答案精析
１ ２０２１－２０２２學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)合體
第二學(xué)期期末考試
１?B [由 (２－i)z＝i
４×５０５＋２＝－１,
則z＝－
１
２－i
＝－
２＋i
(２－i)(２＋i)＝－
２＋i
５
,所以z
－＝－
２
５
＋
１
５
i．]
２?D [由題意,依次取到的編號為１６,１５,０８,０２,１９,
所以第５個(gè)個(gè)體的編號為１９．]
３?D [由圓臺定義知,以直角梯形的一條直角邊所在直線為軸旋
轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺,故 A錯誤;
由棱柱定義可知,棱柱是有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形,且
每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體,故B錯誤;
若一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,那么這兩
個(gè)平面有可能相交,也可能平行,故C錯誤;
在空間中,由于過直線外一點(diǎn)存在一個(gè)平面與該直線垂直,在該
平面內(nèi)過這個(gè)點(diǎn)的所有直線都和這條直線垂直,故過直線外一
點(diǎn)有無數(shù)條直線與該直線垂直,故D正確．]
４?B [由題設(shè)知:原四邊形ABCD 中AB＝CD＝A′B′＝C′D′＝
２且AB∥CD,所以原四邊形ABCD 為平行四邊形,而O′C′＝
２,則原四邊形中OC＝２２,故AD＝BC＝ OC
２＋OB
２ ＝３,
綜上,四邊形ABCD 的周長為AB＋CD＋AD＋BC＝１０．]
５?C [cos１５°－sin１５°＝ ２(sin４５°cos１５°－cos４５°sin１５°)＝
２sin３０°＝
２
２
,A 正確;
１＋tan１５°
１－tan１５°
＝
tan４５°＋tan１５°
１－tan４５°tan１５°
＝tan６０°
＝ ３,B正確;sin２２°sin３８°－cos２２°sin５２°＝sin２２°cos５２°－
cos２２°sin５２°＝ －sin３０°＝ －
１
２
,C 錯 誤;
１－cos３０°
２
＝
２－３
４
＝
４－２３
８
＝
(３－１)
２
８
＝
３－１
２２
＝
６－２
４
,D正確．]
６?A [由 題 設(shè),cos?a,b?＝
a?b
|a||b|
＝
(i＋２j)?(－３i＋４j)
|i＋２j||－３i＋４j|
＝
－３i
２－２i?j＋８j
２
|i＋２j||－３i＋４j|
,又 i ? j ＝ ０,且 |i ＋ ２j | ＝
i
２＋４i?j＋４j
２ ＝ ５,同理,|－３i＋４j|＝５,所以cos?a,b?＝
－３－０＋８
５５
＝
５
５
．]
７?D [對于 A選項(xiàng),m∥α,n?α,則m,n 平行或異面,A錯;對于
B選項(xiàng),若α⊥β,α∩β＝m,n⊥m,則n?β,n∥β或n 與β相交
(不一定垂直),B錯;對于C選項(xiàng),若m∥β,n∥β,且m?α,n?
α,則α,β平行或相交,C錯;對于D選項(xiàng),若m⊥α,n⊥α,則m∥
n,D對．]
８?A [取CD 的中點(diǎn)O,連接PO,OA,則
PO⊥DC,又PO?平面PCD,平面PCD
⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD
＝CD,則PO⊥平面ABCD,又AD?平
面 ABCD,所以PO⊥AD,由AB∥CD,
AB⊥BC,AB＝BC＝２,可得四邊形ABCO
為正方形,三角形ADO 為等腰直角三角
形．取 AD 的中點(diǎn) E,連 接 OE,PE,則
OE⊥AD,又OE∩PO＝O,OE,PO?平面PEO,可得AD⊥平
面PEO,又PE?平面PEO,故AD⊥PE,則∠PEO 即為二面
角P AD C 的平面角,又易知PO＝２３,EO＝ ２,則
tan∠PEO＝
PO
EO
＝
２３
２
＝ ６．]
９?AC [對于 A,由相反向量的定義,即可得到a 的相反向量是
－a,故 A正確;對于B,因?yàn)閍＝(１,２),b＝(－２,２),所以a＋b
＝(－１,４)．又c＝(４,k),且(a＋b)⊥c,所以－４＋４k＝０,解得k＝１．
故B錯誤;對于 C,因?yàn)閍＝(１,２),b＝(－２,２),所 以|a|＝
１
２＋２
２ ＝ ５,|b|＝ (－２)２＋２
２ ＝２２,設(shè)a 與b 的夾角為
θ,則a在b 上的投影向量為(|a|cosθ)
b
|b|
＝|a|?
a?b
|a||b|
?
１
|b|
?b＝
a?b
|b|
２b＝
－２＋４
(２２)２b＝
１
４
b＝
１
４
(－２,２)＝ －
１
２
,
１
( ２ ) ．
故C正確;對于 D,因?yàn)閍＝(１,２),b＝(－２,２),所以a＋b＝
(－１,４)．又c＝(４,k),且(a＋b)∥c,所以－k＝１６,解得k＝
－１６．故D錯誤．]
１０?BC [如圖１調(diào)查的所有市民中四居室共３００戶,所占比例為
１
３
,二居 室 住 戶 占
１
６
,∴
３００
１
３
＝９００,二 居 室 有 ９００×
１
６
＝
１５０(戶),三居室有４５０戶．由圖１和圖２得:在 A中,樣本容量
n＝９００×１０％＝９０,故A正確;在B中,樣本中三居室住戶共抽
取了４５０×１０％＝４５(戶),故B錯誤;在 C中,根據(jù)樣本可估計(jì)
對四居室滿意的住戶有３００×４０％＝１２０(戶),故 C錯誤;在
D中,樣本中對二居室滿意的有１５０×１０％×２０％＝３(戶),故
D正確．]
１１?BC [對于 A,由正弦定理及已知得sinAcosA＝sinBcosB,
則sin２A＝sin２B,則△ABC 中,A＝B 或A＋B＝
π
２
,故 A錯
誤;對于 B,由cosB＝
AB
２＋BC
２－AC
２
２AB?BC
＝
BC
２－１
４２BC
＝
２
２
,則
BC
２－４BC－１＝０,可得BC＝２± ５,故BC＝２＋ ５,滿足條件
的三角形只有一個(gè),故 B正確;對于 C,由△ABC 不是直角三
角形 且 A ＝π－ (B ＋C),則 tanA ＝ －tan(B ＋C)＝
－
tanB＋tanC
１－tanBtanC
,所以tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC,
故C正確;對于D,A→B?B→C＝|A→B||B→C|cos(π－B)＝－|A→B|
|B→C|cosB＜０,即|A→B||B→C|cosB＞０,得角 B 為銳角,故
△ABC 不一定為鈍角三角形,故D錯誤．]
１２?BCD [對于 A,連接CB１,顯然CB１∥
A１D,所以∠ACB１ 即為直線 AC 與直
線A１D 所成的角．根據(jù)正方體的性質(zhì)
可 得 △ACB１ 為 等 邊 三 角 形,所 以
∠ACB１＝６０°,故 A 錯誤;因?yàn)?AC⊥
BD,AC⊥BB１,BD ∩BB１ ＝B,BD,
BB１?平面BDD１B１,所以 AC⊥平面
BDD１B１,又BD１?平面BDD１B１,所以BD１⊥AC,所以直線
AC 與直線BD１ 所成的角為
π
２
,故 B正確;同理可證BD１⊥
B１C,AC∩B１C＝C,AC,B１C?平面AB１C,所以BD１⊥平面
AB１C．取AB 的中點(diǎn)F,BC 的中點(diǎn)E,連接MF,EF,ME,所以
MF∥AB１ 且MF＝
１
２
AB１,ME∥CB１ 且ME＝
１
２
CB１,EF∥
AC 且EF＝
１
２
AC,顯然平面 MEF∥平面AB１C,所以BD１⊥
平面 MEF,所以平面 MEF 即為平面α,所以C△MEF ＝３EF＝
３２,即平面α截正方體所得的截面圖形的周長為３２,故 C
正確;對于D,因?yàn)锽D１⊥平面AB１C,所以線段B１C 即為P
點(diǎn)的軌跡,所以當(dāng)P 點(diǎn)與C(B１)重合時(shí)BP 最大,當(dāng)P 為B１C
的中 點(diǎn) G 時(shí) BP 最 小,所 以 BP ∈ [２,２],又 AB ⊥ 平 面
BCC１B１,所以∠APB 為 AP 與平面 BCC１B１ 所成角,所以
tan∠APB＝
AB
PB
∈[１,２],所以AP 與平面BCC１B１ 所成角的
正切值的取值范圍是[１,２],故D正確．]
１３?８ [因?yàn)?/p>
２＋x＋４＋６＋１０
５
＝５,故x＝３,所以s
２＝
(２－５)２＋(３－５)２＋(４－５)２＋(６－５)２＋(１０－５)２
５
＝
４０
５
＝８．]
１４?２０２ [由題設(shè),CA＝４０nmile且∠ABC＝１３５°,
由正弦定理得
AB
sin∠BCA
＝
CA
sin∠ABC
,則
AB
sin３０°
＝
４０
sin１３５°
,
可得AB＝２０２(nmile)．]
?
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?１?
