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1 數學加分寶8 上第 1 周秋季講義（教師版）【知識梳理】1.勾股定理： 直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方 .字母表示： 若斜邊的長度用 c 表示，兩條直角邊分別用 a、b 表示，則 2 2 2

a ? b ?c .注意：①勾股定理成立的前提是 直角 三角形；②要分清楚三條邊哪個是直角邊，哪個是斜邊；2.勾股定理逆定理：如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方,則這個三角形是直角三角形.判斷一個三角形是否為直角三角形的方法是（1）邊：三邊滿足 2 2 2 a ? b ? c

（2）角：最大角為 90°（或最大角等于兩個小角的和）

3.勾股數: 滿足

2 2 2 a ? b ? c 的三個正整數,叫做勾股數.常見勾股數：

①3,4,5 ② 5,12,13 ③ 7,24,25 ④ 9,40,41 ⑤8,15,17題組 1 利用面積探索勾股定理

1.求下列字母所代表的數. 【答案】A＝400+225＝625 B＝225－81＝144 A＝400－64＝336 4142552 2

x ???，x?2.如圖中字母 A 所代表的正方形的邊長為（ B ）

A．4 B．8 C．16 D．64

3.如圖，圖中所有三角形是直角三角形，所有四邊形是正方形， 1 S ＝9， 3 S ＝144，4 S＝169，則2 S＝16.第 2 題圖 第 3 題圖 第 4 題圖

4.在直線 l 上依次擺放著七個正方形(如圖所示)．已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，其余四個正方形的面積分別是 S1,S2,S3,S4,則 S1+S2+S3+S4=_______4______. 5.（26 中期中）如圖，以直角三角形 a,b, c 為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關系滿足 1 2 3 S ? S ? S 圖形個數有 4 個.

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2 數學加分寶題組 2 已知兩邊關系求第三邊

勾股定理的常見變形： ????

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ??2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a c b ；b c a ；c a b ；a c b ；b c a. 1.Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 所對的邊分別為 a，b，c . （1）若 a ?12，b ? 5 ，則 c ? 13 . （2）若 c ? 41，b ? 40 ，則 a ? 9 . （3）若 a : b ? 3: 4 ，c ? 20 ，則 a ? 12 ，b ? 16 . 2.（市南期中）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，周長為 90，斜邊與一條直角邊之比為13：5，則這個三角形三邊長分別為（ C ）

A.5，4，3 B.13，12，5 C.39，36，15 D.26，24，10

3.（市北期中）在 Rt△ABC 中，? C=90°，周長為 60，斜邊與一條直角邊長度之比為5:3，則這個三角形三邊長分別是 25,20,15 . 4.一個直角三角形的斜邊長比一直角邊長大 2，另一直角邊長為 6，則直角三角形的斜邊長為10 . 5.已知一個直角三角形的木板，三邊的平方和為 1800，則斜邊的長為 30 . 6.已知直角三角形面積為 4，兩直角邊的比為 1:2，則它的斜邊的平方為 5 . 7.在直角三角形中，兩條直角邊長為 n

2－1 和 2n ，則斜邊長為 n

2+1 .題組 3 勾股定理分類討論

1.（市北期中）在△ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，則△ABC 的周長是42 或32 . 2.直角三角形的兩邊長分別為 3 和 4，則第三邊的平方為 25 或 7 . 3.一直角三角形的兩邊長是 6 和 8，則第三條邊上的高為 4.8 或 6 . 4.（市北期中） ?ABC 中，AB=15cm，AC=13cm，高 AD=12cm， ?ABC的周長是42 或32 cm. 5.（市北期中）直角三角形的兩條邊分別是 3 和 4，則它的最長邊的長度是___5 或4____.

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3 數學加分寶題組 4 求面積

1.已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 a＋b＝14cm，c＝10cm，則 Rt△ABC 的面積是24 cm2

. 2.一個三角形三邊長為 15，20，25，則其面積為 150 . 3.斜邊長為 17 厘米，一條直角邊為 15 厘米的直角三角形的面積為 60 平方厘米. 4.以面積為 9m2的正方形的對角線為邊做一個正方形，其面積為 18m2

. 5.（26 中期中）斜邊的邊長為 17cm，一條直角邊長為 8cm 的直角三角形的面積是60cm2

. 6.如圖，半圓的面積是 8π .

7.如圖，一塊直角三角形地被 BD 分成兩塊，其中斜邊 AB 長為 13 米，一條直角邊BC 長為5 米，∠BDC=45°，要在△ABD 內種草皮，已知這種草皮每平方米售價 a 元，則購買這種草皮至少需要多少元？8.如圖，小李準備建一個蔬菜大棚，棚寬 4 米，高 3 米，長 20 米，棚的斜面用塑料薄膜遮蓋，不計墻的厚度，請計算陽光透過的最大面積.解： 100( ) 2 S矩形ABDE ? AB ? BD? m

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4 數學加分寶題組 5 小應用題

1.在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蝸牛從 C 點出發(fā)，以每分鐘20cm的速度沿CA→AB→BC 的路徑再回到 C 點，需要的時間是 12 分鐘. 2.如圖，校園內有兩棵樹，相距 12 米，一棵樹高 13 米，另一棵樹高 8 米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛多少米？

【答案】AC＝13（米）

3.秋千拉繩長 3 米，靜止時踩板離地面 0.5 米，某小朋友蕩秋千時，水平方向蕩出2.4 米，此時秋千離地面多少米？

【答案】如圖， 3 2.4 1.8 1.8 3.5 1.8 1.7

2 2 2 2 2 2 OC ? OB ? BC ? ? ? ，OC ? ，CG? ? ?4.如圖，甲乙兩船從?？?A 同時出發(fā)，甲船以 12 海里/時的速度向北偏東 40°航行，乙船向南偏東50°航行，航行 3 小時后，甲船到達 C 島，乙船到達 B 島，若 BC 兩島相距 60 海里，則乙船的速度是16 海里/小時.

5.如圖，一次臺風過后，一棵大樹被風從離地面 2.8 米處吹斷，倒下的樹的頂端砸到了離樹根9.6 米處的一輛自行車，這課大樹被吹倒前至少有多高？

【答案】12.8 米

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5 數學加分寶題組 6 等腰三角形

1.等腰三角形腰為 5，底為 8，則這個三角形的面積是 12 . 2.等腰三角形一條腰長為 39，底邊長為 30，則底邊上的高為 36 . 3.等腰三角形面積為 12，底邊上的高為 4，則腰長為 5 . 4.（李滄期中）等腰三角形的周長是 16，底邊長是 6，則它的面積是 _12__. 5.（市南東片）若等腰三角形的一邊長是 3，另一邊長為 6，則它的周長是（C ）A.9 B.12 C.15 D.12 或15

6.一位工人師傅測量一個等腰三角形工件的腰、底及底邊上的高，并按順序記錄下數據，量完后，不小心與其他數據記混了，請你幫助這位師傅從下列數據中找出等腰三角形工件的數據是②.（填序號）①13，10，10 ②13，10，12 ③13，12，12 ④13，10，11

題組 7 斜邊高

1.直角三角形兩條直角邊分別為 5cm、12cm，斜邊上的高是 cm13

60

. 2.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，則點 C 到 AB 的距離是 7.2 . 3.直角三角形兩條直角邊分別為 8cm、15cm，斜邊上的高是 cm17

120

. 4.如圖，在△ABC 中，有一 P 在直線 AC 上移動，若 AB=AC=5，BC=6，則BP 的最小值為4.8.

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6 數學加分寶題組 8 勾股定理的驗證

1.驗證勾股定理：

①如圖，用四個相同的直角三角形構成如圖所示的正方形.你能驗證勾股定理嗎？2 2 2

2 2

2

2

2

1

( ) 4

4

a b c

a b

a b ab

S S S

S c

? ? ?

? ?

? ? ? ?

? ?

?小正方形 大正方形 三角形

小正方形

②如圖，用四個相同的直角三角形構成如圖所示的正方形.你能驗證勾股定理嗎？2 2 2

2 2

2

2

2

1

( ) 4

4

a b c

a b

b a ab

S S S

S c

? ? ?

? ?

? ? ? ?

? ?

?大正方形 小正方形 三角形

大正方形

③如圖，用兩個完全相同的直角三角形構成如圖所示的梯形.你能驗證勾股定理嗎？2 2 2

2 2

2 2

2

( ) 2

(2 ) 2

1

2

1

2

1

2 2

( ) 2

1

( ) ( ) 2

1

a b c

a b ab c

S S S ab c ab c

S a b a b a b

ABE AED

? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?

梯形 ? ?

梯形

2.用如圖 1 所示的 4 個形狀、大小完全一樣的直角三角形拼一拼，擺一擺，可以擺成如圖2 所示的正方形，你能利用這個圖形驗證勾股定理嗎？

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7 數學加分寶題組 9 判斷一個三角形是直角三角形

1.（李滄期中）下列各組數中，能作為直角三角形三邊長的是（ C ）

A. 2,3,4 B.3,4,6 C.5,12,13 D.4,6,7

2.（青附期中）分別以下列六組數為一個三角形的邊長：①6，8，10 ② 2 ，5，7③1，2，3；④9，40，41 ⑤

2

1

,5

2

1

,4

2

1

3 ⑥ 2 2 2 3 ,4 ,5 . 其中能構成直角三角形的有（ B ）組. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3.（市南期中）在下列四組線段中，能組成直角三角形的是（ D ）

A.4，5，6 B.5，6，10 C.5，8，12 D. 3, 3, 64.（局屬期中）下列四組數據中，能作為直角三角形三邊長的是（ C ）

A. 6, 8, 10 B. 2 2 2 3 ,4 ,5 C.9,40,41 D. 513, 5

12

, 5

6

5.（51 期中）下列能構成直角三角形三邊長的是（ C ）

①2、3、4 ②3、4、5 ③15、20、25 ④7、24、25

A.1 個 B. 2 個 C.3 個 D.4 個

6.（局屬期中）下列各組數是勾股數的一組是（ A ）

A.7，24，25 B. 2 2 2 3 ,4 ,5 C.1.5，2，2.5 D. 3, 4, 77.（市北期中）下列條件中，可以使 ?ABC 是直角三角形的，有（ C ）

① 5

1

4

1

3

1

a ? ，b ? ，c ? ；② a ? 3，b ? 2，c ? 5 ；③∠A=48°，∠B=42°；④AB=AC，∠B=45°. A.0 個 B.1 個 C.2 個 D.3 個8.（市北期中）根據下列所給條件，能判定一個三角形是直角三角形的有（B ）①三條邊的邊長之比是1: 2 : 3 ②三個內角的度數之比是1:1: 2

③三條邊的邊長分別是

5

1

4

1

3

1，， ④三條邊的邊長分別是 2，3，5A.1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個

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8 數學加分寶題組 10 判斷一個三角形不是直角三角形

1.（市南東片）以下列各組數為邊長，不能構成直角三角形的是（ B ）

A.3，4，5 B.8，12，13 C.1，1， 2 D. 2, 3, 52.（市南中片）下列各組數中不能作為直角三角形的三邊長的是（ A ）

A.2，6，7 B.6，8，10， C.7，24，25 D.9，12，15

3.（26 中期中）以下列長度的線段為邊不能構成直角三角形的是（ D ）A.3，4，5 B.6，8，10 C.5，12，13 D.6，24，25

4.（李滄期中）木工師傅想利用木條制作一個直角三角形的工具，那么下列各組數據不符合直角三角形的三邊長的是（ D ）

A.3，4，5 B. 6，8，10 C.5，12，13 D.13，16，185.（李滄期中）木工師傅想利用木條制作一個直角三角形的工具，那么下列各組數據不符合直角三角形的三邊長的是（ A ）

A. 8，15，18 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 3，4，5

6.（26 中期中）下列各組數中，不能構成直角三角形的一組是（ D ）

A．1,2, 5 B.1,2, 3 C.3,4,5 D. 6,8,127.（育才期中）下列四組數中，不能構成直角三角形邊長的一組是（ B ）A.0.3，0.4，0.5 B.1，2，3 C.1， 2 ， 3 D.5，12，13

題組 11 格點圖判斷

1.（市北期中）如圖是一個 6?6 的網格，在△ABC，△ A?B?C?，△ A??B??C??三個三角形中，有（B）個直角三角形. A.3 B.2 C.1 D.0

2.如圖，在正方形網格圖中標有 AB,CD,EF,GH 四條線段，其中能夠成一個直角三角形三邊的線段是（B）A. CD,EF,GH B.AB,EF,GH C.AB,CF,EF D.GH,AB,CD

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9 數學加分寶題組 12 勾股定理逆定理的應用

1.（51 中期中）如圖，點 E 在正方形 ABCD 內，滿足 ?AEB ? 90?, AE?6, BE?8, 則陰影部分的面積是76 .

2.（李滄期中）我市某中學有一塊四邊形的空地 ABCD ，如圖所示，為了綠化環(huán)境，學校計劃在空地上種植草皮，經測量∠ o A ? 90 ， AB ? 3m ， DA ? 4m ， BC ?12m，CD?13m. （1）求出空地 ABCD 的面積. 36

2 m

（2）若每種植1平方米草皮需要 200 元，問總共需投入多少元？

【答案】7200 元

3.（李滄期中）如圖，已知CD ? 6，AD ? 8，?ADC ? 90?，BC ? 24 , AB ? 26 .求圖中陰影部分面積. 【答案】96

4.（李滄期中）如圖所示的一塊地，?ADC ? 90? ， AD ?12m，CD? 9m，AB?39m，BC?36m，求這塊地的面積. 【答案】216

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10 數學加分寶5（. 51 期中）實驗中學有一塊四邊形的空地 ABCD ，如下圖所示，學校計劃在空地上種植草皮，經測量AD=8米，CD =6 米，?ADC =90? ， AB =26 米， BC =24 米，若每平方米草皮需要300 元，學校需要投入多少資金買草皮？

【答案】96*300=28800

6.某住宅小區(qū)有一塊草坪如圖，已知 AB=3 米，BC=4 米，CD=12 米，DA=13 米，且AB⊥BC.求草坪面積. 【答案】36m2

7.（市南期末）某小區(qū)有一塊四邊形空地，如圖所示∠ABC=90°，AB=20 米，BC=15 米，CD=7 米，AD=24米.則該四邊形空地的面積為多少？

【答案】234m2

題組 13 勾股定理逆定理的應用

1.下列數組中一定不是勾股數的是（ C ）

A.3k，4k，5k（k 為整數） B.5，12，13 C.0.7，2.4，2.5 D.9，12，15

2.下列數據中是勾股數的有（ B ）組

（1）3，5，7 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10，24，26

A.1 B.2 C.3 D.4

3.下面各組數據：

①7，24，25； ②8，15，19； ③0.6，0.8，1.0；④3n,4n,5n ( n＞1，且為自然數)，勾股數有___2__組.

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11 數學加分寶課堂檢測

1.如圖，字母 B 所代表的正方形的面積為 144 ；邊長為 12 ．2.（青大附期中）如圖所示，在四邊形 ABCD 中，AB ? BC，AC ?CD，以CD 為直徑作半圓O，AB=4cm,BC=3cm,AD=13cm.則圖中陰影部分的面積是 18π .

3.如圖，某賓館在重新裝修后，準備在大廳的樓梯上鋪上某種紅色地毯，已知這種地毯每平方米售價18元，主樓梯道寬 2 米，其側面如圖所示，則購買地毯至少需要___252___元．

4.（李滄期中）一個直角三角形的兩邊長分別為 5 和 12，則第三邊的長的平方為169 或119. 5.如圖，已知直角三角形兩直角邊 BC 和 AC 的長分別為 6cm 和 8cm,那么斜邊上的高CD是____4.8cm____.

6.如圖，有兩棵樹，一棵高 10 米，另一顆高 4 米，兩樹相距 8 米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行 10 米.

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12 數學加分寶7.如圖，△ABC 中，AB=20cm，AC=20cm，BC 邊上的高 AD=12cm，求 BC 的長. 【答案】32cm

8.如圖，求等腰△ ABC 的面積. 【答案】12cm2

9.如圖，臺風過后，一希望小學的旗桿在離地某處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部8 米處，已知旗桿原來長是 16 米，請你求出旗桿在離底部多少米的位置斷裂. 【答案】6m

10.（26 中期中）在公路 AB 旁有一座山，現 C 處需要爆破，已知點 C 與公路上的?？空続的距離是700米，與公路上另一?？空?B 的距離為 2400 米，且 CA 垂直 CB，為了安全起見，爆破點C 周圍半徑680米范圍內不得進入，請問在爆破時，公路 AB 段是否因有危險而需要暫時封鎖？

【答案】672＜680 有危險

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13 數學加分寶課后作業(yè)1.根據下列條件，能判定一個三角形是直角三角形的是（ B ）

A.三條邊的邊長之比是 1：2：3 B.三個內角的度數比是 1：1：2

C.三條邊的邊長分別是

5

1

4

1

3

1，， D.三條邊的邊長分別是 12，15，20

2.適合下列條件的三角形中，是直角三角形的是（ C ）

(1) 5

1

, 4

1

, 3

1

a ? b ? c ? (2)∠A=32°，∠B=58° （3）a=7,b=24,c=25

(4)a:b:c=1:1:2 (5) 2 2 2 b ? a ? c （6）a=0.3 b=0.4 c=0.5

A.2 個 B.3 個 C.4 個 D.5 個

3.（市南中片）下列條件中，不能判斷這個三角形是直角三角形的是（ C ）A.三個角滿足關系∠B+∠C＝∠A B.三條邊滿足關系 2 2 2

a ? b ? c

C.三個角的比為 3:4:5 D.三條邊的比為 3:4:5

4.（青大附）在△ ABC 中，給出以下 4 個條件：

①?C ? 90? ②?A? ?B ? ?C ③ a : b : c ? 3: 4 : 5 ④∠ A:?B:?C=3:4:5

從中任取一個條件，可以判定出△ ABC 是直角三角形的有_①②③____.(填序號)

5.（李滄期中）下列三角形是直角三角形的是（ D ）

A. B. C. D. 6.若△ABC 的三邊長分別為 a，b，c，滿足| 50 | 32 ( 40) 0

2

a ? b ? ? a ? b ? ? c ? ? ，則△ABC是（C）A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.下列三角形中，為直角三角形的是（ D ）

A.三個角的比值為1: 2 : 2 B.三角形三邊長分別為 2 2 2 3 ，4 ，5

C.三角形一邊等于另一邊的一半 D.三角形三邊長分別為7,24,25

8.下列數據：①8、15、17；②1.5、2.0、2.5；③12、15、20；④ 5

1

4

1

3

1、、；⑤2 2 2 5 、12、13；⑥1.8、8、8.2. （1）其中能作為直角三角形三邊長的有 ①②⑥ .（填序號）

（2）其中是勾股數的有 ① .（填序號）

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14 數學加分寶9.（局屬期末）如圖所示，某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地 ABCD，現計劃在空地上種植草皮，經測量?A ? 90 ，AB ? 30cm, AD ? 40cm,BC ?120cm,CD ?130cm, 。 若植每平方米草皮需要100 元，問將這塊空地植滿草皮，開發(fā)區(qū)需要投入多少元？

【答案】 3600m , 2 S ? 花費 360000 元

10.（市南期中）如圖，有一塊地（圖中陰影部分），AD ? 8m，CD? 6m，?ADC?90?，AB?26m，BC ? 24m ，求這塊地的面積. 【答案】96m

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15 數學加分寶8 上第 2 周秋季講義（教師版）題組 1 求高的解答題

1.（26 中期中）在公路 AB 旁有一座山，現 C 處需要爆破，已知點 C 與公路上的停靠站A 的距離是700米，與公路上另一停靠站 B 的距離為2400 米，且 CA 垂直 CB，為了安全起見，爆破點C 周圍半徑680米范圍內不得進入，請問在爆破時，公路 AB 段是否因有危險而需要暫時封鎖？

答案：過 C 作 CD⊥AB 于 D，易求 AB=2500 米

用等面積法求 CD=672 米<680 米，故有危險需要暫時封鎖.

2.如圖，某沿海開放城市 A 接到臺風警報，在該市正南方向 100km 的 B 處有一臺風中心，沿BC方向以20km/h的速度向 D 移動，已知城市 A 到 BC 的距離 AD=60km，那么臺風中心經過多長時間從B 點移動到D點？如果在距臺風中心 30km 的圓形區(qū)域內都將有受到臺風破壞的危險，正在 D 點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內撤退才可脫離危險？

【答案】4h 2.5h

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16 數學加分寶題組 2 滑梯、旗桿類

1.如圖，一架梯子 AB 長 25 米，斜靠在一面墻上，梯子底端 B 離墻 7 米. （1）這個梯子的頂端距地面有多高？

（2）如果梯子的頂端下滑了 4 米，那么梯子底部在水平方向滑動了 4 米嗎？請說明理由.解：（1）這架梯字的頂端 A 距地面有 24m 高; （2）梯子的底端在水平方向滑動了8m2.如圖是一個滑梯的示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高CE=DB=3m，CD=1m，求滑道 AC 的長.解：5m. 3.如圖，教學樓走廊左右兩側是豎直的墻.一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7m，頂端距離地面 2.4m.若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2m，求教學樓走廊的寬度.答案：2.2 米

4.如圖，小亮將升起的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現此時繩子末端距離地面 2m，請你求出旗桿的高度.（滑輪上方的部分忽略不計）【答案】17 米

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17 數學加分寶題組 3 斜坡類

1.如圖所示，OA ? OB，OA=45 cm ，OB=15 cm ，一個機器人在 B 處發(fā)現有一個小球自A點出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點 O，機器人立即從 B 處出發(fā)以相同的速度勻速直線前進去攔截小球，在點C處截住了小球，求機器人行走的路程 BC.解： 25cm

2.由于大風，山坡上的一棵樹甲被從點 A 處攔腰折斷，如圖所示，其樹恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知 AB=4 米，BC=13 米，兩棵樹的株距(兩棵樹的水平距離)為 12 米，請你運用所學的知識求這棵樹原來的高度.答案： 19 米

3.如圖，鐵路上 A，B 兩點相距 25 km ，C，D 為兩村莊，DA 垂直 AB 于點A，CB 垂直AB于點B，已知DA＝15 km ，CB＝10 km ，現在要在鐵路 AB 上建一個土特產品收購站 E，使得，兩村到收購站的距離相等，則收購站 E 應建在離 A 點多遠處？

答案：10km

4.一位阿拉伯數學家曾提出一個“鳥兒捉魚”的問題：

“小溪邊長著兩棵棕櫚樹，恰好隔岸相望.一棵樹高是 30 肘尺（肘尺是古代的長度單位），另外一棵高20肘尺；兩棵棕櫚樹的樹干間的距離是 50 肘尺.每棵樹的樹頂上都停著一只鳥.忽然，兩只鳥同時看見棕櫚樹間的水面上游出一條魚，它們立刻飛去抓魚，并且同時到達目標.問這條魚出現的地方離開比較高的棕櫚樹的樹跟有多遠？

【答案】20

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18 數學加分寶題組 4 超速、臺風問題

1.“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70km/ h.如圖，一輛小汽車在一條城市街道上直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方30m處，過了2s測得小汽車與車速檢測儀間距離為50m，這輛小汽車超速了么？

答案： BC ? 40m ,小汽車的速度是v ? 40 ? 2 ? 20?m / s ? ? 72?km / h?72?km / h? ? 70?km / h?，所以超速了

2.“交通管理條例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過 70 千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直到行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方50 米處，過了4 秒后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為 130 米，這輛小汽車超速了嗎？

【答案】108>70 超了

3.2022 年 7 月 23 日，氣象局測得臺風“韋森特”的臺風中心運動路線為直線AB，距臺風中心100千米范圍內是受臺風影響的區(qū)域，臺風中心的運動速度為 240 千米/時，已知香港距直線AB 的最短距離為80千米，（1）香港會不會受到“韋森特”的影響？

（2）若香港會受影響，求影響的時間為多長？

【答案】解：（1）會，80＜100 （2）EF＝120，120÷240=0.5（小時）

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19 數學加分寶題組 5 橋洞問題

1.一輛裝滿貨物的卡車，其外形高 2.5 米，寬 1.6 米，要開進廠門形狀為如圖所示的某工廠，廠門上部為半圓形，下部為長方形，已知長方形的寬為 2 米，高為 2.3 米，半圓形的直徑與門的寬相等.問這輛卡車能否通過該工廠的廠門？

【答案】 2 2 2 CD ? OD ? CO ∴ 0.6

2 2 CD ? CO ? DO ? ∴CH=2.3+0.6=2.9m＞2.5m∴可以通過2.一輛裝滿貨物的卡車，高 2.5 米，寬 1.6 米，要開進上邊是半圓，下邊是長方形的橋洞，如圖所示，已知半圓的直徑為 2 米，長方形的另一邊長是 2.3 米. （1）此卡車是否能通過橋洞？試說明你的理由. （2）為了適應車流量的增加，先把橋洞改為雙行道，要使寬為 1.2 米，高為2.8 米的卡車能安全通過，那么此橋洞的寬至少增加到多少？

【答案】解:(1)同上題能通過， 2.3? 0.6 ? 2.9 ? 2.5 ，∴這輛卡車能通過. (2)如圖:根據題意可以知道:CG ? BE ? 2.8米, EC ? OF ? BG?1.2 米, EF?AD?2.3米,?BF?0.5米∴ 1.2 0.5 1.69

2 2 2 2 2 OB ? OF ? BF ? ? ? ?OB ?1.3 米,OA ?1.3米,∴橋洞的寬至少增加到1.3?2?2.6(米)3.如圖，已知一輛裝滿貨物的卡車高 3.5 米，寬 1.2 米，要通過雙向車道的橋洞，橋洞長方形部分BC為6.8米，DC 為 2 米（兩車道之間有 0.8 米的隔離帶），這輛卡車能否安全經過橋洞？說明理由.

解：GF ? 3，GE ? 5＞3.5，能

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20 數學加分寶題組 6 三角形折疊

1.如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊 AC=6 cm，BC=8 cm，現將直角邊AC 折疊，使它落在斜邊AB上，恰與 AE 重合，則 CD 等于 3 cm .

2.如圖，直角△ ABD 中，∠ A=90°，AB=2cm，AD=4cm，將此三角形折疊，使點B 與點D重合，折痕為EO，則△ EOD 的面積為_____ 4

5

_____ 2

cm .

3.如圖，有一塊直角三角形紙片，直角邊 AC ? 6cm ， BC ? 8cm，現將直角邊AC 沿直線AD折疊，使它落在斜邊 AB 上，且與 AE 重合，則 CD 等于 3cm .

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21 數學加分寶題組 7 長方形折疊

1.如圖，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，如果將該矩形沿對角線 BD 折疊，那么圖中陰影部分的面積是____ 16

75

____.

2.如圖，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝5，在 CD 上任取一點 E，連接 BE，將△BCE 沿BE折疊，使點C恰好落在 AD 邊上的點 F 處，則 CE 的長為 3

5

.

3.如圖所示，折疊長方形的一邊 AD，使點 D 落在 BC 邊的點 F 處，如果 AB?8cm，BC?10cm，（1）求 BF 的長；（2）求 EC 的長.答案：（1）6cm （2）3cm

4.如圖，在長方形 ABCD 中，點 E 在邊 AB 上，把長方形 ABCD 沿直線 DE 折疊，點A落在邊BC上的點F 處.若 AE=5，BF=3.（1）求 AB 的長； 9 （2）求△CDF 的面積. 54

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22 數學加分寶題組 8 臺階類

1.如圖，有一個三級臺階，它的每一級的長，寬，高分別為 16,3,1，點 A 和點B 是這個臺階兩個相對的端點，A 點有一只螞蟻，想到 B 點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階表面爬到 B 點的最短路程是20 .

2.如圖，一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為 20、3、2，A 和 B 是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到 B 點去吃食物，則螞蟻沿著臺階面爬到 B 點最短路程是25 .

3.如圖，在一個長方形草坪 ABCD 上，放著一根長方體的木塊，已知 AD＝6，AB＝5，該木塊的較長的邊與 AD 平行，橫截面是邊長為 1 的正方形，一只螞蟻從點 A 爬過木塊到達 C 處需要走的最短路程的平方是85 .

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23 數學加分寶題組 9 最短距離（長方體）

1.如圖，長方形的長為 15cm，寬為 10cm，高為 20cm，點 B 距離 C 點 5cm，一只螞蟻如果沿著長方體的表面從點 A 爬到點 B，需要爬行的最短距離是 25 cm.

2.如圖是由 5 個邊長是 1 的正方形組成的圖形，則 ?

2 BA1

2 ， ?2 BA5

26 ；當有n個正方形時，則 ?

2 BAn n

2＋1 .

3.一只蜘蛛在一個長方體的一個頂點 A 處，一只蒼蠅在這個長方體上和蜘蛛相對的頂點B 處.如圖，已知長方體長 6cm ，寬 3cm ，高 5cm .蜘蛛因急于捉到蒼蠅，沿著長方體的表面向上爬行，它要從A點爬到B點，最短距離__10__ cm .

4.如圖，長方體的底面邊長分別為 1cm 和 3cm，高為 6cm.如果用一根細線從點A 開始經過4 個側面纏繞一圈到達點 B，那么所用細線最短需要 10 cm. 5.如圖，一個長方體透明玻璃魚缸，長 AD=80 cm ，高 AB=60 cm，水深 AE=40 cm，在水面上緊貼內壁G處有一塊面包屑，點 G 在水面線 EF 上，且 EG=60 cm ，已知螞蟻想從魚缸外的A 點沿魚缸壁爬到魚缸內的G 處吃面包屑，螞蟻爬行的最短路程為 100 cm .

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24 數學加分寶題組 10 最短距離（圓柱體）

1.如圖，有一圓柱，其高為12cm，它的底面半徑為3cm ，在圓柱下底面 A處有一只螞蟻，它想得到上面B處的食物，則螞蟻經過的最短路程為 15 cm （? 取3）.

2.我國古代有這樣一道數學問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周到達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為 3 尺，有葛藤自點 A 處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達B 處，則問題中葛藤的最短長度是 25 尺.

3.如圖，圓柱形玻璃杯高為 12cm，底面周長為 18cm，在杯內離杯底 4cm 的點C 處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿 4cm 與蜂蜜相對的 A 處，則螞蟻到蜂蜜的最短距離為15 cm.

4.如圖，有一圓柱，其高為12cm，它的底面半徑為 3cm，在圓柱下底面 A 處有一只螞蟻，它想得到上面B處的食物，則螞蟻經過的最短距離為 15 cm（π取 3）.

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25 數學加分寶課堂檢測

1.如圖，點 A 是正方體左側面的中心，點 B 是正方體的一個頂點，正方體的棱長為2，一只螞蟻從點A沿其表面爬到點 B 的最短路程的平方是 10 .

2.如圖所示，折疊長方形一邊 AD ，點 D 落在 BC 邊的點 F 處，已知 BC?10厘米，AB?8厘米，則EF的長是____5____.

3.如圖，將長方形 ABCD 的長 AD 沿 AE 折疊，使點 D 落在 BC 上的 F 處，若AB＝5，AD＝13，則線段DE 的長為 2.6 .

4.在△ABC 中，BC=10 cm ，AC=24 cm ，AB=26 cm ，CD⊥AB 于點 D，則CD= cm13120. 5.如圖，已知等腰△ABC 中，AB＝AC，BC＝20cm，D 是邊 AB 上一點，且CD＝16cm，BD＝12cm，（1）求 AD 的長；（2）求△ABC 中 BC 邊上的高. 【答案】（1）

3

14

cm； （2）

3

40

cm

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26 數學加分寶課后作業(yè)

1.如圖，一根長度為 50 cm 的木棒的兩端系著一根長度為 70 cm的繩子，現準備在繩子上找一點，然后將繩子拉直，使拉直后的繩子與木棒構成一個直角三角形，這個點將繩子分成的兩段各有多長？【答案】30 和 40 或

7

370

7

120 和

2.2022 年第二季度，我市遭遇大干旱，為了抗旱保收，即墨某鎮(zhèn)準備開采地下水，經探測C出地下有水，為此 C 處需要爆破，已知 C 處與公路上的?？空?A 的距離是 300 m，與公路是另一停靠站B的距離為400 m ，且CA ? CB ，如圖所示，為了安全，爆破點C 周圍 250 m的范圍內禁止進入.問：在進行爆破時，公路 AB 是否有危險，是否需要暫時封鎖？

【答案】240<250 需封鎖

3.根據道路交通管理條例的規(guī)定，在某段筆直的公路 l 上行駛的車輛，限速 12 米/秒.已知測速點M到測速區(qū)間的端點 A，B 的距離分別為 50 米、34 米，M 距公路 l 的距離（即 MN 的長）為30 米.現測得一輛汽車從A到 B 所用的時間為 5 秒，通過計算判斷此車是否超速.解: 在 中, , , 米,在 中, , , 米, (米),汽車從 A 到 B 的平均速度為 (米/秒), 米/秒 米/秒, 此車沒有超速.

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27 數學加分寶8 上第 3 周秋季講義（教師版）【知識梳理】題組 1 認識無理數

知識點：無限不循環(huán)小數稱為無理數.我們十分熟悉的圓周率 ? ? 3.14159265?也是一個無限不循環(huán)小數，因此它是無理數.再如，0.585885888588885……（相鄰的 5 之間 8 的個數逐次加1），也是無理數.無理數類型總結：①根號開不盡的數；②無限不循環(huán)小數；③含有? 的式子1.邊長為 1 的等邊三角形的高為（ B ）

A.分數 B.無理數 C.整數 D.有理數

2.長、寬分別是 6 cm 、3 cm ，它的對角線的長的值是一個（ D ）

A.整數 B.分數 C.有理數 D.無限不循環(huán)小數

3.若 8

2

x ? ，則 x 不是 分數， 不是 整數， 不是 有理數.（填“是”或“不是”）4.如圖，面積分別為 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的正方形，邊長是無理數的正方形有6 個. ……題組 2 無理數與有理數的分類

1.下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？

3.14，

3

4 ? ，0.·5

·7，0.101001000100001……（相鄰的兩個 1 之間 0 的個數逐次加1），0.458，??，722有理數：_3.14，

3

4 ? ，0.·5

·7，0.458，

7

22

______無理數：_0.101001000100001……（相鄰的兩個 1 之間 0 的個數逐次加 1），??______. 2.在下列各數

7

25 、2? 、0.·3

·1、0.121221222122221……（兩個 1 之間依此多 1 個2）、32?、0、|?8|、?3.1415926中：

有理數有___ 7

25 、0.·3

·1、

3

2 ? ，0，|?8|、?3.1415926____________________無理數有___ 2? 、0.121221222122221……（兩個 1 之間依此多 1 個 2）____正數有_____ 7

25 、 2? 、0.·3

·1、0.121221222122221……（兩個 1 之間依此多1 個2）、|?8|_____負數有_____ 3

2 ? 、?3.1415926____________

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28 數學加分寶題組3 算術平方根

一般地，如果一個正數 x 的平方等于 a，即 x

2=a ，那么這個正數 x 就叫做a 的算術平方根，記為“a ”，讀作“ 根號 a ”.特別地，我們規(guī)定 0 的算術平方根是 0，即0 ?0. 1.求下列各數的算術平方根. （1）9 （2） 2 （? 7） （3） 81 （4） 121

25 （5） 9

7

1 （6）6 10?算術平方根：3，7，3， 11

5 ， 3

4 ， 3 10

?

2.下列說法正確的是（ C ）

A.4 是 2 的算術平方根 B.－2 是－4 的算術平方根C.2 是（－2）2的算術平方根 D.8 的算術平方根是 4

3.一個數的算術平方根是它本身，則這個數為（ D ）

A.－1，0，1 B.1 C.－1 和 1 D.0 和1

4.下列說法：①任何數都有算術平方根；②一個數的算術平方根一定是正數；③a

2 的算術平方根是a；④ 2 (? ? 4) 的算術平方根是? ? 4 ；⑤算術平方根不可能是負數；⑥0 和 1 的算術平方根是其本身.其中正確的有（ B ）

A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個5. 16 的算術平方根是___2_ ; 9

1 的算術平方根是

3

1

;? ?

2 ? 3 的算術平方根是___3____.題組4 化簡求值

1.求下列各式的值. ① 1.44 ② 6 10

? ③

64

9 ④?0.01=1.2 3 10

? ?

8

3 ? =－0.1

2.求下列各式的值. ① 49 ②

196

25 ③ 0.09 ④?64=7 = 14

5

=0.3 =－8

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29 數學加分寶題組 5 平方根

一般地，如果一個數 x 的平方等于 a ，即 x ? a

2 ，那么這個數 x 就叫做 a 的 平方根（也叫做二次方根），記作“ ? a ”.求一個數的平方根的運算叫做 開平方 ，其中 a 叫做被開方數.一個正數有 2 個平方根，0 只有 1 個平方根，負數 沒有 平方根. 1.判斷下列各數是否有平方根，如果有，求出其平方根，如果沒有，說明理由. （1）169 （2）－2 （3）0 （4）（—1）2 （5）3 （6）2516【答案】

54（1）有，?13 （2）無 （3）有，0 （4）有，?1 （5）有，?3（6）有，?2.一個數的平方根是它本身，則這個數為（ D ）

A.－1，0，1 B.1 C. ?1和 1 D.0

3.下列說法：①6 是 36 的平方根；②－36 的平方根是－6；③36 的平方根是±36；④36 的平方根是6.其中正確的個數（ A ）

A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個4. 9 的平方根是（ C ）

A.3 B. 3 C. ? 3 D. ?35. 81的平方根為 ±3 ， 16 的平方根為 ±2 ，若 2x＋1 的平方根是±5，則x= 12 .題組 6 算術平方根與平方根的綜合（刪減）1. 9

4 的平方根是

3

2

? ，算術平方根是

3

2

；

2.4 的平方根是 ±2 ，算術平方根是 2 ; 4 的平方根是 ± 2 算術平方根是2. 3.16 的平方根是 ±4 ，算術平方根是 4 ; 16 的平方根是 ±2 ，算術平方根是2 . 4.196 的平方根是 ±14 ，算術平方根是 14 ; 196 的算術平方根是_ 14 __，平方根是?14. 5.若 x 是 256 的算術平方根，則 x 的平方根是 ±4 .

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30 數學加分寶題組 7 正數的平方根互為相反數

一個正數有 2 個平方根，它們互為相反數

1.若一個正數的平方根是 a＋2 和 4－3a，則 a= 3 ，這個正數是 25 . 2.若一個正數的平方根是 x－6 和 4＋x，則 x= 1 ，這個正數是 25 . 3.若 2m－4 與 3m－1 是同一個數的平方根，則 m 的值是 －3 或 1 . 4.3b－1 和 b＋5 是正數 a 的兩個平方根，則 a= 16 . 5.若 2x－16 和 4＋x 是同一個數的平方根，則 x= 4 或 20 ，這個正數是 64 或576 .題組 8 被開方數的非負性

被開方數具有非負性，即 a 中，a≥0.若 a ? ? a ，則 a=0；若 a和?a都有意義，則a=01.下列各式正確的是（ D ）

A. ? 25 ? ?5 B. ? 25 ? 5 C. ( 5) 5

2 ? ? ? D. ( 5) 5

2 ? ?

2.下列各式中無意義的是（ B ）

A. ? 3 B. ? 3 C. 2 （? 5） D. 2 5

3.若 4a ?1 有意義，則 a 能取的最小整數是（ A ）

A. 0 B.1 C. ?1 D. ?4

4.（市北期中）式子 x ? 5 在實數范圍內有意義，則實數 x 應滿足的條件是 x≥5 . 5.若 x，y 為實數，且 1 ? 2? 0

2 x ? ? y ? ? ，則 x＋y= 3 . 6.若 x，y 為實數，且 2 ( 3) 0

2 x ? y ? x ? y ? ? ，則 x＋y= 1 . 7.（市南期中）x，y 為實數，且| x ? 2 | ? y ? 3 ? 0，則 ? ?

2022 (x y) 1 . 8.（市南期中）若| x ?1| ? y ? 3 ? 0 ，求 x

y= －1 、 . 9.已知 y ? 1? 2x ? 2x ?1 ? 2，求 xy 的算術平方根. 【答案】 2 1

2

1

x ? ，y ? ，xy ?

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31 數學加分寶題組 9 ? a ? ? a

2

1.求下列各式的值. ① 2 （ 49） ② 2

196

25 （ ）③ 2 （0.09）④2（?64）【答案】49

196

25

0.09 64

2.求下列各式的值. ① 2 （ 3） ② 2

5

1 （ ）③ 2 （7.3）④2（?6）【答案】3

5

1

7.3 6

題組 10

?

?

?

?

??

? ? ?

, 0

0 0

, 0

2

＜

，

＞

a a

a

a a

a a

1.計算： 2 2 = 2 ， 2 5 = 5 ， 2 ) 3

2

( = 3

2

. 2.計算： 2 (?2) = 2 ， 2 (?5) = 5 ， 2 ) 3

2

(? = 3

2

. 3.計算： ?

2 3 3 ， ?

2 0 0 ， ? ?

2

5

1 （）5

1 ，

4.若 x＞4，則化簡 2 2 (x ? 4) ? (1? x) 的結果是 －3 . 5.已知 0＜a＜1，則 2 2 (a ?1) ? (a ?1) 的值是 2 . 6.化簡計算

① 2 （3 ? ?） ； ② （a ?1）（2

a＜1）； ③ 2 ( 2) 2 （? x）x ?

? ? ? 3 ?1 ? a ? x ? 2

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32 數學加分寶題組 11 對立方根的理解

一般地，如果一個 數 x的 立方 等于 a ，即 x ? a

3 ，那么這個數x 就叫做a 的立方根.用根號表示一個數 a 的立方根為 3 a ，讀作 三次根號 a .立方根的性質：正數的立方根是 正數 ，0 的立方根是 0 ，負數的立方根是負數. 1.判斷正誤

（1）立方根等于本身的數只有 0 （×）（2）互為相反數的兩數立方根也互為相反數 （√）（3）只有非負數才有立方根 （×）（4）負數的立方根一定小于負數本身 （×）2.下列說法中正確的是 ①⑦ . ①1 的立方根是 1； ②－1 是 1 的立方根； ③ 2 是 2 的立方根； ④3 是－27 的立方根；⑤－64 的立方根是 4； ⑥343 的立方根是±7； ⑦

1

27

的立方根是

1

3 ； ⑧116的立方根是14；3.下列說法中正確的是（ D ）

A.－4 沒有立方根 B.1 的立方根是±1 C. 36

1 的立方根是

6

1

D.－5 的立方根是3?54.下列說法中，正確的是（ D ）

A.一個有理數的平方根有兩個，它們互為相反數

B.一個有理數的立方根，不是正數就是負數

C.負數沒有立方根

D.如果一個數的立方根是這個數本身，那么這個數一定是－1，0，1.題組 12 求立方根

1.求下列各數的立方根.（注意格式）

（1）0.001 （2）

216

125 ? （3）343 （4）?9

【答案】0.1

6

5 ? 7 3 ?92.求下列各式的值. （1） 3 ?8 （2）3 0.064 （3） 3

125

8 ? （4）( 3 9)

3 =?2 =0.4

5

2 ? ? =9

3.8 的立方根是 2 ；－0.064 的立方根是 －0.4 . 4. 3 64 = 4 ；

3 ? 64 = －4 ；－27 的立方根是 －3__. 5. 3 64 的平方根是 ±2 ；立方根等于本身的數是 ±1,0 ；

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33 數學加分寶題組 13 解方程（平方和立方）

1.解方程

（1） ? ?

4

1

25

2

x 0 （2）? 1? 1

2

x ? ? （3）812503 x??10

1

x ? ? x ? 0或- 2

25x ??（4）

4

2 25

x ? （5）

4

2 9

x ? （6）2 82

x ?2

5

x ? ?

2

3

x ? ? x ??22.解方程

（1） 49

9

4 2

x ? （2）3? 2? 9

2

x ? ? （3）?2 1?252

x ??2

21

x ? ? x ? ?1 3, 2x1 ?x2 ??（4） (2 3) 54

4

1 3 x ? ? （5） ? ? 0

12

1

3 2

2 x ? ? ? （6）225003 x??2

3

x ?

6

13

6

11

x ? ? 或? x=5

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34 數學加分寶隨堂檢測1.在下列實數－7， 2

? ，3.1415，3.010101…（相鄰兩個 1 之間有 1 個 0）， 7

22 ? ，32.0123456…（小數部分由相繼的整數組成）中是無理數的是（ B ）

A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個

2.算術平方根等于它本身的數是 1 和 0 . 25 的算術平方根是 5 . 3. 64 的立方根是 2 ，－

8

27 的立方根為 2

3 ? .若 x ? ?5 ，則2

x 的值是5 . 4.若 a 和 ? a 都有意義，則 a 的值是 0 . 5.已知 a ? 2 ? b ? 3 ? 0 ，則 ? ? ? ?

2

a b 25 . 6.10－2的平方根是 ±0.1 ；? ?

0 ? 5 的平方根是 ±1 ； ? ?

2 ?18 的平方根是±18 . 7.若 a－1 和 5－2a 是同一個數的平方根，則 a= 2 或 4 ，這個數是 1 或9 . 8.若一個正數的平方根是 2a－1 和－a＋2，則 a= ?1 ，這個正數是 9 . 9.當 a＞4 時，化簡 2 （4 ? a） 的結果為 a?4 . 10.解方程. ① 2 8

2

x ? ②3 1 48

2 （x ? ）? ③2 25003 x ??x ? ?2 x=3 或－5 x=5

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35 數學加分寶課后作業(yè)1.下列各數中，有 2 個無理數，0.246， 6π，—24.1010010001… (兩個 1 之間依次多1 個0)，0，131112.若－4 是 a 的一個平方根， 2 （? 9） 的平方根是 b，則 a ? b ? 19或13 . 3.算術平方根是 3

7 的數是 9

49

；0.49 的算術平方根是 0.7 . 4.一個正數 a 的算術平方根減去 1 等于 3，則 a ? 16 . 5.若 4, 9

2 2

a ? b ? ，且 ab ? 0 ，則 a ? b 的值為 ±5 . 6. 3 27 =___3_____， ? ? ?

3

3 8 ____8____. 7.求下列各數的算術平方根. ①900 ②1 ③ 64

49 ④14 ⑤0.49 ⑥ ? ?

2 ?16 ⑦4 10

? 【答案】①30 ②1 ③ 8

7 ④ 14 ⑤0.7 ⑥16 ⑦ 2 10

?

8.求下列各數的平方根. ①64 ② 121

49 ③0.0004 ④? ?

2 ? 25 ⑤11 ⑥0.49

【答案】①±8 ② 11

7 ? ③ ?0.02 ④±25 ⑤ ? 11 ⑥ ?0.7

9.下列各數：3.14159，4.212121......，π，

7

22 ，1.010010001......，中，

有理數有___3.14159，4.212121......，

7

22

____________________無理數有___π，1.010010001......____正數有____3.14159，4.212121......，π，

7

22 ，1.010010001......____

10.解方程

（1）3? 2? 9

2

x ? ? （2）?2 1? 25

2

x ? ?

x ? ?1 3, 2 x1 ? x2 ? ?

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36 數學加分寶8 上第 4 周秋季講義——第2 章后3 節(jié)（教師版）幾個常見近似值 2 ?1.414, 3 ?1.732, 5 ? 2.236, 6 ? 2.449, 7 ?2.646, 10?3.162題組 1 估算

1.若 k ? 90 ? k ?1（ k 是整數），則 k ?（ D ）

A.6 B.7 C.8 D.9

2.黃金分割數

2

5 ?1 是一個很奇妙的數.請你估算 5 ?1的值（ B ）

A.在 1.1 和 1.2 之間 B.在 1.2 和 1.3 之間 C.在 1.3 和 1.4 之間 D.在1.4 和1.5 之間3.估計3 11 ?1的值（ B ）

A.在 7 和 8 之間 B.在 8 和 9 之間 C.在 9 和 10 之間 D.在10 和11 之間4.（市南中片）估計 7 ? 2的值（ D ）

A.在 1 和 2 之間 B 在 2 和 3 之間 C.在 3 和 4 之間 D.在4 和5 之間5.（51 中期中）滿足 ? 2 ? x ? 3 的整數 x 是 －1,0,1 . 6.滿足 ? 2 ? x ? 10 的整數 x 有 5 個.題組 2 整數與小數部分

1.設 a 是 2的整數部分，b 是 2的小數部分，則 a= 1 ，b= 2－1 ，a－b= 2－2 . 2. 4 ? 5 的整數部分是 1 ，小數部分是 3? 5 . 3. 10 ?1的整數部分是 2 ，小數部分是 10 ? 3 . 4.a 是5 ? 11 的小數部分，b 是5 ? 11 的小數部分，則 a+b= 1 . 5.若 7 ? a ? b ，其中 a 是正整數，0＜b＜1，則 a= 2 ，b= 7 ? 2 .

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37 數學加分寶題組 3 比較大小

無理數比較大小，可先比較兩個數的平方或立方，或者通過作差法來比較.方法 1 估算法

1.（1）

2

2 1

2

3 ?1 ? ＞ ； （2）

2

3 - 1

<

2

1

； （3）35?1＞31. 2.（1）

2

1

＜

2

5 ?1

； （2） __ _1

2

7 1

?

?

； （3）－5 ＜?35?23.寫出 ? 6 ， ?2 ， ?3的大小順序. 【答案】 ? 2＞? 6＞? 3

方法 2 兩邊同時平方、立方

4.（1） 10 __＞___ 3； （2）

4

3

__ _

3

2 ＞； （3）2 3＜325.（1）3 2 ＞ 2 3 ； （2） 3 25 ＜ 5； （3）?65＜?566.（1）3 ＜ 10 ； （2） ? 2 11 ＞ ? 3 5 （3）70___43 ＞方法 3 同時六次方

7.（1） 3 3 __＞___ 5 ； （2） 3 7 __＞___ 14 ； （3）?8＞3?29方法 4 數形結合

8.（局屬期中）為了比較 5 ?1與 10 的大小，可以構造如圖所示的圖形進行推算，其中?C=90

? ，BC=3，D 在 BC 上且 BD=AC=1.通過計算可得 5 ?1 ＞ 10 （填“＞”或“＜”或“=”）.題組 4 實數的概念及分類

①概念：有理數和無理數統(tǒng)稱為實數，即實數可以分為有理數和無理數. ②小數的分類：有限小數，無限循環(huán)小數和無限不循環(huán)小數。其中有限小數和無限循環(huán)小數又叫分數，所以所有的分數都叫小數，但是所有的小數不都是分數。

③實數的分類：

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

負無理數

正無理數 無理數

負分數

正分數 分數

負整數

正整數

整數

有理數

實數

0

④無理數和有理數一樣，也有正負之分，所以實數還可以按照正負分為：正實數、0、負實數.

辨析：

1.無理數都是實數 （√ ）2.分數都是小數 （√ ）3.小數都是分數 （×）4.整數也是分數 （×）

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38 數學加分寶1.（市北期中）在①

2

?

②0.4583③

? ? 2.7 ④3.14⑤ 3 4 ⑥－23.101010101…（相鄰兩個1 之間有一個0），這個實數中是無理數的有 ①⑤ （填寫序號）. 2.把下列各數填入相應的集合內：

?9.9， 160 ，

2

2 ? ， 7

22 ? ，3 9 ， 3 3

(? 2) ，0.710101…（每兩個 1 之間有一個0），?3.2，2?，3?8，0.·1

·5，

64

9 ，0， ? 6 ，| 9 | 3 ?無理數集合{ 160 ，

2

2 ? ， 3 9 ， 2

? ， ? 6 ，| 9 | 3 ? }

負實數集合{ －9.9 ，

2

2 ? ， 7

22 ? ， 3 3

(? 2) ，－3.2， 3 ? 8 ， ? 6 }

分數集合{ －9.9， 7

22 ? ，0.710101…（每兩個 1 之間有一個 0），－3.2，0.·1

·5，649}

3.把下列數填入相應的橫線上：0.313113111311113，1.1010010001……（每相鄰的兩個1 之間依次多一個0），?0.505， 3 ， 2 ? 3 ，

2

?

， 3 ? 27 ，0 ， 3 2 8 ，0.3

·2，

2

1 ，

3

4 ?

（1）整 數：___ 2 ? 3 ， 3 ? 27 ，0 ， 3 2 8 ___________________. （2）分 數：___0.313113111311113，?0.505，0.3

·2，

3

4 ? ______. （3）正 數：___0.313113111311113，1.1010010001……（每相鄰的兩個 1 之間依次多一個0），3，2?，3 2 8 ，0.3

·2，

2

1

____. （4）負 數：__?0.505， 2 ? 3 ， 3 ? 27 ，

3

4 ? _____. （5）有理數：__0.313113111311113，?0.505， 2 ? 3 ， 3 ? 27 ，0 ，3 2 8 ，0.3

·2，34?___. （6）無理數：__1.1010010001……（每相鄰的兩個 1 之間依次多一個 0），3，2?，21___.

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39 數學加分寶題組 5 實數的性質

在實數范圍內，相反數、倒數、絕對值的意義和有理數范圍內的相反數、倒數、絕對值的意義完全一樣.例如： 2 和 ? 2 互為相反數， 3 5 和 3 5

1

互為倒數，| 3 |? 3 ，| ?? |? ?. 1.求出下列各數的倒數、相反數和絕對值

（1） 3 ? 64 （ 4 4

4

1 ? ，，） （2） 13 （ 13 13

13

1 ，? ，）2. 3

125

64 ? 的倒數是______ 4

5 ? _______； 2 的倒數是____ 2

1

_____. 3.（李滄期中）下列各組數中互為相反數的是（ B ）

A. ? 2與 3 ?8 B. ? 2與 ? ?

2 ? 2 C. ? 2與

2

1 ? D.2 與 ?24. 2 ? 3 的相反數是___ 3 ? 2 ____,絕對值是_____ 3 ? 2 ____.題組 6 利用勾股定理在數軸上確定無理數的位置1.在數軸上作出表示 10 的點. 【提示】 2 2 10 ? 1 ? 3

2.在數軸上作出表示1? 5 的點. 【提示】從 1 起始

3.在數軸上作出表示 3 的點. 【提示】 2 2 3 ? 2 ?1

4.在數軸上作出表示 15 －2 的點. 【提示】 2 2 15 ? 4 ?1 ，從－2 起始

5.在數軸上作出表示 7 的點. 【提示】 2 2 7 ? 4 ? 3

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40 數學加分寶題組 7 實數與數軸上的點的關系

實數與數軸上的點一一對應；在數軸上，右邊的點表示的數比左邊的點表示的數大. 1.（李滄期中）實數 a、b 在數軸上的位置如圖所示，化簡 2

a ? b ? b 的結果是a . 2.（市北期中）實數 a、b、c 在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡 a ?a?b?c?b2 2 ( ) =－c. 3. 如圖，長方形 ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在數軸上，若以點 A 為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數軸的正半軸于 M，則點 M 表示的數為_____ 10 ?1______________. 4.如下圖 AB ? AC ，則數軸上點 C 所表示的數為_______ 5 ?1____________.

5.如圖，數軸上 A，B 兩點分別表示 3 和3 ，點 B 關于點 A 的對稱點為點 C，則點C 表示的數是__ 23?3__. 6.（26 中期中）如圖，數軸上 A，B 兩點表示的數分別為－1 和 3 ，點 B 關于點A 的對稱點為C，則點C所表示的數為___ ? 2 ? 3 ______. 7.（李滄期中）在如圖所示的數軸上，點 B 與點 C 關于點 A 對稱，A,B 兩點對應的實數分別為2和?1，則點 C 所對應的的實數是 2 2 ?1 .

8.（市北期中）實數 a 在數軸上的位置如圖所示，則 a ， ?a ， a

1 ， 2

a 的大小關系是（C）A. 1 2

a

a

a ? ?a ? ? B. 1 2

a a

a ? a ? ? ? C. a a a

a

? ? ? ?

1 2 D. a a aa

? ???1 2

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41 數學加分寶題組 8 整數化簡

1.一般地，形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式. a 叫做被開方數. 2.最簡二次根式：一般地，被開方數不含 分母 ，也不含能開得盡方的因數或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式. （1） 32 ? 4 2 （2） 40 =2 10 （3） 72 ? 6 2 （4）90?310（5） 96 ? 4 6 （6） 108 ? 6 3 （7） 128 =8 2 （8）150?56題組 9 分子是 1，分母不含平方數

（1）

5

1

5

5 ? （2）

7

1

7

7 ? （3）

3

1

3

3 ? （4）2122?（5）

6

1

6

6 ? （6）

10

1

10

10 ? （7）

30

1

30

30 ? （8）4214242?題組 10 分子是 1，分母含平方數

（1）

8

1

= 4

2 （2）

12

1

6

3 ? （3）

18

1

6

2 ? （4）32182?（5）

48

1

= 12

3 （6）

50

1

10

2 ? （7）

72

1

12

2 ? （8）9013010?

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42 數學加分寶題組 11 分子分母不含平方數

（1）

6

3

? 2 （2） ?

5

3

5

15 （3）

13

3

13

39 ? （4）?3236（5） ?

2

3

2

6 （6） ?

10

7

10

70 （7）

6

11

6

66 ? （8）310330?題組 12 分子不含平方數，分母含平方數

（1）

9

5

3

5 ? （2）

16

7

4

7 ? （3）

36

11

6

11 ? （4）2513513?（5）

8

5

4

10 ? （6）

12

11

6

33 ? （7）

18

7

6

14 ? （8）12522510?

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43 數學加分寶題組 13 分子含平方數，分母沒有平方數

（1）

3

4

3

2 3 ? （2）

2

9

2

3 2 ? （3）

5

16

5

4 5 ? （4）725757?（5）

3

20

3

2 15 ? （6）

2

45

2

3 10 ? （7）

7

12

7

2 21 ? （8）5485415?題組 14 分子分母都含平方數

（1）

4

45

2

3 5 ? （2）

49

12

7

2 3 ? （3）

8

25

4

5 2 ? （4）121216113?（5）

10

3 2

50

9 ? （6）

27

20

7

2 3 ? （7）

8

45

4

3 10 ? （8）121256515?

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44 數學加分寶題組 15 小數類化簡

（1） 0.04 =0.2 （2） 0.16 =0.4 （3） 1.2

5

30 ? （4）1.526?（5） 1.8

5

3 5 ? （6） 2.5

2

10 ? （7） 2.8

5

70 ? （8）3.2545?題組 16 分子沒有根號，分母有根號

（1）

2

1

2

2 ? （2）

8

2

2

2 ? （3）

3

12 2

3 ? （4）204525?（5）

2 6

3

4

6 ? （6）

3 2

2

3

2 ? （7）

2 3

5

6

5 3 ? （8）334943?

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45 數學加分寶題組 17 二次根式的加減

二次根式也可以進行加減運算，以前學過的實數的運算法則、運算律仍然適用.當然，如果運算結果中出現某些項，它們各自化簡后的被開方數相同，那么應當將這些項合并. （1） 48 ? 3 ? 3 3 （2） 32 ? 2 2 ? 2 2 （3）

3

1

27 ? 33

10 ? （4）3175?23313?（5）

10

1

5

2 ?

10

10 ? （6）

3

1

12 ? 3 ? 3

3

4 ? （7） 2 75 ?8?27?73?22題組 18 二次根式乘法運算

乘法法則： a ? b ? ab （a≥0，b≥0）

（1）3 2 ? 2 3 ? 6 6 （2） 3 12

3

1

2 ? ?12（3）

3

2

2

2

3

5 45 ? ?15 30 （4）(1?2)(2?2)?2（5）2 2 ? 5 5 ?10 10（6） 4 12

2

1

3 ? ?12 6 （7）

3

2

2

3

2

4 27 ? ?16 2（8）(1?3)(2?3)?3?1

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46 數學加分寶題組 19 利用乘法公式進行二次根式計算

平方差公式： a ? b ? ?a ? b??a ? b?

2 2 完全平方公式： ? ?

2 2 2

a ? 2ab ? b ? a ? b ，??2 2 2a ?2ab?b?a?b. （1） ? ? ? ?

2021 2020 ? 5 ? 2 5 ? 2 （2）? ?

2

2 ? 5 （3）? ?2

2 2+3 3 （4）??????21?21?2? ? 5 ? 2 ? 9 ? 4 5 ? 35 ?12 6 ?1（5）? ?

2 5 2 ? 2 5 （6）?? ?? ??

2

3 ? 3 3 ? 3 （7） ? ?

2 18 ? 72 （8） ? 5 2??112??112?2 ? ? ???? 70 ? 20 10 ? 36 ?18 ? 2 ?45題組 20 二次根式除法運算

除法法則： ?

b

a

b

a （a≥0，b＞0）. （1） 48 ? 3 ? 4 （2）

3

12 ? 2 （3）

5

2

5

10 ? （4）????????61211??3（5） 30 ? 6 ? 5 （6）

12

24 ? 2 （7）

7

3

7

21 ? （8）????????8332??2（9）

20

8

5

10 ? （10）

5

8

5

2 10 ? （11）

3

15 ? 5 （12）204523?

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47 數學加分寶題組 21 二次根式乘除法混合運算

（1）

24

12 ? 6

? 3 （2）

2

6 ? 3

? 3 （3）

6

18 ? 2 ? 6 （4）327?3?33（5）

12 8

2

?

? 4 3 （6）

2

10 ? 5 ? 5 （7）

8

12 ? 6 ? 3 （8）312?27?63題組 22 二次根式的混合運算

二次根式的混合運算要注意運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如有括號，先算括號里面的. （1）

3

27 ? 12 （2） 3 6

3

4 （? ）? （3）361（24?）?=1 ? 5 2 2611?（4） 2

5

20 5 ?

?

（5）

5

1

3 20 ? 45 ? 2 （6） 48)2331(3 12?2??=1 = 5

5

13

= 3

14

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48 數學加分寶隨堂檢測

1.下列說法錯誤的是（ C ）

A.所有的無理數都是實數 B.實數包括正實數、0、負實數

C.正數和分數統(tǒng)稱為實數 D.實數與數軸上的點一一對應

2.下列說法正確的是（ D ）

A.無限小數是無理數 B.用根號表示的數是無理數

C.無理數是開方開不盡的數 D.無理數包括正無理數和負無理數

3.如圖，數軸上 A，B 兩點表示的數分別為 3 和?1，點 B 關于點 A 的對稱點為C，則點C=____ 2 3 ?1_______. 4.下列說法正確的是 ⑤⑦ . ①0 是最小的實數；②0 的相反數、倒數、絕對值都是 0；③正數、負數統(tǒng)稱為有理數；④無理數就是帶根號的數；⑤無理數都是無限小數；⑥無限小數都是無理數；⑦無理數的相反數還是無理數；⑧任何一個實數都可以用分數表示. 5.作圖題.在數軸上作出 ? 10 對應的點. 6.化簡計算

（1）

13

3

13

39 ? （2）

16

1

5

4

9 ? （3） 3

3

1

12 ? ? ?23?1（4） 2 ( 5 ?1) ? 6 ? 2 5 （5）( 12 ? 6 6) ? (? 3) ? 6 2 ?2

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49 數學加分寶課后作業(yè)（1） 18 ? 3 2 （2）

2

1

2

2 ? （3）3123?27?3143?（4） 2 (2 2 ? 3 3) （5）

2 ) 5

1

( 5 ? （6）511031227??? 35 ? 12 6

5

16 ? ?5 ?25（7） (2 3 ? 3 2)(2 3 ? 3 2) （8） 2

2 3

48 27 ?

?

（9）212590100??? ?6

2

3 ? ? ?22?25（10） 108 12

2

49

? ? （11） 2 （2 3 ?1）（12）2239829（?）?2 4 3

2

7 ? ? ?13 ? 4 3

3

10 ? ?

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50 數學加分寶3.1－3.2 確定位置 平面直角坐標系

知識點 1 確定位置的方法

1.平面內，確定點的位置一般需要兩個數據. 2.確定位置的方法：①行列定位法；②極坐標定位法；③區(qū)域定位法；④經緯定位法；⑤平面直角坐標題組 1 確定位置的方法

1.（李滄期中）釣魚島及其附屬島嶼自古以來就是中國的固有領土，在明代釣魚島納入中國疆域版圖，下列描述能夠準確表示釣魚島地點的是（ D ）

A.北緯 25?40? ~ 26? B.福建的正東方向

C.距溫州市約 356 千米 D.北緯 25?40? ~ 26? 、東經123? ~124?34? 2.（市北期中）在電影院中，如果把“5 排 8 座”記為(5，8)，那么(4，3)表示4 排3 座. 3.（市北期中）在電影票上，將“7 排 6 號”表示為（7，6），那么“5 排 4 號”應該表示為（5,4）. 4.（市南期中）若用（6，5）表示六排五座，那么十排二十座可表示為 （10,20）.知識點 2 平面直角坐標系與點的坐標的概念1.平面直角坐標系的概念：在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系.通常，兩條數軸分別置于水平位置和鉛直位置，取向 上 和向 右 為正方向.其中水平的數軸稱為x 軸或橫軸，鉛直的數軸稱為 y 軸或 縱 軸.橫軸和縱軸統(tǒng)稱 坐標軸 ；公共的原點O 稱為直角坐標系的原點. 2.點的坐標的表示：在平面直角坐標系中，要想表示一個點的位置，就要用它的“坐標”來表示.如圖，對于平面內任意一點 P，過點 P 分別向 x 軸、 y 軸作 垂線，垂足在x 軸、y 軸上對應的數 a,b 分別叫做點 P 的 橫坐標 、 縱坐標 ；有序數對（ a,b ）叫做點P 的坐標.題組 2 寫出點的坐標

1.如圖，寫出所有點的坐標.略

2.下列說法正確的是（ B ）

A.（2，3）和（3，2）表示的位置相同 B.（2，3）和（3，2）是表示不同位置的兩個有序數對C.（2，2）和（2，2）表示兩個不同的位置 D.（m，n）和（n，m）表示的位置不同