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（2023-2024 海淀九上期中）★★★
27．如圖，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn) D 在 AB 上（BD＜AD），過點(diǎn) D 作 D
E⊥BC 于點(diǎn) E，連接 AE，將線段 EA 繞點(diǎn) E 順時針旋轉(zhuǎn) 90°，得到線段 EF，連接 DF．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）求證：FD＝AB；
（3）DF 交 BC 于點(diǎn) G，用等式表示線段 CE 和 FG 的數(shù)量關(guān)系，并證明．
備用圖
E
A
B C
D
E
A
B C
D
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吳老師圖解
（1）如圖.
補(bǔ)全圖形
（2）
思路&圖解
如圖，易證△BEA≌△DEF（SAS，提示：手拉手模型），故 FD＝AB.
（3）FG＝ 2
CE.
分析
如左圖，補(bǔ)全圖形！顯然，有 FG＝ 2
CE，那就想辦法構(gòu)造等腰直嘍（或 45°）~
如右圖，利用（2）的手拉手全等，我們可以進(jìn)一步得到 FD⊥AB，從而得出∠EDG＝∠
EGD＝∠CGF＝45°...
F
E
A
B C
D
F
E
A
B C
D
G
F
E
A
B C
D
45°
G
F
E
A
B C
D
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思路&圖解
法 1：手拉手（提示：△DEG 和△AEF 是等腰直）
如圖，作 DH⊥AC，
1）矩形 DECH，等腰 Rt△AHD，
2）由（2）知∠1＝∠2，
3）△DEA≌△GEF（ASA）
∴FG＝AD＝ 2
CE.
法 2：轉(zhuǎn)化構(gòu)造等腰直
如圖，取 CE＝CH，
1）△ECH 是等腰直，
2）EH∥AB，
3）∠1＝∠2＝∠3（提示：90°－∠AEC），
4）由（2）知∠6＝∠5＝∠4，
5）△EFG≌△AEH（ASA），
∴FG＝EH＝ 2
CE.
法 3：三垂直（需要提前證【分析】中的 45°）
如圖，作 FH⊥BC，交延長線于點(diǎn) H，
1）由【分析】知∠1＝45°，
2）△ACE≌△EHF（三垂直模型），
∴FG＝ 2
FH＝ 2
CE.
H
G
F
E
A
B C
D
1
2
H
G
F
E
A
B C
D
6
5
4
3
2
1
H
G
F
E
A
B C
D
1
45°
H
G
F
E
A
C
B
D
H
G
F
E
A
C
B
D
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思路&圖解
法 4：轉(zhuǎn)化構(gòu)造等腰直（需要提前證【分析】中的 45°）
如圖，作 DH⊥AC，
1）矩形 DECH，等腰 Rt△AHD，
2）由【分析】知∠1＝∠2＝45°＝∠B，即 DG＝DB，
3）由（2）知 AB＝FD，則 AD＝FG（提示：等量減等量），
∴FG＝AD＝ 2
CE.
備注：此法與【法 1】其實(shí)是一樣的，就看同學(xué)們在考場上的第一反應(yīng)是啥——是延續(xù)
手拉手的結(jié)論？還是上來就奔著結(jié)論去構(gòu)造全等三角形？
H
G
F
E
A
B C
D
2
1
H
G
F
E
A
B C
D
