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101 數(shù)學(xué)加分寶題組 3 里程碑上的數(shù)

1.有一個兩位數(shù)，個位數(shù)字和十位數(shù)字之和是 8，個位數(shù)字與十位數(shù)字互換后，新數(shù)比原數(shù)小18，求原數(shù)分析：設(shè)原來個位數(shù)字為 x，十位數(shù)字為 y,則原數(shù)表示為10y ? x ,新數(shù)表示為10x ?y可得方程組為?

?

?

? ? ? ?

? ?

x y y x

x y

10 18 10

8

【答案】53

2.兩個兩位數(shù)的和是 68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)得到一個四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù).已知前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大2178，求這兩個兩位數(shù). 【答案】大數(shù)：45 小數(shù)：23

?

?

?

? ? ? ?

? ?

100 100 2178

68

x y y x

x y

3.一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的 3 倍，結(jié)果是 23，這個兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是 1.這個兩位數(shù)是多少？

【答案】56

?

?

?

? ? ? ?

? ? ? ?

10 5( ) 1

10 3( ) 23

x y x y

x y x y

4.一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大 2，若把個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，則新數(shù)比原數(shù)的2 倍少17，求原來的兩位數(shù). 【答案】35

?

?

?

? ? ? ?

? ?

x y y x

x y

2(10 ) 17 10

2

5.（黃島期末）通訊員要在規(guī)定時間內(nèi)到達某地，他每小時走 15 千米，則可提前24 分鐘到達某地；如果每小時走 12 千米，則要遲到 15 分鐘.設(shè)通訊員到達某地的路程是 x 千米，原定的時間為y 小時，則可列方程組為（ D ）

A. ??

?

?

?

? ?

? ?

y

x

y

x

15

12

24

12

B. ??

?

?

? ? ?

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y

x

y

x

15

12

24

15

C. ??

?

?

?

? ?

? ?

y

x

y

x

60

15

12

60

24

15

D. ?????????yxyx601512602415

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102 數(shù)學(xué)加分寶6.A、B 兩地相距 80km,一艘船從 A 出發(fā)，順水航行 4h 到 B，而從 B 出發(fā)逆水航行5h 到A，已知船順水航行、逆水航行的速度分別是船在靜水中的速度與水流速度的和與差，求船在靜水中的速度和水流速度. 【答案】靜水中的速度：18 水流速度：2

7.甲、乙兩人從同一地點出發(fā)，同向而行.甲乘車，乙步行.若讓乙先走 20 千米，則甲用1 小時能追上乙；若讓乙先走 1 小時，則甲只需要 15 分鐘便可追上乙，求甲、乙的速度. 【答案】甲：25 乙：5

8.甲乙兩人的月收入之比為 5：4，月支出之比為 3：2，一個月兩人各余 1500 元，求這兩個人的月收入分別是多少元？

【答案】甲：3750 乙：3000

9.小明為了測得火車的長度和火車過橋的速度，在一鐵路旁觀察到火車從開始上橋到完全過橋共用1分鐘，整列火車完全在橋上的時間是 40 秒，已知橋長 1000 米，你能根據(jù)小明獲得的數(shù)據(jù)求出火車的長度和速度嗎？

【答案】火車的長度：200 速度：20

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103 數(shù)學(xué)加分寶隨堂檢測1.有一個兩位數(shù),它的兩個數(shù)字之和為 11,把這個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào),所得的新數(shù)比原數(shù)大63,設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)字為 x,十位數(shù)字為 y,則用代數(shù)式表示原兩位數(shù)為10y ?x ,根據(jù)題意得方程組?

?

?

? ? ? ?

? ?

x y y x

x y

10 63 10

11

. 2.甲、乙兩個兩位數(shù)，若把甲數(shù)放在乙數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)是乙數(shù)的 201 倍，若把乙數(shù)放在甲數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)比上面的四位數(shù)小 1188，求這兩個數(shù).如果設(shè)甲數(shù)為 x,乙數(shù)為 y,則根據(jù)題意可得的方程組是?

?

?

? ? ?

? ?

100 201 1188

100 201

y x y

x y y

. 3.有一個兩位數(shù)和一個一位數(shù)，如果在這個一位數(shù)后面多寫一個 0，則它與這個兩位數(shù)的和是130，如果用這個兩位數(shù)除以這個一位數(shù)，則商 6 余 2，那么這個兩位數(shù)和一位數(shù)分別是多少？【答案】兩位數(shù)：50 一位數(shù)：8

4.從甲地到乙地，需先走下坡路后走平路，某人騎自行車先以 20km/h 的速度走下坡路，又以15km/h的速度通過平路，到達乙地時共用了 1 小時 6 分鐘，他回來時先以 12km/h 的速度通過平路，又以8km/h的速度走上坡路，回到甲地時共用了 1 小時 30 分，問甲乙兩地相距多少千米？

【答案】平路 15，坡路 2 相距 17 千米.

5.小瑩家離學(xué)校 1880m,其中有一段是上坡路，另一段是下坡路，她跑步去學(xué)校用了16min,已知小瑩在上坡路上的平均速度是 4.8km/h,在下坡路上的平均速度是 12km/h，小瑩上坡、下坡各用了多少時間？【答案】上坡：11 分鐘 下坡：5 分鐘

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104 數(shù)學(xué)加分寶6.甲、乙兩人在一條長 400 米的環(huán)形跑道上跑步，若同向跑步，則每隔 200 秒相遇一次，若反向跑步，則每隔 40 秒相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙兩人的速度. 【答案】甲：6 乙：4

7.（市南期末）某景點的門票價格如表：

某校七年級（1）、（2）兩班計劃去游覽該景點，其中（1）班人數(shù)少于 50 人，（2）班人數(shù)多于50人且少于 100 人，如果兩班都以班為單位單獨購票，則一共支付 1118 元；如果兩班聯(lián)合起來作為一個團體購票，則只需花費 816 元．

（1）兩個班各有多少名學(xué)生？

（2）團體購票與單獨購票相比較，兩個班各節(jié)約了多少錢？

【答案】（1）（1）班人數(shù)：49 （2）班人數(shù) 53

（2）（1）班節(jié)省 196 （2）班節(jié)省 106. 8.客車和貨車分別在兩條平行的鐵軌上行駛，客車長 150 米，貨車長 250 米，如果兩車相向而行，那么從兩車車頭相遇到車尾離開共需 10 秒；如果客車從后面追貨車，那么客車車頭追貨車車尾到客車車尾離開貨車車頭共需 1 分 40 秒，求兩車的速度

【答案】客車速度：22 貨車速度：18

9.甲、乙兩人同時從相距 28km 的兩地相向而行，經(jīng)過 3h30min 相遇，若乙先出發(fā)2h，甲再出發(fā)，這樣再經(jīng)過 2h45min 兩人相遇，求甲乙兩人的速度. 【答案】甲：3 乙：5

購票人數(shù)/人 1-50 51-100 100 以上

每人門票價/元 12 10 8

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105 數(shù)學(xué)加分寶八上第 12 周秋季講義5.6 二元一次方程與一次函數(shù)關(guān)系 5.7 求一次函數(shù)表達式題組 1 點與解的關(guān)系

1.二元一次方程 2x+y=3 有_無數(shù)__個解，以它的解為坐標的點都在一次函數(shù)y ??2x?3的圖象上. 2.以二元一次方程 2x ? y ?1的解為坐標的點都在一次函數(shù) y ? 2x ?1 的圖象上，以二元一次方程3x ? 2y ? 4 的解為坐標的點都在一次函數(shù) 2

2

3

y ? ? x ? 的圖象上.這兩個方程的共同解在這兩個一次函數(shù)的__交點__上.題組 2 交點

從圖形的角度看，確定兩條直線的交點坐標，相當于求相應(yīng)的二元一次方程組的解；解一個二元一次方程組相當于確定兩條直線交點的坐標. 1.已知直線l : y ? ?3x ? b 1 與直線 : 1 l2 y ? ?kx ? 交于點（1，－2），那么方程組???????13kx yx yb的解是（A）A. ?

?

? ? ?

?

2

1

y

x

B. ?

?

? ?

?

2

1

y

x

C. ?

?

? ? ?

? ?

2

1

y

x

D. ?

?

? ?

? ?

2

1

y

x

2.直線 : 4 l1 y ? x ? 與直線 3

3

4

: l2 y ? ? x ? 相交于點（3，－1），則方程組??

?

?

?

????4943222yx

x y的解是（A）A. ?

?

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?

1

3

y

x

B. ?

?

? ?

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3

1

y

x

C. ?

?

? ? ?

? ?

3

1

y

x

D. ?

?

? ?

?

1

3

y

x

3.已知直線 y=2x 與 y= －x+b 的交點為（－1，a），則方程組

?

?

?

? ?

? ?

x y b

2x y 0

的解為（D ）A. ?

?

? ?

?

2

1

y

x

B. ?

?

? ?

? ?

2

1

y

x

C. ?

?

? ? ?

?

2

1

y

x

D. ?

?

? ? ?

? ?

2

1

y

x

4.如圖，直線 : 2 l1 y ? x ? 與直線相交于點 P（m，4），則方程組

?

?

? ? ?? ?y kx b

y x 2

的解是?????42yx.

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106 數(shù)學(xué)加分寶5.已知

?

?

? ?

?

3

2

y

x

是方程組

?

?

?

?

? ? ?

? ?

2

2

5

x

y

x y

的解，一次函數(shù) x ? y ? 5 和 2

2 ? ?

x

y 的交點是（2,3）. 6.方程組

?

?

?

? ?

? ?

12

2 0

x y

y x

的解為

?

?

? ?

?

8

4

y

x ，則一次函數(shù) y ? 2x 和 y ?12 ? x 圖象的交點坐標為（4,8）. 7.表 1、表 2 分別給出了兩條直線 1 1 1

l : y ? k x ? b 與 2 2 2

l : y ? k x ? b 上部分點的橫坐標x 和縱坐標y 的對應(yīng)值.則方程組

?

?

? ? ?

? ?

2 2

1 1

y k x b

y k x b

的解是

?

?

? ? ?

? ?

3

2

y

x

.表 1 表2

8.若

?

?

?

? ?

? ?

2 2 3

2

x y

x y 沒有解，則函數(shù) y ? 2 ? x 與 y ? ? x

2

3 的圖象必定（ B ）A.重合 B.平行 C.相交 D.無法確定9.無論 m 取何數(shù)，直線 y=x+3m 與 y=－x+1 的交點不可能在第__三___象限. 10.一次函數(shù) y=7－4x 和 y=1－x 的圖象的交點坐標是_（2，－1）__,則方程組?

?

?

????147x y

x y的解為??????12yx__. 11.如圖，已知兩條直線 1 2

l ,l 的交點可看作是某方程組的解，則這個方程組為????????234323y xy x.

x －4 －3 －2 －1

y －9 －6 －3 0

x －4 －3 －2 －1

y －1 －2 －3 －4

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107 數(shù)學(xué)加分寶12.如圖，點 A 的坐標可以看成是方程組

?

?

? ? ? ?

? ?

5

2 1

y x

y x

的解.

13.已知直線 1l :y= 1 1 2 2 2 k x ? b 和直線l : y ? k x ? b

（1）當_ 1 2 k ? k __時， 1l 與 2l 相交于一點. （2）當_ 1 2 1 2 k ? k ,b ? b __時， 1 2

l ∥l ,此時方程組__.

2 2

1 1 的解的情況是無解?

?

? ? ?

? ?

y k x b

y k x b

（3）當 1 2 1 2 k ? k ,b ? b _時，l1與l2重合，此時方程組?

?

? ? ?

? ?

2 2

1 1 y k x b

y k x b

的解的情況是無數(shù)個解

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108 數(shù)學(xué)加分寶題組 3 應(yīng)用題中求函數(shù)關(guān)系式

1.（局屬期末）甲、乙兩人約好步行沿同一路線同一方向在某景點集合，已知甲乙二人相距660 米，二人同時出發(fā)，走了 24 分鐘時，由于乙距離景點近，先到達等待甲，甲共走了 30 分鐘也到達了景點與乙相遇.在整個行走過程中，甲乙兩人均保持各自的速度勻速行走，甲乙兩人相距的路程y（米）與甲出發(fā)的時間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，下列說法錯誤的是（ D ）

A.甲的速度是 70 米/分 B.乙的速度是 60 米/分

C.甲距離景點 2100 米 D.乙距離景點 420 米

2.（市北期末）小明從家騎自行車出發(fā)，沿一條直路到相距 2400 m的郵局辦事，小明出發(fā)的同時，他的爸爸以 96 m/ min 速度從郵局同一條道路步行回家，小明在郵局停留 2min 后沿原路以原速返回.設(shè)他們出發(fā)后經(jīng)過t min 時，小明與家之間的距離為 1 S（m），小明爸爸與家之間的距高為2 S（m），圖中折線OABD.線段 EF 分別表示 1 2 S , S 與t 之間的函數(shù)關(guān)系的圖象：

（1）求 2 S 與t 之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）小明從家出發(fā)，經(jīng)過多長時間在返回途中追上爸爸？這時他們距離家還有多遠？【答案】 1 S 2400 96t （） 2 ? ? （2）20，480

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109 數(shù)學(xué)加分寶3.（嶗山期末）甲、乙兩車從 A 城出發(fā)沿一條筆直公路勻速行駛至 B 城，在整個行駛過程中，甲、乙兩車離開 A 城的距離 y（km）與甲車行駛的時間 t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示. （1）A、B 兩城相距 300 千米，乙車比甲車早到 1 小時. （2）甲車出發(fā)多長時間與乙車相遇？

（3）若兩車相距不超過 20 千米時可以通過無線電互相通話，則兩車都在行駛過程中可以通過無線電通話的時間有多長？

【答案】（2）2.5 （3）3－2=1

4.（市南期末）學(xué)農(nóng)期間，甲、乙兩班參加了植樹活動.乙班先植樹 30 棵，然后甲班才開始與乙班一起植樹.設(shè)甲班植樹的總量為 y甲 （棵），乙班植樹的總量為 y乙 （棵）， y甲 、 y乙與甲班植樹的時間x（時）之間的部分函數(shù)圖象如圖所示：

（1）當 0 ? x ? 6時，分別求 y甲 、 y乙 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若甲班植樹 6 個小時后，該班仍保持原來的工作效率，乙班則通過增加人數(shù)提高了工作效率，這樣又植樹 2 小時后，兩班植樹的總量相差 20 棵，求乙班增加人數(shù)后平均每小時植樹多少棵？【答案】（1） y ? 20x, y ?10x ? 30 甲 乙 （2）25 或 45

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110 數(shù)學(xué)加分寶5.（市南期末）某景區(qū)門票價格 80 元/人.景區(qū)為吸引游客，對門票價格進行動態(tài)管理，非節(jié)假日打a折；節(jié)假日期間，10 人以下（包括 10 人）不打折，10 人以上超過 10 人的部分打b 折.設(shè)游客為x人，門票費用為y 元，非節(jié)假日門票費用 1y （元）及節(jié)假日門票費用 2 y （元）與游客 x （人）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示. （1） a ? __6___ ，b ? __8___ . （2）直接寫出 1y 、 2 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式. （3）導(dǎo)游小王 6 月 10 日（非節(jié)假日）帶 A 旅游團，6 月 20 日（端午節(jié)）帶B 旅游團到該景區(qū)旅游，兩團共計 50 人，兩次共付門票費用 3040 元，求 A、B 兩個旅游團各多少人？

【答案】（2）

?

?

?

? ?

? ?

? ?

64 160( 10)

80 (0 10) 48 1 2 x x

x x

y x y （3）A：20 人 B：30 人6.（市南期末）甲、乙兩車從 A 地出發(fā)，勻速駛往 B 地，乙車出發(fā) 1 h 后，甲車才沿相同的路線開始行駛.甲車先到達 B 地并停留 30 分鐘后，又以原速按原路線返回，直至與乙車相遇，圖中的折線段表示從開始到相遇止，兩車之間的距離 y（km ）與甲車行駛的時間 x（h）的函數(shù)關(guān)系的圖象，則其中正確的序號是①③④. ①甲車的速度是 100 km/ h ；②A，B 兩地的距離是 360 km ；③乙車出發(fā) 4.5 h時甲車到達B地；④甲車出發(fā)

16

5

4 h最終與乙車相遇.

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111 數(shù)學(xué)加分寶A

1

l

P

B

2

l

y

O x

題組 4 純函數(shù)中求函數(shù)關(guān)系式

1.（市北期末）已知,直線l : y 3x 2k 1 ? ? 與直線l : y ? x ? k 2 交點 P 的縱坐標為5,直線1

l 與直線2l與y軸分別交于 A. B 兩點. （1）求出 P 的橫坐標及 k 的值； 【答案】3；2

（2）求△PAB 的面積. 【答案】9

（3）點 M 為直線 1

l 上的一個動點，當△MAB 的面積與△PAB 的面積之比為 2：3 時，求此時點M的坐標（2,2）或（－2，－10）.

2.（市北期末）如圖，直線 y ? kx ? 6與 x 軸 y 軸分別相交于點 E，F(xiàn)，點 E 的坐標(8，0)，點A的坐標為（6，0）.點 P（x，y）是第一象限內(nèi)的直線上的一個動點（點 P 不與點 E，F(xiàn) 重合）. （1）求 k 的值；【答案】

4

3 ?

（2）在點 P 運動的過程中，求出△OPA 的面積 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；【答案】1849S??x?（3）若△OPA 的面積為

8

27 ，求此時點 P 的坐標. 【答案】P（

8

9

2

13，）

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112 數(shù)學(xué)加分寶3.（市南期末）如圖①，在平面直角坐標系中，直線 4

3

4

y ? ? x ? 交 x 軸、 y 軸分別交于點A、點B，直線CD 交 x 軸、 y 軸分別于點 D、點 C，交直線 AB 于點 E（點 E 不與點 B 重合），且△AOB≌△COD. （1）求直線 CD 的函數(shù)表達式；

（2）如圖②，連接 OE，過點 O 作 OF⊥OE 交直線 CD 于點 F

①求證：OE=OF；②直接寫出點 F 的坐標. （3）若點 P 是直線 CD 上一點，點 Q 是 x 軸上一點（點 Q 不與點 O 重合），當△DPQ和△COD全等時，直接寫出點 P 的坐標. 【答案】（1）直線 CD 的解析式為 3

4

3

y ? x ? （2）①△BOE≌△DOF 可得OE=OF ②F( 2584?, 2512)

（3）點 P 的坐標為( 5

36 ? ,? 5

12

)、(?8,?3)、(? 5

4

, 5

12

)

4.（局屬期末）如圖 1，將長方形 ABCD 置于平面直角坐標系中，其中 AD邊在x 軸上，AB?2，直線MN : y ? x ? 4 沿 x 軸的負方向以每秒 1 個單位的長度平移，設(shè)在平移過程中該直線被矩形ABCD的邊截得的線段長度為 m ，平移時間為t ， m 與t 的函數(shù)圖象如圖 2 所示．

（1）點 A 的坐標為______，矩形 ABCD 的面積為______；（2）求 a、b 的值；（3）在平移過程中，求直線 MN 掃過矩形 ABCD 的面積 S 與t 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t 的取值范圍．【答案】（1）（1,0） 8 （2） a ? 2 2,b ? 9 （3）

?

?

?

?

?? ????? ??? ?????

(79)2659

2

1

2 8 5 7( 3) 352

1

0 0 32

2

t t t

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t t

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S （）（）（）

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113 數(shù)學(xué)加分寶八上第 13 周秋季講義第 6 章《數(shù)據(jù)的分析》題組 1 算術(shù)平均數(shù)

n

x x x x

x

? ? ? ? n ?

.... 1 2 3

求算術(shù)平均數(shù)除了用總數(shù)除以數(shù)據(jù)個數(shù)外，還可以采取移多補少的方式求算術(shù)平均數(shù). 1．（市北期末）一次物理考試中，九年（1）班和（2）班的學(xué)生數(shù)和平均分如下表所示，則兩班這次物理考試平均成績?yōu)? D )分．

A．80 B．82.5 C．85 D．82.6

2.下表是某學(xué)習小組一次數(shù)學(xué)測驗的成績統(tǒng)計表：已知該小組本次數(shù)學(xué)測驗的平均分是85 分,則x=3.

3.在一次數(shù)學(xué)考試中，第一小組的 14 名同學(xué)的成績與全班平均分的差是 2，3，－5，10，12，8，2，－1，－5，4，－10，－2，5，5（全班平均分是 83 分），則這個小組的平均成績是85 分. 4.已知數(shù)據(jù) n x , x , x .....x 1 2 3 的平均數(shù)為 a ,則 3, 3, 3...... 3 x1 ? x2 ? x3 ? xn ? 的平均數(shù)是a+3 . 5.如果數(shù)據(jù) n x , x , x .....x 1 2 3 的平均數(shù)為 a ,則 n 2x ,2x ,2x .....2x 1 2 3 的平均數(shù)是 2a . 6. 已 知 數(shù) 據(jù) 1 2 3 10 x , x , x .....x 的 平 均 數(shù) 為 a , 則 , 11 12 13 14 15 30 x , x , x , x , x ......x 的平均數(shù)是b, 那么1 2 3 4 30 x , x , x , x ,......x 的平均數(shù)是

3

a ? 2b

. 7.對 20 名工人日產(chǎn)量進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：有 2 人各完成 8 件，有 6 人各完成9 件，有8 人各完成10件，有 4 人各完成 11 件，那么平均每人日產(chǎn)量為__9.7____件. 8.八年級一班共有 4 個小組，每小組各有 8 人，一次數(shù)學(xué)測驗中，這四個小組的平均分分別是82 分，86分，85 分和 83 分，則該班本次測試的平均分為__ 84 分____. 9.一個班 40 人，語文老師第一次統(tǒng)計這班的語文平均成績?yōu)?80 分，在復(fù)查時發(fā)現(xiàn)漏記一個學(xué)生的成績80分，則這個班學(xué)生的實際平均成績?yōu)?82 .

分數(shù) 70 80 90 100

人數(shù) 1 3 x 1

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114 數(shù)學(xué)加分寶題組 2 加權(quán)平均數(shù)

在求平均數(shù)的時候如果每個數(shù)據(jù)的重要程度不同（即權(quán)不同）那么求平均數(shù)就要采取加權(quán)平均的方法. 1.（市北期末）某校體育期末考核“立定跳遠”、“800 米”、“仰臥起坐”三項，并按3：5：2 的比重算出期末成績.已知小林這三項的考試成績分別為 80 分、90 分、100 分，則小林的體育期末成績?yōu)開__89_____分. 2.（局屬期末）在某公司的面試中，昊辰的得分情況為：個人形象 85 分，工作能力90 分，交際能力85分，已知個人形象、工作能力和交際能力的權(quán)重為 1:2:2.則昊辰的最終成績是 87 分. 3.（市北期末）新學(xué)年，學(xué)校要選拔新的學(xué)生會主席.學(xué)校對入圍的甲、乙兩名候選人進行了三項測試成績?nèi)缦卤硭?，根?jù)實際需要，規(guī)定能力、技能、學(xué)業(yè)三項測試得分按 5:3:2 的比例確定各人的測試成績，得分高者被任命，此時___乙___將被任命為學(xué)生會主席.

4.（市南期末）某公司要招聘一名新的大學(xué)生，公司對入圍的甲、乙兩名候選人進行了三項測試，成績?nèi)缦卤硭?根據(jù)實際需要，規(guī)定能力、技能、學(xué)業(yè)三項測試得分按 5:3:2 的比例確定個人的測試成績.其中甲的分數(shù)是 84.9 ;乙的分數(shù)是 82.9 .得分最高者被錄取，此時 甲 將被錄取.

5.甲、乙、丙三種糖果售價分別為每千克 5 元，6 元，7 元，若將甲種糖 8kg ,乙種糖7kg,丙種糖5kg混合在一起，則售價應(yīng)定為每千克_5.85__元. 6.某市廣播電視局欲招聘一名播音員，對 A, B 兩名候選人進行了兩項素質(zhì)測試，兩人的兩項測試成績?nèi)缦卤硭?根據(jù)實際需要，廣播電視局將面試、綜合知識測試的得分按 3∶2 的比例計入兩人的總成績，那么__B___（填“ A ”或“ B ”）將被錄用.

7.A 、B 兩地相距 120km,一輛汽車以每小時 60 千米的速度由 A 到 B，又以每小時40km的速度返回，則這輛汽車往返一次的平均速度是____48_____km/h. 8.一輛汽車給山上部隊送貨，上山時每小時 30km,從原路返回時每小時 50km，求這輛汽車上山和下山的平均速度.【答案】37.5km/h

項目得分 能力 技能 學(xué)業(yè)

甲 82 70 98

乙 95 84 61

丙 87 80 77

得分 項目 能力 技能 學(xué)業(yè)甲 95 84 61

乙 87 80 77

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115 數(shù)學(xué)加分寶題組 3 中位數(shù)和眾數(shù)

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照大小順序排列后，位于中間位置的數(shù).當數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，取中間兩個數(shù)的平均數(shù)；當數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時，取中間的那個數(shù).眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).在一組數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能不止 1 個. 1.（市南期末）若一組數(shù)據(jù)－4，－2，0，1，6，10，12，x 的平均數(shù)為 3，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（B）A.0 B.1 C.3.5 D.6

2.在慶祝新中國成立 70 周年的校園歌唱比賽中，11 名參賽同學(xué)的成績各不相同，按照成績?nèi)∏?名進入決賽.如果小明知道了自己的比賽成績，要判斷能否進入決賽，小明需要知道這11 名同學(xué)成績的（B）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差3.（李滄期末）小明為了解本班同學(xué)一周的課外閱讀量，隨機抽取班上 15 名同學(xué)進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計圖，下列說法正確的是（ C ）

A．中位數(shù)是 3 本，眾數(shù)是 2 本 B．眾數(shù)是 1 本，平均數(shù)是2 本C．中位數(shù)是 2 本，眾數(shù)是 2 本 D．中位數(shù)是 3 本，平均數(shù)是2.5 本4.某市 6 月份日平均氣溫統(tǒng)計如圖所示，則在日平均氣溫這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是（D）A.10℃，8℃ B.21℃，21℃ C.21℃，21.5℃ D.21℃，22℃5.（李滄期末）某中學(xué)隨機調(diào)查了 15 名學(xué)生，了解他們一周在校參加體育鍛煉的時間，列表如下：則這 15 名同學(xué)一周在校參加體育鍛煉的時間的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（ D ）A.6 h ，7 h B.7 h ，7 h C.7 h ，6 h D.6 h，6 h6.（市南期末）小剛參加射擊比賽，成績統(tǒng)計如下表：

成績（環(huán)） 6 7 8 9 10

次數(shù) 1 3 2 3 1

關(guān)于他的射擊成績，下列說法正確的是（ B ）

A．極差是 2 環(huán) B．中位數(shù)是 8 環(huán) C．眾數(shù)是 9 環(huán) D．平均數(shù)是9環(huán)7.（李滄期末）一組數(shù)據(jù) 1.5，1.75，1.7，1.5，1.7，1.6，1.7，1.6，1.8 的中位數(shù)是1.7 ，眾數(shù)是1.7.

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116 數(shù)學(xué)加分寶題組 4 條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖中求中位數(shù)眾數(shù)平均數(shù)1.如圖所示，是某籃球隊隊員年齡結(jié)構(gòu)圖，根據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）該隊隊員年齡的平均數(shù). （2）求該隊隊員年齡的眾數(shù)和中位數(shù).

【答案】（1）21 歲 （2）眾數(shù)：21 歲 中位數(shù)：21 歲

2.在一次捐款活動中，某班 50 名同學(xué)人人拿出自己的零花錢，有捐 5 元，10 元，20 元的，還有捐50元和100 元的.如圖所示的統(tǒng)計圖反映了不同捐款數(shù)的人數(shù)比例，那么該班同學(xué)平均每人捐款__31.2__元.（結(jié)果跟班級人數(shù)有關(guān)嗎？）

3.某市教育部門為了了解七年級學(xué)生每學(xué)期參加綜合實踐活動的情況，隨機抽樣調(diào)查了該校7 年級全體學(xué)生參加綜合實踐活動的天數(shù)，并用得到的數(shù)據(jù)繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖中提供的信息解決下列問題.（1）求扇形統(tǒng)計圖中 a 的值，并求該校七年級學(xué)生的總?cè)藬?shù). （2）分別求出參加綜合實踐活動時間為 5 天，7 天的學(xué)生人數(shù)，并補全頻數(shù)分布直方圖. （3）求出扇形統(tǒng)計圖中參加綜合實踐活動時間為 4 天的扇形的圓心角度數(shù). （4）在這次抽樣調(diào)查中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是什么?

（5）如果該市共有七年級學(xué)生 6000 人，請你估計參加綜合實踐活動時間不少于4 天的人數(shù).

【答案】（1）a=25% 200 人 （2）5 天： 50 人 7 天：10 人 （3）108° （4）眾數(shù)：4 天 中位數(shù)：4 天 （5）4500 人

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117 數(shù)學(xué)加分寶4.（市北期末）為了解某校學(xué)生的身高情況，隨機抽取該校男生、女生進行抽樣調(diào)查.已知抽取的樣本中，男生、女生人數(shù)相同，利用所得數(shù)據(jù)繪制如下統(tǒng)計圖表：

根據(jù)圖表提供的信息，回答下列下列問題：

（1）樣本中，男生身高的眾數(shù)在 B 組，中位數(shù)在 C 組；

（2）樣本中，女生身高在 E 組的人數(shù)有 2 人；

（3）已知該校共有男生 400 人，女生 380 人，請估計身高在 160≤x＜170 之間的學(xué)生約有多少人？【答案】332 人

5．某學(xué)校為了解學(xué)生零花錢的使用情況，校團委隨機調(diào)查了本校部分學(xué)生每人一周的零花錢數(shù)額，并繪制了如圖甲、乙所示的兩個統(tǒng)計圖（部分未完成）．請根據(jù)圖中信息，回答下列問題：（1）校團委隨機調(diào)查了多少學(xué)生? 請你補全條形統(tǒng)計圖；

（2）被調(diào)查的學(xué)生每人一周零花錢的平均數(shù)額是多少元?

（3）全校 1000 名學(xué)生每人自發(fā)地捐出一周零花錢的一半，用于支援希望工程建設(shè)．請估算全校學(xué)生共捐款多少元?

【答案】（1）40 （2）33 元 （3）16500 元

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118 數(shù)學(xué)加分寶題組 5 數(shù)據(jù)的離散程度

極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差就是極差.方差： [( ) ( ) ... ( ) ] 1 2 2

2

2

1

2 x x x x x x

n

S ? ? ? ? ? ? n ? 方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.標準差：標準差是方差的算術(shù)平方根.用 S 表示. 1.在方差公式 [( 20) ( 20) ....( 20) ] 10

1 2

10

2

2

2

1

2 S ? x ? ? x ? ? x ? 中，數(shù)字10和數(shù)字20分別表示的意義（C）A. 數(shù)據(jù)的個數(shù)和方差 B.平均數(shù)和數(shù)據(jù)的個數(shù) C.數(shù)據(jù)的個數(shù)和平均數(shù)D. 數(shù)據(jù)的方差和平均數(shù)2.（市北期末）一次數(shù)學(xué)測試，某小組五名同學(xué)的成績?nèi)缦卤硭荆ㄓ袃蓚€數(shù)據(jù)被遮蓋）．組員日期 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成績得分 81 79 ■ 80 82 ■ 80

那么被遮蓋的兩個數(shù)據(jù)依次是（ B ）

A.80，2 B.78，2 C.80，1.5 D.78，23.學(xué)校籃球隊隊員的年齡分別是 17，15，17，16，15.其方差為 0.8，則三年后這五名隊員年齡的方差（C）A.變大 B.變小 C.不變 D.無法確定4.（市北期末）數(shù)據(jù) n x , x ,...x 1 2 的方差為 A,則數(shù)據(jù)3 1,3 1,...3 1 x1 ? x2 ? xn ? 的方差為（C）A. 3A B. 3A+1 C. 9A D. 9A+1

5.已知樣本 1 2 3 a , a , a 的方差是

2

s ,則樣本 1 2 3 3a ,3a ,3a 的方差是（ B ）

A. 3 2

s B. 9 2

s C. 2

s D. 2

s+3

6.（市北期末）若樣本 x1，x2，x3……xa的平均數(shù)為 18，方差為 2，則對于樣本x1+2，x2+2，x3+2，......xa+2，下列結(jié)論正確的是（ A ）

A.平均數(shù)為 20，方差為 2 B.平均數(shù)為 20，方差為4

C.平均數(shù)為 18，方差為 2 D.平均數(shù)為 18，方差為4

7（. 青大附期末）甲、乙兩名射箭運動員在相同條件下練習射箭，每人射了 5 支箭，已知甲的平均數(shù)為x甲?8環(huán)，方差為

2

s甲＝0.8；乙的成績（單位：環(huán)）為：6，7，8，9，10．則乙的平均數(shù)為8 環(huán)，乙的方差為

2

s乙＝ 2 ，從這 5 支箭的成績來看，水平更穩(wěn)定的是 甲 （填“甲”或“乙”）. 8.（李滄期末）“市運會”舉行射擊比賽，校射擊隊從甲、乙、丙、丁四人中選拔一人參賽．在選拔賽中，每人射擊 10 次，計算他們 10 發(fā)成績的平均數(shù)(環(huán))及方差如下表．請你根據(jù)表中數(shù)據(jù)選一人參加比賽，最合適的人選是___丁___．

甲 乙 丙 丁

平均數(shù) 8.2 8.0 8.0 8.2

方差 2.1 1.8 1.6 1.4

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119 數(shù)學(xué)加分寶9.（李滄期末）某學(xué)習小組的 5 位成員在寒假期間進行線上測試，其成績（分）分別為86，88，90，92，94，方差為 8

2 S ? ，后來老師發(fā)現(xiàn)每人的成績都少加了2分，每人補加 2分后，這5人新成績的方差2S新=__8__. 10（. 市北期末） 2020 年，一場突如其來的疫情打亂了中國人回家團圓的腳步，但無數(shù)迎難而上、舍身戰(zhàn)“疫”的英雄最讓人難忘.某校舉辦題為“致敬最美逆行者”的演講比賽，甲、乙兩組學(xué)生成績分布的折線統(tǒng)計圖如圖所示（學(xué)生成績均為整數(shù)）：

（1）根據(jù)以上信息完成下表：

組別 平均數(shù)（分） 中位數(shù)（分） 眾數(shù)（分） 方差

甲 7 6.5 6 2.8

乙 7 7 7 1.8

（2）若學(xué)校準備選派其中一組參加區(qū)級比賽，你認為選派哪一組參賽更好？請結(jié)合以上數(shù)據(jù)進行分析說明. 【答案】乙參加比賽更好，從平均數(shù)來說，甲乙成績一樣好；從中位數(shù)和眾數(shù)來說都是乙的成績好，從方差來說，乙的方差較小，成績更穩(wěn)定，因此乙參賽更好. 11.（市北期末）某中學(xué)舉行演講比賽，九（1）、九（2）班根據(jù)初賽成績各選出5 名選手參加復(fù)賽，兩個班所選出的 5 名選手的復(fù)賽成績（滿分為 100 分）如圖所示．

（1）根據(jù)上圖填寫下表；

平均分（分） 中位數(shù)（分） 眾數(shù)（分） 方差

九（1）班 85 85 85 70

九（2）班 85 80 100 160

（2）結(jié)合兩班的復(fù)賽成績分析哪個班級的復(fù)賽成績較好；

【答案】從平均數(shù)來說，兩個班成績一樣好，從眾數(shù)來說，9（2）班成績更好；從中位數(shù)來說，9（1）班成績更好，從方差來說，9（1）班成績更好

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120 數(shù)學(xué)加分寶隨堂檢測

1.（嶗山期末）一次演講比賽中，小明的成績?nèi)缦拢貉葜v內(nèi)容為 70 分，演講能力為60 分，演講效果為88分，如果演講內(nèi)容、演講能力、演講效果的成績按 4：2：4 計算，則他的平均分為（B ）A.74.2 分 B.75.2 分 C.76.2 分 D.77.2 分2.為了判斷甲乙兩個小組學(xué)生英語口語測試成績哪一組比較整齊，通常要知道兩組成績的( B)

A.平均數(shù) B.方差 C.眾數(shù) D.頻率分布3.樣本 101，98，102，100，99 的方差是( D )

A. 2 B.0 C. 1 D. 2

4.已知樣本 1 2 3 a , a , a 的方差是

2

s ,則樣本 1 2 3 3a ,3a ,3a 的方差是（ B ）

A. 3 2

s B. 9 2

s C. 2

s D. 2

s+3

5.如果一組數(shù)據(jù)的方差是 2，那么這組數(shù)據(jù)都擴大 2 倍后所構(gòu)成的新的數(shù)據(jù)的方差為（C）A. 16 B. 4 C. 8 D .2

6（. 市北期末）若樣本 n x ，x ，x ，?，x 1 2 3 的平均數(shù)為 10，方差為 4，則對于樣本 3 333x1 ? ，x2 ?，x3 ?，?，xn?，下列結(jié)論正確的是（ D ）

A．平均數(shù)為 10，方差為 2 B．眾數(shù)不變，方差為4

C．平均數(shù)為 7，方差為 2 D．中位數(shù)變小，方差不變7.某中學(xué)足球隊的 18 名隊員的年齡情況如表所示，則這些隊員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（B）A．15 歲，15 歲 B．15 歲，15.5 歲 C．15 歲，16 歲 D．16 歲，15歲8.實驗中學(xué)規(guī)定學(xué)生學(xué)期的數(shù)學(xué)成績滿分為 120 分，其中平時成績占 20%，期中考試成績占30%，期末考試成績占 50%，王玲的三項成績依次是 100 分，90 分，106 分那么王玲這學(xué)期的數(shù)學(xué)成績?yōu)?00分．9.在一次青年歌手大獎賽上，七位評委為某位歌手打出的分數(shù)如下：9.5，9.4，9.6，9.3，9.9,9.7，9.0，去掉一個最高分和一個最低分，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 9.5____. 10.小明騎自行車的速度是 15km/h，步行的速度是 5km/h，

（1）如果小明先騎自行車 1h，然后又步行了 1h,那么他的平均速度是多少？（2）如果小明先騎自行車 2h,然后又步行了 3h,那么它的平均速度是多少？你能從權(quán)的角度來理解這樣的平均速度嗎？

【答案】（1）10km/h （2）9km/h

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121 數(shù)學(xué)加分寶課后作業(yè)1.若樣本 1, 1,....... 1 x1 ? x2 ? xn ? 的平均數(shù)為 10，方差為 2，則對于樣本 2, 2,.... 2x1 ?x2 ?xn ?，下列結(jié)論正確的是（ C ）

A．平均數(shù)為 10，方差為 2 B．平均數(shù)為 11，方差為 3

C．平均數(shù)為 11，方差為 2 D．平均數(shù)為 12，方差為 4

2.每年的 4 月 23 日是“世界讀書日”．某中學(xué)為了解八年級學(xué)生的讀書情況，隨機調(diào)查了50 名學(xué)生的讀書冊數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：

則這 50 名學(xué)生讀書冊數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( A )

A．3 冊，2 冊 B．3 冊，3 冊 C．2 冊，3 冊 D．2 冊，2 冊3.某商場對上周某品牌運動服的銷售情況進行了統(tǒng)計，如下表所示：

經(jīng)理決定本周進貨時多進一些紅色的，可用來解釋這一現(xiàn)象的統(tǒng)計知識的是（C ）A.平均數(shù) B 中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)與眾數(shù)

4.樣本 18，12，16，10，14 的方差是__8__；標準差是____2 2_. 5.某茶廠用甲、乙兩臺分裝機分裝某種茶葉（每袋茶葉的標準質(zhì)量 200 g ）．為了監(jiān)控分裝質(zhì)量，該廠從它們各自分裝的茶葉中隨機抽取了 50 袋，測得它們的實際質(zhì)量分析如下：

則這兩臺分裝機中，分裝的茶葉質(zhì)量更穩(wěn)定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．6.（市北期末）車間有 20 名工人，某一天他們生產(chǎn)的零件個數(shù)統(tǒng)計如下表

求這一天 20 名工人生產(chǎn)零件的平均個數(shù). 【答案】12 個

冊數(shù) 0 1 2 3 4

人數(shù) 3 13 16 17 1

顏色 黃色 綠色 白色 紫色 紅色

數(shù)量（件） 120 150 230 75 430

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122 數(shù)學(xué)加分寶7.（局屬期末）程睿中學(xué)組織七、八年級學(xué)生參加垃圾分類知識競賽，現(xiàn)從該校七、八年級中各抽取10名學(xué)生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用 x 表示，共分成4 組：A、80?x?85,B、85 ? x ? 90,C、90 ? x ? 95，D、95 ? x ?100 ），下面給出了部分信息：七年級 10 名學(xué)生的競賽成績是，99，80，99，86、99，96，90、100，89,82

八年級 10 名學(xué)生的競賽成績在 C 組中的數(shù)據(jù)是:93，90，94.根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）寫出上速圖表中 a = 40 ，b = 93.5 ,c= 99 . （2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該校七、八年級中 哪個年級學(xué)生掌握垃圾分類知識較好？請說明理由（一條理由即可）

【答案】八年級中位數(shù)大，8 年級的成績好. （3）該校七、八年級共 800 人參加了此次競賽活動，估計參加此次度賽活動成績優(yōu)秀（x ?90）的學(xué)生人數(shù)是多少？

【答案】520 人

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123 數(shù)學(xué)加分寶第 14 周秋季講義第七章平行線的證明題組 1 定義與命題

1.定義：對名稱和術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定. 2.命題：_判斷__一件事情的句子，叫做命題.命題分為_真_命題和__假_命題.命題都由_條件_和__結(jié)論__兩部分組成. 1.（市南期末）下列命題中，屬于真命題的是（ D ）

A.三角形的一個外角大于內(nèi)角 B.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等C.無理數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的 D.對頂角相等

2.（市北期末）下列語句是命題的是（ C ）

A．量線段 AB 的長度 B．同位角相等，兩直線平行嗎?

C．直角三角形兩個銳角互余 D．畫線段 AB=CD

3.（李滄期末）下列四個命題中，真命題有（ A ）

①兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等 ②如果∠1 和∠2 是對頂角，那么∠1＝∠2. ③三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角． ④如果 0

2

x ? ，那么 x ?0．A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個4.（李滄期末）下列命題是真命題的是（ D ）

A.兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等 B.兩邊一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C. 81的平方根是 9 D. x ? 2, y ?1是方程 2x ?y ?3的解5.（市北期末）把命題“直角三角形兩銳角互余”改寫成：如果 一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余 . 6.（市北期末）命題：“三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形”的條件是一個三角形三個內(nèi)角相等，結(jié)論是 這個三角形是等邊三角形. 7.把下列命題改寫成“如果.......,那么.......”的形式. （1）直角三角形的兩銳角互余 （2）有兩個角相等的三角形是等腰三角形（3）對頂角相等 （4）兩條直線相交只有一個交點

（5）等角的補角相等

【答案】（1）如果 一個三角形是直角三角形 ，那么它的兩個銳角互余. （2）如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形. （3）如果兩個角是對頂角，那么它們相等. （4）如果兩條直線相交，那么它們只有一個交點. （5）如果兩個角相等，那么它們的補角相等.

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124 數(shù)學(xué)加分寶題組 2 平行線的判定

1．如圖，下列條件中，不能判斷直線 a // b 的是（ B ）

A．?1 ? ?3 B． ?2 ? ?3 C． ?4 ? ?5 D． ?2 ? ?4 ?180?

2．如圖，點 E 在 AC 的延長線上，下列條件能判斷 AB //CD 的是（ A ）① ?1 ? ?2； ②?3 ? ?4 ； ③ ?A ? ?DCE ； ④ ?D ? ?ABD?180? ．A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④

3．如圖， AB ? BC ， BC ? CD ，?EBC ? ?BCF ，那么 ?ABE 與?DCF的位置和大小關(guān)系是（B）A．是同位角且相等 B．不是同位角但相等 C．是同位角但不等 D．不是同位角也不等4.如圖，給出了過直線外一點作已知直線的平行線的方法,其依據(jù)是同位角相等，兩直線平行．5．如圖，是小明學(xué)習三線八角時制作的模具，經(jīng)測量 ?2 ?100? ，要使木條 a 與b 平行，則?1的度數(shù)是_80°．

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125 數(shù)學(xué)加分寶6.長方形 ABCD 中，∠ADB=20°，現(xiàn)將這一長方形紙片沿 AF 折疊，若使 AB'∥BD，則折痕AF與AB的夾角∠BAF 應(yīng)為_55°．

7.如圖，平行線 AB、CD 被直線 AE 所截，若∠1=100°，則∠2=（ B ）

A. 70° B.80° C.90° D.110°

8.如圖，已知點 E 在 BC 的延長線上，則下列條件中不能判斷 AB∥CD 的是（D ）A. ∠B＝∠DCE B. ∠BAD+∠D＝180° C. ∠1＝∠4 D. ∠2＝∠3

9.如圖，四邊 ABCD 中，?A ? ?C ? 90?，BE 平分 ?ABC ，DF 平分 ?ADC，則BE與DF有何位置關(guān)系？試說明理由．

【答案】BE∥DF，思路如下：四邊形內(nèi)角和=360°，可知∠ABC+∠ADC=180°，∴∠2+∠4=90°，∵∠CFD+∠4=90°，∴∠2=∠CFD，∴BE∥DF

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126 數(shù)學(xué)加分寶題組 3 平行線的性質(zhì)

1.直線 a,b,c,d 的位置如圖所示，如果 ?1 ? ?2， ?3 ? 43? ，那么?4 等于（B ）A．130° B．137° C．140° D．143°

2.已知，如圖， ?1 ? ?2 ? ?3 ? 55?，則 ?4 的度數(shù)等于（ C ）

A．115° B．120° C．125° D．135°

3.如圖，在 ?ABC 中，CD 平分 ?ACB ， ?1 ? ?2 ? 36?，則 ?3 =__72°_.

4.如圖，把一張長方形紙片沿 AB 折疊，已知 ?1 ? 74? ，則 ?2 =__32°__．

5. 如圖，直線 AB∥CD，一個含 60°角的直角三角板 EFG（∠E=60°）的直角頂點F 在直線AB上，斜邊EG 與 AB 相交于點 H，CD 與 FG 相交于點 M．若∠AHG=50°，則∠FMD 等于（B ）A. 10° B. 20° C. 30° D. 50°

6.如圖所示，將長方形紙片 ABCD 折疊，使點 D 與點 B 重合，點 C 落在點 C′處，折痕為EF，若∠EFC′=125°，那么∠AEB 的度數(shù)是 70° ．

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127 數(shù)學(xué)加分寶7.如圖，已知 AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，則∠C＝__30___度．

8.如圖，直線 AB∥CD,?C ? 44?，?E 是直角，則∠1=__134°___.

9．（市南期末）如圖，直線 m∥n ，?1 ?120? ，?2 ? 95?，則 ?3? ?4 ?35° ．10.（局屬期末）如圖，一張四邊形紙片 ABCD，∠A=50°，∠A=50°，∠C=150°，若將其按照圖2所示方式折疊后，恰好 MD'∥AB，ND'∥BC，則∠D=__80°___.題組 4 平行線的證明題（填寫理由類）

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128 數(shù)學(xué)加分寶9.（市北期末）填空并在括號中填上每一步的依據(jù)

如圖，已知，?ADC ? ?ABC ，BE、DF 分別平分 ?ABC 、?ADC，且?1??2，求證：?A??C.證明：∵BE 、 DF 分別平分 ?ABC 、?ADC （已知）

?? ? ?ABC

2

1

1 ，? ? ?ADC

2

1

3 （ 角平分線的定義 ）

∵?ABC ? ?ADC （已知）

??1 ? ?3 （ 等量代換 ）

∵?1 ? ?2 （已知）??2 ? ?3（ 等量代換 ）

? AB // DC （ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 ）

??A? ? ADC =180?，?C ? ? ABC=180?（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）??A ? ?C （ 等角的補角相等 ）

10．（李滄期末）如圖，已知 EF⊥BC，∠1=∠C，∠2+∠3=180°．試

說明直線 AD 與 BC 垂直．（請在下面的解答過程的空格內(nèi)填空或在

括號內(nèi)填寫理由）．

解：∵∠1=∠C，（ 已知 ）

∴_ GD___∥___AC____（ 同位角相等，兩直線平行 ），

∴∠2=_∠DAC______ （ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ），

又∵∠2+∠3=180°，（ 已知 ）

∴∠3+__∠DAC____=180°．（ 等量代換 ）

∴_AD_∥ EF （ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ），

∴∠ADC=∠EFC，

∵EF⊥BC，（ 已知 ）

∴∠EFC=90°，∴∠ADC=90°，∴ AD⊥BC

11.（市北期末）如圖,已知∠1+∠2=180° ，∠3=∠B，試判斷 DE 和 BC 的位置關(guān)系，并對結(jié)論進行說理.求證：DE//BC.證明：∠1+∠2=180° (已知),∠1+∠4=180° (鄰補角的定義)，

∴∠2=∠4（同角的補角相等）

∴_BD_∥___EF__( 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 )，

∴∠3+ ∠BDE =180°（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 )，

∵∠3=∠B(已知)，

∴∠B+ ∠BDE =180°(等量代換)，

∴ DE ∥ BC ( 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ).

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129 數(shù)學(xué)加分寶第 15 周秋季講義題組 1 平行線的證明大題

1.（李滄期末）如圖所示，點 B、E 分別在 AC、DF 上，BD、CE 均與 AF 相交，∠1=∠2，∠C=∠D，求證：∠A=∠F. 【答案】先證明∠1=∠3 得 DB∥CE，然后得∠C=∠DBA，最后得出∠D=∠DBA，∴DF∥AC∴∠A=∠F. 2．（市南期末）如圖，在 ?ABC 中，點 D、E、F 分別在邊 AB、AC、BC上，連接DE、DF，G是DF上一點，連接 EG ,已知 ?1? ?2 ?180? ，?B ? ?3．

（1）求證： EG∥ AB ；

（2）請判斷?C 與?AED 的大小關(guān)系，并說明理由．

A

D E

B

F

C

G

2

3

1

【答案】（1）根據(jù)同角的補角相等，可得∠2=∠DGE，∴EG∥AB （2）∠C=∠AED3.（市南期末）如圖，∠BAP 與∠APD 互補，∠BAE=∠CPF．求證：∠E=∠F．A B

C

P

E

F

D

【答案】先由同角的補角相等可知∠BAP=∠APC，再根據(jù)等式性質(zhì)可知，∠EAP=∠FPE∴AE∥FP.∴∠E=∠F

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130 數(shù)學(xué)加分寶4.（17 市南期末）如圖,?ABD 和?BDC 的平分線交于點 E ， BE 交CD于F，?1??2?90?.求證：（1） AB //CD ； （2）?2 ? ?3 ? 90?. 【答案】（1）由∠1+∠2=90°，可知∠ABD+∠BDC=180°，∴ AB //CD（2）由∠1=∠3，可知 ?2 ? ?3 ? 90?

5．（青大附）已知：如圖，?ABC 中，E 為 BC 邊上一點，過點 E 作 GE⊥ BC，交AB于點G，AD⊥BC于 D ，?ADF ? ?BGE .求證：?BAC ? ?DFC

C

A

F

E D

B

G

【答案】（1） 由GE ⊥ BC AD ⊥ BC 可知 GE∥AD ∴∠BGE=∠BAD 由?ADF??BGE可知∠BAD=∠ADF∴DF∥AB ∴?BAC ? ?DFC

6.（市南期末）已知：如圖，直線 BD 分別交射線 AE、CF 于點 B、D，連接A、D 和B、C，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD 平分∠BDF.求證：（1）AD∥BC； （2）BC 平分∠DBE．【答案】（1）由同角的補角相等可知∠1=∠BDC，∴AE∥CF∴∠A+∠ADC=180°，∴∠C+∠ADC=180°∴AD∥BC

（2）由∠EBC=∠C=∠ADF，∠CBD=∠ADB，∠ADF=∠ADB 可知∠EBC=∠CBD，∴BC平分∠DBE．

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131 數(shù)學(xué)加分寶7.（市北期末）如圖，已知：點 A、B、C 在一條直線上．

（1）請從三個論斷①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E 中，選兩個作為條件，另一個作為結(jié)論構(gòu)成一個真命題:條件：_ ②③___； 結(jié)論：__①___．

（2）證明你所構(gòu)建的是真命題．

8．（李滄期末）如圖，直線 1

l ， 2

l 均被直線 3

l ， 4

l 所截，且 3

l 與 4

l 相交，給定以下三個條件：① 1 3

l ? l ；②∠1=∠2；③∠2+∠3=90o．

請從這三個條件中選擇兩個作為條件，另一個作為結(jié)論組成一個真命題，并進行證明．【答案】已知：① ②

求證：③

證明：∵∠1=∠2，∴l(xiāng)1∥l2，∵l1⊥l3，∴l(xiāng)2⊥l3，∴∠3+∠4=90°，∵∠4=∠2，∴∠2+∠3=90°．9.（市南期末）如圖，已知 BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3=180°. （1）請你判斷∠1 與∠ABD 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）若∠1=70°，BC 平分∠ABD，試求∠ACF 的度數(shù). 【答案】（1）∠1=∠ABD，證明略；（2）∠ACF=55°.

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132 數(shù)學(xué)加分寶10.（市南期末）已知：如圖，線段 AC 和 BD 相交于點 O，E 是 CD 上一點，F(xiàn) 是OD 上一點，F(xiàn)E∥OC，且∠1＝∠A．（1）求證：AB∥DC；（2）若∠B＝30°，∠1＝65°，求∠OFE 的度數(shù)．【答案】（1）∵EF//CO，∴∠1=∠C，又∵∠1=∠A，∴∠A=∠C，∴AB//CD （2）95°

11.（局屬期末）已知：如圖，點C 在∠ AOB 的一邊OA上，過點C的直線 DE∥OB,CF平分?ACD .CG ? CF 于 C. （1）若?O ? 40?，求?ECF 的度數(shù).（2）求證：CG平分?OCD. （3）當∠O 為多少度時，CD平分?OCF.并說明理由.

【答案】（1）110° （2）略 （3）∠O=60°

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133 數(shù)學(xué)加分寶題組 2 外角的性質(zhì)

1.（市南期末）如圖，下列說法中是錯誤的（ D ）

A．?HEC ? ?B B．?B ? ?ACB?180? ??AC．?B ? ?ACB ?180? D． ?B ? ?ACD2.如圖，∠A，∠DOE，∠BEC 的大小關(guān)系是（ B ）

A.∠A＞∠DOE＞∠BEC B.∠DOE＞∠BEC＞∠A C.∠DOE＞∠A＞∠BEC D.∠BEC＞∠DOE＞∠A3.如圖，∠1=45°，∠3=105°，則∠2= 60° .

4. 如圖，在△ABC 中，∠ACB=90°，沿 CD 折疊△CBD，使點 B 恰好落在邊AC 上點E 處，若∠A＝25°，則∠ADE 40°

5.如圖，在四邊形 ABCD 中，∠A 與∠DCB 互補，E 為 BC 延長線上的點，且，∠1＋∠2＋∠DCE=224°，則∠A 的度數(shù)是____112°____．

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134 數(shù)學(xué)加分寶6.（李滄期末）如圖， AB ? BC ? CD ? DE ? EF ? FG ，∠1=130°,則∠A= 10 度.

7.如圖，△ABC 中，∠A=65°，點 D 在邊 AC 上，連接 BD，作∠DCE=∠ABD=30°，則∠BEC=125°.

8.（市南期末）如圖，AB∥CD，點 P 為 CD 上一點，∠EBA、∠EPC 的角平分線于點F，已知∠F=40°，則∠E= 80 度．

9.（李滄期末）如圖，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD 分別平分△ABC 的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF.以下結(jié)論：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°－∠ABD；④BD 平分∠ADC；⑤∠BDC＝

2

1

∠BAC.其中正確的結(jié)論有①②③⑤.（把正確的結(jié)論序號填寫在橫線上）

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135 數(shù)學(xué)加分寶第 16 周秋季講義題組 1 外角型探究

1.如圖，在綠茵場上，足球隊員帶球進攻，總是盡力向球門 AB 沖近. （1）在 D 點的射門角度∠ADB 與 C 點的射門角度∠ACB 哪個大？請說明理由【答案】∠ADB>∠ACB

（2）若測得∠1=30°，∠2=20°，∠ACB=50°，請計算出球員在 D 點射門的角度∠ADB 是多少度？【答案】100° （3）通過上面的計算，你能得到關(guān)于∠1、∠2、∠ACB 與∠ADB 四個角之間的等量關(guān)系嗎？直接寫出這個結(jié)論.并利用這個結(jié)論，計算五角星中五個角∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的和. 【答案】∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° （4）請寫出圖中六個角∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F 之間的一個等量關(guān)系，并利用（3）中的結(jié)論進行證明. 【答案】∠D+∠F=∠A+∠B+∠C+∠E

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136 數(shù)學(xué)加分寶2. （市北期末）如圖，將一張三角形的紙片 ?ABC ，分別進行以下操作和探究：（1）如圖 1，將 ?ABC 沿直線 DE 折疊，使點 A 落在 AC 上的 A' 處，?BDA' 與?A有怎樣的度數(shù)關(guān)系?說明理由；

（2）若按照圖 2 所示折疊，那么?BDA' ，?CEA'和?A 有怎樣的度數(shù)關(guān)系?說明理由；（3）若按照圖 3 所示折疊，則 ?BDA' ，?CEA'和?A 的度數(shù)關(guān)系是_________.（填空即可，無需說明理由）

（4）如圖④，將四邊形 ABCD 紙 片沿 EF 折疊，使點 B 落在四邊形 EFCD 的內(nèi)部時，∠DEA′+∠CFB′與∠A、∠B 之間的數(shù)量關(guān)系是___________．（直接寫出結(jié)論）

【答案】(1) ?BDA' 與 ?A 的關(guān)系為： ?BDA'? 2?A

證明：∵ ?BDA' 是 ?ADA'的外角

∴?BDA'? ?A? ?DEA' ∵ ?ADE 沿直線 DE 折疊，點 A 落在 A' 處

∴?A ? ?DA'E

∴?BDA'? 2?A

(2) ?BDA' ，?CEA'與?A 的關(guān)系為： ?BDA'??CEA'? 2?A

證明： 連接 AA' ∵ ?BDA' 是 ?ADA'的外角

∴?BDA'? ?DAA'?DA' A

∵ ?CEA'是 ?AEA' 的外角

∴?CEA'? ?EAA'??EA' A

∴?BDA'??CEA'? ?DAA'?DA' A? ?EAA'??EA' A ? ?DAE ? ?DA'E∵ ?ADE 沿直線 DE 折疊，點 A 落在 A' 處

∴?DAE =?DA'E

∴?BDA'??CEA'? 2?A

(3) ?BDA' ，?CEA'與?A 的關(guān)系為： ?BDA'??CEA'? 2?A

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137 數(shù)學(xué)加分寶2.(1)如圖 1,把△ABC 沿 DE 折疊,使點 A 落在點 A'處,請直接寫出∠1＋∠2 與的∠A 的關(guān)系:

?1? ?2 ? 2?A . (2)如圖 2,把△ABC 分別沿 DE、FG 折疊,使點 A 落在點 A'處,使點 B 落在點 B'處,若∠1＋∠2＋∠3＋∠4=220°則∠C= 70° . (3) 如圖 3,在銳角△ABC 中, BM ? AC于點M ,CN ? AB 于點 N,BM、CN 交于點H,把△ABC沿DE折疊使點 A 和點 H 重合,則?BHC與?1? ?2 的關(guān)系是 ?1? ?2 ? 360?- 2?BHC.請說明理由. (4)如圖 4,BH 平分?ABC ,CH 平分?ACB ,把△ABC 沿 DE 折疊,使點 A 與點H 重合,若?1??2?100?，求?BHC 的度數(shù). 【答案】（4）115°

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138 數(shù)學(xué)加分寶題組 2 角平分線型探究

1.（局屬期末）已知△ ABC 中，∠ ABC 的 n等分線與?ACB的n 等分線分別相交于1 2 3 1, , .... GGGGn?，試猜想：?BGn?1C 與∠ A 的關(guān)系.（其中 n是不小于2的整數(shù)）

首先得到：當 A; 2

1

2 1 90 n ? 時，如圖 ，?BG1C ? ? ? ? 如圖 2，?BGC?? ??A32602

.....如圖3，猜想. 180 1

1 A

n

n

n

BGn C ?

? ? ? ? ?

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139 數(shù)學(xué)加分寶2.（市南期末）認真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成提出的問題.探 究 1: 如 圖 1, 在 ?ABC 中 , O 是 ?ABC 與 ?ACB 的 平 分 線 BO和CO的交點. 通過分析發(fā)現(xiàn)?BOC ? ? ? ?A

2

1

90 .理由如下：

∵ BO 和CO 分別是?ABC 和?ACB 的平分線

∴? ? ?ABC

2

1

1 ,? ? ?ACB

2

1

2

∴? ? ? ? ??ABC ? ?ACB? 2

1

1 2

∵?ABC ? ?ACB ?180? ? ?A

∴? ? ? ? ??ABC ? ?ACB? ? ? ? ? ?A? ? ? ? ?A

2

1

180 90

2

1

2

1

1 2

∴ BOC ? ? A? ? ? ? ?A

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2

1

90

2

1

180 1 2 180 90

(1)探究 2：如圖 2，O 是外角 ?DBC 與外角 ?ECB 的平分線 BO和CO的交點，則?BOC與?A有怎樣的關(guān)系?請說明理由. ?BOC ? ? ? ?A

2

1

90

(2)探究 3：如圖 3 中，O 是?ABC 與外角?ACD 的平分線 BO和CO的交點,試分析?BOC與?A有怎樣的關(guān)系? ?BOC ? ?A

2

1

(直接寫出結(jié)論)

(3)拓展：如圖 4,在四邊形 ABCD 中, O 是 ?ABC 與 ?DCB 的平分線 BO和CO的交點，則?BOC與?A? ?D 有怎樣的關(guān)系? ?BOC ? ??A? ?D? 2

1

.(直接寫出結(jié)論)

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140 數(shù)學(xué)加分寶3.（市北期末）如圖 1，在△ABC 中，點 P 是內(nèi)角∠ABC 和外角∠ACD 的角平分線的交點，猜想∠P和∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.猜想：?P ? ?A

2

1

證明：∵點 P 是內(nèi)角∠ABC 和外角∠ACD 的角平分線交點

∴?PBC ? ?ABC ?PCD ? ?ACD

2

1

2

1 ，

∵∠ACD 是△ABC 的外角

∴∠ACD=∠A+∠ABC

∴ ?ACD ? ?A? ?ABC

2

1

2

1

2

1

∴?PCD ? ?A? ?PBC

2

1

∵∠PCD 是△PBC 的外角

∴∠PCD=∠P+∠PBC

∴?P ? ?A

2

1

【遷移拓展】

如 圖 2 ， 在 △ABC 中 ， 點 P 是 內(nèi) 角 ∠ABC 和 外 角 ∠ACD 的n 等分線的交點，即ACD

n

ABC PCD

n

?PBC ? ? ? ? ?

1

, 1 ，試猜想∠P 與∠A 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.猜想： A

n

?P ? ?

1

證明：

∵∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC

∴ ABC

n

A

n

ACD

n

? ? ? ? ?

1 1 1

∴ A PBC

n

?PCD ? ? ? ?1

∵∠PCD 是△PBC 的外角 ∴∠PCD=∠P+∠PBC ∴ An

?P ? ?1

【應(yīng)用創(chuàng)新】

已知，如圖 3，AD，BE 相交與點 C，∠ABC、∠CDE、∠ACE 的角平分線相交與點P，∠A=35°，∠E=25°，則∠BPD=____30°_____.

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141 數(shù)學(xué)加分寶4.（李滄期末）

問題探究一：

（1）已知：如圖①，在 ?ABC 中，?A ? 60?，BP、CP 分別平分 ?ABC和?ACB,則?BPC的度數(shù)=120?. （2）問題提出：三角形的一個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？結(jié)合圖①猜想：?P 與?A 的數(shù)量關(guān)系是?P ? ? ? ?A

2

1

90 ，并說明理由.問題探究二：

（1）已知：如圖②，?DBC 與?ECB 分別是△ABC 的兩個外角，且?DBC??ECB?210?，則?A的度數(shù)=___30°___.問題提出：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，那么三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系？結(jié)合圖②猜想： ?DBC??ECB與?A的數(shù)量關(guān)系是?DBC ? ?ECB ?180? ? ?A，并說明理由.拓展與應(yīng)用

（1）如圖③，在四邊形 ABCD 中，DP、CP 分別平分?ABC和?BCD,?A??B?230?，則?P?_115°. （2）如圖④， 四邊形 ABCD 中，?F 為四邊形 ABCD 的?ABC的角平分線及外角?DCE的平分線所在的直線構(gòu)成的銳角，若設(shè)?A ??,?D ? ? ，則 ?F ?

2

? ? ? ?180?

.（用?，?表示）（3）如圖⑤，BI 平分?ABC ，CI 平分∠ACB，把△ABC 折疊，使點 A 與點I 重合，若?1??2?130?，則?BIC ? 122.5?.

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142 數(shù)學(xué)加分寶5.（市南期末）已知△ABC，D 為△ABC 所在平面上一點，BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD，（1）若 D 點是△ABC 中 BC 邊上一點，如圖 1 所示，判斷∠P、∠A 之間存在怎樣的等量關(guān)系？并證明你的結(jié)論. （2）若 D 點是△ABC 中 AB 邊上一點，如圖 2 所示，判斷∠BDC、∠BPC、∠A 之間存在怎樣的等量關(guān)系？并證明你的結(jié)論. （3）若 D 點是△ABC 外任一點，如圖 3 所示，判斷∠D、∠P、∠A 之間存在怎樣的等量關(guān)系？并證明你的結(jié)論. （4）若 D 點是△ABC 內(nèi)一點，如圖 4 所示，判斷∠D、∠P、∠A 之間存在怎樣的等量關(guān)系？（直接寫出結(jié)論，不需要證明）

（1）結(jié)論：∠P=90

0+ ∠A，證明∵BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD，∴∠PBD= ∠ABD，∠PCD=∠ACD，又∵∠ABD+∠ACD=180

0－∠A，∠P=180

0－（∠PBD+∠ACD），

∴∠P=180

0－（ ∠ABD+ ∠ACD）=180

0－ （180

0－∠A），∴∠P=90

0+ ∠A…………………3分（2）結(jié)論 2∠BPC =∠BDC+∠BAC

證明∵CP 平分∠ACD，∴∠PCA=∠PCD，又∵∠BDC=∠BPC+∠PCD，∠BPC=∠PAC+∠PCA∴2∠BPC =∠BDC+∠BAC…………………6 分

（3）2∠BPC =∠BDC+∠BAC

∵BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD，∴∠PBA=∠PBD，∠PCA=∠PCD，

又∵∠PED=∠PBD+∠D，∠PED=∠PCD+∠P，∴∠PBD+∠D =∠PCD+∠P

又∵∠PFC=∠PCA+∠A, ∠PFC=∠PBA+∠P，∴∠PCA+∠A =∠PBA+∠P

∴2∠P=∠D+∠A…………………9 分

（4）2∠P =∠D+∠A…………………12 分

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143 數(shù)學(xué)加分寶題組 3 “8”字型探究

1．如圖 1，AD，BC 交于 O 點，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是 180°”，不難得出兩個三角形中的角存在以下關(guān)系：①∠DOC=∠AOB ②∠D+∠C=∠A+∠B．

〖提出問題〗

分別作出∠BAD 和∠BCD 的平分線，兩條角平分線交于點 E，如圖（2），∠E 與∠D、∠B之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？

〖解決問題〗

為了解決上面的問題，我們先從幾個特殊情況開始探究.已知∠BAD 的平分線與∠BCD 的平分線交于點 E. （1）如圖（3），若 AB∥CD，∠D=30°，∠B=40°，則∠E= 35° ；

（2）如圖（4），若 AB 不平行 CD，∠D=30°，∠B=50°，則∠E 的度數(shù)是多少呢？小明是這樣思考的，請你幫他完成推理過程：

易證∠D+∠1＝∠E+∠3， ∠B+∠4＝∠E+∠2，

∴ ∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2，

∵ CE、AE 分別是∠BCD、∠BAD 的平分線，

∴ ∠1＝∠2， ∠3＝∠4. ∴ 2∠E＝ ∠D+∠B _，

又∵ ∠D=30°，∠B=50°，

∴ ∠E＝___40___度. （3）在總結(jié)前兩問的基礎(chǔ)上，借助圖（2）， 直接寫出∠E 與∠D、∠B 之間的數(shù)量關(guān)系是：_∠E＝∠D+∠B. 〖類比應(yīng)用〗

如圖（5），∠BAD 的平分線 AE 與∠BCD 的平分線 CE 交于點 E．

已知：∠D＝m°、∠B=n°，（m＜n）求：∠E 的度數(shù)．

解：延長 BC 交 AD 于點 F，

∵∠BFD=∠B+∠BAD，∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，

∵CE 平分∠BCD，AE 平分∠BAD

∴∠ECD=∠ECB=

1

2

∠BCD，∠EAD=∠EAB=

1

2

∠BAD，

∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，

∴∠E=∠B+∠EAB－∠ECB=∠B+∠BAE－

1

2

∠BCD=∠B+∠BAE－

1

2

（∠B+∠BAD+∠D）=

1

2

（∠B－∠D），即∠AEC=

1

2

（m－n）

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144 數(shù)學(xué)加分寶3.（局屬期末）【問題背景】

（1）如圖 1 的圖形我們把它稱為“8 字形”，請說理證明∠A+∠B=∠C+∠D

【簡單應(yīng)用】

（2）如圖 2，AP、CP 分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°求∠P 的度數(shù)(可直接使用問題（1）中的結(jié)論)

【問題探究】

（3）如圖 3，直線 AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P 的度數(shù)為______. 【拓展延伸】

（4）在圖 4 中，若設(shè)∠C= x ，∠B= y ，∠CAP= 3

1 ∠CAB，∠CDP= 3

1 ∠CDB，試問∠P 與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為__________________(用 x 、 y 表示∠P)

（5）在圖 5 中，AP 平分∠BAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，猜想∠P 與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論_________________________.

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145 數(shù)學(xué)加分寶3.（市南期末）直線 MN 與直線 PQ 垂直相交于 O，點 A 在直線 PQ 上運動，點B 在直線MN上運動. （1）如圖 1，已知 AE、BE 分別是∠BAO 和∠ABO 的角平分線，點 A、B 在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AEB 的度數(shù). （2）如圖 2，已知 AB 不平行 CD，AD、BC 分別是∠BAP 和∠ABM 的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD 的角平分線，點 A、B 在運動的過程中，∠CED 的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值. （3）如圖 3，延長 BA 至 G，已知∠BAO、∠OAG 的角平分線與∠BOQ 的角平分線所在直線相交于E、F，在 ?AEF 中，如果有一個角是另一個角的 3 倍，試求 ?ABO 的度數(shù). 【答案】解：（1）不變，135°（2）67.5° （3）45°或 60°

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146 數(shù)學(xué)加分寶4（. 1）如圖 1 的圖形我們把它稱為“8 字形”，則∠A，∠B，∠C，∠D 四個角的數(shù)量關(guān)系是∠A+∠B=∠C+∠D；（2）如圖 2，若∠BCD，∠ADE 的角平分線 CP，DP 交于點 P，求∠P 與∠A，∠B 之間的數(shù)量關(guān)系；【答案】2∠P=180°－∠A－∠B

（3）如圖 3，CM，DN 分別平分∠BCD，∠ADE.當∠A+∠B=80°時，試求∠M+∠N 的度數(shù)（提醒：解決此問題可以直接利用上述結(jié)論）；

【答案】230° （4）如圖 4，如果 ?MCD ? ?BCD

3

1 ， ADE

3

1 ?NDE ? ?，當 ?A? ?B?n? 時，直接寫出∠M+∠N的度數(shù)為

3

240

n

? ? .（結(jié)果用 n 表示）