0 時，直線與軸平行，與 軸垂直；
③ 當(dāng) A=0 , B\ne0 , C\ne0 時，直線與軸平行，與 軸垂直；
\circledast 當(dāng) A=0 , B\ne0 , C=0 時，直線與
軸重合；
\circled{5} 當(dāng) A\neq0,B=0,C=0 時，直線與軸重合.
例1 (鏈接教材)直線 l:3x+5y-15=0 的斜率為 ，在 \boldsymbol{\mathscr{x}} 軸上的截距為，在 y 軸上的截距為
例2（1）斜率是 √(3) ,且過點 A\:( 5 ,3 ) 的直線的一般式方程為
（2）過 A\left(-1,5\right),B\left(2,-1\right) 兩點的直線的一般式方程為
提煉小結(jié)：
求直線一般式方程的策略：① 設(shè)出一般式方程，再運用待定系數(shù)法求出系數(shù) A ,B ,C ? 根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程，然后轉(zhuǎn)化為一般式.
變式演練根據(jù)下列各條件，寫出直線的方程，并化成一般式.
① 斜率是 -{(1)/(2)} ,且過點 A\left(8,-6\right) 的直線方程為
? 在 _{\mathscr{x}} 軸和 y 軸上的截距分別是 (3)/(2) 和一3的直線方程為
③ 過點 P_{1}(3,-2),P_{2}(5,-4) 的直線方程為
二直線的一般式方程的應(yīng)用
例3（1）已知直線 A x+B y+C=0 (A B{>}0 ,B C{>}0) ，則該直線不過
A.第一象限B.第二象限C．第三象限D(zhuǎn).第四象限
（2）（鏈接教材）設(shè)直線 l 的方程為 ( m^{ 2}- 2m-3)x+(2m^{2}+m-1)y=2m-6. 根據(jù)下面條件，分別確定 m 的值：
① 在 \boldsymbol{x} 軸上的截距是一3；
② 的斜率是一1.
例4已知直線 l:5a x-5y-a+3=0.
（1）求證：不論 a 為何值，直線 l 總過第一象限；
（2）若直線 l 不過第二象限，求實數(shù) a 的取值范圍.
提煉小結(jié)：
含參直線方程的研究策略
（1）若方程 A x+B y+C=0 表示直線，則須滿足 A ,B 不全為0.
（2）令 x=0 可得在 _y 軸上的截距，令 y=0 可得在 \mathscr{x} 軸上的截距.若確定直線斜率存在,可將一般式化為斜截式.
（3）解分式方程要注意驗根.
變式演練（1）若直線 l:a x+y-2 {=} 0 在_{x} 軸和 _y 軸上的截距相等,則 a=
（2）若直線 ( 2m^{2}-5m+2 ) x - ( m^{2} - 4)y+5m=0 的傾斜角是 45° ，則實數(shù) _m 的值是
變式演練直線 l 的方程為 (a+1)x+y+ \vdots 2-a=0(a\in\mathbf{R}).
（1）若 l 在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求 \boldsymbol{a} 的值；
（2）若 l 不過第二象限，求實數(shù) a 的取值范圍.
隨堂練習(xí)
1．在平面直角坐標(biāo)系中,直線 x+{√(3)} y- 3=0 的傾斜角是
A. 30° B. {{60}°}
C. 150° D. 120°
2．若直線 (m^{2}-3m+2) x+(m-2) y - 2m+5=0 的斜率 k=1 ，則實數(shù) m 的值為
A.0 B.1
C. 2 D.3
3．（多選題)已知三條直線 x+y=0 ,x- y=0 ,x+a y=3 可圍成一個三角形，則實數(shù) a 的值可以是 (
A. -1 B.1
C. 2 D.-2
4.若直線 l 過點 A\left( 2 ,0 \right),B\left( 0 ,1 \right) ，則 l 的一般式方程為
5．已知直線 l:k x-y+1+2k=0\left(k\in\mathbf{R}\right) ，則該直線過定點
1.3兩條直線的平行與垂直
第1課時 兩條直線平行
1.理解并掌握兩條直線平行的條件，會運用條件判定兩直線是否平行，運用兩直線平行時的斜率關(guān)系求直線方程，解決相應(yīng)的幾何問題.
2.掌握利用斜率判定兩條直線平行的方法，感受用代數(shù)方法研究幾何問題的思想.
3.通過分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的滲透，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)、辯證的思維習(xí)慣.
(3) l_{1}//l_{2}{\Rightarrow}k_{1}{=}k_{2} 或兩條直線的斜率都不存在.
引入(鏈接教材)
在生產(chǎn)生活中，經(jīng)常遇見兩條直線平行的特殊的位置關(guān)系．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的斜率刻畫了直線的傾斜程度，而兩條直線平行時，它們的傾斜程度相同，那么，怎樣通過直線的斜率來判斷兩條直線平行的位置關(guān)系呢？
存在).
課標(biāo)要求
例1(鏈接教材)判斷下列各組直線是否平行，并說明理由.(1) l_{1}:y=2x+1 ,\;l_{2}:y=2x-1 (2) l_{rm{l}} :2x-y-7 {=} 0 l_{2}:x+2y-1=0.
新知學(xué)習(xí)
判定兩條直線是否平行
【知識梳理】
兩條直線平行的條件
（1）設(shè)直線 l_{1}:y=k_{1}x+b_{1} ,l_{2}:y=k_{2}x+ b_{2} ，則 l_{1}//l_{2}\leftrightarrow
（2）若直線 l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0 , l_{2} A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0(A_{1} ,A_{2} ,B_{1} ,B_{2} 全不為零)平行，則兩直線平行的等價條件為
易錯警示：
(1） l_{1} //l_{2} \{\} k_{1}=k_{2} 成立的前提條件是：① 兩條直線的斜率都存在； \circled{2}\ l_{1} 與 l_{~2~} 不重合.(2) k_{1}=k_{2}\Rightarrowl_{1}\big//l_{2} 或 l_{rm{l}} 與 l_{2} 重合(斜率
提煉小結(jié)：
1.判斷兩條不重合的直線是否平行的方法
2.注意平行與重合的區(qū)分.
變式演練1．（多選題)下列條件能得到直線 l_{1} 與 l_{2} 平行的是
A. l_{rm{1}} 經(jīng)過點 A\left(-1,-2\right),B\left(2,1\right),l_{2} 過點 M(3,4) ,N(-1,-1) B. l_{rm{1}} 的斜率為 1 ,l_{2} 過點 A\left(1,1\right),B\left(2,2\right) C. l_{~1~} 經(jīng)過點 \boldsymbol{A}\left( 0 ,1 \right),\boldsymbol{B}\left( 1 ,0 \right),\boldsymbol{l}_{2} 過點{\cal M}(-1,3) ,{\cal N}(2 ,0) D. l_{rm{1}} 經(jīng)過點 A\left(-3,2\right),B\left(-3,10\right),l_{2} 過點 M(5,-2),N(5,5)
2.兩直線 2x-y+k=0 和 4x-2y+1 {=} 0 的位置關(guān)系是
提煉小結(jié)：
方法一：由平行直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點斜式求方程；方法二：由平行設(shè)方程，再由直線過點確定待定系數(shù).兩種方法本質(zhì)相同.
變式演練（鏈接教材)1．求過點 A ( 2 ,- 3），且與直線 2x+y-5 {=} 0 平行的直線方程.
3.（鏈接教材）求證：如圖，順次連接 A\left(2,-3\right),B\left(5,-(7)/(2)\right),C\left(2,3\right),D\left(-4,4\right) 四點 所得的四邊形是梯形.
二 求與已知直線平行的直線方程
例2過點(5,0),且與 x+2y-2 {=} 0 平行的直線方程是
A. 2x+y+5=0
B. 2x+y-5 {=} 0
C. x+2y-5{=}0
D. x+2y+5=0
2．求與直線 2x+y-5 {=} 0 平行，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為 (3)/(2) 的直線 l 的方程.
三由兩直線平行求參數(shù)
例3已知兩直線 l_{1}:x+m y+6=0 l_{2}:(m-2)x+3y+2m=0 當(dāng) m 為何值時，直線 l_{1} 與 l_{2}
（1）相交?（2）平行？（3）重合？
隨堂練習(xí)
1.過點 A ( 2 ,5 ) 和點 B\left(-4,5\right) 的直線與直線 y=3 的位置關(guān)系是
A.相交 B.平行C.重合 D.以上都不對
2.設(shè)點 P\left(-\ensuremath{4},2\right),Q\left(6 ,-\ensuremath{4}\right),R\left(12 ,6\right), S\left( 2 ,a \right) .若 P Q/S R ，則 a 的值為
A.6 B.-6
C.12 D.-12
思維導(dǎo)圖：
提煉小結(jié)：
將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程時，若 y 的系數(shù)含有參數(shù)，則需分類討論.
變式演練1．若直線 l_{rm{l}} \mathbf{\Phi}_{:}a x+3y+1=0 與l_{2}:2x+(a+1)y+1 {=} 0 互相平行，則實數(shù) a 的值為
2.設(shè) a\in\mathbf{R} ，則“ a=1 ”是“直線 l_{rm{1}} a x+ 2y-1=0 與直線 l_{2}:x+(a+1) y+4=0 平行”的
A．充分不必要條件B.必要不充分條件C．充要條件D.既不充分又不必要條件
3．已知直線 l 的傾斜角為 (3π)/(4) ,直線 l_{1} 過點 A\left(3,2\right) 和 B\left(a ,-1\right) ，且直線 l 與 l_{rm{1}} 平行，則實 數(shù) a 的值為
A.0 B.1
C. 6 D.0或6
4.（多選題)直線 l_{rm{l}} 與 l_{2} 為兩條不重合的 直線，傾斜角分別為 α_{up{l}},α_{up{2}} ，則
A.若 \boldsymbol{l}_{\u{1}}//\boldsymbol{l}_{\u{2}} ，則 l_{1} 與 l_{2} 的斜率相等 B.若 l_{1} 與 l_{2} 的斜率相等，則 l_{rm{1}}//l_{rm{2}} C.若 α_{1}=α_{2} ，則 l_{1}//l_{2}
D.若 \boldsymbol{l}_{\u{1}}//\boldsymbol{l}_{\u{2}} ,則 α_{1}=α_{2}
5.已知直線 l_{1} 與直線 l_{ 2}:3x+4y-5=0 平行，直線 l_{rm{1}} 與兩坐標(biāo)軸所構(gòu)成的三角形的面積為12，則直線 l_{1} 的方程為
第 2課時 兩條直線垂直
課標(biāo)要求
1.理解并掌握兩條直線垂直的條件.2.會運用條件判定兩直線是否垂直.3.運用兩直線平行和垂直時的斜率關(guān)系解決相應(yīng)的幾何問題.
引入(鏈接教材)
上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了通過兩條直線的斜率關(guān)系刻畫兩條直線平行的位置關(guān)系，那么，怎樣通過直線的斜率來判斷兩條直線垂直的位置關(guān)系呢？
例1 (教材鏈接)已知點 it{A}(5 ,\ 3) ,\ it{B}(10 , 6）， C(13, 1) , D(8 , -2) ，求證：四邊形ABCD為矩形.
新知學(xué)習(xí)
判定兩條直線是否垂直
【知識梳理】
一般地，設(shè)直線 l_{~1~},l_{~2~} (斜率存在)所對應(yīng)的斜率分別為 k_{rm{1}},k_{rm{2}} ，則 l_{1}\bot l_{2}\leftrightarrow
易錯警示：
（1）如果直線 l_{1} ,l_{2} 的斜率有一個不存在，那么其中有一條直線（不妨設(shè)為 l_{rm{l}} )與 \boldsymbol{\mathscr{x}} 軸垂直，此時兩條直線垂直的條件為 l_{2} 的斜率為0；
（2）在利用以上結(jié)論判定兩直線的位置關(guān)系時，一定要注意前提條件，即斜率存在，因此在討論問題過程中，一定要注意對斜率是否存在作分類討論；
（3）設(shè)直線 l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0 , l_{2}: A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0 ,那么兩條直線垂直的充要條件為
思維導(dǎo)圖：
提煉小結(jié)：
判定幾何圖形形狀的注意點
（1）在頂點確定的前提下，判定幾何圖形的形狀時，要先畫圖，猜想其形狀,以明確證明的目標(biāo)。
（2）證明兩直線平行時，僅有 k_{rm{1}}=k_{rm{2}} 是不夠的，還要注意排除兩直線重合的情況.
（3）判斷四邊形形狀，要依據(jù)四邊形的特點，并且不會產(chǎn)生其他的情況.
變式演練1. \begin{array}{r}{A\left(-4,3\right),B\left(2,5\right),C\left(6 ,\right.}\end{array} 3) ,D ( - 3 ,0 ) ，順次連接 A ,B ,C ,D 四點，試判 斷四邊形 A B C D 的形狀.
2.判斷下列各組中的兩直線是否垂直.
（1）直線 l_{rm{1}} 的斜率為一10，直線 l_{2} 過點A\left(10,2\right),B\left(20,3\right) （2）直線 l_{1} 過點 A\left( 3 ,4 \right),B\left( 3 ,7 \right) ,直線 l_{2} 過點 P(-2,4),Q(2,4) （3）直線 l_{1} 的斜率為 /13 ，直線 l_{2} 與直線2x+3y+1{=}0 平行.
二求與已知直線垂直的直線方程
例2（2025·江蘇南通市海門中學(xué)期末)直線 l 過點 ( -1,2 ) ，且與直線 2x-3y+1=0 垂直，則 l 的方程為
A. 3x+2y-1 {=} 0
B. 3x+2y+7=0
C. 2x-3y+5{=}0
D. 2x-3y+8{=}0
提煉小結(jié)：
求與已知直線垂直的直線方程時，方法一：看原直線斜率是否存在，若存在，利用斜率乘積為一1求斜率；若不存在，則所求斜率為0，然后用點斜式求直線方程.方法二：待定系數(shù)法.若直線 l_{1}:A_{1}x {+} B_{1}y {+} C_{1} {=} 0 ,則可設(shè)所求直線的方程為 B_{1}x-A_{1}y+m=0 ,再利用已知條件求出 m 的值.
變式演練1．與直線 y=2x+1 垂直，且在 _y 軸上的截距為4的直線的方程是（
A.~~y {=} (1)/(2)x+4~~~~~~~~~~~~~~B.~~y {=} 2x {+}4 C.\;\;y {=} {-} 2x {+} 4\qquad~{~D.~~}y {=} {-} (1)/(2)x {+} 4
2.已知 \triangle A B C 的三個頂點分別是 A (-5 \left.\begin{array}{c}{\left.\begin{array}{r}{0\right),B\left(3,-3\right),C\left(0,2\right)}\end{array}\right. ，則邊 B C 上的高所在直線的方程為
三由兩直線垂直求參數(shù)
例3（1）已知直線 l 的傾斜角為 (3π)/(4) 直線l_{rm{l}} 過點 A\left(3,2\right) 和 B\left(a ,-1\right) ，且直線 l 與 l_{~1~} 垂直，則實數(shù) \boldsymbol{a} 的值為
A.1 B.6
C.0或6 D.0
（2）已知直線 l_{1} \mathbf{\Phi}_{1}:a x+4y-2=0 與直線 l_{2} 2x-5y+b=0 互相垂直，垂足為 ( 1 ,c ) ，則 ^{a+} b+c 的值為
提煉小結(jié)：
由兩直線垂直求參數(shù)的值，利用斜率的乘積為一1是常用方法.
變式演練 （鏈接教材)在路邊安裝路燈，路寬 23 ~m~ ,燈桿長 2, 5 ~m~ ，且與燈柱成 120° 角，路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線與燈桿垂直.當(dāng)燈柱高 h 為多少米時，燈罩軸線正好通過道路路面的中線（精確到 0, 01 ~m~ ？
參考數(shù)據(jù)： {√(3)}\approx1. 732
隨堂練習(xí)
1．已知直線 l_{rm{l}} 的傾斜角為 30° ，且直線 l_{rm{1}}\perp l_{rm{2}} ，則直線 l_{2} 的斜率為
A -{(√(3))/(3)} B. (√(3))/(3) C. -√3 D. √3
2.“ m=3^{2} ”是“直線 l_{1}:2\left(m+1\right)x+\left(m-\right. (3)y+7-5m=0 與直線 l_{~2~}:(m-3) x+2y - 5=0 垂直"的
A．充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D．既不充分又不必要條件
3．若直線 a x+2y+1 {=} 0 與直線 x+2y- 2=0 互相垂直，則實數(shù) a 的值是
A.1 B. -1 C.4 D.一4
4.（多選題)下列說法正確的有
A.斜率均不存在的兩條直線可能垂直B.若兩條直線垂直，則這兩條直線的斜率
互為負(fù)倒數(shù)C.若兩條直線的斜率互為負(fù)倒數(shù),則這兩
條直線垂直D.若兩條直線中，有一條直線的斜率不存
在，另一條直線的斜率為0,則這兩條直線垂直
5.已知點 A ( - 2 ,- 5 ) ,B ( 6 ,6 ) ，點 P 在_y 軸上，且 \angle A P B=90° ，則點 P 的坐標(biāo)為
1.4 兩條直線的交點
課標(biāo)要求
1．會求兩條直線交點的坐標(biāo).2.理解二元一次方程組的解與兩條直線的位置之間的關(guān)系.
引入(鏈接教材)
在平面幾何中，我們對直線作了定性研究，引人平面直角坐標(biāo)系后，我們用二元一次方程表示直線，直線的方程就是相應(yīng)直線上每一點的坐標(biāo)所滿足的一個關(guān)系式，這樣，我們可以通過方程把握直線上的點，進而用代數(shù)方法對直線進行定量研究，例如求兩條直線的交點坐標(biāo)，平面內(nèi)與點、直線相關(guān)的距離問題等.
新知學(xué)習(xí)
例1（鏈接教材）分別判斷下列直線是否
相交，若相交，求出交點坐標(biāo).(1) l_{rm{1}} :2x-y=7 和 l_{~2~} 3x+2y-7 {=} 0 (2) l_{1}:2x-6y+4=0 和 l_{ 2}:4x-12y+
8=0 (3) l_{rm{1}} :4x+2y+4 {=} 0 和 l_{2}:y=-2x+3
兩條直線位置關(guān)系的判定
【知識梳理】
1．兩條直線的交點坐標(biāo)即為兩條直線的方
程所聯(lián)立的方程組的解.2.解由兩直線的方程組成的方程組的時
候，可能出現(xiàn)的三種結(jié)果：① 方程組有且只有一組解，此時兩直線的
位置關(guān)系為 ，交點個數(shù)為 ；? 方程組有無數(shù)組解，此時兩直線的位置
關(guān)系為 ，交點個數(shù)為 ；③ 方程組無解，此時兩直線的位置關(guān)系為,交點個數(shù)為
3.兩條直線相交、平行和重合的條件
已知兩條直線 l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0(A_{1} ，B_{1} 不全為 \left(0\right),l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\left(A_{2} ,B_{2}\right) 不全為0),則：
（1）兩直線相交 \Leftrightarrow （2）兩直線平行 \Longleftrightarrow （3）兩直線重合 \Longleftrightarrow
變式演練（1）直線 2x+3y-k=0 和直線 x-k y+12 {=} 0 的交點在 _{x} 軸上,則實數(shù) k 的值為
A.—24 B.24
C. 6 D.±6
（2）（多選題）下列說法正確的有
A.直線 l_{1}:x-y+2=0 和 l_{2} _{2}:2x+y- 5=0 的交點坐標(biāo)為(1，3) B.直線 l_{rm{1}} :x-2y+4 {=} 0 和 it{l}_{2}:2x-4y+ 8=0 相交 C.直線 l_{1}:2x+y+2=0 和 l_{ 2}:2x+y- 3=0 的交點坐標(biāo)為 (-2,2) D.直線 l_{1}:xrm{--}2y+1=0 , l_{2}: l_{\;2}:y =x ， l_{3}:2x+y-3 {=} 0 兩兩相交
（3）若三條直線 m x+2y+7 {=} 0 ,4x+y - 14=0 和 2x-3y-14=0 交于一點，則實數(shù) m 的值為
提煉小結(jié)：
（1）求兩直線的交點坐標(biāo)，可直接建立方程組求解，并可利用解的個數(shù)判斷直線的位置關(guān)系。（2）當(dāng)多條直線交于同一點時，先選兩直線求交點，此點必滿足第三條直線.
二過兩直線交點的直線系方程
提煉小結(jié)：
已知直線 l_{1}\colon A_{1}x + B_{1}y + C_{1} = 0 l_{2}:A_{2}.x+B_{2}y+C_{2}=0 相交，那么過兩直線的交點的直線方程可設(shè)為 (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}) + λ (A_{2}x+B_{2}y+C_{2})=0 λ\in\mathbb{R}) （不包括直線l_{~2~})
變式演練1．過兩直線 l_{1}:2x-3y+2=0 與 l_{ 2}:3x {-} 4y {-} 2 {=} 0 的交點，且平行于直線 l_{3} 4x-2y+7=0 的直線方程是
【知識梳理】
已知兩條直線 l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0(A_{1} B_{1} 不全為 \left.0\right),l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\left(A_{2} ,B_{2} 不全為0)交于點 P ，則過兩條直線交點 P 的直線方程可以寫成（不包括直線 l_{~2~}
例2（鏈接教材)已知直線 l 過坐標(biāo)原點，且過另外兩條直線 2x+3y+8{=}0 ， x-y-1 {=} 0 的交點，求直線 l 的方程.
2.過兩直線 l_{~1~} :2x-3y+2 {=} 0 與 l_{2} :3x- 4y-2=0 的交點，且垂直于直線 l_{3} _3:4x-2y+ 7=0 的直線方程是
三直線過定點問題
例3求證：不論 m 為何實數(shù)，直線 l (m-1)x+(2m-1)y=m-5 恒過一定點，并 求出此定點的坐標(biāo).
提煉小結(jié)：
解含參數(shù)的直線恒過定點問題的策略
（1）任給直線中的參數(shù)賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗證這兩條直線的交點就是題目中含參數(shù)直線所過的定點，從而問題得解.
（2）若整理成 y-y_{~0~}=k ( x-x_{~0~}) 的形式，則表示的直線必過定點 (x_{0} ,y_{0})
變式演練無論 m 為何值，直線 l:(m+ 1)x-y-7m-4=0 恒過一定點 P ，求點 P 的 坐標(biāo).
隨堂練習(xí)
1．直線 x+2y-2 {=} 0 與直線 2x+y-3=1 0的交點坐標(biāo)是
A.(4,1) B.(1,4) C \left({(4)/(3)},{(1)/(3)}\right) \left({(1)/(3)},{(4)/(3)}\right)
2.若 (-1,-2) 為直線 2x+3y+a=0 與直線 b x-y-1 {=} 0 的交點，則 a b 的值為（
A.7 B.8
C. 9 D.10
3.（多選題)已知三條直線 y=2x ,x+y= \mid3,m x+n y+5=0 交于同一點，則坐標(biāo) ( m ,n ) 可能是
A.(1,-3) B.(3,-4) C.(-3,1) D.(-4,3)
4.過兩直線 l_{rm{l}} x-2y+4=0 和 l_{\mathbf{ε}_{2}:x}+ y-2=0 的交點 P ,且與直線 l_{3} 3x-4y+5 {=} 0 垂直的直線 l 的方程為
5.已知直線 \left(a-2\right)y=\left(3a-1\right)x-1 ，求證：無論 a 為何值，直線總經(jīng)過第一象限.
1.5 平面上的距離
（2）已知 A\left(5,2a-1\right),B\left(a+1,a-4\right) 兩點，則當(dāng)AB取得最小值時，實數(shù) a=
第1課時平面上兩點間的距離
課標(biāo)要求
1.理解并掌握兩點間的距離公式、中點坐標(biāo)公式，會用兩點間的距離公式、中點坐標(biāo)公式解決相關(guān)問題.
2.掌握數(shù)學(xué)運算方法.
變式演練若三條直線 y=2x ,x+y=3 ， m x+n y+5=0 交于同一點，則 m^{ 2}+n^{ 2} 的最小 值是
引入(鏈接教材)
在數(shù)軸上兩點 A ,B 之間的距離 \mid A B\mid={~}\vdots |\boldsymbol{x}_{A}-\boldsymbol{x}_{B} | ,那么在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知兩點 P_{1}(x_{1},y_{1}) ,P_{2}(x_{2},y_{2}) ,如何求這兩點間的距離 | P_{ _{1}}P_{ _{2}}|
新知學(xué)習(xí)
兩點間距離公式及其簡單應(yīng)用
【知識梳理】
利用兩點間的距離公式表示出距離，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求出最值.
1．平面上兩點間的距離公式：若平面上兩點為 A\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{y}_{1}\right),B\left(\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{y}_{2}\right) ，則 A ,B 兩點間的距離公式為 A B=
2.兩點間距離的特殊情況：
（1）原點 O(0,0) 與任一點 P\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) 間的距離 O P=
（2）已知點 P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),P_{2}\left(x_{2},y_{2}\right) ，當(dāng)P_{~1~}P_{~2~}//x 軸 (y_{1} {=} y_{2} 時， P_{rm{1}}P_{rm{2}} =
（3）已知點 P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),P_{2}\left(x_{2},y_{2}\right) ，當(dāng)P_{~l~}P_{~2~}/γ 軸 (x_{1}=x_{2} ）時， P_{~1~}P_{~2~}{=}
提煉小結(jié)：
3.感受“形”的直觀性與“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性之間的關(guān)系，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想.
二已知兩點間距離求參數(shù)
例2（鏈接教材)已知 A\left(a ,-5\right) 與 B\left(0\right) 10)兩點間的距離是17,則實數(shù) \boldsymbol{a} 的值為（
A.8 B. 2 √(66) ~C.~±2 √(66 ) D.±8
例1（1）（鏈接教材)已知 A\:( - 1 ,3 ) 與B\left(2,5\right) 兩點間的距離為
例3用坐標(biāo)法證明：在 \triangle A B C 中， A O 為邊 B C 的中線，則 A B^{2}+A C^{2}=2(A O^{2}+B O^{2})
提煉小結(jié)：
根據(jù)兩點間的距離公式求解即可.
變式演練已知點 P 在直線 2x-3y+5= 0上，且在第一象限.若點 P 到點 A\left(2,3\right) 的距離為 √(13) ，則點 P 的坐標(biāo)為
三用坐標(biāo)法解決平面幾何問題
【知識梳理】
中點坐標(biāo)公式：若平面上有 A\;(\;x_{1},,y_{1} ) ，B\left(x_{2},y_{2}\right) 兩點，則 A ,\;B 的中點坐標(biāo)為
思維導(dǎo)圖：
利用“坐標(biāo)法”解決平面幾何問題的基本步驟如下：
提煉小結(jié)：
合理建立平面直角坐標(biāo)系，便于設(shè)點坐標(biāo)及運算.
變式演練（鏈接教材)若△ABC是直角三角形，斜邊 B C 的中點為 M ，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，證明： A M=(1)/(2)B C
提煉小結(jié)：
隨堂練習(xí)
1．已知△ABC的頂點坐標(biāo)分別為 A\:(\:7 ，~\AA~) ,B\left(10 ,4\right),C( 2 ,- 4 ) ,則邊 B C 的中線 A M 的長為
A. √(61) B. 5 5
C. √(37) D.5
A.8 B.13 C。 2 √(15) D. √(65)
2.已知點 it{A}(~-~3 , 8 ) , B~( 2 , 2 ) ，點 M 在\mathscr{x} 軸上，則 M A+M B 的最小值是
3．已知平面內(nèi)有三點 A ( -1,-1 ) ,B ( 1 2）， C(8,-2) ，則 \triangle A B C 的形狀為
5.已知點 A 在 \boldsymbol{\mathscr{x}} 軸上，點 B 在 _y 軸上，線段 A B 的中點 M 的坐標(biāo)為 ( 2 ,-1) ，則線段 A B 的長度為
A．銳角三角形 B．直角三角形C.鈍角三角形 D．無法判斷
4.（多選題）直線 x+y-1=0 上到點P\left(-2,3\right) 的距離為 √(2) 的點的坐標(biāo)可以是（
A.(-4,5) B.(-3,4) C.(-1,2) D.(0,1)
建立坐標(biāo)系時，要盡量利用對稱性，使得特殊點的坐標(biāo)含0.
第 2課時 點到直線的距離
(3) y=-5 (4) x=2 y
課標(biāo)要求
1.理解點到直線距離公式的推導(dǎo)，掌握點到直線的距離公式.2.感受代數(shù)方程與幾何問題之間的關(guān)系，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想.
引入(鏈接教材)
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩點間的距離公式，知道兩點間的距離可以由兩點坐標(biāo)表示.在平面直角坐標(biāo)系中，我們用坐標(biāo)描述點，用方程刻畫直線，當(dāng)點與直線的位置確定后，點到直線的距離可以由點的坐標(biāo)與直線的方程確定，如何確定呢？
新知學(xué)習(xí)
求點到直線的距離
【知識梳理】
1．點到直線的距離公式：點 P\left(\boldsymbol{x}_{~0~},\boldsymbol{y}_{~0~}\right) 到直線 l:A x+B y+C=0 (A ,B 不全為0)的距離d=
2．點到幾種特殊直線的距離：
（1）點 P\ (\ x_{~0~},\ y_{~0~}) 到 x 軸的距離 d= \vdots
（2）點 P\ (\ x_{~0~},\ y_{~0~}) 到 y 軸的距離 d= ;
(3）點 P\left(\boldsymbol{x}_{~0~},\boldsymbol{y}_{~0~}\right) 到直線 {y=a} 的距離 d= ;
（4）點 P\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{y}_{0}\right) 到直線 x=b 的距離 d= \vdots
例1（鏈接教材)求坐標(biāo)原點到下列直線的距離：
(1) 2x+3y-13=0 (2) 3x=20 ；
提煉小結(jié)：
1.求點到直線的距離，首先要把直線方程化為一般式，再套用點到直線的距離公式；2.當(dāng)點與直線有特殊位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合.
變式演練根據(jù)下面條件，求點 P 到直線 l 的距離：
(1) P\left(2,-6\right),l {:}3x {-}y {-}1=0 , (2) P(-1,-4) ,l:y=-x+(1)/(4).
二由點到直線的距離求參數(shù)
例2已知點 P\left(a,-a\right) 到直線 l:\;2x+1 y-1=0 的距離不大于 √(5) ，求實數(shù) a 的取值 范圍.
三點到直線的距離公式的應(yīng)用
例3已知點 P\left( 2,-1 \right) ，求過點 P 且與坐 標(biāo)原點之間距離為2的直線方程.
思維導(dǎo)圖：
提煉小結(jié)：
去掉點到直線距離公式中的絕對值的方法有兩種，分別為分類討論和將等式左、右兩邊同時平方.
變式演練已知點 P\ (\ 1,\ \ -\ 1\ ) 到直線 l:a x+y-2 {=} 0 的距離不大于 √(5) ，求實數(shù) \boldsymbol{a} 的 取值范圍.
思維導(dǎo)圖：
提煉小結(jié)：
在設(shè)直線方程時，要考慮直線斜率是否存在。
拓展探究例3中，求過點 P 且與坐標(biāo)原點之間距離最大的直線方程，及最大距離.
隨堂練習(xí)
1.點 M\left(1,2\right) 到直線 2x+y-1=0 的距 離是
A. √(10)
B. (3 {√(5)})/(5)
C. √(6)
D. 3 √(5)
2．已知直線 l_{1}:2x-y-2=0 與直線l_{ 2}:3x+y-8=0 的交點為 P ，則點 P 到直線l:y=-2x+{√(5)} 的距離為 ）
A. (4)/(5)
B. (30-{√(5)})/(5)
C. (6 {√(5)}-5)/(5)
D. (6-{√(5)})/(5)
3.已知 a ,b ,c 為直角三角形中的三邊長，其中 c 為斜邊長.若點 M( m ,n ) 在直線 l:a x+ b y+3c {=} 0 上，則 {m}^{ 2}+{n}^{ 2} 的最小值為（）
A. 2
B.3
C. 4
D. 9
4.（多選題）已知直線 l 過點（3，5），且點A\left(-2,3\right),B\left(4,-1\right) 到直線 l 的距離相等，則直線 l 的方程可能為 (
A. 2x+3y-21 {=} 0
B. 2x-y-1 {=} 0
C. x+2y+2 {=} 0
D. 2x-3y+6 {=} 0
5.已知在 \triangle A B C 中，點 it{A}(3,2) ,B ( -1 ，5)，點 C 在直線 3x-y+3=0 上.若△ABC 的面積為10，則點 C 的坐標(biāo)為
第3課時兩平行直線間的距離
課標(biāo)要求
1．理解兩條直線的公垂線段的概念、熟記兩平行直線間的距離公式.2.領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想.
引入(鏈接教材)
已知兩條平行直線 l_{1} ,l_{2} 的方程，如何求 l_{rm{1}} 與 l_{~2~} 間的距離？
根據(jù)兩條平行直線間距離的含義，如圖，在直線 l_{rm{1}} 上取任一點 P\left(\boldsymbol{x}_{0},\boldsymbol{y}_{0}\right) ，點 P\left(\boldsymbol{x}_{~0~},\boldsymbol{y}_{~0~}\right) 到直線 l_{2} 的距離就是直線 l_{rm{1}} 與直線 l_{2} 間的距離，這樣求兩條平行直線間的距離就轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離.
例1（1）（鏈接教材）已知兩條直線 l_{1} 2x-4y+7 {=} 0 ,l_{2}:x-2y+5 {=} 0. 求 l_{rm{1}},l_{rm{2}} 間的距離；
（2）已知直線 l 與直線 l_{1}:2x-y+3 {=} 0 和~l_{2}:2x-y-1=0 間的距離相等，求直線 l 的方程.
新知學(xué)習(xí)
兩條平行線間距離極其簡單應(yīng)用
【知識梳理】
1．定義：兩條平行直線間的距離就是夾在兩條平行直線間的 的長。
2.兩條平行線間的距離公式：兩條平行線l_{1}:A x+B y+C_{1}=0 與 l_{\mathit{2}}:A x+B y+C_{\mathit{2}}=0 (其中 A , B 不全為0，且 C_{1}\neq C_{2} )之間的距離d=
3．（1）兩直線都與 _{x} 軸垂直時， l_{rm{l}} x=x_{1} l_{2} ： {\boldsymbol{x}}=x_{\mathit{2}} ，則 d=
（2）兩直線都與 _y 軸垂直時， l_{1}:y=y_{1};l_{2} y=y_{2} ，則 d=
易錯警示：
運用兩平行直線間的距離公式時，必須保證兩直線方程中 x* y 的系數(shù)分別對應(yīng)相同.
思維導(dǎo)圖：
提煉小結(jié)：
求兩平行線間的距離的兩種思路
（1）利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為求一條直線上的任意一點到另一條直線的距離；
（2）直接利用兩平行線間的距離公式.
二已知兩平行線間的距離求參數(shù)
例2已知兩條平行直線 l_{rm{1}} _1:4x-3y+6= 0與 l_{2} , 4x - 3y +C=0 間的距離為1，則C=
提煉小結(jié)：
去絕對值的方法有兩種，分別為分類討論和將等式左右兩邊同時平方.
變式演練若兩條平行線 l_{1} 與 l_{2}:3x+a y-c=0(c>0) 之間的距離為 √(2) (a-3)/(c){=}
A. -2 B.-6
C.2 D.0
題型三綜合運用
例3過點 A (1,1) 且斜率為一 m m>0) 的直線 l 與 x* y 軸分別交于點 P ,Q ，過點 P ,Q 作直線 2x+y=0 的垂線，垂足分別為 R* S ,則四邊形PRSQ面積的最小值為
提煉小結(jié)：
本題考查直線方程的應(yīng)用，兩條平行線間的距離公式的應(yīng)用，使用基本不等式求式子的最小值.先設(shè) l 的方程，求出 P ,Q 的坐標(biāo)，得到PR和QS的方程，再利用平行線間的距離公式求出 R S ，由四邊形PRSQ為梯形，代人梯形的面積公式，最后使用基本不等式可求四邊形PRSQ的面積的最小值.
拓展探究已知過點 A (1,1) 且斜率為一 m m>0 )的直線 l 與 _{x} 軸、 y 軸分別交于點 P ,Q 過 P ,Q 作直線 {√(3)} x+y=0 的垂線，垂足分別為 M,N .求：
（1）直線 P M,Q N 的方程（用 m 表示)；
（2）四邊形PMNQ面積的最小值.
隨堂練習(xí)
1.設(shè) P ,Q 分別為直線 3x+4y-12 {=} 0 與上任意一點，則線段 P Q 長的最小值為
A.2 B.10
C. (14)/(5) D. 14
2.已知 l_{1}\colon2x + 3m y - m + 2= 0 和 l_{ 2}:m x+6y-4 {=} 0. 若 l_{rm{1}}//\;l_{rm{2}} ，則 l_{1} 與 l_{2} 之間的 距離為
A. (√(5))/(5) \begin{array}{l}{B.~(√(10))/(5)}\\ {D.~(2 √(10))/(5)}\end{array}
C. (2 {√(5)})/(5)
3.若動點 A ,B 分別在直線 l_{1}:x+y-6= 0和 l_{ 2}:x+y-2 {=} 0 上，則 A B 的中點 M 到坐標(biāo)原點的距離的最小值為 (
A. √(2) B. 2√2
C. 3√2 D. 4√2
4.（多選題）若 P ,Q 分別為 l_{1}:3x+4y+ 5=0 ,l_{2} ;a x+8y+c=0 上的動點，且 l_{~1~}//l_{~2~} ,下列說法正確的有
A.直線 l_{2} 的斜率為定值B.當(dāng) c=25 時， P Q 長的最小值為 (3)/(2) C.當(dāng) P Q 長的最小值為1時， _{c}=20 D. c\neq10
5.與直線 4x+3y-5=0 平行，且到它的距離為3的直線方程是
×微專題1對稱問題
課標(biāo)要求
1．掌握平面上點、直線關(guān)于點對稱和關(guān)于直線對稱問題.2.掌握對稱問題的解題方法.3.感受點和直線對稱之間的關(guān)系，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想.
2.求直線關(guān)于點對稱的直線問題，方法有三：一是轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點對稱問題；二是根據(jù)平面幾何知識，知道兩條直線平行，且對稱中心到兩條直線的距離相等；三是運用求軌跡問題的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法.
3.求點關(guān)于直線對稱的點的問題，根據(jù)對稱點的連線段被對稱軸垂直平分，如：點 A\left(a\right) b )關(guān)于直線 A x+B y+C=0 ( B\neq0 ) 對稱的點A^{\prime}(m,n) ，則有
(2）點（1,2)關(guān)于點（2,3)對稱的點的坐標(biāo)為
4.求直線關(guān)于直線對稱的直線問題，可以先求出直線與對稱軸的交點，再在已知直線上取一個特殊點并求出它的對稱點，再根據(jù)直線的兩點式方程，求出對稱直線方程.
新知學(xué)習(xí)
點(直線)關(guān)于點對稱問題
知識梳理
1．點關(guān)于點對稱，實際上是兩個點的中點為
思維導(dǎo)圖：
例1（1）直線 y=2x+1 關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的直線方程是
（2）已知 P\left(1,-4\right),A\left(3,2\right) 兩點，則點 A 關(guān)于點 P 對稱的點的坐標(biāo)為
提煉小結(jié)：
1.研究點關(guān)于點對稱的問題主要是利用方程組思想求解.2.本題在已知直線上取兩個特殊點，通常取坐標(biāo)中含數(shù)“0”的點（方便求出對稱點），將問題轉(zhuǎn)化為“點關(guān)于點對稱的問題”，再利用“兩點確定一條直線”這一基本想法求未知直線.當(dāng)然，本題也可以利用平面幾何知識或軌跡思想進行求解.
變式演練 （1）直線 y=4x-5 關(guān)于點P\left(2,1\right) 對稱的直線方程是
A. y=2x-1
B. y=- 2x-1
C. y=- 2x+1
D. _{y}=2x A. y=4x+5
B. y=4x-5
C. _{y} {=} 4.x {-} 9
D. y=4x+9
二點、直線關(guān)于直線對稱問題
例2（1）求點 A\left(1,3\right) 關(guān)于直線+3=0 對稱的點的坐標(biāo)；
（2）已知直線 l:x-y-1=0 ,l_{1}:x-y+1 3=0 ,l_{2}:2x-y-1=0 ，求直線 l_{rm{1}},l_{rm{2}} 關(guān)于直線 l 對稱的直線 {l_{~1~}}^{\prime} ,{l_{~2~}}^{\prime} 的方程.
A'(m,n）,則有 \begin{array}{r l}&{\left|(n-b)/(m-a)\Bigl(-(A)/(B)\Bigr)=-1,\right.}\\ &{\left.\left|A (m+a)/(2)+B (n+b)/(2)+C=0.\right.}\end{array}
提煉小結(jié)：
1.求點關(guān)于直線對稱的點的問題，根據(jù)對稱點的連線段被對稱軸垂直平分，如：點 A\left(a\right) b )關(guān)于直線 A x+B y+C=0 ( B\neq0 ) 對稱的點
思維導(dǎo)圖：
2.求直線關(guān)于直線對稱的直線問題，可以先求出直線與對稱軸的交點，再在已知直線上取一個特殊點，并求出它的對稱點，再根據(jù)直線的兩點式方程，求出對稱直線方程.
變式演練（1）兩直線方程為 l_{rm{1}}\colon3x^{rm{-}} 2y-6 {=} 0 ,l_{2} {:}x-y-2 {=} 0 ，則 l_{rm{1}} 關(guān)于 l_{2} 對稱的直線方程為
A. 3x-2y-4 {=} 0
B. 2x+3y-6 {=} 0
C. 2x-3y-4 {=} 0
D. 3x-2y-6 {=} 0
（2）已知點 P\left( 2,1 \right),Q\left( a ,b \right) 關(guān)于直線 x+ y+1=0 對稱，則 a+b=
三對稱問題的綜合應(yīng)用
例3已知點 P\left(4,1\right) 關(guān)于直線 ^{\prime}:x-2y+ 3=0 對稱的點為 Q
（1）求點 Q 的坐標(biāo).
（2）若點 N 在直線 l 上， O 為坐標(biāo)原點，求：①O N+N P 的最小值；②\ O N-N P 的最小值.
思維導(dǎo)圖：
提煉小結(jié)：
（1）求直線上一點到兩個定點距離之和的最小值時，先確定兩個定點是否在直線的兩側(cè)，如果在同側(cè)，利用點關(guān)于直線對稱化為兩側(cè)，然后利用兩點之間線段最短進行解決；
（2）求直線上一點到兩個定點距離之差的最值或者范圍時，先確定兩個定點是否在直線的同側(cè)，如果在兩側(cè)，利用點關(guān)于直線對稱化為同側(cè)，然后利用三點共線即可得出結(jié)果.
拓展探究在直線 l x-y-1 {=} 0 上求 P Q 兩點，使得：
(1) P 到點 A\left(4,1\right) 與 B\left(0,4\right) 的距離之差最大；
(2) Q 到點 A\left(4,1\right) 與 C\left( 3 ,0 \right) 的距離之和 最小.
隨堂練習(xí)
1.若 P\left( 3 ,4 \right) 是線段AB的中點，且點A的坐標(biāo)為 ( -1,2 ) ，則點 B 的坐標(biāo)為 (
A.(—5,0) B. (4,2) C. (7,6) D. (6,7)
2.將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點 ( m ,n ) 重合，則 m+ n= (
A. (34)/(5) B. 10 C. (36)/(7) D. 5
3.（多選題)光線自點(2，4)射人，經(jīng) _y 軸反射后經(jīng)過點（5，0），則反射光線所在直線還經(jīng)過下列點中的
A.(-9,8) B.(3,1) C. (7，-1) D.(12,—4)
4.已知點 P\left(-1,1\right) 與點 Q\left(3,5\right) 關(guān)于直線l 對稱,則直線 l 的方程為
5.若直線 l_{1}:y=k\left(x-6\right)-2 與直線 l_{2} 關(guān) 于點(2,1)對稱，則直線 l_{2} 恒過定點
章末復(fù)習(xí)課 直線與方程
課標(biāo)要求
1.理解直線的斜率和傾斜角的概念，掌握兩者的聯(lián)系.2.理解直線方程的五種形式和適用范圍，能靈活選擇方程的形式求直線的方程.3.理解直線平行與垂直的條件.4.掌握平面上的兩點間距離公式、點到直線的距離公式及兩條平行直線的距離公式.
3.（多選題）已知直線 l 過點 P\left(3,4\right) ，且點A\left(-2,2\right),B\left(4,-2\right) 到直線 l 的距離相等，則直線 l 的方程可以為 (
A. 2x+3y-18{=}0
B. 2x-y-2=0
C. 3x-2y+18=0
D. 2x-y+2=0
4.若直線 m x+n y+3=0 在 y 軸上的截距 為一3，且它的傾斜角是直線 √(3) x-y=3 √(3) 的傾 斜角的2倍，則 m= n=
知識體系
例題精析
直線方程及其應(yīng)用
例1（1）直線 l 過點 P ( - 6 ,3 ) ，且它在x 軸上的截距和它在 y 軸上的截距相等，則直線l 的方程為
（2）過點 A ( -5 ,-4 ) 作一直線l，使得它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形的面積為5，求直線l的方程.
基礎(chǔ)自測
1．直線 x+y=0 的傾斜角為
A. 45° B. {{60}°}
C. {90}° D. 135°
2．已知直線 x-2y+m=0(m>0) 與直線x+n y-3 {=} 0 互相平行，且它們間的距離是 √(5) ，則 m+n= ）
A. 0 B.1 C. -1 D.2
江海名師新高考課時練·數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊
提煉小結(jié)：
1.求直線方程的主要方法是待定系數(shù)法，要掌握直線方程五種形式的適用條件及相互轉(zhuǎn)化，能根據(jù)條件靈活選用方程，當(dāng)不能確定某種方程條件具備時要另行討論條件不滿足的情況.
2.運用直線系方程的主要作用在于能使得計算簡單.
變式演練在平面直角坐標(biāo)系中，已知\triangle A B C 的頂點 A\left(0,1\right),B\left(3,2\right)
（1）若點 C 坐標(biāo)為（1,0）,求邊 A B 上的高所在的直線方程；
（2）若 M\left(1,1\right) 為邊 A C 的中點，求邊 B C 所在的直線方程.
二 兩直線的位置關(guān)系
例2（1）若直線 l_{1}:x-2y+5 {=} 0 與直線l_{2}:2x+m y-6=0 互相垂直，則實數(shù) m=
（2）已知點A（2,2)和直線 l:3x+4y- 20=0 求：① 過點 A ,且和直線 l 平行的直線方程；② 過點 A ,且和直線 l 垂直的直線方程.
（3）已知正方形的中心為直線 x-y+1 {=} 0 和 2x+y+2=0 的交點，正方形一邊所在直線方程為 x+3y-2 {=} 0 ,求其他三邊所在直線的方程.
提煉小結(jié)：
利用直線的方程判定兩條直線的平行或垂直關(guān)系是這部分知識常涉及的題型.求解時，可以利用斜率之間的關(guān)系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直關(guān)系，求參數(shù)的值時也可用如下方法：直線 l_{1}\colon A_{1}x + B_{1}y + C_{1}= 0 l_{2}:{\cal A}_{2}x+{\cal B}_{2}y+{\cal C}_{2}=0.
(1)當(dāng) l_{rm{1}}//l_{rm{2}} 時，可令 A_{1}B_{2} {-}A_{2}B_{1} {=} 0 ，解得參數(shù)的值后，再代人方程驗證，排除重合的情況；
（2）當(dāng) l_{rm{1}}\bot l_{rm{2}} 時，可利用 A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0 直接求參數(shù)的值.
變式演練（1）已知兩條直線 l_{1} ： (~3~+ \begin{array}{r}{m )x+4y=5-3m ,l_{2}\colon2x+(5+m )y=8.}\end{array} 當(dāng) m 分別為何值時， l_{rm{l}} 與 l_{2} ① 平行？ ? 垂直？
（2）求過兩直線 2x-3y-3 {=} 0 和 x+y+ 2=0 的交點，且與直線 3x-y-1 {=} 0 平行的直線 l 的方程.
三距離問題
例3（1）直線 3x-4y+5 {=} 0 關(guān)于 \mathscr{x} 軸對稱的直線方程為
A. 3x+4y+5{=}0
B. 3x+4y-5=0
C. -3x+4y-5=0
D. -3x+4y+5=0
（2）已知直線 l_{1}:2x+3y-8=0 和 l_{~2~} a x-6y - 10 = 0 .若 \boldsymbol{l}_{\mathit{1}}~/~\boldsymbol{l}_{\mathit{2}} ，則實數(shù) a= ，兩直線 l_{rm{1}} 與 l_{2} 間的距離是
（3）過點 P\left(0,1\right) 作直線 l ，使得它被直線l_{1}:2x+y-8=0 和 l_{2}:x-3y+10=0 截得的線段被點 P 平分，求直線 l 的方程.
? 直線 l_{1} 與直線 l_{2} 平行，且坐標(biāo)原點到l_{rm{1}},l_{rm{2}} 的距離相等.
提煉小結(jié)：
（1）距離問題包含兩點間的距離、點到直線的距離、兩平行直線間的距離.（2）牢記各類距離的公式并能直接應(yīng)用，解決距離問題時，往往將代數(shù)運算與幾何圖形的直觀分析相結(jié)合.
變式演練（1）若點 ( 1 ,a ) 到直線 _y=x+1 的距離是 (3 {√(2)})/(2) ，則實數(shù) a 的值為
A. -1 B.5
C. -1 或5 D. -3 或3
（2）已知兩條直線 l_{1}:a x-b y+4=0 l_{2}:(a-1)x+y+b=0 ，求分別滿足下面條件的 a* b 的值.
① 直線 l_{rm{l}} 過點 (-3,-1) ，且直線 l_{1} 與直線 l_{2} 垂直；
隨堂練習(xí)
1．直線 l 過點 (-3,0) ,且與直線 y=2x- 3垂直，則直線 l 的方程為
A y=-(1)/(2)(x-3) B. y=-(1)/(2)(x+3) C. y=(1)/(2)(x-3) D. y=(1)/(2)(x+3)
2.直線 l 過點 A\left(3,4\right) ，且與點 B\left(-3,2\right) 之間的距離最遠(yuǎn)，那么 l 的方程為
A. 3x-y-13 {=} 0 B. 3x-y+13 {=} 0
C. 3x+y-13 {=} 0 D. 3x+y+13 {=} 0
3.（多選題)等腰直角三角形ABC的直角頂點為 C\left(3,3\right) .若點 A\left(0,4\right) ，則點 B 的坐標(biāo)可能是
A.(2,0) B.(6,4) C.(4,6) D.(0,2)
4.若直線 l 與直線 3x+y-1 {=} 0 垂直，且它在 _x 軸上的截距為一2，則直線 l 的方程為
