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（2023-2024 海淀九上期中）★★★☆

26．已知二次函數(shù) y＝

1

2

x

2＋bx＋1．

（1）若 b＝－1，求該二次函數(shù)圖象的對稱軸及最小值；

（2）若對于任意的 0≤x≤2，都有 y≥－1，求 b 的取值范圍．

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吳老師圖解

（1）x=1，

1

2

.

思路&圖解

1）由題知拋物線的解析式為 y＝

1

2

x

2－x＋1，

2）易求得對稱軸為 x=－

2

b

a

=－

1

1

2

2

?

?

=1，

3）將 x=1 代入解析式得 y=

1

2

×1－1+1=

1

2

，即函數(shù)的最小值為

1

2

.

∴綜上所述：對稱軸為 x=1，最小值為

1

2

.

（2）b≥－2.

思路一：頂點(diǎn)軌跡

分析

【1】“定調(diào)”

拋物線開口向上，大小固定！無需對開口方向進(jìn)行分類討論！

【2】“五大步”

對稱軸 x=－b

頂點(diǎn)（有軌跡） （－b，－

1

2

b

2+1）→y=－

1

2

x

2+1

y

軸交點(diǎn)以及對稱點(diǎn) （0，1），（－2b，1）

x

軸交點(diǎn) ——

“支撐點(diǎn)” （0，1）

【3】綜合分析

如圖，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在軌跡 y=－

1

2

x

2+1（一個新拋物線）上運(yùn)動，且開口向上大

小固定，過定點(diǎn)（0，1），故只需保證原二次函數(shù)圖像在 0≤x≤2 之間的部分，一直在直線

y=－1 的上方即可（備注：可以在 y=－1 上）！

x

y

×

y = 1

O

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思路&圖解

如圖，

1）易求得拋物線的頂點(diǎn)為（－b，－

1

2

b

2+1），故頂點(diǎn)在 y=－

1

2

x

2+1 上，

2）點(diǎn) M（2，1）恰好在 y=－

1

2

x

2+1 上（提示：任意 0≤x≤2，都有 y≥－1），

3）由題知拋物線的頂點(diǎn)應(yīng)在點(diǎn) M 上或點(diǎn) M 的左側(cè)，即－b≤2，

∴b≥－2.

備注：要是頂點(diǎn)的軌跡不過點(diǎn)（2，－1）呢？本題還是比較特殊的！

思路二：區(qū)間最值

思路&圖解

1）由題知，當(dāng) 0≤x≤2 時，ymin≥－1，

2）如圖，

①若 2≤－b（b≤－2），則當(dāng) x=2 時，ymin=2b+3，

由題知 2b+3≥－1，解得 b≥－2，

∴b=－2，

②若－b≤0（b≥0），則當(dāng) x=0 時，ymin=1，顯然，1＞－1，

∴b≥0 恒成立，

③若 0＜－b＜2（－2＜b＜0），則當(dāng) x=－b 時，ymin=－

1

2

b

2+1，

令－

1

2

b

2+1≥－1，解得－2≤b≤2，

∴－2＜b＜0.

∴綜上所述：b≥－2.

x

y

y = 1

O M

x= b

0

2

x= b

0

2

x= b

0

2