數(shù)學(xué)

襟江帶海 通往美好未來(lái)

南通名師高考原創(chuàng)卷

南通名師

??高 考 原 創(chuàng) 卷

2024

《南通名師高考原創(chuàng)卷》編寫組 編

NANTONG MINGSHI GAOKAO YUANCHUANGJUAN

4版

適用于新高考地區(qū)

估價(jià)：42.00元

樣卷

數(shù)學(xué)

南通名師 高考原創(chuàng) 卷

2024

4版

適用于新高考地區(qū)

《南通名師高考原創(chuàng)卷》編寫組 編

姓

數(shù)學(xué)命題人員名單

名

王惠清

(主編)

吳奎榮

闕東進(jìn)

金 山

王金忠

查曉東

胡桂東

工 作 單 位

祝維男

南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心

江蘇省姜堰中學(xué)

海安市教師發(fā)展中心

江蘇省啟東中學(xué)

江蘇省海門中學(xué)

江蘇省天一中學(xué)

江蘇省淮陰中學(xué)

南通教育科學(xué)研究院

姚新國(guó) 江蘇省如皋中學(xué)

圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)

南通名師高考原創(chuàng)卷.數(shù)學(xué)/《南通名師高考原創(chuàng)

卷》編寫組編.-4版.-南京:江蘇鳳凰美術(shù)出版社,

2023.11

責(zé) 任 編 輯 李凡偉

責(zé)任設(shè)計(jì)編輯 賁 煒

責(zé) 任 校 對(duì) 曹玄麒

責(zé) 任 監(jiān) 印 于 磊

書 名 南通名師高考原創(chuàng)卷.數(shù)學(xué)

編 者 《南通名師高考原創(chuàng)卷》編寫組

出版發(fā)行 江蘇鳳凰美術(shù)出版社(南京湖南路1號(hào) 郵編210009)

印 刷

開 本 890mm×1240mm 1/8

印 張 5.5

版 次 2023年11月第4版 2023年11月第1次印刷

標(biāo)準(zhǔn)書號(hào)

估 價(jià) 42.00元

編輯部電話 025 68155671 印務(wù)部電話 025 68155658

郵箱 sumeijiaoyu@163.com 營(yíng)銷部地址 南京市湖南路1號(hào)

江蘇鳳凰美術(shù)出版社圖書凡印裝錯(cuò)誤可向承印廠調(diào)換

贏得新高考,開創(chuàng)新篇章

《南通名師高考原創(chuàng)卷》由南通命題專家和江蘇省內(nèi)著名中學(xué)的數(shù)學(xué)名師聯(lián)手打造,試卷做到:知識(shí)全部覆蓋,能力全面考查,試題

高度仿真,旨在精準(zhǔn)預(yù)測(cè),助力高考。

★新穎性 2024年全國(guó)將有18個(gè)省份實(shí)行新高考,使用新課標(biāo)Ⅰ、Ⅱ卷。近年來(lái),每年由教育部教育考試院統(tǒng)一命制的6套試卷,

強(qiáng)化基礎(chǔ),聚焦核心素養(yǎng);情境真實(shí),創(chuàng)新試題設(shè)計(jì);突出思維,考查關(guān)鍵能力;落實(shí)理念,體現(xiàn)全面育人。本命題組在深度研究了近三年

全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ、Ⅱ卷,全國(guó)甲卷、乙卷的命題特點(diǎn)的基礎(chǔ)上,對(duì)內(nèi)容、題型、難度等作了恰當(dāng)?shù)念A(yù)判和設(shè)置,試題新穎。

★原創(chuàng)性 命題人員精心編寫、潛心創(chuàng)設(shè),試題原創(chuàng)性強(qiáng),力求體現(xiàn)“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的高考評(píng)價(jià)理念。

★實(shí)用性 所有試卷均按照新高考的要求命制,實(shí)現(xiàn)高度仿真。每套試卷均附標(biāo)準(zhǔn)答題卡。

★系統(tǒng)性 學(xué)科主編審核統(tǒng)籌每套試卷的雙向細(xì)目表,確保所有知識(shí)點(diǎn)在十套卷中的合理安排、系統(tǒng)分布和覆蓋。

★權(quán)威性 命題過(guò)程中構(gòu)建了嚴(yán)格的審稿、打磨機(jī)制,確保試題質(zhì)量。學(xué)科主編均為正高級(jí)教師或特級(jí)教師,命題者均為參加過(guò)高

考命題或大市模擬試卷命題工作的命題專家,原創(chuàng)能力強(qiáng),命題水平高。

目錄

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(一)

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(二)

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(三)

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(四)

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(五)

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(六)

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(七)

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(八)

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(九)

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(十)

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(一)—1 2024南通名師高考原創(chuàng)卷(一)—2 2024南通名師高考原創(chuàng)卷(一)—3

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(一)

命題人:闕東進(jìn) 海安市教師發(fā)展中心

數(shù)學(xué)

注 意 事 項(xiàng)

1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)

題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其

他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|x

2-x-2≤0},集合 B={x|ln(x+1)≥0},

則A∩B= ( ▲ )

A.[0,2] B.[-1,2]

C.[-1,+∞) D.[0,+∞)

2.若復(fù)數(shù)z=(m

2 -2m -3)+(m

2 +3m +2)i,且z=z,則實(shí)數(shù)

m= ( ▲ )

A.-1或3 B.-1或-2

C.3 D.-2

3.在空間直角坐標(biāo)系中,已知直線l過(guò)點(diǎn)A(1,-1,-1),且方向向

量為m=(1,0,-1),則點(diǎn)P(1,1,1)到l的距離為 ( ▲ )

A.2 2 B.6

C.3 D.2

4.已知點(diǎn)O 是△ABC 的重心,過(guò)點(diǎn)O 的直線與邊AB,AC 分別交

于M,N 兩點(diǎn),D 為邊BC 的中點(diǎn),若AD

→=xAM

→+yAN

→(x,y∈

R),則x+y= ( ▲ )

A.

3

2

B.

2

3

C.2 D.

1

2

5.已知圓x

2+y

2=m 與圓x

2+y

2-8x+6y-11=0相交,則實(shí)數(shù)

m 的取值范圍是 ( ▲ )

A.(25,36) B.(1,11)

C.(1,121) D.(0,121)

6.設(shè)f(x)是定義在 R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=lnx-x

2+

2x,則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( ▲ )

A.2 B.3

C.4 D.5

7.已知一個(gè)玻璃酒杯盛酒部分的軸截面是拋物線,其通徑長(zhǎng)為1,

現(xiàn)有一個(gè)半徑為r(r>0)的玻璃球放入該玻璃酒杯中,要使該玻

璃球接觸到杯底(盛酒部分),則r 的取值范圍是 ( ▲ )

A.(0,2] B.

1

2

,2

?

?

??

?

?

??

C.0,

1 2

?

?

??

D.0,

1 4

?

?

??

8.已知某多選題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,全

部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得2分.若選項(xiàng)中

有i(其中i=2,3,4)個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,記隨機(jī)作答該題時(shí)

(至少選擇一個(gè)選項(xiàng))所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量ξi(i=2,3,4),則

( ▲ )

A.2E(ξ3)>4E(ξ2)>E(ξ4)

B.4E(ξ2)>E(ξ4)>2E(ξ3)

C.2E(ξ3)>E(ξ4)>4E(ξ2)

D.4E(ξ2)>2E(ξ3)>E(ξ4)

二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給

出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選

對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

9.甲、乙兩位射擊愛(ài)好者,各射擊10次,甲的環(huán)數(shù)從小到大排列為

4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,乙的環(huán)數(shù)小到大排列為2,5,6,6,7,7,7,

8,9,10,則 ( ▲ )

A.甲、乙的第70百分位數(shù)相等

B.甲的極差比乙的極差小

C.甲的平均數(shù)比乙的平均數(shù)大

D.甲的方差比乙的方差大

10.已知平面直角坐標(biāo)內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)A,B,一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C,|AB|=2,

直線AC,BC 的斜率分別為k1,k2,且k1k2=a(a 為常數(shù)),則

下列說(shuō)法正確的是 ( ▲ )

A.若a=1,則動(dòng)點(diǎn)C 在一拋物線上運(yùn)動(dòng)

B.若a=-1,則動(dòng)點(diǎn)C 在一圓上運(yùn)動(dòng)

C.若a=-2,則動(dòng)點(diǎn)C 在一橢圓上運(yùn)動(dòng)

D.若a=2,則動(dòng)點(diǎn)C 到所在曲線焦點(diǎn)的最短距離是 3-1

11.某地下車庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含

量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài),經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常,排氣4分鐘后測(cè)得

車庫(kù)內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm,繼續(xù)排氣4分鐘后又測(cè)得濃

度為 32ppm.由 檢 驗(yàn) 知 該 地 下 車 庫(kù) 一 氧 化 碳 濃 度 y(單 位:

ppm)與排氣時(shí)間t(單位:分鐘)之間滿足函數(shù)關(guān)系y=ae

Rt(a,

R 為常數(shù),e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若空氣中一氧化碳濃度不高

于0.5ppm,人就可以安全進(jìn)入車庫(kù)了,則下列說(shuō)法正確的是

( ▲ )

A.a=128

B.R=

1

4

ln2

C.排氣12分鐘后濃度為16ppm

D.排氣32分鐘后,人可以安全進(jìn)入車庫(kù)

12.已知曲線C:x

2-y

2-xy=1,則 ( ▲ )

A.曲線C 關(guān)于y 軸對(duì)稱

B.曲線C 在第一象限內(nèi)的圖象從左至右呈上升趨勢(shì)

C.x≤-

2 5

5

或x≥

2 5

5

D.x

2-2xy+y

2≥

4

5

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.

13.設(shè)函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),但不存在最小正周期.請(qǐng)寫出符

合題設(shè)的一個(gè)函數(shù)f(x)= ▲ .

14.第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)杭州舉

行.開賽前,組委會(huì)欲將某高校4名男志愿者,2名女志愿者共

6人平均分成3組,分別擔(dān)任鐵人三項(xiàng)、馬術(shù)和攀巖3個(gè)項(xiàng)目的

志愿者,且兩名女志愿者不在同一組,則不同的選擇方案共有

▲ 種.

15.在三棱錐S ABC 中,側(cè)面SBC⊥底面 ABC,△ABC 是等腰

直角三角形且斜邊AC=4,SB=SC= 10,則三棱錐S ABC

的外接球的表面積為 ▲ .

16.設(shè)函數(shù)f(x)=2e

x-1 -a(x-lnx-1)-2x 的定義域?yàn)?1,

+∞).若f(x)>0,則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 ▲ .

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(一)—4 2024南通名師高考原創(chuàng)卷(一)—5 2024南通名師高考原創(chuàng)卷(一)—6

四、解 答 題:本 題 共 6 小 題,共 70 分.第 17 題 10 分,其 余 每 題

12分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)

在△ABC 中,a,b,c 分別是角A,B,C 所對(duì)的邊,點(diǎn) D 為BC

邊上一點(diǎn).

(1)試?yán)谩癆B

→+BC

→=AC

→”證明:“ccosB+bcosC=a”;

(2)若A=

π

4

,BD=3,CD=2,AD⊥BC,求△ABC 的面積.

18.(12分)

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+an+1=8·3

n-1.

(1)證明:?λ∈R,數(shù)列{an+λ·3

n }成等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和Sn.

19.(12分)

安全教育時(shí)刻不能放松,為強(qiáng)化學(xué)生的安全意識(shí),某校開展了

安全知識(shí)競(jìng)賽,競(jìng)賽分為初賽和決賽兩階段進(jìn)行.初賽采用“兩

輪制”方式進(jìn)行,要求每個(gè)班級(jí)派出2名同學(xué),且每名同學(xué)都要

參加兩輪比賽,兩輪比賽都通過(guò)者才具備參加決賽的資格.高

三(6)班派出甲和乙參賽.在初賽中,若甲通過(guò)第一輪與第二輪

比賽的概率分別是

2

3

,

1

2

,乙通過(guò)第一輪與第二輪比賽的概率分

別是

3

4

,

2

3

,且甲、乙互不影響,所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.

(1)記甲、乙兩人中獲得決賽資格的人數(shù)為 X,求 X 的分布列

和數(shù)學(xué)期望.

(2)已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下:將問(wèn)題放

入A,B 兩個(gè)紙箱中,A 箱中有3道選擇題和2道填空題,

B 箱中有2道選擇題和4道填空題.決賽中要求每位參賽

同學(xué)在A,B 兩個(gè)紙箱中隨機(jī)依次抽取兩題作答.甲先從A

箱中依次抽取2道題目,答題結(jié)束后將所答題目一起放入

B 箱中,然后乙再抽取題目.已知乙從 B 箱中抽取的第一

題是選擇題,求甲從A 箱中抽出的是2道選擇題的概率.

20.(12分)

我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何問(wèn)題有著深入的研

究,所用術(shù)語(yǔ)形象豐富.如“塹堵”指底面為直角三角形且側(cè)棱

垂直于底面的三棱柱,“陽(yáng)馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于

底面的四棱錐.如圖,三棱柱ABC A1B1C1 中,AC⊥BC,平面

AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1B1B⊥平面ABC.

(1)證明:三棱柱ABC A1B1C1 是“塹堵”;

(2)若AA1=4,AB=2 2,當(dāng)“陽(yáng)馬”B A1ACC1 的體積最大

值時(shí),求平面ABC 與平面A1BC1 所成銳二面角的正切值.

21.(12分)

設(shè)橢圓 C:

x

2

9

+

y

2

b

2 =1(0<b< 6),P 是C 上 一 個(gè) 動(dòng) 點(diǎn),點(diǎn)

A(1,0),PA 的最小值為

10

2

.

(1)求b 的值;

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A 且斜率不為0的直線l交C 于B,D 兩點(diǎn),點(diǎn)E,

F 分別為C 的左、右頂點(diǎn),直線BE 和直線DF 的斜率分別

為k1,k2,求證:

k1

k2

為定值.

22.(12分)

已知函數(shù)f(x)=

e

x -ax

2

1+x

有3個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,x3,其中e是自

然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)a 的取值范圍;

(2)求證:x1+x2+x3>-2.

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(一)—1 2024南通名師高考原創(chuàng)卷(一)—2 2024南通名師高考原創(chuàng)卷(一)—3

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(一)—4 2024南通名師高考原創(chuàng)卷(一)—5 2024南通名師高考原創(chuàng)卷(一)—6

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(二)—1 2024南通名師高考原創(chuàng)卷(二)—2 2024南通名師高考原創(chuàng)卷(二)—3

2024南通名師高考原創(chuàng)卷(二)

命題人:闕東進(jìn) 海安市教師發(fā)展中心

數(shù)學(xué)

注 意 事 項(xiàng)

1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)

題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其

他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合 A={x|x

2-2x-3<0},B={x|0<x<4},則 A∪

B= ( ▲ )

A.{x|-1<x<4} B.{x|-3<x<1}

C.{x|0<x<3} D.{x|0<x<1}

2.在復(fù)平面內(nèi),設(shè)z=1-i,則復(fù)數(shù)

2

z

+z

2 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 ( ▲ )

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3.已知單位向量a,b,c滿足2a+3b-4c=0,則a·b= ( ▲ )

A.-

29

12

B.-

7

8

C.0 D.

1

4

4.若函數(shù)f (x)=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)為奇函數(shù),則φ=

( ▲ )

A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z)

C.

kπ

2

(k∈Z) D.(2k+1)kπ(k∈Z)

5.若一組數(shù)據(jù)1,1,a,4,5,5,6,7的75百分位數(shù)是6,則a=

( ▲ )

A.4 B.5 C.6 D.7

6.如圖,一個(gè)筒車按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng).設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒 W 到

水面的距離為d(單位:米)(在水面下,則d 為負(fù)數(shù)).若以盛水筒

W 剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間,d 與時(shí)間t(單位:分鐘)之間的

關(guān)系為d=4sin2tπ 6 +2.某時(shí)刻t0(單位:

分鐘)時(shí),盛水筒 W 在過(guò)點(diǎn)O(O 為筒車的軸

心)的豎直直線的左側(cè),到水面的距離為5米,

則再經(jīng)過(guò)

π

6

分鐘后,盛水筒W ( ▲ )

A.在水面下 B.在水面上

C.恰好開始入水 D.恰好開始出水

7.已知a=

1 2

a

,

1 2

b

=logab,a

c =log1

2

c,則實(shí)數(shù)a,b,c的大小關(guān)

系為 ( ▲ )

A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b

8.已知A(2,1),若B,C 為拋物線x

2=4y 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)

A),且BA⊥BC,則下列數(shù)值中能作為點(diǎn)C 的橫坐標(biāo)為

( ▲ )

A.-6 B.-5 C.8 D.10

二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給

出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選

對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

9.亞洲奧林匹克理事會(huì)宣布,原定于2022年9月10日至25日舉

行的杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8

日舉行,名稱仍為杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì).為了加大宣傳力

度,杭州某社區(qū)進(jìn)行了以“中國(guó)特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味”為主

題的知識(shí)競(jìng)賽,現(xiàn)隨機(jī)抽取30名選手,其得分如圖所示.設(shè)得分

的中位數(shù)為 m,眾數(shù)為n,平均數(shù)為x,則 ( ▲ )

A.m=5 B.n=5 C.m>x D.n<x

10.排球是一項(xiàng)深受人們喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,排球比賽一般采用5局

3勝制.在每局比賽中,發(fā)球方贏得此球后可得1分,并獲得下

一球的發(fā)球權(quán),否則交換發(fā)球權(quán),并且對(duì)方得1分.在決勝局(第

五局)采用15分制,某隊(duì)只有贏得至少15分,并領(lǐng)先對(duì)方2分

為勝.現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽,則下列說(shuō)法正確的是

( ▲ )

A.已知前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局,乙贏一局.如果甲隊(duì)最后

贏得整場(chǎng)比賽,則甲隊(duì)將以3∶1或3∶2的比分贏得比賽

B.若甲隊(duì)每局比賽獲勝的概率為

2

3

,則甲隊(duì)贏得整場(chǎng)比賽的概

率也是

2

3

C.已知前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局,乙贏一局,且接下來(lái)兩隊(duì)

贏得每局比賽的概率均為

1

2

,則甲隊(duì)最后贏得整場(chǎng)比賽的概

率為

1

4

D.已知前四局比賽中甲、乙兩隊(duì)已經(jīng)各贏兩局比賽.在決勝局

(第五局)中,兩隊(duì)當(dāng)前的得分為甲、乙各14分.若兩隊(duì)打了

x(x≤4)個(gè)球后甲贏得整場(chǎng)比賽,則x 的取值為2或4

11.設(shè)函數(shù)f(x)=

x|x-2|,x≥0, ax, x<0,

函數(shù)g(x)=f(x)-f(-x),

則下列說(shuō)法正確的是 ( ▲ )

A.當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)g(x)只有1個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)-2<a<0時(shí),函數(shù)g(x)有5個(gè)零點(diǎn)

D.存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)g(x)沒(méi)有零點(diǎn)

12.在三棱錐 P ABC 中,AC⊥BC,AC=BC=4,D 是AC 的中

點(diǎn),E 是AB 上一點(diǎn),PD=PE=2,AC⊥平面PDE,則

( ▲ )

A.DE∥平面PBC

B.平面PAC⊥平面PDE

C.點(diǎn)P 到底面ABC 的距離等于2

D.二面角 D PB E 的正弦值為

21

7

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.

13.在(x+1)n 的二項(xiàng)展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)為x

3 和x

4,則展開

式中x 的系數(shù)為 ▲ .

14.已知雙曲線

x

2

a

2 -

y

2

b

2 =1(a>0,b>0),若兩條直線y=±x 與該

雙曲線有四個(gè)交點(diǎn),則稱該雙曲線為“和諧雙曲線”,請(qǐng)寫出一個(gè)

以(±3,0)為焦點(diǎn)的“和諧雙曲線”的方程 ▲ .

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15.某農(nóng)業(yè)種植基地在三塊實(shí)驗(yàn)地種植同一品種的馬鈴薯,甲地塊

產(chǎn)出馬鈴薯中一級(jí)品的個(gè)數(shù)占75%,乙地塊產(chǎn)出馬鈴薯中一級(jí)

品個(gè)數(shù)占60%,丙地塊產(chǎn)出馬鈴薯中一級(jí)品個(gè)數(shù)占80%.已知

甲、乙、丙地塊產(chǎn)出的馬鈴薯個(gè)數(shù)之比為2∶5∶3,現(xiàn)將三個(gè)地

塊產(chǎn)出的馬鈴薯混放一堆,則如果取到的一個(gè)馬鈴薯是一級(jí)

品,則它是由甲地塊產(chǎn)出的概率為 ▲ .

16.在解決問(wèn)題“已知正實(shí)數(shù)x,y 滿足x+

2

x

+3y+

4

y

=10,求xy

的取值范圍”時(shí),可通過(guò)重新組合,利用基本不等式構(gòu)造關(guān)于xy

的不等式,通過(guò)解不等式求范圍.具體解答如下:

由 10 = x+

4 y +

2

x +3y ≥ 2 x+

4 y

2

x +3y =

2 3xy+

8

xy

+14,得3(xy)2-11xy+8≤0,即(xy-1)(3xy8)≤0,解得xy 的取值范圍為 1,

8

3

?

?

??

?

?

??

.

請(qǐng)參考上述方法,求解以下問(wèn)題:

已知正 實(shí) 數(shù) x,y 滿 足x+

2

x

+3y+

4

y

=10,則

x

y

的 取 值 范

圍為 ▲ .

四、解 答 題:本 題 共 6 小 題,共 70 分.第 17 題 10 分,其 余 每 題

12分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)

在△ABC 中,角A,B,C 的對(duì)邊分別為a,b,c,且A=

π

3

,bsinC=

sinC+ 3cosC.

(1)求c;

(2)設(shè) M 為BC 的中點(diǎn),若線段 AM 的長(zhǎng)不大于 3,求b 的最

大值.

18.(12分)

已知a1=a,a2=p(常數(shù)p>0),數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn,且

Sn=

n(an-a1)

2

.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)記bn =

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

,數(shù) 列{bn}的 前n 項(xiàng) 和 為Tn,求 證:

Tn<2n+3.

19.(12分)

如圖,在四棱錐 P ABCD 中,PA ⊥ 平面 ABCD,AB∥CD,

∠ABC=

π

2

,AB=2,BC=CD=4,M 為PD 的中點(diǎn),直線CM

與AD 所成角的余弦值為

70

70

.

(1)求點(diǎn) M 到直線BC 的距離;

(2)求二面角P BC M 的余弦值.

20.(12分)

某校體育鍛煉時(shí)間準(zhǔn)備提供三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇.為了解

該校學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度(態(tài)度

分為同意和不同意),隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生,數(shù)據(jù)如下:

男生 女生 合計(jì)

同意 70 50 120

不同意 30 50 80

合計(jì) 100 100 200

(1)能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”

這種觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān)?

(2)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩供學(xué)生選擇.

① 若甲、乙兩名學(xué)生從這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)選一種,且他們

的選擇情況相互獨(dú)立互不影響.已知在甲學(xué)生選擇足球的

前提下,兩人的選擇不同的概率為

2

3

.記事件 A 為“甲學(xué)生

選擇足球”,事件 B 為“甲、乙兩名學(xué)生的選擇不同”,判斷

事件A、B 是否獨(dú)立? 并說(shuō)明理由.

② 若該校所有學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù) X ~N(185,169).根

據(jù)往年經(jīng)驗(yàn),該校學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后,跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)

步.假設(shè)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比開始時(shí)個(gè)數(shù)增

加10個(gè),該校有1000名學(xué)生,預(yù)估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校每分鐘

跳182個(gè)以上人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù)).

參考公式和數(shù)據(jù):K

2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

;

P(K

2≥x0) 0.025 0.010 0.005

x0 5.024 6.635 7.879

若 X~N(μ,σ

2),則 P(|X -μ|<σ)≈0.6826,P(|X -

μ|<2σ)≈0.9545,P(|X-μ|<3σ)≈0.9973.

21.(12分)

在圓x

2+y

2=4上任取一點(diǎn)T,過(guò)點(diǎn)T 作x 軸的垂線段TD,D

為垂足.當(dāng)點(diǎn)T 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段TD 的中點(diǎn)M 的軌跡是橢

圓C.

(1)求該橢圓C 的方程;

(2)法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日(1746-1818)發(fā)現(xiàn):橢圓上任

意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn),必在一個(gè)與橢圓同心的圓

上,稱此圓為該橢圓的“蒙日?qǐng)A”.若橢圓C 的左,右焦點(diǎn)分

別為F1,F2,P 為橢圓C 上一動(dòng)點(diǎn),直線 OP 與橢圓C 的

蒙日?qǐng)A相交于M,N,求證:

|PM|·|PN|

|PF1|·|PF2|

為定值.

22.(12分)

如果有且僅有兩條不同的直線與函數(shù)f(x),g(x)的圖象均相

切,那么稱這兩個(gè)函數(shù)f(x),g(x)為“L 函數(shù)組”.

(1)判斷函數(shù)y=e

x-2 與y=lnx 是否為“L 函數(shù)組”,其中e為

自然對(duì)數(shù)的底數(shù),并說(shuō)明理由;

(2)已知函數(shù)f(x)=2+lnx 與g(x)=a x為“L 函數(shù)組”,求

實(shí)數(shù)a 的取值范圍.

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2024南通名師高考原創(chuàng)卷(三)

命題人:金山 江蘇省啟東中學(xué)

數(shù)學(xué)

注 意 事 項(xiàng)

1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)

題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其

他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合 M ={-2,-1,0,1,2},N ={x||x+1|≤1},則 M ∩

N= ( ▲ )

A.{-1} B.{-2,-1,0}

C.{-1,0,1} D.{0,1,2}

2.已知(1+i

5+i

10)·z=2+i,則z= ( ▲ )

A.1+2i B.1-2i

C.2+i D.2-i

3.第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月28日至10月8日在杭州舉行,本

屆亞運(yùn)會(huì)的吉祥物是一組名為“江南憶”的機(jī)器人:“琮琮”、“蓮

蓮”和“宸宸”,分別代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、西湖和京杭大

運(yùn)河.某同學(xué)買了6個(gè)不同的吉祥物,其中“琮琮”、“蓮蓮”和“宸

宸”各2個(gè),現(xiàn)將這6個(gè)吉祥物排成一排,且名稱相同的兩個(gè)吉祥

物相鄰,則排法種數(shù)共有 ( ▲ )

A.48 B.24

C.12 D.6

4.在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=12,BC=5,以頂點(diǎn) A,B 為焦

點(diǎn)且過(guò)C 點(diǎn)的雙曲線離心率記為e1,以頂點(diǎn)B,C 為焦點(diǎn)且過(guò)A

點(diǎn)的雙曲線離心率記為e2,則e1e2= ( ▲ )

A.

10

3

B.

60

13

C.

15

2

D.

65

12

5.已知向量a 在向量b 上的投影向量為

1

2

b,且|3a-b|=|a+b|,

則<a,b>= ( ▲ )

A.

π

6

B.

π

4

C.

π

3

D.

2π

3

6.若函數(shù)f(x)=xloga(1+b

x )-x

2(a,b>0且a≠1,b≠1)是奇

函數(shù),則 ( ▲ )

A.a=2b B.a=b

C.a=b

2 D.a= b

7.已 知 直 線 x+y-2=0 上 點(diǎn) A 橫 坐 標(biāo) 為 m,若 圓(x-1)2 +

(y-1)2=2存在兩點(diǎn) B,C,使得∠BAC≥60°,則 m 的取值范

圍是 ( ▲ )

A.(-∞,-1] B.[3,+∞)

C.[-1,3] D.[-1,1)∪(1,3]

8.若曲線y=(x-1)e

ax 在x=1處的切線與曲線y=e

x 也相切,

則a= ( ▲ )

A.

1

e

B.e

C.1 D.2

二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給

出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選

對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

9.袋中有大小形狀相同的5個(gè)小球,其中黑球3個(gè),白球2個(gè),從中

有放回取球3次,每次取1個(gè),記 X 為取得黑球次數(shù),Y 為取得

白球次數(shù),則 ( ▲ )

A.隨機(jī)變量 X 的可能取值為0,1,2,3

B.隨機(jī)變量Y 的可能取值為0,1,2

C.隨機(jī)事件{X=1}的概率為

3

5

D.隨機(jī)變量 X 與Y 的數(shù)學(xué)期望之和為3

10.在正方體ABCD A1B1C1D1 中,P,M,N 是棱AB,AD,AA1

上的點(diǎn),且平面PMN∥平面A1BD,則 ( ▲ )

A.MN∥平面B1CD B.平面PMN∥平面B1CD1

C.AB1⊥平面PMN D.平面AA1C⊥面PMN

11.已知等比數(shù)列{an}滿足1+a4a8=2a7,則 ( ▲ )

A.a1>0 B.q≥1

C.a3≤a5 D.a2a4≤a3a5

12.設(shè)F 為拋物線C:y

2=4x 的焦點(diǎn),直線l:2x-ay+2b=0(a≠

0)與C 的準(zhǔn)線l1 交于點(diǎn) A,已知l與C 相切,切點(diǎn)為 B,直線

BF 與C 的一個(gè)交點(diǎn)為D,則 ( ▲ )

A.點(diǎn)(a,b)在C 上

B.∠BAF 小于∠AFB

C.以BF 為直徑的圓與l相離

D.直線AD 與C 相切

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.

13.藥物的半衰期指的是血液中藥物濃度降低到一半所需時(shí)間.在

特定劑量范圍內(nèi),t(h)內(nèi)藥物在血液中濃度由p1(ug%)降低到

p2(ug%),則藥物的半衰期 T=

0.693·t

lnp1-lnp2

.已知某時(shí)刻測(cè)得

藥物甲、乙在血液中濃度分別為36ug%和54ug%,經(jīng)過(guò)一段

時(shí)間后再次測(cè)得兩種藥物在血液中濃度都為24ug%,設(shè)藥物

甲、乙的半衰期分別為T1,T2,則

T1

T2

= ▲ .

14.若α 為銳角,且sinαcosαπ 4 =cos2α,則tanα= ▲ .

15.已知圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為3 2,A,B 是上、下底面內(nèi)一點(diǎn)(包括邊

界).若點(diǎn)A 與點(diǎn)B 之間的距離的最大值和最小值分別為5和

3,則該圓臺(tái)的體積為 ▲ .

16.已知函數(shù)f(x)=x+sinωx(ω>0)在 0,

π 3 上存在極值點(diǎn),則

正整數(shù)ω 的最小值為 ▲ .

四、解 答 題:本 題 共 6 小 題,共 70 分.第 17 題 10 分,其 余 每 題

12分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)

記△ABC 的內(nèi)角A,B,C 所對(duì)邊分別為a,b,c,已知b(3cosC1)=c(1-3cosB).

(1)證明:b+c=3a;

(2)求cosA 的最小值.

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18.(12分)

某空調(diào)企業(yè)為了解產(chǎn)品售后服務(wù)情況,給用戶發(fā)放一份調(diào)查問(wèn)

卷,滿分為100分.現(xiàn)從回收的問(wèn)答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣

本,得到如下頻率分布直方圖.

(1)求a 的值和樣本的中位數(shù)(精確到0.1);

(2)從樣本中得分在(80,100]的問(wèn)卷中,按分層抽樣抽取8份,

再?gòu)闹须S機(jī)抽取3份,記這3份問(wèn)卷中得分在(90,100]的

份數(shù)為 X,求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望.

19.(12分)

已知數(shù)列{an}滿足:

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=1-

1

2

n,n∈N

* .

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)bn=[log2an]([x]表示不超過(guò)x 的最大整數(shù)),求數(shù)列

{bn}的前100項(xiàng)和.

20.(12分)

如圖,兩個(gè)正四棱錐底面都為正方形 ABCD,頂點(diǎn) M,N 位于

底面兩側(cè),AB=2,AM ⊥AN.記正四棱錐 M ABCD 的體積

為V1,正四棱錐 N ABCD 的體積為V2.

(1)求V1+V2 的最小值;

(2)若V1=2V2,求直線AM 與面BCN 所成角的正弦值.

21.(12分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx+(a-1)x.

(1)若f(x)最小值為-2,求a;

(2)若函數(shù)y=e

x-a -f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),其中e為自然

對(duì)數(shù)的底數(shù),求實(shí)數(shù)a 的取值范圍.

22.(12分)

已知橢圓C:

x

2

a

2 +

y

2

b

2 =1(a>b>0)的離心率為

2

2

,F1,F2 分別

為C 的左、右焦點(diǎn),B 為上頂點(diǎn),且△BF1F2 的內(nèi)切圓半徑為

2-1.

(1)求C 的方程;

(2)M,N 是C 上位于直線BF2 不同側(cè)的兩點(diǎn),且∠MBF2=

∠NBF2,證明:直線 MN 經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

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