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（2023 平谷二?！艟夵c(diǎn)）★★★☆
28．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，對(duì)于△OAB，其中 A（1， 3
），B（2，0），給出如下定
義：將 OA 邊繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得到線段 OC，連接 BC，BC 與△OAB 的過點(diǎn) A 的高線交
于點(diǎn) P，將點(diǎn) P 關(guān)于直線 y＝kx＋b（k≠0）對(duì)稱得到點(diǎn) Q，我們稱 Q 為△OAB 的留緣點(diǎn)．
（1）若 k＝1，b＝0，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△OAB 的留緣點(diǎn) Q，并求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；
（2）已知 M（－3，0），N（－3，5），若線段 MN 上存在△OAB 的留緣點(diǎn)，求 b 的取值范
圍．
備用圖
相似題：2022 西城二?！猍k，b]關(guān)聯(lián)線段
x
y
A
O B
x
y
O
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吳老師圖解
（1）
3
,1
3
? ? ? ?
? ?
.
思路&圖解
補(bǔ)全圖形 圖 1
如圖 1，作
QG y
軸，
1）四邊形
ABOC
是一個(gè)含
60?
角的菱形，
2）
? = ? 1 30 ，OH BH = =1，利用三角函數(shù)得
3
3
HP =
，即
3
1,
3
P
? ? ? ? ? ? ? ?
，
3）
OPH OQG
，即
OG =1，
3
3
QG = ，
?
點(diǎn)
Q
的坐標(biāo)為
3
,1
3
? ? ? ?
? ?
.
備注：由于點(diǎn)
P
和點(diǎn)
Q
關(guān)于直線
y x =
對(duì)稱，那么，直接將點(diǎn)
P
的橫縱坐標(biāo)顛倒一下，
即可得到點(diǎn)
Q
的坐標(biāo).
（2）
3
2 2
3
b +
或
23 3
6
b ? .
分析
如圖，
1）由（1）知點(diǎn)
P
的坐標(biāo)為
3
1,
3
? ? ? ?
? ?
，
2）對(duì)于某一個(gè)
b
的值，當(dāng)
k
值改變，直
線
y kx b = +
會(huì)繞點(diǎn)
T b (0, )
旋轉(zhuǎn)，
3）由對(duì)稱知
TQ TP =
，故點(diǎn)
Q
在：以
T
為圓心，
TP
為半徑的
T
上，
根據(jù)題意，
T
應(yīng)與線段
MN
有交點(diǎn)！
x
y
y = x
Q
P
H
C
A
O B
x
y
y = x
30°
1
G
Q
P
H
C
A
O B
x
y
y=kx+b
Q
N
M
P
O
T(0,b)
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思路&圖解
臨界狀態(tài) 1：
如圖，此時(shí)
T
與直線
MN
相切，
1）易知
TP TG = = 3，
2）
3
1,
3
P
? ? ? ? ? ? ? ?
，
3）易求得
2 2 TH = ? = 3 1 2 2 ，
?
3
2 2
3
b = + .
臨界狀態(tài) 2：
如圖，此時(shí)
T
過點(diǎn)
M ，
利用
TM TP =
得
2
2 2 2 3
3 1
3
OT OT
? ?
+ = + + ? ? ? ? ? ?
，解得
23 3
6
OT = ，
?
23 3
6
b = ? .
?
綜上所述：
3
2 2
3
b +
或
23 3
6
b ? .
備注：或利用兩點(diǎn)間距離公式求得
b …
x
y
3
3
H
G
N
M
P
O
T
x
y
3
1
H
N
M
P
O
T
