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李老師專用教案（精品原創(chuàng)） 微信：15192086110抖音：866460001
101 數(shù)學(xué)加分寶題組 3 里程碑上的數(shù)
1.有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字之和是 8，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互換后，新數(shù)比原數(shù)小18，求原數(shù)分析：設(shè)原來(lái)個(gè)位數(shù)字為 x，十位數(shù)字為 y,則原數(shù)表示為10y ? x ,新數(shù)表示為10x ?y可得方程組為?
?
?
? ? ? ?
? ?
x y y x
x y
10 18 10
8
【答案】53
2.兩個(gè)兩位數(shù)的和是 68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù).已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，求這兩個(gè)兩位數(shù). 【答案】大數(shù)：45 小數(shù)：23
?
?
?
? ? ? ?
? ?
100 100 2178
68
x y y x
x y
3.一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的 3 倍，結(jié)果是 23，這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是 1.這個(gè)兩位數(shù)是多少？
【答案】56
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
10 5( ) 1
10 3( ) 23
x y x y
x y x y
4.一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大 2，若把個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，則新數(shù)比原數(shù)的2 倍少17，求原來(lái)的兩位數(shù). 【答案】35
?
?
?
? ? ? ?
? ?
x y y x
x y
2(10 ) 17 10
2
5.（黃島期末）通訊員要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)到達(dá)某地，他每小時(shí)走 15 千米，則可提前24 分鐘到達(dá)某地；如果每小時(shí)走 12 千米，則要遲到 15 分鐘.設(shè)通訊員到達(dá)某地的路程是 x 千米，原定的時(shí)間為y 小時(shí)，則可列方程組為（ D ）
A. ??
?
?
?
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y
x
y
x
15
12
24
12
B. ??
?
?
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y
x
y
x
15
12
24
15
C. ??
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y
x
y
x
60
15
12
60
24
15
D. ?????????yxyx601512602415
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102 數(shù)學(xué)加分寶6.A、B 兩地相距 80km,一艘船從 A 出發(fā)，順?biāo)叫?4h 到 B，而從 B 出發(fā)逆水航行5h 到A，已知船順?biāo)叫小⒛嫠叫械乃俣确謩e是船在靜水中的速度與水流速度的和與差，求船在靜水中的速度和水流速度. 【答案】靜水中的速度：18 水流速度：2
7.甲、乙兩人從同一地點(diǎn)出發(fā)，同向而行.甲乘車，乙步行.若讓乙先走 20 千米，則甲用1 小時(shí)能追上乙；若讓乙先走 1 小時(shí)，則甲只需要 15 分鐘便可追上乙，求甲、乙的速度. 【答案】甲：25 乙：5
8.甲乙兩人的月收入之比為 5：4，月支出之比為 3：2，一個(gè)月兩人各余 1500 元，求這兩個(gè)人的月收入分別是多少元？
【答案】甲：3750 乙：3000
9.小明為了測(cè)得火車的長(zhǎng)度和火車過(guò)橋的速度，在一鐵路旁觀察到火車從開(kāi)始上橋到完全過(guò)橋共用1分鐘，整列火車完全在橋上的時(shí)間是 40 秒，已知橋長(zhǎng) 1000 米，你能根據(jù)小明獲得的數(shù)據(jù)求出火車的長(zhǎng)度和速度嗎？
【答案】火車的長(zhǎng)度：200 速度：20
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103 數(shù)學(xué)加分寶隨堂檢測(cè)1.有一個(gè)兩位數(shù),它的兩個(gè)數(shù)字之和為 11,把這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào),所得的新數(shù)比原數(shù)大63,設(shè)原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為 x,十位數(shù)字為 y,則用代數(shù)式表示原兩位數(shù)為10y ?x ,根據(jù)題意得方程組?
?
?
? ? ? ?
? ?
x y y x
x y
10 63 10
11
. 2.甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)，若把甲數(shù)放在乙數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)是乙數(shù)的 201 倍，若把乙數(shù)放在甲數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)比上面的四位數(shù)小 1188，求這兩個(gè)數(shù).如果設(shè)甲數(shù)為 x,乙數(shù)為 y,則根據(jù)題意可得的方程組是?
?
?
? ? ?
? ?
100 201 1188
100 201
y x y
x y y
. 3.有一個(gè)兩位數(shù)和一個(gè)一位數(shù)，如果在這個(gè)一位數(shù)后面多寫一個(gè) 0，則它與這個(gè)兩位數(shù)的和是130，如果用這個(gè)兩位數(shù)除以這個(gè)一位數(shù)，則商 6 余 2，那么這個(gè)兩位數(shù)和一位數(shù)分別是多少？【答案】?jī)晌粩?shù)：50 一位數(shù)：8
4.從甲地到乙地，需先走下坡路后走平路，某人騎自行車先以 20km/h 的速度走下坡路，又以15km/h的速度通過(guò)平路，到達(dá)乙地時(shí)共用了 1 小時(shí) 6 分鐘，他回來(lái)時(shí)先以 12km/h 的速度通過(guò)平路，又以8km/h的速度走上坡路，回到甲地時(shí)共用了 1 小時(shí) 30 分，問(wèn)甲乙兩地相距多少千米？
【答案】平路 15，坡路 2 相距 17 千米.
5.小瑩家離學(xué)校 1880m,其中有一段是上坡路，另一段是下坡路，她跑步去學(xué)校用了16min,已知小瑩在上坡路上的平均速度是 4.8km/h,在下坡路上的平均速度是 12km/h，小瑩上坡、下坡各用了多少時(shí)間？【答案】上坡：11 分鐘 下坡：5 分鐘
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104 數(shù)學(xué)加分寶6.甲、乙兩人在一條長(zhǎng) 400 米的環(huán)形跑道上跑步，若同向跑步，則每隔 200 秒相遇一次，若反向跑步，則每隔 40 秒相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙兩人的速度. 【答案】甲：6 乙：4
7.（市南期末）某景點(diǎn)的門票價(jià)格如表：
某校七年級(jí)（1）、（2）兩班計(jì)劃去游覽該景點(diǎn)，其中（1）班人數(shù)少于 50 人，（2）班人數(shù)多于50人且少于 100 人，如果兩班都以班為單位單獨(dú)購(gòu)票，則一共支付 1118 元；如果兩班聯(lián)合起來(lái)作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票，則只需花費(fèi) 816 元．
（1）兩個(gè)班各有多少名學(xué)生？
（2）團(tuán)體購(gòu)票與單獨(dú)購(gòu)票相比較，兩個(gè)班各節(jié)約了多少錢？
【答案】（1）（1）班人數(shù)：49 （2）班人數(shù) 53
（2）（1）班節(jié)省 196 （2）班節(jié)省 106. 8.客車和貨車分別在兩條平行的鐵軌上行駛，客車長(zhǎng) 150 米，貨車長(zhǎng) 250 米，如果兩車相向而行，那么從兩車車頭相遇到車尾離開(kāi)共需 10 秒；如果客車從后面追貨車，那么客車車頭追貨車車尾到客車車尾離開(kāi)貨車車頭共需 1 分 40 秒，求兩車的速度
【答案】客車速度：22 貨車速度：18
9.甲、乙兩人同時(shí)從相距 28km 的兩地相向而行，經(jīng)過(guò) 3h30min 相遇，若乙先出發(fā)2h，甲再出發(fā)，這樣再經(jīng)過(guò) 2h45min 兩人相遇，求甲乙兩人的速度. 【答案】甲：3 乙：5
購(gòu)票人數(shù)/人 1-50 51-100 100 以上
每人門票價(jià)/元 12 10 8
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105 數(shù)學(xué)加分寶八上第 12 周秋季講義5.6 二元一次方程與一次函數(shù)關(guān)系 5.7 求一次函數(shù)表達(dá)式題組 1 點(diǎn)與解的關(guān)系
1.二元一次方程 2x+y=3 有_無(wú)數(shù)__個(gè)解，以它的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)y ??2x?3的圖象上. 2.以二元一次方程 2x ? y ?1的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù) y ? 2x ?1 的圖象上，以二元一次方程3x ? 2y ? 4 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù) 2
2
3
y ? ? x ? 的圖象上.這兩個(gè)方程的共同解在這兩個(gè)一次函數(shù)的__交點(diǎn)__上.題組 2 交點(diǎn)
從圖形的角度看，確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，相當(dāng)于求相應(yīng)的二元一次方程組的解；解一個(gè)二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo). 1.已知直線l : y ? ?3x ? b 1 與直線 : 1 l2 y ? ?kx ? 交于點(diǎn)（1，－2），那么方程組???????13kx yx yb的解是（A）A. ?
?
? ? ?
?
2
1
y
x
B. ?
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2
1
y
x
C. ?
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2
1
y
x
D. ?
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2
1
y
x
2.直線 : 4 l1 y ? x ? 與直線 3
3
4
: l2 y ? ? x ? 相交于點(diǎn)（3，－1），則方程組??
?
?
?
????4943222yx
x y的解是（A）A. ?
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1
3
y
x
B. ?
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3
1
y
x
C. ?
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3
1
y
x
D. ?
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?
1
3
y
x
3.已知直線 y=2x 與 y= －x+b 的交點(diǎn)為（－1，a），則方程組
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?
?
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x y b
2x y 0
的解為（D ）A. ?
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2
1
y
x
B. ?
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1
y
x
C. ?
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2
1
y
x
D. ?
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2
1
y
x
4.如圖，直線 : 2 l1 y ? x ? 與直線相交于點(diǎn) P（m，4），則方程組
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? ? ?? ?y kx b
y x 2
的解是?????42yx.
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106 數(shù)學(xué)加分寶5.已知
?
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3
2
y
x
是方程組
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2
2
5
x
y
x y
的解，一次函數(shù) x ? y ? 5 和 2
2 ? ?
x
y 的交點(diǎn)是（2,3）. 6.方程組
?
?
?
? ?
? ?
12
2 0
x y
y x
的解為
?
?
? ?
?
8
4
y
x ，則一次函數(shù) y ? 2x 和 y ?12 ? x 圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（4,8）. 7.表 1、表 2 分別給出了兩條直線 1 1 1
l : y ? k x ? b 與 2 2 2
l : y ? k x ? b 上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x 和縱坐標(biāo)y 的對(duì)應(yīng)值.則方程組
?
?
? ? ?
? ?
2 2
1 1
y k x b
y k x b
的解是
?
?
? ? ?
? ?
3
2
y
x
.表 1 表2
8.若
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?
?
? ?
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2 2 3
2
x y
x y 沒(méi)有解，則函數(shù) y ? 2 ? x 與 y ? ? x
2
3 的圖象必定（ B ）A.重合 B.平行 C.相交 D.無(wú)法確定9.無(wú)論 m 取何數(shù)，直線 y=x+3m 與 y=－x+1 的交點(diǎn)不可能在第__三___象限. 10.一次函數(shù) y=7－4x 和 y=1－x 的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是_（2，－1）__,則方程組?
?
?
????147x y
x y的解為??????12yx__. 11.如圖，已知兩條直線 1 2
l ,l 的交點(diǎn)可看作是某方程組的解，則這個(gè)方程組為????????234323y xy x.
x －4 －3 －2 －1
y －9 －6 －3 0
x －4 －3 －2 －1
y －1 －2 －3 －4
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107 數(shù)學(xué)加分寶12.如圖，點(diǎn) A 的坐標(biāo)可以看成是方程組
?
?
? ? ? ?
? ?
5
2 1
y x
y x
的解.
13.已知直線 1l :y= 1 1 2 2 2 k x ? b 和直線l : y ? k x ? b
（1）當(dāng)_ 1 2 k ? k __時(shí)， 1l 與 2l 相交于一點(diǎn). （2）當(dāng)_ 1 2 1 2 k ? k ,b ? b __時(shí)， 1 2
l ∥l ,此時(shí)方程組__.
2 2
1 1 的解的情況是無(wú)解?
?
? ? ?
? ?
y k x b
y k x b
（3）當(dāng) 1 2 1 2 k ? k ,b ? b _時(shí)，l1與l2重合，此時(shí)方程組?
?
? ? ?
? ?
2 2
1 1 y k x b
y k x b
的解的情況是無(wú)數(shù)個(gè)解
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108 數(shù)學(xué)加分寶題組 3 應(yīng)用題中求函數(shù)關(guān)系式
1.（局屬期末）甲、乙兩人約好步行沿同一路線同一方向在某景點(diǎn)集合，已知甲乙二人相距660 米，二人同時(shí)出發(fā)，走了 24 分鐘時(shí)，由于乙距離景點(diǎn)近，先到達(dá)等待甲，甲共走了 30 分鐘也到達(dá)了景點(diǎn)與乙相遇.在整個(gè)行走過(guò)程中，甲乙兩人均保持各自的速度勻速行走，甲乙兩人相距的路程y（米）與甲出發(fā)的時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ D ）
A.甲的速度是 70 米/分 B.乙的速度是 60 米/分
C.甲距離景點(diǎn) 2100 米 D.乙距離景點(diǎn) 420 米
2.（市北期末）小明從家騎自行車出發(fā)，沿一條直路到相距 2400 m的郵局辦事，小明出發(fā)的同時(shí)，他的爸爸以 96 m/ min 速度從郵局同一條道路步行回家，小明在郵局停留 2min 后沿原路以原速返回.設(shè)他們出發(fā)后經(jīng)過(guò)t min 時(shí)，小明與家之間的距離為 1 S（m），小明爸爸與家之間的距高為2 S（m），圖中折線OABD.線段 EF 分別表示 1 2 S , S 與t 之間的函數(shù)關(guān)系的圖象：
（1）求 2 S 與t 之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）小明從家出發(fā)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間在返回途中追上爸爸？這時(shí)他們距離家還有多遠(yuǎn)？【答案】 1 S 2400 96t （） 2 ? ? （2）20，480
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109 數(shù)學(xué)加分寶3.（嶗山期末）甲、乙兩車從 A 城出發(fā)沿一條筆直公路勻速行駛至 B 城，在整個(gè)行駛過(guò)程中，甲、乙兩車離開(kāi) A 城的距離 y（km）與甲車行駛的時(shí)間 t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示. （1）A、B 兩城相距 300 千米，乙車比甲車早到 1 小時(shí). （2）甲車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與乙車相遇？
（3）若兩車相距不超過(guò) 20 千米時(shí)可以通過(guò)無(wú)線電互相通話，則兩車都在行駛過(guò)程中可以通過(guò)無(wú)線電通話的時(shí)間有多長(zhǎng)？
【答案】（2）2.5 （3）3－2=1
4.（市南期末）學(xué)農(nóng)期間，甲、乙兩班參加了植樹活動(dòng).乙班先植樹 30 棵，然后甲班才開(kāi)始與乙班一起植樹.設(shè)甲班植樹的總量為 y甲 （棵），乙班植樹的總量為 y乙 （棵）， y甲 、 y乙與甲班植樹的時(shí)間x（時(shí)）之間的部分函數(shù)圖象如圖所示：
（1）當(dāng) 0 ? x ? 6時(shí)，分別求 y甲 、 y乙 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若甲班植樹 6 個(gè)小時(shí)后，該班仍保持原來(lái)的工作效率，乙班則通過(guò)增加人數(shù)提高了工作效率，這樣又植樹 2 小時(shí)后，兩班植樹的總量相差 20 棵，求乙班增加人數(shù)后平均每小時(shí)植樹多少棵？【答案】（1） y ? 20x, y ?10x ? 30 甲 乙 （2）25 或 45
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110 數(shù)學(xué)加分寶5.（市南期末）某景區(qū)門票價(jià)格 80 元/人.景區(qū)為吸引游客，對(duì)門票價(jià)格進(jìn)行動(dòng)態(tài)管理，非節(jié)假日打a折；節(jié)假日期間，10 人以下（包括 10 人）不打折，10 人以上超過(guò) 10 人的部分打b 折.設(shè)游客為x人，門票費(fèi)用為y 元，非節(jié)假日門票費(fèi)用 1y （元）及節(jié)假日門票費(fèi)用 2 y （元）與游客 x （人）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示. （1） a ? __6___ ，b ? __8___ . （2）直接寫出 1y 、 2 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式. （3）導(dǎo)游小王 6 月 10 日（非節(jié)假日）帶 A 旅游團(tuán)，6 月 20 日（端午節(jié)）帶B 旅游團(tuán)到該景區(qū)旅游，兩團(tuán)共計(jì) 50 人，兩次共付門票費(fèi)用 3040 元，求 A、B 兩個(gè)旅游團(tuán)各多少人？
【答案】（2）
?
?
?
? ?
? ?
? ?
64 160( 10)
80 (0 10) 48 1 2 x x
x x
y x y （3）A：20 人 B：30 人6.（市南期末）甲、乙兩車從 A 地出發(fā)，勻速駛往 B 地，乙車出發(fā) 1 h 后，甲車才沿相同的路線開(kāi)始行駛.甲車先到達(dá) B 地并停留 30 分鐘后，又以原速按原路線返回，直至與乙車相遇，圖中的折線段表示從開(kāi)始到相遇止，兩車之間的距離 y（km ）與甲車行駛的時(shí)間 x（h）的函數(shù)關(guān)系的圖象，則其中正確的序號(hào)是①③④. ①甲車的速度是 100 km/ h ；②A，B 兩地的距離是 360 km ；③乙車出發(fā) 4.5 h時(shí)甲車到達(dá)B地；④甲車出發(fā)
16
5
4 h最終與乙車相遇.
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111 數(shù)學(xué)加分寶A
1
l
P
B
2
l
y
O x
題組 4 純函數(shù)中求函數(shù)關(guān)系式
1.（市北期末）已知,直線l : y 3x 2k 1 ? ? 與直線l : y ? x ? k 2 交點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為5,直線1
l 與直線2l與y軸分別交于 A. B 兩點(diǎn). （1）求出 P 的橫坐標(biāo)及 k 的值； 【答案】3；2
（2）求△PAB 的面積. 【答案】9
（3）點(diǎn) M 為直線 1
l 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MAB 的面積與△PAB 的面積之比為 2：3 時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)（2,2）或（－2，－10）.
2.（市北期末）如圖，直線 y ? kx ? 6與 x 軸 y 軸分別相交于點(diǎn) E，F(xiàn)，點(diǎn) E 的坐標(biāo)(8，0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）.點(diǎn) P（x，y）是第一象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P 不與點(diǎn) E，F(xiàn) 重合）. （1）求 k 的值；【答案】
4
3 ?
（2）在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求出△OPA 的面積 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；【答案】1849S??x?（3）若△OPA 的面積為
8
27 ，求此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo). 【答案】P（
8
9
2
13，）
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112 數(shù)學(xué)加分寶3.（市南期末）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 4
3
4
y ? ? x ? 交 x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，直線CD 交 x 軸、 y 軸分別于點(diǎn) D、點(diǎn) C，交直線 AB 于點(diǎn) E（點(diǎn) E 不與點(diǎn) B 重合），且△AOB≌△COD. （1）求直線 CD 的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖②，連接 OE，過(guò)點(diǎn) O 作 OF⊥OE 交直線 CD 于點(diǎn) F
①求證：OE=OF；②直接寫出點(diǎn) F 的坐標(biāo). （3）若點(diǎn) P 是直線 CD 上一點(diǎn)，點(diǎn) Q 是 x 軸上一點(diǎn)（點(diǎn) Q 不與點(diǎn) O 重合），當(dāng)△DPQ和△COD全等時(shí)，直接寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo). 【答案】（1）直線 CD 的解析式為 3
4
3
y ? x ? （2）①△BOE≌△DOF 可得OE=OF ②F( 2584?, 2512)
（3）點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( 5
36 ? ,? 5
12
)、(?8,?3)、(? 5
4
, 5
12
)
4.（局屬期末）如圖 1，將長(zhǎng)方形 ABCD 置于平面直角坐標(biāo)系中，其中 AD邊在x 軸上，AB?2，直線MN : y ? x ? 4 沿 x 軸的負(fù)方向以每秒 1 個(gè)單位的長(zhǎng)度平移，設(shè)在平移過(guò)程中該直線被矩形ABCD的邊截得的線段長(zhǎng)度為 m ，平移時(shí)間為t ， m 與t 的函數(shù)圖象如圖 2 所示．
（1）點(diǎn) A 的坐標(biāo)為_(kāi)_____，矩形 ABCD 的面積為_(kāi)_____；（2）求 a、b 的值；（3）在平移過(guò)程中，求直線 MN 掃過(guò)矩形 ABCD 的面積 S 與t 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t 的取值范圍．【答案】（1）（1,0） 8 （2） a ? 2 2,b ? 9 （3）
?
?
?
?
?? ????? ??? ?????
(79)2659
2
1
2 8 5 7( 3) 352
1
0 0 32
2
t t t
t t
t t
t
S （）（）（）
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113 數(shù)學(xué)加分寶八上第 13 周秋季講義第 6 章《數(shù)據(jù)的分析》題組 1 算術(shù)平均數(shù)
n
x x x x
x
? ? ? ? n ?
.... 1 2 3
求算術(shù)平均數(shù)除了用總數(shù)除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)外，還可以采取移多補(bǔ)少的方式求算術(shù)平均數(shù). 1．（市北期末）一次物理考試中，九年（1）班和（2）班的學(xué)生數(shù)和平均分如下表所示，則兩班這次物理考試平均成績(jī)?yōu)? D )分．
A．80 B．82.5 C．85 D．82.6
2.下表是某學(xué)習(xí)小組一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的成績(jī)統(tǒng)計(jì)表：已知該小組本次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均分是85 分,則x=3.
3.在一次數(shù)學(xué)考試中，第一小組的 14 名同學(xué)的成績(jī)與全班平均分的差是 2，3，－5，10，12，8，2，－1，－5，4，－10，－2，5，5（全班平均分是 83 分），則這個(gè)小組的平均成績(jī)是85 分. 4.已知數(shù)據(jù) n x , x , x .....x 1 2 3 的平均數(shù)為 a ,則 3, 3, 3...... 3 x1 ? x2 ? x3 ? xn ? 的平均數(shù)是a+3 . 5.如果數(shù)據(jù) n x , x , x .....x 1 2 3 的平均數(shù)為 a ,則 n 2x ,2x ,2x .....2x 1 2 3 的平均數(shù)是 2a . 6. 已 知 數(shù) 據(jù) 1 2 3 10 x , x , x .....x 的 平 均 數(shù) 為 a , 則 , 11 12 13 14 15 30 x , x , x , x , x ......x 的平均數(shù)是b, 那么1 2 3 4 30 x , x , x , x ,......x 的平均數(shù)是
3
a ? 2b
. 7.對(duì) 20 名工人日產(chǎn)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：有 2 人各完成 8 件，有 6 人各完成9 件，有8 人各完成10件，有 4 人各完成 11 件，那么平均每人日產(chǎn)量為_(kāi)_9.7____件. 8.八年級(jí)一班共有 4 個(gè)小組，每小組各有 8 人，一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，這四個(gè)小組的平均分分別是82 分，86分，85 分和 83 分，則該班本次測(cè)試的平均分為_(kāi)_ 84 分____. 9.一個(gè)班 40 人，語(yǔ)文老師第一次統(tǒng)計(jì)這班的語(yǔ)文平均成績(jī)?yōu)?80 分，在復(fù)查時(shí)發(fā)現(xiàn)漏記一個(gè)學(xué)生的成績(jī)80分，則這個(gè)班學(xué)生的實(shí)際平均成績(jī)?yōu)?82 .
分?jǐn)?shù) 70 80 90 100
人數(shù) 1 3 x 1
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114 數(shù)學(xué)加分寶題組 2 加權(quán)平均數(shù)
在求平均數(shù)的時(shí)候如果每個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度不同（即權(quán)不同）那么求平均數(shù)就要采取加權(quán)平均的方法. 1.（市北期末）某校體育期末考核“立定跳遠(yuǎn)”、“800 米”、“仰臥起坐”三項(xiàng)，并按3：5：2 的比重算出期末成績(jī).已知小林這三項(xiàng)的考試成績(jī)分別為 80 分、90 分、100 分，則小林的體育期末成績(jī)?yōu)開(kāi)__89_____分. 2.（局屬期末）在某公司的面試中，昊辰的得分情況為：個(gè)人形象 85 分，工作能力90 分，交際能力85分，已知個(gè)人形象、工作能力和交際能力的權(quán)重為 1:2:2.則昊辰的最終成績(jī)是 87 分. 3.（市北期末）新學(xué)年，學(xué)校要選拔新的學(xué)生會(huì)主席.學(xué)校對(duì)入圍的甲、乙兩名候選人進(jìn)行了三項(xiàng)測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤硭?，根?jù)實(shí)際需要，規(guī)定能力、技能、學(xué)業(yè)三項(xiàng)測(cè)試得分按 5:3:2 的比例確定各人的測(cè)試成績(jī)，得分高者被任命，此時(shí)___乙___將被任命為學(xué)生會(huì)主席.
4.（市南期末）某公司要招聘一名新的大學(xué)生，公司對(duì)入圍的甲、乙兩名候選人進(jìn)行了三項(xiàng)測(cè)試，成績(jī)?nèi)缦卤硭?根據(jù)實(shí)際需要，規(guī)定能力、技能、學(xué)業(yè)三項(xiàng)測(cè)試得分按 5:3:2 的比例確定個(gè)人的測(cè)試成績(jī).其中甲的分?jǐn)?shù)是 84.9 ;乙的分?jǐn)?shù)是 82.9 .得分最高者被錄取，此時(shí) 甲 將被錄取.
5.甲、乙、丙三種糖果售價(jià)分別為每千克 5 元，6 元，7 元，若將甲種糖 8kg ,乙種糖7kg,丙種糖5kg混合在一起，則售價(jià)應(yīng)定為每千克_5.85__元. 6.某市廣播電視局欲招聘一名播音員，對(duì) A, B 兩名候選人進(jìn)行了兩項(xiàng)素質(zhì)測(cè)試，兩人的兩項(xiàng)測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤硭?根據(jù)實(shí)際需要，廣播電視局將面試、綜合知識(shí)測(cè)試的得分按 3∶2 的比例計(jì)入兩人的總成績(jī)，那么__B___（填“ A ”或“ B ”）將被錄用.
7.A 、B 兩地相距 120km,一輛汽車以每小時(shí) 60 千米的速度由 A 到 B，又以每小時(shí)40km的速度返回，則這輛汽車往返一次的平均速度是____48_____km/h. 8.一輛汽車給山上部隊(duì)送貨，上山時(shí)每小時(shí) 30km,從原路返回時(shí)每小時(shí) 50km，求這輛汽車上山和下山的平均速度.【答案】37.5km/h
項(xiàng)目得分 能力 技能 學(xué)業(yè)
甲 82 70 98
乙 95 84 61
丙 87 80 77
得分 項(xiàng)目 能力 技能 學(xué)業(yè)甲 95 84 61
乙 87 80 77
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115 數(shù)學(xué)加分寶題組 3 中位數(shù)和眾數(shù)
中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照大小順序排列后，位于中間位置的數(shù).當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，取中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，取中間的那個(gè)數(shù).眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).在一組數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能不止 1 個(gè). 1.（市南期末）若一組數(shù)據(jù)－4，－2，0，1，6，10，12，x 的平均數(shù)為 3，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（B）A.0 B.1 C.3.5 D.6
2.在慶祝新中國(guó)成立 70 周年的校園歌唱比賽中，11 名參賽同學(xué)的成績(jī)各不相同，按照成績(jī)?nèi)∏?名進(jìn)入決賽.如果小明知道了自己的比賽成績(jī)，要判斷能否進(jìn)入決賽，小明需要知道這11 名同學(xué)成績(jī)的（B）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差3.（李滄期末）小明為了解本班同學(xué)一周的課外閱讀量，隨機(jī)抽取班上 15 名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，下列說(shuō)法正確的是（ C ）
A．中位數(shù)是 3 本，眾數(shù)是 2 本 B．眾數(shù)是 1 本，平均數(shù)是2 本C．中位數(shù)是 2 本，眾數(shù)是 2 本 D．中位數(shù)是 3 本，平均數(shù)是2.5 本4.某市 6 月份日平均氣溫統(tǒng)計(jì)如圖所示，則在日平均氣溫這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是（D）A.10℃，8℃ B.21℃，21℃ C.21℃，21.5℃ D.21℃，22℃5.（李滄期末）某中學(xué)隨機(jī)調(diào)查了 15 名學(xué)生，了解他們一周在校參加體育鍛煉的時(shí)間，列表如下：則這 15 名同學(xué)一周在校參加體育鍛煉的時(shí)間的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（ D ）A.6 h ，7 h B.7 h ，7 h C.7 h ，6 h D.6 h，6 h6.（市南期末）小剛參加射擊比賽，成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表：
成績(jī)（環(huán)） 6 7 8 9 10
次數(shù) 1 3 2 3 1
關(guān)于他的射擊成績(jī)，下列說(shuō)法正確的是（ B ）
A．極差是 2 環(huán) B．中位數(shù)是 8 環(huán) C．眾數(shù)是 9 環(huán) D．平均數(shù)是9環(huán)7.（李滄期末）一組數(shù)據(jù) 1.5，1.75，1.7，1.5，1.7，1.6，1.7，1.6，1.8 的中位數(shù)是1.7 ，眾數(shù)是1.7.
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116 數(shù)學(xué)加分寶題組 4 條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖中求中位數(shù)眾數(shù)平均數(shù)1.如圖所示，是某籃球隊(duì)隊(duì)員年齡結(jié)構(gòu)圖，根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題：
（1）該隊(duì)隊(duì)員年齡的平均數(shù). （2）求該隊(duì)隊(duì)員年齡的眾數(shù)和中位數(shù).
【答案】（1）21 歲 （2）眾數(shù)：21 歲 中位數(shù)：21 歲
2.在一次捐款活動(dòng)中，某班 50 名同學(xué)人人拿出自己的零花錢，有捐 5 元，10 元，20 元的，還有捐50元和100 元的.如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖反映了不同捐款數(shù)的人數(shù)比例，那么該班同學(xué)平均每人捐款__31.2__元.（結(jié)果跟班級(jí)人數(shù)有關(guān)嗎？）
3.某市教育部門為了了解七年級(jí)學(xué)生每學(xué)期參加綜合實(shí)踐活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽樣調(diào)查了該校7 年級(jí)全體學(xué)生參加綜合實(shí)踐活動(dòng)的天數(shù)，并用得到的數(shù)據(jù)繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息解決下列問(wèn)題.（1）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中 a 的值，并求該校七年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù). （2）分別求出參加綜合實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間為 5 天，7 天的學(xué)生人數(shù)，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖. （3）求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中參加綜合實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間為 4 天的扇形的圓心角度數(shù). （4）在這次抽樣調(diào)查中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是什么?
（5）如果該市共有七年級(jí)學(xué)生 6000 人，請(qǐng)你估計(jì)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間不少于4 天的人數(shù).
【答案】（1）a=25% 200 人 （2）5 天： 50 人 7 天：10 人 （3）108° （4）眾數(shù)：4 天 中位數(shù)：4 天 （5）4500 人
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117 數(shù)學(xué)加分寶4.（市北期末）為了解某校學(xué)生的身高情況，隨機(jī)抽取該校男生、女生進(jìn)行抽樣調(diào)查.已知抽取的樣本中，男生、女生人數(shù)相同，利用所得數(shù)據(jù)繪制如下統(tǒng)計(jì)圖表：
根據(jù)圖表提供的信息，回答下列下列問(wèn)題：
（1）樣本中，男生身高的眾數(shù)在 B 組，中位數(shù)在 C 組；
（2）樣本中，女生身高在 E 組的人數(shù)有 2 人；
（3）已知該校共有男生 400 人，女生 380 人，請(qǐng)估計(jì)身高在 160≤x＜170 之間的學(xué)生約有多少人？【答案】332 人
5．某學(xué)校為了解學(xué)生零花錢的使用情況，校團(tuán)委隨機(jī)調(diào)查了本校部分學(xué)生每人一周的零花錢數(shù)額，并繪制了如圖甲、乙所示的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖（部分未完成）．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，回答下列問(wèn)題：（1）校團(tuán)委隨機(jī)調(diào)查了多少學(xué)生? 請(qǐng)你補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）被調(diào)查的學(xué)生每人一周零花錢的平均數(shù)額是多少元?
（3）全校 1000 名學(xué)生每人自發(fā)地捐出一周零花錢的一半，用于支援希望工程建設(shè)．請(qǐng)估算全校學(xué)生共捐款多少元?
【答案】（1）40 （2）33 元 （3）16500 元
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118 數(shù)學(xué)加分寶題組 5 數(shù)據(jù)的離散程度
極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差就是極差.方差： [( ) ( ) ... ( ) ] 1 2 2
2
2
1
2 x x x x x x
n
S ? ? ? ? ? ? n ? 方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根.用 S 表示. 1.在方差公式 [( 20) ( 20) ....( 20) ] 10
1 2
10
2
2
2
1
2 S ? x ? ? x ? ? x ? 中，數(shù)字10和數(shù)字20分別表示的意義（C）A. 數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)和方差 B.平均數(shù)和數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù) C.數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)和平均數(shù)D. 數(shù)據(jù)的方差和平均數(shù)2.（市北期末）一次數(shù)學(xué)測(cè)試，某小組五名同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆ㄓ袃蓚€(gè)數(shù)據(jù)被遮蓋）．組員日期 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成績(jī)得分 81 79 ■ 80 82 ■ 80
那么被遮蓋的兩個(gè)數(shù)據(jù)依次是（ B ）
A.80，2 B.78，2 C.80，1.5 D.78，23.學(xué)?；@球隊(duì)隊(duì)員的年齡分別是 17，15，17，16，15.其方差為 0.8，則三年后這五名隊(duì)員年齡的方差（C）A.變大 B.變小 C.不變 D.無(wú)法確定4.（市北期末）數(shù)據(jù) n x , x ,...x 1 2 的方差為 A,則數(shù)據(jù)3 1,3 1,...3 1 x1 ? x2 ? xn ? 的方差為（C）A. 3A B. 3A+1 C. 9A D. 9A+1
5.已知樣本 1 2 3 a , a , a 的方差是
2
s ,則樣本 1 2 3 3a ,3a ,3a 的方差是（ B ）
A. 3 2
s B. 9 2
s C. 2
s D. 2
s+3
6.（市北期末）若樣本 x1，x2，x3……xa的平均數(shù)為 18，方差為 2，則對(duì)于樣本x1+2，x2+2，x3+2，......xa+2，下列結(jié)論正確的是（ A ）
A.平均數(shù)為 20，方差為 2 B.平均數(shù)為 20，方差為4
C.平均數(shù)為 18，方差為 2 D.平均數(shù)為 18，方差為4
7（. 青大附期末）甲、乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員在相同條件下練習(xí)射箭，每人射了 5 支箭，已知甲的平均數(shù)為x甲?8環(huán)，方差為
2
s甲＝0.8；乙的成績(jī)（單位：環(huán)）為：6，7，8，9，10．則乙的平均數(shù)為8 環(huán)，乙的方差為
2
s乙＝ 2 ，從這 5 支箭的成績(jī)來(lái)看，水平更穩(wěn)定的是 甲 （填“甲”或“乙”）. 8.（李滄期末）“市運(yùn)會(huì)”舉行射擊比賽，校射擊隊(duì)從甲、乙、丙、丁四人中選拔一人參賽．在選拔賽中，每人射擊 10 次，計(jì)算他們 10 發(fā)成績(jī)的平均數(shù)(環(huán))及方差如下表．請(qǐng)你根據(jù)表中數(shù)據(jù)選一人參加比賽，最合適的人選是___丁___．
甲 乙 丙 丁
平均數(shù) 8.2 8.0 8.0 8.2
方差 2.1 1.8 1.6 1.4
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119 數(shù)學(xué)加分寶9.（李滄期末）某學(xué)習(xí)小組的 5 位成員在寒假期間進(jìn)行線上測(cè)試，其成績(jī)（分）分別為86，88，90，92，94，方差為 8
2 S ? ，后來(lái)老師發(fā)現(xiàn)每人的成績(jī)都少加了2分，每人補(bǔ)加 2分后，這5人新成績(jī)的方差2S新=__8__. 10（. 市北期末） 2020 年，一場(chǎng)突如其來(lái)的疫情打亂了中國(guó)人回家團(tuán)圓的腳步，但無(wú)數(shù)迎難而上、舍身戰(zhàn)“疫”的英雄最讓人難忘.某校舉辦題為“致敬最美逆行者”的演講比賽，甲、乙兩組學(xué)生成績(jī)分布的折線統(tǒng)計(jì)圖如圖所示（學(xué)生成績(jī)均為整數(shù)）：
（1）根據(jù)以上信息完成下表：
組別 平均數(shù)（分） 中位數(shù)（分） 眾數(shù)（分） 方差
甲 7 6.5 6 2.8
乙 7 7 7 1.8
（2）若學(xué)校準(zhǔn)備選派其中一組參加區(qū)級(jí)比賽，你認(rèn)為選派哪一組參賽更好？請(qǐng)結(jié)合以上數(shù)據(jù)進(jìn)行分析說(shuō)明. 【答案】乙參加比賽更好，從平均數(shù)來(lái)說(shuō)，甲乙成績(jī)一樣好；從中位數(shù)和眾數(shù)來(lái)說(shuō)都是乙的成績(jī)好，從方差來(lái)說(shuō)，乙的方差較小，成績(jī)更穩(wěn)定，因此乙參賽更好. 11.（市北期末）某中學(xué)舉行演講比賽，九（1）、九（2）班根據(jù)初賽成績(jī)各選出5 名選手參加復(fù)賽，兩個(gè)班所選出的 5 名選手的復(fù)賽成績(jī)（滿分為 100 分）如圖所示．
（1）根據(jù)上圖填寫下表；
平均分（分） 中位數(shù)（分） 眾數(shù)（分） 方差
九（1）班 85 85 85 70
九（2）班 85 80 100 160
（2）結(jié)合兩班的復(fù)賽成績(jī)分析哪個(gè)班級(jí)的復(fù)賽成績(jī)較好；
【答案】從平均數(shù)來(lái)說(shuō)，兩個(gè)班成績(jī)一樣好，從眾數(shù)來(lái)說(shuō)，9（2）班成績(jī)更好；從中位數(shù)來(lái)說(shuō)，9（1）班成績(jī)更好，從方差來(lái)說(shuō)，9（1）班成績(jī)更好
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120 數(shù)學(xué)加分寶隨堂檢測(cè)
1.（嶗山期末）一次演講比賽中，小明的成績(jī)?nèi)缦拢貉葜v內(nèi)容為 70 分，演講能力為60 分，演講效果為88分，如果演講內(nèi)容、演講能力、演講效果的成績(jī)按 4：2：4 計(jì)算，則他的平均分為（B ）A.74.2 分 B.75.2 分 C.76.2 分 D.77.2 分2.為了判斷甲乙兩個(gè)小組學(xué)生英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成績(jī)哪一組比較整齊，通常要知道兩組成績(jī)的( B)
A.平均數(shù) B.方差 C.眾數(shù) D.頻率分布3.樣本 101，98，102，100，99 的方差是( D )
A. 2 B.0 C. 1 D. 2
4.已知樣本 1 2 3 a , a , a 的方差是
2
s ,則樣本 1 2 3 3a ,3a ,3a 的方差是（ B ）
A. 3 2
s B. 9 2
s C. 2
s D. 2
s+3
5.如果一組數(shù)據(jù)的方差是 2，那么這組數(shù)據(jù)都擴(kuò)大 2 倍后所構(gòu)成的新的數(shù)據(jù)的方差為（C）A. 16 B. 4 C. 8 D .2
6（. 市北期末）若樣本 n x ，x ，x ，?，x 1 2 3 的平均數(shù)為 10，方差為 4，則對(duì)于樣本 3 333x1 ? ，x2 ?，x3 ?，?，xn?，下列結(jié)論正確的是（ D ）
A．平均數(shù)為 10，方差為 2 B．眾數(shù)不變，方差為4
C．平均數(shù)為 7，方差為 2 D．中位數(shù)變小，方差不變7.某中學(xué)足球隊(duì)的 18 名隊(duì)員的年齡情況如表所示，則這些隊(duì)員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（B）A．15 歲，15 歲 B．15 歲，15.5 歲 C．15 歲，16 歲 D．16 歲，15歲8.實(shí)驗(yàn)中學(xué)規(guī)定學(xué)生學(xué)期的數(shù)學(xué)成績(jī)滿分為 120 分，其中平時(shí)成績(jī)占 20%，期中考試成績(jī)占30%，期末考試成績(jī)占 50%，王玲的三項(xiàng)成績(jī)依次是 100 分，90 分，106 分那么王玲這學(xué)期的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?00分．9.在一次青年歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為某位歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.5，9.4，9.6，9.3，9.9,9.7，9.0，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 9.5____. 10.小明騎自行車的速度是 15km/h，步行的速度是 5km/h，
（1）如果小明先騎自行車 1h，然后又步行了 1h,那么他的平均速度是多少？（2）如果小明先騎自行車 2h,然后又步行了 3h,那么它的平均速度是多少？你能從權(quán)的角度來(lái)理解這樣的平均速度嗎？
【答案】（1）10km/h （2）9km/h
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121 數(shù)學(xué)加分寶課后作業(yè)1.若樣本 1, 1,....... 1 x1 ? x2 ? xn ? 的平均數(shù)為 10，方差為 2，則對(duì)于樣本 2, 2,.... 2x1 ?x2 ?xn ?，下列結(jié)論正確的是（ C ）
A．平均數(shù)為 10，方差為 2 B．平均數(shù)為 11，方差為 3
C．平均數(shù)為 11，方差為 2 D．平均數(shù)為 12，方差為 4
2.每年的 4 月 23 日是“世界讀書日”．某中學(xué)為了解八年級(jí)學(xué)生的讀書情況，隨機(jī)調(diào)查了50 名學(xué)生的讀書冊(cè)數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：
則這 50 名學(xué)生讀書冊(cè)數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( A )
A．3 冊(cè)，2 冊(cè) B．3 冊(cè)，3 冊(cè) C．2 冊(cè)，3 冊(cè) D．2 冊(cè)，2 冊(cè)3.某商場(chǎng)對(duì)上周某品牌運(yùn)動(dòng)服的銷售情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下表所示：
經(jīng)理決定本周進(jìn)貨時(shí)多進(jìn)一些紅色的，可用來(lái)解釋這一現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)知識(shí)的是（C ）A.平均數(shù) B 中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)與眾數(shù)
4.樣本 18，12，16，10，14 的方差是__8__；標(biāo)準(zhǔn)差是____2 2_. 5.某茶廠用甲、乙兩臺(tái)分裝機(jī)分裝某種茶葉（每袋茶葉的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量 200 g ）．為了監(jiān)控分裝質(zhì)量，該廠從它們各自分裝的茶葉中隨機(jī)抽取了 50 袋，測(cè)得它們的實(shí)際質(zhì)量分析如下：
則這兩臺(tái)分裝機(jī)中，分裝的茶葉質(zhì)量更穩(wěn)定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．6.（市北期末）車間有 20 名工人，某一天他們生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表
求這一天 20 名工人生產(chǎn)零件的平均個(gè)數(shù). 【答案】12 個(gè)
冊(cè)數(shù) 0 1 2 3 4
人數(shù) 3 13 16 17 1
顏色 黃色 綠色 白色 紫色 紅色
數(shù)量（件） 120 150 230 75 430
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122 數(shù)學(xué)加分寶7.（局屬期末）程睿中學(xué)組織七、八年級(jí)學(xué)生參加垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從該校七、八年級(jí)中各抽取10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成績(jī)得分用 x 表示，共分成4 組：A、80?x?85,B、85 ? x ? 90,C、90 ? x ? 95，D、95 ? x ?100 ），下面給出了部分信息：七年級(jí) 10 名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)是，99，80，99，86、99，96，90、100，89,82
八年級(jí) 10 名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)?C 組中的數(shù)據(jù)是:93，90，94.根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題:
（1）寫出上速圖表中 a = 40 ，b = 93.5 ,c= 99 . （2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)中 哪個(gè)年級(jí)學(xué)生掌握垃圾分類知識(shí)較好？請(qǐng)說(shuō)明理由（一條理由即可）
【答案】八年級(jí)中位數(shù)大，8 年級(jí)的成績(jī)好. （3）該校七、八年級(jí)共 800 人參加了此次競(jìng)賽活動(dòng)，估計(jì)參加此次度賽活動(dòng)成績(jī)優(yōu)秀（x ?90）的學(xué)生人數(shù)是多少？
【答案】520 人
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123 數(shù)學(xué)加分寶第 14 周秋季講義第七章平行線的證明題組 1 定義與命題
1.定義：對(duì)名稱和術(shù)語(yǔ)的含義加以描述，作出明確的規(guī)定. 2.命題：_判斷__一件事情的句子，叫做命題.命題分為_(kāi)真_命題和__假_命題.命題都由_條件_和__結(jié)論__兩部分組成. 1.（市南期末）下列命題中，屬于真命題的是（ D ）
A.三角形的一個(gè)外角大于內(nèi)角 B.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等C.無(wú)理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的 D.對(duì)頂角相等
2.（市北期末）下列語(yǔ)句是命題的是（ C ）
A．量線段 AB 的長(zhǎng)度 B．同位角相等，兩直線平行嗎?
C．直角三角形兩個(gè)銳角互余 D．畫線段 AB=CD
3.（李滄期末）下列四個(gè)命題中，真命題有（ A ）
①兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等 ②如果∠1 和∠2 是對(duì)頂角，那么∠1＝∠2. ③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角． ④如果 0
2
x ? ，那么 x ?0．A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè)4.（李滄期末）下列命題是真命題的是（ D ）
A.兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等 B.兩邊一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C. 81的平方根是 9 D. x ? 2, y ?1是方程 2x ?y ?3的解5.（市北期末）把命題“直角三角形兩銳角互余”改寫成：如果 一個(gè)三角形是直角三角形，那么它的兩個(gè)銳角互余 . 6.（市北期末）命題：“三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形”的條件是一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角相等，結(jié)論是 這個(gè)三角形是等邊三角形. 7.把下列命題改寫成“如果.......,那么.......”的形式. （1）直角三角形的兩銳角互余 （2）有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（3）對(duì)頂角相等 （4）兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)
（5）等角的補(bǔ)角相等
【答案】（1）如果 一個(gè)三角形是直角三角形 ，那么它的兩個(gè)銳角互余. （2）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形. （3）如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等. （4）如果兩條直線相交，那么它們只有一個(gè)交點(diǎn). （5）如果兩個(gè)角相等，那么它們的補(bǔ)角相等.
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124 數(shù)學(xué)加分寶題組 2 平行線的判定
1．如圖，下列條件中，不能判斷直線 a // b 的是（ B ）
A．?1 ? ?3 B． ?2 ? ?3 C． ?4 ? ?5 D． ?2 ? ?4 ?180?
2．如圖，點(diǎn) E 在 AC 的延長(zhǎng)線上，下列條件能判斷 AB //CD 的是（ A ）① ?1 ? ?2； ②?3 ? ?4 ； ③ ?A ? ?DCE ； ④ ?D ? ?ABD?180? ．A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
3．如圖， AB ? BC ， BC ? CD ，?EBC ? ?BCF ，那么 ?ABE 與?DCF的位置和大小關(guān)系是（B）A．是同位角且相等 B．不是同位角但相等 C．是同位角但不等 D．不是同位角也不等4.如圖，給出了過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法,其依據(jù)是同位角相等，兩直線平行．5．如圖，是小明學(xué)習(xí)三線八角時(shí)制作的模具，經(jīng)測(cè)量 ?2 ?100? ，要使木條 a 與b 平行，則?1的度數(shù)是_80°．
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125 數(shù)學(xué)加分寶6.長(zhǎng)方形 ABCD 中，∠ADB=20°，現(xiàn)將這一長(zhǎng)方形紙片沿 AF 折疊，若使 AB'∥BD，則折痕AF與AB的夾角∠BAF 應(yīng)為_(kāi)55°．
7.如圖，平行線 AB、CD 被直線 AE 所截，若∠1=100°，則∠2=（ B ）
A. 70° B.80° C.90° D.110°
8.如圖，已知點(diǎn) E 在 BC 的延長(zhǎng)線上，則下列條件中不能判斷 AB∥CD 的是（D ）A. ∠B＝∠DCE B. ∠BAD+∠D＝180° C. ∠1＝∠4 D. ∠2＝∠3
9.如圖，四邊 ABCD 中，?A ? ?C ? 90?，BE 平分 ?ABC ，DF 平分 ?ADC，則BE與DF有何位置關(guān)系？試說(shuō)明理由．
【答案】BE∥DF，思路如下：四邊形內(nèi)角和=360°，可知∠ABC+∠ADC=180°，∴∠2+∠4=90°，∵∠CFD+∠4=90°，∴∠2=∠CFD，∴BE∥DF
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126 數(shù)學(xué)加分寶題組 3 平行線的性質(zhì)
1.直線 a,b,c,d 的位置如圖所示，如果 ?1 ? ?2， ?3 ? 43? ，那么?4 等于（B ）A．130° B．137° C．140° D．143°
2.已知，如圖， ?1 ? ?2 ? ?3 ? 55?，則 ?4 的度數(shù)等于（ C ）
A．115° B．120° C．125° D．135°
3.如圖，在 ?ABC 中，CD 平分 ?ACB ， ?1 ? ?2 ? 36?，則 ?3 =__72°_.
4.如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片沿 AB 折疊，已知 ?1 ? 74? ，則 ?2 =__32°__．
5. 如圖，直線 AB∥CD，一個(gè)含 60°角的直角三角板 EFG（∠E=60°）的直角頂點(diǎn)F 在直線AB上，斜邊EG 與 AB 相交于點(diǎn) H，CD 與 FG 相交于點(diǎn) M．若∠AHG=50°，則∠FMD 等于（B ）A. 10° B. 20° C. 30° D. 50°
6.如圖所示，將長(zhǎng)方形紙片 ABCD 折疊，使點(diǎn) D 與點(diǎn) B 重合，點(diǎn) C 落在點(diǎn) C′處，折痕為EF，若∠EFC′=125°，那么∠AEB 的度數(shù)是 70° ．
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127 數(shù)學(xué)加分寶7.如圖，已知 AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，則∠C＝__30___度．
8.如圖，直線 AB∥CD,?C ? 44?，?E 是直角，則∠1=__134°___.
9．（市南期末）如圖，直線 m∥n ，?1 ?120? ，?2 ? 95?，則 ?3? ?4 ?35° ．10.（局屬期末）如圖，一張四邊形紙片 ABCD，∠A=50°，∠A=50°，∠C=150°，若將其按照?qǐng)D2所示方式折疊后，恰好 MD'∥AB，ND'∥BC，則∠D=__80°___.題組 4 平行線的證明題（填寫理由類）
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128 數(shù)學(xué)加分寶9.（市北期末）填空并在括號(hào)中填上每一步的依據(jù)
如圖，已知，?ADC ? ?ABC ，BE、DF 分別平分 ?ABC 、?ADC，且?1??2，求證：?A??C.證明：∵BE 、 DF 分別平分 ?ABC 、?ADC （已知）
?? ? ?ABC
2
1
1 ，? ? ?ADC
2
1
3 （ 角平分線的定義 ）
∵?ABC ? ?ADC （已知）
??1 ? ?3 （ 等量代換 ）
∵?1 ? ?2 （已知）??2 ? ?3（ 等量代換 ）
? AB // DC （ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ）
??A? ? ADC =180?，?C ? ? ABC=180?（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）??A ? ?C （ 等角的補(bǔ)角相等 ）
10．（李滄期末）如圖，已知 EF⊥BC，∠1=∠C，∠2+∠3=180°．試
說(shuō)明直線 AD 與 BC 垂直．（請(qǐng)?jiān)谙旅娴慕獯疬^(guò)程的空格內(nèi)填空或在
括號(hào)內(nèi)填寫理由）．
解：∵∠1=∠C，（ 已知 ）
∴_ GD___∥___AC____（ 同位角相等，兩直線平行 ），
∴∠2=_∠DAC______ （ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ），
又∵∠2+∠3=180°，（ 已知 ）
∴∠3+__∠DAC____=180°．（ 等量代換 ）
∴_AD_∥ EF （ 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 ），
∴∠ADC=∠EFC，
∵EF⊥BC，（ 已知 ）
∴∠EFC=90°，∴∠ADC=90°，∴ AD⊥BC
11.（市北期末）如圖,已知∠1+∠2=180° ，∠3=∠B，試判斷 DE 和 BC 的位置關(guān)系，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行說(shuō)理.求證：DE//BC.證明：∠1+∠2=180° (已知),∠1+∠4=180° (鄰補(bǔ)角的定義)，
∴∠2=∠4（同角的補(bǔ)角相等）
∴_BD_∥___EF__( 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 )，
∴∠3+ ∠BDE =180°（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) )，
∵∠3=∠B(已知)，
∴∠B+ ∠BDE =180°(等量代換)，
∴ DE ∥ BC ( 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 ).
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129 數(shù)學(xué)加分寶第 15 周秋季講義題組 1 平行線的證明大題
1.（李滄期末）如圖所示，點(diǎn) B、E 分別在 AC、DF 上，BD、CE 均與 AF 相交，∠1=∠2，∠C=∠D，求證：∠A=∠F. 【答案】先證明∠1=∠3 得 DB∥CE，然后得∠C=∠DBA，最后得出∠D=∠DBA，∴DF∥AC∴∠A=∠F. 2．（市南期末）如圖，在 ?ABC 中，點(diǎn) D、E、F 分別在邊 AB、AC、BC上，連接DE、DF，G是DF上一點(diǎn)，連接 EG ,已知 ?1? ?2 ?180? ，?B ? ?3．
（1）求證： EG∥ AB ；
（2）請(qǐng)判斷?C 與?AED 的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
A
D E
B
F
C
G
2
3
1
【答案】（1）根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，可得∠2=∠DGE，∴EG∥AB （2）∠C=∠AED3.（市南期末）如圖，∠BAP 與∠APD 互補(bǔ)，∠BAE=∠CPF．求證：∠E=∠F．A B
C
P
E
F
D
【答案】先由同角的補(bǔ)角相等可知∠BAP=∠APC，再根據(jù)等式性質(zhì)可知，∠EAP=∠FPE∴AE∥FP.∴∠E=∠F
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130 數(shù)學(xué)加分寶4.（17 市南期末）如圖,?ABD 和?BDC 的平分線交于點(diǎn) E ， BE 交CD于F，?1??2?90?.求證：（1） AB //CD ； （2）?2 ? ?3 ? 90?. 【答案】（1）由∠1+∠2=90°，可知∠ABD+∠BDC=180°，∴ AB //CD（2）由∠1=∠3，可知 ?2 ? ?3 ? 90?
5．（青大附）已知：如圖，?ABC 中，E 為 BC 邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E 作 GE⊥ BC，交AB于點(diǎn)G，AD⊥BC于 D ，?ADF ? ?BGE .求證：?BAC ? ?DFC
C
A
F
E D
B
G
【答案】（1） 由GE ⊥ BC AD ⊥ BC 可知 GE∥AD ∴∠BGE=∠BAD 由?ADF??BGE可知∠BAD=∠ADF∴DF∥AB ∴?BAC ? ?DFC
6.（市南期末）已知：如圖，直線 BD 分別交射線 AE、CF 于點(diǎn) B、D，連接A、D 和B、C，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD 平分∠BDF.求證：（1）AD∥BC； （2）BC 平分∠DBE．【答案】（1）由同角的補(bǔ)角相等可知∠1=∠BDC，∴AE∥CF∴∠A+∠ADC=180°，∴∠C+∠ADC=180°∴AD∥BC
（2）由∠EBC=∠C=∠ADF，∠CBD=∠ADB，∠ADF=∠ADB 可知∠EBC=∠CBD，∴BC平分∠DBE．
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131 數(shù)學(xué)加分寶7.（市北期末）如圖，已知：點(diǎn) A、B、C 在一條直線上．
（1）請(qǐng)從三個(gè)論斷①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E 中，選兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)真命題:條件：_ ②③___； 結(jié)論：__①___．
（2）證明你所構(gòu)建的是真命題．
8．（李滄期末）如圖，直線 1
l ， 2
l 均被直線 3
l ， 4
l 所截，且 3
l 與 4
l 相交，給定以下三個(gè)條件：① 1 3
l ? l ；②∠1=∠2；③∠2+∠3=90o．
請(qǐng)從這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，并進(jìn)行證明．【答案】已知：① ②
求證：③
證明：∵∠1=∠2，∴l(xiāng)1∥l2，∵l1⊥l3，∴l(xiāng)2⊥l3，∴∠3+∠4=90°，∵∠4=∠2，∴∠2+∠3=90°．9.（市南期末）如圖，已知 BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3=180°. （1）請(qǐng)你判斷∠1 與∠ABD 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若∠1=70°，BC 平分∠ABD，試求∠ACF 的度數(shù). 【答案】（1）∠1=∠ABD，證明略；（2）∠ACF=55°.
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132 數(shù)學(xué)加分寶10.（市南期末）已知：如圖，線段 AC 和 BD 相交于點(diǎn) O，E 是 CD 上一點(diǎn)，F(xiàn) 是OD 上一點(diǎn)，F(xiàn)E∥OC，且∠1＝∠A．（1）求證：AB∥DC；（2）若∠B＝30°，∠1＝65°，求∠OFE 的度數(shù)．【答案】（1）∵EF//CO，∴∠1=∠C，又∵∠1=∠A，∴∠A=∠C，∴AB//CD （2）95°
11.（局屬期末）已知：如圖，點(diǎn)C 在∠ AOB 的一邊OA上，過(guò)點(diǎn)C的直線 DE∥OB,CF平分?ACD .CG ? CF 于 C. （1）若?O ? 40?，求?ECF 的度數(shù).（2）求證：CG平分?OCD. （3）當(dāng)∠O 為多少度時(shí)，CD平分?OCF.并說(shuō)明理由.
【答案】（1）110° （2）略 （3）∠O=60°
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133 數(shù)學(xué)加分寶題組 2 外角的性質(zhì)
1.（市南期末）如圖，下列說(shuō)法中是錯(cuò)誤的（ D ）
A．?HEC ? ?B B．?B ? ?ACB?180? ??AC．?B ? ?ACB ?180? D． ?B ? ?ACD2.如圖，∠A，∠DOE，∠BEC 的大小關(guān)系是（ B ）
A.∠A＞∠DOE＞∠BEC B.∠DOE＞∠BEC＞∠A C.∠DOE＞∠A＞∠BEC D.∠BEC＞∠DOE＞∠A3.如圖，∠1=45°，∠3=105°，則∠2= 60° .
4. 如圖，在△ABC 中，∠ACB=90°，沿 CD 折疊△CBD，使點(diǎn) B 恰好落在邊AC 上點(diǎn)E 處，若∠A＝25°，則∠ADE 40°
5.如圖，在四邊形 ABCD 中，∠A 與∠DCB 互補(bǔ)，E 為 BC 延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，∠1＋∠2＋∠DCE=224°，則∠A 的度數(shù)是____112°____．
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134 數(shù)學(xué)加分寶6.（李滄期末）如圖， AB ? BC ? CD ? DE ? EF ? FG ，∠1=130°,則∠A= 10 度.
7.如圖，△ABC 中，∠A=65°，點(diǎn) D 在邊 AC 上，連接 BD，作∠DCE=∠ABD=30°，則∠BEC=125°.
8.（市南期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn) P 為 CD 上一點(diǎn)，∠EBA、∠EPC 的角平分線于點(diǎn)F，已知∠F=40°，則∠E= 80 度．
9.（李滄期末）如圖，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD 分別平分△ABC 的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF.以下結(jié)論：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°－∠ABD；④BD 平分∠ADC；⑤∠BDC＝
2
1
∠BAC.其中正確的結(jié)論有①②③⑤.（把正確的結(jié)論序號(hào)填寫在橫線上）
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135 數(shù)學(xué)加分寶第 16 周秋季講義題組 1 外角型探究
1.如圖，在綠茵場(chǎng)上，足球隊(duì)員帶球進(jìn)攻，總是盡力向球門 AB 沖近. （1）在 D 點(diǎn)的射門角度∠ADB 與 C 點(diǎn)的射門角度∠ACB 哪個(gè)大？請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】∠ADB>∠ACB
（2）若測(cè)得∠1=30°，∠2=20°，∠ACB=50°，請(qǐng)計(jì)算出球員在 D 點(diǎn)射門的角度∠ADB 是多少度？【答案】100° （3）通過(guò)上面的計(jì)算，你能得到關(guān)于∠1、∠2、∠ACB 與∠ADB 四個(gè)角之間的等量關(guān)系嗎？直接寫出這個(gè)結(jié)論.并利用這個(gè)結(jié)論，計(jì)算五角星中五個(gè)角∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的和. 【答案】∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° （4）請(qǐng)寫出圖中六個(gè)角∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F 之間的一個(gè)等量關(guān)系，并利用（3）中的結(jié)論進(jìn)行證明. 【答案】∠D+∠F=∠A+∠B+∠C+∠E
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136 數(shù)學(xué)加分寶2. （市北期末）如圖，將一張三角形的紙片 ?ABC ，分別進(jìn)行以下操作和探究：（1）如圖 1，將 ?ABC 沿直線 DE 折疊，使點(diǎn) A 落在 AC 上的 A' 處，?BDA' 與?A有怎樣的度數(shù)關(guān)系?說(shuō)明理由；
（2）若按照?qǐng)D 2 所示折疊，那么?BDA' ，?CEA'和?A 有怎樣的度數(shù)關(guān)系?說(shuō)明理由；（3）若按照?qǐng)D 3 所示折疊，則 ?BDA' ，?CEA'和?A 的度數(shù)關(guān)系是_________.（填空即可，無(wú)需說(shuō)明理由）
（4）如圖④，將四邊形 ABCD 紙 片沿 EF 折疊，使點(diǎn) B 落在四邊形 EFCD 的內(nèi)部時(shí)，∠DEA′+∠CFB′與∠A、∠B 之間的數(shù)量關(guān)系是___________．（直接寫出結(jié)論）
【答案】(1) ?BDA' 與 ?A 的關(guān)系為： ?BDA'? 2?A
證明：∵ ?BDA' 是 ?ADA'的外角
∴?BDA'? ?A? ?DEA' ∵ ?ADE 沿直線 DE 折疊，點(diǎn) A 落在 A' 處
∴?A ? ?DA'E
∴?BDA'? 2?A
(2) ?BDA' ，?CEA'與?A 的關(guān)系為： ?BDA'??CEA'? 2?A
證明： 連接 AA' ∵ ?BDA' 是 ?ADA'的外角
∴?BDA'? ?DAA'?DA' A
∵ ?CEA'是 ?AEA' 的外角
∴?CEA'? ?EAA'??EA' A
∴?BDA'??CEA'? ?DAA'?DA' A? ?EAA'??EA' A ? ?DAE ? ?DA'E∵ ?ADE 沿直線 DE 折疊，點(diǎn) A 落在 A' 處
∴?DAE =?DA'E
∴?BDA'??CEA'? 2?A
(3) ?BDA' ，?CEA'與?A 的關(guān)系為： ?BDA'??CEA'? 2?A
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137 數(shù)學(xué)加分寶2.(1)如圖 1,把△ABC 沿 DE 折疊,使點(diǎn) A 落在點(diǎn) A'處,請(qǐng)直接寫出∠1＋∠2 與的∠A 的關(guān)系:
?1? ?2 ? 2?A . (2)如圖 2,把△ABC 分別沿 DE、FG 折疊,使點(diǎn) A 落在點(diǎn) A'處,使點(diǎn) B 落在點(diǎn) B'處,若∠1＋∠2＋∠3＋∠4=220°則∠C= 70° . (3) 如圖 3,在銳角△ABC 中, BM ? AC于點(diǎn)M ,CN ? AB 于點(diǎn) N,BM、CN 交于點(diǎn)H,把△ABC沿DE折疊使點(diǎn) A 和點(diǎn) H 重合,則?BHC與?1? ?2 的關(guān)系是 ?1? ?2 ? 360?- 2?BHC.請(qǐng)說(shuō)明理由. (4)如圖 4,BH 平分?ABC ,CH 平分?ACB ,把△ABC 沿 DE 折疊,使點(diǎn) A 與點(diǎn)H 重合,若?1??2?100?，求?BHC 的度數(shù). 【答案】（4）115°
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138 數(shù)學(xué)加分寶題組 2 角平分線型探究
1.（局屬期末）已知△ ABC 中，∠ ABC 的 n等分線與?ACB的n 等分線分別相交于1 2 3 1, , .... GGGGn?，試猜想：?BGn?1C 與∠ A 的關(guān)系.（其中 n是不小于2的整數(shù)）
首先得到：當(dāng) A; 2
1
2 1 90 n ? 時(shí)，如圖 ，?BG1C ? ? ? ? 如圖 2，?BGC?? ??A32602
.....如圖3，猜想. 180 1
1 A
n
n
n
BGn C ?
? ? ? ? ?
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139 數(shù)學(xué)加分寶2.（市南期末）認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成提出的問(wèn)題.探 究 1: 如 圖 1, 在 ?ABC 中 , O 是 ?ABC 與 ?ACB 的 平 分 線 BO和CO的交點(diǎn). 通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)?BOC ? ? ? ?A
2
1
90 .理由如下：
∵ BO 和CO 分別是?ABC 和?ACB 的平分線
∴? ? ?ABC
2
1
1 ,? ? ?ACB
2
1
2
∴? ? ? ? ??ABC ? ?ACB? 2
1
1 2
∵?ABC ? ?ACB ?180? ? ?A
∴? ? ? ? ??ABC ? ?ACB? ? ? ? ? ?A? ? ? ? ?A
2
1
180 90
2
1
2
1
1 2
∴ BOC ? ? A? ? ? ? ?A
?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2
1
90
2
1
180 1 2 180 90
(1)探究 2：如圖 2，O 是外角 ?DBC 與外角 ?ECB 的平分線 BO和CO的交點(diǎn)，則?BOC與?A有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由. ?BOC ? ? ? ?A
2
1
90
(2)探究 3：如圖 3 中，O 是?ABC 與外角?ACD 的平分線 BO和CO的交點(diǎn),試分析?BOC與?A有怎樣的關(guān)系? ?BOC ? ?A
2
1
(直接寫出結(jié)論)
(3)拓展：如圖 4,在四邊形 ABCD 中, O 是 ?ABC 與 ?DCB 的平分線 BO和CO的交點(diǎn)，則?BOC與?A? ?D 有怎樣的關(guān)系? ?BOC ? ??A? ?D? 2
1
.(直接寫出結(jié)論)
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140 數(shù)學(xué)加分寶3.（市北期末）如圖 1，在△ABC 中，點(diǎn) P 是內(nèi)角∠ABC 和外角∠ACD 的角平分線的交點(diǎn)，猜想∠P和∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.猜想：?P ? ?A
2
1
證明：∵點(diǎn) P 是內(nèi)角∠ABC 和外角∠ACD 的角平分線交點(diǎn)
∴?PBC ? ?ABC ?PCD ? ?ACD
2
1
2
1 ，
∵∠ACD 是△ABC 的外角
∴∠ACD=∠A+∠ABC
∴ ?ACD ? ?A? ?ABC
2
1
2
1
2
1
∴?PCD ? ?A? ?PBC
2
1
∵∠PCD 是△PBC 的外角
∴∠PCD=∠P+∠PBC
∴?P ? ?A
2
1
【遷移拓展】
如 圖 2 ， 在 △ABC 中 ， 點(diǎn) P 是 內(nèi) 角 ∠ABC 和 外 角 ∠ACD 的n 等分線的交點(diǎn)，即ACD
n
ABC PCD
n
?PBC ? ? ? ? ?
1
, 1 ，試猜想∠P 與∠A 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.猜想： A
n
?P ? ?
1
證明：
∵∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC
∴ ABC
n
A
n
ACD
n
? ? ? ? ?
1 1 1
∴ A PBC
n
?PCD ? ? ? ?1
∵∠PCD 是△PBC 的外角 ∴∠PCD=∠P+∠PBC ∴ An
?P ? ?1
【應(yīng)用創(chuàng)新】
已知，如圖 3，AD，BE 相交與點(diǎn) C，∠ABC、∠CDE、∠ACE 的角平分線相交與點(diǎn)P，∠A=35°，∠E=25°，則∠BPD=____30°_____.
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141 數(shù)學(xué)加分寶4.（李滄期末）
問(wèn)題探究一：
（1）已知：如圖①，在 ?ABC 中，?A ? 60?，BP、CP 分別平分 ?ABC和?ACB,則?BPC的度數(shù)=120?. （2）問(wèn)題提出：三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？結(jié)合圖①猜想：?P 與?A 的數(shù)量關(guān)系是?P ? ? ? ?A
2
1
90 ，并說(shuō)明理由.問(wèn)題探究二：
（1）已知：如圖②，?DBC 與?ECB 分別是△ABC 的兩個(gè)外角，且?DBC??ECB?210?，則?A的度數(shù)=___30°___.問(wèn)題提出：我們知道，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，那么三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系？結(jié)合圖②猜想： ?DBC??ECB與?A的數(shù)量關(guān)系是?DBC ? ?ECB ?180? ? ?A，并說(shuō)明理由.拓展與應(yīng)用
（1）如圖③，在四邊形 ABCD 中，DP、CP 分別平分?ABC和?BCD,?A??B?230?，則?P?_115°. （2）如圖④， 四邊形 ABCD 中，?F 為四邊形 ABCD 的?ABC的角平分線及外角?DCE的平分線所在的直線構(gòu)成的銳角，若設(shè)?A ??,?D ? ? ，則 ?F ?
2
? ? ? ?180?
.（用?，?表示）（3）如圖⑤，BI 平分?ABC ，CI 平分∠ACB，把△ABC 折疊，使點(diǎn) A 與點(diǎn)I 重合，若?1??2?130?，則?BIC ? 122.5?.
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142 數(shù)學(xué)加分寶5.（市南期末）已知△ABC，D 為△ABC 所在平面上一點(diǎn)，BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD，（1）若 D 點(diǎn)是△ABC 中 BC 邊上一點(diǎn)，如圖 1 所示，判斷∠P、∠A 之間存在怎樣的等量關(guān)系？并證明你的結(jié)論. （2）若 D 點(diǎn)是△ABC 中 AB 邊上一點(diǎn)，如圖 2 所示，判斷∠BDC、∠BPC、∠A 之間存在怎樣的等量關(guān)系？并證明你的結(jié)論. （3）若 D 點(diǎn)是△ABC 外任一點(diǎn)，如圖 3 所示，判斷∠D、∠P、∠A 之間存在怎樣的等量關(guān)系？并證明你的結(jié)論. （4）若 D 點(diǎn)是△ABC 內(nèi)一點(diǎn)，如圖 4 所示，判斷∠D、∠P、∠A 之間存在怎樣的等量關(guān)系？（直接寫出結(jié)論，不需要證明）
（1）結(jié)論：∠P=90
0+ ∠A，證明∵BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD，∴∠PBD= ∠ABD，∠PCD=∠ACD，又∵∠ABD+∠ACD=180
0－∠A，∠P=180
0－（∠PBD+∠ACD），
∴∠P=180
0－（ ∠ABD+ ∠ACD）=180
0－ （180
0－∠A），∴∠P=90
0+ ∠A…………………3分（2）結(jié)論 2∠BPC =∠BDC+∠BAC
證明∵CP 平分∠ACD，∴∠PCA=∠PCD，又∵∠BDC=∠BPC+∠PCD，∠BPC=∠PAC+∠PCA∴2∠BPC =∠BDC+∠BAC…………………6 分
（3）2∠BPC =∠BDC+∠BAC
∵BP 平分∠ABD，CP 平分∠ACD，∴∠PBA=∠PBD，∠PCA=∠PCD，
又∵∠PED=∠PBD+∠D，∠PED=∠PCD+∠P，∴∠PBD+∠D =∠PCD+∠P
又∵∠PFC=∠PCA+∠A, ∠PFC=∠PBA+∠P，∴∠PCA+∠A =∠PBA+∠P
∴2∠P=∠D+∠A…………………9 分
（4）2∠P =∠D+∠A…………………12 分
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143 數(shù)學(xué)加分寶題組 3 “8”字型探究
1．如圖 1，AD，BC 交于 O 點(diǎn)，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是 180°”，不難得出兩個(gè)三角形中的角存在以下關(guān)系：①∠DOC=∠AOB ②∠D+∠C=∠A+∠B．
〖提出問(wèn)題〗
分別作出∠BAD 和∠BCD 的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn) E，如圖（2），∠E 與∠D、∠B之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？
〖解決問(wèn)題〗
為了解決上面的問(wèn)題，我們先從幾個(gè)特殊情況開(kāi)始探究.已知∠BAD 的平分線與∠BCD 的平分線交于點(diǎn) E. （1）如圖（3），若 AB∥CD，∠D=30°，∠B=40°，則∠E= 35° ；
（2）如圖（4），若 AB 不平行 CD，∠D=30°，∠B=50°，則∠E 的度數(shù)是多少呢？小明是這樣思考的，請(qǐng)你幫他完成推理過(guò)程：
易證∠D+∠1＝∠E+∠3， ∠B+∠4＝∠E+∠2，
∴ ∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2，
∵ CE、AE 分別是∠BCD、∠BAD 的平分線，
∴ ∠1＝∠2， ∠3＝∠4. ∴ 2∠E＝ ∠D+∠B _，
又∵ ∠D=30°，∠B=50°，
∴ ∠E＝___40___度. （3）在總結(jié)前兩問(wèn)的基礎(chǔ)上，借助圖（2）， 直接寫出∠E 與∠D、∠B 之間的數(shù)量關(guān)系是：_∠E＝∠D+∠B. 〖類比應(yīng)用〗
如圖（5），∠BAD 的平分線 AE 與∠BCD 的平分線 CE 交于點(diǎn) E．
已知：∠D＝m°、∠B=n°，（m＜n）求：∠E 的度數(shù)．
解：延長(zhǎng) BC 交 AD 于點(diǎn) F，
∵∠BFD=∠B+∠BAD，∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，
∵CE 平分∠BCD，AE 平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=
1
2
∠BCD，∠EAD=∠EAB=
1
2
∠BAD，
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，
∴∠E=∠B+∠EAB－∠ECB=∠B+∠BAE－
1
2
∠BCD=∠B+∠BAE－
1
2
（∠B+∠BAD+∠D）=
1
2
（∠B－∠D），即∠AEC=
1
2
（m－n）
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144 數(shù)學(xué)加分寶3.（局屬期末）【問(wèn)題背景】
（1）如圖 1 的圖形我們把它稱為“8 字形”，請(qǐng)說(shuō)理證明∠A+∠B=∠C+∠D
【簡(jiǎn)單應(yīng)用】
（2）如圖 2，AP、CP 分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°求∠P 的度數(shù)(可直接使用問(wèn)題（1）中的結(jié)論)
【問(wèn)題探究】
（3）如圖 3，直線 AP 平分∠BAD 的外角∠FAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P 的度數(shù)為_(kāi)_____. 【拓展延伸】
（4）在圖 4 中，若設(shè)∠C= x ，∠B= y ，∠CAP= 3
1 ∠CAB，∠CDP= 3
1 ∠CDB，試問(wèn)∠P 與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________________(用 x 、 y 表示∠P)
（5）在圖 5 中，AP 平分∠BAD，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE，猜想∠P 與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論_________________________.
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145 數(shù)學(xué)加分寶3.（市南期末）直線 MN 與直線 PQ 垂直相交于 O，點(diǎn) A 在直線 PQ 上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B 在直線MN上運(yùn)動(dòng). （1）如圖 1，已知 AE、BE 分別是∠BAO 和∠ABO 的角平分線，點(diǎn) A、B 在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AEB 的度數(shù). （2）如圖 2，已知 AB 不平行 CD，AD、BC 分別是∠BAP 和∠ABM 的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD 的角平分線，點(diǎn) A、B 在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CED 的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值. （3）如圖 3，延長(zhǎng) BA 至 G，已知∠BAO、∠OAG 的角平分線與∠BOQ 的角平分線所在直線相交于E、F，在 ?AEF 中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的 3 倍，試求 ?ABO 的度數(shù). 【答案】解：（1）不變，135°（2）67.5° （3）45°或 60°
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146 數(shù)學(xué)加分寶4（. 1）如圖 1 的圖形我們把它稱為“8 字形”，則∠A，∠B，∠C，∠D 四個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是∠A+∠B=∠C+∠D；（2）如圖 2，若∠BCD，∠ADE 的角平分線 CP，DP 交于點(diǎn) P，求∠P 與∠A，∠B 之間的數(shù)量關(guān)系；【答案】2∠P=180°－∠A－∠B
（3）如圖 3，CM，DN 分別平分∠BCD，∠ADE.當(dāng)∠A+∠B=80°時(shí)，試求∠M+∠N 的度數(shù)（提醒：解決此問(wèn)題可以直接利用上述結(jié)論）；
【答案】230° （4）如圖 4，如果 ?MCD ? ?BCD
3
1 ， ADE
3
1 ?NDE ? ?，當(dāng) ?A? ?B?n? 時(shí)，直接寫出∠M+∠N的度數(shù)為
3
240
n
? ? .（結(jié)果用 n 表示）
