1 / 4
（2023 朝陽一模）★★★☆
27．如圖，∠MON＝?
，點 A 在 ON 上，過點 A 作 OM 的平行線，與∠MON 的平分線交
于點 B，點 C 在線段 OB 上（不與點 O，B 重合），連接 AC，將線段 AC 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)
180???
，得到線段 AD，連接 BD．
（1）直接寫出線段 AO 與 AB 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明∠MOB＝∠DBA；
（2）連接 DC 并延長，分別交 AB，OM 于點 E，F(xiàn)．若
? = ? 60
，用等式表示線段 EF 與
AC
之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
備用圖
N
M
D
B
O A
C
N
M
D
B
O A
C
2 / 4
吳老師圖解
（1）
AO AB = .
思路&圖解
如圖，
1）由平行線及角平分線知
? = ? = ? 1 2 3
，則
AO AB = ，
2）①由平行知
? = ? ? = ? OAB CAD 180 ? ，
? ? = ? = ? ? ?? 4 5 (180 ) 6 ? ，
②易證
OAC BAD
（SAS），
? ? = ? = ? 7 3 1
，即
? = ? MOB DBA.
（2）
EF AC = 3 .
補全圖形&分析
補全圖形 圖 1
補全圖形后，同學們看圖 1，
首先，當
? = ? 60
時，線段
AC
在頂角為
120?
的等腰三角形
ACD
中，故
CD AC = 3
（提
示：
120?
等腰三角形的三邊比例關(guān)系不能直接用，考試的時候得證明），
顯然，接下來我們需要證明
EF CD =
，其實就是要證明
CF ED =
！
那么，
CF ED =
怎么證？
還是那句話，回去讀條件，再看看上一問有啥結(jié)論！
發(fā)現(xiàn)，邊
FC
在
OFC
中，
ED
在
BED
中，其中有相等的邊，也有一組相等的角（都
為
30?
），那就構(gòu)造（全等三角形）唄…
N
M
1
2
3
D
B
O A
C
N
M
6
5
3 4
2
1
7
D
B
O A
C
N
M
E
F
D
B
O A
C
N
M
E
F
D
B
O A
C
3 / 4
思路&圖解
法 1：
如圖，取
BG OF =
，連接
DG ，
1）易證
FOC GBD
（SAS），
2）
? = ? = ? 1 2 3
（提示：等角的補角相等+平行線同位角相等），
? CF DG DE = =
，進一步可得
CD EF = ，
3）
CAD
是頂角為
120?
的等腰三角形，則
CD AC = 3
（考試時得證明），
? EF AC = 3 .
法 2：
如圖，取
OG BE =
，連接
CG ，與【法 1】同理，利用
? = ? = ? 1 2 3
可得結(jié)論！
法 3：
如圖，取
DG DB =
（或作
DG OB //
），
1）
? = ? = ? = ? = ? 1 2 3 4 30 ，
2）易知
DG OB //
，則
? = ? = ? 5 6 7，
3）
OFC GED
（ASA），
? CF DE =
，進一步可得
CD EF = ，
4）
CAD
是頂角為
120?
的等腰三角
形，則
CD AC = 3
（考試時得證明），
? EF AC = 3 .
N
M
3
2
1
G
E
F
D
B
O A
C
N
M
3
2 1
G
E
F
D
B
O A
C
N
M
G
E
F
D
B
O A
C
N
M
1
2
3
4
6 5
7 G
E
F
D
B
O A
C
N
M
G
E
F
D
B
O A
C
4 / 4
思路&圖解
法 4：
如圖，取
CG CO =
，與【法 3】同理，可得結(jié)論！
法 5：
如圖，作
CP OM ， DQ AB ，
1）易證
OPC BQD
（AAS），
2）易證
FPC EQD
（AAS），
? CF DE =
，進一步可得
CD EF = ，
3）同理，CD AC = 3
（考試得證），
? EF AC = 3 .
法 6：
如圖，作
BG EF // ，
1）四邊形
BGFE
是平行四邊形，則
EF BG = ，
2）易知
? = ? = ? 1 2 30
，則
? = ? 3 4
（“8 字”導角），
3）由
? = ? 4 5，? = ? 3 6
知
? = ? 5 6，
4）易證
OGB OCA
，且
OAB
是頂角為
120?
的等腰三角形，
? 3
BG OB
AC OA
= =
（
3
倍關(guān)系考試的時候要單獨證），
? EF AC = 3 .
N
M
G
E
F
D
B
O A
C
N
M
G
E
F
D
B
O A
C
N
M
P
Q
E
F
D
B
O A
C
N
M
P
Q
E
F
D
B
O A
C
N
M
G
E
F
D
B
O A
C
N
M
6
5
4
3
2
G 1
E
F
D
B
O A
C
