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教師用書(上)

本冊包含內(nèi)容：
第一章集合與常用邏輯用語、不等式
第二章函數(shù)
第三章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用
第四章三角函數(shù)與解三角形
第五章平面向量、復數(shù)

數(shù) 學

第一章 集合與常用邏輯用語、不等式

第1講集合及其運算
第2講常用邏輯用語· 7
第3講不等式及其性質(zhì)…· 13
第4講基本不等式(課堂延伸:柯西不等式與權方和不等式) 18
第5講一元二次不等式· 26

第二章 函數(shù)

第6講函數(shù)的概念及其表示 37
第7講函數(shù)的單調(diào)性與最值(課堂延伸:對勾函數(shù)與飄帶函數(shù)) 42
第8講函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性··. 50
第9講冪函數(shù)與二次函數(shù)·· 59
第10講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)··· 66
第11講對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 73

重難點突破 ^{1} 指、對、冪比較大小問題 79

第12講 函數(shù)的圖象 84
第13講 函數(shù)與方程 92
第14講 函數(shù)模型及其應用 100

專項2 函數(shù) 107

第三章 一元函數(shù)的導數(shù)及其應用

第15講導數(shù)的運算及其幾何意義 112
第16講導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性···· 119
第 17講導數(shù)與函數(shù)的極值、最值(課堂延伸:三次函數(shù)) 127
第18講函數(shù)中的構造問題 137

重難點突破3利用導數(shù)研究恒（能）成立問題(課堂延伸:洛必達

法則) 148
重難點突破4 利用導數(shù)證明不等式問題 155
重難點突破5 利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題 159
拔高點突破1極值點偏移問題 167
專項3一元函數(shù)的導數(shù)及其應用 173

考情動態(tài)速遞

八省考情

不等式含參恒成立問題/P63變式4[八省（區(qū))聯(lián)考2025·8]

核心考向

·根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值/P53例3
·曲線過某點的切線方程/P114例5
·三角函數(shù)弦切互化問題/P188例2
·根據(jù)向量共線求參數(shù)的值/P272變式3

第四章 三角函數(shù)與解三角形

第19講任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念· 179
第20講同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式 186
第21講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式…· 193
第22講簡單的三角恒等變換·. 200
第23講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 208
第24講函數(shù) y=A\sin{\big(}\omega x+\varphi{\big)} 的應用 219
重難點突破6三角函數(shù)中 \omega 的取值問題 229
第 25講正弦定理、余弦定理(課堂延伸:射影定理) 238
第26講解三角形應用舉例· 248
專項4三角函數(shù)與解三角形 256

重難考點

·已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)范圍/P95例3
·利用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)研究參數(shù)取值范圍問題/P161例2
·根據(jù)最值(值域)求解 \omega 的取值范圍/P230變式2

第五章 平面向量、復數(shù)

第27講平面向量的概念及線性運算 261
第 28講平面向量基本定理及坐標表示(課堂延伸:等和線定理)269
第29講 平面向量數(shù)量積(課堂延伸:極化恒等式) 276
第30講 平面向量的綜合應用(課堂延伸:三角形的四心與奔馳定理)284
第31講復數(shù) 294
專項5平面向量、復數(shù) 301

創(chuàng)新考法

·結(jié)合圓的標準方程利用基本不等式求最值/P20變式3·以國民收入支配和國家經(jīng)濟發(fā)展為背景建立函數(shù)模型/P103變式2
·構造函數(shù)，利用導數(shù)解決三角形問題/P139變式2
·向量與動點軌跡結(jié)合求最值問題/P287變式3

第

講集合及其運算

溫習 知識梳理

1.元素與集合

2.集合間的基本關系

(1)集合中元素的三個特征：確定性 、互異性無序性

(2)元素與集合的關系：
若 a 是集合 A 的元素，就說 \footnote{T w o t y p i c a l a p p l i c a t i o n s c e n a r i o s f o r t h e p r o p o s e d s y s t e m a r e h e a l t h c a r e,a n d l o g i s t i c s a n d w a r e h o u s i n g,i n w h i c h m u l t i p l e I o T d e v i c e s a r e d e p l o y e d c l o s e t o t h e r e c e i v e r a n d t h e t i m e d e l a y b e t w e e n t h e d i r e c t l i n k a n d b a c k s c a t t e r l i n k i s t h u s n e g l i g i b l e.} 屬于集合 A ,記作：a\in A _;若 \footnote{h t t p s://w w w.n g d c.n o a a.g o v/s t p/s p a c e-w e a t h e r/s o l a r-d a t a/s o l a r-f e a t u r e s/s o l a r f l a r e s/x-r a y s/g o e s/x r s/} 不是集合 A 的元素，就說 \footnote{h t t p s://w w w.n g d c.n o a a.g o v/s t p/s p a c e-w e a t h e r/s o l a r-d a t a/s o l a r-f e a t u r e s/s o l a r f l a r e s/x-r a y s/g o e s/x r s/} 不屬
于集合 A ,記作： a\not\in A 一

(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法，(4)集合的分類：按元素的個數(shù)分為_有限集和_無限集

(5)常用數(shù)集的記法：

(6)全集與空集：
不含任何元素的集合叫做空集,記作_；一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，稱這個集合為全集，記作_ U 一

3.集合的基本運算

常用結(jié)論

1.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.若一個集合含有 n 個元素，則它的子集有 2^{n} 個,非空子集有 \left( 2^{n}-1 \right) 個，真子集有 \left( 2^{n}-1 \right) 個，非空真子集有 (2^{n}{-}2) 個.\left|\begin{array}{l}{3.\left(1\right)A\subseteq\left(A\cup B\right);B\subseteq\left(A\cup B\right);A\cup A=A;A\cup\emptyset=\left|}\\ {A\cup B=B\cup A ;A\cup B\cup A\subseteq B.}\\ {\left(2\right)\left(A\cap B\right)\subseteq A;\left(A\cap B\right)\subseteq B;A\cap A=A;A\cap\emptyset=\left|}\\ {\emptyset;A\cap B=B\cap A;A\cap B=A\LeftrightarrowA\subseteqB.}\\ {\left(3\right)\complement_{v}U=\emptyset*\complement_{v}\emptyset=U;\complement_{v}(\complement_{v}A)=A;A\cup(\complement_{v}A)=U; }\\ {A\cap(\complement_{v}A)=\emptyset.}\end{array}\right| 4.德·摩根定律：\left\{\begin{array}{l l}{\complement_{U}(A\cup B)=(\complement_{U}A)\cap(\complement_{U}B) ;}\\ {\complement_{U}(A\cap B)=(\complement_{U}A)\cup(\complement_{U}B).}\end{array}\right.

基礎自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內(nèi)打“ \vee ”或x^{\ast}

(1)集合 \{ y \vert y=2x ,x\in\mathbf{R} \} 與集合 \left\{ ( x ,y ) | _{Y}=2x ， x\in\mathbf{R}\} 表示同一集合. (\begin{array}{l l l}{\mathbf{\nabla}}&{x}&{}\end{array})

提示：集合 \{ y | y=2x ,x\in\mathbf{R} \} 為數(shù)集,集合 \mid( x ,y )\mid y=

2x ,x\in\mathbf{R} | 為點集，不是同一集合，錯誤，(2) \{ 2 ,1 \}\subseteq\{ x | x^{2}{-}3x{+}2=0 \} . (3)集合1,2,3,5}的真子集的個數(shù)為15.

(4)設 U=\mathbf{R} ,A=\left\{x \left| {(x-1)/(x+1)}>0\right.\right\} \stackrel{\triangledown}{λ}_{U}A=\left\{\left.x\;\right|(x-1)/(x+1)<=slant 0\bigm\}=\{ x |-1<x<=slant1 \} .

提示：因為 A=\left\{x\ \left|\ {(x-1)/(x+1)}>0\right.\right\}=\left\{ x | x<-1\right. x>1\mid{\bfα},U={\bf R} , 所 \smash{λ\complement_{U}A=\{ x |-1<=slant x<=slant1 \}} 錯誤。

2.[人教A版必修一P14T2教材改編題］已知全集U=\left\{ x\in\mathbf{N} \vert x\le7 \right\} ,A=\left\{ 2 ,3 ,6 ,7 \right\} ,B=\left\{ 2 ,3 ,4 ,5 \right\} . 則 A\cap(\complement_{U}B)= (A)

A. 6,7} B.1,7} C.1,6} D.{1,6,7}

【解析】全集 U=\{ x\in\mathbf{N} | x\le7 \} = \{ 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 \}\;, \begin{array}{r}{\mathfrak{Z}\ A=\{ 2 ,3 ,6 ,7 \}\ ,B=\{ 2 ,3 ,4 ,5 \}\ ,\mathfrak{M}\|_{\ell}B=\{ 0 ,1 ,6 ,7 \}\ ,}\end{array} 所以 A\cap(\complement_{v}B)=\{6,7\} . 故選A.

3.[人教A版必修一P9練習T3(2)改編]已知集合A=\{ x \vert x=3k ,k\in\mathbf{N}\} B=\{ x | x=6z ,z\in\mathbf{N} \} ，則下列關系正確的是 ( C）

A.A=B \mathbf{B}.A\subseteq B \operatorname{C},B\subseteq A D. A\cap B=\mathscr{O}

【解析】因為 x=6z=3x(~2z) ,且 z\in\mathbb{N}, 所以 2z\in\mathbf{N}, 所以 B\subseteq A ,\mathbb{C} 正確；易知 3\in A ,3\notin B ,6\in A ,6\in B , 所以A,B,D不正確.故選C.

4.[人教A版必修一P9T5（2）改編]已知集合 A= \{x\vert-1<=slant x{<}a\} B=\{ x |\log_{3}( 2x-1 )<1 \} ，若 B\subseteq A 則實數(shù) \footnote{h t t p s://w w w.n g d c.n o a a.g o v/s t p/s p a c e-w e a t h e r/s o l a r-d a t a/s o l a r-f e a t u r e s/s o l a r f l a r e s/x-r a y s/g o e s/x r s/} 的取值范圍是_[2,+∞）

【解析】由題得 ,B=\{ x | \log_{3}( 2x-1 )<1 \}=\{ x | 0<2x-1< 3 \}\ =\biggl\{x \bigg| {(1)/(2)}{<}x{<}2\biggl\}. 因為 B\subseteq A 所以 A\neq\varnothing , 所以\left\{\stackrel{a>-1}{a>=2},\right. 所以 a>=slant2,

精講 考點剖析

考點1 元素與集合間的關系

例1（1)［四川樂山2024三模]已知集合 A=\left\{ \right.\left( x , y\left(\right)\mid x^{2}+y^{2}<=slant10 ,x\in\mathbf{N}^{*} \boldsymbol{y}\in{\mathbf{N}}^{*}\ \} ,則集合 A 的元素 個數(shù)為 （c)

A.9 B.8 C.6 D.5【解析】由題意知 ,A=\left\{ \left( 1 ,1 \right),\left( 1 ,2 \right),\left( 1 ,3 \right),\left( 2 ,1 \right) ,\right. \left( 2,2 \right),\left( 3 ,1 \right) \right\} ,共6個元素.故選C.（2)[江西新余2024模擬］已知數(shù)集 A ,B 滿足A\cap B=\{ 1 ,2 ,3 \} ， A\cup B=\{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 \} ,若 4\not\in A ，則一定有 （C）

【解析】由 A\cap B=\{ 1 ,2 ,3 \}\; ,A\cup B=\{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 \}\; , 可知4\in A ,4\in B 或 4\in B ,4\not\in A.
由 4\notin A , 可得 4\in B , 故C正確，D錯誤；同理，由 5\in A 可得 5\notin B , 或由 5\in B , 可得 5\notin A , 故A,B錯誤.故選C.

變式 1\downarrow(1) [江蘇南通2025開學考］若 \boldsymbol{x}\in\mathbf{N} ,集合A=\{ 0 ,1 ,2 ,3 \} ， B=\{ x ,x^{2} ,3 ,4 \} ，則 A\cap B 滿足（C

【解析】對于A，若 0\in(A\cap B) ，則 0\in B , 故 \scriptstyle x = 0 ，此時B=\{0,0,3,4\} ,不滿足集合中元素的互異性,錯誤,不符合題意；對于B，若 1\in(A\cap B) ，則 1\in B 故 x=1 ，此時 B=\left\{ 1 ,1 ,3 ,4 \right\} ,不滿足集合中元素的互異性，錯誤，不符合題意;對于C,若 2\notin\left(A\cap B\right) ，則 2\notin B ,如果 x= 2,則 B=\{ 2 ,4 ,3 ,4 \} 不滿足集合元素的互異性，所以x\neq2 則 2\not\in(A\cap B) ,正確；對于D，因為集合 B 中含有元素3,故 3\in\left(A\cap B\right). 故選項錯誤，不符合題意.故選C.

(2)已知集合 A=\left\{ \left( x ,y \right) | x+y=8 ,x ,y\in\mathbf{N}^{*}\;\right\} B= \left\{ ( x ,y ) | | x-y |>2 ,x ,y\in\mathbf{R} \right\} ，則 A\cap B 中元素的個 數(shù)為 （c)

A.2 B.3 C.4 D.5【解析】因為 x+y=8 ,x ,y\in\mathbf{N}^{*}\;, 所以 x=1 ,y=7 或 x= 2,y=6 或 x=3 ,y=5 或 x=4 ,y=4 或 x=5 ,y=3 或 x= 6 ,y {=} 2 或 x=7,y=1 ，所以 A=\left\{ \left(\;1 ,7\right) ,\left(\;2 ,6 \right) ,\left(\;3 ,5 \right) ,\right. \left(\;4 ,4 \right),\left(\;5 ,3 \right),\left(\;6 ,2 \right),\left(\;7 ,1 \right)\;\} . 因為 \{x=1 ,y=7 ,x=2 ,y=6 ,x=6 ,y=2 ,x=7 ,y=1 滿足\mid x-y\mid>2 , 所以 A\cap B=\{ ( 1 ,7 ) , ( 2 ,6 ) , ( 6 ,2 ) , ( 7 , 1）,所以 A\cap B 中元素的個數(shù)為4.故選 C,

方法點透

利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)時，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.

考點2 集合與集合間的關系

角度1集合的關系

例2［山西大同2025開學考]已知集合 A=\{x\vert x( 2-x )>0 \} B=\{ x | {√(x+1)}>=slant1 \} ，則 （D）

\therefore A\cap B=\emptyset B.AUB=R C. B\subseteq A \operatorname{D}.A\subseteq B 【解析】因為 A=\{ x\mid0<x<2 \} ,B=\{ x\mid x>=0 \} , 所以 A\subseteq B,A\cap B=A ,A\cup B=B ,B\not\subseteqA. 故選D.

變式2［廣東佛山2025月考］滿足集合 \{ 1 ,2 \} 為 M 的子集且 M\subseteq\{1,2,3,4,5\} 的集合 M 的個數(shù)是(C）

A.6 B.7 C.8 D.15【解析】因為集合 \left|\;1 ,2 \right\}\subseteq M\subseteq\left\{\;1 ,2 ,3 ,4 ,5 \right\} , 則集合 M 可以為 \left|\;1 ,2 \right\} ,\left\{\;1 ,2 ,3 \right\} ,\left\{\;1 ,2 ,4 \right\} ,\left\{\;1 ,2 ,5 \right\} ,\left\{\;1 ,2 ,3 ,\right. 4!\mid,\mid1,2,3 ,5\mid ,\mid1 ,2 ,4 ,5\mid ,\mid1 ,2 ,3 ,4 ,5\mid 共8個.故選C.

角度2 已知集合的關系求參數(shù)的值（范圍）

例3［全國新課標 \mathbb{I} 2023*2] 設集合 A=\{0,-a\} ， B=\left\{\begin{array}{l l}{1,a{-}2,\leavevmode{2a{-}2}\right\} ，若 A\subseteq B ，則 a= （B)

A.2 B.~1\qquad\qquadC.{/{2{3}}~}\qquadD.~-1 【解析】由題意知 0\in B. 當 a-2=0 時,即 a=2, 此時A=\left\{ 0 ,-2 \right\} ,B=\left\{ 1 ,0 ,2 \right\} ,A\not\subset B , 不符合題意.當 2a- 2=0 時,即 a=1 ,此時 A=\left\{ 0 ,-1 \right\} ,B=\left\{ 1 ,-1 ,0 \right\} . 滿足A\subseteq B , 所以 a=1 ,故選B.

變式3[江蘇常州2024三模]已知集合 A=\{ x \vert -1<=slantx+1<=slant6\} ,B=\left\{ x | m{-}1{<}x{<}2m{+}1 ,m\in\mathbf{R} \right\} ，若 A\cup B{=}A ，則實數(shù) m 的取值范圍為_ (-∞,-2]\cup [-1,2]

【解析】由 A\cup B=A\Rightarrow B\subseteq A. 因為 A=\{ x | {-2}<=slant x<=slant5 | {\bf\varphi},
所以當 B=O 時 ,m{-}1>=slant2m{+}1 , 解得 m\lesssim-2 r^{m-1}>=-2 ,
當 B\neqO 時，若 B\subseteq A , 則m>-2, 解得 -1<=slantm<=slant2. [2m+1≤5,
綜上,實數(shù) m 的取值范圍為（-,-2]U[-1,2].

+方法點透

1.已知兩個集合間的關系求參數(shù)，關鍵是將兩個集合間的關系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關系.合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對參數(shù)進行討論.確定參數(shù)所滿足的條件時，一定要把端點值代入進行驗證，否則易增解或漏解.

2.當 B 為A的子集時，若未說明 B 非空，則應考 慮 B 為空集的情況.

考點3 集合的基本運算

角度1集合的基本運算

例4[全國新課標 ~I~2024*1] 已知集合 A=\{x\vert-5< x^{3}<51 B=\{-3,-1,0,2,3\} ，則 A\cap B= (A)

A. \left\{{ -1,0 }\right\} B.2,3} C. \left\{-3,-1,0\right\} D. -1,0,21 【解析】由題意可知- *1\in B , ( -1 )^{3}=-1\in A ,0\in B ,0^{3}= 0\in A ,所以 A\cap B=\left\{ -1 ,0 \right\}. 故選A.

變式4[全國甲（理） 2023*1] 設全集 \boldsymbol{U}=\mathbf{Z} ,集合 M=\left\{ x | x=3k+1 ,k\in\mathbf{Z} \right\} ,N=\left\{ x | x=3k+2 ,k\in\mathbf{Z} \right\} 則 \stackrel{\backslash}{,} ( M\cup N)= (A)

A. \left\{ x \right|x=3k ,k\in\mathbf{Z} \right\}
B. \left\{ x | x=3k-1 ,k\in\mathbf{Z} \right\}
C. \left\{ x | x=3k^{-2},k\in\mathbf{Z} \right\}
D. \varnothing

【解析】因為 U=\{ x | x=3k 或 x=3k+1 或 x=3k+2,k\in Z，所以 \mathbf{\dot{\Psi}}_{U}( M\cup N)=\mathbf{\Psi}\{\mathbf{\Psi}_{X}\vert x=3k ,k\in{\bf Z}\} ，故選A.

角度2 已知集合的運算求參數(shù)的值（范圍）

例5[江蘇南京2025開學考]已知集合 A=\{x\in\mathbf{Z}\} \left|x\right|<=slant2\left| ， B=\{ x | x<=slant a \} ,若 A\cap B 中只有1個元素，則實數(shù) ^{a} 的取值范圍是 （B）

A.[-2,-1] B.[-2,-1) C.(-1,0) D.[-1,0]

【解析】由 |x|<=slant2 , 得 -2<=slantx<=slant2. 又 x\in\mathbf{Z} , 所以 A=\{-2 ，-1,0,1,2}.
因為 \begin{array}{r}{B=\left\{ x\mid x<=slant a \right\} ,}\end{array} 且 A\cap B 中只有 ^{1} 個元素,所以-2\lea<-1. 故選B.

變式5已知集合 A=\{ x \vert \left( x+1 \right) * \left( x-a \right)<=slant0 \} ， B= \left\{ x |\left( x+3 \right)\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)=0 \right\} ,若 A\cap B\neq\emptyset ,則實 數(shù) a 的取值范圍為_ (-∞,-2]\cup[1,+∞)

【解析】由題可得 ,B=\{ -3 ,-2 ,1 \} ，
當 a=-1 時 ,A=\left\{\begin{array}{r l}\end{array}\right.-1\mid ,此時 A\cap B=\emptyset ,不滿足條件；當 a<-1 時 ,A=\left\{ x\mid a<= x<=- 1 \right\} , 要使 A\cap B\neq\emptyset , 需使a<=slant-2:
當 a>-1 時 ,A=\{ x \vert-1<= x<=slant a \}\ , 要使 A\cap B\neq\emptyset , 需使a>=slant1.
綜上,實數(shù) a 的取值范圍為 (-∞ ,-2 ]\cup[ 1 ,+∞ ) .

方法點透

解決集合運算問題的注意點：

1.看元素構成；2.對集合進行化簡，明確集合中元素的特點；3.注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，常見的工具有數(shù)軸和Venn圖等.

考點4 容廳原理的應用

例6市場調(diào)查公司為了了解某小區(qū)居民在訂閱報紙方面的取向，抽樣調(diào)查了500戶居民，調(diào)查的結(jié)果顯示：訂閱晨報的居民有334戶，訂閱晚報的居民有297戶，其中兩種報紙都訂閱的居民有150戶，則兩種報紙都不訂閱的居民有_19_戶.

【解析】由題意得，兩種報紙至少訂閱一種的居民有

334+297-150=481 戶,所以兩種報紙都不訂閱的居民有 500{-}481=19 戶.

變式6某班共有學生47人,寒假參加體育訓練,其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人,則三項都參加的人數(shù)為

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】設參加足球隊的學生組成集合 A, 參加排球隊的學生組成集合 B , 參加游泳隊的學生組成集合 C, 則\operatorname{card}(A){=}25,\operatorname{card}(B){=}22,\operatorname{card}(\ C){=}24,\operatorname{card}(A\cap B){=} 12 ,card(A\cap C)=9 ,card(B\cap C)=8.
設三項訓練都參加的人數(shù)為 x , 則 card\left( A\cap B\cap C \right)=x , 因為 \operatorname{card}\left( A\cup B\cup C\right)=47 ,
所以由 \operatorname{card}(A\cup B\cup C)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)+\operatorname{card}(C)-

\operatorname{card}(A\cap B)\operatorname{-card}(A\cap C)\operatorname{-card}(B\cap C)\operatorname{+card}(A\cap B\cap C) 得 47=25+22+24-12-9-8+x , 解得 x=5, 即三項訓練都參加的人數(shù)為5.故選D.

方法點透

利用容斥原理先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，再把計數(shù)時重復計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復.

考點5 集合新定義

例7[河北石家莊二中2025月考］若 x\in A ,且 -x\in A,就稱 A 是伙伴關系集合，集合 M=\{-2,-1,0 1,2,3的所有非空子集中具有伙伴關系的集合的個數(shù)是 （B）

A.31 B.7 C.3 D.1

【解析】若 x=-2 則 -x=2 ，若 x=-1 則 -x=1 ，若 x=0 ， 則 -x=0 ，
則 \left|\bf\Pi-2 ,2\right\}\;,\left|\bf\Pi-1 ,1\right|\;,\left|\bf\Pi{0}\right|\;,\left|\bf\Pi-2 ,2 ,0\right|\;,\left|\bf\Pi-1 ,1 ,0\right|\;,\left|\bf\Pi-2 , 2 ,-1 ,1 , \{ -2 ,2 ,0 ,-1 ,1 \} 為伙伴關系集合，共7個. 故選B.

變式 71 (多選)對任意 {\boldsymbol{A}} ,{\boldsymbol{B}}\subseteq\mathbf{R} ，記 A{\circleddash}B=\{ x | x\in(A\cup B .x\not\in\left(A\cap B\right)\} ,并稱 A@B 為集合 A,B 的對稱差.例如：若 A=\{1,2,3\} B=\{2,3,4\} ，則 A{+}B=\{1,4\} 下列命題中，為真命題的是 （AB）

A.若 {\boldsymbol{A}} ,{\boldsymbol{B}}\subseteq\mathbf{R} 且 A{+}B=B ,則 A=\varnothing B.若 {\cal A} ,{\cal B}\subseteq{\bf R} 且 A{+}B={-} ，則 A=B C.若 {\cal A} ,{\cal B}\subseteq{\bf R} 且 \left(A\widehat{\uplus}B\right)\subseteq A ,則 A\subseteq B D.存在 {\boldsymbol{A}} ,{\boldsymbol{B}}\subseteq\mathbf{R} ,使得 A\oplus B\neq\complement_{\mathbb{R}}A\oplus\complement_{\mathbb{R}}B

【解析】對于A,因為 A\circled{+}B=B , 所以 B=\{ x\mid x\in(A\cup B) ,x\notin\left(A\cap B\right)\}\ ,
所以 A\subseteq B . 且 B 中的元素不能出現(xiàn)在 A\cap B 中,因此A=O ,故A正確;
對于B,因為 A{+}B=\emptyset , 所以 \varnothing=\{ x | x\in( A\cup B ) ,x\notin (AnB)}，
即 A\cup B 與 A\cap B 是相同的,所以 A=B , 故B正確；對于C,因為 \left(A\circledast B\right)\subseteq A , 所以 \mid x\mid x\in A\cup B,x\notin A nB\}\subseteq A ,所以 B\subseteq A ,故C錯誤；
對于D,由于 \widehat{\sf{l}}_{\mathtt{R}}A\bigoplus\widehat{\sf{l}}_{\mathtt{R}}B=\left\{ x\mid x\in\left[ \left(\upint_{\mathtt{R}}A\right)\cup\left(\upint_{\mathtt{R}}B\right) \right] ,x\notin\right. \big[ (\mathsf{\bar{L}}_{\mathtt{R}}A )\cap(\mathsf{\bar{L}}_{\mathtt{R}}B ) \big] \big\}=\big\{ x | x\in\mathsf{\bar{L}}_{\mathtt{R}}(A\cap B) ,x\notin\mathsf{\bar{L}}_{\mathtt{R}}(A\cup B) \big\} = \left| x \right|x\in\left( A\cup B \right),x\notin\left( A\cap B \right) \right| ,
{\widehat{\m}}\ A\bigoplus B=\left\{ x\mid x\in\left( A\cup B \right),x\notin\left( A\cap B \right) \right\} , 故 A{+}B= style{\hat{\zeta}}_{\scriptscriptstyleR}A\circled{+}\binom{}{}\binom{}{},B , 故D錯誤.故選AB.

方法點透

解決集合新定義問題，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，結(jié)合題目所給定義和要求轉(zhuǎn)化為已學知識。

第1練集合及其運算

刷基礎

1.［山西晉中2025月考］下列關系中： ?\mathbb{D}0\in\{0\} \begin{array}{r}{?\Omega?Q\left\{ 0 \right\},?\3?\left\{ 0,1 \right\}\subseteq\left\{ \left( 0,1 \right) \right\},?\left? 0 ,b \right? \right\}=}\end{array} \left\{ ( b ,a ) \right\} ,正確的個數(shù)為 （B）

A. 1 B.2 C.3 D.4【解析】對于 \Phi 因為 0 是 \{0\} 中的元素,所以 0\in\{{\mathfrak{O}}\}\ , 故 ① 正確;對于 \varnothing: 因為空集是任何非空集合的真子集，所以

{0},故②正確；

對于 ③ ：因為集合 \{ 0 ,1 \} 的元素為0,1，集合（0，1）的元素為（0，1），兩個集合的元素全不相同，所以0，1 {\big\}}\;,{\big(} 0 ,1 {\big)} {\big\}\; 之間不存在包含關系，故 \circled{3} 錯誤；
對于 \ensuremath{Q} ：因為集合 ( a ,b ) \} 的元素為 ( a ,b ) ，集合l（b，α）的元素為 ( b ,a ) ，兩個集合的元素不相同，所以\left\{ ( a ,b ) \right\} , \left\{ ( b ,a ) \right\} 不相等，故④錯誤.
綜上所述：正確的個數(shù)為2.故選B.

2.［浙江名校協(xié)作體2025開學考］已知集合 A= \{x | x>=slant1\} B=\{ x | 2x^{2}{-}5x{-}3{<}0 \} ，則 A\cup B= B

【解析]由 B=\{ x | 2x^{2}-5x-3<0 | = \Bigl\{ x \Bigl| -(1)/(2)<x<3 \Bigr\} 則A\cup B=\{ x\mid x>=slant1\mid\cup\left\{x\mid-{(1)/(2)}<x<3\right\}=\left\{x\mid x>-{(1)/(2)}\right\}. 故選B.

3.已知集合 A=\{ x | 2<x<4 \} ， B=\{ x | \mid x-4 |>1 \} ，則 A\cap(\complement_{\mathbf{R}}B)= （c)

A.(2,3) B. (3,4) C. [ 3,4) *(-∞ ,4)\cup(5 ,+∞ )

【解析】解不等式 \vert x-4\vert>1 得 x{<}3 或 x{>}5 得 B=\{x\vert x{<}3 或x>5},所 \therefore\complement_{\mathbb{R}}B=\{ x | 3<=slant x<=slant5 \}\;, 所以 A\cap(\complement_{\mathbb{R}}B)=\{ x | \displaystyle3<=slantx<4\big\}=\big[ 3 ,4 \big). 故選C.

4.［湖北聯(lián)考2025開學考］設集合 M=\{ x\mid x=2n+ ,n\in\mathbf{Z} \smash{\mathscr{\phi}} ,N=\left\{ x \vert x =3n+1 ,n\in\mathbf{Z} \right\} ,P=\left\{ x \vert x=6n^{+}\right\} 1 ,n\in\mathbf{Z} \} ，則 （C）

A. M\subseteq P B.NCPC. P=M\cap N D.M\cap N{=}\emptyset 【解析】因為 6n+1=2\left(\ 3n\right)+1=3\left(\ 2n\right)+1 , 所以 P\subseteq M 且 P\subseteq N, 所以 {\cal P}=M\cap{\cal N}. 故選C.

5.設集合 M=\left\{\begin{array}{l l}{1,3,a {+}2 \right\} N=\{\ 1 ,a^{2} \} ,若 M\cap N= {1,4},則 a= （c)

A.-2 B.0 C.2 D. ±2 【解析】集合 M=\left\{ 1 ,3 ,a+2 \right\} ,N=\left\{ 1 ,a^{2} \right\} , \tilde{r}/\; M\cap N= {1,4},則 a+2=a^{2}=4 , 經(jīng)驗證 a=2 符合題意,所以 a= 2.故選C.

6.［河南新鄉(xiāng)2025模擬]已知集合 A=\{ x | x^{2}>=9 \} ，B=\{ x | 2x<a \} ，若 B\subseteq A ,則實數(shù) \footnote{T w o t y p i c a l a p p l i c a t i o n s c e n a r i o s f o r t h e p r o p o s e d s y s t e m a r e h e a l t h c a r e,a n d l o g i s t i c s a n d w a r e h o u s i n g,i n w h i c h m u l t i p l e I o T d e v i c e s a r e d e p l o y e d c l o s e t o t h e r e c e i v e r a n d t h e t i m e d e l a y b e t w e e n t h e d i r e c t l i n k a n d b a c k s c a t t e r l i n k i s t h u s n e g l i g i b l e.} 的取值范圍是(A）

A. (-∞ ,-6] B ~\left~\left~\left(~-∞~,-2\right] C. [3,+∞] D.\left[6,+∞\right)

【解析】由題意可知 A=\left(\;-∞\;,-3\;\right]\cup\left[\;3 ,+∞\;\right),B= \left( -∞ ,{(a)/(2)}\right) ，由 B\subseteq A , 可得 {(a)/(2)}<=slant- 3 . 解得 a<=slant-6. 故選A.

7.已知集合 A=\{\;x\in\mathbf{N}^{*}\;\vert\;x^{2}-5x-14<0\;\}\;,B=\{\;x\mid\; \log_{2}( x-2 )<2 \} .則圖中陰影部分表示的集合為（D）

A.{3,4,5} B.{1,2}C.3,4,5,6} D. {1,2,6}【解析】由題 A=\left\{ x\in\mathbf{N}^{\ast}\mid x^{2}-5x-14<0 \right\}=\left\{ x\in\mathbf{N}^{\ast}\mid-2<x< 7!=\{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 \} ，因為函數(shù) γ=\log_{2}{x} 單調(diào)遞增,所以 B=\{ x | \log_{2}( x-2 )<2 \} = \{ x | 0<x-2<2^{2} \} = \{ x | 2<x<3 \} 61,所以 A\cap B=\{ 3 ,4 ,5 \}\ . ,所以圖中陰影部分表示的集合為 A\cap\complement_{\mathbb{R}}B=\left\{\ 1,2,6\right\}. 故選D.

8.定義集合 A ,B 的一種運算： {\cal A}(\bigotimes{\cal B}=\{\:x\:|\:x=b^{2}-a a\in A ,b\in B \backslash ,若 A=\{ 1 ,4 \} ， B=\{-1,2\} ，則 A\triangleB 中的元素個數(shù)為 （c)

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】因為 A=\left\{ 1 ,4 \right\} {,}B=\left\{ -1 ,2 \right\} {,}
當 a=1 ,b=-1 時 ,x=b^{2}-a=0
當 a=1 ,b=2 時 ,x=b^{2}-a=3 ，
當 a=4,b=-1 時 ,x=b^{2}-a=-3 ,
當 a=4{,}b=2 時 ,x=b^{2}-a=0
所以 A\triangle B=\{ 0 ,-3 ,3 | ，故 A{x}B 中的元素個數(shù)為 3. 故選C.

9.為了增強身體素質(zhì)，某班學生積極參加學校組織的體育特色課堂，課堂分為球類項目A、徑賽項目B 、其他健身項目 C_{*} 該班有25名同學選擇球類項目 A ,20 名同學選擇徑賽項目 B,18 名同學選擇其他健身項目 C ;其中有6名同學同時選擇 A 和 B,4 名同學同時選擇 A 和 C,3 名同學同時選擇 B 和 C, 若全班同學每人至少選擇一類項目且沒有同學同時選擇三類項目，則這個班的同學人數(shù)是 （B）

A.51 B.50 C.49 D.48【解析】由題意 ,\operatorname{card}(A)=25 ,\operatorname{card}(B)=20 ,\operatorname{card}( C )= 18 ,\operatorname{card}\left( A\cap B \right)=6 ,\operatorname{card}\left( A\cap C \right)=4 ,\operatorname{card}\left( B\cap C \right)=3 , 因為全班同學每人至少選擇一類項目且沒有同學同時選擇三類項目，所以這個班的同學人數(shù)是 \operatorname{card}(A\cup B\cup C)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)+\operatorname{card}( C )-\operatorname{card}\left( A\cap B \right)-\operatorname{card}( A\cap B) -\operatorname{card}( A\cap B) C)\operatorname{-card}(B\cap C)=25+20+18-6-4-3=50. 故選B.

10.設集合 M=\left\{ a \vert x^{2}-a=1 ,1<=slantx<=slant4 ,x\in{\bf Z} \right\} ，則 M 的子集的個數(shù)為_16·

【解析】由題意得 ,M=\left\{ a\mid a=x^{2}-1 ,1<=slantx<=slant4 ,x\in{\bf Z} \right\}= 0,3,8,15}，集合 M 中有 4 個元素 ,M 的子集的個數(shù)為 2^{4}=16.

11.［遼寧七校2025聯(lián)考］設 A=\{ x {\mid}x^{2}{-}5x{+}4{=} 0 \} ，B=\{ x | a x{-1}=0 \} ，若 A\cup B=A ,則實數(shù) ^{a} 的取值集合為 \left\{0,1,{(1)/(4)}\right\}

【解析】由 A=\{ x\mid x^{2}-5x+4=0 \} 可得 A=\{ 1 ,4 \}\;, 由于A\cup B=A . 故 B=\{1\}\{4\},O 因此若 B=\{\mid1\mid,**\ a-1= 0{\Rightarrow}a=1; 若 B=\{ 4 \} ,\therefore 4a-1=0{\Rightarrow}a={(1)/(4)}; 一;若B=，\therefore a=0 , 故實數(shù) a 的取值集合為 \Big\{0,1,(1)/(4)\Big\}.

12.已知 P,M,N 是三個集合,且滿足 P=\{ 1 ,2 ,3 ,4 5\} M{\subseteq}P,N{\subseteq}P ,則滿足條件的有序集合對( M ， N )的總數(shù)是_1024.（用數(shù)字作答）

【解析】集合 P=\{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 \} 的子集共有 2^{5}=32 （個），因為 M\subseteq P,N\subseteq P, 所以集合M有32種情況，集合 N 有32種情況，所以滿足條件的有序集合對M,N) 的總數(shù)是 C_{32}^{1}xC_{32}^{1}=32x32=1~024

刷提升

13.［東北三省三校2025月考］已知 M,N 為全集 U 的非空真子集,且 M,N 不相等，若 (\complement_{U}M)\cup N{=} U ,則 （B）

A. N\subseteqM B.\:M\cup N=N
C. (\complement_{U}M)\cap N=\emptyset\qquad\quadD. M\cup(\complement_{U}N)=U

【解析】因為 (\complement_{U}M)\cup N{=}U, 等價于 \mathbf{\Psi}_{U}\mathbf{\Psi}_{N}\subseteq[\mathbf{\Psi}_{U}M, 等價于 M\subseteq N, 且 M,N 不相等，可知集合 M 是集合 N 的真子集,故A錯誤；

第一章集合與常用邏輯用語、不等式且 M\cup N=N, 故B正確;據(jù)此作出Venn 圖,如圖，可知 (\complement_{U}M)\cap N\neq\emptyset,M\cup(\complement_{U}N)\neq U_{+} 故 C,D 錯誤.故選B.

14.（多選）[湖北部分高中聯(lián)考協(xié)作體2025期中]當兩個集合中一個集合為另一個集合的子集時，稱這兩個集合構成“全食”；當兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱這兩個集合構成“偏食”.對于集合 A=\left\{-3 ,0 ,{(1)/(3)},1\right\},B=\left\{ x \right\} \left( a x+1 \right) \left( x {-} a \right)=~0 \right\} ，若 A 與 B 構成“全食”或“偏食”，則實數(shù) ^{a} 的取值可以是（ACD）

A.-3 B.~-(1)/(3)
C.0 D.1

【解析】當 a=0 時 ,B=\{\;x\;\;\;\vert\;\;(\;a x+1\;)\;(\;x-a\;)=\;0\;\}\;= 0}，當 a\neq0 時 ,B=\{\begin{array}{l}{x}\end{array}\}\ (\ a x+1\ )\ (\ x-a\ )=\ 0\ \}\ = \left\{a,-{(1)/(a)}\right\} 對選項 A:若 a=- 3 ,B=\left\{-3 ,{(1)/(3)}\right\}, 此時 B\subseteq A\;. 滿足；
對選項B:若 a=-{(1)/(3)},B=\left\{3 ,-{(1)/(3)}\right\}, 此時 A\cap B=\emptyset 不滿足;對選項C:若 \scriptstyle a = 0,B = \{ 0 \} ,此時 B\subseteq A 滿足； 對選項D:若 a=1 ,B=\{ -1 ,1 \} , 此時 A\cap B=\{1\}\neq\emptyset, 滿足.故選ACD.

講常用邏輯用語

溫習 知識梳理

1.命題

用語言、符號或式子表達的，可以 判斷真假的陳述句叫做命題,其中_判斷為真_的語句叫做真命題，_判斷為假 的語句叫做假命題.

2.充分條件、必要條件與充要條件的概念

3.全稱量詞和存在量詞

（1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“ \forall ”表示。(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“三表示.

4.全稱量詞命題、存在量詞命題的否定

常用結(jié)論

1.命題 p 與它的否定 ^7p 真假性相反.
2.若 p 是 q 的充分不必要條件，則 q 是 p 的必要 不充分條件；若 p 是 q 的必要不充分條件，則 q 是 p 的充分不必要條件.
3.若 x\in A 是 x\in B 的充分條件，則 A\subseteq B ；若 x\in A 是 x\in B 的必要條件，則 A\supseteq B ；若 x\in A 是 x\in B 的充分不必要條件，則 A\subsetneq B ；若 x\in A 是 x\in B 的 必要不充分條件，則 A {\stackrel{\triangledown}{\equiv}} B
4.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量 詞命題的否定是全稱量詞命題.

基礎自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內(nèi)打“√”或“×”).

（1）“至少有一個三角形的內(nèi)角和是 180° ”是全稱量詞命題. （×）

提示：命題含有存在量詞“至少有一個”，所以該命題是存在量詞命題，錯誤.

(2)已知 p:x>0 ,q:x>1 ，則 p 是 q 的充分不必要 條件. (×)

提示：由 p\not\Rightarrow q ,q\Rightarrowp , 得 p 是 q 的必要不充分條件，錯誤.

(3)設 a ,b ,c\in\mathbb{R} ,則 a^{2}+b^{2}+c^{2}=a b+a c+b c 的充要 條件是 a=b=c

(4)已知命題 p :存在一個四邊形，它的四個頂點不在同一個圓上,則命題 p 是真命題．（ \scriptstyle√(V) )

2.[人教A版必修一P22習題1.4T2（2)改編］“方程 \scriptstyle x^{2}-a x+1\;=\;0 有實根”是“ a>=slant2 "的（B）

A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件【解析】因為 \ x^{2}-a x+1=0 有實數(shù)根,故 \Delta=a^{2}-4>=0 , 解得 a>=slant2 或 a\lesssim-2 ，
因為 [2,+∞) 是 ( -∞ ,-2 ]\cup[ 2 ,+∞ ) 的真子集,故“方程 x^{2}-a x+1=0 有實根”是“ a>=slant2^{*s} 的必要不充分條件.故選B.

3.[人教A版必修一P31T3(3)改編］命題“ \forall x>=slant0 ，x+1{>}0^{\prime} 的否定是 （A）

A. \exists x>=slant0 ,x+1<=slant0
B. \forall x>=slant0,x+1<=slant0
C. \exists x{<}0 ,x{+}1{>}0
D. \forall x{<}0 ,x{+}1{>}0

【解析】命題“ \forall\;x>=0\;,x+1>0^{\prime\prime} 的否定是 \"\exists x {>=slant} 0 ,x {+} 1<=slant0^{\prime\prime} .故選A.

4.［人教A版必修一P35T9改編]已知集合 A=\{\ 1 ， \left.3,a^{2}\right\} B=\{ 1 ,a+2 \} ，若“ x\in A ”是“ x\in B ”的必要 不充分條件,則實數(shù) ^{a} 的值是_2·

【解析】由題意知 ,B\subsetneq A 所以 a+2=3 或 a+2=a^{2} , 解得a=-1 或 a=1 或 a=2, 當 a=±1 時， a^{2}=1 ,不符合題意；當 a=2 時 ,A=\{ 1 ,3 ,4 \} ,B=\{ 1 ,4 \} , 符合題意.綜上， a=2.

精講 考點剖析

考點1 充分條件與必要條件

角度1充分、必要條件的判斷

例1[東北三省2025聯(lián)考]已知 \{ a_{n} \} 是無窮數(shù)列，a_{1}=3 ,則“對任意的 m ,n\in\mathbf{N}^{*} ,都有 a_{{\scriptscriptstyle m}+n}=a_{{\scriptscriptstyle m}}+a_{{\scriptscriptstyle n}} ，是“ \left\{a_{n}\right\} 是等差數(shù)列”的 （A）

A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件【解析】對任意的 m ,n\in\mathbf{N}^{*} , 都有 a_{{\scriptscriptstyle m}+{\scriptscriptstyle n}}=a_{{\scriptscriptstyle m}}+a_{{\scriptscriptstyle n}} 令 m= 1,可以得到 a_{n+1}=a_{n}+a_{1} , 因此 \{a_{n}\} 是公差為 a_{1} 的等差數(shù)列；反之，若 \{a_{n}\} 為等差數(shù)列,取 a_{_n}=2n+1 , 則 a_{3}= ^{7},a_{2}=5,a_{1}=3 ，可得 a_{2+1}\neq a_{1}+a_{2}
故“對任意的 m ,n\in\mathbf{N}^{*} ,都有 a_{{\scriptscriptstyle m}+{\scriptscriptstyle n}}=a_{{\scriptscriptstyle m}}+a_{{\scriptscriptstyle n}}^{~~*} 是“ \{a_{_n}\} 是等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選A.

變式1［重慶2024月考］已知 p:x^{2}{-}2x{-}3{<}0 ,那么命題 p 的一個必要不充分條件是 （C）

A. -1<x<3 B. 0{<}x{<}2 C. -3{<}x{<}3 一 ).-2{<}x{<}1

【解析】由 x^{2}{-}2x{-}3{<}0 , 解得 -1<x<3 ,則 A項是命題 p 的充要條件,故 A 錯誤；
由 0{<}x{<}2{\Longrightarrow}{-}1{<}x{<}3 且 -1<x<3\Rightarrow0<x<2 , 則B項是命題 p 的充分不必要條件,故B錯誤；
由 -1<x<3\Longrightarrow-3<x<3 且 .-3<x<3\Rightarrow-1<x<3 , 則C項是命題 p 的一個必要不充分條件,故C正確；
由 -2<x<1\Rightarrow-1<x<3\;, 且 -1<x<3\Rightarrow-2<x<1 則D項是命題 p 的既不充分也不必要條件，故D錯誤.故選C.

+方法點透

充分條件、必要條件的常用判斷方法

(1)定義法：由 p{\Rightarrow}q ,q{\Rightarrow}p 進行判斷； (2)集合法：根據(jù) p ,q 對應的集合之間的包含關 系進行判斷.

角度2根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的值(范圍)

例2[江蘇揚州2025開學考］若不等式 \vert x+1 \vert<a 成立的充分條件是 0<x<4 ，則實數(shù) a 的取值范圍是 D

A. (-∞ ,-1] B.(- ,5] C.\left[-1,+∞\right] D.[5,+∞ ]

【解析】設不等式 \vert x+1\vert<a 的解集為 A,B=( 0,4) ，因為不等式 \vert x+1\vert<a 成立的充分條件是 0<x<4 , 所以B\subseteq A ,所以 A\neq\emptyset ,所以 a>0,
由 \mid x+1\mid<a\Rightarrow-a<x+1<a , 得 -a-1<x<a-1 , 所以 A= \left(-a-1,a-1\right).
由 B\subseteq A , 可得 \left\{\begin{array}{l l}{-a-1<=slant0 ,}\\ {\qquad\quad \exists a-1>=slant4}\end{array}\right.\Rightarrowa>=slant5. 故選D.

變式2［福建寧德2025模擬］甲、乙、丙、丁四位同學在玩一個猜數(shù)字游戲,甲、乙、丙共同寫出三個集合： A=\{ x | 0{<}\Delta x{<}2 \} ， B=\{\;x\;|-3<=slant x<=slant5\;\} ， C= \left\{x\mid0{<}x{<}{(2)/(3)}\right\} <}，然后他們?nèi)烁饔靡痪湓拋碚_描述“ \Delta ”表示的數(shù)字，并讓丁同學猜出該數(shù)字.以下是甲、乙、丙三位同學的描述：甲：此數(shù)為小于5的正整數(shù)；乙：“ x\in B^{:} ”是“ x\in A ”的必要不充分條件；丙：“ x\in C ”是“ x\in A ”的充分不必要條件，則\Delta ”表示的數(shù)字是 （c)

A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3

【解析】因為此數(shù)為小于5的正整數(shù)，所以 A=\{x\mid0< \Delta x{<}2 \}=\left\{x \left| 0{<}x{<}(2)/(\Delta)\right.\right\}.
因為“ x\in B^{\prime\prime} 是“ x\in A^{\prime} 的必要不充分條件 {\Omega}^{*} x\in C^{\prime\prime} 是{}^{*}{\boldsymbol{x}}\in A^{\prime\prime} 的充分不必要條件，
所以 C 是 A 的真子集 ,A 是 B 的真子集，
所以 (2)/(\Delta){<=}5 且 {(2)/(\varDelta)}{>}{(2)/(3)}, 解得 (2)/(5){<=}\Delta{<}3 所以“”表示的數(shù)字是1或2.故選C.

方法點透

根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的解題策略

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式（組)，最后進行求解；(2)要注意對區(qū)間端點值的檢驗.

考點 2 全稱量詞與存在量詞

角度1量詞命題的否定與真假判斷

例3（1)[廣東中山2025模擬］命題“ \exists x>0 ,x^{2}> x^{3} ”的否定是 (B

A. \forall x{>}0 ,x^{2}{>}x^{3} *\ \forall x{>}0 ,x^{2}{<=slant}x^{3}
C. \forall x<=0 ,x^{2}<=slantx^{3} D. \exists x{>}0 ,x^{2}{<=slant}x^{3}

【解析】命題“ \exists x>0 ,x^{2}>x^{3} ^{\ast\ast} 的否定是 \Lleftarrow\forall x>0 , x^{2}<=slant x^{3}* 故選B.

(2)[全國新課標 \mathbb{I}\otimes24*2 ] 已知命題 p\colon\forall x\in \mathbf{R} , | x+1 | >1 ;命題 q\colon\exists x{>}0 ,x^{3} {=} x. 則（B)

A. p 和 q 都是真命題\mathbb{B}.\neg\;p 和 q 都是真命題C. p 和 \neg q 都是真命題D. \neg p 和 \neg q 都是真命題

【解析】對于命題 \rho , 當 x=-1 時 ,\mid x+1\mid=0<1 所以 p 是假命題 ,7p 是真命題.對于命題 q, 若 \boldsymbol{x}^{3}=\boldsymbol{x} , 則 x= -1 ,0 ,1 , 所以滿足 {\bf\nabla}\exists x{>} 0 ,x^{3}=x^{ ,*}\;, 故 q 是真命題 ,^{+}q 是假命題，故選B.

變式 3\Vdash(~1~) ［山東青島2024三模]已知命題 p \forall x\in\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x{<}x 則 |\neg p 是 D

A. rm{l}x\notin\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x>xx\in\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x>xC. 3 x\notin\left(0,{(π)/(2)}\right) ,sin x≥xD.3x∈ ,sin x≥x【解析】因為命題 p\colon\forall x\in \left( 0 ,(π)/(2) \right) ,\sin x<x 為全稱量詞命題，則 \neg p 為 \colon\exists x\in\left( 0,{(π)/(2)} \right),\sin x>=x. 故選 D.

(2)（多選）[廣東深圳2024期末]下列命題中為真命題的有 ( AD

A .\:\forall x{>}0 ,x{+}(1)/(x){>=slant}2\:\:\:\:\:\:\:\:\:~B.~\exists x{<}0 ,x{+}(1)/(x){>}{-}2 C. \forall x{>}0,(x)/(1{+)x^{2}}{>=slant}(1)/(2)\qquadD. \exists x{<}0 ,(x)/(1{+)x^{2}}{<=slant}-(1)/(2) 【解析】對于 A , 利用基本不等式，可得 \forall x{>}0 ,x{+} (1)/(x){>=}

2√(x*{(1)/(x))}=2 ,
當且僅當 x=1 時,等號成立,故 A 正確；
對于B, \forall x < 0 , x + (1)/(x)\;=\;-\; \left( - x + (1)/(-x) \right)\;<=slant -2{√(-x*{(1)/(-x))}}=-2 ,當且僅當 x=-1 時,等號成立;即命題 \exists x{<}0 ,x{+}(1)/(x){>}{-}2 不成立,故B錯誤；
對于C,易知 \forall x{>}0 ,{(x)/(1+x^{2)}}{=}{(1)/(x{+){(1)/(x)}}}{<=slant}{(1)/(2{√(x*{/{1){x)}}}}}{=}{(1)/(2)}, 當且僅當 x=1 時，等號成立,故 C 錯誤；
對于D,易知當 x=-1 時 {(x)/(1+x^{2)}}=-{(1)/(2)}, 即x<0
1+x\displaystyle-(1)/(2), 所以D正確.
故選AD.

方法點透

1.對含有一個量詞的命題進行否定，先改變量詞,再否定結(jié)論.
2.要判斷全稱量詞命題“ \forall x\in M,p\left( x \right) ”是不是真命題，需要對集合 M 中的每一個元素 x ,p\left( x \right) 都成立；要判斷存在量詞命題“ \exists x\in M,p( x ) ”是不是真命題，只需要在集合 M 內(nèi)找到一個元素x ，使得 p(x) 成立即可.

角度2 已知命題的真假求參數(shù)

例4［陜西西安2025摸底考］若命題“3 x\in[-1 ， 3]， x^{2}-2x-a<=slant0^{:} ”為真命題，則實數(shù) ^{a} 可取得的最 小整數(shù)值是 (A)

A. -1 B.0 C.1 D.3【解析】因為 x^{2}-2x-a<=slant0 , 所以 x^{2}-2x<=slanta. 又 x^{2}-2x=(\;x-1\;)^{2}-1>=-1\;, 當且僅當 x=1 時,等號成立，若 \exists\;x\in\left[{ -1,3 }\right],x^{2}-2x-a<=slant0 則 a>=-1 ，所以實數(shù) a 可取的最小整數(shù)值是-1.故選A.

變式4[遼寧部分重點中學協(xié)作體2024三模］ 若“ \exists x\in\left( 0,+∞ \right) ,使 x^{2}-a x+4<0^{\prime} 是假命題，則 實數(shù) ^{a} 的取值范圍為_ \left(-∞,4\right]

【解析】因為 \;^{\ast}\;\exists\;x\in{\big(}\;0 ,+∞\;{\big)}\;, 使 x^{2}-a x+4<0^{ \prime\prime} 是假命題，

所以 \mathbf{\Delta}^{\ast}\;\forall\;x\in\left(\;0 ,+∞\;\right) ,x^{2}-a x+4>=0^{\ast} 為真命題，
其等價于 a<=slantx+(4)/(x) 在 (0,+∞ )上恒成立，
易知對 \forall x{>}0 ,x{+} (4)/(x){>=slant}4 , 當且僅當 x=2 時等號成立,
即實數(shù) a 的取值范圍為 \left(-∞,4\right]

+方法點透

已知命題的真假求參數(shù)的范圍，可以直接由命題的含義，利用函數(shù)的最大（小)值求參數(shù)的取值范圍；利用 p 與 \neg p 的關系，轉(zhuǎn)化成命題的真假求參數(shù)的取值范圍.

第2練 常用邏輯用語

刷基礎

1.[吉林省吉林市2024四模]已知命題 p\colon\forall x>1 ，|x|>1 ,則命題 p 的否定為 (A）

A.3x>1, |x|<=slant1 B *\ \exists x<=slant1 , \lvert x \rvert<=slant1 C. \forall x{>}1 , | x |{<}1 D *\ \forall x<=slant1 , \lvert x \rvert>1 【解析】命題 p:\forall x{>}1 , | x |{>}1 為全稱量詞命題,其否定 為 \exists\;x{>}1\;,\;|\;x\;|\;{<=slant}1. 故選A.

2.［福建龍巖2024三模］已知 a>0 ，則“ a>3 ”是a^{\ensuremath{\boldsymbol}{a}}>a^{\ensuremath{\boldsymbol}{3}} ”的 （A）

A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件 【解析】若 a>3 , 則函數(shù) γ=a^{x} 單調(diào)遞增,所以 a^{ a}>a^{ 3} , 充 分性成立；
當 a=(1)/(2)①,\left((1)/(2)\right)^{(1)/(2)}=(1)/(√(2))>(1)/(8)=\left((1)/(2)\right)^{3} ,滿足 a^{*}{>}a^{3} 但 a= (1)/(2)<3 ,不滿足必要性.
所以“a>3”是“ a^{\footnote{C o r r e s p o n d i n g a u t h o r.:h i r},o r m a i l i n o r.o r g.b r} 的充分不必要條件.故選A.

3.［河北承德2025聯(lián)考］已知命題 p\colon\forall x\in\mathbf{R},e^{x^{2}}>=slant
1;命題 q\colon\exists x{>} 1 ,\ln x{=} {-} ( x{-} 1 )^{ 2} ,則（C）

A. p 和 q 都是真命題\mathbf{B}.\urcorner p 和 q 都是真命題C. p 和 \neg\ q 都是真命題D.\neg\ p 和 \neg\ q 都是真命題【解析】對于命題 p , 因為 x^{2}>=0 ,所以e"≥1,所以命題p 為真命題 ,+\ p 為假命題；對于命題 q, 當 x>1 時，-( x{-} 1 )^{ 2}{<}0 ,\ln x{>}0 ,\ln x{=}-( x{-} 1 )^{ 2} 不成立,所以命題q 為假命題 ,\neg\;q 為真命題.故選C.

4.[廣東惠州2025質(zhì)檢]命題“對任意 x\in\left[1,2\right] x^{2}{-}a{<=slant}0° '為真命題的一個必要不充分條件是（B

A. a>=slant4 B. a>=slant2
C. a>=slant5 D. a>=slant6

【解析 λ x^{2}-a<=slant0 , 即 x^{2}<=slant a ,故任意 x\in\left[ 1 ,2 \right],x^{2}-a<=slant 0,即 a>=\left( x^{2} \right)_{{max}}=4 , 故“對任意 x\in\left[\;1 ,2\;\right],x^{2}-a<=slant0^{ \"} 為真命題的一個必要不充分條件是 a>=2. 故選B.

5.［甘肅天水2025月考］命題“ \exists x\in[1,2] x^{2}+\ln x- a\lesssim0^{\bullet} 為假命題，則 ^{a} 的取值范圍為（A）

A. ( -∞ ,1 ) B. ( -∞ ,0)
C.(-∞, \ln2+2 D. (-∞ ,\ln 2{+}4)

【解析】由題意 , ^{\scriptscriptstyle\omega}\;\forall\;x\in\left[\;1 ,2\;\right],x^{2}+\ln\;x-a>0 ^{\scriptscriptstyle^{\prime},} 為真命題,即 a{<}x^{2}{+}\ln{x} 在[1,2]上恒成立,令 * f( x )=x^{2}+\ln x , x\in\left[1,2\right] 則 f^{\prime}( x)=2x {+}{(1)/(x)}{>}0 在[1,2]上恒成立,即f( x )=x^{2}+\ln x 在[1,2]上恒為增函數(shù),則 f(x)_{\operatorname*{min}}= f(~l~)=~l~ ，故 a<1. 故選A.

6.[全國甲（理） 2024*9] 設向量 \mathbf{α}±b{a}=\left(\mathbf{α},\mathbf{\boldsymbol{x}}+1 ,\mathbf{\boldsymbol{x}} \right) ,\mathbf{\boldsymbol}= ^{( x ,2 )} ，則 ( C)

A. x=-3 是 \mathbf{\chi}_{a\perp b} 的必要條件B. x=-3 是 \mathbf{δ}a/b 的必要條件C. x=0 是 \mathbf{\xi}_{a\perp b} 的充分條件D. x=-1+√(3) 是 \mathbf{δ}a/b 的充分條件【解析】因為 a=\left(\;x+1\;,x \right) ,b=\left(\;x ,2 \right) , 所以 a\perp b 的充要條件為 a* b=0 即 (x+1) * x+2x=0 , 解得 x=0 或 x= -3,故A 錯誤,C 正確. a/b 的充要條件為 2\left( x+1 \right)= x^{2} ，即 x^{2}-2x-2=0 , 解得 x=1±{√(3)}\;, 故B,D 錯誤.故選C.

7.（多選）［四川達州2025聯(lián)考］已知命題“ \forall x\in [ 1 ,+∞ ) ,l {\mathfrak{n}} x-{(1)/(2x)}-a>=slant0 ”為真命題，則實數(shù) \boldsymbol{a} 的 值可以是 ( CD

A.2 B.0 C.-1 D.-2【解析】因為命題‘ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\forall~x\in[~1~,~+∞~)~,\ln~x-(1)/(2x)-a>=0^{\prime\prime} 為真命題,所以 Vx∈[1,+∞），a≤lnx- 令 f( x )= \ln x-(1)/(2x),x\in\left[ 1 ,+∞ \right) , 易得 f(x) 為增函數(shù)，當 x=1 時 \scriptstyle{f(x)} 有最小值 f( 1 )=-{(1)/(2)}, ,故實數(shù)α的取值范圍為\left(-∞\ ,-(1)/(2)\right] 故選CD.

8.［云南昆明2025月考］函數(shù) f( x )= 2sin \left( \omega x - (π)/(6))\left(\omega>0\right) 在區(qū)間 \left(-{(π)/(3)},{(π)/(3)}\right) 內(nèi)只有一個極值點的充分不必要條件是 A

A. 1<\omega<2 B.\ 1<\omega<=slant2
C. 2{<}\omega{\lesssim}4 D.\ 1<\omega\lesssim5

【解析】由 x\;\in\;\left(\;-{(π)/(3)},{(π)/(3)}\right) 且 \omega>0 ，得 \omega x-(π)/(6)\in \left(-(π\(zhòng)omega)/(3)-(π)/(6),(π\(zhòng)omega)/(3)-(π)/(6)\right) ,(π)/(16) j k \left| -(π\(zhòng)omega)/(3) -(π)/(6) \right|>\left|(π\(zhòng)omega)/(3)-(π)/(6)\right|, 由函數(shù) f( x ) 在區(qū)間 \mathbb{I}\left(-(π)/(3),(π)/(3)\right) 內(nèi)只有一個極值點，則\left\{-(3π)/(2){<=slant}-(π\(zhòng)omega)/(3){-}(π)/(6){<}{-}(π)/(2),\right. 解得 1<\omega<=slant2 , 結(jié)合選項,所以函數(shù) f(x) 在區(qū)I {\vec{\mathfrak{a}}}\left(-{(π)/(3)},{(π)/(3)}\right) 內(nèi)只有一個極值點的充分

9.（多選)下列說法中正確的有 AD

A.“ a{>}b{>}0° 是“ a^{2}{>}b^{2} ”成立的充分不必要條件
B.命題 p\colon\forall x>0 ,都有 x^{2}>0 ,則命題 p 的否定：三 x<=slant0 ,使得 x^{2}<=slant0
C.已知集合 M 滿足 \{ 1 ,2 \}\not\equiv M\subseteq\{ 1 ,2 ,3 ,4 \} ，則所有滿足條件的集合 M 有4個
D.設 A ,B 是兩個數(shù)集,若 A\cap B\not=\emptyset ,則 \exists x\in A ，使得 x\in B

【解析】對于A,當 a>b>0 時,能推出 a^{2}{>}b^{2} 而由 a^{2}{>}b^{2} 不能推出 a{>}b{>}0 ,\dot{\varkappa}\sigma ( -3 )^{2}{>}2^{2} ,\bar{\mathfrak{M}}{-}3{<}2 , 所以“ a{>}b{>}0° 是“ a^{2}{>}b^{2}{}^{,} 成立的充分不必要條件,故A正確；對于B,命題 p:\forall x>0 都有 x^{2}>0 則 p 的否定：彐x>0,使得x^{2}<=slant0 故B不正確;對于C,由 \{\;1 ,2 \} \subsetneq M\subseteq\{\;1 ,2 ,3 , 4},得集合 M 可以為 \{ 1 ,2 ,3 \}\ ,\{ 1 ,2 ,4 \}\ ,\{ 1 ,2 ,3 ,4 \}\ , 共3個,故C不正確；對于 D ,A ,B 是兩個數(shù)集,若AB\neq\varnothing, 即集合 A,B 存在相同的元素，則存在 x\in A , 使得 x\in B , 故D正確.故選AD.

10.［江西宜春2025月考］已知命題 p\colon\forall x\in\mathbf{R},x^{2}+ 4x+a+1>0 ,且 p 為真命題時 ^{a} 的取值集合為 A 設 B=\{ x | 2m<x<2+m \} 為非空集合，且 x\in A 是 x\in B 的必要不充分條件，則實數(shù) m 的取值范圍 為 \left[{(3)/(2)},2\right]

【解析】依題意,關于 x 的不等式 x^{2}+4x+a+1>0 恒成立,所以 \Delta=16-4\big( a+1 \big)<0 , 解得 a>3 ,所以實數(shù) a 的取值集合 A=\{a | a>3 | . 因為 x\in A 是 x\in B 的必要不充分條件,所以 B 為 A 的真子集.又 B=\{x\vert2m{<}x{<}2+ m\} 為非空集合,所以 *\binom{2m<2+m}{2m>=3 ,} {\hat{H}}(3)/(2)\llm<2 , 所以實數(shù) m 的取值范圍為 \left[{(3)/(2)},2\right]

11.[湖南永州2024段考］已知 p\colon\forall x\in\mathbf{R},2x{>}m\bigl( x^{2}+ 1) q\colon\exists x\in\mathbf{R} ,x^{2}+2x-m-1=0 ,若 p 真 q 假，則實數(shù) m 的取值范圍為_ ( -∞ ,-2) 一【解析 12x>m{\bigl(}\;x^{2}+1 {\bigr)} 等價于 m x^{2}{-}2x{+}m{<}0 ，因為命題 p 為真,所以不等式 m x^{2}{-}2x{+}m{<}0 恒成立,易知 ,m=0 時不滿足題意，所以 \binom{m<0}{4-4m^{2}<0} 解得 m{<}{-}1, 因為 q 為假,所以方程 x^{2}+2x-m-1=0 無實數(shù)解,所以 4+4(m+1)<0 解得 m{<}{-}2. 綜上,實數(shù) m 的取值范圍為 \left( -∞ ,-2 \right)

12.已知函數(shù) f(\mathbf{\omega})=2a x^{2}-a x-1 ,x\in\mathbf{R}. 若命題“ \forall x\in R,不等式 f( x )<0 恒成立”是假命題，則實數(shù) a 的取值范圍是_ (-∞,-8]\cup(0,+∞) 【解析】若 f( x)= 2a x^{2}-a x-1<0 恒成立,則當 a\neq0 時， ,a<0 且 \Delta=a^{2}+8a<0 , 解得 -8<a<0. 當 a=0 時，f(x)=-1<0 成立,所以 -8<a<=slant0 ，因為命題“ \forall x\in\mathbb{R} 不等式 f(x)<0 恒成立”是假命題,所以 a 的取值范圍為 ( -∞ ,-8 ]\cup( 0 ,+∞ ) .

刷提升

13.[北京2024三模]已知直線 l:k x-y+1-k=0 和\odot{\cal O}_{:}x^{2}{+}y^{2} {=} r^{2}( r{>}0 ) ，則“ r=√(2) ”是“存在唯一 k 使得直線 l 與 _{\odot O} 相切”的 (A)

A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件

【解析】當 r=√(2) 時,圓心到直線 l 的距離為 \scriptstyle{(\mid1-k\mid)/(√(1+k^{2))}}= {√(2)} , 故 1-2k+k^{2}=2+2k^{2} , 解得 k=-1 ,滿足存在唯一 k 使得直線 l 與 \odot O 相切”,充分性成立 ;l:k x-y+1-k= 0經(jīng)過定點 M(~l~,1) ,若 r=1 ，則 \odot{\cal O}:x^{2}+y^{2}=1 若 k= 0,此時直線 l:γ=1 . 直線 l 與 \odot O 相切，另一條切線x=1 斜率不存在，故滿足存在唯一 k 使得直線 l 與

第一章集合與常用邏輯用語、不等式\odot O 相切.當 M(~l~,1) 在 \odot O 上,滿足存在唯一 k 使得直線 l 與 \odot O 相切,故 r^{2}=1+1=2 , \mathfrak{R} r{>}0 , 解得 r= {√(2)} , 必要性不成立.故“ r=√(2)^{\prime\prime} 是“存在唯一 k 使得直線 l 與 _{\odot}O 相切”的充分不必要條件.故選A.

第

講不等式及其性質(zhì)

溫習 知識梳理

1.比較兩個實數(shù)的基本事實

a-b>0\leftrightarrowa\phantom{\dagger}\sum b\;;a-b=0\Leftrightarrow a=b\;;a-b<0\Leftrightarrow a <_b.

2.等式的性質(zhì)

性質(zhì)1如果 a=b ,那么_ b=a ； 性質(zhì)2如果 a=b ,b=c ,那么 a=c 性質(zhì)3如果 a=b ,那么 a± c=b± c 性質(zhì)4如果 a=b ,那么 a c=b c 性質(zhì)5如果 a=b ,c\neq0 ,那么 {(a)/(c)}={(b)/(c)}

3.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1 a>b\leftrightarrow\underline{{{\quad b<a}}}
性質(zhì)2 a{>}b ,b{>}c{\Rightarrow}\_a{>}c
性質(zhì)3 a{>}b{\Leftrightarrow}\underline{{a{+}{c}{>}b{+}c}}
性質(zhì)4 a>b ,c>0\Rightarrow\_a c>b c\_a>b ,c<0\Rightarrow\_a c<b c\_;;
性質(zhì)5 a>b ,c>d\Rightarrow\_a+c>b+d
性質(zhì)6 a{>}b{>}0 ,c{>}d{>}0{\Rightarrow}\_a c{>}b d
性質(zhì)7 a{>}b{>}0{\Rightarrow}a^{n}{>}b^{n}\big( n\in\mathbf{N},n{>=slant}2 \big)

常用結(jié)論

1.倒數(shù)的性質(zhì)

(3)a>b>0,0<c<d= b C d
(4)0<a<x<b或 a{<}x{<}b{<}0{\Rightarrow}{(1)/(a)}{>}{(1)/(x)}{>}{(1)/(b)}.
2.分數(shù)的性質(zhì)
若 a{>}b{>}0 ,m{>}0 ，則
\begin{array}{l}{{(1)\displaystyle(b)/(a){<}\displaystyle(b{+}m)/(a{+)m},\displaystyle(b)/(a){>}\displaystyle(b{-}m)/(a{-)m}( b{-}m{>}0 ) ;}}\\ {{(2)\displaystyle(a)/(b){>}\displaystyle(a{+}m)/(b{+)m},\displaystyle(a)/(b){<}\displaystyle(a{-}m)/(b{-)m}( b{-}m{>}0).}}\end{array}

基礎自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內(nèi)打“√”或“ x'"

(1)若 (a)/(b){>}1 ,則 a{>}b 提示:取 a=-2,b=-1 ,滿足 (a)/(b){>}1 ,√(\eta) a{<}b , 錯誤.

(2)若 a c=b c ,則 a=b 提示：取 a=2 ,b=1 ,c=0 , 滿足 a c=b c ,\bar{m}~a\neqb , 錯誤.

(3) a{>}b{\leftrightarrow}a c^{2}{>}b c^{2} 提示：由 a>b , 當 c=0 時,推不出 a c^{2}{>}b c^{2} , 錯誤.

(4)若 a{>}b{>}c ，則 (1)/(a){<}(1)/(b){<}(1)/(c) 提示：取 a {=} 2 ,b {=} 1 ,c {=} {-} 1 , 滿足 a>b>c ,\bar{\eta}(1)/(c)<(1)/(a)<(1)/(b), 錯誤.

領航計劃高考總復習數(shù)學

2.（多選）［人教A版必修一P43T8改編］下列命題是真命題的是 (CD 一

A.若 a{<}b{<}0 ，則 a^{2}{<}b^{2} B.若 a{<}0{<}b ，則 a b<a^{2}<b^{2} C.若 a>b>0 ，則 (1)/(a)<(1)/(b) D.若 a{>}b{>}0 ,c{<}0 ，則 (c)/(a){>}(c)/(b)

【解析】對于A選項，因為 a<b<0 所以 -a>-b>0 . 所以
(-a)^{2}{>}(-b)^{2} , 即 a^{2}{>}b^{2} ,A 錯誤；
對于 B 選項,取 a=-1,b=1 則 a b=-1,a^{2}=b^{2}=1,B 錯誤;
對于C選項，因為 a>b>0 ，所以 {(1)/(a)}<{(1)/(b)}. <,C正確;
對于D選項,因為 a>b>0 , 所 \nuλ(1)/(a)<(1)/(b),λ\;c<0 , 所以,D正確.故選CD.h

3.（多選）［人教A版必修一P43T5改編]已知實數(shù) x ,y 滿足 1<x<6 ,2<y<3 ,則 ( ACD

A * 3{<}x{+}y{<}9 \}.-1{<}x{-}y{<}3 C.2<xy<18 *(1)/(3)<(x)/(y)<3

【解析】因為 1<x<6 ,2<y<3 , 所以 3<x+y<9 ,2<x y<18 , A,C選項正確;
由 -3<-y<-2 , 得 -2<x-y<4 ,B 選項錯誤；由 |(1)/(3)<(1)/(y)< {(1)/(2)}, (1)/(3){<}(x)/(y){<}3 ,D 選項正確.
故選ACD.

4.[人教A版必修一P43T3(1)改編]設 M=2x^{2}+9x+5 ，N{=}x^{2}{+}5x{+}1 ,則 M 與 N 的大小關系為_ M>=N 【解析】根據(jù)題意,兩式作差得( (2x^{2}+9x+5)-(\ x^{2}+5x+ 1)=x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}>=0 . 所以 M>= N.

精講 考點剖析

考點1 數(shù)（式）的大小比較

例1若 a<0 ,b<0 ，則 p=(b^{2})/(a)+(a^{2})/(b) 與 \scriptstyle q = a + b 的大小關系為 B

【解析】由題得 p-q={(b^{2})/(a)}+{(a^{2})/(b)}-a-b={(b^{2}-a^{2})/(a)}+{(a^{2}-b^{2})/(b)}= (( b-a )^{ 2}( b+a ))/(a b).
因為 a<0 ,b<0 , 所以 a+b<0 ,a b>0 ,( b-a )^{2}>=0 . 所以 p- q<=slant0 , 即 p<=slantq. 故選B.

變式1設 a {=} 0.\ 1e^{0. 2} c=0.2e,則下列選項正確的是 （BA. c{<}b{<}a B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b

考點2 不等式的基本性質(zhì)

例2（1)[北京師范大學第二附屬中學2025開學考]若 a{<}b 且 a b\neq0 ,則下列不等式中一定成立的是 (C）

【解析】因為 a-b=(1)/(10)x( e^{0.2}-1 )>0 , 所以 a{>}b.
因為 c{-}b {=}(1)/(10){x}(2e^{0.1}{-}1) {>}0 , 所以 c{>}b.
R(a)/(c){=}(1)/(2)e^{0.1} ,sqrt[π]{\eta} {e}{<}2^{10} ,\rlap{/}β \hat{γ} \nu\chi e^{0.1}{<}2 ,
所以 (a)/(c){=}(1)/(2){\bf e}^{0.1}{<}(1)/(2){x}2{=}1 , 故 a<c , 所以 b<a<c. 故選B.

方法點透+比較大小的常用方法：

(1)作差法： ① 作差； ② 變形； ③ 定號； ④ 得出結(jié)論.(2)作商法（前提是兩式同號）： ① 作商； ② 變形； ③ 判斷商與1的大小； \ensuremath{Q}) 得出結(jié)論.

【解析】A：當 a{<}0{<}b 時 ,(1)/(a){<}0{<}(1)/(b), 故A錯誤；B：當 a {=} {-}2 ,b {=} {-} 1 時，滿足 a{<}b ,√(\eta)(b)/(a){=}(1)/(2){<}1 ，此時 \xrightarrow[a]b 1不成立,故B錯誤；

\mathbb{C}:a^{3}-b^{3}=(\ a-b\ )\ (\ a^{2}+a b+b^{2}\ )=(\ a-b\ )\ *\ \left[\ \left(\ a+{(b)/(2)}\right)^{2}+\right. (3)/(4)b^{2} \Bigr]\;,
因為 a<b , 所以 a-b<0 , 則 a^{3}-b^{3}<0 ，即 a^{3}<b^{3} , 故C正確；
D:當 a=-2 ,b=-1 時，滿足 a{<}b 但lal<lbl不成立,故D錯誤.故選C.

(2)(多選）設 b>a>0 ,c\in\mathbb{R} ,則下列不等式中正確的是 （AC）

a^{(1)/(2)}{<}b^{(1)/(2)} B. {(1)/(a)}-c<{(1)/(b)}-c C.(a+2)/(b+2)>(a)/(b) D. a c^{2}{<}b c^{2}

【解析】因為 b>a>0 ,c\in\mathbb{R} ,{\dot{\ast}}{\dot{\chi}}{√(b)}>{√(a)}>0 ,{(1)/(a)}>{(1)/(b)}.
對于 A,a^{(1)/(2)}{<}b^{(1)/(2)} 故A正確；
對于B,由于 {(1)/(a)}>{(1)/(b)}, {(1)/(a)}-c>{(1)/(b)}-c ,故B錯誤;
對于 C ,(a+2)/(b+2)-(a)/(b)=(2( b-a))/(b( b+2 )), 因為 b>a>0 , 所以 b-a>0 故 (a+2)/(b+2)-(a)/(b)=(2( b-a ))/(b( b+2 ))>0 ,故C正確；
對于D,若 c=0 ，則 a c^{2}=b c^{2}=0 ，故 D 錯誤.故選AC.

變式 z\nu(1) [河南駐馬店2024模擬]已知 a>b>c> 0,則下列說法一定正確的是 D

A. a{>}b{+}c B. a^{2}{<}b c
C. a c{>}b^{2} D, a b{+}b c{>}b^{2}{+}a c

考點3 不等式性質(zhì)的綜合運用

例3[江蘇南通2025模擬]設 x ,y 為實數(shù)，且滿足3<=slantx y^{2}<=slant8 ,4<=slant(x^{2})/(y)<=slant9 ,則 |(x^{3})/(y^{4)} 的最大值為（A

A.27 B.24 C.12 D.32【解析】由 3<=slant x y^{2}<=slant8 ，得 (1)/(8){<=slant}(1)/(x y^{2)}{<=slant}(1)/(3), 4<=slant(x^{2})/(y)<=slant9 所以 16<=slant(x^{4})/(y^{2)}<=slant81 ，所以 *{(1)/(8)}x16<=slant{(1)/(x y^{2)}}x{(x^{4})/(y^{2)}}<=slant{(1)/(3)}x81 ，即 2<=slant (x^{3})/(y^{4)}{<=}27 ，所以 (x^{3})/(y^{4)} 的最大值為27.故選A.

變式3［福建寧德2025開學考］已知 -1<x-y<4 ，2<x+y<3 ,則 3x{+}y 的取值范圍是_（3,10）【解析】設 3x+y=m{\big(} x+y {\big)}+n{\big(} x-y {\big)}={\big(} m+n {\big)} x+{\big(} m-n {\big)} y ( m ,n\in\mathbb{R})\;,

【解析】當 a=3 ,b=2 ,c=1 時 ,a=b+c , 且 a c{<}b^{2} , 故 A,C 項錯誤；
因為 a>b>0 ,a>c>0 , 所以 a^{2}{>}b c ,故B項錯誤；
a b+b c-\left({\;b^{2}+a c }\right)= \left({\;b-c }\right) \left({\;a-b }\right) >0 , 故D項正確.故選D.

(2)（多選)［湖南長沙2024模擬]設 \scriptstyle a , b ,c ,d 為實數(shù),且 a{>}b{>}0{>}c{>}d ,則下列不等式正確的有(AD

【解析】對于A,由 0>c>d 和不等式性質(zhì)，可得 c^{2}<c d, 故A正確；
對于B,若取 a=2 ,b=1 ,c=-1 ,d=-2 ,
則 a-c=3 ,b-d=3 ,所以此時 a-c=b-d , 故B錯誤；對于C,若取 a=2 ,b=1 ,c=-1 ,d=-2 ,
則 a c=-2 ,b d=-2 , 所以此時 a c=b d, 故 C 錯誤；
對于 D,因為 α>b>0,則 0{<}(1)/(a){<}(1)/(b), ,又 0>c>d,則 0{<}{-}c{<}{-}d, 由不等式的同向皆正可乘性得 ,-(c)/(a)<-(d)/(b), (c)/(a)-(d)/(b)> 0,故D正確.故選AD.

方法點透+

·判斷不等關系的常用方法

(1)利用不等式的性質(zhì)推導；
(2)利用特殊值法排除錯誤選項.

[m+n=3,所以 解得 m=2,n=1 [m-n=1,所以 3x+y=2\left(\;x+y \right)+\left(\;x-y \right). 因為 2<x+y<3 所以 4{<}2\left( x{+}y \right){<}6. 又-1<x-y<4,所以上述兩不等式相加，可得 3{<}2\left(\;x{+}y \right){+}\left(\;x{-}y \right){<}10 , 即 3<3x+y<10 , 所以 3x+y 的取值范圍是(3,10).

+方法點透

利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍的注意點：一是必須嚴格運用不等式的性質(zhì)；二是在多次運用不等式的性質(zhì)時避免擴大變量的范圍.解決的途徑是先確立所求范圍的整體與已知范圍的整體間的數(shù)量關系，再通過不等關系的運算求解.

第3練不等式及其性質(zhì)

刷基礎

1.下列說法正確的是

A.若 a b\neq0 且 a{<}b ，則 {(1)/(a)}>{(1)/(b)} B.若 a{>}b ，則 a^{2}{>}b^{2} C.若 ^{a>b,c>d} ，則 a c{>}b d D.若 a{>}b ,則 a+c>b+c

[解析 ]對于 A 選項，令 a=-1,b=1 則， {(1)/(-1)}<{(1)/(1)}, 所以 (1)/(a)> 不成立,故A錯誤；
對于B選項,令 a=- 1 ,b=- 2 , 則 \left(\mathbf{\Phi}-1\right)^{2}<\left(\mathbf{\Phi}-2\right)^{2}, 所以 a^{2}{>}b^{2} 不成立,故B錯誤；
對于C選項,令 a {=} -1 ,b {=} {-}2 ,c {=} 3 ,d {=} 1 , 則 (-1)x3< (-2)x1 ,所以 a c{>}b d 不成立,故C錯誤；
對于D選項,由 a{>}b 及不等式的可加性可得 a+c>b+c , 故D正確.故選D.

ln2·ln4<- (ln 8)2<(In 9）=(Iln 3)2,所以 In 2 ·\ln4{<}(\ln3)^{2} 且 \ln 3 * \ln 4 {>} 0 , 所以 a<b ，又因為 a= \log_{3}2>\log_{3}√(3)=(1)/(2),c=0.~5^{1.2}{<}0.~5^{1}=(1)/(2), 所以 a>c , 綜上，b>a>c. 故選D.

4.［江蘇南通2025模擬]若變量 x ,y 滿足約束條件3<=slant2x+y<=slant9 ,6<=slantx-y<=slant9 ，則 _{z}{=}x{+}2y 的最小值為（B）

A. -7 B.-6
C.-5 D. -4

【解析】設 z=x+2y=m\big( 2x+y \big)+n\big( x-y \big)\;, 故 2m+n=1 且m{-}n {\=} 2 , 解得 m=1 ,n=-1 , 故 z=x+2y=( 2x+y )-( x- y),由于 3<=slant2x+y<=slant9 ,6<=slantx-y<=slant9 , 所以 3+( -9 )<=slant2x+ γ-\left( x-γ \right)<=slant9+\left( -6 \right) , 即 -6<=slant x+2y<=slant3 故最小值為-6,此時 x=4,y=-5, 故選B.

5.若 -5{<}a{<}{-}3 ,1{<}b{<}4 ，則 (a)/(b) 的取值范圍為（A）

2.已知x,y為正實數(shù),則"+2< *{(y+2)/(x+2)}<{(y)/(x)} <”是“x<y”的

A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
【解析】由 \scriptstyle{(y+2)/(x+2)}<{(y)/(x)} 得 (y+2)/(x+2)-(y)/(x)=(2\left( x-y \right))/(x\left( x+2 \right))<0 <0,所以x<y,
則充分性成立；
由x<y,得x-y<0,則2 {(y+2)/(x+2)}-{(y)/(x)}={(2\left( x-y \right))/(x\left( x+2 \right))}<0 <0,所以< x+2則必要性成立.
綜上可知， *^{\ast}(y+2)/(x+2)<(y)/(x)* ”是“x<y”的充要條件.故選 C.

3.已知 a=\log_{3}2 ,b=\log_{4}3 ,c=0.\ 5^{1.2} ,比較 ^{a,b,c} 的大 小為 （D)

A. a{>}b{>}c B. a{>}c{>}b
C. b>c>a D. b>a>c

【解析】 | a{-}b {=}(\ln 2)/(\ln 3){-}(\ln 3)/(\ln 4){=}(\ln 2 {*} \ln 4{-}(\ln 3)^{2})/(\ln 3 {*) \ln 4}, 因為 \ln 2 ,\ln 4 {>} 0 , 所以 \ln 2 {+}\ln 4 {>} 2 {√(\ln 2 *)} \ln 4 , 即\begin{array}{l}{A.\left(-5,-{(3)/(4)}\right)}\\ {\ }\\ {B.\left(-{(4)/(3)},-{(1)/(5)}\right)}\\ {\ }\\ {C.\left(-{(11)/(3)},+∞\right)}\\ {\ }\\ {D.\left(-{(11)/(3)},0\right)\cup\left(0,+∞\ \right)}\end{array} 【解析】因為 -5<a<-3 ,1<b<4 , 所以 (1)/(4)<(1)/(b)<1 ,3<-a< 5，所 \varkappa(3)/(4)<(-a)/(b)<5\Rightarrow-5<(a)/(b)<-(3)/(4), 所以 (a)/(b) 的取值范圍為 \left(-5 ,-(3)/(4)\right) . 故選A.

6.［北京中國人民大學附屬中學2025期中]司機甲和乙的加油習慣不同，甲每次加固定量的油，乙每次加固定錢數(shù)的油.恰有兩次甲和乙所加油的單價相同，而這兩次的油價不同，若從這兩次加油的均價角度分析，則 (B）

A.甲更低 B.乙更低 C.甲和乙一樣高 D.不能判斷誰更高 【解析】設甲每次的加油量為 x,\zeta 每次的加油費為 y , 先后兩次油的單價分別為α,b,

則甲兩次加油的均價為 :(a x+b x)/(2x)=(a+b)/(2); 而乙兩次加油的 均價為 :(2y)/(/{y){a}+(y)/(b)}=(2a b)/(a+b), 由 |(a+b}2-/2{a+b}=/(a-b)^{2}, 因 a>0 ,b>0 , 且 a\neq b ，故得 /{a+b)/(2)> {(2a b)/(a+b)}, 即乙兩次加油的均價更低.故選 B.

7.（多選）[湖北武漢2024二模]下列說法正確的是(AD

A.若 a c^{2}{>}b c^{2} ，則 a{>}b
B. {(b)/(a)}+{(a)/(b)} 的最小值為2
C.~\forall a{>}b ,m{>}0 ,(b)/(a){<}(b+m)/(a{+)m}
D. {√(\sin^{2)x+1}}+{(1)/(√(\sin^{2)x+1)}} 的最小值為2【解析】對于A,若 a c^{2}{>}b c^{2} , 則 a>b ,A 正確；
對于B,因為不知道 (b)/(a)\neqq( 的大小關系，所以 (b)/(a)+(a)/(b)>= 2或 (b)/(a)+(a)/(b)<=-2 ,B 錯誤；
對于C,若 a>b ,m>0 則 (b)/(a)-(b+m)/(a+m)=(b\left( a+m \right)-a\left( b+m \right))/(a\left( a+m \right))= (m( b-a))/(a( a+m)) 且 m(\:b-a\:)<0 , 但是 a\left( a+m \right) 與0的大小不能確定,故C錯誤；
對于 D ,√(\sin^{2)x+1} +(1)/(√(\sin^{2)x+1)}\ge2 , 當且僅當 √(\sin^{2)x+1\;}= (1)/(√(\sin^{2)x+1)} 即 \sin x {=} 0 時取等號,D正確.故選AD.

8.［廣西南寧2024月考］設 a ,b>=slant0 ,a+b=1. 將 a^{2} ，b^{2},2a b 這三者中的最大值記為 M. 當 a,b 變化時， M 的最小值是 (4)/(9)

【解析】不妨設 a>= b , 則只需考慮 M=a^{2}{\bigl(} a^{2}>=2a b {\bigr)} 及M=2a b(~2a b{>}a^{2}~) 兩種情形.
若 a^{2}>=2a b ，則 (2)/(3){<=}a{<=}1 ，則 M=a^{2}>=(4)/(9); ;若a2<2ab,即b<=slant a<2b ，即 {(1)/(2)}<=slant a<{(2)/(3)}, 則 M=2a b=2a\left(\;1-a\;\right)= -2{\left(a-{(1)/(2)}\right)}^{2}+{(1)/(2)}>={(4)/(9)}.

第一章集合與常用邏輯用語、不等式綜上，當 a=(2)/(3),b=(1)/(3)\mathbb{H}, 時,M取到最小值 (4)/(9).

9.（10分)(1)已知 a>b>0 ,c<d<0 ，求證： (b)/(a-c)<(a)/(b-d) (2)已知 b c-a d>=slant0,b d>0 求證： (a+b)/(b){<=slant}(c+d)/(d).
【證明】(1)因為 c<d<0 , 所以-c>-d>0. 又 a>b>0,所以 a-c>b-d>0 所以 0{<}(1)/(a{-)c}{<}(1)/(b{-)d}. 又因為 0{<}b{<}a ,所以(b)/(a-c)<(a)/(b-d). (5分)
(2)因為 b d>0 ，要證 (a+b)/(b)<=slant(c+d)/(d), ,只需證明 d(a+b)≤b(c+d) ,展開得 a d+b d<= b c+b d
即 a d<=slant b c , 即 b c-a d>=0 , 因為 b c-a d>=0 成立,所以 (a+b)/(b)<= (c+d)/(d), 成立.(10分)

刷提升

10.以 max M 表示數(shù)集 M 中最大的數(shù).設 0{<}a{<}b{<}c{<} 1,已知 b>=slant2a 或 a+b<=slant1 ,則 \operatorname*{max}\left\{ b-a ,c-b ,1-c \right\} 的最小值為 (1)/(5) 【解析】令 b-a=m ,c-b=n ,1-c=p , 其中 m,n,p{>}0 , 所\scriptstyle\sum\limits_{i=1-m-n-p}^{j-b=1-n-p}, 若 b>=2a ,則 b=1-n-p>=slant2\left(\;1-m^{-}n^{-}p\;\right) , 故 2m+n+ p>=1 ，令 M=\operatorname*{max}\left\{ b-a ,c-b ,1-c \right\}=\operatorname*{max}\left\{ m ,n ,p \right\} , 2M≥2m,因此M≥n， 故4M≥2m+n+p≥1,則 M>=(1)/(4). [M≥p,若 a+b<=slant1 ，則 \scriptstyle1-n-p+1-m-n-p<=1 , 即 m{+}2n{+}2p>=slant1, M=\operatorname*{max}\left\{ b-a ,c-b ,1-c \right\}=\operatorname*{max}\left\{ m ,n ,p \right\} , M≥m,則 2M>=2n ,故 5M>=m+2n+2p>=1 ，則 M>=(1)/(5), ，當且僅[2M≥2p,當 m{+}2n{+}2p=1 且ma x\left\{m,n,p\right\}=(1)/(5) 時等號成立，如取 m=n=p=(1)/(5) 時可滿足等號成立.綜上可知 max b-α,c-b,1-cl的最小值為虧

講基本不等式

溫習 知識梳理

1.基本不等式： \scriptstyle{√(a b)} <=slant{(a+b)/(2)}

(1)基本不等式成立的條件：_ \underline{{a>0}},\underline{{b>0}} (2)等號成立的條件：當且僅當_ \underline{{a=b}} _時取等號；(3)其中, (a+b)/(2) 叫做正數(shù) a ,b 的算術平均數(shù)，√(a b) 叫做正數(shù) a ,b 的幾何平均數(shù).

2.利用基本不等式求最大值、最小值

已知 x{>}0 ,y{>}0

(1)如果積 x y 是定值 P ,那么當且僅當_ x=y 時,和 x+y 有最小值_ \underline{{2 √(P)}} _·（簡記：積定和最小)(2)如果和 x+y 是定值 S ,那么當且僅當 x=y 時,積 x y 有最大值 (S^{2})/(4) .(簡記：和定積最大)

常用結(jié)論

\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle1,\;a^{2}+b^{2}>=slant2a b\;(\;a , b \in {\bf R}\;)}\end{array}\right. ,當且僅當 a=b 時等
號成立.(b)/(a)+(a)/(b)>=2\big( a b>0\big) ，當且僅當 a=b 時等號成立.
3.\ a b<=slant\left({(a+b)/(2)}\right)^{2}<=slant{(a^{2}+b^{2})/(2)}(\mathbf{\sigma}a,b\in\mathbf{R}) ,當且僅當 a=b
時等號成立.\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}}<=slant√(a b)<=slant\cfrac{a+b}{2}<=slant√(\cfrac{a^{2)+b^{2}}{2}} \big( a>0 ,b>0 \big) 當
且僅當 a=b 時等號成立.

基礎自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內(nèi)打“√”或\mathbf{\omega}^{\prime\prime}\mathbf{\omega}^{\prime\prime} (1) (a+b)^{2}>=4a b. (2)函數(shù) f( x)=x+{(1)/(x)} 的最小值為2. X提示：當 x{>}0 時 , f( x )=x+{(1)/(x)}>=2{√(x*{(1)/(x))}}=2 , 當且僅當 x=1 時,等號成立；當 x{<}0 時 ,f( x)=x+{\cfrac{1}{x}}=- {\bigg(}-x+{\bigg)} {(1)/(-x)}\right)<=slant-2{√(\left(-x\right)*{(1)/(-x))}}=2 ，當且僅當 x=-1 時，等號成立.故 f(x) 無最小值,錯誤.

(3)“x>0且y>0"是“ (x)/(y)+(y)/(x)>=2^{\prime} ”的充要條件.

提示：當 x{>}0 且 y{>}0 時 ,{(x)/(y)}+{(y)/(x)}>=2{√({(x)/(y))*{(y)/(x)}}}=2 , 當且僅當 x=y 時，等號成立,故充分性成立；當 x=y=-1 時,滿足 (x)/(y)+(y)/(x)>=2 ，而此時 x<0 ,y<0 , 故必要性不成立,錯誤.

(4)函數(shù) f( x )={√(x^{2)+3}}+{(2)/(√(x^{2)+3)}} 的最小值是 2√(2) \overline{{{π}}}:√(x^{2)+3}+(2)/(√(x^{2)+3)}\ge2√(sqrt{x^{2)+3}*(2)/(√(x^{2)+3)}}=2√(2)*3 當且僅當 {√(x^{2)+3}}={(2)/(√(x^{2)+3)}}, 即 x^{2}=-1 時取等號， 所以等號不成立，故 {√(x^{2)+3}}+{(2)/(√(x^{2)+3)}}{>}2{√(2)} , 錯誤.

2.函數(shù) f\left( x \right)=(x^{2}+1)/(x)( x>0 ) 的最小值為 D

A. -1 B.0
C.1 D.2

【解析】根據(jù)題意可知 ,f(x)={(x^{2}+1)/(x)}=x+{(1)/(x)}>=2{√(x*{(1)/(x))}}= 2( [x>0 ] ），當且僅當 x=(1)/(x), 即 x=1 時等號成立.故選D.

3.［人教A版必修一P48練習T2改編]用一段長為50~m 的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長25 ~m~ ,則當圍成的矩形菜園面積最大時，這個矩形菜園的寬(矩形的較短邊)為 (B）

A. (15)/(2) m B. (25)/(2)~m~ C,10~m~ D.\;15~m~ 【解析】設矩形的寬為 x 米,矩形的面積為 S 平方米，則矩形的長為（50-2x）米，由題意知， ,0<x<=slant50-2x<=slant 25，解得 i(25)/(2){<=slant}x{<=slant}(50)/(3),

所以 S=x\left( 50-2x \right)=2x\left( 25-x \right)<=slant2\left((x+25-x)/(2)\right)^{2}=(625)/(2), 當且僅當 x=25-x , 即 x=(25)/(2) 時等號成立.故選B.

4.［人教A版必修一P49T5改編]設 x<0 ,則函數(shù)y=2-3x-(4)/(x) 的最小值為_ 2+4{√(3)} _，此時 _x 的值為 -{(2{√(3)})/(3)}

【解析】因為 x{<}0 , 所以 \scriptstyle-3x>0\_-{(4)/(x)}>0
所以 2-3x-{(4)/(x)}=2+{\biggl[}\left(\mathbf{\eta}-3x\right) + {\biggl(}\mathbf{\eta}-{(4)/(x)}{\biggl)}{\biggr]} >=slant2+ 2{√(\left(-3x\right) \left(-{(4)/(x))\right) }}=2+4{√(3)} , 當且僅當 -3x=- {(4)/(x)}, 即x=-(2√(3))/(3) 時等號成立,所以函數(shù) y=2-3x-(4)/(x) 的最小值為2+4√3,此時 x=-(2√(3))/(3).

精講 考點剖析

考點1 利用基本不等式求最值

角度1直接法

例1（多選)下列說法正確的是 CD

A.當 x{>}1 時， x+{(1)/(x)}>=slant2 B.當 x{<}0 時， x+{(1)/(x)}<-2 C.當 0{<}x{<}1 時 {√(x)}+{(1)/(√(x))}>2 D.當 x>=slant2 時 {√(x)}+{(2)/(√(x))}>=2{√(2)} 【解析】對于A,由基本不等式知 ,x+{(1)/(x)}>=2{√(x*{(1)/(x))}}= 2,當且僅當 x=(1)/(x), 即 x=1 時取等號,所以當 x>1 時，x+(1)/(x)>2 ,故A錯誤；對于B,顯然當 x=-1 時，有 x+(1)/(x)= -2,故B錯誤；對于 \operatorname{C},{√(x)}+{(1)/(√(x))}>=2{√({sqrt{x)}*{(1)/(√(x))}}}=2 , 當且僅

當 i√(x)=(1)/(√(x)), 即 x=1 時取等號,所以當 0{<}x{<}1 時 \scriptstyle{√(x)} + {(1)/(√(x))}>
2,故C正確；對于 \operatorname{D},{√(x)}+{(2)/(√(x))}>=2{√({sqrt{x)}*{(2)/(√(x))}}}=2{√(2)} , 當且
僅當√= {√(x)}={(2)/(√(x))}, 即 x=2 時取等號,故 D 正確.故選 CD,
變式1已知 a b=1 ，則 4a^{2}{+}9b^{2} 的最小值為_12
【解析】因為 a b=1 ,所以 4a^{2}+9b^{2}>=slant2√(4a^{2)*9b^{2}}=12 , √6 /6[4a2=9b2 2 2
當且僅當 即 或 時，等號[ab=1, 6 √63 3
成立,所以 4a^{2}{+}9b^{2} 的最小值為12.

方法點透

若條件和問題間存在基本不等式的關系，則直接應用基本不等式求解，注意使用基本不等式的條件。

角度2 配湊法

例2若 x{>}{-}1 ,則 (2x^{2}+4x+4)/(x+1) 的最小值為

【解析】當 x>-1 時 ,x+1>0 . 則 (2x^{2}+4x+4)/(x+1)=(2(x+1)^{2}+2)/(x+1)= 2(x+1)+{(2)/(x+1)}>=2{√(2( x+1 ) * {(2)/(x+1))}}=4 , 當且僅當 2\left(\ x+\right. 1)={(2)/(x+1)} 即 x=0 時取等號，所） λ(2x^{2}+4x+4)/(x+1) 的最小值為4.
變式2［北京部分校2025質(zhì)檢］已知 a>1 ,則 ^{a+} (100)/(a-1) 的最小值為_21,此時 \footnote{h t t p s://w w w.n g d c.n o a a.g o v/s t p/s p a c e-w e a t h e r/s o l a r-d a t a/s o l a r-f e a t u r e s/s o l a r f l a r e s/x-r a y s/g o e s/x r s/} 等于
【解析】因為 a>1 , 所以 a-1>0 , 所以 a+\cfrac{100}{a-1}=a-1+\cfrac{100}{a-1}+ 1>=slant2{√(\left(\;a-1 \right) * {(100)/(a-1))}}+1=21 , 當且僅當 a-1={(100)/(a-1)}, 即a=11 時等號成立.

+方法點透

將代數(shù)式進行適當變換，通過添項、拆項、變系數(shù)、湊因子等方法湊成和為定值或積為定值的形式，變換時要注意代數(shù)式的取值范圍，

角度3 常數(shù)代換法

例3［江蘇宿遷2025調(diào)研]若 a>0,b>0,a+2b=3 ， 則 {(3)/(a)}+{(6)/(b)} 的最小值為 A

A.9 B.18
C.24 D.27

[解析]根據(jù)題意可得 ,(3)/(a)+(6)/(b)=(1)/(3)(a+2b)\left((3)/(a)+(6)/(b)\right)= (1)/(3)\left(3+(6a)/(b)+(6b)/(a)+12\right)>=slant(1)/(3)\left(15+2√((6a)/(b)*(6b)/(a)) \right)=9 , 當且僅當 =,即a=b=1時,等號成立,所以= {(3)/(a)}+{(6)/(b)} 的最小值為9.故選A.變式3[河南湘豫名校2024聯(lián)考］已知點 P( x ,y ) 在以原點 o 為圓心,半徑為 r=√(7) 的圓上，則 {(1)/(x^{2)+1}}+ (4)/(y^{2)+1} 的最小值為 DB.(5+2√(2))/(9) C.(7)/(9) D.1

【解析】由題意可得，點 P 的坐標滿足 x^{2}+y^{2}=7, 所以 \big( x^{2}+1 \big)+\big( y^{2}+1 \big)=9 ,
\mathbb{H}{(1)/(x^{2)+1}}+{(4)/(y^{2)+1}}={(1)/(9)}\left[sf{(}x^{2}+1sf{)}+\left( y^{2}+1 \right) \right]\ *\ \left({(1)/({x)^{2}+1}} + \right. (4)/(y^{2)+1}\;\Bigg)\;=(1)/(9)\;\left[\;5 +(y^{2}+1)/(x^{2)+1} + (4( x^{2}+1 ))/(y^{2)+1}\;\right]\;>=slant(1)/(9)x\;\left[\;5\;+\right. 2√((y^{2)+1)/(x^{2)+1}x(4\big( x^{2}+1 \big))/(y^{2)+1}}\;\Big]=1 ,
當且僅當 i(y^{2}+1)/(x^{2)+1}=(4\big(x^{2}+1\big))/(y^{2)+1}, 即 x=±√(2) ,y=±√(5) 時取等 號.故選D.

方法點透·

將與常數(shù)等價的表達式代入到不等式中化簡，再利用基本不等式進行求解.

角度4消元法

例4已知正實數(shù) x ,y 滿足 x^{2}+3x y-2=0 ，則 2x+y 的最小值為 (A)

A.{(2{√(10)})/(3)} \begin{array}{l}{B.(√(10))/(3)}\\ {D.(1)/(3)}\end{array} C.{(2)/(3)}

【解析】因為正實數(shù) x,y 滿足 x^{2}+3x y-2=0 , 則 y=(2)/(3x)-
{(x)/(3)}, 則 2x+y=2x+(2)/(3x)-(x)/(3)=(5x)/(3)+(2)/(3x)>=2√((5x)/(3)*(2)/(3x))=(2√(10))/(3), 當且僅當 (5x)/(3){=}(2)/(3x) 即 x=(√(10))/(5),y=(4√(10))/(15){\#f} ，等號成立，所以 2x+y 的最小值為 {(2{√(10)})/(3)}. 故選A.
變式 4\Vdash 若正實數(shù) x,y,z 滿足 x^{2}+4y^{2}=z+3x y ,則當
3V最大時，2y= 的最大值是 A

【解析】]由x2+42=z+3xy,可得z=x2+42-3xy，則\scriptstyle{(3x y)/(x^{2)+4y^{2}-3x y}}={(3)/(/{x){y}+{(4y)/(x)}-3}}.

因為x>0,y>0,則 (x)/(y)+(4y)/(x)\ge2√((x)/(y)*(4y)/(x))=4, 當且僅當 \cfrac{x}{y}= 4y ,即 x=2y 時,等號成立，所以當 3取得最大值時，z=x2+42-3xy=2y”，此時 *(1)/(x)+(1)/(2y)(1)/(z)=(1)/(2y)+(1)/(2y)(1)/(2y^{2)}=(1)/(2)\Big((1)/(y)-1\Big)^{2}+(1)/(2)<=(1)/(2),\thinspace\thinspaceβ\eta 當 x=2,y=1,z=2 時 ,(1)/(x)+(1)/(2y)(1)/(z) 取得最大值 \quad*{(1)/(2)}. 故選A.

方法點透

當題目中的變量較多時，可以考慮消減變量，轉(zhuǎn)化為雙變量或單變量問題.

角度5 構造不等式法

例5[海南2024模擬]若正數(shù) a ,b 滿足 a b=2a+ {(1)/(2)}b+3 ,則 a b 的最小值為 C

A.3 B.6 C.9 D.12

【解析】因為 a,b 為正數(shù)，所以 a b=2a+(1)/(2)b+3>=slant 2√(2a*(1)/(2)b)+3=2√(a b)+3 , 當且僅當 2a=(1)/(2)b 時取等

考點2 基本不等式的綜合應用

角度1與基本不等式有關的恒(能)成立問題例6［北京2025開學考］若對任意正數(shù) _{x} ，不等式(2)/(x^{2)+4}<=slant(2a+1)/(x) 恒成立，則實數(shù) ^{a} 的取值范圍為\left[-(1)/(4),+∞\right)

【解析】由題意可知 ,(2)/(x^{2)+4}<=slant(2a+1)/(x),\:\mathbb{g}>=slant(2)/(x+/{4){x}}<=slant2a+1 對任意正數(shù) x 恒成立，貝 \mathbb{I}\left((2)/(x+/{4){x}}\right)_{max}<=slant2a+1. 由基本不等式可知 .x+(4)/(x)\ge2√(x*(4)/(x))=4( x>0 )\;, 當且僅當 x=2 時等號成立，則 (2)/(x+/{4){x}} 的最大值是 {(1)/(2)}, 所V ?(1)/(2)<=2a+1 , 解得 a>=slant-{(1)/(4)},

號,所以 (\ √(a b)\ )^{2}-2√(a b)-3>=0 , \mathbb{R}\mid\rho\left(\ √(a b)-3 \right)\ *\ \left(\ √(a b)+\right. 1)>=slant0 , 解得 √(a b)>=slant3 或 √(a b)<=slant-1 (舍去)，所以 a b>=slant9, 當且僅當 a=(3)/(2),b=6 時等號成立.故選C.變式5［福建莆田2025開學考］若實數(shù) x,y 滿足4x^{2}+y^{2}+x y=1 ,則 2x+y 的最大值為 (2{√(10)})/(5) 【解析】由 4x^{2}+y^{2}+x y=1 , 可得 1=4x^{2}+y^{2}+x y>=4x y+x y= 5xy,則 x y<=slant(1)/(5), 所以 \left(2x+y\right)^{2}=4x^{2}+y^{2}+4x y=1+3x y<=slant 1+{(3)/(5)}={(8)/(5)}, ，即(2x+y)2 即 (2x+y)^{2}<={(8)/(5)}, ，解得- - {(2{√(10)})/(5)}<=slant2x+y<=slant {(2{√(10)})/(5)}, 當且僅當 y=2x , 即 x=(√(10))/(10),y=(√(10))/(5)! 時，上式右邊等號成立,所以 2x+y 的最大值為 {(2{√(10)})/(5)}.

方法點透

尋找條件與變量之間的關系，通過重新分配，使用基本不等式，得到含有問題代數(shù)式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求出最值.

即實數(shù) a 的取值范圍為 \left[-{(1)/(4)},+∞\right)

變式6［福建寧德2025模擬]若兩個正實數(shù) x ,y 滿足 4x+y=2x y ,且不等式 x+(y)/(4){<}m^{2}{-}m 有解,則實數(shù) m 的取值范圍是 （B

A. \{m|-1<m<2\} B. \{ m |m<-1 或 m{>}2 C. \{m|-2<m<1\} D. \{m\}m{<}{-}2 或 m{>}1\}

【解析】由正實數(shù) x,y 滿足 4x+y=2x y 得 (1)/(x)+(4)/(y)=2 則 x+(y)/(4)=(1)/(2)\left((1)/(x)+(4)/(y)\right) \left(x+(y)/(4)\right)=(1)/(2)\left(2+(4x)/(y)+(y)/(4x)\right)>=slant (1)/(2)\left(2+2√((4x)/(y)*(y)/(4x)) \right)=2 , 當且僅當 (4x)/(y)=(y)/(4x), 即 y=4x=4 時取等號.
由不等式 +<m2-m有解,可得 m2-m>2,解得 m<^{-1} 或 m>2 , 所以實數(shù) m 的取值范圍為 \{\ m\}m<-1 或m{>}2\mid. 故選B.

·方法點透·

利用基本不等式求解不等式恒(能)成立問題，通常先分離參數(shù)，求解方法為(1)若 a>=slantf( x ) 恒成立,則 a>=slant f( x )_{\max} ，若 a>=slant f(\;x\;) 能成立，則 a>=slant{(3)/(2)} f(\v{r}_{x})\v{j}_{\operatorname*{min}} ;(2)若 a<=slantf( x ) 恒成立，則 a\lesssimf( x ) _{min} ，若a<=slantf( x ) 能成立,則 a\lesssimf( x )_{up{m a x}}

角度2利用基本不等式解決實際問題

例7［陜西西安2024模擬]某農(nóng)業(yè)園租用甲公司的 A 種收割機和乙公司的 B 種收割機收割某種農(nóng)作物.已知用9臺A種收割機和4臺 B 種收割機合作恰好用1天時間收割完一塊 M 畝的這種作物.現(xiàn)在用1臺A種收割機收割一塊 M 畝的這種作物，用1臺 B 種收割機收割另外一塊 M 畝的這種作物，如果兩塊地收割完畢后它們所用的天數(shù)之和最少，則用1臺A種收割機收割完 M 畝這種作物所需的天數(shù)為_15_，用1臺 B 種收割機收割完 M 畝這種作物所需的天數(shù)為_10·

【解析】設用1臺 A 種收割機收割完 M 畝這種作物所需的天數(shù)為 x , 用 1 臺 B 種收割機收割完M畝這種作物所需的天數(shù)為y,
依題意， (9)/(x)+(4)/(y)=1 ,則兩塊地收割完后它們所用的天數(shù)之和為
x+y=x\ \left({(9)/(x)}+{(4)/(y)} \right) +y\ \left({(9)/(x)}+{(4)/(y)} \right) ={(4x)/(y)}+{(9y)/(x)}+13>=slant
2√((4x)/(y)x(9y)/(x))+13=25 ,
當且僅當 (4x)/(y)=(9y)/(x) 即 2x=3y 時等號成立,與 (9)/(x)+(4)/(y)=1
聯(lián)立,解得 x=15 ,y=10.

變式7?[廣東韶關2024聯(lián)考]在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量 W （單位：平方米）的計算公式是 W=(\stackrel{\leftarrow}{E}+4)x(\stackrel{\rightarrowre}{Ji}+4) .在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整這塊場地所需的最少費用(單位：元)是 （C）

A.10 000 B.10 480
C.10 816 D.10 818

【解析】設矩形場地的長為 x 米,則寬為 (10\ 000)/(x) 米，故 W=\left(\begin{array}{l}{{x+4}}\end{array}\right)\ \left(\begin{array}{l}{{{(10\ 000)/(x)}+4}}\end{array}\right)\ =4x+{(40\ 000)/(x)}+10\ 016>=slant 2{√(4x*{(40\ 000)/(x))}}+10\ 016=10\ 816 , 當且僅當 4x=(40\ 000)/(x) 即 x=100 時,等號成立,所以平整這塊場地所需的最少費用為 1x10\ 816=10\ 816 元.故選C.

方法點透+

利用基本不等式求解實際問題時，要根據(jù)實際問題，設出變量，注意變量應滿足實際意義，抽象出目標函數(shù)的表達式，建立數(shù)學模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

課堂延伸：柯西不等式與權方和不等式

1.柯西不等式

(1)二維形式的柯西不等式
若 a,b ,c ,d 都是實數(shù),則 (\ a^{2}+b^{2}\ )\ (\ c^{2}+d^{2}\ )>=slant (a c{+}b d) ^{2} ,當且僅當 a d=b c 時，等號成立.
(2)三維形式的柯西不等式
若 a_{1} ,a_{2} ,a_{3} ,b_{1} ,b_{2} ,b_{3} 都是實數(shù)，則 (a_{1}^{2}{+}a_{2}^{2}{+}a_{3}^{2}) ( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2} )>=slant( a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} )^{ 2} ,當且僅當 (a_{1})/(b_{1)}= =時，等號成立。
( 3 ) n 維形式的柯西不等式
對于任意的 2n ( n\in\mathbf{N}^{\ast} ) ）個實數(shù) a_{1} ,a_{2} ,*s,a_{n} ,b_{1} ，b_{2},*s,b_{n} ,有 (\mathbf{\nabla}a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+*s+a_{n}^{2}) ( b_{ 1}^{2}+b_{ 2}^{2}+\dots+b_{ n}^{2} )>=slant

( a_{1}b_{1}{+}a_{2}b_{2}{+}{\dots+}a_{n}b_{n} ) ^{2} ，當且僅當 {\cfrac{a_{1}}{b_{1}}}={\cfrac{a_{2}}{b_{2}}}=*s={\cfrac{a_{n}}{b_{n}}} 時，等號成立.

2.權方和不等式

(1)二維形式的權方和不等式
若 a_{\scriptscriptstyle1} ,\;a_{\scriptscriptstyle2} ,\;b_{\scriptscriptstyle1} , b_{2} 為正實數(shù)，則有 (a_{1})/(b_{1)}+(a_{2})/(b_{2)}>=slant (sf{()/(√(a_{1))}+{√(a_{2)}} {\vphantom{(}} {\vphantom{)}}^{2} }{b_{1}+b_{2}} ,當且僅當 {(√(a_{1)})/(b_{1)}}={(√(a_{2)})/(b_{2)}} 時,等號成立.
( 2 ) n 維形式的權方和不等式
若 a_{i} ,b_{i} 為正實數(shù)( \;{};i=1,2,*s,n ) ，實數(shù) q>0 ，則

\sum_{i=1}^{n}\;(a_{i}^{q+1})/(b_{i)^{q}}>=(\big(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\big)^{q+1})/(\big(\sum_{i=1)^{n}b_{i}\big)^{q}} {\cfrac{a_{1}}{b_{1}}}={\cfrac{a_{2}}{b_{2}}}=*s={\cfrac{a_{n}}{b_{n}}} 時，等號成立.

例8柯西不等式是數(shù)學家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的一個重要不等式，而柯西不等式的二維形式是同學們可以利用向量工具得到的：已知向量 ±b{a}=(\ x_{1} ,y_{1}) ， ±b=\left(\begin{array}{c l c r}{x_{2}}\end{array}\right. y_{2} )，由 |a* b|<=slant|a| | b| 得到 \left( x_{1}x_{2}^{ }+y_{1}y_{2} \right)^{2}<=slant\left( x_{1}^{2}+ γ_{1}^{2} ( x_{2}^{2}+y_{2}^{2} ) ,當且僅當 x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1} 時取等號.現(xiàn)已知 a>=slant0,b>=slant0,a+b=9 ，則 √(2a+4 )+√(b+1) 的最大值為6·

【解析】令 x_{1}=√(2)\;,y_{1}=1 ,x_{2}= √(a+2)\;,y_{2}= √(b+1)\;, 因為a>=slant0 ,b>=slant0 ,a+b=9 , 所以 \left(\ √(2a+4)+√(b+1)\ \right)^{2}<=slant\left(\ 2+1\ \right)x\left(\ a+2+b+1\ \right)=\ 3x 12=36 . 所以 √(2a+4)+√(b+1)<=slant6, 當且僅當 √(2)x√(b+1)= √(a+2\ ) 即 a=6 ,b=3 時取等號,所以 {√(2a+4)}+{√(b+1)} 的最大值為6.

變式8［廣東深圳2025調(diào)研]權方和不等式作為基本不等式的一個變化,在求二元變量最值時有很廣泛的應用,其表述如下：設正實數(shù) a ,b ,x ,y 滿(a^{2})/(x)+(b^{2})/(y)>=slant(\left(a+b \right)^{2})/(x+y) 當且僅當 {\cfrac{a}{x}}={\cfrac{y}} 時,等號成立，則函數(shù) f( x )=(1)/(3x)+(16)/(1-3x)\Big(0<x<(1)/(3)\Big) 的最小值為B

A. 16 B.25
C.36 D. 49

【解析】由 0<x<(1)/(3), 得 3x>0 ,1-3x>0 , 故 f( x)={(1)/(3x)}+ (16)/(1-3x){=}(1^{2})/(3x){+}(4^{2})/(1{-)3x}{>=slant}(\left(1{+}4\right)^{2})/(3x{+)1{-}3x}{=} 25 , 當且僅當 {(1)/(3x)}={(4)/(1-3x)}. 即 x=(1)/(15){>}, 等號成立.故選B.

第4練 基本不等式

刷基礎

1.[重慶2025調(diào)研]函數(shù) f(\mathbf{α},\mathbf{α})=x^{2}+(1)/(x^{2)} 的最小值為B

A. 1 B.2
C.4 D.8

【解析 ]f( x )=x^{2}+{(1)/(x^{2)}}>=2{√(x^{2)x{(1)/(x^{2)}}}}=2 , 當且僅當 x^{2}=(1)/(x^{2)} , 即 x=±1 時取等號，所以函數(shù) f(\mathbf{α},x)=x^{2}+(1)/(x^{2)} 的最小值為2.故選B.

2.已知實數(shù) ^{a,b} 滿足 a+(b)/(2)=2 ，則 4^{a}+2^ 的最小值 為 B

A. 4 B.8C.4√2 D. 8√(2) 【解析】因為 a+(b)/(2)=2 ,所以 2a+b=4 所以 4^{a}+2^=2^{2a}+2^>=slant2√(2^{2a) * 2^}=2 √(2^{2a+b)}=2 √(2^{4)}=8 , 當且僅當 2^{2a}=2^{θ} 且 2a+b=4 , 即 a=1 ,b=2 時等號成

立.故選B.

3.（多選）[江蘇南通2025調(diào)研]下列函數(shù)中最小值為4的是 ( BCD 一

A.~y=\ln x+(4)/(\ln x)
{ B}, y=2^{x}+2^{2-x}
C.y=4lsin xl+ Isin x|
D.\ y={(x^{2}+5)/(√(x^{2)+1)}} 【解析】對于A：當 \ln\ x<0 時 ,y=\ln\ x+{(1)/(\ln\ x)}{<}0 , 故A 錯誤；
對于 {B}:y {=} 2^{x} {+} 2^{2-x} {>=} 2 √(2^{x)x2^{2-x}}=4 , 當且僅當 2^{x}=2^{2-x} , 即 x=1 時取等號,故B正確；
對于C:令 t=|\sin\ x| 則 0{<}t<=slant1,y=4t+(1)/(t)>=slant2√(4t*(1)/(t))= 4,當且僅當 t=(1)/(2)| 時取等號,而 0{<}t<=slant1 , 故 C 正確； 對于D:由√x2+1≥1,故 y=(x^{2}+5)/(√(x^{2)+1)}=√(x^{2)+1}+(4)/(√(x^{2)+1)}>=

4,當且僅當 {√(x^{2)+1}}={(4)/(√(x^{2)+1)}}, 即 x=±√(3) 時取等號,故D 正確.故選BCD.

4.［湖北黃岡2025調(diào)研]若 m>0 ,n>0 ,且 3m+2n 1=0 ，則 {(3)/(m)}+{(2)/(n)} 的最小值為 D

A. 20 B.12
C.16 D.25

【解析】因為 3m+2n-1=0 . 所以 3m+2n=1 所v \big<(3)/(m)+(2)/(n)=\left((3)/(m)+(2)/(n)\right)x1=\;\left( (3)/(m)+(2)/(n) \right) \big( 3m+2n \big)= 9+ {(6n)/(m)}+{(6m)/(n)}+4>=slant13+2{√((6n)/(m))}x{(6m)/(n)}=13+12=25 , 當且僅當 \cfrac{6n}{m}= {(6m)/(n)}, m=n=(1)/(5) 時取等號，所以 (3)/(m)+(2)/(n) 的最小值為25.故選D.

5.若 x{<}{-}1 ，則 (x^{2}-2x+6)/(x+1) 有

A.最小值4 B.最小值2
C.最大值-8 D.最大值-10

【解析 1{(x^{2}-2x+6)/(x+1)}={((x+1)^{2}-4{\big(}x+1{\big)}+9)/(x+1)}=x+1+{(9)/(x+1)}-4. 因為 x<- 1 , 所以 x+1<0 ,{(9)/(x+1)}<0 , 所以 x+1+{(9)/(x+1)}= -\left[-\bigl( x{+}1 \bigr) +\left(-(9)/(x{+)1}\right) \right] <=slant -2√(\left[ -\bigl( x{+)1 \bigr) \bigr] * \left(-(9)/(x{+)1}\right) } = -6,當且僅當 -\left( x{+}1 \right){=} -{(9)/(x{+)1}}, 即 x=-4 時,等號成立，則 x+1+{\cfrac{9}{x+1}}-4<=slant-10 即 (x^{2}-2x+6)/(x+1) 有最大值-10.故選D.

6.［河北張家口2024三模]已知正數(shù) m,n 滿足 m+ 9m+=10,則m+n的最大值為 D

A.5 B.6
C.7 D.8

【解析】因為 m,n 為正數(shù),則 ( m{+}n )\:*\:\left({(1)/(m)}{+}{(9)/(n)} \right)=10^{+} (n)/(m)+(9m)/(n)>=10+2√((n)/(m)*(9m)/(n))=16 , 當且僅當 n=3m 時等號成立,因為 m^{+}n^{+}(9m^{+}n)/(m n){=}m^{+}n^{+}(9)/(n){+}(1)/(m){=}10 , 所以在等式 m{+}n{+}(9)/(n){+}(1)/(m){=}10 兩邊同時乘以 m{+}n , 可得 10( m+ n\Big)=\big(m+n\big)^{2}+\big( m+n \big)\;\left( (1)/(m)+(9)/(n) \right)>=slant\big( m+n \big)^{2}+16 , 即\left(\begin{array}{c}{{m{+}n}}\end{array}\right)^{2}{-}10\big( m{+}n\big)+16{<=slant}0 , 解得 2<= m+n<=slant8. 當且僅當 \binom{n=3m ,}{m+n=8} 時，即當 \binom{m=2}{n=6} 時 ,m+n 取得最大值8.故選D.

7.［湖南衡陽第一中學2025月考］對于任意 _{0<x<}
4 m>(x)/(x^{2)+1} 恒成立，則 m 的取值范圍為（D

【解析】對于任意 0<x<4 , m>(x)/(x^{2)+1} 恒成立，則 m> \left({(x)/(x^{2)+1}}\right)_{~max~},
\overrightharpoon{m}(x)/(x^{2)+1}=(1)/(x+/{1){x}}{\ll}(1)/(2√(x*/{1){x)}}{=(1)/(2)}, 當且僅當 x=1 時取等號，所以 m>/12. 故選D.

8.[河南信陽2024模擬]已知 a>0 ,b>0 ,(1)/(a)+(2)/(b)=1 則 (1)/(a-1)+(3)/(b-2) 的最小值為

A. √(3) B.2√3
C. √(6) D.6

【解析】法一： \quad:a>0 ,b>0 ,{(1)/(a)}+{(2)/(b)}=1 , 則 a b=2a+b , 且 a> 1,b>2,整理得到 \left( a-1 \right) * \left( b-2 \right)= 2 , 所 \nuλ(1)/(a-1)+(3)/(b-2)>= 2√((3)/(\left(a-1\right)\left(b-2\right)))=√(6) , \nvdash \nvdash \nmid\varkappa\overset{\nvdash}{\=}(1)/(a-1)(3)/(b-2), \nparallelπ a(√(6))/(3)+ 1,b=√(6)+2 時取等號 *^{{gp}}(1)/(a-1)+(3)/(b-2) 的最小值為√6.法二：由 a>0 ,b>0 ,(1)/(a)+(2)/(b)=1 得 b=(2a)/(a-1)\left( a>1 \right) , 所以{(1)/(a^{-1)}}+{(3)/(b-2)}={(1)/(a-1)}+{(3)/(\;{/{2a){a-1}}-2\;}}={(1)/(a-1)}+{(3 ( a-1 ))/(2)}>=slant{√(6)} , 當且僅(1)/(a-1)=(3( a-1))/(2) 即 a=(√(6))/(3)+1 ,b=√(6)+2 時取等號， ,{\mathbb J}{\mathbb J}(1)/(a-1)+ 的最小值為6.
故選C.

9.某公園有如圖所示的一塊直角三角形空地，直角邊 A B=8 \ensuremath{~m},A C=6 \ensuremath{~m}. 現(xiàn)欲建一個內(nèi)接矩形花園A D E F ，點 E 在斜邊 B C 上（不包括端點），則花園A D E F 面積的最大值為 （B）

A. 2√(3) m^{2} B.12 m2
C.16 \mathbf{m}^{2} D.24m2

【解析】設 A D=x , 則 B D=8-x . 因為 \triangle C F E\backsim\triangle C A B , 所\nuλ(x)/(8){=}(6{-}A F)/(6), 解得 A F=6-(3)/(4)x , x,其中 0<x<8,所以花園ADEF的面積為 S=x\left(6{-}(3)/(4)x\ \right)=(4)/(3){x}(3)/(4)x\biggl(6{-}(3)/(4)x\biggr)<=slant (4)/(3)x\left((/{3)/(4)x+6-(3)/(4)x}{2}\right)^{2}=12({\;m}^{2} )\;, 當且僅當 (3)/(4)x=6-(3)/(4)x , 即 x=4 時等號成立，故花園 A D E F 面積的最大值為12\ m^{2}\ . 故選B.

10.[安徽阜陽2024模擬]已知 \lg x+\lg y=2 ,則 x+y 的最小值為_20·【解析】依題意 x>0 ,y>0 , 由lg x+\lg\ y=2 , 可得 x y= 100,所以 x+y>=slant2 √(x y)=20 當且僅當 x=y=10 時等號成立.

11.［山東煙臺2025摸底］如圖， D 為 \triangle A B C 的邊A C 上一點 .A D}=2D C ,\angle A B C=90°,A B+2B C=4 ，則 B D 的最小值為 (2 {√(2)})/(3)

【解析】以 B C 為 x 軸,以 B A 為y軸，
建立如圖所示的平面直角坐標系，
設 B C=x ,A B=y D
\because A D=2D C
\therefore D\left((2)/(3)x ,(1)/(3)y\right)* \because A B+2B C=4 ,/ 2x+y=4\big( 0<y<4\big) , （2x） （2x）2+y
BD=4,當且僅當 2x=y=2 時等號成立,故 B D_{{min}}=
2√2

12.[廣東中山2025模擬］（12分)某企業(yè)為響應國家節(jié)水號召，決定對污水進行凈化再利用，以降低自來水的使用量.經(jīng)測算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設備.這種凈水設備的購置費(單位：萬元)與設備的占地面積 x （單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2,預計安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費 C （單位：萬元）與設備占地面積x之間的函數(shù)關系為 C(x)= 29\scriptstyle{x>0} ），將該企業(yè)的凈水設備購置費與安裝后4年需繳水費之和合計為 y （單位：萬元）.(1)要使 y 不超過7.2萬元，求設備占地面積 _{x} 的取值范圍;(2)設備占地面積 _{x} 為多少時， \boldsymbol{y} 的值最??？

【解】(1)由題意得 y=0.\;2x+(80)/(x+5)(x>0) ,( 2 分）
令 γ<=slant7. 2 , 即0 2x+{(80)/(x+5)}<=slant7.2 , 整理得 x^{2}-31x+220<=slant
0,即 \left( x-1 1 \right)\left( x-20 \right)<=slant0 ,
所以解得 11<=slant x<=slant20 . 所以設備占地面積 x 的取值范
圍為[11,20].(5分)
(2)_{y}=0.\ 2x+(80)/(x+5)=(x+5)/(5)+(80)/(x+5)-1>=slant2√((x+5)/(5)x(80)/(x+5))-1=
2\;√(16)-1=7 ,(\;9\;\hat{z}
當且僅當 (x+5)/(5)=(80)/(x+5) 即 x=15 時等號成立,所以設備
占地面積為15平方米時 ,y 的值最小.(12分)

刷提升

13.［江蘇錫山高級中學2025期中]設正實數(shù) x,y ,z 滿足 x^{2}-y-x z+4z^{2}=0 ，則當 (x z)/(y) 取得最大值時， (4)/(x)- (6)/(y)+(1)/(z) 的最大值為 D

15
A.2 B.169
C.1 D.4【解析】 \mathbf{\nabla}*\mathbf{\sigma}x^{2}-y-x z+4z^{2}=0 ,\therefore\;y=x^{2}-x z+4z^{2} , 又x,y,z均為正實數(shù)，
\therefore(x z)/(y)=(x z)/(x^{2)-x z+4z^{2}}=(1)/(/{x){z}+(4z)/(x)-1}<=slant(1)/(2√(/{x){z)*(4z)/(x)}-1}=(1)/(3) （當且僅當 x=2z 時取等號)，

\begin{array}{l}{{::\displaystyle\left((x z)/(y)\right)_{{\scriptsize~max}}=\displaystyle(1)/(3),\not\in{\mathbb Z}\not\in{\mathbb Z}\not=x=2z.\ \therefore\ y=x^{2}-x z+4z^{2}=\left(\ 2z\right)^{2}-}}\\ {{\ 2z* z+4z^{2}=6z^{2} ,}}\\ {{\therefore\displaystyle(4)/(x)\displaystyle-(6)/(y)+(1)/(z)\displaystyle=(2)/(z)\displaystyle-(1)/(z^{2)}\displaystyle+(1)/(z)\displaystyle=-\left((1)/(z)\displaystyle-(3)/(2)\right)^{2}+(9)/(4)\displaystyle\ll(9)/(4),(15)/(16)}}\end{array} 且僅當 z=(2)/(3)| 時取等號，滿足題意.\therefore{(4)/(x)}-{(6)/(y)}+{(1)/(z)} 的最大值為 {(9)/(4)}. 故選 D.

14.（多選）[河北邯鄲2025調(diào)研]已知實數(shù) ^{a,b} 是方 程 x^{2}-(k-3)x+k=0 的兩個根,且 a>1{√(,)}b>1 ，則 ( ABC

A.ab 的最小值為9
B. a^{2}{+}b^{2} 的最小值為18
C. {(3)/(a-1)}+{(1)/(b-1)} 的最小值為√3
D. a{+4b} 的最小值為12

【解析】因為實數(shù) a,b 是方程 x^{2}-( k{-}3 ) x{+}k=0 的兩個根，
所以 \Delta=\left( k{-}3 \right)^{2}{-}4k>=slant0 , 所以 k>=9 或 k<=slant1 ,
由根與系數(shù)的關系得 a+b=k-3 ,a b=k ,
又 a>1{√(,)}b>1 ，所以 k-3>2 ,且k>1,綜上得 k>=9.
消去k,得 a b=a+b+3 ,\operatorname{\mathbb{R}}\lceil (a-1) (b-1)=4.
由基本不等式得 a b=a+b+3>=slant2 √(a b)+3 , 即 a b{-}2√(a b)- 3>=slant0.
令 {√(a b)}=t>1 , 則 t^{2}-2t-3>=0 , 解得 t>=slant3 或 t<=slant-1 （舍去)，
當 t>=3 時， √(a b)>=slant3 ,解得 a b>=slant9 , 當且僅當 a=b=3 時 ,a b 的最小值為9,故A正確；
因為 a^{2}+b^{2}>=2a b>=18 ,當且僅當 a=b=3 時取等號,所以 a^{2}+b^{2} 的最小值為18,故B正確；
{(3)/(a-1)}+{(1)/(b-1)}>=2{√({(3)/(a-1))*{(1)/(b-1)}}}={√(3)} , 當且僅當 (3)/(a-1)=(1)/(b-1), a=2√(3)+1 , b=(2√(3))/(3)+1 時取等號，
所以 *(3)/(a-1)+(1)/(b-1) 的最小值為 {√(3)}\;, 故C正確;
a+4b=a-1+4\left({\phantom{-}}b-1{\phantom{-}}\right)+5>=slant2\;√(\left({\phantom{-)}a-1\right){\phantom{-}}*4({\phantom{-}}b-1)}+ 5=13 ，
當且僅當 a-1=4{\bigl(} b-1 {\bigr)} ，即 a=5 ,b=2 時等號成立，此時 a+4b 的最小值為13，故D錯誤.故選ABC.

15.[四川成都2025開學考]設函數(shù) f( x )=x^{3}-x ,正實數(shù) ^{a,b} 滿足 f( a)+f( b )=-2b ,若 a^{2}+λ b^{2}<=slant1 ，則實數(shù) λ 的最大值為_ 2{+}2√(2) 【解析】函數(shù) f( x )=x^{3}-x , 則 f( a )=a^{3}-a ,f( b )=b^{3}-b , √(\eta)\;f(\;a)+f(\;b)=-2b , 即 a^{3}-a+b^{3}-b=-2b , 整理得 a^{3}+b^{3}=a-b , 由 a>0 ,b>0 得 a^{3}+b^{3}>0 則 a>b>0 ，因此 \scriptstyle{(a^{3}+b^{3})/(a-b)}=1 , {√(\eta)}\ a^{2}+λ b^{2}<=slant1 , 于是 a^{2}+λ b^{2}<=slant(a^{3}+b^{3})/(a-b), 整理得入62= λ b^{2}<=slant(b^{3}+a^{2}b)/(a-b), 即 λ<=slant(1+\left(/{a)/(b)\right)^{2}}{(a)/(b)-1}. \Leftrightarrow t=(a)/(b)>1,(1+\left(/{a)/(b)\right)^{2}}{(a)/(b)-1}=(1+t^{2})/(t-1)=(t^{2}-1+2)/(t-1)=t+1+(2)/(t-1)=(t-1) 1)+(2)/(t-1)+2>=slant2√(( t-1 ) * (2)/(t-1))+2=2+2√(2) , 當且僅當t-1=(2)/(t-1), 即 t=√(2)+1 時取等號，因此 \left?(b^{2}+a^{2})/(a b-b^{2)}\right?_{\scriptsize~min}=2\left(√(2)+1\right), 則 λ<=slant2+2√(2)\;, 所以實數(shù)λ 的最大值為 2+2{√(2)}.

第 5 講一元二次不等式

溫習 知識梳理

1.一元二次不等式

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_2的不等式，稱為一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是 a x^{2}\;+\;b x\;+\;c\;>\;0 或a x^{2}+b x+c<0 一 ( a ,b ,c 為常數(shù)，且 a\neq0

2.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系

3.簡單分式不等式的解法

基礎自測

1.判斷下列說法是否正確（在括號內(nèi)打“ \vee ”或x^{\ast}.

(1)不等式 x^{2}<=slanta 的解集為[ \overline{{-√(a)}} ,√(a) ] .(×) 提示：當 a{<}0 時,不等式 x^{2}<=slanta 無解,錯誤.

(2)若不等式 a x^{2}+b x+c>0 ( a\neq0 ) 的解集為( m ， n ，則 \ a{<}0

(3)若關于 _x 的一元二次方程 a x^{2}+b x+c=0 沒有實數(shù)根,則不等式 a x^{2}+b x+c>0 的解集為 \mathbf{R}

提示：若關于 x 的一元二次方程 a x^{2}+b x+c=0 沒有實數(shù)根，則二次函數(shù) \scriptstyle y\;=\;a x^{2} + b x + c 的圖象與 x 軸沒有交點.當 a>0 時,不等式 a x^{2}+b x+c>0 的解集為R;當 a{<}0 時,不等式 a x^{2}+b x+c>0 的解集為 \varnothing ,錯誤.

(4)不等式 (2x-1)/(x+2)<1 的解集為 ( -∞ ,3 ) .（×)提示：由 (2x-1)/(x+2)<1 得 (x-3)/(x+2)<0 ,等價于 \left( x-3 \right)\left( x+2 \right)<0 故不等式的解集為（-2,3）,錯誤.

2.［人教A版必修一P55T1改編]不等式 \left(x+1\right) (3-2x)<0 的解集為 （B）

( 1 ){(f( x ))/(g( x ))}{>}0( <0 )\Leftrightarrow\underline{{{\;f( x ) g( x )>0( <0 )\;}}} ; (2)(f(x))/(g(x)){>=slant}0(<=slant0)\Leftrightarrow\begin{array}{l}{\displaystyle{\binom{f(x) g(x) >=slant 0( <=slant0)}{g(x) \neq 0}} ,}\end{array}

常用結(jié)論

1.不等式 \scriptstyle a x^{2}+b x+c>0(\;a\neq0)\;,\; \boldsymbol{x}\in\mathbb{R} 恒成立 \Leftrightarrow a>
0且 \Delta{<}0
2.不等式 a x^{2}+b x+c<0\left( a\neq0 \right),x\in \boldsymbol{x}\in\mathbb{R} 恒成立a<
0且 \Delta{<}0.
3.二次項系數(shù)為正的一元二次不等式的解集為
“大于取兩邊，小于取中間”.

\begin{array}{l}{A.\left(-1,(3)/(2)\right)}\\ {B.\left(-∞,-1\right)\cup\left((3)/(2),+∞\right)}\\ {C.\left(-(3)/(2),1\right)}\\ {D.\left(-∞,-(3)/(2)\right)\cup\left(1,+∞\right)}\end{array} 【解析】由 \left( x+1 \right)\left( 3-2x \right)<0 , 得 ( x+1 )\:*\:( 2x-3 )>0 , 解得x<-1或x> 故選B.

3.[人教A版必修一P55習題2.3T3改編］已知集合 M=\{x\midx^{2}-5x-6>0\} N=\{x\vert x^{2}<=slant4\} ,則 M\cup N{=} (B

A. [-2,-1) B. ( -∞ ,2 ]\cup( 6 ,+∞ )
C. ( -∞ ,3 )\cup( 6 ,+∞ ) D. ( -∞ ,2 ]\cup( 3 ,+∞ )

【解析】由 x^{2}-5x-6>0 , 解得 x<-1 或 x>6 , 所以 M= ( -∞ ,-1 )\cup( 6 ,+∞ ) .

由 x^{2}<=slant4, 解得 -2<=slant x<=slant2 , 所以 N=\left[ -2,2 \right] ,所以MUN=( -∞ ,2 ]\cup( 6 ,+∞ ) . 故選B.

4.某商店售賣的一種紀念章，每枚的最低售價為15元，若每枚按最低售價銷售，每天能賣出45枚，每枚售價每提高1元，日銷售量將減少3枚.為了使這批紀念章每天獲得600元以上的銷售收人，這批紀念章的銷售單價 x （單位：元）的取值范圍是[15,20）

【解析】 ① 當 x=15 時 ,15x45=675>600 滿足題意， O 當 x>15 時,由題意,得 x[45-3(\;x{-}15)\;]>600 , 即 x^{2}- 30x+200<0 則 \left(\;x-10 \right)\left( x-20 \right)<0 , 解得 10<x<20, 又每枚紀念章的最低售價為15元,.. 15<=slant x<20

精講 考點剖析

考點1 求解一元二次不等式

角度1不含參的不等式

例1解下列不等式：

(\;1 ) x^{2}+3>3\left( x+1 \right). (2） \scriptstyle{*}-x^{2}+2x-3>0.

【解】(1)由 x^{2}+3>3(x+1) ，得 x^{2}-3x=x\big( x-3 \big)>0 , 解得x{>}3 或 x{<}0 ,故不等式的解集為 \{x\vert x{>}3 或 x{<}0 !
(2)因為 -x^{2}+2x-3>0 所以 x^{2}-2x+3<0 . 因為 (x-1)^{2}+ 2<0無解,所以 x\inQ ，
即原不等式的解集為.

變式1［河北辛集2024月考］不等式 (3x-2)/(2x+3)<0 的解集是 B

【解析】不等式 (3x-2)/(2x+3)<0 等價轉(zhuǎn)化為 \left( 2x+3 \right)\left( 3x-2 \right)<0 , 解得 -\ (3)/(2)<x<(2)/(3), 所以不等式 (3x-2)/(2x+3)<0 的解集是\big\{x\mid-{(3)/(2)}<x<{(2)/(3)}\big\}. 故選B.

方法點透·

解一元二次不等式的一般步驟：（1)將不等式化為二次項系數(shù)為正的標準形式；（2)計算相應方程根的判別式，有根時求出方程的根；(3)結(jié)合圖象寫出不等式的解集.

角度2 含參的不等式

例2解關于 _x 的不等式 a x^{2}-4>=2x-2a x\left( a\in\mathbf{R}\right)

【解】不等式 a x^{2}-4>=2x-2a x 可轉(zhuǎn)化為 a x^{2}+( 2a-2 ) x- 4>=0.
① 當 a=0 時,原不等式化為 2x+4<=slant0 , 解得 x<=slant-2 ② 當 a>0 時,原不等式化為 \left( x-( 2 )/(a) \right) * \left( x+2 \right)>=0 , 解得 x>={(2)/(a)} 或x≤-2;
③ 當 a{<}0 時,原不等式化為 \left(x-(2)/(a)\right) * (x+2)<=0 , 當 {(2)/(a)}{>}{-}2 ，即 a<-1 時,解得-2≤xs
a
當 {(2)/(a)}=-2 ，即 a=-1 時,解得 x=-2
當 (2)/(a){<}{-}2 ,即-1<a<0時,解得 (2)/(a){<=}x{<=}-2.
綜上所述,當 a=0 時，不等式的解集為 \{x\vert x<=slant-2\}: 當a>0 時，不等式的解集為。 或 x<=slant-2\bigg\} 當-1<a<0 時,不等式的解集為 \left\{x\biggm|(2)/(a){<=slant}x{<=slant}-2\right\} a=-1 時,不等式的解集為一21；
當 a<-1 時,不等式的解集為 \left\{x\mid-2<=x<={(2)/(a)}\right\}

變式2［甘肅天水2025月考］若關于 _x 的不等式x^{2}-( 2a+1 ) x+2a<0 恰有兩個正整數(shù)解,則 \footnote{T w o t y p i c a l a p p l i c a t i o n s c e n a r i o s f o r t h e p r o p o s e d s y s t e m a r e h e a l t h c a r e,a n d l o g i s t i c s a n d w a r e h o u s i n g,i n w h i c h m u l t i p l e I o T d e v i c e s a r e d e p l o y e d c l o s e t o t h e r e c e i v e r a n d t h e t i m e d e l a y b e t w e e n t h e d i r e c t l i n k a n d b a c k s c a t t e r l i n k i s t h u s n e g l i g i b l e.} 的取值范圍是 \left\{a\;\middle|\;(3)/(2){<}a<=slant2\right\} 【解析】令 x^{2}-( 2a+1 ) * x+2a=0 , 解得 \scriptstyle x = 1 或 x=2a. 當 當2a>1,即a> 時，不等式 x^{2}-(\{2a+1\}) x+2a<0 的解集為 \scriptstyle\left\{x\mid1<x<2a\mid\right. ，則 3<2a<=slant4 , 解得 (3)/(2){<}a{<=slant}2 當 2a=1 即 a=(1)/(2)! 時，不等式 x^{2}-(2a+1)* x+2a<0 無

解,所以 a=(1)/(2). 不符合題意；
當 2a<1 即， a{<}(1)/(2)\mathbb{H}^{\dagger} ,不等式 x^{2}-( 2a+1 ) x+2a<0 的解集為 \{x\mid2a<x<1\} ,不符合題意.綜上,a的取值范圍是\left\{a\;\middle|\;{(3)/(2)}{<}a<=slant2\right\}.

方法點透

·解含參的不等式，常需對參數(shù)進行分類討論：

(1)根據(jù)二次項系數(shù)大于0、小于0及等于0進行分類；（2）根據(jù)判別式與0的關系進行分類；(3）若有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行分類討論.

考點 2 三個二次之間的關系

例3（1）（多選）[福建2025月考］已知關于 _{x} 的不等式 a( x{-} 1 )\left( x{+} 3 \right){-}2{>}0 的解集是 ( x_{1} ,x_{2} ) ,其中x_{1}<x_{2} ,則下列結(jié)論中正確的是 AB

A. x_{1}+x_{2}+2=0
B. -3{<}x_{1}{<}x_{2}{<}1
C. \vert x_{1}-x_{2}\vert>4
D. x_{1}x_{2}+3<0 【解析】由題意可得 ,a<0 ,a\left( x-1 \right) * \left( x+3 \right)-2=a\left( x-1 \right) x_{1} )\left( x{-}x_{2} \right) ,
即 a x^{2}+2a x-3a-2=a x^{2}-a\left( x_{1}+x_{2} \right) x+ a x_{1}x_{2} , 則 \left\{\begin{array}{l}{{2a=-a\big( x_{1}+x_{2} \big)}}\\ {{\;}}\\ {{-3a{-2}=a x_{1}x_{2} ,}}\end{array}\right. 即 x_{1}+x_{2}+2=0 ,x_{1}x_{2}+3=-(2)/(a)>0 ，故A 正確 ,D 錯誤;
令 a( x{-} 1 ) ( x{+} 3 )=0 , 則其根為 x_{3}=-3 ,x_{4}=1 , 結(jié)合二 次函數(shù)的性質(zhì)可得 ,-3<x_{1}<x_{2}<1 ，
則 0{<}x_{2}{-}x_{1}{<}1{-}\big(-3\big){=}~4 , 即 \mid x_{1}-x_{2}\mid<4 , 故B正確,C錯 誤.故選AB.

（2）［北京2025開學考］已知關于 x 的不等式a(\scriptstyle x-1)(\scriptstyle x-2)>2x^{2}-8x+8 的解集為 \left( -∞ ,-1 \right)\cup ( 2 ,+∞ ) ,則 \footnote{T w o t y p i c a l a p p l i c a t i o n s c e n a r i o s f o r t h e p r o p o s e d s y s t e m a r e h e a l t h c a r e,a n d l o g i s t i c s a n d w a r e h o u s i n g,i n w h i c h m u l t i p l e I o T d e v i c e s a r e d e p l o y e d c l o s e t o t h e r e c e i v e r a n d t h e t i m e d e l a y b e t w e e n t h e d i r e c t l i n k a n d b a c k s c a t t e r l i n k i s t h u s n e g l i g i b l e.} 的值為_3·

【解析 ~l~a\left( x-1 \right) \left( x-2 \right)>2x^{2}-8x+8\Longleftrightarrow\left( a-2 \right)x^{2}+\left( 8-1 \right) . 3a) x+2a-8>0 由題意可得 ,a-2>0 且-1和2是方程 \left( a-2 \right)x^{2}+\left( 8-\right. 3a ） \begin{array}{r l r l r l r l}{x}&{{}+}&{2a}&{{}-}&{8}&{{}={}}&{0}&{{}}\end{array} 的兩根，所以

考點3 一元二次不等式恒成立問題

角度1在R上恒成立

例4若不等式 k x^{2}+( k-6 ) x+2>0 的解集為全體實數(shù),則實數(shù) k 的取值范圍是 (c)

A. [2,18] B.(-18,-2) C.(2,18)

\left\{\begin{array}{l l}{{( a{-}2 ){-}\bigl( 8{-}3a \bigr){+}2a{-}8=0 ,}}\\ {{ }}\\ {{4( a{-}2 ){+}2\bigl( 8{-}3a \bigr){+}2a{-}8=0 ,}}\end{array}\right. 解得 a=3, 經(jīng)檢驗，符合題意，故 a 的值為3.

變式3[廣東梅州2024質(zhì)檢］已知關于 _{x} 的不等式 a x^{2}+b x-12>=0 的解集為 \{x\vert x<=slant-3 或 x>=4\} ：(1)求 ^{a,b} 的值；(2)求關于 _{x} 的不等式 b x^{2}+a x+6>=0 的解集.【解】(1)因為關于 x 的不等式 a x^{2}+b x-12>=0 的解集為 \{x\vert x<=slant-3 或 x>=41 所以 a>0 ,且-3和 ^4 是方程 a x^{2}+b x-12=0 的兩實數(shù)根,由根與系數(shù)的關系知， \left\{\begin{array}{c}{{-3+4=-\displaystyle(b)/(a),}}\\ {{\phantom{-3+4=-\displaystyle(b)/(a)}}}\\ {{\phantom{-3+4=-\displaystyle(b)/(a),}}}\end{array}\right. 解得 a=1 ,b= -1. (2)由 ( 1 ) 知 ,a=1,b=-1 ,則不等式 b x^{2}+a x+6>=0 為-x^{2}+x+6\ge0\Rightarrow\left(x+2\right)\left(x-3\right)<=slant0\Rightarrow-2<=slant x<=slant3 , 所以不等式 b x^{2}+a x+6>=0 的解集是 \{ x | {-}2\lex\le3 |

方法點透

1.一元二次方程的根就是相應二次函數(shù)的零點，也是相應一元二次不等式解集的端點.2.給出一元二次不等式的解集，可以確定相應二次函數(shù)圖象的開口方向以及與 _x 軸的交點，可以代入根或利用根與系數(shù)的關系求待定系數(shù).

D.(0,2)

【解析】當 k=0 時,不等式 k x^{2}+\left( k-6 \right)x+2>0 可化為-6x+2>0 , 顯然不合題意；當 k\neq0 時,因為 k x^{2}+(k-6)x+ 2>0的解為全體實數(shù),所以 \binom{k>0}{\Delta=( k-6 )^{2}-4kx2<0}. 解得2<k<18.綜上 ,2{<}k{<}18. 故選C.

變式4［廣西南寧2025月考］若命題“V x\in\mathbf{R} ,x^{2}+

2x+3{>}m ”是假命題，則實數(shù) m 的取值范圍是 B

A. ( -∞ ,2 )
B. [ 2,+∞ )
C. (-∞,2]
D. ( 2 ,+∞ ) 【解析】若命題? * \forall x\in\mathbf{R} ,x^{2} {+} 2x {+} 3{>} m^{\prime} 是真命題,則 m{<} \left( x^{2}+2x+3 \right)_{min}, 因為 y=x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2>=slant2 , 所以 m{<}2 ，
所以若命題“ \forall\;x\in\mathbf{R} ,x^{2}+2x+3>m^{ ^{\prime\prime}} 是假命題，則實數(shù) m 的取值范圍是 [2,+∞)
故選B.

+方法點透

一元二次不等式 a x^{2}+b x+c>0 在 \mathbf{R} 上恒成立 \Leftrightarrow a> 0且 \Delta{<}0 ；一元二次不等式 a x^{2}+b x+c<=0 在 \mathbf{R} 上恒成立 \Longleftrightarrow a<0 且 \Delta\lesssim0

角度2 在給定區(qū)間上恒成立

例5［廣東肇慶2025開學考]已知對任意 x\in[ 1 ，2],不等式 a x^{2}-2x+3a<0 恒成立,則實數(shù) \boldsymbol{a} 的取值范圍是 （D）

【解析】法一：令 f( x )=a x^{2}-2x+3a ,
當 a=0 時， f( x )= - 2x<0 在[1,2]上恒成立,符合題意.
當 a<0 時 ,\ f(\ x)=a x^{2}-2x+3a 的圖象開 \sqsupset 向下,對稱軸為直線 x=(1)/(a)<0 ，所以 f(x) 在[1,2]上單調(diào)遞減,所\varkappaλ f( x )_{\scriptsize~max}=f( 1 )=4a-2<0 , 所以 a{<}0 符合題意.
當 a>0 時 ,f( x )=a x^{2}-2x+3a 的圖象開口向上,對稱軸為直線 x=(1)/(a)>0.
①(\ast)/(\ast)(1)/(a)<=slant(3)/(2), 即 a>=slant{(2)/(3)}, 則 f( x)_{_{\scriptsize~max}}=f( 2 )= 7a-4 , 由題意知 ,7a-4<0 , 得 a<(4)/(7),\bar{m}\slash a>=slant(2)/(3), 所以此時不符合題意；②若 {(1)/(a)}>{(3)/(2)}. 即 0{<}a{<}(2)/(3), <,則f(x)m=/f(1)=4a-2<0,解得 0<a< 綜上所述,實數(shù) a 的取值范圍為\left( -∞ ,{( 1 )/(2)} \right). 故選D.
法二：分離參數(shù)，得 a<(2x)/(x^{2)+3},
要使對任意 x\in\left[ 1 ,2 \right], 不等式 a x^{2}-2x+3a<0 恒成立，只需 a<\left({(2x)/(x^{2)+3}}\right)_{,}
因為 {(2x)/(x^{2)+3}}={(2)/(x+{/{3){x}}}}, \hat{\vec{\tau}} f( x)=x+{(3)/(x)},
則由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知， f(x) 在 [ 1 ,√(3 ) ) 上單調(diào)遞減，在 [√(3),2] 上單調(diào)遞增.
K f(\boldmath~1~)=4 , f(\boldmath~2~) {=} (7)/(2) , β\uparrow \nuλ f(\boldmath~\nu~) _{max}=4 ,
所以 \left({(2x)/(x^{2)+3}}\right)_{_{\scriptsize~min}}={(1)/(2)}, ,所以a< 故選D.

變式5［山西呂梁2024月考］已知關于 _x 的不等式 x^{2}-( a+4 ) x+2a+5>=0 在 ( -∞ ,2 ) 上恒成立,則α的最小值為_-2·

【解析】由不等式 x^{2}-(a+4)x+2a+5>=0 在 \left( -∞ ,2 \right) 上恒成立，
得 ( 2-x ) a>=slant-x^{2}+4x-5 在 ( -∞ ,2 ) 上恒成立.因為 x< 2,所以 2-x>0
所以 a>=slant{(-x^{2}+4x-5)/(2-x)}={(-\left( x^{2}-4x+4 \right)-1)/(2-x)}={(-\left( 2-x \right)^{2}-1)/(2-x)} =0 . -(2-x)-(1)/(2-x). 在 ( -∞ ,2 ) 上恒成立.又 ( 2-x )+{(1)/(2-x)}>= 2√(\left( 2-x \right) * (1)/(2-x))=2 ,
所以 -\left[\left( 2-x \right)+(1)/(2-x)\right]<=slant-2 當且僅當 2-x=(1)/(2-x). 即 x= 1時,等號成立.
所以 a>=slant-2 , 故 a 的最小值為-2.

方法點透

對于一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立問題，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.

角度3 給定參數(shù)范圍的恒成立

例6若命題“王 a\in\left[ -1 ,3 \right],a x^{2}-\left( 2a-1 \right)x+3-a< 0"為假命題，則實數(shù) _{x} 的取值范圍為（C）

A. [-1,4] B.\left[0,(5)/(3)\right]

【解析】若命題“三 \mid a\in[ -1 ,3 ]\;,a x^{2}-( 2a-1 ) x+3-a<0^{\prime\prime} 為假命題,則其否定為真命題，
\mathbb{P}^{p}\stackrel{\scriptscriptstyle{u}}~\forall a\in\left[ -1 ,3 \right] ,a x^{2}-\left( 2a-1 \right)x+3-a>=slant0^{\prime\prime} 為真命題.令 g({\bf\Gamma}{}a{})={}a x^{2}-2a x+x+3-a={}\left({\bf\Gamma}{}^{2}-2x-1{}\right){}a+x+3>=slant0 , 則-1≤x≤4,
[g(-1)≥0, -x2+3x+4≥0,
lg(3) ≥0, 即[3x2-5x≥0, 解得。 或x≤0， 所以實數(shù) x 的取值范圍為 \left[-1,0\right]\cup\left[(5)/(3),4\right]. 故選 C.

變式 (6) 對于 0<=slantm<=slant4 中的任意 m ，不等式 x^{2}+m x> 4x+m-3 恒成立，則 _x 的取值范圍是（D

A. [-1,3] B. ( -∞ ,-1 ]

考點 一元二次方程根的分布問題

例7已知方程 x^{2}+( 2m{-}1 ) x{+}4{-}2m{=} 0 的兩根一個比2大，另一個比2小，則實數(shù) m 的取值范圍是(-∞,-3)

【解析】令 f( x)=x^{2}+\left( 2m{-}1 \right)x+4{-}2m , 顯然二次函數(shù)f( x ) 的圖象開口向上.因為 f( x )=0 的兩根一個比2大,另一個比2小,則 f( 2 )<0 , 即 2^{2}+2\left(\ 2m-1\ \right)+4- 2m{<}0 ，解得 m{<}{-}3 ，
所以實數(shù) m 的取值范圍是 ( -∞ ,-3 )

變式7若函數(shù) f( x )=2a x^{2}+3x-1 在區(qū)間(-1,1)內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù) ^{a} 的取值范圍為（D）

A. \{a\vert-1<a<2\}
\left.3.\left\{a\mid a=-(9)/(8)(π)/(\l^{/{π){π}}*-1<a<2}\right\} C. \left\{a | {-}1<=slanta<=slant2 \right\}
D.\left\{a\Bigm|a=-(9)/(8)\vec{\bigtriangledown}\right\}<=slanta<=slant2\right\} 【解析】由函數(shù) f( x )=2a x^{2}+3x-1 ,
若 a=0 則 f( x)= 3x {-} 1 ，令 f( x )=0 , 即 3x-1=0 , 解得x=(1)/(3), 符合題意；
若 a\neq0 , 則令 f( x )= 0 ，即 2a x^{2}+3x-1=0 , 可得 \Delta= 9+8a

C_{*}\left[3,+∞ D. ( -∞ ,-1 )\cup( 3 ,+∞ )

【解析】由題意,對 \forall x\in\mathbf{R} ,m\in\left[ 0 ,4 \right] ,x^{2}+m x>4x+m-3 恒成立,等價于 x^{2}-4x+3>m(1-x) 恒成立 \Leftrightarrow( x-3 ) ( x- 1)>-m{\bigl(} x-1 {\bigr)} 恒成立,當 x-1>0 即 x>1 時 ,x-3>-m 則 x>3-m 對 \forall\:m\in\left[0,4\right] 恒成立,所以 x>\left[ 3-m \right]_{max}= 3,解得 x>3; 當 x-1=0 ，即 _x=1 時,不等式不成立;當x-1<0 ，即 x<1 時 ,x^{-3<-m}, 則 x<3-m 對 \forall\:m\in\left[0,4\right] 恒成立,所以 x<\left[ 3-m \right]_{{min}}=-1 解得 x{<}{-}1. 綜上所述 ;x 的取值范圍是 x<-1 或 x>3. 故選D.

方法點透

給定參數(shù)范圍的恒成立問題，可以把參數(shù)看成新的自變量，再根據(jù)題目條件解不等式.或者利用分離參數(shù)法來求解不等式.

當 \varDelta=0 , 即 9+8a=0 即 a=-(9)/(8)\mathbb{H}\uparrow, f(x)=-(9)/(4)x^{2}+3x- 1,令 f( x )=0 , 解得 x_{1}=x_{2}=(2)/(3), 符合題意；
當 \Delta{>}0 . 即 a{>}-(9)/(8) 且 a\neq0 時 ,f(-1)\ * f(1)=( 2a{-}4)\ * ( 2a+2 )<=slant0 , 解得 -1<=slanta<=slant2 , 且 a\neq0
若 a=- 1 , 則 f( x )= - 2x^{2}+3x-1 , 令 f( x )= 0 , 即 2x^{2}- 3x+1=0 , 解得 x=1 或 x=(1)/(2), 符合題意；
若 a=2 則 f( x )= 4x^{2}+3x-1 , 令 f( x )=0 . 即 4x^{2}+3x- 1=0 解得 x=-1 或 x=(1)/(4), →，符合題意。
綜上可得,實數(shù) a 的取值范圍為 \left\{a\mid a=-{(9)/(8)}\right. 或-1≤a<=slant2\left\}.\right. 故選 D.

方法點透

在求解方程根的分布問題時，主要從以下幾個方面建立關于系數(shù)的不等式(組)進行求解： registered 的符號； ② 方程對應的函數(shù)圖象的對稱軸與所給區(qū)間的位置關系； ③ 方程對應的函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值的符號.

第5練一元二次不等式

刷基礎

1.[江蘇南京2025調(diào)研]已知集合 A=\{x\vert x{-3}{>}0\} B=\{ x | x^{2}-5x+4>0 \} ,則 A\cap B= （D）

A. ( -∞ ,1 ) B. ( -∞ ,3 )
C. ( 3 ,+∞ ) D. (4,+∞) 【解析 ]A=\{ x | x-3>0 \}=\{ x | x>3 \}
B=\{ x | x^{2}-5x+4>0 \} =\{ x | {\left( x-4 \right)} {\left( x-1 \right)} >0 \}=\{ x | x>4 \} 或 x<1\}
所以 A\cap B=\{ x\mid x>3 \} \cap \{ x\mid x>4 或 x<\mid\;=\;\mid x\mid x>4\mid\;= (4,+∞) .故選D.

2.若關于 _x 的不等式 x^{2}+b x+c<=slant0 的解集為[-2,3],則不等式 \scriptstyle{(c x+b)/(x-b)}>=0 的解集為 D

\left({(3)/(x+1)}+{(4)/(y+1)}\right)_{\scriptscriptstylem i n}<m^{2}-2m-3.
又因為 x>=slant0 ,y>=slant0 ,3x+y=1 , 所以 3(\mathbf{\sigma}_{x+1})+(\mathbf{\sigma}_{y+1})=5. 所 \nu{(3)/(x+1)}+{(4)/(y+1)}={(1)/(5)}\left({(3)/(x+1)}+{(4)/(y+1)}\right){\bigl[}\;3\left(\;x+1 \right)+\left(\;y+1 \right){\bigr]}\;= {(1)/(5)}\left[ 13+\begin{array}{c c}{{(3 ( y+1 ))/(x+1)}}\end{array} +\begin{array}{c c}{{(12 ( x+1 ))/(y+1)}}\end{array} \right]\ \ >=slant\ {(1)/(5)}\ \ \left[\begin{array}{c c}{{13}}\end{array} +\right. 2{√((3\left( y+1 \right))/({x+1))*{( 12\left( x+1 \right) )/(y+1)}}} \right]=5 ,
當且僅當 {(y+1)/(x+1)}={(4\left( x+1 \right))/(y+1)}, 即 x=0 , y=1 時等號成立，所以 5{<}m^{2}{-}2m{-}3 即 m^{2}{-}2m{-}8{>}0 , 所以 m<-2 或 m{>}4. 故選D.

4.［山東濱州2024期末］若不等式 x^{2}-a x+4>=0 對任意 x\in\left[ 1,3 \right] 恒成立，則實數(shù) ^{a} 的取值范圍是（B）

A.[0,4] B. \left(-∞,4\right] C.\left(-∞\ ,(13)/(3)\right] D. \left(-∞,5\right]

【解析】由題意可得 \left\{\begin{array}{l l}{-2+3=-b}\\ {\quad}\\ {-2x3=c ,}\end{array}\right. 即 b=- 1 ,c=-6 , 所以(c x+b)/(x-b)>=0 ，即 {(-6x-1)/(x+1)}>=0 ，等價于 \left\{\begin{array}{l l}{\left(6x+1\right)\left(x+1\right)<=slant0}\\ {\quad}\\ {x+1\neq0 ,}\end{array}\right. 解得一 1<x<=slant- {(1)/(6)}, 所以不等式 {(c x+b)/(x-b)}>=0 的解集為\left(-1,-(1)/(6)\right] 故選 D.

3.若存在 x>=slant0 ,y>=slant0 ,且 3x+y=1 ，使不等式 {(3)/(x+1)}+ (4)/(y+1){<}m^{2}{-}2m{-}3 能成立,則實數(shù) m 的取值范圍是D

A.(-4,2)
B. (-∞,-4)\cup(2,+∞) C.(-2,4)
D. (-∞ ,-2)\cup(4,+∞ )

【解析】因為 (3)/(x+1)+(4)/(y+1)<m^{2}-2m-3 能成立，所以【解析】不等式 x^{2}-a x+4>=0 對任意 x\in[1,3] 恒成立，則 \forall\;x\in\left[\;1 ,3\;\right],a<=slant x+{(4)/(x)} 成立， sqrt[π]{\hbar}\ x+{(4)/(x)}>=2{√(x*{(4)/(x))}}= 4,當且僅當 x=(4)/(x), 即 x=2 時取等號,因此 a<=slant4 , 所以實數(shù) a 的取值范圍是( [-∞,4]. 故選B.

5.（多選）［福建龍巖2024期中］若不等式 a x^{2}+b x+ c{>}0 的解集是（-3,1）,則下列結(jié)論正確的是ACD

A. b{<}0 且 c{>}0
B. 9a-3b+c<0
C.關于 x 的不等式 \scriptstyle a x-b<0 的解集是 ( 2 ,+∞
D.關于 x 的不等式 a x^{2}-b x+c<0 的解集是 :-∞ ，-1)\cup(3,+∞) 【解析】對于A項：由題意可知， a<0 ,- 3 和1是方程a x^{2}+b x+c=0 的兩根,可得 -3+1=-{(b)/(a)},-3x1={(c)/(a)}, 所以b=2a<0 ,c=-3a>0 故A項正確.
對于B項：因為-3是方程 a x^{2}+b x+c=0 的根,所以 9a- 3b+c=0 ,故B項錯誤.對于C項：由A項知 a x-b<0 即 \scriptstyle a x\displaystyle-2a<0 , 因為 a<0 . 得 x>2 ,故C項正確.
對于 D 項：不等式 a x^{2}-b x+c<0 即 a x^{2}-2a x-3a<0 , 化簡得 x^{2}-2x-3>0 , 解得 x<-1 或 x>3 , 故D正確.故選ACD.

6.已知條件 q ：“不等式 \scriptstyle( a^{2}-4 ) x^{2}+( a+2 ) x-1>=0 的解 集是空集”,則條件 p .. -2<=slanta<1^{\prime} "是條件 q 的 A

A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件

【解析】因為不等式 \left( a^{2}-4 \right)x^{2}+\left( a+2 \right)x-1>=0 的解集是空集,所以不等式 (\ a^{2}\ -4)\ *\ x^{2}+(\ a+2\ )\ x-1<0 的解集是R.當 a^{2}-4=0 即 a=±2 時,若 a=2 ，則 4x-1<0 x<(1)/(4)( 舍)；若 a=-2 , 則 -1<0 ,x\in\mathbb{R}. 當 a^{2}-4\neq0 時，則\binom{a^{2}-4<0 ,}{\Delta<0 ,} 解得 -2{<}a{<}(6)/(5). 綜上所述 -2<=slanta<(6)/(5), 所以條件 p 是條件 q 的充分不必要條件.故選A.

7.（多選）［廣東揭陽2024期中]若關于 _{x} 的不等式x^{2}{-}6x{+}2{-}a{>}0 在區(qū)間[0,5]內(nèi)有解,則實數(shù) \footnote{T w o t y p i c a l a p p l i c a t i o n s c e n a r i o s f o r t h e p r o p o s e d s y s t e m a r e h e a l t h c a r e,a n d l o g i s t i c s a n d w a r e h o u s i n g,i n w h i c h m u l t i p l e I o T d e v i c e s a r e d e p l o y e d c l o s e t o t h e r e c e i v e r a n d t h e t i m e d e l a y b e t w e e n t h e d i r e c t l i n k a n d b a c k s c a t t e r l i n k i s t h u s n e g l i g i b l e.} 的取值可以是 （AB

A.0 B.1
C.2 D.3

【解析】不等式 x^{2}-6x+2-a>0 在區(qū)間 [0,5] 內(nèi)有解,僅\mathbb{E}\left( x^{2}-6x+2 \right)_{\;\operatorname*{max}}>a 即可，
令 f( x)= x^{2}-6x+2 , 因為 f(x) 的對稱軸方程為 x= \displaystyle-(-6)/(2x1){=3 ,f( 0 )}{= 2 ,f( 5 )}= -3 , 所以 \left( x^{2}-6x+2 \right)_{{\scriptsize~max}}=2 , 所以 a<2, 故選AB.

8.已知關于 _{x} 的方程 x^{2}+(\ m{-}2\ )\ x+5{-}m=0 有兩個大于2的相異實數(shù)根，則實數(shù) m 的取值范圍是（B）

A. \{m\}-5<m<=slant-4 或 m>=slant4\backslash B. \{m|-5<m<-4\} C. \left\{\ m | {-}5{<}m{<=slant}{-}4\right\} D. \{m\}-5{<}m{<}{-}4 或 m{>}4 【解析】設關于 x 的方程 x^{2}+( m{-} 2 ) x+5 {-}m=0 的兩個根分別為 x_{~l~},x_{2} , 則由根與系數(shù)的關系，知 x_{1}+x_{2}=-(\ m- 2 )\ ,x_{1}x_{2}=5-m , 所以由題意知 \left\{\stackrel{\Delta>0}{x_{1}-2+x_{2}-2>0},\right.

第一章集合與常用邏輯用語、不等式(m-2)2-4(5-m)>0,即 -(m-2)-4>0, 解得 -5{<}m{<}-4. 故選B.[5-m+2(m-2)+4>0,

9.［重慶巴蜀中學校2025月考］關于 _{x} 的不等式\lg x * \lg x^{k}{+}k\lg x{-}1{<}0 對一切正實數(shù) x 恒成立,則k 的取值范圍是 （D

A. (-∞ ,-4]
B. ( -∞ ,-4 ]\cup[ 0 ,+∞ ) C.(-4,0)
D.(-4,0]

【解析】關于 x 的不等式 \lg\ x\ ^{*}\ \lg\ x^{^{k}+k\lg}\ x-1=k\lg^{2}x+ k\lg x-1<0 對一切正實數(shù) x 恒成立,當 k=0 時，不等式對一切正實數(shù) x 恒成立,當 k\neq0 時,對正實數(shù) x,\lg x\in R,則有 \binom{k<0}{\Delta=k^{2}+4k<0} 解得 -4<k<0 , 所以 k 的取值范圍是（-4,0].故選D.

10.已知實數(shù) ^{a,b} 滿足關于 _{x} 的不等式 a x{>}b(\;a,b\in \mathbf{R} )的解集為 ( -∞ ,-1 ) ，且滿足關于 y 的不等式y(tǒng)^{2}+3y+b>0 的解集為 \mathbf{R} ，則滿足條件的一組 a ,b 的值依次為_ a=-3 ,b=3 （答案不唯一）·【解析】因為關于 x 的不等式 a x>b\left({bf{}a},b\in\mathbb{R}\right) 的解集為 ( -∞ ,-1 ) ,所以 \binom{a<0}{b=-a} 又關于y的不等式 y^{2}+3y+ b>0 的解集為 \mathbf{R} , 所以 3^{2}-4b<0 . 解得 b>{(9)/(4)}, 所以滿足條件的一組 a,b 的值可以為 a=-3 ,b=3. 故答案為 a {=} {-}3 ,b {=} 3 （答案不唯一，只要滿足 b=-a> 9 就行)

11.若不等式 x^{2}+x-a>a x+2 對 \forall a\in(0,1] 恒成立,則實數(shù) _x 的取值范圍是_ (-∞,-2]\cup(√(3),+∞) 【解析】由不等式 x^{2}+x-a>a x+2 對V a\in(0,1] 恒成立，得 \left(\begin{array}{l}{x+1}\end{array}\right) a-x^{2}-x+2<0 對 \forall a\in\left( 0,1 \right] 恒成立,令g(a)=(x+1)a-x^{2}-x+2,λ_{\P}^{\perp}\left\{\begin{array}{l}{{g(0)=-x^{2}-x+2<=slant0 ,}}\\ {{}}\\ {{g(1)=x+1-x^{2}-x+2<0 ,}}\end{array}\right. 解得 x\in\left(-∞,-2\right]\cup\left(√(3) ,+∞\right), \therefore 實數(shù) x 的取值范圍是 ( -∞ ,-2 ]\cup({√(3)} ,+∞ ) .

12.（12分)為確保博覽會安全順利進行，某部門決定在進博會期間實施交通管制.經(jīng)過長期觀測發(fā)現(xiàn)，某最高時速不超過100千米/小時的公路段的車流量 \boldsymbol{y} （輛/小時）與車輛的平均速度 v （千米/小時）之間存在函數(shù)關系：y=\left\{\begin{array}{l}{{{\displaystyle(17)/(2)}v^{2}+(295)/(2)v ,0<=slantv<=slant25 ,}}\\ {{(144 000v)/(v^{2)-58v+1 225},25<v<=slant100.}}\end{array}\right.

(1)當車輛的平均速度為多少時，公路段的車流量最大？最大車流量為多少？
(2)若進博會期間對該公路段車輛實行限流管控，車流量不超過4125輛/小時，則汽車的平均速度應在什么范圍內(nèi)？【解】(1)當 0<=slant v<=slant25 時,函數(shù) y=(17)/(2)v^{2}+(295)/(2)v 在[0,25]上單調(diào)遞增,當 v=25 時 ,γ_{_{max}}=9~000 , (2分)當 25<v<=slant100 時 ,y={(144~000v)/(v^{2)-58v+1~225}}={(144~000)/(v+{/{1~225){v}}-58}}<=slant \cfrac{144\ 000}{2√(v*{(1\ 225)/(v))}-58}={\cfrac{144\ 000}{2x35-58}}=12 000,當且僅當 v= {(1\ 225)/(v)}, 即 v=35 時取等號 ,√(\eta)\;9\;000<12\;000 , 所以車輛的平均速度為35千米/小時時,公路段的車流量最大，最大車流量為 12~000 輛/小時.(5分)
(2)當 0<=slant v<=slant25 時， .(17)/(2)v^{2}+(295)/(2)v<=slant4\ 12. 5,整理得\left(17v+550\right)\left(v-15\right)<=slant0 . 解得 -(550)/(17)<=slantv<=slant15 ，則 0<=slant v<=slant 15.(9分)
當 25<v<=slant100 時， v^{2} - 58v + 1\;\;225>0 , 不等式(144~000v)/(v^{2)-58v+1~225}{\lesssim}4 125化為 11v^{2}-1\ 022v+13\ 475>=0 , 整理得 \left(11v-175\right)\left( v-77 \right)>=0 , 解得 v\ll(175)/(11) 或 v>=77 . 則 77<=slant v<=slant100 , 所以汽車的平均速度應在[0,15］U[77,100]范圍內(nèi).（12分)

刷提升

13.［廣東深圳2025月考］已知函數(shù) f( x )= 2m x^{2}- 2( 4{-}m )x{+}1 ,g( x )=m x ，若對于任意的實數(shù) _x ，f( x ) 與 g(x) 至少有一個為正數(shù),則實數(shù) m 的取值范圍是 （B）

A. (0,2) B. (0,8) C. [2,8) D.(-∞ ,0)

【解析】當 m>0 時 ,g(x)>0 在 ( 0 ,+∞ ) 上恒成立,g(x)<0 在 ( -∞ ,0 ) 上恒成立 ,g( 0 )=0 ,\bar{m} f( 0 )= 1 ,

所以 f(x)>0 在( ~ ~-∞\ ,0) 上需恒成立,又因為 f( x ) 開口向上,所以 (2(4{-}m))/(2{x)2m}{>}0 或 \Delta=4{\left(4-m\right)}^{ 2}-4x2m= 4( m^{2}-10m+16)<0 , 解得 0{<}m{<}4 或 2<m<8 , 所以 0< m{<}8
當 m=0 時 ,g( x )= 0 ,f( x )= - 8x+1 > 0 不恒成立,故m=0 不符合；
當 m{<}0 時 ,g(x)>0 在( -∞\ ,0) 上恒成立 ,g(x)<0 在(0,+∞ )上恒成立 ,g( 0 )=0 ,\bar{m} f( 0 )= 1 , 所以 f( x )> 0在( 0,+∞, 上需恒成立，又因為 f( x ) 開口向下,所\psi_{λ}f(x)>0 在 (0,+∞) 上不恒成立，故 m<0 不符合.綜上可得 0{<}m{<}8, 故選B.

14.[陜西榆林2024三模]已知 α\in(0,2π) ,若當 x\in [0,1]時,關于 x 的不等式 \left(\sinα+\cos α+1 \right)x^{2}- \left(2\sin α+1\right)x+\sin α>0 恒成立,則 α 的取值范圍為 （A）

【解析】 {\underset{s\rightarrow f}{\left?{\boldmath~α~}\right?}}(x)={\left(\ \sin\ α{+}\cos\ α{+} 1\ \right){x^{2}}-}{\left(\ 2\sin\ α{+} 1\ \right){x^{+}}}
sin α, pf(0)>0, [sin α>0,
由題意可得 則 f(1)>0, [cosα>0,
又因為 α\in(0,2π) ,所以 α\in\left(0,{(π)/(2)}\right) ,
函數(shù) f(x) 的對稱軸方程為 x=(\sin α+/{1)/(2)}{\sin α+\cos α+1}\in(0,1) ,
\left\{\begin{array}{l l}{\sinα>0 ,}\\ {\cosα>0 ,}\\ {\sinα<\cosα+1\bigg((\sinα+/{1)/(2)}{\sinα\cosα+1}\bigg)^{α}-(2\sinα+1) *}\\ {\sinα+(1)/(2)}\\ {\sinα<\cosα+1}\\ {\sinα<\cosα) ,}\\ {\left.\int_{0}^{(√(α))/(2)}\cosα\right|_{0}^{α},}\\ {\left.\big(\cosα+1\big)^{α-(1)/(2)+(1)/(\sinα)}α(\sinα+\cosα+1)\right)x0 ,}\\ {\sinα>0 ,}\\ {0\cosα,}\\ {0\cosα,}\end{array}\right. sin 2α> 2
選A.

15.（14分)已知集合 M=\left\{ m\in\mathbf{R} \vert \exists x\in\left[ -1,1 \right] \right. ，使不等式 3x^{2}{-x{-m}^{2}}{>0} 成立}.(1)用區(qū)間形式表示集合 M (2)設不等式 \left( x{-}a \right)\left( x{+}a{-}2 \right){<}0 的解集為 N ，若x\in N 是 x\in M 的必要條件，求實數(shù) ^{a} 的取值范圍.【解】(1)根據(jù)題意可得 3x^{2}-x-m^{2}>0 在 x\in[-1,1] 上有解,即 m^{2}<3x^{2}-x 在 x\in[-1,1] 上有解,只需m^{2}<\left(\;3x^{2}-x\right)_{max},\widehat{\ast} f(x)=3x^{2}-x=3\left(x-(1)/(6)\right)^{2}-(1)/(12), 1<=slant x<=slant1 知 f( x)_{_{\scriptsize~max}}=f( -1 )=4 ,( 4 \widehat{γ} ) 所以 m^{2}{<}4 , 則 -2<m<2 , 故 m 的取值集合 M=\left(\begin{array}{l l l l l l l l}{-2}&{}&{}&{}&{}\end{array}\right) 2).(6分)

(2)因為 x\in N 是 x\in M 的必要條件,所以 M\subseteq N, 顯
然 N 不為空集,即 a 不為1,(8分)
因為不等式 \left(x{-}a\right)\left(x{+}a{-}2\right){<}0 的解集為 N, 所以 ① 當 a>
2- a 即 a>1 時， N=\left( 2-a, a \right), M=\left( - 2, 2 \right), 則
[2-a≤-2,
\{a>=2 解得a≥4;(10分)
[a>1,
② 當 a{<}2{-}a 即 a<1 時 ,N=\left(\{ a ,2^{-}a \right) ,M=\left( -2 ,2 \right) ,} a≤-2,
則 \{2-a>=2\} 解得 a\lesssim-2, (12分)綜上所述 ,a 的取值范[a<1,
圍是 (-∞ ,-2]\cup[4,+∞ ).\ (14 分)

》對應《作業(yè)本》P405

專項1丶集合與常用邏輯用語、不等式

必刷小題

一、單項選擇題

1.[全國甲(理) 2024*2] 已知集合 A=\{ 1 ,2 ,3 ,4 ，
5,9}, B=\{x |√(x)\in A\} ，則 \complement_{A}(A\cap B)= （D)

A. {1,4,9} B. {3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5}

【解析】： A=\left\{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,9 \right\} ,\therefore\;B=\left\{ x | {√(x)} \in A \right\} =\left\{ 1 ,\right. 4,9 ,16 ,25 ,81 \big\}\;,\therefore A\cap B=\{ 1 ,4 ,9 \big\}\;,\therefore \big[ _{_4}(A\cap B)= \big\{ 2 ,(\partial\big\Pi)/(\partialθ)\}\ b\in\partial \big[ _{4}(A\cap B)= \big\{ 2 ,(\partial\Pi)/(\partialθ)\}\ b\in\partial \big[ _{5}(B)= \big] _{_4}\;\big] 3,5，故選D.

2.[北京 2024*1] 已知集合 M=\{ x | {-}3<x<1 \} ， N= \{x\vert-1<=slant x<4\} ，則 M\cup N{=} (c)

A. \{x\vert-1<=slant x<1\}
B. \{x\vert x{>}{-}3\}
C. \{x\vert-3<x<4\}
D. \{x\vert x{<}4\}

【解析】因為集合 M=\{x\mid-3<x<1\mid ,N=\{x\mid-1\llx<4\} . 所以 M\cup N=\{x\mid-3<x<4\}. 故選C.

3.[全國乙(理) 2022*1] 設全集 U{=}\{1,2,3,4,5\} ,集合 M 滿足 λ_{U}M=\{1,3\} ,則 (A)

B.3∈M C.4 \notin M \operatorname{D.}5\notin M

【解析】因為 U=\{1,2,3,4,5\}\;,\complement_{U}M=\{1,3\} ，則 2,4,5\in M, 故選A.

4.[全國新課標 12023*1 . 已知集合 M=\{-2,-1,0,1 ，
2} ,N=\{x\midx^{2}-x-6>=0\} ，則 M\cap N{=} (c)

A. \left\{-2,-1,0,1\right\} B. 0,1,2}
C. \{-2\}
D.2

【解析】由 x^{2}-x-6>=0 得 x<=slant-2 或 x>=3 則 N=\mid x\mid x<=slant-2 或 x>=slant3!**:M=\{-2,-1,0,1,2\}\;,\therefore M\cap N=\{-2\} ，故選 C_{*}

5.[全國乙(理） 2023*2] 設全集 {\cal U}={\bf R} ,集合 M=\left\{ x | x< {1}\} N=\{x\vert{-}1{<}x{<}2\} ，則 \left\{x\right\vert x>=2\left\}= (A)

\uplambda.\upint_{U}(M\cup N) \mathbf{B}.N\cup\complement_{U}M \mathsf{C}.\mathsf{\bar{C}}_{v}(M\cap N) D. M\cup[\mathsf{C}_{U}N]

【解析】因為 M=\left\{x\midx<1\right\},N=\left\{x\mid-1<x<2\right\} ,所以MUN=\left\{ x | x<2 \right\} ,\stackrel{\complement}{\complement}_{U}M=\left\{ x\mid x >=slant1 \right\} ,M\cap N=\left\{ x\mid-1<x<1 \right\} ,\stackrel{\complement}{\complement}_{U}N= \{x\vert x<=slant-1 或 x>=23 ,所以 \complement_{U}(M\cup N)=\{x\mid x>=slant2\}\;,N\cup\complement_{U}M\colon \mid x\mid x>-1\mid,\complement_{v}(M\cap N)=\mid x\mid x<=slant-1 或 x>=slant1\;;M\cup{\complement}_{U}N=

6.[天津 2024*2] 設 a,b\in\mathbf{R} ，則“ a^{3}=b^{3} ”是“ 3^{a}=3^ ”的（c)

A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件

【解析】 a^{3}=b^{3}\Longleftrightarrow a=b ，若 a=b ，則 3^{a}=3^. 若 3^{a}=3^ ，則 a=b 所以“ a^{3}=b^{3 \ast}} 是 ^{*}3^{a}=3^{}^{*} 的充分必要條件,故選C.

7.[北京 2023*8] 若 x y\neq0 ，則“ x+y=0° 是“ (y)/(x)+(x)/(y)= -2"的 C

A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件

【解析】充分性：當 x+y=0 時 ,(x)/(y)+(y)/(x)=((x+y)^{2}-2x y)/(x y)=-2; 必要性 :(x)/(y)+(y)/(x)=(\left(x+y\right)^{2}-2x y)/(x y)=(\left(x+y\right)^{2})/(x y)-2=-2,β\eta(\left(x+y\right)^{2})/(x y)= 0,又xy \neq0, 所以 \left(x+y\right)^{2}=0 , 即 x+y=0, 所以“ x+y=0° 是\c^{α}{\cfrac{x}{y}}+\cfrac{y}{x}=-2^{,} 的充分必要條件，故選C.

8.[天津 2023*2] 已知 a,b\in\mathbf{R} ，則“ a^{2}=b^{2} ”是“ a^{2}+b^{2}= 2a b "的 （B)

A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件

【解析】依題意可知，若 a^{2}=b^{2} , 則 a=b 或 a=-b, 當 a=b 時 ,a^{2}+b^{2}=2a b ; 當 a=-b 時 ,a^{2}+b^{2}\neq2a b. 若 a^{2}+b^{2}=2a b 即(a{-}b)^{2}=0, 則 a=b ,所以 a^{2}=b^{2}, 所以“ a^{2}=b^{2 \mathfrak{p}} 是“ a^{2}+b^{2}=

2ab”的必要不充分條件.故選B.

9.[天津 2022*2] _{x} 為整數(shù)”是“ 2x+1 為整數(shù)”的A

A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件

【解析】由題意知“x為整數(shù)”可推出 ^{6\ast}2x+1 為整數(shù)”，故充分性成立；反之不成立,如,當 x=(1)/(2)\mathbb{H},2x+1 為整數(shù) ,x 不是整數(shù)，故必要性不成立.所以“ \boldsymbol{x} 為整數(shù)”是^{6\ast}2x+1 為整數(shù)”的充分不必要條件，故選A.

二、多項選擇題

10.［全國新高考 \mathbb{I} 2022* 12 ] 若 x ,y 滿足 x^{2}+y^{2} x y=1 ，則 （BC

\ldots x+y<=slant1 B. x+y>=slant-2 C .x^{2}+y^{2}<=slant2 D x^{2}+y^{2}>=1

【解析】對于A,B:由 x^{2}+y^{2}-x y=1 得 \left(x+y\right)^{2}-3x y= 1 , \bar{\bar{m}} x y=(\left( x+y \right)^{2})/(4)-(\left( x-y \right)^{2})/(4) ,\rlap{ /}{/}\bar{p}\bar{r} V\left( x+y \right)^{2}-3 \left[ (\left( x+y \right)^{2})/(4)-(\left( x-y \right)^{2})/(4)\right] (\left(\mathit{x)/(-)\mathit{y}\right)^{2}}{4}\rceil=1 , \sharp\slash 1{=}(\left(\mathit{x)/(+)\mathit{y}\right)^{2}}{4}{+}(3\left(\mathit{x)/(-)\mathit{y}\right)^{2}}{4}{>=slant}(\left(\mathit{x)/(+)\mathit{y}\right)^{2}}{4}, 所以-2\lex+y\le2 ,所以A不正確,B正確；
對于C,D:由 x^{2}+y^{2}-x y=1 ，得 x^{2}+y^{2}-1=x y<=(x^{2}+y^{2})/(2), 當且僅當 x=y 時等號成立,所以 x^{2}+y^{2}<=slant2 , 所以C正確；當 x=(√(3))/(3),y=-(√(3))/(3)\mathbb{H},x^{2}+y^{2}<1 , 所以D不正確.故選BC.