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（2022 朝陽(yáng)二模）★★★☆
27．在正方形 ABCD 中，E 為 BC 上一點(diǎn)，點(diǎn) M 在 AB 上，點(diǎn) N 在 DC 上，且 MN⊥DE，
垂足為點(diǎn) F．
（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) N 與點(diǎn) C 重合時(shí)，求證：MN＝DE；
（2）將圖 1 中的 MN 向上平移，使得 F 為 DE 的中點(diǎn)，此時(shí) MN 與 AC 相交于點(diǎn) H，
①依題意補(bǔ)全圖 2；
②用等式表示線段 MH，HF，F(xiàn)N 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
圖 1 圖 2
(N)
F
M
A D
B E C
A D
B E C
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吳老師圖解
（1）
思路&圖解
如圖，
1）∠ =∠ = °?∠ 1 3 90 2，
2）△MBN END ≌△ （ASA 或 AAS），
∴ MN DE = .
（三垂直模型）
（2）①如圖 2-1.
思路&圖解
圖 2-1 圖 2-2
（2）② MH NF HF + = .
分析
如圖 2-2，通過(guò)觀察或測(cè)量，同學(xué)們不難猜到結(jié)論： MH NF HF + = ！
那么如何證明呢？同學(xué)們?cè)谙胱C明的同時(shí)，不要忘了已知條件：（2）中多了個(gè) DE 的中
點(diǎn) F ，（1）的結(jié)論是 MN DE = ，而本身 MN DE ⊥ ，
假設(shè)我們的猜想是正確的，那就意味著 HF 是線段 MN 長(zhǎng)度的一半，即 1
2
HF DE = ，
也就是說(shuō)，我們證出 1
2
HF DE = 就可以了，這時(shí)把注意力放到點(diǎn) F 上，吳老師給出以下
2 個(gè)思路：
①連接 DH ， EH ，由垂直平分線知 DH EH = ，只需證明∠ =° DHE 90 ，再利用斜邊中
線定理即可證得結(jié)論，
②連接CF ，利用斜邊中線定理知 1
2
CF DE = ，故只需證明△HFC 是等腰直角三角形...
(N)
3
2
1
F
M
A D
B E C
H
N
M
F
A D
B E C
H
N
M
F
A D
B E C
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思路一：證明∠ =° DHE 90
思路&圖解
法 1：
如圖，連接 DH ， EH ， BH ，
1）由垂直平分線知 DH EH = ，
2）由正方形的對(duì)稱性知 DH BH = ，∠ =∠ 1 CDH ，
∴ BH EH = ，即∠ =∠ =∠ 1 2 CDH ，
3）∠ +∠ =∠ +∠ = ° CDH CEH CEH 2 180 ，即∠ =° DHE 90 （對(duì)角互補(bǔ)），
4）由斜邊中線定理知 1 1
2 2
HF DE MN = = ，
∴ MH NF HF + = .
法 2：
如圖，連接 DH ， EH ，作 HP BC ⊥ ， HQ CD ⊥ ，
1）由正方形知∠ =∠ 1 2 ，則 HP HQ = ，且∠ =° PHQ 90 ，
2）由垂直平分線知 DH EH = ，
3）易證△HPE HQD ≌△ （HL），則∠ =∠ 3 4 ，
4）∠ =∠ +∠ =∠ +∠ = ° DHE EHQ EHQ 4 3 90 ，
5）由斜邊中線定理知 1 1
2 2
HF DE MN = = ，
∴ MH NF HF + = .
1 2
H
N
M
F
A D
B E C
1
2
P
H Q
N
M
F
A D
B E C
3
4
P
H Q
N
M
F
A D
B E C
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思路二：證明△HFC 是等腰三角形
思路&圖解
如圖，連接CF ，設(shè)∠ =∠ = 1 2 α ，
1）∠ = °+ 3 45 α ，
2）∠ =∠ = °?∠ = °+ 5 3 180 4 45 α （對(duì)角互補(bǔ)），
3）由斜邊中線定理知 1
2
CF DE EF = = ，則∠ =∠ = °+ FCE 5 45 α ，
∴ ∠ = =∠ 6 2 α ，即 1 1
2 2
HF CF DE MN = = = ，
∴ MH NF HF + = .
6
4 5
3
2
1
45°
α
45°
H
N
M
F
A D
B E C
