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（2023 順義二?！獙?yīng)圖形）★★★☆

28．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) P，直線 l 與圖形 G．連接點(diǎn) P 與圖形 G 上任意一

點(diǎn) Q，取 PQ 的中點(diǎn) M，點(diǎn) M 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn)為 N，所有的對稱點(diǎn)組成的圖形 W 稱為圖形

G 關(guān)于點(diǎn) P 及直線 l 的“對應(yīng)圖形”．

已知點(diǎn) A（4，0）．

（1）對于直線 l：x＝a，若直線 y＝－2x－4 關(guān)于點(diǎn) A 及直線 l 的“對應(yīng)圖形”與直線 y＝

－2x－4 的交點(diǎn)在 x 軸的上方，求 a 的取值范圍；

（2）已知點(diǎn) B（0，4），C（－4，0），D（6，4），直線 l：x＝－1，⊙T 的圓心 T（t，

0），半徑為 2．若存在⊙T 關(guān)于點(diǎn) D 及直線 l 的“對應(yīng)圖形”與△ABC 的邊有交點(diǎn)，

直接寫出 t 的取值范圍．

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吳老師圖解

（1）

1

2

a ?? .

審題

如圖，當(dāng)點(diǎn)

Q

在圖形

G

上運(yùn)動時，點(diǎn)

N

的軌跡（圖形

W

）就叫作圖形

G

關(guān)于點(diǎn)

P

及直

線

l

的“對應(yīng)圖形”.

分析

如圖，

1）在直線

y x = ? ? 2 4

上取點(diǎn)

Q

，連接

AQ

，取中點(diǎn)

M ，

2）根據(jù)“瓜豆原理”，當(dāng)點(diǎn)

Q

在直線上運(yùn)動時，點(diǎn)

M

的軌跡是直線

m

，易求得直線

m

的解析式為

y x = ? + 2 2

（提示：

k =?2

，再找一個點(diǎn)代入即可），

3）將直線

m

關(guān)于直線

x a =

對稱，得到直線

n

（

k = 2

），

4）當(dāng)

a

的值改變時，直線

n

會隨之左右平移…

根據(jù)題意，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整

a

的值，使得直線

n

與

y x = ? ? 2 4

的交點(diǎn)在

x

軸的上方！

此類問題，我們一般都是先“跳過”直線

x a =

，直接讓直線

n

到達(dá)臨界狀態(tài)，然后再回

來求對稱軸

x a = …

思路&圖解

如圖，

1）由【分析】知直線

y x = ? ? 2 4、直線

m

與

x

軸的交點(diǎn)分別為

R( 2,0) ? 、 S(1,0)，

2）當(dāng)直線

n

過點(diǎn)

R

時，易求得對稱軸為

2 1 1

2 2

x

? +

= = ?

，即

1

2

a =? .

?

綜上所述：

1

2

a ?? .

l

圖形G

N

M

P

Q

x

y

y=-2x-4 m x=a n

M

O A

Q

x

y

n m

y=-2x-4 x=a

R S

O

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（2）

? ? ? + 14 2 2 14 2 2 t

或

? ? ? + 6 2 2 6 2 2 t .

分析

如圖，

1）在半徑為

2

的

T

上取點(diǎn)

Q

，連接

DQ ，取中點(diǎn)

M ，

2）根據(jù)“瓜豆原理”，當(dāng)點(diǎn)

Q

在

T

上運(yùn)動時，點(diǎn)

M

的軌跡是半徑為 1 的

S

，易求得

點(diǎn)

S

的坐標(biāo)為

6

,2

2

? ? t +

? ? ? ?

，

3）將

S

關(guān)于直線

x =?1

對稱，得到

U ，利用

1

2

U S x x +

= ?

可求得

10

2

U

t

x

? ?

= ，

4）當(dāng)

T

左右移動時，

S

隨之運(yùn)動，從而導(dǎo)致

U

左右移動，根據(jù)題意，我們應(yīng)保證

U

與

ABC

有公共點(diǎn)！

顯然，我們將臨界位置時的點(diǎn)

U

的橫坐標(biāo)求出來，即可知

t

的取值范圍…

思路&圖解

如圖，

1）過程 1：（2 個綠色的圓）

①易求得

1

2 2 2 U G x x = ? = ? ? ， 2

2 2 U

x = ? + ，

②由【分析】知

10

2

U

t

x

? ?

=

，解得

1

t = ? +6 2 2 ， 2

t = ? ?6 2 2 ，

2）過程 2：（2 個紅色的圓）

同理得

3

t = ? + 14 2 2 ， 4

t = ? ? 14 2 2 .

?

綜上所述：

? ? ? + 14 2 2 14 2 2 t

或

? ? ? + 6 2 2 6 2 2 t .

x

y

y=2

x = 1

U

S M

D

C

B

O T A

Q

x

y

y = 2

G

H

C

B

O A

U1 U2 U3 U4