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1 數(shù)學加分寶8 上第 1 周秋季講義(教師版)【知識梳理】1.勾股定理: 直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方 .字母表示: 若斜邊的長度用 c 表示,兩條直角邊分別用 a、b 表示,則 2 2 2
a ? b ?c .注意:①勾股定理成立的前提是 直角 三角形;②要分清楚三條邊哪個是直角邊,哪個是斜邊;2.勾股定理逆定理:如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方,則這個三角形是直角三角形.判斷一個三角形是否為直角三角形的方法是(1)邊:三邊滿足 2 2 2 a ? b ? c
(2)角:最大角為 90°(或最大角等于兩個小角的和)
3.勾股數(shù): 滿足
2 2 2 a ? b ? c 的三個正整數(shù),叫做勾股數(shù).常見勾股數(shù):
①3,4,5 ② 5,12,13 ③ 7,24,25 ④ 9,40,41 ⑤8,15,17題組 1 利用面積探索勾股定理
1.求下列字母所代表的數(shù). 【答案】A=400+225=625 B=225-81=144 A=400-64=336 4142552 2
x ???,x?2.如圖中字母 A 所代表的正方形的邊長為( B )
A.4 B.8 C.16 D.64
3.如圖,圖中所有三角形是直角三角形,所有四邊形是正方形, 1 S =9, 3 S =144,4 S=169,則2 S=16.第 2 題圖 第 3 題圖 第 4 題圖
4.在直線 l 上依次擺放著七個正方形(如圖所示).已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3,其余四個正方形的面積分別是 S1,S2,S3,S4,則 S1+S2+S3+S4=_______4______. 5.(26 中期中)如圖,以直角三角形 a,b, c 為邊,向外作等邊三角形,半圓,等腰直角三角形和正方形,上述四種情況的面積關(guān)系滿足 1 2 3 S ? S ? S 圖形個數(shù)有 4 個.
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2 數(shù)學加分寶題組 2 已知兩邊關(guān)系求第三邊
勾股定理的常見變形: ????
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a c b ;b c a ;c a b ;a c b ;b c a. 1.Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C 所對的邊分別為 a,b,c . (1)若 a ?12,b ? 5 ,則 c ? 13 . (2)若 c ? 41,b ? 40 ,則 a ? 9 . (3)若 a : b ? 3: 4 ,c ? 20 ,則 a ? 12 ,b ? 16 . 2.(市南期中)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,周長為 90,斜邊與一條直角邊之比為13:5,則這個三角形三邊長分別為( C )
A.5,4,3 B.13,12,5 C.39,36,15 D.26,24,10
3.(市北期中)在 Rt△ABC 中,? C=90°,周長為 60,斜邊與一條直角邊長度之比為5:3,則這個三角形三邊長分別是 25,20,15 . 4.一個直角三角形的斜邊長比一直角邊長大 2,另一直角邊長為 6,則直角三角形的斜邊長為10 . 5.已知一個直角三角形的木板,三邊的平方和為 1800,則斜邊的長為 30 . 6.已知直角三角形面積為 4,兩直角邊的比為 1:2,則它的斜邊的平方為 5 . 7.在直角三角形中,兩條直角邊長為 n
2-1 和 2n ,則斜邊長為 n
2+1 .題組 3 勾股定理分類討論
1.(市北期中)在△ABC 中,AB=15,AC=13,高 AD=12,則△ABC 的周長是42 或32 . 2.直角三角形的兩邊長分別為 3 和 4,則第三邊的平方為 25 或 7 . 3.一直角三角形的兩邊長是 6 和 8,則第三條邊上的高為 4.8 或 6 . 4.(市北期中) ?ABC 中,AB=15cm,AC=13cm,高 AD=12cm, ?ABC的周長是42 或32 cm. 5.(市北期中)直角三角形的兩條邊分別是 3 和 4,則它的最長邊的長度是___5 或4____.
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3 數(shù)學加分寶題組 4 求面積
1.已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 a+b=14cm,c=10cm,則 Rt△ABC 的面積是24 cm2
. 2.一個三角形三邊長為 15,20,25,則其面積為 150 . 3.斜邊長為 17 厘米,一條直角邊為 15 厘米的直角三角形的面積為 60 平方厘米. 4.以面積為 9m2的正方形的對角線為邊做一個正方形,其面積為 18m2
. 5.(26 中期中)斜邊的邊長為 17cm,一條直角邊長為 8cm 的直角三角形的面積是60cm2
. 6.如圖,半圓的面積是 8π .
7.如圖,一塊直角三角形地被 BD 分成兩塊,其中斜邊 AB 長為 13 米,一條直角邊BC 長為5 米,∠BDC=45°,要在△ABD 內(nèi)種草皮,已知這種草皮每平方米售價 a 元,則購買這種草皮至少需要多少元?8.如圖,小李準備建一個蔬菜大棚,棚寬 4 米,高 3 米,長 20 米,棚的斜面用塑料薄膜遮蓋,不計墻的厚度,請計算陽光透過的最大面積.解: 100( ) 2 S矩形ABDE ? AB ? BD? m
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4 數(shù)學加分寶題組 5 小應(yīng)用題
1.在△ABC 中,∠C=90°,BC=60cm,CA=80cm,一只蝸牛從 C 點出發(fā),以每分鐘20cm的速度沿CA→AB→BC 的路徑再回到 C 點,需要的時間是 12 分鐘. 2.如圖,校園內(nèi)有兩棵樹,相距 12 米,一棵樹高 13 米,另一棵樹高 8 米,一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端,至少要飛多少米?
【答案】AC=13(米)
3.秋千拉繩長 3 米,靜止時踩板離地面 0.5 米,某小朋友蕩秋千時,水平方向蕩出2.4 米,此時秋千離地面多少米?
【答案】如圖, 3 2.4 1.8 1.8 3.5 1.8 1.7
2 2 2 2 2 2 OC ? OB ? BC ? ? ? ,OC ? ,CG? ? ?4.如圖,甲乙兩船從???A 同時出發(fā),甲船以 12 海里/時的速度向北偏東 40°航行,乙船向南偏東50°航行,航行 3 小時后,甲船到達 C 島,乙船到達 B 島,若 BC 兩島相距 60 海里,則乙船的速度是16 海里/小時.
5.如圖,一次臺風過后,一棵大樹被風從離地面 2.8 米處吹斷,倒下的樹的頂端砸到了離樹根9.6 米處的一輛自行車,這課大樹被吹倒前至少有多高?
【答案】12.8 米
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5 數(shù)學加分寶題組 6 等腰三角形
1.等腰三角形腰為 5,底為 8,則這個三角形的面積是 12 . 2.等腰三角形一條腰長為 39,底邊長為 30,則底邊上的高為 36 . 3.等腰三角形面積為 12,底邊上的高為 4,則腰長為 5 . 4.(李滄期中)等腰三角形的周長是 16,底邊長是 6,則它的面積是 _12__. 5.(市南東片)若等腰三角形的一邊長是 3,另一邊長為 6,則它的周長是(C )A.9 B.12 C.15 D.12 或15
6.一位工人師傅測量一個等腰三角形工件的腰、底及底邊上的高,并按順序記錄下數(shù)據(jù),量完后,不小心與其他數(shù)據(jù)記混了,請你幫助這位師傅從下列數(shù)據(jù)中找出等腰三角形工件的數(shù)據(jù)是②.(填序號)①13,10,10 ②13,10,12 ③13,12,12 ④13,10,11
題組 7 斜邊高
1.直角三角形兩條直角邊分別為 5cm、12cm,斜邊上的高是 cm13
60
. 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=9,BC=12,則點 C 到 AB 的距離是 7.2 . 3.直角三角形兩條直角邊分別為 8cm、15cm,斜邊上的高是 cm17
120
. 4.如圖,在△ABC 中,有一 P 在直線 AC 上移動,若 AB=AC=5,BC=6,則BP 的最小值為4.8.
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6 數(shù)學加分寶題組 8 勾股定理的驗證
1.驗證勾股定理:
①如圖,用四個相同的直角三角形構(gòu)成如圖所示的正方形.你能驗證勾股定理嗎?2 2 2
2 2
2
2
2
1
( ) 4
4
a b c
a b
a b ab
S S S
S c
? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
?小正方形 大正方形 三角形
小正方形
②如圖,用四個相同的直角三角形構(gòu)成如圖所示的正方形.你能驗證勾股定理嗎?2 2 2
2 2
2
2
2
1
( ) 4
4
a b c
a b
b a ab
S S S
S c
? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
?大正方形 小正方形 三角形
大正方形
③如圖,用兩個完全相同的直角三角形構(gòu)成如圖所示的梯形.你能驗證勾股定理嗎?2 2 2
2 2
2 2
2
( ) 2
(2 ) 2
1
2
1
2
1
2 2
( ) 2
1
( ) ( ) 2
1
a b c
a b ab c
S S S ab c ab c
S a b a b a b
ABE AED
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
梯形 ? ?
梯形
2.用如圖 1 所示的 4 個形狀、大小完全一樣的直角三角形拼一拼,擺一擺,可以擺成如圖2 所示的正方形,你能利用這個圖形驗證勾股定理嗎?
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7 數(shù)學加分寶題組 9 判斷一個三角形是直角三角形
1.(李滄期中)下列各組數(shù)中,能作為直角三角形三邊長的是( C )
A. 2,3,4 B.3,4,6 C.5,12,13 D.4,6,7
2.(青附期中)分別以下列六組數(shù)為一個三角形的邊長:①6,8,10 ② 2 ,5,7③1,2,3;④9,40,41 ⑤
2
1
,5
2
1
,4
2
1
3 ⑥ 2 2 2 3 ,4 ,5 . 其中能構(gòu)成直角三角形的有( B )組. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.(市南期中)在下列四組線段中,能組成直角三角形的是( D )
A.4,5,6 B.5,6,10 C.5,8,12 D. 3, 3, 64.(局屬期中)下列四組數(shù)據(jù)中,能作為直角三角形三邊長的是( C )
A. 6, 8, 10 B. 2 2 2 3 ,4 ,5 C.9,40,41 D. 513, 5
12
, 5
6
5.(51 期中)下列能構(gòu)成直角三角形三邊長的是( C )
①2、3、4 ②3、4、5 ③15、20、25 ④7、24、25
A.1 個 B. 2 個 C.3 個 D.4 個
6.(局屬期中)下列各組數(shù)是勾股數(shù)的一組是( A )
A.7,24,25 B. 2 2 2 3 ,4 ,5 C.1.5,2,2.5 D. 3, 4, 77.(市北期中)下列條件中,可以使 ?ABC 是直角三角形的,有( C )
① 5
1
4
1
3
1
a ? ,b ? ,c ? ;② a ? 3,b ? 2,c ? 5 ;③∠A=48°,∠B=42°;④AB=AC,∠B=45°. A.0 個 B.1 個 C.2 個 D.3 個8.(市北期中)根據(jù)下列所給條件,能判定一個三角形是直角三角形的有(B )①三條邊的邊長之比是1: 2 : 3 ②三個內(nèi)角的度數(shù)之比是1:1: 2
③三條邊的邊長分別是
5
1
4
1
3
1,, ④三條邊的邊長分別是 2,3,5A.1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個
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8 數(shù)學加分寶題組 10 判斷一個三角形不是直角三角形
1.(市南東片)以下列各組數(shù)為邊長,不能構(gòu)成直角三角形的是( B )
A.3,4,5 B.8,12,13 C.1,1, 2 D. 2, 3, 52.(市南中片)下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是( A )
A.2,6,7 B.6,8,10, C.7,24,25 D.9,12,15
3.(26 中期中)以下列長度的線段為邊不能構(gòu)成直角三角形的是( D )A.3,4,5 B.6,8,10 C.5,12,13 D.6,24,25
4.(李滄期中)木工師傅想利用木條制作一個直角三角形的工具,那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長的是( D )
A.3,4,5 B. 6,8,10 C.5,12,13 D.13,16,185.(李滄期中)木工師傅想利用木條制作一個直角三角形的工具,那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長的是( A )
A. 8,15,18 B. 6,8,10 C. 5,12,13 D. 3,4,5
6.(26 中期中)下列各組數(shù)中,不能構(gòu)成直角三角形的一組是( D )
A.1,2, 5 B.1,2, 3 C.3,4,5 D. 6,8,127.(育才期中)下列四組數(shù)中,不能構(gòu)成直角三角形邊長的一組是( B )A.0.3,0.4,0.5 B.1,2,3 C.1, 2 , 3 D.5,12,13
題組 11 格點圖判斷
1.(市北期中)如圖是一個 6?6 的網(wǎng)格,在△ABC,△ A?B?C?,△ A??B??C??三個三角形中,有(B)個直角三角形. A.3 B.2 C.1 D.0
2.如圖,在正方形網(wǎng)格圖中標有 AB,CD,EF,GH 四條線段,其中能夠成一個直角三角形三邊的線段是(B)A. CD,EF,GH B.AB,EF,GH C.AB,CF,EF D.GH,AB,CD
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9 數(shù)學加分寶題組 12 勾股定理逆定理的應(yīng)用
1.(51 中期中)如圖,點 E 在正方形 ABCD 內(nèi),滿足 ?AEB ? 90?, AE?6, BE?8, 則陰影部分的面積是76 .
2.(李滄期中)我市某中學有一塊四邊形的空地 ABCD ,如圖所示,為了綠化環(huán)境,學校計劃在空地上種植草皮,經(jīng)測量∠ o A ? 90 , AB ? 3m , DA ? 4m , BC ?12m,CD?13m. (1)求出空地 ABCD 的面積. 36
2 m
(2)若每種植1平方米草皮需要 200 元,問總共需投入多少元?
【答案】7200 元
3.(李滄期中)如圖,已知CD ? 6,AD ? 8,?ADC ? 90?,BC ? 24 , AB ? 26 .求圖中陰影部分面積. 【答案】96
4.(李滄期中)如圖所示的一塊地,?ADC ? 90? , AD ?12m,CD? 9m,AB?39m,BC?36m,求這塊地的面積. 【答案】216
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10 數(shù)學加分寶5(. 51 期中)實驗中學有一塊四邊形的空地 ABCD ,如下圖所示,學校計劃在空地上種植草皮,經(jīng)測量AD=8米,CD =6 米,?ADC =90? , AB =26 米, BC =24 米,若每平方米草皮需要300 元,學校需要投入多少資金買草皮?
【答案】96*300=28800
6.某住宅小區(qū)有一塊草坪如圖,已知 AB=3 米,BC=4 米,CD=12 米,DA=13 米,且AB⊥BC.求草坪面積. 【答案】36m2
7.(市南期末)某小區(qū)有一塊四邊形空地,如圖所示∠ABC=90°,AB=20 米,BC=15 米,CD=7 米,AD=24米.則該四邊形空地的面積為多少?
【答案】234m2
題組 13 勾股定理逆定理的應(yīng)用
1.下列數(shù)組中一定不是勾股數(shù)的是( C )
A.3k,4k,5k(k 為整數(shù)) B.5,12,13 C.0.7,2.4,2.5 D.9,12,15
2.下列數(shù)據(jù)中是勾股數(shù)的有( B )組
(1)3,5,7 (2)5,15,17 (3)1.5,2,2.5 (4)7,24,25 (5)10,24,26
A.1 B.2 C.3 D.4
3.下面各組數(shù)據(jù):
①7,24,25; ②8,15,19; ③0.6,0.8,1.0;④3n,4n,5n ( n>1,且為自然數(shù)),勾股數(shù)有___2__組.
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11 數(shù)學加分寶課堂檢測
1.如圖,字母 B 所代表的正方形的面積為 144 ;邊長為 12 .2.(青大附期中)如圖所示,在四邊形 ABCD 中,AB ? BC,AC ?CD,以CD 為直徑作半圓O,AB=4cm,BC=3cm,AD=13cm.則圖中陰影部分的面積是 18π .
3.如圖,某賓館在重新裝修后,準備在大廳的樓梯上鋪上某種紅色地毯,已知這種地毯每平方米售價18元,主樓梯道寬 2 米,其側(cè)面如圖所示,則購買地毯至少需要___252___元.
4.(李滄期中)一個直角三角形的兩邊長分別為 5 和 12,則第三邊的長的平方為169 或119. 5.如圖,已知直角三角形兩直角邊 BC 和 AC 的長分別為 6cm 和 8cm,那么斜邊上的高CD是____4.8cm____.
6.如圖,有兩棵樹,一棵高 10 米,另一顆高 4 米,兩樹相距 8 米,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,問小鳥至少飛行 10 米.
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12 數(shù)學加分寶7.如圖,△ABC 中,AB=20cm,AC=20cm,BC 邊上的高 AD=12cm,求 BC 的長. 【答案】32cm
8.如圖,求等腰△ ABC 的面積. 【答案】12cm2
9.如圖,臺風過后,一希望小學的旗桿在離地某處斷裂,旗桿頂部落在離旗桿底部8 米處,已知旗桿原來長是 16 米,請你求出旗桿在離底部多少米的位置斷裂. 【答案】6m
10.(26 中期中)在公路 AB 旁有一座山,現(xiàn) C 處需要爆破,已知點 C 與公路上的??空続的距離是700米,與公路上另一??空?B 的距離為 2400 米,且 CA 垂直 CB,為了安全起見,爆破點C 周圍半徑680米范圍內(nèi)不得進入,請問在爆破時,公路 AB 段是否因有危險而需要暫時封鎖?
【答案】672<680 有危險
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13 數(shù)學加分寶課后作業(yè)1.根據(jù)下列條件,能判定一個三角形是直角三角形的是( B )
A.三條邊的邊長之比是 1:2:3 B.三個內(nèi)角的度數(shù)比是 1:1:2
C.三條邊的邊長分別是
5
1
4
1
3
1,, D.三條邊的邊長分別是 12,15,20
2.適合下列條件的三角形中,是直角三角形的是( C )
(1) 5
1
, 4
1
, 3
1
a ? b ? c ? (2)∠A=32°,∠B=58° (3)a=7,b=24,c=25
(4)a:b:c=1:1:2 (5) 2 2 2 b ? a ? c (6)a=0.3 b=0.4 c=0.5
A.2 個 B.3 個 C.4 個 D.5 個
3.(市南中片)下列條件中,不能判斷這個三角形是直角三角形的是( C )A.三個角滿足關(guān)系∠B+∠C=∠A B.三條邊滿足關(guān)系 2 2 2
a ? b ? c
C.三個角的比為 3:4:5 D.三條邊的比為 3:4:5
4.(青大附)在△ ABC 中,給出以下 4 個條件:
①?C ? 90? ②?A? ?B ? ?C ③ a : b : c ? 3: 4 : 5 ④∠ A:?B:?C=3:4:5
從中任取一個條件,可以判定出△ ABC 是直角三角形的有_①②③____.(填序號)
5.(李滄期中)下列三角形是直角三角形的是( D )
A. B. C. D. 6.若△ABC 的三邊長分別為 a,b,c,滿足| 50 | 32 ( 40) 0
2
a ? b ? ? a ? b ? ? c ? ? ,則△ABC是(C)A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.下列三角形中,為直角三角形的是( D )
A.三個角的比值為1: 2 : 2 B.三角形三邊長分別為 2 2 2 3 ,4 ,5
C.三角形一邊等于另一邊的一半 D.三角形三邊長分別為7,24,25
8.下列數(shù)據(jù):①8、15、17;②1.5、2.0、2.5;③12、15、20;④ 5
1
4
1
3
1、、;⑤2 2 2 5 、12、13;⑥1.8、8、8.2. (1)其中能作為直角三角形三邊長的有 ①②⑥ .(填序號)
(2)其中是勾股數(shù)的有 ① .(填序號)
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14 數(shù)學加分寶9.(局屬期末)如圖所示,某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地 ABCD,現(xiàn)計劃在空地上種植草皮,經(jīng)測量?A ? 90 ,AB ? 30cm, AD ? 40cm,BC ?120cm,CD ?130cm, 。 若植每平方米草皮需要100 元,問將這塊空地植滿草皮,開發(fā)區(qū)需要投入多少元?
【答案】 3600m , 2 S ? 花費 360000 元
10.(市南期中)如圖,有一塊地(圖中陰影部分),AD ? 8m,CD? 6m,?ADC?90?,AB?26m,BC ? 24m ,求這塊地的面積. 【答案】96m
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15 數(shù)學加分寶8 上第 2 周秋季講義(教師版)題組 1 求高的解答題
1.(26 中期中)在公路 AB 旁有一座山,現(xiàn) C 處需要爆破,已知點 C 與公路上的??空続 的距離是700米,與公路上另一??空?B 的距離為2400 米,且 CA 垂直 CB,為了安全起見,爆破點C 周圍半徑680米范圍內(nèi)不得進入,請問在爆破時,公路 AB 段是否因有危險而需要暫時封鎖?
答案:過 C 作 CD⊥AB 于 D,易求 AB=2500 米
用等面積法求 CD=672 米<680 米,故有危險需要暫時封鎖.
2.如圖,某沿海開放城市 A 接到臺風警報,在該市正南方向 100km 的 B 處有一臺風中心,沿BC方向以20km/h的速度向 D 移動,已知城市 A 到 BC 的距離 AD=60km,那么臺風中心經(jīng)過多長時間從B 點移動到D點?如果在距臺風中心 30km 的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風破壞的危險,正在 D 點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內(nèi)撤退才可脫離危險?
【答案】4h 2.5h
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16 數(shù)學加分寶題組 2 滑梯、旗桿類
1.如圖,一架梯子 AB 長 25 米,斜靠在一面墻上,梯子底端 B 離墻 7 米. (1)這個梯子的頂端距地面有多高?
(2)如果梯子的頂端下滑了 4 米,那么梯子底部在水平方向滑動了 4 米嗎?請說明理由.解:(1)這架梯字的頂端 A 距地面有 24m 高; (2)梯子的底端在水平方向滑動了8m2.如圖是一個滑梯的示意圖,若將滑道AC水平放置,則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高CE=DB=3m,CD=1m,求滑道 AC 的長.解:5m. 3.如圖,教學樓走廊左右兩側(cè)是豎直的墻.一架梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻角的距離為0.7m,頂端距離地面 2.4m.若梯子底端位置保持不動,將梯子斜靠在右墻時,頂端距離地面2m,求教學樓走廊的寬度.答案:2.2 米
4.如圖,小亮將升起的繩子拉到旗桿底端,繩子末端剛好接觸地面,然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處,發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面 2m,請你求出旗桿的高度.(滑輪上方的部分忽略不計)【答案】17 米
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17 數(shù)學加分寶題組 3 斜坡類
1.如圖所示,OA ? OB,OA=45 cm ,OB=15 cm ,一個機器人在 B 處發(fā)現(xiàn)有一個小球自A點出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點 O,機器人立即從 B 處出發(fā)以相同的速度勻速直線前進去攔截小球,在點C處截住了小球,求機器人行走的路程 BC.解: 25cm
2.由于大風,山坡上的一棵樹甲被從點 A 處攔腰折斷,如圖所示,其樹恰好落在另一棵樹乙的根部C處,已知 AB=4 米,BC=13 米,兩棵樹的株距(兩棵樹的水平距離)為 12 米,請你運用所學的知識求這棵樹原來的高度.答案: 19 米
3.如圖,鐵路上 A,B 兩點相距 25 km ,C,D 為兩村莊,DA 垂直 AB 于點A,CB 垂直AB于點B,已知DA=15 km ,CB=10 km ,現(xiàn)在要在鐵路 AB 上建一個土特產(chǎn)品收購站 E,使得,兩村到收購站的距離相等,則收購站 E 應(yīng)建在離 A 點多遠處?
答案:10km
4.一位阿拉伯數(shù)學家曾提出一個“鳥兒捉魚”的問題:
“小溪邊長著兩棵棕櫚樹,恰好隔岸相望.一棵樹高是 30 肘尺(肘尺是古代的長度單位),另外一棵高20肘尺;兩棵棕櫚樹的樹干間的距離是 50 肘尺.每棵樹的樹頂上都停著一只鳥.忽然,兩只鳥同時看見棕櫚樹間的水面上游出一條魚,它們立刻飛去抓魚,并且同時到達目標.問這條魚出現(xiàn)的地方離開比較高的棕櫚樹的樹跟有多遠?
【答案】20
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18 數(shù)學加分寶題組 4 超速、臺風問題
1.“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定:小汽車在城街路上行駛速度不得超過70km/ h.如圖,一輛小汽車在一條城市街道上直線行駛,某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方30m處,過了2s測得小汽車與車速檢測儀間距離為50m,這輛小汽車超速了么?
答案: BC ? 40m ,小汽車的速度是v ? 40 ? 2 ? 20?m / s ? ? 72?km / h?72?km / h? ? 70?km / h?,所以超速了
2.“交通管理條例第三十五條”規(guī)定:小汽車在城街路上行駛速度不得超過 70 千米/小時,如圖,一輛小汽車在一條城市街路上直到行駛,某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方50 米處,過了4 秒后,測得小汽車與車速檢測儀間距離為 130 米,這輛小汽車超速了嗎?
【答案】108>70 超了
3.2022 年 7 月 23 日,氣象局測得臺風“韋森特”的臺風中心運動路線為直線AB,距臺風中心100千米范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域,臺風中心的運動速度為 240 千米/時,已知香港距直線AB 的最短距離為80千米,(1)香港會不會受到“韋森特”的影響?
(2)若香港會受影響,求影響的時間為多長?
【答案】解:(1)會,80<100 (2)EF=120,120÷240=0.5(小時)
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19 數(shù)學加分寶題組 5 橋洞問題
1.一輛裝滿貨物的卡車,其外形高 2.5 米,寬 1.6 米,要開進廠門形狀為如圖所示的某工廠,廠門上部為半圓形,下部為長方形,已知長方形的寬為 2 米,高為 2.3 米,半圓形的直徑與門的寬相等.問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?
【答案】 2 2 2 CD ? OD ? CO ∴ 0.6
2 2 CD ? CO ? DO ? ∴CH=2.3+0.6=2.9m>2.5m∴可以通過2.一輛裝滿貨物的卡車,高 2.5 米,寬 1.6 米,要開進上邊是半圓,下邊是長方形的橋洞,如圖所示,已知半圓的直徑為 2 米,長方形的另一邊長是 2.3 米. (1)此卡車是否能通過橋洞?試說明你的理由. (2)為了適應(yīng)車流量的增加,先把橋洞改為雙行道,要使寬為 1.2 米,高為2.8 米的卡車能安全通過,那么此橋洞的寬至少增加到多少?
【答案】解:(1)同上題能通過, 2.3? 0.6 ? 2.9 ? 2.5 ,∴這輛卡車能通過. (2)如圖:根據(jù)題意可以知道:CG ? BE ? 2.8米, EC ? OF ? BG?1.2 米, EF?AD?2.3米,?BF?0.5米∴ 1.2 0.5 1.69
2 2 2 2 2 OB ? OF ? BF ? ? ? ?OB ?1.3 米,OA ?1.3米,∴橋洞的寬至少增加到1.3?2?2.6(米)3.如圖,已知一輛裝滿貨物的卡車高 3.5 米,寬 1.2 米,要通過雙向車道的橋洞,橋洞長方形部分BC為6.8米,DC 為 2 米(兩車道之間有 0.8 米的隔離帶),這輛卡車能否安全經(jīng)過橋洞?說明理由.
解:GF ? 3,GE ? 5>3.5,能
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20 數(shù)學加分寶題組 6 三角形折疊
1.如圖,有一個直角三角形紙片,兩直角邊 AC=6 cm,BC=8 cm,現(xiàn)將直角邊AC 折疊,使它落在斜邊AB上,恰與 AE 重合,則 CD 等于 3 cm .
2.如圖,直角△ ABD 中,∠ A=90°,AB=2cm,AD=4cm,將此三角形折疊,使點B 與點D重合,折痕為EO,則△ EOD 的面積為_____ 4
5
_____ 2
cm .
3.如圖,有一塊直角三角形紙片,直角邊 AC ? 6cm , BC ? 8cm,現(xiàn)將直角邊AC 沿直線AD折疊,使它落在斜邊 AB 上,且與 AE 重合,則 CD 等于 3cm .
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21 數(shù)學加分寶題組 7 長方形折疊
1.如圖,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,如果將該矩形沿對角線 BD 折疊,那么圖中陰影部分的面積是____ 16
75
____.
2.如圖,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=5,在 CD 上任取一點 E,連接 BE,將△BCE 沿BE折疊,使點C恰好落在 AD 邊上的點 F 處,則 CE 的長為 3
5
.
3.如圖所示,折疊長方形的一邊 AD,使點 D 落在 BC 邊的點 F 處,如果 AB?8cm,BC?10cm,(1)求 BF 的長;(2)求 EC 的長.答案:(1)6cm (2)3cm
4.如圖,在長方形 ABCD 中,點 E 在邊 AB 上,把長方形 ABCD 沿直線 DE 折疊,點A落在邊BC上的點F 處.若 AE=5,BF=3.(1)求 AB 的長; 9 (2)求△CDF 的面積. 54
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22 數(shù)學加分寶題組 8 臺階類
1.如圖,有一個三級臺階,它的每一級的長,寬,高分別為 16,3,1,點 A 和點B 是這個臺階兩個相對的端點,A 點有一只螞蟻,想到 B 點去吃可口的食物,則螞蟻沿著臺階表面爬到 B 點的最短路程是20 .
2.如圖,一個三級臺階,它的每一級的長、寬和高分別為 20、3、2,A 和 B 是這個臺階兩個相對的端點,A點有一只螞蟻,想到 B 點去吃食物,則螞蟻沿著臺階面爬到 B 點最短路程是25 .
3.如圖,在一個長方形草坪 ABCD 上,放著一根長方體的木塊,已知 AD=6,AB=5,該木塊的較長的邊與 AD 平行,橫截面是邊長為 1 的正方形,一只螞蟻從點 A 爬過木塊到達 C 處需要走的最短路程的平方是85 .
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23 數(shù)學加分寶題組 9 最短距離(長方體)
1.如圖,長方形的長為 15cm,寬為 10cm,高為 20cm,點 B 距離 C 點 5cm,一只螞蟻如果沿著長方體的表面從點 A 爬到點 B,需要爬行的最短距離是 25 cm.
2.如圖是由 5 個邊長是 1 的正方形組成的圖形,則 ?
2 BA1
2 , ?2 BA5
26 ;當有n個正方形時,則 ?
2 BAn n
2+1 .
3.一只蜘蛛在一個長方體的一個頂點 A 處,一只蒼蠅在這個長方體上和蜘蛛相對的頂點B 處.如圖,已知長方體長 6cm ,寬 3cm ,高 5cm .蜘蛛因急于捉到蒼蠅,沿著長方體的表面向上爬行,它要從A點爬到B點,最短距離__10__ cm .
4.如圖,長方體的底面邊長分別為 1cm 和 3cm,高為 6cm.如果用一根細線從點A 開始經(jīng)過4 個側(cè)面纏繞一圈到達點 B,那么所用細線最短需要 10 cm. 5.如圖,一個長方體透明玻璃魚缸,長 AD=80 cm ,高 AB=60 cm,水深 AE=40 cm,在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一塊面包屑,點 G 在水面線 EF 上,且 EG=60 cm ,已知螞蟻想從魚缸外的A 點沿魚缸壁爬到魚缸內(nèi)的G 處吃面包屑,螞蟻爬行的最短路程為 100 cm .
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24 數(shù)學加分寶題組 10 最短距離(圓柱體)
1.如圖,有一圓柱,其高為12cm,它的底面半徑為3cm ,在圓柱下底面 A處有一只螞蟻,它想得到上面B處的食物,則螞蟻經(jīng)過的最短路程為 15 cm (? 取3).
2.我國古代有這樣一道數(shù)學問題:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根纏繞而上,五周到達其頂,問葛藤之長幾何?”題意是:如圖所示,把枯木看作一個圓柱體,因一丈是十尺,則該圓柱的高為20尺,底面周長為 3 尺,有葛藤自點 A 處纏繞而上,繞五周后其末端恰好到達B 處,則問題中葛藤的最短長度是 25 尺.
3.如圖,圓柱形玻璃杯高為 12cm,底面周長為 18cm,在杯內(nèi)離杯底 4cm 的點C 處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿 4cm 與蜂蜜相對的 A 處,則螞蟻到蜂蜜的最短距離為15 cm.
4.如圖,有一圓柱,其高為12cm,它的底面半徑為 3cm,在圓柱下底面 A 處有一只螞蟻,它想得到上面B處的食物,則螞蟻經(jīng)過的最短距離為 15 cm(π取 3).
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25 數(shù)學加分寶課堂檢測
1.如圖,點 A 是正方體左側(cè)面的中心,點 B 是正方體的一個頂點,正方體的棱長為2,一只螞蟻從點A沿其表面爬到點 B 的最短路程的平方是 10 .
2.如圖所示,折疊長方形一邊 AD ,點 D 落在 BC 邊的點 F 處,已知 BC?10厘米,AB?8厘米,則EF的長是____5____.
3.如圖,將長方形 ABCD 的長 AD 沿 AE 折疊,使點 D 落在 BC 上的 F 處,若AB=5,AD=13,則線段DE 的長為 2.6 .
4.在△ABC 中,BC=10 cm ,AC=24 cm ,AB=26 cm ,CD⊥AB 于點 D,則CD= cm13120. 5.如圖,已知等腰△ABC 中,AB=AC,BC=20cm,D 是邊 AB 上一點,且CD=16cm,BD=12cm,(1)求 AD 的長;(2)求△ABC 中 BC 邊上的高. 【答案】(1)
3
14
cm; (2)
3
40
cm
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26 數(shù)學加分寶課后作業(yè)
1.如圖,一根長度為 50 cm 的木棒的兩端系著一根長度為 70 cm的繩子,現(xiàn)準備在繩子上找一點,然后將繩子拉直,使拉直后的繩子與木棒構(gòu)成一個直角三角形,這個點將繩子分成的兩段各有多長?【答案】30 和 40 或
7
370
7
120 和
2.2022 年第二季度,我市遭遇大干旱,為了抗旱保收,即墨某鎮(zhèn)準備開采地下水,經(jīng)探測C出地下有水,為此 C 處需要爆破,已知 C 處與公路上的??空?A 的距離是 300 m,與公路是另一??空綛的距離為400 m ,且CA ? CB ,如圖所示,為了安全,爆破點C 周圍 250 m的范圍內(nèi)禁止進入.問:在進行爆破時,公路 AB 是否有危險,是否需要暫時封鎖?
【答案】240<250 需封鎖
3.根據(jù)道路交通管理條例的規(guī)定,在某段筆直的公路 l 上行駛的車輛,限速 12 米/秒.已知測速點M到測速區(qū)間的端點 A,B 的距離分別為 50 米、34 米,M 距公路 l 的距離(即 MN 的長)為30 米.現(xiàn)測得一輛汽車從A到 B 所用的時間為 5 秒,通過計算判斷此車是否超速.解: 在 中, , , 米,在 中, , , 米, (米),汽車從 A 到 B 的平均速度為 (米/秒), 米/秒 米/秒, 此車沒有超速.
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27 數(shù)學加分寶8 上第 3 周秋季講義(教師版)【知識梳理】題組 1 認識無理數(shù)
知識點:無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù).我們十分熟悉的圓周率 ? ? 3.14159265?也是一個無限不循環(huán)小數(shù),因此它是無理數(shù).再如,0.585885888588885……(相鄰的 5 之間 8 的個數(shù)逐次加1),也是無理數(shù).無理數(shù)類型總結(jié):①根號開不盡的數(shù);②無限不循環(huán)小數(shù);③含有? 的式子1.邊長為 1 的等邊三角形的高為( B )
A.分數(shù) B.無理數(shù) C.整數(shù) D.有理數(shù)
2.長、寬分別是 6 cm 、3 cm ,它的對角線的長的值是一個( D )
A.整數(shù) B.分數(shù) C.有理數(shù) D.無限不循環(huán)小數(shù)
3.若 8
2
x ? ,則 x 不是 分數(shù), 不是 整數(shù), 不是 有理數(shù).(填“是”或“不是”)4.如圖,面積分別為 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的正方形,邊長是無理數(shù)的正方形有6 個. ……題組 2 無理數(shù)與有理數(shù)的分類
1.下列各數(shù)中,哪些是有理數(shù)?哪些是無理數(shù)?
3.14,
3
4 ? ,0.·5
·7,0.101001000100001……(相鄰的兩個 1 之間 0 的個數(shù)逐次加1),0.458,??,722有理數(shù):_3.14,
3
4 ? ,0.·5
·7,0.458,
7
22
______無理數(shù):_0.101001000100001……(相鄰的兩個 1 之間 0 的個數(shù)逐次加 1),??______. 2.在下列各數(shù)
7
25 、2? 、0.·3
·1、0.121221222122221……(兩個 1 之間依此多 1 個2)、32?、0、|?8|、?3.1415926中:
有理數(shù)有___ 7
25 、0.·3
·1、
3
2 ? ,0,|?8|、?3.1415926____________________無理數(shù)有___ 2? 、0.121221222122221……(兩個 1 之間依此多 1 個 2)____正數(shù)有_____ 7
25 、 2? 、0.·3
·1、0.121221222122221……(兩個 1 之間依此多1 個2)、|?8|_____負數(shù)有_____ 3
2 ? 、?3.1415926____________
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28 數(shù)學加分寶題組3 算術(shù)平方根
一般地,如果一個正數(shù) x 的平方等于 a,即 x
2=a ,那么這個正數(shù) x 就叫做a 的算術(shù)平方根,記為“a ”,讀作“ 根號 a ”.特別地,我們規(guī)定 0 的算術(shù)平方根是 0,即0 ?0. 1.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根. (1)9 (2) 2 (? 7) (3) 81 (4) 121
25 (5) 9
7
1 (6)6 10?算術(shù)平方根:3,7,3, 11
5 , 3
4 , 3 10
?
2.下列說法正確的是( C )
A.4 是 2 的算術(shù)平方根 B.-2 是-4 的算術(shù)平方根C.2 是(-2)2的算術(shù)平方根 D.8 的算術(shù)平方根是 4
3.一個數(shù)的算術(shù)平方根是它本身,則這個數(shù)為( D )
A.-1,0,1 B.1 C.-1 和 1 D.0 和1
4.下列說法:①任何數(shù)都有算術(shù)平方根;②一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù);③a
2 的算術(shù)平方根是a;④ 2 (? ? 4) 的算術(shù)平方根是? ? 4 ;⑤算術(shù)平方根不可能是負數(shù);⑥0 和 1 的算術(shù)平方根是其本身.其中正確的有( B )
A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個5. 16 的算術(shù)平方根是___2_ ; 9
1 的算術(shù)平方根是
3
1
;? ?
2 ? 3 的算術(shù)平方根是___3____.題組4 化簡求值
1.求下列各式的值. ① 1.44 ② 6 10
? ③
64
9 ④?0.01=1.2 3 10
? ?
8
3 ? =-0.1
2.求下列各式的值. ① 49 ②
196
25 ③ 0.09 ④?64=7 = 14
5
=0.3 =-8
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29 數(shù)學加分寶題組 5 平方根
一般地,如果一個數(shù) x 的平方等于 a ,即 x ? a
2 ,那么這個數(shù) x 就叫做 a 的 平方根(也叫做二次方根),記作“ ? a ”.求一個數(shù)的平方根的運算叫做 開平方 ,其中 a 叫做被開方數(shù).一個正數(shù)有 2 個平方根,0 只有 1 個平方根,負數(shù) 沒有 平方根. 1.判斷下列各數(shù)是否有平方根,如果有,求出其平方根,如果沒有,說明理由. (1)169 (2)-2 (3)0 (4)(—1)2 (5)3 (6)2516【答案】
54(1)有,?13 (2)無 (3)有,0 (4)有,?1 (5)有,?3(6)有,?2.一個數(shù)的平方根是它本身,則這個數(shù)為( D )
A.-1,0,1 B.1 C. ?1和 1 D.0
3.下列說法:①6 是 36 的平方根;②-36 的平方根是-6;③36 的平方根是±36;④36 的平方根是6.其中正確的個數(shù)( A )
A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個4. 9 的平方根是( C )
A.3 B. 3 C. ? 3 D. ?35. 81的平方根為 ±3 , 16 的平方根為 ±2 ,若 2x+1 的平方根是±5,則x= 12 .題組 6 算術(shù)平方根與平方根的綜合(刪減)1. 9
4 的平方根是
3
2
? ,算術(shù)平方根是
3
2
;
2.4 的平方根是 ±2 ,算術(shù)平方根是 2 ; 4 的平方根是 ± 2 算術(shù)平方根是2. 3.16 的平方根是 ±4 ,算術(shù)平方根是 4 ; 16 的平方根是 ±2 ,算術(shù)平方根是2 . 4.196 的平方根是 ±14 ,算術(shù)平方根是 14 ; 196 的算術(shù)平方根是_ 14 __,平方根是?14. 5.若 x 是 256 的算術(shù)平方根,則 x 的平方根是 ±4 .
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30 數(shù)學加分寶題組 7 正數(shù)的平方根互為相反數(shù)
一個正數(shù)有 2 個平方根,它們互為相反數(shù)
1.若一個正數(shù)的平方根是 a+2 和 4-3a,則 a= 3 ,這個正數(shù)是 25 . 2.若一個正數(shù)的平方根是 x-6 和 4+x,則 x= 1 ,這個正數(shù)是 25 . 3.若 2m-4 與 3m-1 是同一個數(shù)的平方根,則 m 的值是 -3 或 1 . 4.3b-1 和 b+5 是正數(shù) a 的兩個平方根,則 a= 16 . 5.若 2x-16 和 4+x 是同一個數(shù)的平方根,則 x= 4 或 20 ,這個正數(shù)是 64 或576 .題組 8 被開方數(shù)的非負性
被開方數(shù)具有非負性,即 a 中,a≥0.若 a ? ? a ,則 a=0;若 a和?a都有意義,則a=01.下列各式正確的是( D )
A. ? 25 ? ?5 B. ? 25 ? 5 C. ( 5) 5
2 ? ? ? D. ( 5) 5
2 ? ?
2.下列各式中無意義的是( B )
A. ? 3 B. ? 3 C. 2 (? 5) D. 2 5
3.若 4a ?1 有意義,則 a 能取的最小整數(shù)是( A )
A. 0 B.1 C. ?1 D. ?4
4.(市北期中)式子 x ? 5 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則實數(shù) x 應(yīng)滿足的條件是 x≥5 . 5.若 x,y 為實數(shù),且 1 ? 2? 0
2 x ? ? y ? ? ,則 x+y= 3 . 6.若 x,y 為實數(shù),且 2 ( 3) 0
2 x ? y ? x ? y ? ? ,則 x+y= 1 . 7.(市南期中)x,y 為實數(shù),且| x ? 2 | ? y ? 3 ? 0,則 ? ?
2022 (x y) 1 . 8.(市南期中)若| x ?1| ? y ? 3 ? 0 ,求 x
y= -1 、 . 9.已知 y ? 1? 2x ? 2x ?1 ? 2,求 xy 的算術(shù)平方根. 【答案】 2 1
2
1
x ? ,y ? ,xy ?
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31 數(shù)學加分寶題組 9 ? a ? ? a
2
1.求下列各式的值. ① 2 ( 49) ② 2
196
25 ( )③ 2 (0.09)④2(?64)【答案】49
196
25
0.09 64
2.求下列各式的值. ① 2 ( 3) ② 2
5
1 ( )③ 2 (7.3)④2(?6)【答案】3
5
1
7.3 6
題組 10
?
?
?
?
??
? ? ?
, 0
0 0
, 0
2
<
,
>
a a
a
a a
a a
1.計算: 2 2 = 2 , 2 5 = 5 , 2 ) 3
2
( = 3
2
. 2.計算: 2 (?2) = 2 , 2 (?5) = 5 , 2 ) 3
2
(? = 3
2
. 3.計算: ?
2 3 3 , ?
2 0 0 , ? ?
2
5
1 ()5
1 ,
4.若 x>4,則化簡 2 2 (x ? 4) ? (1? x) 的結(jié)果是 -3 . 5.已知 0<a<1,則 2 2 (a ?1) ? (a ?1) 的值是 2 . 6.化簡計算
① 2 (3 ? ?) ; ② (a ?1)(2
a<1); ③ 2 ( 2) 2 (? x)x ?
? ? ? 3 ?1 ? a ? x ? 2
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32 數(shù)學加分寶題組 11 對立方根的理解
一般地,如果一個 數(shù) x的 立方 等于 a ,即 x ? a
3 ,那么這個數(shù)x 就叫做a 的立方根.用根號表示一個數(shù) a 的立方根為 3 a ,讀作 三次根號 a .立方根的性質(zhì):正數(shù)的立方根是 正數(shù) ,0 的立方根是 0 ,負數(shù)的立方根是負數(shù). 1.判斷正誤
(1)立方根等于本身的數(shù)只有 0 (×)(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)立方根也互為相反數(shù) (√)(3)只有非負數(shù)才有立方根 (×)(4)負數(shù)的立方根一定小于負數(shù)本身 (×)2.下列說法中正確的是 ①⑦ . ①1 的立方根是 1; ②-1 是 1 的立方根; ③ 2 是 2 的立方根; ④3 是-27 的立方根;⑤-64 的立方根是 4; ⑥343 的立方根是±7; ⑦
1
27
的立方根是
1
3 ; ⑧116的立方根是14;3.下列說法中正確的是( D )
A.-4 沒有立方根 B.1 的立方根是±1 C. 36
1 的立方根是
6
1
D.-5 的立方根是3?54.下列說法中,正確的是( D )
A.一個有理數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù)
B.一個有理數(shù)的立方根,不是正數(shù)就是負數(shù)
C.負數(shù)沒有立方根
D.如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身,那么這個數(shù)一定是-1,0,1.題組 12 求立方根
1.求下列各數(shù)的立方根.(注意格式)
(1)0.001 (2)
216
125 ? (3)343 (4)?9
【答案】0.1
6
5 ? 7 3 ?92.求下列各式的值. (1) 3 ?8 (2)3 0.064 (3) 3
125
8 ? (4)( 3 9)
3 =?2 =0.4
5
2 ? ? =9
3.8 的立方根是 2 ;-0.064 的立方根是 -0.4 . 4. 3 64 = 4 ;
3 ? 64 = -4 ;-27 的立方根是 -3__. 5. 3 64 的平方根是 ±2 ;立方根等于本身的數(shù)是 ±1,0 ;
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33 數(shù)學加分寶題組 13 解方程(平方和立方)
1.解方程
(1) ? ?
4
1
25
2
x 0 (2)? 1? 1
2
x ? ? (3)812503 x??10
1
x ? ? x ? 0或- 2
25x ??(4)
4
2 25
x ? (5)
4
2 9
x ? (6)2 82
x ?2
5
x ? ?
2
3
x ? ? x ??22.解方程
(1) 49
9
4 2
x ? (2)3? 2? 9
2
x ? ? (3)?2 1?252
x ??2
21
x ? ? x ? ?1 3, 2x1 ?x2 ??(4) (2 3) 54
4
1 3 x ? ? (5) ? ? 0
12
1
3 2
2 x ? ? ? (6)225003 x??2
3
x ?
6
13
6
11
x ? ? 或? x=5
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34 數(shù)學加分寶隨堂檢測1.在下列實數(shù)-7, 2
? ,3.1415,3.010101…(相鄰兩個 1 之間有 1 個 0), 7
22 ? ,32.0123456…(小數(shù)部分由相繼的整數(shù)組成)中是無理數(shù)的是( B )
A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個
2.算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是 1 和 0 . 25 的算術(shù)平方根是 5 . 3. 64 的立方根是 2 ,-
8
27 的立方根為 2
3 ? .若 x ? ?5 ,則2
x 的值是5 . 4.若 a 和 ? a 都有意義,則 a 的值是 0 . 5.已知 a ? 2 ? b ? 3 ? 0 ,則 ? ? ? ?
2
a b 25 . 6.10-2的平方根是 ±0.1 ;? ?
0 ? 5 的平方根是 ±1 ; ? ?
2 ?18 的平方根是±18 . 7.若 a-1 和 5-2a 是同一個數(shù)的平方根,則 a= 2 或 4 ,這個數(shù)是 1 或9 . 8.若一個正數(shù)的平方根是 2a-1 和-a+2,則 a= ?1 ,這個正數(shù)是 9 . 9.當 a>4 時,化簡 2 (4 ? a) 的結(jié)果為 a?4 . 10.解方程. ① 2 8
2
x ? ②3 1 48
2 (x ? )? ③2 25003 x ??x ? ?2 x=3 或-5 x=5
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35 數(shù)學加分寶課后作業(yè)1.下列各數(shù)中,有 2 個無理數(shù),0.246, 6π,—24.1010010001… (兩個 1 之間依次多1 個0),0,131112.若-4 是 a 的一個平方根, 2 (? 9) 的平方根是 b,則 a ? b ? 19或13 . 3.算術(shù)平方根是 3
7 的數(shù)是 9
49
;0.49 的算術(shù)平方根是 0.7 . 4.一個正數(shù) a 的算術(shù)平方根減去 1 等于 3,則 a ? 16 . 5.若 4, 9
2 2
a ? b ? ,且 ab ? 0 ,則 a ? b 的值為 ±5 . 6. 3 27 =___3_____, ? ? ?
3
3 8 ____8____. 7.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根. ①900 ②1 ③ 64
49 ④14 ⑤0.49 ⑥ ? ?
2 ?16 ⑦4 10
? 【答案】①30 ②1 ③ 8
7 ④ 14 ⑤0.7 ⑥16 ⑦ 2 10
?
8.求下列各數(shù)的平方根. ①64 ② 121
49 ③0.0004 ④? ?
2 ? 25 ⑤11 ⑥0.49
【答案】①±8 ② 11
7 ? ③ ?0.02 ④±25 ⑤ ? 11 ⑥ ?0.7
9.下列各數(shù):3.14159,4.212121......,π,
7
22 ,1.010010001......,中,
有理數(shù)有___3.14159,4.212121......,
7
22
____________________無理數(shù)有___π,1.010010001......____正數(shù)有____3.14159,4.212121......,π,
7
22 ,1.010010001......____
10.解方程
(1)3? 2? 9
2
x ? ? (2)?2 1? 25
2
x ? ?
x ? ?1 3, 2 x1 ? x2 ? ?
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36 數(shù)學加分寶8 上第 4 周秋季講義——第2 章后3 節(jié)(教師版)幾個常見近似值 2 ?1.414, 3 ?1.732, 5 ? 2.236, 6 ? 2.449, 7 ?2.646, 10?3.162題組 1 估算
1.若 k ? 90 ? k ?1( k 是整數(shù)),則 k ?( D )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.黃金分割數(shù)
2
5 ?1 是一個很奇妙的數(shù).請你估算 5 ?1的值( B )
A.在 1.1 和 1.2 之間 B.在 1.2 和 1.3 之間 C.在 1.3 和 1.4 之間 D.在1.4 和1.5 之間3.估計3 11 ?1的值( B )
A.在 7 和 8 之間 B.在 8 和 9 之間 C.在 9 和 10 之間 D.在10 和11 之間4.(市南中片)估計 7 ? 2的值( D )
A.在 1 和 2 之間 B 在 2 和 3 之間 C.在 3 和 4 之間 D.在4 和5 之間5.(51 中期中)滿足 ? 2 ? x ? 3 的整數(shù) x 是 -1,0,1 . 6.滿足 ? 2 ? x ? 10 的整數(shù) x 有 5 個.題組 2 整數(shù)與小數(shù)部分
1.設(shè) a 是 2的整數(shù)部分,b 是 2的小數(shù)部分,則 a= 1 ,b= 2-1 ,a-b= 2-2 . 2. 4 ? 5 的整數(shù)部分是 1 ,小數(shù)部分是 3? 5 . 3. 10 ?1的整數(shù)部分是 2 ,小數(shù)部分是 10 ? 3 . 4.a 是5 ? 11 的小數(shù)部分,b 是5 ? 11 的小數(shù)部分,則 a+b= 1 . 5.若 7 ? a ? b ,其中 a 是正整數(shù),0<b<1,則 a= 2 ,b= 7 ? 2 .
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37 數(shù)學加分寶題組 3 比較大小
無理數(shù)比較大小,可先比較兩個數(shù)的平方或立方,或者通過作差法來比較.方法 1 估算法
1.(1)
2
2 1
2
3 ?1 ? > ; (2)
2
3 - 1
<
2
1
; (3)35?1>31. 2.(1)
2
1
<
2
5 ?1
; (2) __ _1
2
7 1
?
?
; (3)-5 <?35?23.寫出 ? 6 , ?2 , ?3的大小順序. 【答案】 ? 2>? 6>? 3
方法 2 兩邊同時平方、立方
4.(1) 10 __>___ 3; (2)
4
3
__ _
3
2 >; (3)2 3<325.(1)3 2 > 2 3 ; (2) 3 25 < 5; (3)?65<?566.(1)3 < 10 ; (2) ? 2 11 > ? 3 5 (3)70___43 >方法 3 同時六次方
7.(1) 3 3 __>___ 5 ; (2) 3 7 __>___ 14 ; (3)?8>3?29方法 4 數(shù)形結(jié)合
8.(局屬期中)為了比較 5 ?1與 10 的大小,可以構(gòu)造如圖所示的圖形進行推算,其中?C=90
? ,BC=3,D 在 BC 上且 BD=AC=1.通過計算可得 5 ?1 > 10 (填“>”或“<”或“=”).題組 4 實數(shù)的概念及分類
①概念:有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù),即實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù). ②小數(shù)的分類:有限小數(shù),無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)。其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)又叫分數(shù),所以所有的分數(shù)都叫小數(shù),但是所有的小數(shù)不都是分數(shù)。
③實數(shù)的分類:
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
負無理數(shù)
正無理數(shù) 無理數(shù)
負分數(shù)
正分數(shù) 分數(shù)
負整數(shù)
正整數(shù)
整數(shù)
有理數(shù)
實數(shù)
0
④無理數(shù)和有理數(shù)一樣,也有正負之分,所以實數(shù)還可以按照正負分為:正實數(shù)、0、負實數(shù).
辨析:
1.無理數(shù)都是實數(shù) (√ )2.分數(shù)都是小數(shù) (√ )3.小數(shù)都是分數(shù) (×)4.整數(shù)也是分數(shù) (×)
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38 數(shù)學加分寶1.(市北期中)在①
2
?
②0.4583③
? ? 2.7 ④3.14⑤ 3 4 ⑥-23.101010101…(相鄰兩個1 之間有一個0),這個實數(shù)中是無理數(shù)的有 ①⑤ (填寫序號). 2.把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi):
?9.9, 160 ,
2
2 ? , 7
22 ? ,3 9 , 3 3
(? 2) ,0.710101…(每兩個 1 之間有一個0),?3.2,2?,3?8,0.·1
·5,
64
9 ,0, ? 6 ,| 9 | 3 ?無理數(shù)集合{ 160 ,
2
2 ? , 3 9 , 2
? , ? 6 ,| 9 | 3 ? }
負實數(shù)集合{ -9.9 ,
2
2 ? , 7
22 ? , 3 3
(? 2) ,-3.2, 3 ? 8 , ? 6 }
分數(shù)集合{ -9.9, 7
22 ? ,0.710101…(每兩個 1 之間有一個 0),-3.2,0.·1
·5,649}
3.把下列數(shù)填入相應(yīng)的橫線上:0.313113111311113,1.1010010001……(每相鄰的兩個1 之間依次多一個0),?0.505, 3 , 2 ? 3 ,
2
?
, 3 ? 27 ,0 , 3 2 8 ,0.3
·2,
2
1 ,
3
4 ?
(1)整 數(shù):___ 2 ? 3 , 3 ? 27 ,0 , 3 2 8 ___________________. (2)分 數(shù):___0.313113111311113,?0.505,0.3
·2,
3
4 ? ______. (3)正 數(shù):___0.313113111311113,1.1010010001……(每相鄰的兩個 1 之間依次多一個0),3,2?,3 2 8 ,0.3
·2,
2
1
____. (4)負 數(shù):__?0.505, 2 ? 3 , 3 ? 27 ,
3
4 ? _____. (5)有理數(shù):__0.313113111311113,?0.505, 2 ? 3 , 3 ? 27 ,0 ,3 2 8 ,0.3
·2,34?___. (6)無理數(shù):__1.1010010001……(每相鄰的兩個 1 之間依次多一個 0),3,2?,21___.
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39 數(shù)學加分寶題組 5 實數(shù)的性質(zhì)
在實數(shù)范圍內(nèi),相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義完全一樣.例如: 2 和 ? 2 互為相反數(shù), 3 5 和 3 5
1
互為倒數(shù),| 3 |? 3 ,| ?? |? ?. 1.求出下列各數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值
(1) 3 ? 64 ( 4 4
4
1 ? ,,) (2) 13 ( 13 13
13
1 ,? ,)2. 3
125
64 ? 的倒數(shù)是______ 4
5 ? _______; 2 的倒數(shù)是____ 2
1
_____. 3.(李滄期中)下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是( B )
A. ? 2與 3 ?8 B. ? 2與 ? ?
2 ? 2 C. ? 2與
2
1 ? D.2 與 ?24. 2 ? 3 的相反數(shù)是___ 3 ? 2 ____,絕對值是_____ 3 ? 2 ____.題組 6 利用勾股定理在數(shù)軸上確定無理數(shù)的位置1.在數(shù)軸上作出表示 10 的點. 【提示】 2 2 10 ? 1 ? 3
2.在數(shù)軸上作出表示1? 5 的點. 【提示】從 1 起始
3.在數(shù)軸上作出表示 3 的點. 【提示】 2 2 3 ? 2 ?1
4.在數(shù)軸上作出表示 15 -2 的點. 【提示】 2 2 15 ? 4 ?1 ,從-2 起始
5.在數(shù)軸上作出表示 7 的點. 【提示】 2 2 7 ? 4 ? 3
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40 數(shù)學加分寶題組 7 實數(shù)與數(shù)軸上的點的關(guān)系
實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng);在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大. 1.(李滄期中)實數(shù) a、b 在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡 2
a ? b ? b 的結(jié)果是a . 2.(市北期中)實數(shù) a、b、c 在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示,化簡 a ?a?b?c?b2 2 ( ) =-c. 3. 如圖,長方形 ABCD 中,AB=3,AD=1,AB 在數(shù)軸上,若以點 A 為圓心,對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于 M,則點 M 表示的數(shù)為_____ 10 ?1______________. 4.如下圖 AB ? AC ,則數(shù)軸上點 C 所表示的數(shù)為_______ 5 ?1____________.
5.如圖,數(shù)軸上 A,B 兩點分別表示 3 和3 ,點 B 關(guān)于點 A 的對稱點為點 C,則點C 表示的數(shù)是__ 23?3__. 6.(26 中期中)如圖,數(shù)軸上 A,B 兩點表示的數(shù)分別為-1 和 3 ,點 B 關(guān)于點A 的對稱點為C,則點C所表示的數(shù)為___ ? 2 ? 3 ______. 7.(李滄期中)在如圖所示的數(shù)軸上,點 B 與點 C 關(guān)于點 A 對稱,A,B 兩點對應(yīng)的實數(shù)分別為2和?1,則點 C 所對應(yīng)的的實數(shù)是 2 2 ?1 .
8.(市北期中)實數(shù) a 在數(shù)軸上的位置如圖所示,則 a , ?a , a
1 , 2
a 的大小關(guān)系是(C)A. 1 2
a
a
a ? ?a ? ? B. 1 2
a a
a ? a ? ? ? C. a a a
a
? ? ? ?
1 2 D. a a aa
? ???1 2
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41 數(shù)學加分寶題組 8 整數(shù)化簡
1.一般地,形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式. a 叫做被開方數(shù). 2.最簡二次根式:一般地,被開方數(shù)不含 分母 ,也不含能開得盡方的因數(shù)或因式,這樣的二次根式,叫做最簡二次根式. (1) 32 ? 4 2 (2) 40 =2 10 (3) 72 ? 6 2 (4)90?310(5) 96 ? 4 6 (6) 108 ? 6 3 (7) 128 =8 2 (8)150?56題組 9 分子是 1,分母不含平方數(shù)
(1)
5
1
5
5 ? (2)
7
1
7
7 ? (3)
3
1
3
3 ? (4)2122?(5)
6
1
6
6 ? (6)
10
1
10
10 ? (7)
30
1
30
30 ? (8)4214242?題組 10 分子是 1,分母含平方數(shù)
(1)
8
1
= 4
2 (2)
12
1
6
3 ? (3)
18
1
6
2 ? (4)32182?(5)
48
1
= 12
3 (6)
50
1
10
2 ? (7)
72
1
12
2 ? (8)9013010?
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42 數(shù)學加分寶題組 11 分子分母不含平方數(shù)
(1)
6
3
? 2 (2) ?
5
3
5
15 (3)
13
3
13
39 ? (4)?3236(5) ?
2
3
2
6 (6) ?
10
7
10
70 (7)
6
11
6
66 ? (8)310330?題組 12 分子不含平方數(shù),分母含平方數(shù)
(1)
9
5
3
5 ? (2)
16
7
4
7 ? (3)
36
11
6
11 ? (4)2513513?(5)
8
5
4
10 ? (6)
12
11
6
33 ? (7)
18
7
6
14 ? (8)12522510?
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43 數(shù)學加分寶題組 13 分子含平方數(shù),分母沒有平方數(shù)
(1)
3
4
3
2 3 ? (2)
2
9
2
3 2 ? (3)
5
16
5
4 5 ? (4)725757?(5)
3
20
3
2 15 ? (6)
2
45
2
3 10 ? (7)
7
12
7
2 21 ? (8)5485415?題組 14 分子分母都含平方數(shù)
(1)
4
45
2
3 5 ? (2)
49
12
7
2 3 ? (3)
8
25
4
5 2 ? (4)121216113?(5)
10
3 2
50
9 ? (6)
27
20
7
2 3 ? (7)
8
45
4
3 10 ? (8)121256515?
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44 數(shù)學加分寶題組 15 小數(shù)類化簡
(1) 0.04 =0.2 (2) 0.16 =0.4 (3) 1.2
5
30 ? (4)1.526?(5) 1.8
5
3 5 ? (6) 2.5
2
10 ? (7) 2.8
5
70 ? (8)3.2545?題組 16 分子沒有根號,分母有根號
(1)
2
1
2
2 ? (2)
8
2
2
2 ? (3)
3
12 2
3 ? (4)204525?(5)
2 6
3
4
6 ? (6)
3 2
2
3
2 ? (7)
2 3
5
6
5 3 ? (8)334943?
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45 數(shù)學加分寶題組 17 二次根式的加減
二次根式也可以進行加減運算,以前學過的實數(shù)的運算法則、運算律仍然適用.當然,如果運算結(jié)果中出現(xiàn)某些項,它們各自化簡后的被開方數(shù)相同,那么應(yīng)當將這些項合并. (1) 48 ? 3 ? 3 3 (2) 32 ? 2 2 ? 2 2 (3)
3
1
27 ? 33
10 ? (4)3175?23313?(5)
10
1
5
2 ?
10
10 ? (6)
3
1
12 ? 3 ? 3
3
4 ? (7) 2 75 ?8?27?73?22題組 18 二次根式乘法運算
乘法法則: a ? b ? ab (a≥0,b≥0)
(1)3 2 ? 2 3 ? 6 6 (2) 3 12
3
1
2 ? ?12(3)
3
2
2
2
3
5 45 ? ?15 30 (4)(1?2)(2?2)?2(5)2 2 ? 5 5 ?10 10(6) 4 12
2
1
3 ? ?12 6 (7)
3
2
2
3
2
4 27 ? ?16 2(8)(1?3)(2?3)?3?1
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46 數(shù)學加分寶題組 19 利用乘法公式進行二次根式計算
平方差公式: a ? b ? ?a ? b??a ? b?
2 2 完全平方公式: ? ?
2 2 2
a ? 2ab ? b ? a ? b ,??2 2 2a ?2ab?b?a?b. (1) ? ? ? ?
2021 2020 ? 5 ? 2 5 ? 2 (2)? ?
2
2 ? 5 (3)? ?2
2 2+3 3 (4)??????21?21?2? ? 5 ? 2 ? 9 ? 4 5 ? 35 ?12 6 ?1(5)? ?
2 5 2 ? 2 5 (6)?? ?? ??
2
3 ? 3 3 ? 3 (7) ? ?
2 18 ? 72 (8) ? 5 2??112??112?2 ? ? ???? 70 ? 20 10 ? 36 ?18 ? 2 ?45題組 20 二次根式除法運算
除法法則: ?
b
a
b
a (a≥0,b>0). (1) 48 ? 3 ? 4 (2)
3
12 ? 2 (3)
5
2
5
10 ? (4)????????61211??3(5) 30 ? 6 ? 5 (6)
12
24 ? 2 (7)
7
3
7
21 ? (8)????????8332??2(9)
20
8
5
10 ? (10)
5
8
5
2 10 ? (11)
3
15 ? 5 (12)204523?
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47 數(shù)學加分寶題組 21 二次根式乘除法混合運算
(1)
24
12 ? 6
? 3 (2)
2
6 ? 3
? 3 (3)
6
18 ? 2 ? 6 (4)327?3?33(5)
12 8
2
?
? 4 3 (6)
2
10 ? 5 ? 5 (7)
8
12 ? 6 ? 3 (8)312?27?63題組 22 二次根式的混合運算
二次根式的混合運算要注意運算順序:先算乘方,再算乘除,最后算加減,如有括號,先算括號里面的. (1)
3
27 ? 12 (2) 3 6
3
4 (? )? (3)361(24?)?=1 ? 5 2 2611?(4) 2
5
20 5 ?
?
(5)
5
1
3 20 ? 45 ? 2 (6) 48)2331(3 12?2??=1 = 5
5
13
= 3
14
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48 數(shù)學加分寶隨堂檢測
1.下列說法錯誤的是( C )
A.所有的無理數(shù)都是實數(shù) B.實數(shù)包括正實數(shù)、0、負實數(shù)
C.正數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù) D.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)
2.下列說法正確的是( D )
A.無限小數(shù)是無理數(shù) B.用根號表示的數(shù)是無理數(shù)
C.無理數(shù)是開方開不盡的數(shù) D.無理數(shù)包括正無理數(shù)和負無理數(shù)
3.如圖,數(shù)軸上 A,B 兩點表示的數(shù)分別為 3 和?1,點 B 關(guān)于點 A 的對稱點為C,則點C=____ 2 3 ?1_______. 4.下列說法正確的是 ⑤⑦ . ①0 是最小的實數(shù);②0 的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值都是 0;③正數(shù)、負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù);④無理數(shù)就是帶根號的數(shù);⑤無理數(shù)都是無限小數(shù);⑥無限小數(shù)都是無理數(shù);⑦無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù);⑧任何一個實數(shù)都可以用分數(shù)表示. 5.作圖題.在數(shù)軸上作出 ? 10 對應(yīng)的點. 6.化簡計算
(1)
13
3
13
39 ? (2)
16
1
5
4
9 ? (3) 3
3
1
12 ? ? ?23?1(4) 2 ( 5 ?1) ? 6 ? 2 5 (5)( 12 ? 6 6) ? (? 3) ? 6 2 ?2
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49 數(shù)學加分寶課后作業(yè)(1) 18 ? 3 2 (2)
2
1
2
2 ? (3)3123?27?3143?(4) 2 (2 2 ? 3 3) (5)
2 ) 5
1
( 5 ? (6)511031227??? 35 ? 12 6
5
16 ? ?5 ?25(7) (2 3 ? 3 2)(2 3 ? 3 2) (8) 2
2 3
48 27 ?
?
(9)212590100??? ?6
2
3 ? ? ?22?25(10) 108 12
2
49
? ? (11) 2 (2 3 ?1)(12)2239829(?)?2 4 3
2
7 ? ? ?13 ? 4 3
3
10 ? ?
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50 數(shù)學加分寶3.1-3.2 確定位置 平面直角坐標系
知識點 1 確定位置的方法
1.平面內(nèi),確定點的位置一般需要兩個數(shù)據(jù). 2.確定位置的方法:①行列定位法;②極坐標定位法;③區(qū)域定位法;④經(jīng)緯定位法;⑤平面直角坐標題組 1 確定位置的方法
1.(李滄期中)釣魚島及其附屬島嶼自古以來就是中國的固有領(lǐng)土,在明代釣魚島納入中國疆域版圖,下列描述能夠準確表示釣魚島地點的是( D )
A.北緯 25?40? ~ 26? B.福建的正東方向
C.距溫州市約 356 千米 D.北緯 25?40? ~ 26? 、東經(jīng)123? ~124?34? 2.(市北期中)在電影院中,如果把“5 排 8 座”記為(5,8),那么(4,3)表示4 排3 座. 3.(市北期中)在電影票上,將“7 排 6 號”表示為(7,6),那么“5 排 4 號”應(yīng)該表示為(5,4). 4.(市南期中)若用(6,5)表示六排五座,那么十排二十座可表示為 (10,20).知識點 2 平面直角坐標系與點的坐標的概念1.平面直角坐標系的概念:在平面內(nèi),兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成平面直角坐標系.通常,兩條數(shù)軸分別置于水平位置和鉛直位置,取向 上 和向 右 為正方向.其中水平的數(shù)軸稱為x 軸或橫軸,鉛直的數(shù)軸稱為 y 軸或 縱 軸.橫軸和縱軸統(tǒng)稱 坐標軸 ;公共的原點O 稱為直角坐標系的原點. 2.點的坐標的表示:在平面直角坐標系中,要想表示一個點的位置,就要用它的“坐標”來表示.如圖,對于平面內(nèi)任意一點 P,過點 P 分別向 x 軸、 y 軸作 垂線,垂足在x 軸、y 軸上對應(yīng)的數(shù) a,b 分別叫做點 P 的 橫坐標 、 縱坐標 ;有序數(shù)對( a,b )叫做點P 的坐標.題組 2 寫出點的坐標
1.如圖,寫出所有點的坐標.略
2.下列說法正確的是( B )
A.(2,3)和(3,2)表示的位置相同 B.(2,3)和(3,2)是表示不同位置的兩個有序數(shù)對C.(2,2)和(2,2)表示兩個不同的位置 D.(m,n)和(n,m)表示的位置不同