1 / 3
（2023 大興二模）★★★
27．如圖，在△ABC 中，∠B＝45
?
，將線段 AC 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段 AD，且點(diǎn) D
落在 BC 的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn) D 作 DE⊥AC 于點(diǎn) E，延長(zhǎng) DE 交 AB 于點(diǎn) F．
（1）依題意補(bǔ)全圖形．求證：∠BDF＝
1
2
∠CAD；
（2）用等式表示線段 CD 與 BF 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
備用圖
相似題：2017 北京中考
B C
A
B C
A
2 / 3
吳老師圖解
（1）
思路&圖解
法 1：
如圖，設(shè)
? =1 ? ，
1）
? = ? ? 2 90 ? ，
2）
? = ? ? ? = 3 180 2 2 2? ，
?
1
1 3
2
? = ?
，即∠BDF＝
1
2
∠CAD．
法 2：
如圖，作
AH CD，
1）
? = ? 1 2
（三線合一），
2）
? = ? 1 3
（“8 字”），
? ? = ? = ? 3 1 2
，即∠BDF＝
1
2
∠CAD．
（2）
CD BF = 2 .
分析
如圖，關(guān)鍵條件→
AD FD AC = = .
下面給出推導(dǎo)過(guò)程：
1）
? = ? ? 1 90 ? ，
2）
? = ? + 2 45 ?
（外角），
3）
? = ? ? ? = ? ? 3 1 45 45 ?
（外角），
? ? = ? = ? + 2 45 FAD ? ，即
AD FD = .
思路&圖解
法 1：
α
2 1
3
F
E
B C D
A
3
1 2
H
F
E
B C D
A
2α
45° 1 α
2
3
F
E
B C D
A
α
45°
G H
F
E
B C D
A
45°
α
G H
F
E
B C D
A
3 / 3
思路&圖解
如左圖，作
AH BD ， FG BD，
1）易證
AHD DGF
（AAS），
2）
BF FG HD = = 2 2
，且
CD HD = 2 ，
?
2
2
BF CD =
，即
CD BF = 2 .
備注：或證
AHC DGF
（右圖）.
法 2：
如圖，作
AH CD
并延長(zhǎng)至點(diǎn)
G
，使得
HG HD = ，
1）易證
ADG DFB
（AAS 或 ASA），
2）
BF DG HD = = 2
，且
CD HD = 2 ，
? CD BF = 2 .
備注：或連接
CG
，證
ACG DFB .
法 3：
如圖，作點(diǎn)
F
關(guān)于
BD
的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)
G
，連
接
BG ， DG ， FG ，
1）
BFG
是等腰直角三角形，
2）易證
ACD DFG
（SAS），
? CD FG BF = = 2 .
45°
45°
G
H
F
E
B C D
A
α
G
H
F
E
B C D
A
α
α
2α
45°
G
F
E
B C D
A
