【溫馨提示:本書更適用于選科組合偏文類的學(xué)生,請根據(jù)實際情況選用】

第一章 集合與常用邏輯用語、不等式 ?????????????????? １

第１節(jié) 集合/１

[拓展視野] Venn圖的應(yīng)用/３

第２節(jié) 常用邏輯用語/４

第３節(jié) 不等式及其性質(zhì)/７

第４節(jié) 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式/９

第一課時 二次函數(shù)及其性質(zhì)/９

第二課時 一元二次方程、不等式/１２

第５節(jié) 均值不等式/１５

[拓展視野] 均值不等式鏈/１７

第二章 函數(shù)????????????????????????????????? １８

第１節(jié) 函數(shù)的概念及表示/１８

[微點突破] 函數(shù)的值域/２１

第２節(jié) 單調(diào)性與最大(小)值/２２

第３節(jié) 奇偶性、對稱性與周期性/２５

第一課時 奇偶性、對稱性與周期性/２６

[微點突破] 抽象函數(shù)/２８

第二課時 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用/２９

[微點突破] 函數(shù)性質(zhì)中的二級結(jié)論/３０

第４節(jié) 冪函數(shù)與幾類特殊函數(shù)/３１

第５節(jié) 指數(shù)與對數(shù)的運算/３５

第６節(jié) 指數(shù)函數(shù)/３８

第７節(jié) 對數(shù)函數(shù)/４０

第８節(jié) 函數(shù)的圖象/４３

第９節(jié) 函數(shù)與方程/４７

[微點突破] 嵌套函數(shù)的零點問題/４９

第１０節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用/５０

第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 ??????????????????????????? ５４

第１節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運算/５４

[微點突破] 公切線問題/５７

第２節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性/５８

[微點突破] 函數(shù)中的構(gòu)造問題/６１

第３節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值/６２

第４節(jié) 導(dǎo)數(shù)中的綜合問題/６５

第一課時 不等式恒(能)成立問題/６５

第二課時 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點/６８

[答題規(guī)范] 利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點/６８

[微點突破] 隱零點問題/７０

第三課時 構(gòu)造函數(shù)證明不等式/７１

[微點突破] 雙變量問題/７２

— １ —

第四章 三角函數(shù)、解三角形 ??????????????????????????????? ７３

第１節(jié) 任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念/７３

第２節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式/７６

第３節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式/７９

第４節(jié) 二倍角公式及應(yīng)用/８１

第５節(jié) 三角函數(shù)式的化簡與求值/８３

[拓展視野] 萬能公式/８５

第６節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)/８６

第７節(jié) 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用/８９

第８節(jié) 正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用/９２

第一課時 正弦定理和余弦定理/９３

[拓展視野] 射影定理的應(yīng)用/９４

第二課時 解三角形的應(yīng)用/９５

[答題規(guī)范] 三角形中的最值、范圍問題/９５

第９節(jié) 三角函數(shù)模型及解三角形的實際應(yīng)用/９８

第五章 平面向量、復(fù)數(shù) ????????????????????????????????? １０１

第１節(jié) 平面向量的概念及線性運算/１０１

第２節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示/１０４

第３節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用/１０７

[微點突破] 數(shù)量積的最值(范圍)/１０９

第４節(jié) 復(fù)數(shù)/１１０

第六章 數(shù)列 ???????????????????????????????????????? １１３

第１節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法/１１３

第２節(jié) 等差數(shù)列及其前n 項和/１１６

第３節(jié) 等比數(shù)列及其前n 項和/１１９

第４節(jié) 數(shù)列求和/１２２

[答題規(guī)范] 錯位相減法求和/１２５

第七章 立體幾何與空間向量 ?????????????????????????????? １２６

第１節(jié) 基本立體圖形及幾何體的表面積與體積/１２６

第２節(jié) 與球有關(guān)的切、接問題/１３０

第３節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系/１３２

第４節(jié) 直線、平面平行的判定與性質(zhì)/１３５

第５節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)/１３９

[微點突破] 幾何法求線面角、二面角/１４３

第６節(jié) 空間向量及其應(yīng)用/１４４

第７節(jié) 向量法求空間角/１４８

[答題規(guī)范] 平面與平面的夾角/１５０

第８節(jié) 向量法求距離、探索性及折疊問題/１５２

— ２ —

第八章 平面解析幾何 ?????????????????????????????????? １５５

第１節(jié) 直線的方程/１５５

第２節(jié) 兩直線的位置關(guān)系/１５８

第３節(jié) 圓的方程/１６２

第４節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系/１６５

第５節(jié) 橢圓/１６８

第６節(jié) 雙曲線/１７１

[拓展視野] 橢圓、雙曲線中的二級結(jié)論/１７４

第７節(jié) 拋物線/１７５

[拓展視野] 拋物線中的二級結(jié)論/１７８

第８節(jié) 直線與圓錐曲線/１７９

第９節(jié) 圓錐曲線中的綜合問題/１８３

第一課時 定點、定值問題/１８３

第二課時 最值、范圍問題/１８６

[答題規(guī)范] 最值問題/１８６

第三課時 求值、證明、探索性問題/１８９

第九章 統(tǒng)計與統(tǒng)計模型 ????????????????????????????????? １９２

第１節(jié) 隨機抽樣、統(tǒng)計圖表/１９２

第２節(jié) 用樣本估計總體/１９６

第３節(jié) 統(tǒng)計模型/２００

第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 ????????????????????? ２０５

第１節(jié) 兩個計數(shù)原理/２０５

第２節(jié) 排列與組合/２０８

第３節(jié) 二項式定理/２１１

第４節(jié) 隨機事件、頻率與概率/２１４

第５節(jié) 古典概型、概率的基本性質(zhì)/２１７

第６節(jié) 事件的獨立性、條件概率與全概率公式/２２０

第７節(jié) 離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征/２２３

第８節(jié) 二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布/２２７

[答題規(guī)范] 概率與統(tǒng)計的綜合問題/２３０

[微點突破] 二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系/２３１

?一輪對點７１練?(另成冊 ２３３~３８４)

?答案解析與規(guī)律方法?(另成冊 ３８５~５１２)

— ３ —

第一章 集合與常用邏輯用語、不等式 ???????????????????????? ２

教材宏觀把控/２

教材探究思考/２

教材典題重溫/３

第二章 函數(shù) ?????????????????????????????????????? ９

教材宏觀把控/９

教材探究思考/９

教材典題重溫/１０

第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 ???????????????????????????????? １６

教材宏觀把控/１６

教材探究思考/１６

教材典題重溫/１７

第四章 三角函數(shù)、解三角形 ????????????????????????????? ２１

教材宏觀把控/２１

教材探究思考/２１

教材典題重溫/２３

第五章 平面向量、復(fù)數(shù) ??????????????????????????????? ３０

教材宏觀把控/３０

教材探究思考/３０

教材典題重溫/３１

第六章 數(shù)列 ????????????????????????????????????? ３５

教材宏觀把控/３５

教材探究思考/３５

教材典題重溫/３６

第七章 立體幾何與空間向量 ???????????????????????????? ４１

教材宏觀把控/４１

教材探究思考/４１

教材典題重溫/４４

第八章 平面解析幾何 ???????????????????????????????? ５４

教材宏觀把控/５４

教材探究思考/５４

教材典題重溫/５６

第九章 統(tǒng)計、統(tǒng)計模型 ??????????????????????????????? ６３

教材宏觀把控/６３

教材探究思考/６３

教材典題重溫/６５

第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 ???????????????????? ６９

教材宏觀把控/６９

教材探究思考/６９

教材典題重溫/７１

參考答案 ???????????????????????????????????????? ８０

— ４ —

第１節(jié) 集 合

考試要求 １? 了解集合的含義,理解元素與集合的屬于關(guān)系．２? 理解集合間包含與相等的含義,能識別給定集

合的子集．３? 理解兩個集合的并集、交集與補集的含義,會求兩個簡單集合的并集、交集與補集．４? 能使用

Venn圖表達集合間的基本關(guān)系與基本運算．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?元素與集合

(１)集合中元素的三個特性:確定性、 、

無序性．

(２)元素與集合的關(guān)系是 或不屬于,表

示符號分別為∈和?．

(３)集合的三種表示方法: 、 、

圖示法．

(４)常用數(shù)集及記法

名稱

自然

數(shù)集

正整

數(shù)集

整數(shù)集

有理

數(shù)集

實數(shù)集

記法

２?集合間的基本關(guān)系

(１)子集:如果集合A 的任意一個元素都是集合

B 的 ,那么集合A 稱為集合B 的子集．

記作A B(或B?A)．

(２)真子集:如果集合A 是集合B 的子集,并且

B 中至少有一個元素 A,那么集合 A

稱為集合 B 的真子集．記作 A B(或

B?A)．

(３)相等:若A?B,且 ,則A＝B．

(４)空集的性質(zhì):空集是任何集合的子集,是任何

集合的真子集．

３?集合的基本運算

集合的并集 集合的交集 集合的補集

符號

表示

A∪B A∩B

若全集為U,則集

合A 的補集為?UA

圖形

表示

集合

表示

{x|x∈A,

或x∈B}

{x|x∈U,

且x?A}

４?集合的運算性質(zhì)

(１)A∩A＝A,A∩?＝?,A∩B＝B∩A．

(２)A∪A＝A,A∪?＝A,A∪B＝B∪A．

(３)A∩(?UA)＝?,A∪(?UA)＝U,

?U(?UA)＝A．

[常用結(jié)論]

１?若有限集A 中有n個元素,則A 的子集有２

n 個,真

子集有２

n －１個,非空子集有２

n －１個,非空真子

集有２

n －２個．

２?A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB．

３??U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB),

?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．

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【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)任何一個集合都至少有兩個子集． ( )

(２){x|y＝x

２＋１}＝{y|y＝x

２＋１}＝{(x,y)|

y＝x

２＋１}． ( )

(３)若１∈{x

２,x},則x＝－１或１． ( )

(４)對于任意兩個集合A,B,(A∩B)?(A∪B)

恒成立． ( )

２?集合A＝{x|２≤x＜４},B＝{x|３x－７≥８－２x},則

A∩B＝ ．

３?已知集合A＝{m＋２,２m

２＋m},若３∈A,則 m

的值為 ．

４?已知集合A＝{x|０＜x＜a},B＝{x|１＜x＜２},

若B?A,則實數(shù)a的取值范圍是 ．

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考點突破·題型剖析

考點一 集合的基本概念

例１ (１)(２０２３?泰州調(diào)研)已知集合A＝{０,１,２,

３,４},B＝{(x,y)|x∈A,y∈A,x－y∈A},則

B 中所含元素的個數(shù)為 ( )

A５． B６． C１．０ D１．５

(２)若集合A＝{a－３,２a－１,a

２－４},且－３∈A,

則實數(shù)a＝ ．

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感悟提升 １? 研究集合問題時,首先要明確構(gòu)成

集合的元素是數(shù)集、點集,還是其他集合;然后再看

集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件,從而準確把握集

合的含義．

２?利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集

合中元素的個數(shù)時,要注意檢驗集合中的元素是否

滿足互異性．

訓(xùn)練１ (１)(２０２３?湖北九師聯(lián)盟質(zhì)檢)已知集

合A＝{x|(２a－x)(x－a)＜０},若２?A,則實

數(shù)a的取值范圍為 ( )

A．(－∞,１)∪(２,＋∞) B．[１,２)

C．(１,２) D．[１,２]

(２)(２０２３?石家莊聯(lián)考)已知集合A＝{(x,y)|

x

２＋y

２＝１},集合B＝{(x,y)|y＝|x|－１},則

集合A∩B 的真子集的個數(shù)為 ( )

A３． B４． C７． D８．

考點二 集合間的基本關(guān)系

例２ (１)已知集合A＝{x|x

２－２x－３≤０},集合

B＝{x||x－１|≤３},集合C＝ x

x－４

x＋５ { ≤０} ,則

集合A,B,C 的關(guān)系正確的是 ( )

A．B?A B．A＝B C．C?B D．A?C

(２)(２０２２?西安二模)已知集合

A＝{x x－

１

４

＜

１

４

} ,B＝xa＜x＜

１

{ ２} ．

若B?A,則實數(shù)a的取值范圍是 ．

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感悟提升 １?若B?A,應(yīng)分B＝?和B≠?兩種

情況討論．

２?已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時,關(guān)鍵是將兩個

集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系,進

而求得參數(shù)范圍．注意合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助

分析及對參數(shù)進行討論．求得參數(shù)后,一定要把端點

值代入進行驗證,否則易增解或漏解．

訓(xùn)練２ (１)已知集合A＝{x|x

２－３x＋２＝０},

B＝{x∈N|x

２－６x＜０},則滿足A?C?B 的

集合C 的個數(shù)為 ( )

A４． B６． C７． D８．

(２)(２０２３?景德鎮(zhèn)模擬)設(shè)集合 M＝{x|－３＜

x＜７},N＝{x|２－t＜x＜２t＋１,t∈R}．若M∪N

＝M,則實數(shù)t的取值范圍為 ．

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— ２ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

考點三 集合的運算

例３ (１)(２０２２?新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|x＜４},

N＝{x|３x≥１},則M∩N＝ ( )

A．{x|０≤x＜２} B．x

１

３ { ≤x＜２}

C．{x|３≤x＜１６} D．x

１

３ { ≤x＜１６}

(２)(２０２２?全國甲卷)設(shè)全集U＝{－２,－１,０,１,

２,３},集合A＝{－１,２},B＝{x|x

２－４x＋３＝０},

則?U(A∪B)＝ ( )

A．{１,３} B．{０,３}

C．{－２,１} D．{－２,０}

(３)集合M＝{x|２x

２－x－１＜０},N＝{x|２x＋

a＞０},U＝R．若 M∩(?UN)＝?,則a 的取值

范圍是 ．

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感悟提升 １? 進行集合運算時,首先看集合能否

化簡,能化簡的先化簡,再研究其關(guān)系并進行運算．

２?數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用:

(１)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算,常借助 Venn

圖求解;

(２)連續(xù)型數(shù)集的運算,常借助數(shù)軸求解,運用數(shù)軸

時要特別注意端點是實心還是空心．

訓(xùn)練３ (１)(２０２２?浙江卷)設(shè)集合A＝{１,２},

B＝{２,４,６},則A∪B＝ ( )

A．{２} B．{１,２}

C．{２,４,６} D．{１,２,４,６}

(２)(多選)(２０２２?武漢二模)已知集合A＝{１,

４,a},B＝{１,２,３},若 A∪B＝{１,２,３,４},則

a的取值可以是 ( )

A２． B３． C４． D５．

(３)(２０２３?沈陽聯(lián)考)已

知U＝{x|－３≤x＜３},

A＝{x|－２≤x＜３},則

圖中陰影表示的集合是 ．

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Venn圖的應(yīng)用

在部分有限集中,我們經(jīng)常遇到元素個數(shù)的問題,

常用 Venn圖表示兩個集合的交、并、補集,借助于

Venn圖解決集合問題,直觀簡捷,事半功倍．用Card

表示有限集中元素的個數(shù),即Card(A)表示有限集

A 的元素個數(shù)．

例 (２０２０?新高考全國Ⅰ卷)某中學(xué)的學(xué)生積極參

加體育鍛煉,其中有９６％的學(xué)生喜歡足球或游

泳,６０％的學(xué)生喜歡足球,８２％的學(xué)生喜歡游

泳,則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)

占該校學(xué)生總數(shù)的比例是 ( )

A６．２％ B５．６％ C４．６％ D４．２％

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訓(xùn)練 某年級先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂的講

座,其中有８５人聽了數(shù)學(xué)講座,７０人聽了歷史

講座,６１人聽了音樂講座,１６人同時聽了數(shù)學(xué)、

歷史講座,１２人同時聽了數(shù)學(xué)、音樂講座,９人

同時聽了歷史、音樂講座,還有５人聽了全部講

座,則聽講座的人數(shù)為 ．

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提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２３５頁

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— ３ —

第一章 集合與常用邏輯用語、不等式

第２節(jié) 常用邏輯用語

考試要求 １? 理解充分條件、必要條件、充要條件的含義．２? 理解判定定理與充分條件的關(guān)系、性質(zhì)定理與必

要條件的關(guān)系．３? 理解全稱量詞命題與存在量詞命題的含義,能正確對兩種命題進行否定．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p?q,則p 是q的 條件,q是p 的

條件

p 是q的 條件 p?q且q/?p

p 是q的 條件 p/?q且q?p

p 是q的 條件 p?q

p 是q的既不充分也不必要條件 p/?q且q/?p

２?全稱量詞與存在量詞

(１)全稱量詞:一般地,“任意”“所有”“每一個”在

陳述中表示所述事物的全體,稱為全稱量詞,用

符號“ ”表示．

(２)存在量詞:“存在”“有”“至少有一個”在陳述中

表示所述事物的個體或部分,稱為存在量詞,用

符號“ ”表示．

３?全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題

結(jié)構(gòu)

對 M 中 的 任 意 一 個

x,有p(x)成立

存在 M 中的元素

x,p(x)成立

簡記 ?x∈M,p(x)

否定 ?x∈M,?p(x)

[常用結(jié)論]

１?區(qū)別A 是B 的充分不必要條件(A?B 且B/?A),

與A 的充分不必要條件是B(B?A 且A/?B)兩

者的不同．

２?p 是q的充分不必要條件,等價于?q 是?p 的

充分不必要條件．

３?含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞,否

結(jié)論”．

４?命題p 和?p 的真假性相反,若判斷一個命題的

真假有困難時,可判斷此命題的否定的真假．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)至少有一個三角形的內(nèi)角和為π是全稱量詞

命題． ( )

(２)寫全稱量詞命題的否定時,全稱量詞變?yōu)榇?/p>

在量詞． ( )

(３)當p是q的充分條件時,q是p的必要條件．( )

(４)若已知p:x＞１和q:x≥１,則p 是q的充分

不必要條件． ( )

２?命題“三角形是等邊三角形”是命題“三角形是等

腰三角形”的 ( )

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

３?命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”的否定是 ．

４?使－２＜x＜２成立的一個充分條件是 ．

(答案不唯一,寫出一個即可)

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— ４ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

考點突破·題型剖析

考點一 充分、必要條件的判斷

例１ (１)(２０２２?浙江卷)設(shè)x∈R,則“sinx＝１”是

“cosx＝０”的 ( )

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

(２)(２０２３?泰安模擬)下列選項中,p 是q的必

要不充分條件的是 ( )

Ap．:a＞１,q:f(x)＝logax(a＞０,且a≠１)在

(０,＋∞)上為增函數(shù)

Bp．:a＞１,b＞１,q:f(x)＝a

x －b(a＞０,且a≠１)

的圖象不過第二象限

Cp．:x≥２且y≥２,q:x

２＋y

２≥４

Dp．:a＋c＞b＋d,q:a＞b且c＞d

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感悟提升 充分、必要條件的兩種判定方法:

(１)定義法:根據(jù)p?q,q?p 進行判斷,適用于定

義、定理判斷性問題．

(２)集合法:根據(jù)p,q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進

行判斷,多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題．

訓(xùn)練１ (１)(２０２２?石家莊一模)已知x∈R,則

“x＜－１”是“x

２＞１”的 ( )

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

(２)(２０２３?福州調(diào)研)已知a∈R,若集合 M＝

{１,a},N＝{－１,０,１},則“M?N”是“a＝０”的 ( )

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

(３)(多選)(２０２３?懷化一診)下列命題為真命題

的是 ( )

A．“a＞b”是“ac

２＞bc

２”的必要不充分條件

B．“a＞b”是“

１

a

＜

１

b

”的充要條件

C．“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要條件

D．“x 或y為有理數(shù)”是“xy 為有理數(shù)”的既不

充分也不必要條件

考點二 充分必要條件的應(yīng)用

例２ 已知集合A＝{x|x

２－８x－２０≤０},非空集

合B＝{x|１－m≤x≤１＋m}．若x∈A 是x∈B

的必要條件,求m 的取值范圍．

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遷移 本例中,若把“x∈A 是x∈B 的必要條

件”改為“x∈A 是x∈B 的充分不必要條件”,

求m 的取值范圍．

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感悟提升 充分條件、必要條件的應(yīng)用,一般表現(xiàn)

在參數(shù)問題的求解上．解題時需注意

(１)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合

之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參

數(shù)的不等式(或不等式組)求解．

(２)要注意區(qū)間端點值的檢驗．

訓(xùn)練２ (２０２３?衡水調(diào)研)若集合A＝{x|x＞２},

B＝{x|bx＞１},其中b為實數(shù)．

(１)若A 是B 的充要條件,則b＝ ;

(２)若A 是B 的充分不必要條件,則b的取值

范圍是 ．

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— ５ —

第一章 集合與常用邏輯用語、不等式

考點三 全稱量詞與存在量詞

角度１ 含量詞命題的否定

例３ (１)(２０２３?天津模擬)已知命題p:?x∈R,

sinx≤１,則 ( )

A．?p:?x∈R,sinx≥１

B．?p:?x∈R,sinx≥１

C．?p:?x∈R,sinx＞１

D．?p:?x∈R,sinx＞１

(２)已知命題p:?n∈N,n

２≥２n＋５,則?p為( )

A．?n∈N,n

２≥２n＋５

B．?n∈N,n

２≤２n＋５

C．?n∈N,n

２＜２n＋５

D．?n∈N,n

２＝２n＋５

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角度２ 含量詞命題的真假判斷

例４ (多選)下列命題是真命題的是 ( )

A．?a∈R,使函數(shù)y＝２

x ＋a?２

－x 在R上為偶

函數(shù)

B．?x∈R,函數(shù)y＝sinx＋cosx＋ ２的值恒為

正數(shù)

C．?x∈R,２

x ＜x

２

D．?x∈(０,＋∞),

１

３

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÷

x

＞log１

３x

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角度３ 含量詞命題的應(yīng)用

例５ (２０２３?長春調(diào)研)已知命題“?x∈R,mx

２－

mx＋１≤０”是假命題,則實數(shù) m 的取值范圍

是 ．

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感悟提升 １? 含量詞命題的否定,一是要改寫量

詞,二是要否定結(jié)論．

２?判定全稱量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,

需要對集合 M 中的每一個元素x,證明p(x)成立;

要判定存在量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,只

要在限定集合內(nèi)找到一個x,使p(x)成立即可．

３?由命題真假求參數(shù)的范圍,一是直接由命題的含

義,利用函數(shù)的最值求參數(shù)的范圍;二是利用等價

命題,即p 與?p 的關(guān)系,轉(zhuǎn)化成?p 的真假求參

數(shù)的范圍．

訓(xùn)練３ (１)命題p:“有些三角形是等腰三角形”

的否定是 ( )

A．有些三角形不是等腰三角形

B．有些三角形可能是等腰三角形

C．所有三角形都不是等腰三角形

D．所有三角形是等腰三角形

(２)(多選)下列命題為真命題的是 ( )

A．?x∈R,２

x－１＞０ B．?x∈N

? ,(x－１)２＞０

C．?x∈R,lgx＜１ D．?x∈R,tanx＝２

(３)(２０２３?臨沂聯(lián)考)若命題“?x０∈R,x

２

０＋

２ax０＋２－a＝０”是真命題,則實數(shù)a 的取值范

圍是 ．

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提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２３６頁

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— ６ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第３節(jié) 不等式及其性質(zhì)

考試要求 １? 理解用作差法比較兩個實數(shù)大小的理論依據(jù)．２? 理解不等式的概念．３? 理解不等式的性質(zhì),掌

握不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?兩個實數(shù)比較大小的方法

(１)作差法

a－b＞０?a b,

a－b＝０?a b,

a－b＜０?a b．

ì

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í

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(２)證明不等式還常用綜合法、反證法和分析法．

２?不等式的性質(zhì)

(１)不等式的性質(zhì)

①可加性:a＞b?a＋c b＋c;

②可乘性:a＞b,c＞０?ac＞bc;

a＞b,c＜０?ac＜bc;

③傳遞性:a＞b,b＞c? ;

④對稱性:a＞b?b＜a．

(２)不等式的推論

①移項法則:a＋b＞c?a＞c－b;

②同向不等式相加:a＞b,c＞d? ;

③同向不等式相乘:a＞b＞０,c＞d＞０? ;

④可乘方性:a＞b＞０? (n∈N,n＞１);

⑤可開方性:a＞b＞０? a＞ b．

[常用結(jié)論]

１?證明不等式的常用方法有:作差法、作商法、綜合

法、分析法、反證法、放縮法．

２?有關(guān)分式的性質(zhì)

(１)若a＞b＞０,m＞０,則

b

a

＜

b＋m

a＋m

;

b

a

＞

b－m

a－m

(b－m＞０)．

(２)若ab＞０,則a＞b?

１

a

＜

１

b

．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)a＞b?ac

３＞bc

３． ( )

(２)a＝b?ac＝bc． ( )

(３)若

a

b

＞１,則a＞b． ( )

(４)０＜a＜x＜b或a＜x＜b＜０?

１

b

＜

１

x

＜

１

a

．( )

２?(多選)下列命題為真命題的是 ( )

A．若ac

２＞bc

２,則a＞b

B．若a＞b＞０,則a

２＞b

２

C．若a＜b＜０,則a

２＜ab＜b

２

D．若a＜b＜０,則

１

a

＞

１

b

３?設(shè) M＝x

２＋y

２＋１,N＝２(x＋y－１),則 M 與 N

的大小關(guān)系為 ．

４?已知－１＜a＜２,－３＜b＜５,則a＋２b的取值范

圍是 ．

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考點突破·題型剖析

考點一 比較數(shù)(式)的大小

例１ (１)若a＜０,b＜０,則p＝

b

２

a

＋

a

２

b

與q＝a＋b

的大小關(guān)系為 ( )

Ap．＜q Bp．≤q Cp．＞q Dp．≥q

(２)e

π?π

e 與e

e?π

π 的大小關(guān)系為 ．

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— ７ —

第一章 集合與常用邏輯用語、不等式

感悟提升 比較大小的常用方法

(１)作差法:①作差;②變形;③定號;④得出結(jié)論．

(２)作商法:①作商;②變形;③判斷商與１的大小關(guān)

系;④得出結(jié)論．

訓(xùn)練１ (１)若a,b∈[０,＋∞),A＝ a＋ b,

B＝ a＋b,則A,B 的大小關(guān)系是 ( )

A．A≤B B．A≥B C．A＜B D．A＞B

(２)若a＝

ln３

３

,b＝

ln４

４

,c＝

ln５

５

,則 ( )

Aa．＜b＜c Bc．＜b＜a

Cc．＜a＜b Db．＜a＜c

考點二 不等式的基本性質(zhì)

例２ (１)(多選)(２０２３?張家口一模)若a＞b,則下

列不等式中正確的有 ( )

Aa．－b＞０ B２．

a ＞２

b

Ca．c＞bc Da．

２＞b

２

(２)(多選)(２０２３?泰州調(diào)研)若a＞b＞０＞c,則( )

A．

c

a

＞

c

b

B．

b－c

a－c

＞

b

a

Ca．

c ＞b

c Da．－c＞２ －bc

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感悟提升 解決此類題目常用的三種方法:

(１)直接利用不等式的性質(zhì)逐個驗證,要特別注意

前提條件;

(２)利用特殊值排除法;

(３)利用函數(shù)的單調(diào)性,當直接利用不等式的性質(zhì)

不能比較大小時,可以利用指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)等函

數(shù)的單調(diào)性進行判斷．

訓(xùn)練２ (１)(２０２３?福州一模)“０＜a＜b”是

“a－

１

a

＜b－

１

b

”的 ( )

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

(２)(多選)已知x＞y＞z,x＋y＋z＝０,則下列

不等式不成立的是 ( )

Ax．y＞yz Bx．y＞xz

Cx．z＞yz Dx．|y|＞|y|z

考點三 不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例３ (１)已知－１＜x＜４,２＜y＜３,則x－y 的取

值范 圍 是 ,３x ＋２y 的 取 值 范 圍

是 ．

(２)已知a∈(－３,－２),b∈(２,４),則

b

a

的取值

范圍是 ．

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遷移 在本例(１)中,把條件改為“－１＜x－y＜４,

２＜x＋y＜３,求３x＋２y的取值范圍．

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感悟提升 利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的

取值范圍,應(yīng)注意兩點:一是必須嚴格運用不等式

的性質(zhì);二是在多次運用不等式的性質(zhì)時有可能擴

大了變量的取值范圍,解決的途徑是先建立所求范

圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系,最后通過

“一次性”不等關(guān)系的運算求解范圍．

訓(xùn)練３ (１)已知０＜β＜α＜

π

２

,則α－β的取值

范圍是 ．

(２)已知a＞b＞c,２a＋b＋c＝０,則

c

a

的取值范

圍是 ．

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２３７頁

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— ８ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第４節(jié) 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

第一課時 二次函數(shù)及其性質(zhì)

考試要求 理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?二次函數(shù)解析式的三種形式

(１)一般式:f(x)＝ ．

(２)頂點式:f(x)＝a(x－m)２＋n(a≠０),頂點坐

標為 ．

(３)零點式:f(x)＝a(x－x１)(x－x２)(a≠０),

x１,x２ 為f(x)的零點．

２?二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)

y＝ax

２＋bx＋c

(a＞０)

y＝ax

２＋bx＋c

(a＜０)

圖象

(拋物線)

定義域

值域

４ac－b

２

４a

,＋∞

é

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ê

ê

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÷ －∞,

４ac－b

２

４a

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è

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ù

?

ú

ú

對稱軸 x＝

頂點

坐標

奇偶性

當b＝０時是偶函數(shù),當b≠０時是非奇非

偶函數(shù)

單調(diào)性

在 －∞,－

b

２a

?

è

?

ù

?

ú

ú 上是

函數(shù);

在 －

b

２a

,＋∞

é

?

ê

ê

?

?

÷ 上是

函數(shù)

在 －∞,－

b

２a

?

è

?

ù

?

ú

ú 上

是 函數(shù);

在 －

b

２a

,＋∞

é

?

ê

ê

?

?

÷ 上

是 函數(shù)

[常用結(jié)論]

１?二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和

對稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān)．

２?若f(x)＝ax

２＋bx＋c(a≠０),則當

a＞０,

{Δ＜０

時,恒有

f(x)＞０;當

a＜０,

{Δ＜０

時,恒有f(x)＜０．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)二次函數(shù)y＝ax

２＋bx＋c的圖象恒在x 軸下

方,則a＜０且Δ＜０． ( )

(２)若二次函數(shù)y＝ax

２＋bx＋c 的兩個零點確

定,則二次函數(shù)的解析式確定． ( )

(３)二次函數(shù)y＝ax

２＋bx＋c(x∈[m,n])的最值

一定是

４ac－b

２

４a

． ( )

２?函數(shù)y＝x

２－２x＋４的最小值為 ．

３?若函數(shù)f(x)＝４x

２－kx－８在[５,２０]上單調(diào),則

實數(shù)k的取值范圍為 ．

４?已知y＝f(x)為二次函數(shù),若y＝f(x)在x＝２

處取得最小值－４,且y＝f(x)的圖象經(jīng)過原點,

則函數(shù)解析式為 ．

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— ９ —

第一章 集合與常用邏輯用語、不等式

考點突破·題型剖析

考點一 二次函數(shù)的解析式

例１ (１)函數(shù)f(x)滿足下列性質(zhì):

①定義域為R,值域為[１,＋∞);

②圖象關(guān)于x＝２對稱;

③對任意x１,x２∈(－∞,０),且x１≠x２,都有

f(x１)－f(x２)

x１－x２

＜０．

請寫出函數(shù)f(x)的一個解析式 ．

(只要寫出一個即可)

(２)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(２)＝－１,f(－１)

＝－１,且f(x)的最大值是８,則f(x)＝ ．

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感悟提升 求二次函數(shù)解析式的方法

訓(xùn)練１ (１)已知f(x)為二次函數(shù),且f(x)＝

x

２＋f′(x)－１,則f(x)等于 ( )

Ax．

２－２x＋１ Bx．

２＋２x＋１

C２．x

２－２x＋１ D２．x

２＋２x－１

(２)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(４,３),在

x 軸上截得的線段長為２,并且對任意x∈R,都

有f(２－x)＝f(２＋x),則f(x)＝ ．

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考點二 二次函數(shù)的圖象

例２ (多選)如圖是二次函數(shù)

y＝ax

２＋bx＋c(a≠０)圖象的

一部分,圖象過點A(－３,０),

對稱軸為x＝－１．給出下面

四個結(jié)論正確的為 ( )

Ab．

２＞４ac B２．a(chǎn)－b＝１

Ca．－b＋c＝０ D５．a(chǎn)＜b

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感悟提升 研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點一線一開

口”進行分析,“三點”中有一個點是頂點,另兩個點

是圖象上關(guān)于對稱軸對稱的兩個點,常取與x 軸的

交點;“一線”是指對稱軸這條直線;“一開口”是指拋

物線的開口方向．

訓(xùn)練２ 設(shè)abc＞０,二次函數(shù)f(x)＝ax

２＋bx＋

c的圖象可能是 ( )

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— １０ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

考點三 二次函數(shù)的最值

例３ 已知函數(shù)f(x)＝x

２－tx－１．

(１)若f(x)在區(qū)間(－１,２)上不單調(diào),求實數(shù)t

的取值范圍;

(２)若x∈[－１,２],求f(x)的最小值g(t)．

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遷移 本例條件不變,求當x∈[－１,２]時,

f(x)的最大值G(t)．

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感悟提升 閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法:抓

住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合,三點是指區(qū)間兩個端點和

中點,一軸指的是對稱軸,結(jié)合圖象,根據(jù)函數(shù)的單

調(diào)性及分類討論的思想求解．

訓(xùn)練３ 已知函數(shù)f(x)＝x

２＋(２a－１)x－３．

(１)當a＝２,x∈[－２,３]時,求函數(shù)f(x)的

值域;

(２)若函數(shù)f(x)在[－１,３]上的最大值為１,求

實數(shù)a的值．

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提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２３９頁

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— １１ —

第一章 集合與常用邏輯用語、不等式

第二課時 一元二次方程、不等式

考試要求 １? 會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數(shù),了解函數(shù)的零點與

方程根的關(guān)系．２? 了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義．３? 能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?一元二次不等式

形如ax

２＋bx＋c＞０(a≠０)的不等式稱為一元二

次不等式．

２?三個“二次”間的關(guān)系

判別式

Δ＝b

２－４ac

Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０

二次函數(shù)

y＝ax

２＋bx＋c

(a＞０)的圖象

一元二次方程

ax

２＋bx＋c＝０

(a＞０)的根

有兩相異實

根x１,x２

(x１＜x２)

有兩相等實根

x１＝x２＝－

b

２a

沒有實

數(shù)根

ax

２＋bx＋c＞０

(a＞０)的解集

ax

２＋bx＋c＜０

(a＞０)的解集

３?(x－a)(x－b)＞０或(x－a)(x－b)＜０型不等式

的解集

不等式

解集

a＜b a＝b a＞b

(x－a)?

(x－b)＞０

{x|x＜a

或x＞b}

(x－a)?

(x－b)＜０

{x|a＜x＜b}

４?分式不等式與整式不等式

(１)

f(x)

g(x)＞０(＜０)?f(x)?g(x)＞０(＜０)．

(２)

f(x)

g(x)≥０(≤０)?f(x)?g(x)≥０(≤０)且

g(x)≠０．

[常用結(jié)論]

１?絕對值不等式|x|＞a(a＞０)的解集為(－∞,－a)∪

(a,＋∞);|x|＜a(a＞０)的解集為(－a,a)．

記憶口訣:大于號取兩邊,小于號取中間．

２?解不等式ax

２＋bx＋c＞０(＜０)時不要忘記當a＝

０時的情形．

３?不等式ax

２＋bx＋c＞０(＜０)恒成立的條件要結(jié)

合其對應(yīng)的函數(shù)圖象決定．

(１)不等式ax

２＋bx＋c＞０對任意實數(shù)x 恒成立

?

a＝b＝０,

{c＞０

或

a＞０,

{Δ＜０．

(２)不等式ax

２＋bx＋c＜０對任意實數(shù)x 恒成立

?

a＝b＝０,

{c＜０

或

a＜０,

{Δ＜０．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)

x－a

x－b

≥０等價于(x－a)(x－b)≥０． ( )

(２)若不等式ax

２＋bx＋c＜０的解集為(x１,x２),

則必有a＞０． ( )

(３)不等式x

２≤a的解集為[－ a,a]． ( )

(４)若方程ax

２＋bx＋c＝０(a＜０)沒有實數(shù)根,則

不等式ax

２＋bx＋c＞０(a＜０)的解集為R．( )

２?不等式３x

２－７x≤１０的解集為 ．

３?若關(guān)于x 的不等式ax

２＋bx＋２＞０的解集為

x －

１

２

＜x＜

１

{ ３} ,則a＋b＝ ．

４?一元二次不等式ax

２＋ax－１＜０對一切x∈R恒

成立,則實數(shù)a的取值范圍是 ．

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— １２ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

考點突破·題型剖析

考點一“三個二次”之間的關(guān)系

例１ (１)(多選)(２０２３?棗莊調(diào)研)已知關(guān)于x 的

不等式(x＋２)(x－４)＋a＜０(a＜０)的解集是

(x１,x２)(x１＜x２),則 ( )

Ax．１＋x２＝２ Bx．１x２＜－８

C．－２＜x１＜x２＜４ Dx．２－x１＞６

(２)若關(guān)于x的不等式x

２－２ax－８a

２＜０(a＞０)

的解集為{x|x１＜x＜x２},且x２－x１＝１５,則

a的值為 ．

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感悟提升 １?一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二

次函數(shù)的零點,也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端

點值．

２?給出一元二次不等式的解集,相當于知道了相應(yīng)

二次函數(shù)的開口方向及與x 軸的交點,可以利用代

入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù)．

訓(xùn)練１ (１)(多選)若不等式ax

２－bx＋c＞０的

解集是(－１,２),則下列選項正確的是 ( )

Aa．＜０

Bb．＜０且c＞０

Ca．＋b＋c＞０

D．不等式ax

２－cx＋b＜０的解集是R

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(２)已知關(guān)于x 的不等式ax

２＋bx＋c＜０的解

集是 xx＜－２或x＞－

１

{ ２} ,求不等式ax

２－

bx＋c＞０的解集．

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考點二 一元二次不等式的解法

例２ (１)不等式

１－x

２＋x

≥０的解集為 ．

(２)解關(guān)于x 的不等式ax

２－(a＋１)x＋１＜０

(a∈R)．

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感悟提升 對含參的不等式,應(yīng)對參數(shù)進行分類討

論,常見的分類有:

(１)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類．

(２)根據(jù)判別式Δ 與０的關(guān)系判斷根的個數(shù)．

(３)有兩個根時,有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論．

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— １３ —

第一章 集合與常用邏輯用語、不等式

訓(xùn)練２ (１)不等式０＜x

２－x－２≤４的解集為

．

(２)解關(guān)于x 的不等式x

２－ax＋１≤０．

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考點三 一元二次不等式恒成立問題

角度１ 在實數(shù)R上恒成立

例３ (２０２３?天津模擬)若不等式(a－２)?x

２＋

４(a－２)x＋３＞０的解集為R,則實數(shù)a 的取值

范圍是 ．

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角度２ 在給定區(qū)間上恒成立

例４ (２０２３?石家莊質(zhì)檢)當－２≤x≤２時,不等

式x

２－mx＋１＞０恒成立,則實數(shù)m 的取值范

圍為 ( )

A．(－２,２) B．(－∞,－２)

C．[－２,２] D．(２,＋∞)

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角度３ 給定參數(shù)范圍的恒成立問題

例５ 已知a∈[－１,１]時,不等式x

２＋(a－４)x＋

４－２a＞０恒成立,則x 的取值范圍為 ．

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感悟提升 恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略

(１)弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下,求誰的范圍,

誰就是參數(shù)．

(２)一元二次不等式在 R上恒成立,可用判別式Δ,

一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立,不能用判別

式Δ,一般分離參數(shù)求最值或分類討論．

訓(xùn)練３ 已知關(guān)于x的不等式２x－１＞m(x

２－１)．

(１)是否存在實數(shù)m,使不等式對任意x∈R恒

成立,并說明理由;

(２)若不等式對于m∈[－２,２]恒成立,求實數(shù)x

的取值范圍;

(３)若不等式對于x∈(１,＋∞)恒成立,求m 的

取值范圍．

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提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２４１頁

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— １４ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第５節(jié) 均值不等式

考試要求 １? 了解均值不等式的證明過程．２? 能用均值不等式解決簡單的最值問題．３? 掌握均值不等式在實

際生活中的應(yīng)用．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?均值不等式:ab≤

a＋b

２

(１)均值不等式成立的條件:a＞０,b＞０．

(２)等號成立的條件:當且僅當 時取等號．

(３)其中 稱為正數(shù)a,b 的算術(shù)平均值,

稱為正數(shù)a,b的幾何平均值．

２?兩個重要的不等式

(１)a

２＋b

２≥ (a,b∈R),當且僅當a＝b

時取等號．

(２)ab≤

a＋b

２

?

è

?

?

?

÷

２

(a,b∈R),當且僅當a＝b時取

等號．

３?利用均值不等式求最值

(１)已知x,y 都是正數(shù),如果積xy 等于定值P,

那么當x＝y(tǒng) 時,和x＋y 有最小值 ．

(２)已知x,y 都是正數(shù),如果和x＋y 等于定值

S,那么當x＝y(tǒng) 時,積xy 有最大值 ．

[常用結(jié)論]

１?ab≤

a＋b

２

?

è

?

?

?

÷

２

≤

a

２＋b

２

２

．要根據(jù)兩數(shù)積、兩數(shù)和、兩

數(shù)平方和選擇合適的形式．

２?在利用不等式求最值時,一定要盡量避免多次使

用均值不等式．若必須多次使用,則一定要保證

它們等號成立的條件一致．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)不等式a

２＋b

２≥２ab與

a＋b

２

≥ ab成立的條

件是相同的． ( )

(２)函數(shù)y＝x＋

１

x

的最小值是２． ( )

(３)函數(shù)y＝sinx＋

４

sinx

,x∈ ０,

π

２

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è

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÷ 的最小值

是４． ( )

(４)“x＞０且y＞０”是“

y

x

＋

x

y

≥２”的充要條件．( )

２?已知x＞０,則２－３x－

４

x

的最大值是 ．

３?若a＞０,b＞０,且ab＝a＋b＋３,則ab的最小值

為 ．

４?若把總長為２０m 的籬笆圍成一個矩形場地,則

矩形場地的最大面積是 m

２．

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考點突破·題型剖析

考點一 利用均值不等式求最值

角度１ 配湊法

例１ (１)若x＜

２

３

,則f(x)＝３x＋１＋

９

３x－２

有( )

A．最大值０ B．最小值９

C．最大值－３ D．最小值－３

(２)已知０＜x＜

２

２

,則x １－２x

２ 的最大值為

．

(３)(２０２３?天津模擬)函數(shù)y＝

(x＋５)(x＋２)

x＋１

(x＞－１)的最小值為 ．

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— １５ —

第一章 集合與常用邏輯用語、不等式

角度２ 常數(shù)代換法

例２ (１)(２０２３?石家莊模擬)已知x＞０,y＞０,且

x＋２y＝２,則２

x ＋４

y 的最小值為 ,

１

x

＋

２

y

的最小值為 ．

(２)(２０２２?深圳二模)已知０＜x＜１,則

１

x

＋

４

１－x

的最小值是 ．

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角度３ 消元法

例３ (２０２３?湖南省級示范校檢測)設(shè)正實數(shù)x,

y,z滿足x

２－３xy＋４y

２－z＝０,則當

xy

z

取得最

大值時,

２

x

＋

１

y

－

２

z

的最大值為 ．

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角度４ 構(gòu)建不等式法

例４ 已知x＞０,y＞０,x＋３y＋xy＝９,則x＋３y

的最小值為 ．

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感悟提升 １? 利用配湊法求最值,主要是配湊成

“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式．

２?常數(shù)代換法,主要解決形如“已知x＋y＝t(t為

常數(shù)),求

a

x

＋

b

y

的最值”的問題,先將

a

x

＋

b

y

轉(zhuǎn)化

為

a

x

＋

b

y

?

è

?

?

?

÷?

x＋y

t

,再用均值不等式求最值．

３?當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時,通常考

慮利用已知條件消去部分變量后,湊出“和為常數(shù)”

或“積為常數(shù)”的形式,最后利用均值不等式求最值．

４?構(gòu)建目標式的不等式求最值,在既含有和式又含

有積式的等式中,對和式或積式利用均值不等式,

構(gòu)造目標式的不等式求解．

訓(xùn)練１ (１)(２０２３?重慶巴蜀中學(xué)模擬)已知正

實數(shù)a,b滿足ab＋２a－２＝０,則４a＋b的最小

值是 ( )

A２． B４．２－２ C４．３－２ D６．

(２)(多選)(２０２３?廣東六校聯(lián)考)已知x,y∈

(０,＋∞),設(shè) M＝２x＋y,N＝xy,則以下四個

命題中正確的是 ( )

A．若N＝１,則M 有最小值２２

B．若M＋N＝６,則N 有最大值２

C．若M＝１,則０＜N≤

１

８

D．若M

２＝３N＋１,則M 有最小值

８

５

(３)(２０２３?江西九校聯(lián)考)若正實數(shù)a,b滿足

a＋b＝１,則

b

３a

＋

３

b

的最小值為 ．

考點二 利用均值不等式求參數(shù)或范圍

例５ (１)(２０２２?威海期末)關(guān)于x 的不等式ax

２－

|x|＋２a≥０的解集是R,則實數(shù)a 的取值范圍

為 ．

(２)已知不等式(x＋y)

１

x

＋

a

y

?

è

?

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÷≥９對任意正實數(shù)

x,y恒成立,則正實數(shù)a的最小值為 ．

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感悟提升 １?對于不等式恒成立問題可利用分離

參數(shù)法,把問題轉(zhuǎn)化為利用均值不等式求最值;

２?利用均值不等式確定等號成立的條件,也可得到

參數(shù)的值或范圍．

訓(xùn)練２ (１)當x＞a時,２x＋

８

x－a

的最小值為１０,

則a＝ ( )

A１． B．２ C２．２ D４．

(２)(２０２３?南通質(zhì)檢)若正實數(shù)x,y 滿足x＋y

＝１,且不等式

４

x＋１

＋

１

y

＜m

２＋

３

２

m 有解,則實

數(shù)m 的取值范圍是 ．

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— １６ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

考點三 利用均值不等式解決實際問題

例６ 為了美化校園環(huán)境,

園藝師在花園中規(guī)劃出

一個平行四邊形,建成一

個小花圃,如圖,計劃以相距６米的 M,N 兩點

為?AMBN 一組相對的頂點,當?AMBN 的

周長恒為２０米時,小花圃占地面積(單位:平方

米)最大為 ( )

A６． B１．２ C１．８ D２．４

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感悟提升 利用均值不等式解決實際應(yīng)用問題的

思路

(１)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定

義為函數(shù)．

(２)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后,只需利

用均值不等式求得函數(shù)的最值．

(３)在求函數(shù)的最值時,一定要在定義域(使實際問

題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解．

訓(xùn)練３ 某公司一年購買某種貨物４００噸,每次

都購買x 噸,運費為４萬元/次,一年的總存儲

費用為４x 萬元,要使一年的總運費與總存儲費

用之和最小,則x＝ 噸．

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均值不等式鏈

若a＞０,b＞０,則

２

１

a

＋

１

b

≤ ab≤

a＋b

２

≤

a

２＋b

２

２

．

其中

２

１

a

＋

１

b

和

a

２＋b

２

２

分別叫做a,b的調(diào)和平均

數(shù)和平方平均數(shù)．要根據(jù)題目需要選擇合適的形式．

一、利用不等式鏈求最值

例１ (多選)設(shè)正實數(shù)a,b滿足a＋b＝１,則( )

A．a(chǎn)b有最大值

１

２

B．

１

a＋２b

＋

１

２a＋b

有最小值３

Ca．

２＋b

２ 有最小值

１

２

D．a(chǎn)＋ b有最大值 ２

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二、利用均值不等式鏈證明不等式

例２ 已知a,b,c都是非負實數(shù),求證:a

２＋b

２ ＋

b

２＋c

２ ＋ c

２＋a

２ ≥ ２(a＋b＋c)．

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訓(xùn)練 當－

１

２

＜x＜

５

２

時,函數(shù)y＝ ２x－１＋

５－２x的最大值為 ．

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２４３頁

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— １７ —

第一章 集合與常用邏輯用語、不等式

第１節(jié) 函數(shù)的概念及表示

考試要求 １? 了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會求簡單函數(shù)的定義域和值域．２? 在實際情景中,會根據(jù)不同的需要選擇

恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)．３? 了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?函數(shù)的概念

概念

一般地,給定兩個非空實數(shù)集A 與B,

以及對應(yīng)關(guān)系f,如果對于集合A 中

的 ,在 集 合 B 中 都 有

確定的實數(shù)y 與x 對應(yīng),則

稱f 為定義在集合A 上的一個函數(shù),

記作y＝f(x),x∈A

三

要

素

對應(yīng)關(guān)系 y＝f(x),x∈A

定義域 自變量取值的范圍

值域

所有函數(shù) 值 組 成 的 集 合{y∈B|y＝

f(x),x∈A}

２?同一個函數(shù)

(１)前提條件:①定義域 ;

②對應(yīng)關(guān)系 ．

(２)結(jié)論:這兩個函數(shù)為同一個函數(shù)．

３?函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有 、圖象法和列

表法．

４?分段函數(shù)

(１)如果一個函數(shù),在其定義域內(nèi),對于自變量

的不同取值區(qū)間,有不同的對應(yīng)方式,則稱其

為分段函數(shù)．分段函數(shù)表示的是一個函數(shù)．

(２)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的

并集,其值域等于各段函數(shù)的值域的 ．

[常用結(jié)論]

１?直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象至

多有１個交點．

２?注意以下幾種特殊函數(shù)的定義域:

(１)分式型函數(shù),分母不為零的實數(shù)集合．

(２)偶次方根型函數(shù),被開方式非負的實數(shù)集合．

(３)f(x)為對數(shù)式時,函數(shù)的定義域是真數(shù)為正

數(shù)、底數(shù)為正且不為１的實數(shù)集合．

(４)若f(x)＝x

０,則定義域為{x|x≠０}．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)函數(shù)y＝１與y＝x

０ 是同一函數(shù)． ( )

(２)對于函數(shù)f:A→B,其值域是集合B．( )

(３)若A＝R,B＝{x|x＞０},f:x→y＝|x|,其對

應(yīng)是從A 到B 的函數(shù)． ( )

(４)若兩個函數(shù)的定義域與值域分別相同,則這

兩個函數(shù)是同一個函數(shù)． ( )

２?下列函數(shù)中與函數(shù)y＝x 是同一個函數(shù)的是

( )

Ay．＝(x)２Bu．＝

３

v

３ Cy．＝ x

２ D．m＝

n

２

n

３? 函數(shù)f(x)＝ －x

２－２x＋３＋

１

x＋２

的定義域

為 ．

４?已知函數(shù)f(x)＝

３

x ,x≤０,

{log３x,x＞０,

則f f

１

２

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÷

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÷

等于 ．

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— １８ —

考點突破·題型剖析

考點一 函數(shù)的概念

例１ (１)(多選)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的為( )

Af．(x)＝x

２－２x－１,g(s)＝s

２－２s－１

Bf．(x)＝x－１,g(x)＝

x

２－１

x＋１

Cf．(x)＝ x

２ ,g(x)＝

x,x≥０,

{－x,x＜０

Df．(x)＝ －x

３ ,g(x)＝x －x

(２)已知集合P＝{x|０≤x≤４},Q＝{y|０≤y≤２},

下列從P 到Q 的各對應(yīng)關(guān)系f 不是函數(shù)的是

．(填序號)

①f:x→y＝

１

２

x;②f:x→y＝

１

３

x;

③f:x→y＝

２

３

x;④f:x→y＝ x．

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感悟提升 １?函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A 中的任

何一個元素在非空數(shù)集B 中有且只有一個元素與

之對應(yīng),即可以“多對一”,不能“一對多”,而B 中有

可能存在與A 中元素不對應(yīng)的元素．

２?構(gòu)成函數(shù)的三要素中,定義域和對應(yīng)關(guān)系相同,

則值域一定相同．

訓(xùn)練１ (１)(多選)下列各圖中,能表示函數(shù)y＝

f(x)的圖象的是 ( )

(２)(多選)下列對應(yīng)關(guān)系是集合A 到集合B 的

函數(shù)的為 ( )

A．A＝R,B＝{y|y＞０},f:x→y＝|x|

B．A＝Z,B＝Z,f:x→y＝x

２

C．A＝Z,B＝Z,f:x→y＝ x

D．A＝{－１,１},B＝{０},f:x→y＝０

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考點二 函數(shù)的定義域

例２ (１)(２０２３?煙臺調(diào)考)函數(shù)y＝

４－x

２

ln(x＋１)

的定

義域為 ( )

A．[－２,２] B．(－１,２]

C．(－１,０)∪(０,２] D．(－１,１)∪(１,２]

(２)若函數(shù)f(x)的定義域為[０,２],則函數(shù)

f(x－１)的定義域為 ．

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遷移 將本例(２)改成“若函數(shù)f(x＋１)的定義域

為[０,２]”,則函數(shù)f(x－１)的定義域為 ．

感悟提升 １? 求給定解析式的函數(shù)的定義域,其

實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運算)有意義

為準則,列出不等式或不等式組求解;對于實際問

題,定義域應(yīng)使實際問題有意義．

２?求抽象函數(shù)定義域的方法

(１)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],則復(fù)合函數(shù)

f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出．

(２)若已知函數(shù) f[g(x)]的定義域為[a,b],則

f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]上的值域．

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— １９ —

第二章 函 數(shù)

訓(xùn)練２ (１)函數(shù)f(x)＝ lnx ?lg

x＋２

２－x

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è

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÷的定

義域是 ( )

A．[１,２] B．[２,＋∞)

C．[１,２) D．(１,２]

(２)已知函數(shù)f(x)的定義域是[－１,１],則函數(shù)

g(x)＝

f(２x－１)

ln(１－x)

的定義域為 ．

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考點三 求函數(shù)的解析式

例３ (１)(２０２３?哈爾濱模擬)已知f

２

x

＋１

?

è

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÷ ＝

lgx,則f(x)的解析式為 ．

(２)已知y＝f(x)是二次函數(shù),若方程f(x)＝０

有兩個相等實根,且f′(x)＝２x＋２,則f(x)

＝ ．

(３)已知函數(shù)f(x)對任意的x 都有f(x)－

２f(－x)＝２x,則f(x)＝ ．

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感悟提升 函數(shù)解析式的求法

(１)配湊法:由已知條件f(g(x))＝F(x),可將

F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式,然后以x 替代

g(x),便得f(x)的表達式．

(２)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二

次函數(shù))可用待定系數(shù)法．

(３)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式,可用

換元法,此時要注意新元的取值范圍．

(４)方程思想:已知關(guān)于f(x)與f

１

x

?

è

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?

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÷ 或f(－x)等

的表達式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式

組成方程組,通過解方程組求出f(x)．

訓(xùn)練３ (１)已知f(x＋１)＝x－２ x,則f(x)

＝ ．

(２)已知f(x)是一次函數(shù),且２f(２)－３f(１)＝５,

２f(０)－f(－１)＝１,則f(x)的解析式為 ．

(３)已知f(x)滿足f(x)－２f

１

x

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÷ ＝２x,則

f(x)＝ ．

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考點四 分段函數(shù)

角度１ 分段函數(shù)求值

例４ (１)(２０２２?梅州二模)設(shè)函數(shù)f(x)＝

log２(６－x),x＜１,

２{ x－１,x≥１,

則f(－２)＋f(log２６)＝ ( )

A２． B６． C８． D１．０

(２)(２０２３?山東省部分學(xué)校聯(lián)考)已知函數(shù)

f(x)＝

２

x ＋１,x＜１,

{f(x－３),x≥１,

則f(９)＝ ( )

A２． B９． C６．５ D５．１３

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— ２０ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

角度２ 分段函數(shù)與方程、不等式

例５ (１)(２０２３?唐山一模)設(shè)函數(shù)f(x)＝

x

２＋１,x≤０,

{lgx,x＞０．

若f(a)＝０,則a＝ ．

(２)設(shè)函數(shù)f(x)＝

x＋１,x≤０,

２{ x ,x＞０,

則滿足f(x)＋

fx－

１

２

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÷＞１的x 的取值范圍是 ．

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感悟提升 １? 根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值,首

先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間,其次選定相應(yīng)的

解析式代入求解．

２?已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或

范圍時,應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注

意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的

自變量的取值范圍．

提醒 當分段函數(shù)的自變量范圍不確定時,應(yīng)分類

討論．

訓(xùn)練４ (１)(２０２３?湖南師大附中段考)已知函

數(shù)f(x)＝

１

２

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÷

x

,x≤２,

f(x－１),x＞２,

ì

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í

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則f(log２１２)＝

( )

A．

１

３

B．－６ C．

１

６

D．－３

(２)已知函數(shù)f(x)＝

e

２－x ,x≤１,

{lg(x＋２),x＞１,

則不等

式f(x＋１)＜１的解集為 ( )

A．(１,７) B．(０,７)

C．(１,８) D．(－∞,７)

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函數(shù)的值域

求函數(shù)值域的一般方法

(１)分離常數(shù)法;(２)反解法;(３)配方法;(４)不等式

法;(５)單調(diào)性法;(６)換元法;(７)數(shù)形結(jié)合法;(８)導(dǎo)

數(shù)法．

例 求下列函數(shù)的值域:

(１)y＝x

２－２x＋３,x∈[０,３);

(２)y＝

２x＋１

x－３

;

(３)y＝２x－ x－１;

(４)y＝ x＋１＋ x－１．

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訓(xùn)練 (１)函數(shù)y＝

２x－３

２x＋３

的值域是 ．

(２)(２０２３?長春檢測)函數(shù)y＝１＋x－ １－２x

的值域為 ．

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２４５頁

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— ２１ —

第二章 函 數(shù)

第２節(jié) 單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

考試要求 １? 借助函數(shù)圖象,會用數(shù)學(xué)符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最值,理解其實際意義．２? 會運用基本初

等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?函數(shù)的單調(diào)性

(１)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù) 減函數(shù)

定義

一般地,設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D,且

I?D

如果對任意x１,x２∈I,

當x１＜x２ 時,都有

,則稱y＝f(x)在

I上是增函數(shù)

如果對任意x１,x２∈I,

當 x１ ＜x２ 時,都

有 ,

則稱y＝f(x)在I

上是減函數(shù)

圖象

描述

自 左 向 右 看 圖 象 是

上升的

自左向右看圖象是下

降的

(２)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I 上是增函數(shù)或

,那 么 就 說 函 數(shù) y＝f(x)在 區(qū) 間

具有單調(diào)性,區(qū)間 稱為函數(shù)

y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．

２? 函數(shù)的最大(小)值

(１)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為 D,且x０

∈D:如果對任意x∈D,都有f(x)

f(x０),則稱f(x)的最大值為f(x０),而x０ 稱

為f(x)的最大值點;

(２)如 果 對 任 意 x∈D,都 有f(x)

f(x０),則稱f(x)的最小值為f(x０),而x０ 稱

為f(x)的最小值點．最大值和最小值統(tǒng)稱為

最值,最大值點和最小值點統(tǒng)稱為 ．

[常用結(jié)論]

１?有關(guān)單調(diào)性的常用結(jié)論

在公共定義域內(nèi),增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù);減

函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù);增函數(shù)－減函數(shù)＝增函

數(shù);減函數(shù)－增函數(shù)＝減函數(shù)．

２?函數(shù)y＝f(x)(f(x)≠０)在公共定義域內(nèi)與y＝

－f(x),y＝

１

f(x)

的單調(diào)性相反．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)對于函數(shù)y＝f(x),若f(１)＜f(３),則f(x)

為增函數(shù)． ( )

(２)函數(shù)y＝f(x)在[１,＋∞)上是增函數(shù),則函

數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[１,＋∞)． ( )

(３)函數(shù)y＝

１

x

的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞,０)∪(０,

＋∞)． ( )

(４)對于函數(shù)f(x),x∈D,若對任意x１,x２∈D,

且x１≠x２ 有(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＞０,則函

數(shù)f(x)在區(qū)間D 上是增函數(shù)． ( )

２?函數(shù)f(x)＝ x

２－２x的單調(diào)遞增區(qū)間是 ．

３?函數(shù)f(x)＝

２

x－１

(x∈[２,６]),則f(x)的最小值

為 ,最大值為 ．

４?函數(shù)y＝f(x)是定義在[－２,２]上的減函數(shù),且

f(a＋１)＜f(２a),則實數(shù)a的取值范圍是 ．

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— ２２ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

考點突破·題型剖析

考點一 函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)

例１ (１)設(shè) 函 數(shù) f(x)＝

１,x＞０,

０,x＝０,

－１,x＜０,

ì

?

í

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g(x)＝

x

２f(x－１),則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是 ．

(２)試討論函數(shù)f(x)＝

ax

x－１

(a≠０)在(－１,１)

上的單調(diào)性．

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感悟提升 １?求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,應(yīng)先求定義域,

在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間．

２?(１)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法:①定義法;②圖象法;

③利用已知函數(shù)的單調(diào)性;④導(dǎo)數(shù)法．

(２)函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y＝

f(t)和內(nèi)層函數(shù)t＝g(x)的單調(diào)性判斷,遵循“同增

異減”的原則．

易錯警示 函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同,

一般要分開寫,用“,”或“和”連接,不要用“∪”．

訓(xùn)練１ (１)函數(shù)y＝ x

２＋２x－２４的單調(diào)遞減

區(qū)間是 ．

(２)已知函數(shù)f(x)＝

２x－１

x＋１

．判斷f(x)在[０,

＋∞)上單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減,并證明你的

判斷．

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考點二 求函數(shù)的最值

例２ (１)函數(shù)f(x)＝

１

３

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è

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÷

x

－log２(x＋４)在區(qū)間

[－２,２]上的最大值為 ．

(２)對于任意實數(shù)a,b,定義min{a,b}＝

a,a≤b,

{b,a＞b．

設(shè)函數(shù)f(x)＝－x＋３,g(x)＝log２x,則函數(shù)

h(x)＝min{f(x),g(x)}的最大值是 ．

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— ２３ —

第二章 函 數(shù)

感悟提升 １?求函數(shù)最值的三種基本方法:

(１)單調(diào)性法:先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求

最值．

(２)圖象法:先作出函數(shù)的圖象,再觀察其最高點、最

低點,求出最值．

(３)均值不等式法:先對解析式變形,使之具備“一正

二定三相等”的條件后用均值不等式求出最值．

２?對于較復(fù)雜函數(shù),可運用導(dǎo)數(shù),求出在給定區(qū)間

上的極值,最后結(jié)合端點值,求出最值．

訓(xùn)練２ (１)設(shè)函數(shù)f(x)＝

２x

x－２

在區(qū)間[３,４]上的

最大值和最小值分別為M,m,則

m

２

M

＝ ．

(２)(２０２３?寧波調(diào)研)設(shè)f(x)＝

x＋

２

x

－３,x≥１,

x

２＋１,x＜１．

ì

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í

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則f(f(－１))＝ ,f(x)的 最 小 值

是 ．

考點三 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

角度１ 比較函數(shù)值的大小

例３ 已知f(x)＝２

x －

１

x－１

,a＝f(２),b＝

f(３),c＝f(５),則 ( )

Aa．＞b＞c Ba．＞c ＞b

Cc．＞a＞b Dc．＞b＞a

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角度２ 解函數(shù)不等式

例４ 已知函數(shù)f(x)＝lnx＋２

x ,若f(x

２－４)＜２,

則實數(shù)x 的取值范圍是 ．

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角度３ 求參數(shù)的取值范圍

例５ (２０２３?湖北鄂西北四校聯(lián)考)已知f(x)＝

(３a－１)x＋４a,x≤１,

a

２x－１＋

１

２

,x＞１

ì

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í

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滿足對于任意實數(shù)x１≠x２,

都有

f(x１)－f(x２)

x１－x２

＜０成立,則實數(shù)a 的取值

范圍是 ．

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感悟提升 １? 比較函數(shù)值的大小時,轉(zhuǎn)化到同一

個單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．

２?求解函數(shù)不等式時,由條件脫去“f”,轉(zhuǎn)化為自變

量間的大小關(guān)系,應(yīng)注意函數(shù)的定義域．

３?利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)．根據(jù)其單調(diào)性

直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得

到其圖象的升降,再結(jié)合圖象求解．對于分段函數(shù),

要注意銜接點的取值．

訓(xùn)練３ (１)(２０２２?昆明診斷)已知函數(shù)f(x)＝

lgx－

１

２

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è

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÷

x

,f(m)＝１,且０＜p＜m＜n,則( )

Af．(n)＜１且f(p)＞１ Bf．(n)＞１且f(p)＞１

Cf．(n)＞１且f(p)＜１ Df．(n)＜１且f(p)＜１

(２)設(shè)函數(shù)f(x)＝

－x

２＋４x,x≤４,

{log２x,x＞４,

若函數(shù)

y＝f(x)在區(qū)間(a,a＋１)上單調(diào)遞增,則實數(shù)

a的取值范圍是 ．

(３)已知函數(shù)f(x)＝

１

３

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è

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?

÷

x

－log２(x＋２),若

f(a－２)＞３,則a的取值范圍是 ．

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提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２４７頁

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— ２４ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第３節(jié) 奇偶性、對稱性與周期性

考試要求 １? 理解函數(shù)奇偶性的含義．２? 了解函數(shù)的最小正周期的含義．３? 會利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對

稱性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?函數(shù)的奇偶性

奇偶性 定義 圖象特點

偶函數(shù)

一般地,設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義

域為D,如果對D 內(nèi)的任意一個

x,都有－x∈D,且 ,則

稱y＝f(x)為偶函數(shù)

關(guān) 于

對稱

奇函數(shù)

一般地,設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義

域為D,如果對D 內(nèi)的任意一個

x,都有－x∈D,且 ,則

稱y＝f(x)為奇函數(shù)

關(guān) 于

對稱

２? 函數(shù)的周期性

(１)周期函數(shù):對于函數(shù)y＝f(x),如果存在

一個非零常數(shù) T,使得當x 取定義域內(nèi)的任

何值時,都有f(x＋T)＝ ,那么就稱

函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù),稱 T 為這個函數(shù)

的周期．

(２)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有

周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正

數(shù)就叫做f(x)的 正周期．

[常用結(jié)論]

１?函數(shù)周期性的常用結(jié)論

對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x:

(１)若f(x＋a)＝－f(x),則T＝２a(a＞０)．

(２)若f(x＋a)＝

１

f(x)

,則T＝２a(a＞０)．

(３)若f(x＋a)＝－

１

f(x)

,則T＝２a(a＞０)．

２?對稱性的四個常用結(jié)論

(１)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù),則函數(shù)y＝f(x)

的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．

(２)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù),則函數(shù)y＝f(x)

的圖象關(guān)于點(b,０)中心對稱．

(３)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x),則

y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝

a＋b

２

對稱．

特別地,當a＝b 時,即f(a＋x)＝f(a－x)或

f(x)＝f(２a－x)時,則y＝f(x)的圖象關(guān)于直

線x＝a對稱．

(４)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(２a－x)＝２b,

則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱．特別地,當

b＝０時,即f(a＋x)＋f(a－x)＝０或f(x)＋

f(２a－x)＝０時,則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a,０)

對稱．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)函數(shù)y＝x

２ 在x∈(０,＋∞)上是偶函數(shù)．( )

(２)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則一定有f(０)＝０．( )

(３)若T 是函數(shù)f(x)的一個周期,則nT(n∈Z,

n≠０)也是函數(shù)f(x)的周期． ( )

(４)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a＋x)＝－f(b－x),

則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點

a＋b

２

,０

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è

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÷對稱．( )

２?(多選)給出下列函數(shù),其中是奇函數(shù)的為 ( )

A．f(x)＝x

４ B．f(x)＝x

５

C．f(x)＝x＋

１

x

D．f(x)＝

１

x

２

３?設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為

[－５,５],若當x∈[０,５]時,

f(x)的圖象如圖所示,則

不等式f(x)＜０的 解 集

為 ．

４?已知f(x)為定義在 R上的奇函數(shù),當x≥０時,

f(x)＝２

x ＋m,則f(－３)＝ ．

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— ２５ —

第二章 函 數(shù)

第一課時 奇偶性、對稱性與周期性

考點一 函數(shù)的奇偶性

角度１ 判斷函數(shù)的奇偶性

例１ 判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(１)f(x)＝ ３－x

２ ＋ x

２－３;

(２)f(x)＝

x

２＋x,x＜０,

－x

２ { ＋x,x＞０;

(３)f(x)＝log２(x＋ x

２＋１)．

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感悟提升 判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個必備

條件:

(１)定義域關(guān)于原點對稱,否則為非奇非偶函數(shù)．

(２)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系,在判斷

奇偶性的運算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等

量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝０(奇函數(shù))或f(x)－

f(－x)＝０(偶函數(shù)))是否成立．

角度２ 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

例２ (１)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域為 R,

當x＞０時,f(x)＝x＋１,則當x＜０時,f(x)

＝ ．

(２)(２０２２?全國乙卷)若f(x)＝lna＋

１

１－x

＋b

是奇函數(shù),則a＝ ,b＝ ．

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感悟提升 １?利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或參

數(shù)的取值,求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已

知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式,利用方程思

想求參數(shù)的值．

２?畫函數(shù)圖象:利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其

對稱區(qū)間上的圖象,結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題．

訓(xùn)練１ (１)已知函數(shù)f(x)＝ln(２＋２x)＋ln(３－３x),

則f(x) ( )

A．是奇函數(shù),且在(０,１)上單調(diào)遞增

B．是奇函數(shù),且在(０,１)上單調(diào)遞減

C．是偶函數(shù),且在(０,１)上單調(diào)遞增

D．是偶函數(shù),且在(０,１)上單調(diào)遞減

(２)(２０２３?重慶巴蜀中學(xué)質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)

＝

π

４

＋cosx?ln(x＋ １＋x

２ )在區(qū)間[－５,５]

上的最大值是 M,最小值是m,則f(M＋m)的

值等于 ( )

A０． B１．０ C．

π

４

D．

π

２

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— ２６ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

考點二 函數(shù)的周期性及應(yīng)用

例３ (１)函數(shù)f(x)滿足f(x－２)＝f(x＋２),當

x∈(０,２)時,f(x)＝x

２,則f(２０２５)＝ ．

(２)函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x＋２)＝１３,且f(１)

＝２,則f(２０２３)＝ ．

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感悟提升 １? 求解與函數(shù)周期有關(guān)的問題,應(yīng)根

據(jù)題目特征及周期定義,求出函數(shù)的周期．

２?利用函數(shù)的周期性,可將其他區(qū)間的求值、求零

點個數(shù)、求解析式等問題,轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,進而

解決問題．

訓(xùn)練２ (１)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),并

且f(x＋３)＝－

１

f(x)

,當１＜x≤３時,f(x)＝

cos

πx

３

,則f(２０２４)＝ ．

(２)(２０２３?金華調(diào)研)定義在R上的函數(shù)f(x)

滿足f(x＋６)＝f(x),當－３≤x＜－１時,

f(x)＝－(x＋２)２,當－１≤x＜３時,f(x)＝x,則

f(１)＋f(２)＋f(３)＋?＋f(２０２４)＝ ．

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考點三 函數(shù)的對稱性

例４ (１)(多選)(２０２３?承德模擬)已知函數(shù)f(x)的

定義域為R,對任意x都有f(２＋x)＝f(２－x),

且f(－x)＝f(x),則下列結(jié)論正確的是 ( )

Af．(x)的圖象關(guān)于直線x＝２對稱

Bf．(x)的圖象關(guān)于點(２,０)對稱

Cf．(x)的周期為４

Dy．＝f(x＋４)為偶函數(shù)

(２)已知函數(shù)y＝f(x)－２為奇函數(shù),g(x)＝

２x＋１

x

,且f(x)與g(x)圖象的交點分別為(x１,

y１),(x２,y２),?,(x６,y６),則y１＋y２＋?＋y６

＝ ．

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感悟提升 １? 求解與函數(shù)的對稱性有關(guān)的問題

時,應(yīng)根據(jù)題目特征和對稱性的定義,求出函數(shù)的

對稱軸或?qū)ΨQ中心．

２?解決函數(shù)對稱性有關(guān)的問題,一般結(jié)合函數(shù)圖

象,利用對稱性解決求值或參數(shù)問題．

訓(xùn)練３ (１)(多選)關(guān)于函數(shù)f(x)＝sinx＋

１

sinx

有如下四個命題,其中正確的是 ( )

Af．(x)的圖象關(guān)于y軸對稱

Bf．(x)的圖象關(guān)于原點對稱

Cf．(x)的圖象關(guān)于直線x＝

π

２

對稱

Df．(x)的圖象關(guān)于點(π,０)對稱

(２)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,當x∈[－２,２]

時,f(x)單調(diào)遞減,且函數(shù)y＝f(x＋２)為偶函

數(shù),則下列結(jié)論正確的是 ( )

Af．(π)＜f(３)＜f(２)Bf．(π)＜f(２)＜f(３)

Cf．(２)＜f(３)＜f(π) Df．(２)＜f(π)＜f(３)

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— ２７ —

第二章 函 數(shù)

抽象函數(shù)

我們把不給出具體解析式,只給出函數(shù)的特殊條件

或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù),一般用y＝f(x)表

示,抽象函數(shù)問題可以全面考查函數(shù)的概念和性

質(zhì),將函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖

象集于一身,是考查函數(shù)的良好載體．解決這類問題

一般采用賦值法解決．

一、抽象函數(shù)求值

例１ (１)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為(０,＋∞),

f(xy)＝f(x)＋f(y),若f(８)＝３,則f(２)＝

．

(２)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(１)＝１,且

f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋１,則f(４)＝ ．

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二、抽象函數(shù)的性質(zhì)

例２ (１)(多選)(２０２２?威海調(diào)研)定義在 R上的

函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),當

x＜０時,f(x)＞０,則函數(shù)f(x)滿足 ( )

Af．(０)＝０

By．＝f(x)是奇函數(shù)

Cf．(x)在[１,２]上有最大值f(２)

Df．(x－１)＞０的解集為{x|x＜１}

(２)(２０２３?紹興質(zhì)檢)已知f(x)是定義在區(qū)間

(０,＋∞)上的增函數(shù),且f

x

y

?

è

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?

÷＝f(x)－f(y),

f(２)＝１,如果x 滿足f(x)－f

１

x－３

?

è

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÷≤２,則

x 的取值范圍為 ．

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訓(xùn)練 函數(shù)f(x)的定義域為D＝{x|x≠０},且

滿足對于任意x１,x２ ∈D,有f(x１?x２)＝

f(x１)＋f(x２)．

(１)求f(１)的值;

(２)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論;

(３)如果f(４)＝１,f(x－１)＜２,且f(x)在(０,＋∞)

上是增函數(shù),求x 的取值范圍．

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提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２４９頁

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— ２８ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第二課時 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

考點一 單調(diào)性與奇偶性

例１ (１)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)

＝xf(x)．若a＝g(－log２５．１),b＝g(２

０．８),c＝

g(３),則a,b,c的大小關(guān)系為 ( )

Aa．＜b＜c Bc．＜b＜a

Cb．＜a＜c Db．＜c＜a

(２)(２０２３?濟南、德州七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)

＝

２

x －１,x≥０,

－

１

２

?

è

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÷

x

＋１,x＜０,

ì

?

í

?

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?

?

若?x∈[２－t,２＋t]都有

f(x)＋f(t

２－２x)≥０成立,則實數(shù)t的取值范

圍是 ( )

A．(－∞,－２]∪[１,＋∞) B．[１,＋∞)

C．(－∞,－１]∪[２,＋∞) D．[２,＋∞)

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感悟提升 １? 解抽象函數(shù)不等式,先把不等式轉(zhuǎn)

化為f(g(x))＞f(h(x)),利用單調(diào)性把不等式的

函數(shù)符號“f”脫掉,得到具體的不等式(組)．

２?比較大小,利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的

兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間

上,進而利用其單調(diào)性比較大?。?/p>

訓(xùn)練１ (１)(２０２３?衡陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝

２

x －

１

２

x＋lg

x＋３

３－x

,則 ( )

Af．(１)＋f(－１)＜０ Bf．(－２)＋f(２)＞０

Cf．(１)－f(－２)＜０ Df．(－１)＋f(２)＞０

(２)(２０２３?湖北九師聯(lián)盟質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝

x x

２－cos

x

３

＋２

?

è

?

?

?

÷(－３＜x＜３),則 不 等 式

f(１＋x)＋f(２)＜f(１－x)的解集是 ．

考點二 周期性與奇偶性

例２ (１)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,且

周期為４,f(３)＝－２,則f(２０２５)等于 ( )

A２． B０． C．－２ D．－４

(２)(２０２３?青島質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)的定義域

為R,且f(２x＋１)是偶函數(shù),f(x－１)是奇函

數(shù),則下列結(jié)論正確的個數(shù)是 ( )

①f(x)＝f(x－１６);②f(１１)＝０;

③f(２０２４)＝f(０);④f(２０２３)＝f(３)．

A１． B２． C３． D４．

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感悟提升 周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求

值問題,常利用奇偶性及周期性進行轉(zhuǎn)換,將所求

函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域

內(nèi)求解．

訓(xùn)練２ (１)(多選)(２０２３?湖州模擬)函數(shù)f(x)

的定義域為 R,若f(x＋１)與f(x－１)都是偶

函數(shù),則 ( )

Af．(x)是偶函數(shù) Bf．(x)是奇函數(shù)

Cf．(x＋３)是偶函數(shù) Df．(x)＝f(x＋４)

(２)(２０２１?全國甲卷)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,

f(x＋１)為奇函數(shù),f(x＋２)為偶函數(shù),當x∈

[１,２]時,f(x)＝ax

２＋b．若f(０)＋f(３)＝６,則

f

９

２

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è

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÷＝ ( )

A．－

９

４

B．－

３

２

C．

７

４

D．

５

２

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— ２９ —

第二章 函 數(shù)

考點三 對稱性、單調(diào)性與周期性

例３ (１)(２０２３?成都診斷)設(shè)f(x)為定義在R上

的函數(shù),對?x∈R都有f(x)＝f(－x),f(x)

＝f(２－x),且f(x)在[０,１]上單調(diào)遞增．設(shè)a＝

f

２０２３

２

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è

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÷,b＝f(log４３),c＝f －

１

４

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è

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÷,則下列結(jié)

論正確的是 ( )

Ac．＜b＜a Bb．＜c＜a

Cc．＜a＜b Db．＜a＜c

(２)(２０２２?全國乙卷)已知函數(shù)f(x),g(x)的

定義域均為R,且f(x)＋g(２－x)＝５,g(x)－

f(x－４)＝７．若y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝２

對稱,g(２)＝４,則∑

２２

k＝１f(k)＝ ( )

A．－２１ B．－２２ C．－２３ D．－２４

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感悟提升 解決此類問題的難點在于推出函數(shù)的

周期性并能應(yīng)用,事實上,對于函數(shù)的對稱軸、對稱

中心和周期,知道其中兩個即可推得第三個．

訓(xùn)練３ (１)(２０２２?東北師大附中摸底)函數(shù)

f(x)(x∈R)滿足f(x＋６)＋f(x)＝２f(３),函

數(shù)y＝f(x－１)的圖象關(guān)于點(１,０)對稱,則

f(２０２２)＝ ( )

A．－１６ B．－８ C．－４ D０．

(２)(２０２３?涼山州一診)已知定義在 R上的函

數(shù)y＝f(x)滿足下列三個條件:①當－１≤x≤０

時,f(x)＝２x－e

x ＋

１

e

x;②y＝f(x＋１)的圖象

關(guān)于y 軸對稱;③?x∈R,都有f(x＋２)＝

f(２－x)．則f

２

３

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è

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÷,f

５

２

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è

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÷,f

１１

３

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è

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÷的大小關(guān)系

是 ．

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函數(shù)性質(zhì)中的二級結(jié)論

一、奇函數(shù)的最值性質(zhì)

若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則函數(shù)g(x)＝f(x)＋a

(a為常數(shù))有以下性質(zhì):

①g(－x)＋g(x)＝２a;②g(x)min＋g(x)max＝２a．

例１ 函數(shù)f(x)＝asinx＋blog２

１＋x

１－x

＋２(a,b∈R),

若f(x)在(０,１)上有最小值為－４,則f(x)在

(－１,０)上有 ( )

A．最大值８B．最大值６C．最大值４D．最大值２

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訓(xùn)練１ 已知定義域為 R的函數(shù)f(x)＝a＋

３sinx

２＋cosx

(a∈R)有最大值和最小值,且最大值

與最小值的和為６,則a＝ ( )

A１． B２． C３． D４．

二、函數(shù)周期性問題

函數(shù)y＝f(x)滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)x(其中a

為常數(shù)),

(１)若f(x)＝f(x＋a),則y＝f(x)是以T＝a 為

周期的周期函數(shù);

(２)若f(x＋a)＝－f(x),則f(x)是以T＝２a 為

周期的周期函數(shù);

(３)若f(x＋a)＝±

１

f(x)

,則f(x)是以T＝２a 為

周期的周期函數(shù);

(４)若f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠０),則f(x)是以２a

為周期的周期函數(shù);

(５)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠０,b≠０),則f(x)是

以T＝|b－a|為周期的周期函數(shù);

(６)函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)(a＞０),

若f(x)為奇函數(shù),則其周期為T＝４a,若f(x)為

偶函數(shù),則其周期為T＝２a;

(７)函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝a 和

x＝b(a＜b)都對稱,則函數(shù)f(x)是以２(b－a)為

周期的周期函數(shù)．

例２ 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f

３

２

－x

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è

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÷

＝f(x),f(－２)＝３,則f(２０２２)＋f(２０２４)

＝ ．

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訓(xùn)練２ 已知函數(shù)f(x＋１)為奇函數(shù),函數(shù)f(x－１)

為偶函數(shù),且f(０)＝２,則f(４)＝ ( )

A．－１ B１． C．－２ D２．

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２５１頁

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— ３０ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第４節(jié) 冪函數(shù)與幾類特殊函數(shù)

考試要求 １? 了解冪函數(shù)的概念;結(jié)合函數(shù)y＝x,y＝x

２,y＝x

３,y＝x

１

２ ,y＝

１

x

的圖象,了解它們的變化情況．

２? 了解對勾函數(shù)、飄帶函數(shù)、高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、最值函數(shù)和一次分式函數(shù)的圖象與性質(zhì)．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?冪函數(shù)

(１)冪函數(shù)的定義

一般地,函數(shù) 稱為冪函數(shù),其中x 是自

變量,α是常數(shù)．

(２)常見的五種冪函數(shù)的圖象

(３)冪函數(shù)的性質(zhì)

①冪函數(shù)在(０,＋∞)上都有定義;

②當α＞０時,冪函數(shù)的圖象都過點(１,１)和(０,０),

且在(０,＋∞)上單調(diào)遞增;

③當α＜０時,冪函數(shù)的圖象都過點(１,１),且在

(０,＋∞)上單調(diào)遞減．

２?對勾函數(shù)y＝ax＋

b

x

(a＞０,b＞０)

(１)性質(zhì)

①奇偶性:奇函數(shù);

②單調(diào)性:

單增區(qū)間:－∞,－

b

a

?

è

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÷ , b

a

,＋∞

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è

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÷ ;

單減區(qū)間:－

b

a

,０

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è

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÷ ,０,

b

a

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è

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÷ ．

③漸近線:y＝ax 和x＝０．

(２)圖象

３?飄帶函數(shù)y＝ax－

b

x

(a＞０,b＞０)

(１)性質(zhì)

①奇偶性:奇函數(shù)．

②單調(diào)性:在(－∞,０),(０,＋∞)上單調(diào)遞增．

③漸近線:x＝０．

(２)圖象

４?高斯函數(shù)y＝[x]

(１)定義:不超過實數(shù)x 的最大整數(shù)稱為x 的整

數(shù)部分,記作[x],例如,[３．４]＝３,[－２．１]＝－３,

這一規(guī)定最早為數(shù)學(xué)家高斯所使用,故函數(shù)y＝

[x]稱為高斯函數(shù),又稱取整函數(shù)．

(２)性質(zhì)

①定義域:R;值域:Z．

②不具有單調(diào)性、奇偶性、周期性．

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— ３１ —

第二章 函 數(shù)

(３)圖象

５?狄利克雷函數(shù)D(x)＝

１,x∈Q,

０,x?Q { 的性質(zhì)

(１)定義域R;值域{０,１}．

(２)奇偶性:偶函數(shù)．

(３)周期性:以任意正有理數(shù)為其周期,無最小正

周期．

(４)無法畫出函數(shù)的圖象,但其圖象客觀存在．

６?最值函數(shù)的概念

設(shè) min{a,b}＝

a,a≤b,

{b,a＞b,

max{a,b}＝

a,a≥b,

{b,a＜b．

直觀上來說 min{a,b}的作用就是求a,b的最小

值,我們將其稱為最小值函數(shù),同樣的,max{a,b}

用來表示a,b的最大值,稱作最大值函數(shù)．

７?一次分式函數(shù)

(１)定義:我們把形如y＝

cx＋d

ax＋b

(a≠０,ad≠bc)

的函數(shù)稱為一次分式函數(shù)．

(２)圖象

(３)性質(zhì)

①定義域:xx≠－

b

{ a} ;值域 yy≠

c

{ a} ;

②對稱中心:－

b

a

,

c

a

?

è

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÷;

③漸近線方程:x＝－

b

a

和y＝

c

a

;

④單調(diào)性:當ad＞bc時,函數(shù)在區(qū)間 －∞,－

b

a

?

è

?

?

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÷ 和

－

b

a

,＋∞

?

è

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÷單調(diào)遞減;當ad＜bc時,函數(shù)在區(qū)間

－∞,－

b

a

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÷和 －

b

a

,＋∞

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÷單調(diào)遞增．

[常用結(jié)論]

１?(１)冪函數(shù)y＝x

α 中,α的取值影響冪函數(shù)的定義

域、圖象及性質(zhì);

(２)冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定

不會出現(xiàn)在第四象限．

２?對勾函數(shù)y＝ax＋

b

x

(ab＞０)極值與圖象的拐點

可利用均值不等式求得．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)函數(shù)y＝２x

１

３ 是冪函數(shù)． ( )

(２)當α＞０時,冪函數(shù)y＝x

α 在(０,＋∞)上是增

函數(shù)． ( )

(３)當n是偶數(shù)時,冪函數(shù)y＝x

n

m (m,n∈Z,且m

是奇數(shù))是偶函數(shù)． ( )

(４)函數(shù)y＝x＋

m

x

的單調(diào)增區(qū)間是(－∞,－ m),

(m,＋∞)． ( )

２?若冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(４,２),則冪函數(shù)

y＝f(x)的大致圖象是 ( )

３?函數(shù)f(x)＝

x＋１

x＋２

的圖象的對稱中心為 ．

４?設(shè)max{a,b}＝

a,a≥b,

{b,a＜b,

則函數(shù)f(x)＝max{x,x

２}

的最小值為 ．

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— ３２ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

考點突破·題型剖析

考點一 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例１ (１)已知冪函數(shù)y＝x

p

q

(p,q∈N

? ,q＞１ 且 p,q

互質(zhì))的圖象如圖所示,則

( )

Ap．,q均為奇數(shù),且

p

q

＞１

Bq．為偶數(shù),p 為奇數(shù),且

p

q

＞１

Cq．為奇數(shù),p 為偶數(shù),且

p

q

＞１

Dq．為奇數(shù),p 為偶數(shù),且０＜

p

q

＜１

(２)若a＝

１

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２

３

,b＝

１

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２

３

,c＝

１

２

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÷

１

３

,則a,b,c

的大小關(guān)系是 ( )

Aa．＜b＜c Bc．＜a＜b

Cb．＜c＜a Db．＜a＜c

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感悟提升 １? 對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住

在第一象限內(nèi)三條直線分第一象限為六個區(qū)域,

即x＝１,y＝１,y＝x 所分區(qū)域．根據(jù)α＜０,０＜

α＜１,α＝１,α＞１的取值確定位置后,其余象限

部分由奇偶性決定．

２?在比較冪值的大小時,必須結(jié)合冪值的特點,選

擇適當?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進行比較．

訓(xùn)練１ (１)已知冪函數(shù)f(x)＝mx

n 的圖象過

點(２,２ ２),設(shè)a＝f(m),b＝f(n),c＝

f(ln２),則 ( )

Ac．＜b＜a Bc．＜a＜b

Cb．＜c＜a Da．＜b＜c

(２)若冪函數(shù)y＝x

－１,y＝

x

m 與y＝x

n 在第一象限

內(nèi)的圖象如圖所示,則

( )

A．－１＜m＜０＜n＜１ B．－１＜n＜０＜m＜２

C．－１＜m＜０＜n＜２ D．－１＜n＜０＜m＜１

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考點二 幾類特殊函數(shù)

角度１ 對勾函數(shù)、飄帶函數(shù)

例２ (多選)已知函數(shù)f(x)＝x－

a

x

(a≠０),下列

說法正確的是 ( )

A．當a＞０時,f(x)在定義域上單調(diào)遞增

B．當a＝－４時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞,

－２),(２,＋∞)

C．當a＝－４時,f(x)的值域為(－∞,－４]∪

[４,＋∞)

D．當a＞０時,f(x)的值域為R

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— ３３ —

第二章 函 數(shù)

角度２ 高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、最值函數(shù)

例３ (１)(多選)(２０２３?金華調(diào)研)高斯是德國

著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有

“數(shù)學(xué)王子”的稱號,用其名字命名的“高斯

函數(shù)”為:設(shè)x∈R,用[x]表示不超過x 的最

大整 數(shù),則 y＝ [x]稱 為 高 斯 函 數(shù),例 如:

[－３．５]＝－４,[２．１]＝２．已知函 數(shù)f(x)＝

e

x

１＋e

x －

１

２

,函數(shù)g(x)＝[f(x)],則下列命

題中為真命題的是 ( )

Ag．(x)圖象關(guān)于x＝０對稱

Bf．(x)是奇函數(shù)

Cf．(x)在R上是增函數(shù)

Dg．(x)的值域是{－１,０,１}．

(２)(多選)(２０２３?濟南質(zhì)檢)德國數(shù)學(xué)家狄利克

雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著,以其名字命名的函數(shù)

f(x)＝

１,x∈Q,

{０,x∈?RQ,

稱為狄利克雷函數(shù),則關(guān)于

函數(shù)f(x)的敘述,正確的是 ( )

A．函數(shù)y＝f(x)的圖象是兩條直線

Bf．(f(x))＝１

Cf．(３)＞f(１)

D．?x∈R,都有f(１－x)＝f(２＋x)

(３)若函數(shù)f(x)＝ sinx＋

２

３＋sinx

＋t (x,

t∈R)的最大值記為g(t),則函數(shù)g(t)的最小

值為 ．

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角度３ 一次分式函數(shù)

例４ 已知函數(shù)f(x)＝

ax＋２－a

x＋１

,其中a∈R．

(１)當函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點P(－１,３)成中

心對稱時,求a的值;

(２)若函數(shù)f(x)在(－１,＋∞)上單調(diào)遞減,求a

的取值范圍．

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感悟提升 這幾類特殊的函數(shù)問題實質(zhì)上都屬于

函數(shù)中的新定義問題,解題時需仔細理解題意,并

與函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合,同時注意其特殊性．

訓(xùn)練２ (１)函數(shù)y＝

１

１－x

的圖象與函數(shù)y＝

２sinπx(－２≤x≤４)的圖象所有交點的橫坐標

之和等于 ( )

A２． B４． C６． D８．

(２)設(shè)x∈R,用[x]表示不超過x 的最大整數(shù),

則y＝[x]稱為高斯函數(shù),例如:[－０５．]＝－１,

[１５．]＝１,已知函數(shù)f(x)＝４

x－

１

２ －３×２

x ＋４(０＜

x＜２),則函數(shù)y＝[f(x)]的值域為 ( )

A．－

１

２

,

３

２

é

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ê

ê

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÷ B．{－１,０,１}

C．{－１,０,１,２} D．{０,１,２}

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２５３頁

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— ３４ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

第５節(jié) 指數(shù)與對數(shù)的運算

考試要求 １? 理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義,了解實數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì)．２? 理解對數(shù)的概念

和運算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?根式的概念及性質(zhì)

(１)概念:式子

n

a稱為 ,這里n 稱為根指

數(shù),a稱為被開方數(shù)．

(２)性質(zhì):① 沒有偶次方根．

②０的任意正整數(shù)次方根都是０,記作

n

０＝ ．

③(

n

a)n ＝ (n∈N

? ,且n＞１)．

④當n為 時,

n

a

n ＝a．

⑤當n為偶數(shù)時,

n

a

n ＝|a|．

２?分數(shù)指數(shù)冪

規(guī)定:正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是a

m

n ＝

(a＞０,m,n∈N

? ,且n＞１);正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)

冪的意義是a

－

m

n ＝ (a＞０,m,n∈N

? ,

且n＞１);０的正分數(shù)指數(shù)冪等于 ;

０的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．

３?實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

a

sa

t ＝ ,(a

s )t ＝ ,(ab)s ＝

,其中a＞０,b＞０,s,t∈R．

４?對數(shù)的概念

在表達式a

b ＝N(a＞０且a≠１,N∈(０,＋∞))

中,當a與N 確定之后,只有唯一的b能滿足這

個式子,此時,冪指數(shù)b 稱為以a 為底 N 的對

數(shù),記作b＝ ,其中a 稱為對數(shù)的

,N 稱為對數(shù)的 ．

５?對數(shù)的性質(zhì)、運算性質(zhì)與換底公式

(１)對數(shù)的性質(zhì)

①a

logaN ＝ ;②logaa

b ＝b(a＞０,且a≠１)．

(２)對數(shù)的運算性質(zhì)

如果a＞０且a≠１,M＞０,N＞０,那么

①loga(MN)＝ ;

②loga

M

N

＝ ;

③logaM

α＝ (α∈R)．

(３)換底公式:logab＝ (a＞０,且a≠１,

b＞０,c＞０,且c≠１)．

[常用結(jié)論]

換底公式的兩個重要結(jié)論

(１)logab＝

１

logba

(a＞０,且a≠１;b＞０,且b≠１)．

(２)logamb

n ＝

n

m

logab(a＞０,且a≠１;b＞０;m,n∈R,且

m≠０)．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)

４ (－４)４ ＝－４． ( )

(２)分數(shù)指數(shù)冪a

m

n 可以理解為

m

n

個a相乘．( )

(３)log２x

２＝２log２x． ( )

(４)若MN＞０,則loga(MN)＝logaM＋logaN．( )

２?設(shè)a＝lg２,b＝lg３,則log１２１０＝ ( )

A．

１

２a＋b

B．

１

２b＋a

C．２a＋b D．２b＋a

３?已知a

１

２ ＋a

－

１

２ ＝３,則a＋a

－１＝ ;

a

２＋a

－２＝ ．

４?計算:π

０＋２

－２× ２

１

４

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÷

１

２

＋log２３－log２６＝ ．

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— ３５ —

第二章 函 數(shù)

考點突破·題型剖析

考點一 指數(shù)冪的運算

例１ (１)(２０２３?杭州調(diào)研)化簡

a

３b

２

３

ab

２

(a

１

４b

１

２ )４?

３

b

a

(a＞０,b＞０)的結(jié)果是 ( )

A．

b

a

B．

a

b

C．

a

２

b

D．

b

２

a

(２)計算:２７

－

１

３ － －

１

７

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÷

－２

＋２５６

３

４ －３

－１＋(２－１)０

＝ ．

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感悟提升 １? 指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)指

數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪,以便利用法則計算,還應(yīng)

注意:

(１)必須同底數(shù)冪相乘,指數(shù)才能相加．

(２)運算的先后順序．

２? 當?shù)讛?shù)是負數(shù)時,先確定符號,再把底數(shù)化為

正數(shù)．

３?運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù),也不能

既有分母又含有負指數(shù)．

訓(xùn)練１ (１)計算:

１

４

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÷

－

１

２

?

(４ab

－１)３

(０１．)－１?(a

３?b

－３)

１

２

＝ (a＞０,b＞０)．

(２)已知a

２x ＝５,則

a

３x －a

－３x

a

x －a

－x ＝ ．

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考點二 對數(shù)的運算

例２ (１)log３８１－log９８?log２３－２

log２３ ＋lg ２＋

lg５＝ ．

(２)計算:

(１－log６３)２＋log６２?log６１８

log６４

＝ ．

(３)已知lg２＝a,lg３＝b,用a,b 表示log１８１５

＝ ．

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感悟提升 １? 在對數(shù)運算中,先利用冪的運算把

底數(shù)或真數(shù)進行變形,化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,使

冪的底數(shù)最簡,然后用對數(shù)運算法則化簡合并．

２?先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算,

然后逆用對數(shù)的運算法則,轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的

積、商、冪再運算．

３?a

b ＝N?b＝logaN(a＞０,且a≠１)是解決有關(guān)指

數(shù)、對數(shù)問題的有效方法,在運算中應(yīng)注意互化．

訓(xùn)練２ (１)(２０２３?豫北名校聯(lián)考)已知２

a ＝７

b

＝k,若

２

a

＋

１

b

＝１,則k的值為 ( )

A２．８ B．

１

１４

C１．４ D．

１

７

(２)計 算:log５３５＋２log１

２ ２－log５

１

５０

－log５１４

＝ ．

(３)計算:

８

２７

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－

２

３

＋e

ln３ ＋log１

４ ２－log３４?log２３

＝ ．

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— ３６ —

高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(配人教B版)?

考點三 指數(shù)與對數(shù)運算的實際應(yīng)用

角度１ 指數(shù)運算的實際應(yīng)用

例３ (１)某滅活疫苗的有效保存時間T(單位:小

時h)與儲藏的溫度t(單位:℃)滿足的函數(shù)關(guān)系

為T＝e

kt＋b(k,b為常數(shù),其中e＝２７．１８２８?),超

過有效保存時間,疫苗將不能使用．若在０℃時

的有效保存時間是１０８０h,在１０℃時的有效保

存時間是１２０h,則該疫苗在１５℃時的有效保

存時間為 ( )

A１．５h B３．０h C４．０h D６．０h

(２)(２０２０?新高考全國Ⅰ卷)基本再生數(shù)R０ 與

世代間隔T 是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．

基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世

代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在

新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)

＝e

rt 描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:

天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與R０,T 近似滿

足R０＝１＋rT．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R０

＝３２．８,T＝６．據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,

累計感染病例數(shù)增加１倍需要的時間約為

(ln２≈０６．９) ( )

A１．２．天 B１．８．天 C２．５．天 D３．５．天

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角度２ 對數(shù)運算的實際應(yīng)用

例４ (１)(２０２２?臨汾三模)我國在防震減災(zāi)中取

得了偉大成就,并從２００９年起,將每年５月

１２日定為全國“防災(zāi)減災(zāi)日”．盡管目前人類還

無法準確預(yù)報地震,但科學(xué)家經(jīng)過研究,已經(jīng)對

地震有所了解,地震學(xué)家查爾斯?里克林提出

了關(guān)系式:lgE＝４．８＋１．５M,其中E 為地震釋

放出的能量,M 為地震的里氏震級．已知２００８年

５月１２日我國發(fā)生的汶川地震的里氏震級為

８０．級,２０１７年８月８日我國發(fā)生的九寨溝地震

的里氏震級為７．０級,可知汶川地震釋放的能

量約為九寨溝地震的(參考數(shù)據(jù):

３

１００

２ ≈２１５．,

１０００≈３１６．) ( )

A９．６．倍 B２．１５．倍 C３．１６．倍 D４．７４．倍

(２)(２０２２?北京卷)在

北京冬奧會上,國家速

滑館“冰絲帶”使用高

效環(huán)保的二氧化碳跨

臨界直冷制冰技術(shù),為

實現(xiàn)綠色冬奧作出了

貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的

狀態(tài)與T 和lgP 的關(guān)系,其中T 表示溫度,單

位是K;P 表示壓強,單位是bar．下列結(jié)論中正

確的是 ( )

A．當T＝２２０,P＝１０２６時,二氧化碳處于液態(tài)

B．當T＝２７０,P＝１２８時,二氧化碳處于氣態(tài)

C．當T＝３００,P＝９９８７時,二氧化碳處于超臨

界狀態(tài)

D．當T＝３６０,P＝７２９時,二氧化碳處于超臨界

狀態(tài)

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感悟提升 解決指數(shù)、對數(shù)運算實際應(yīng)用問題的

步驟

(１)理解題意、弄清楚題目條件與所求之間的關(guān)系;

(２)運用指數(shù)或?qū)?shù)的運算公式、性質(zhì)等進行運算,

把題目條件轉(zhuǎn)化為所求．

訓(xùn)練３ (１)(２０２３?江西名校聯(lián)考)法國數(shù)學(xué)家

馬林?梅森是研究素數(shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的

一位,人們將“２

p －１(p 為素數(shù))”形式的素數(shù)稱

為“梅森素數(shù)”,目前僅發(fā)現(xiàn)５１個“梅森素數(shù)”,

可以估計,２

６７－１這個“梅森素數(shù)”的位數(shù)為(參

考數(shù)據(jù):lg２≈０３．０１) ( )

A１．９ B２．０ C２．１ D２．２

(２)果農(nóng)采摘水果,采摘下來的水果會慢慢失去

新鮮度．已知某種水果失去新鮮度h 與其采摘

后時間t(天)滿足的函數(shù)關(guān)系式為h＝m?a

t ．

若采摘后１０天,這種水果失去的新鮮度為

１０％,采摘后２０天,這種水果失去的新鮮度為

２０％．那么采摘下來的這種水果多長時間后失

去４０％新鮮度 ( )

A２．５天 B３．０天 C３．５天 D４．０天

提醒:課后完成?一輪對點７１練?第２５５頁

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— ３７ —

第二章 函 數(shù)

第６節(jié) 指數(shù)函數(shù)

考試要求 １? 通過實例,了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,能用描點法或借助計算工具畫出指數(shù)函數(shù)的圖象．

２? 理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,特殊點等性質(zhì),并能簡單應(yīng)用．

知識診斷·基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

１?指數(shù)函數(shù)的概念

函數(shù)y＝ 稱為指數(shù)函數(shù),其中a 是常

數(shù),a＞０且a≠１．

２?指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a＞１ ０＜a＜１

圖象

定義域 R

值域

性質(zhì)

過定點 ,即x＝０時,y＝１

當x＞０時, ;

當x＜０時,

當x＜０時, ;

當x＞０時,

在(－ ∞,＋ ∞)上 是 在(－∞,＋∞)上是

y＝a

x 與y＝

１

a

?

è

?

?

?

÷

x

的圖象關(guān)于y 軸對稱

[常用結(jié)論]

１?畫指數(shù)函數(shù)y＝a

x (a＞０,且a≠１)的圖象,應(yīng)抓

住三個關(guān)鍵點:(１,a),(０,１),－１,

１

a

?

è

?

?

?

÷．

２?指數(shù)函數(shù)y＝a

x (a＞０,且a≠１)的圖象和性質(zhì)跟

a的取值有關(guān),要特別注意應(yīng)分a＞１與０＜a＜１

來研究．

３?在第一象限內(nèi),指數(shù)函數(shù)y＝a

x (a＞０,且a≠１)

的圖象越高,底數(shù)越大．

【診斷自測】

１?思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

(１)函數(shù)y＝２

x－１是指數(shù)函數(shù)． ( )

(２)函數(shù)y＝a

x

２＋１(a＞１)的值域是(０,＋∞)．

( )

(３)２

－３＞２

－４． ( )

(４)若a

m ＜a

n (a＞０,且a≠１),則m＜n．( )

２?函數(shù)f(x)＝１－e

|x|的圖象大致是 ( )

３?已知a＝０．７５

０．１,b＝１．０１

２．７,c＝１．０１