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（2023 大興一?！嚓P(guān)三角形）★★★★☆

28．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，對(duì)于△ABC 與⊙O，給出如下定義：若△ABC 的一個(gè)頂點(diǎn)

在⊙O 上，除這個(gè)頂點(diǎn)外△ABC 與⊙O 存在且僅存在一個(gè)公共點(diǎn)，則稱(chēng)△ABC 為⊙O 的“相關(guān)

三角形”．

（1）如圖 1，⊙O 的半徑為 1，點(diǎn) C（2，0），△AOC 為⊙O 的“相關(guān)三角形”．

在點(diǎn) P1（0，1），P2，（

1

2

，

3

2

）P3（1，1）這三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn) A 可以與點(diǎn)____重合；

圖 1 圖 2

（2）如圖 2，⊙O 的半徑為 1，點(diǎn) A（0，2），點(diǎn) B 是 x 軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)

B

x

的取值范圍是

?

1<xB<1，點(diǎn) C 在第一象限，若△ABC 為直角三角形，且△ABC 為

⊙O 的“相關(guān)三角形”．求點(diǎn) C 的橫坐標(biāo) xC的取值范圍；

（3）⊙O 的半徑為 r，直線

y x = ? + 3 3

與⊙O 在第一象限的交點(diǎn)為 A，點(diǎn) C（2，0），

若平面直角坐標(biāo)系 xOy 中存在點(diǎn) B（點(diǎn) B 在 x 軸下方），使得△ABC 為等腰直角三角

形，且△ABC 為⊙O 的“相關(guān)三角形”．直接寫(xiě)出 r 的取值范圍.

相似題：2019-2020 海淀九上期中（直角點(diǎn)）、2022 西城一模（點(diǎn) A 關(guān)聯(lián)三角形）

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吳老師圖解

（1）

P2

.

思路&圖解

圖 1 圖 2 圖 3

1）圖 1，除頂點(diǎn)外，還有 2 個(gè)公共點(diǎn)，故不符合題意，

2）圖 2，除頂點(diǎn)外，只有一個(gè)公共點(diǎn)（此時(shí)

2 ? = ? CP O 90

），符合題意，

3）圖 3，沒(méi)有頂點(diǎn)在

O

上，故不符合題意！

?

點(diǎn)

A

可以與點(diǎn)

P2

重合.

（2）

3 3

5 2 C ? x .

分析

首先，滿(mǎn)足直角三角形，

如圖，若

ABC

是直角三角形，則點(diǎn)

C

在：射線

1

l 、 2

l 、 3

l 、 4

l

以及以

AB

為直徑的

T

上，注意不包括點(diǎn)

A

和

B

（構(gòu)不成三角形），

其次，點(diǎn)

A

和點(diǎn)

B

都不在

O

上，故點(diǎn)

C

必須得在圓上，且還要在第一象限，即上述 4

條射線和

T

與

O

要在第一象限內(nèi)有交點(diǎn)，

當(dāng)

1 0 B ? ? x

時(shí)，顯然，只有半圓

T

與

O

的交點(diǎn)

能夠滿(mǎn)足上述條件，

當(dāng)

0 1 B ? ? x

時(shí)（右圖），半圓

T

和

4

l

與

O

在第一

象限有交點(diǎn)！

最后，我們只需要討論在這 2 種情況下，

ABC

與

O

的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)就 ok 啦…

x

y

P1

O C x

y

P2

O C x

y

P3

O C

x

y

l2

l1

l3

l4

T

A

B

x

y

l2

l1

l3

l4

C

T

A

B

x

y

l2

l1

l3

l4

C1

C2

T

A

B

3/6

分析

如圖，當(dāng)

1 0 B ? ? x

時(shí)，已知

? = ? ACB 90

，則

? ? ? ACO 90

，說(shuō)明邊

AC

與

O

沒(méi)有公共

點(diǎn)（除點(diǎn)

C

外），故只有

AB

邊與

O

有 1 個(gè)公共點(diǎn)，符合題意！

如圖，當(dāng)

0 1 B ? ? x

時(shí)，同理，兩個(gè)圖中的

?ACO

都小于

90?

，說(shuō)明

AC

邊與

O

一定有

公共點(diǎn)（除點(diǎn)

C

外），且

AB

邊與

O

也有公共點(diǎn)，故不符合題意！

綜上，點(diǎn)

B

只能在

1 0 B ? ? x

上活動(dòng)…

思路&圖解

臨界狀態(tài) 1：

如圖，此時(shí)

1 B

x =? ，

1）由【分析】知點(diǎn)

C

是

T

和

O

的交

點(diǎn)，故

? = ? = ? ACB DCB 90 ，

?

點(diǎn)

A ，C ， D

共線，

2）由題知

tan 2 ? = ，

3）設(shè)

HD x = ，

則

OH x = ?1 ，CH x = 2 ，

4）在

Rt COH

中，有

2 2 2 (1 ) (2 ) 1 ? + = x x

，解得

2

5

x = ，

?

3

5

C

x OH = = .

x

y

C

A

B O

x

y

C1

A

O B

x

y

l4

C2

A

O B

x

y

α

H D

C

T

A

B O

4/6

思路&圖解

臨界狀態(tài) 2：

如圖，此時(shí)

0 B

x = ，

1）由題知

1

sin

2

? =

，即

? = ? 30 ，

2）

? = ? COH 30

3）利用三角函數(shù)得

3

2

OH = ，

?

3

2

C

x OH = = .

?

綜上所述：

3 3

5 2 C ? x .

（3）

3

1

2

r .

分析

與（2）一樣，條件一個(gè)一個(gè)疊加考慮，別一上來(lái)就想那么多！

對(duì)于點(diǎn)

A

，我們得先保證

O

和直線有交點(diǎn)，然后再保證這個(gè)交點(diǎn)

A

在第一象限，再結(jié)

合等腰三角形的條件確定點(diǎn)

B ，最后才去考慮

ABC

與

O

公共點(diǎn)的事…

如圖，若點(diǎn)

A

在第一象限，則需保證

OH r OG ?

，即

3

3

2

r ? *，

如圖，隨便找一點(diǎn)

A

，若

ABC

是等腰直角三角形，則這樣的點(diǎn)

B

有 6 個(gè)！

x

y

α

H

C

A

O(B)

x

y

H

A

G

O C

x

y

B2

B1

B3

A

O C

5/6

分析

下面來(lái)分析

ABC

與

O

公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)：

在上一個(gè)圖中，點(diǎn)

B1， B2， B3

在

x

軸的下方，那我們重點(diǎn)研究這 3 個(gè)點(diǎn)！

在

3

3

2

r ?

條件下，點(diǎn)

B1， B2， B3

中始終存在一個(gè)點(diǎn)

B

，使得

AB

邊或

BC

邊與

O

存在公共點(diǎn)（備注：這個(gè)地方用理論說(shuō)明極其繁瑣，建議用 2 個(gè)臨界位置作圖，直觀看出結(jié)

論！本質(zhì)上

B

的軌跡是一條線段，可以利用“瓜豆原理”或“三垂直模型+設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)”解

釋?zhuān)?，下面給出 2 個(gè)臨界位置的圖像~

所以，要想符合題意，只需保證

AC

邊與

O

除點(diǎn)

A

外沒(méi)有其他公共點(diǎn)即可！

…

與（2）類(lèi)似，我們需要保證

? ? OAC 90

！

…

顯然，

? = ? OAC 90

是臨界狀態(tài)，問(wèn)題是那時(shí)的點(diǎn)

A

在哪呢？

如圖，若

? = ? OAC 90

，則點(diǎn)

A

在以

OC

為直徑的

T

上（定弦定角），由于

T

的半徑

為 1，故此時(shí)

r OT = =1，

所以，當(dāng)

? ? OAC 90

時(shí)，有

r 1*，

綜上，

3

1

2

r .

x

y

A

O C x

y

A

O C

x

y

A

T

C

O

x

y

A

T

O C

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思路&圖解

圖 3-1 圖 3-2

根據(jù)【分析】，

1）圖 3-1， O

與直線

y x = ? + 3 3

相切，此時(shí)

3

2

r = ，

2）圖 3-2， O

過(guò)以

OC

為直徑的圓與直線

y x = ? + 3 3

的交點(diǎn)，此時(shí)

r =1.

?

綜上所示：

3

1

2

r .

x

y

A

O C

x

y

A

O C