數(shù)學(xué)文化 拓視野
2. [2021宜賓]在我國(guó)遠(yuǎn)古時(shí)期,人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量,即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”,類(lèi)似現(xiàn)在我們熟悉的“進(jìn)位制”.如圖
所示是遠(yuǎn)古時(shí)期一位母親記錄孩子自出生后的天數(shù),在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié),滿(mǎn)五進(jìn)一,根據(jù)圖示可
知,孩子已經(jīng)出生的天數(shù)是( )
A.27
B.42
C.55
D.210
答案
2.B 根據(jù)題意得,孩子已經(jīng)出生的天數(shù)的五進(jìn)制數(shù)為132,化為十進(jìn)制數(shù)為132=1×5
2+3×5
1+2×5
0=42.
新定義試題 練遷移
3. [2021懷化]定義a?b=2a+
1
?
,則方程3?x=4?2的解為( )
A.x=
1
5
B.x=
2
5
C.x=
3
5
D.x=
4
5
答案
3.B 由新定義知方程3?x=4?2可化為6+1
?
=8+1
2
,解得x=
2
5
,經(jīng)檢驗(yàn),x=
2
5是原分式方程的解,故方程3?x=4?2的解為x=
2
5
.
【注意】解分式方程要檢驗(yàn)
新定義試題 練遷移
4. [2020十堰]對(duì)于實(shí)數(shù)m,n,定義運(yùn)算m*n=(m+2)2
-2n.若2*a=4*(-3),則a= .
答案
4.-13 ∵m*n=(m+2)2
-2n,∴2*a=(2+2)2
-2a=16-2a,4*(-3)=(4+2)2
-2×(-3)=42.∵2*a=4*(-3),∴16-2a=42,解得a=-13.
新定義試題 練遷移
5. 課標(biāo)新增[2022重慶A卷]若一個(gè)四位數(shù)M的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是M去掉個(gè)位與十位數(shù)字后得到的
兩位數(shù),則這個(gè)四位數(shù)M為“勾股和數(shù)”.
例如:M=2 543.∵3
2+42=25,∴2 543是“勾股和數(shù)”.
又如:M=4 325.∵5
2+22=29,29≠43,∴4 325不是“勾股和數(shù)”.
(1)判斷2 022,5 055是否為“勾股和數(shù)”,并說(shuō)明理由.
(2)一個(gè)“勾股和數(shù)”M的千位數(shù)字為a,百位數(shù)字為b,十位數(shù)字為c,個(gè)位數(shù)字為d,記G(M)=?+?
9
,P(M)=|10(???)+(???)|
3
.當(dāng)
G(M),P(M)均是整數(shù)時(shí),求出所有滿(mǎn)足條件的M.
答案
5.【參考答案】(1)2 022不是“勾股和數(shù)”,5 055是“勾股和數(shù)”.
理由:∵2
2+22=8,8≠20,
∴2 022不是“勾股和數(shù)”.
∵5
2+52=50,
∴5 055是“勾股和數(shù)” .
新定義試題 練遷移
答案
(2)∵0≤c≤9,0≤d≤9,且c,d為整數(shù),
∴0≤c+d≤18.
∵G(M)=?+?
9 是整數(shù),
∴c+d=0或c+d=9或c+d=18.
①當(dāng)c+d=0時(shí),c=d=0,得c
2+d
2=0(舍去).
②當(dāng)c+d=9時(shí),
P(M)=|10(???)+(???)|
3
=
|10?+??(10?+?)|
3
=
|?
2+?
2?(10?+?)|
3
=
|?
2+(9??)
2?10??9+?|
3
=|2?
2
3
-9c+24|.
∵P(M)是整數(shù),
∴|
2?
2
3
-9c+24|是整數(shù),
∴
2?
2
3 是整數(shù),即c
2是3的倍數(shù).
∵0≤c≤9,且c為整數(shù),
新定義試題 練遷移
答案
∴c=0,3,6,9.
當(dāng)c=0時(shí),d=9,M=8 109;
當(dāng)c=3時(shí),d=6,M=4 536;
當(dāng)c=6時(shí),d=3,M=4 563;
當(dāng)c=9時(shí),d=0,M=8 190.
③當(dāng)c+d=18時(shí),c=d=9,得c
2+d
2=162>99(舍去).
綜上,滿(mǎn)足條件的M為4 536,4 563,8 109,8 190.
開(kāi)放性試題 提思維
6. [2022永州]請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)比 5大且比10小的無(wú)理數(shù): .
答案
6. ?(答案不唯一)
開(kāi)放性試題 提思維
7. [2020山西]下面是小彬同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程,請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).
?
2?9
?
2 + 6? + 9
?
2? + 1
2? + 6
=
(?+3)(??3)
(?+3)
2 ?
2?+1
2(?+3)
···········································································································第一步
=
??3
?+3
?
2?+1
2(?+3)
····················································································································第二步
=
2(??3)
2(?+3)
?
2?+1
2(?+3)
·················································································································第三步
=
2??6?(2?+1)
2(?+3)
·····················································································································第四步
=
2??6?2?+1
2(?+3)
·······················································································································第五步
=-
5
2?+6
. ····························································································································第六步
開(kāi)放性試題 提思維
任務(wù)一:
填空:①以上化簡(jiǎn)步驟中,第 步是進(jìn)行分式的通分,通分的依據(jù)
是 ;
②第 步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤,這一步錯(cuò)誤的原因是 .
任務(wù)二:請(qǐng)直接寫(xiě)出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果.
任務(wù)三:除糾正上述錯(cuò)誤外,請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),就分式化簡(jiǎn)時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議.
答案
7.【參考答案】任務(wù)一:①三 分式的基本性質(zhì)[或分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不為零的整式,分式的值
不變]
②五 括號(hào)前是“-”號(hào),去掉括號(hào)后,括號(hào)里的第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)
任務(wù)二:-
7
2?+6
.
任務(wù)三:最后結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式;約分、通分時(shí),應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形;分式化簡(jiǎn)不能與解分式方
程混淆等.(答案不唯一,寫(xiě)出一條即可)
閱讀理解題 升素養(yǎng)
8. [2022廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)改編]閱讀材料:
整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法.例如“已知3a-b=2,求代數(shù)式6a-2b-1的值.”可以這樣解:6a-2b-1=2(3a-b)-1=2×2-1=3.
根據(jù)閱讀材料,解決問(wèn)題:
若x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解,求代數(shù)式4a
2+4ab+b
2+4a+2b-1的值.
答案
8.【參考答案】把x=2代入方程ax+b=3中,
得2a+b=3,
故原式=(2a+b)
2+2(2a+b)-1
=32+2×3-1
=14.
章節(jié)綜合訓(xùn)練1 數(shù)與式
1. [2022河南]-
1
2的相反數(shù)是( )
A.1
2
B.2 C.-2 D.-
1
2
答案
1.A
2. [2021蘇州]計(jì)算( 3)
2的結(jié)果是( )
A. 3 B.3 C.2 3 D.9
答案
2.B
3. [2021達(dá)州]如圖,實(shí)數(shù) 2+1在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能是( )
A.A點(diǎn)
B.B點(diǎn)
C.C點(diǎn)
D.D點(diǎn)
答案
3.D 因?yàn)?2≈1.414,所以 2+1≈2.414,故選D.
【另解】因?yàn)? < 2 < 2,所以2 < 2 + 1 < 3
4. [2022山西]糧食是人類(lèi)賴(lài)以生存的重要物質(zhì)基礎(chǔ).2021年我國(guó)糧食總產(chǎn)量再創(chuàng)新高,達(dá)68 285萬(wàn)噸.該數(shù)據(jù)可用科學(xué)
記數(shù)法表示為( )
A.6.828 5×104 噸 B.68 285×104 噸
C.6.828 5×107 噸 D.6.828 5×108 噸
答案
4.D
5. [2022長(zhǎng)沙]下列計(jì)算正確的是( )
A.a7÷a
5=a
2 B.5a-4a=1
C.3a
2·2a
3=6a
6 D.(a-b)
2=a
2
-b
2
答案
5.A 逐項(xiàng)分析如下.
選項(xiàng) 分析 正誤
A a
7÷a
5=a
7-5=a
2 √
B 5a-4a=(5-4)a=a ?
C 3a
2·2a
3=(3×2)·a
2+3=6a
5 ?
D (a-b)
2=a
2
-2ab+b
2 ?
6. [2021廣東]若|a- 3|+ 9?
2?12?? + 4?
2=0,則ab=( )
A. 3 B.
9
2
C.4 3 D.9
答案
6.B 由題意得a- 3=0,9a
2
-12ab+4b
2=(3a-2b)
2=0,解得a= 3,b=
3 3
2
,故ab= 3 ×
3 3
2
=
9
2
.
【關(guān)鍵】絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性
7. [2022河北]若x和y互為倒數(shù),則(x+
1
?
)(2y1
?
)的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案
7.B ∵x和y互為倒數(shù),∴xy=1,∴(x+
1
?
)(2y1
?
)=2xy-1+2-
1
??
=2×1-1+2-1=2.
8. [2021大慶]已知b>a>0,則分式?
?與
?+1
?+1的大小關(guān)系是( )
A.?
?
<
?+1
?+1
B.
?
?
=
?+1
?+1
C.?
?
>
?+1
?+1
D.不能確定
答案
8.A (作差法)
?
?
?
?+1
?+1
=
?(?+1)??(?+1)
?(?+1)
=
???
?(?+1)
,∵b>a>0,∴a-b<0,b(b+1)>0,∴
???
?(?+1)
<0,∴
a
b
?
a+1
b+1
<0,∴
a
b
<
a+1
b+1
.
一題多解
(特殊值法)令b=2,a=1,則
a
b
=
1
2
,
a+1
b+1
=
1+1
2+1
=
2
3
,∵
1
2
<
2
3
,∴
a
b
<
a+1
b+1
.
【點(diǎn)撥】同號(hào)兩數(shù)相乘得正,異號(hào)兩數(shù)相乘得負(fù)
9. [2021鎮(zhèn)江]如圖,小明在3×3的方格紙上寫(xiě)了九個(gè)式子(其中的n是正整數(shù)),每行的三個(gè)式子的和自上而下分別記為
A1
,A2
,A3
,每列的三個(gè)式子的和自左至右分別記為B1
,B2
,B3
,其中,值可以等于789的是( )
A.A1
B.B1
C.A2
D.B3
答案
9.B 由題意得,令A(yù)1=2n+1+2n+3+2n+5=789,整理得2
n=260,則n不是整數(shù),故A1的值不可以等于789;令A(yù)2=2n+7+2n+9+
2
n+ 11=789,整理得2
n=254,則n不是整數(shù),故A2的值不可以等于789;令B1=2n+1+2n+7+2n+13=789,整理得2
n=256=28
,則n
是整數(shù),故B1的值可以等于789;令B3=2n+5+2n+11+2n+17=789,整理得2
n=252,則n不是整數(shù),故B3的值不可以等于789.故
選B.
2
n+1 2
n+3 2
n+5 A1
2 A2
n+7 2
n+9 2
n+11
2 A3
n+13 2
n+15 2
n+17
B1 B2 B3
10. [2021鄂州]已知a1為實(shí)數(shù),規(guī)定運(yùn)算:a2=1-
1
?1
,a3=1-
1
?2
,a4=1-
1
?3
,a5=1-
1
?4
,……,an=1-
1
???1
.按上述方法計(jì)算:當(dāng)a1=3時(shí),
a2 021的值等于( )
A.-
2
3
B.
1
3
C.-
1
2
D.
2
3
答案
10.D 由題意得,當(dāng)a1=3時(shí),a2=1-
1
?1
=1-
1
3
=
2
3
,a3=1-
1
?2
=1-
3
2
=-
1
2
,a4=1-
1
?3
=1-(-2)=3,∴a1
,a2
,a3
,…,an的值以3,2
3
,-
1
2為循環(huán)組.
∵2 021÷3=673……2,∴a2 021=
2
3
.
11. [2022北京]若 ??8在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 .
答案
11.x≥8 由二次根式有意義的條件可知x-8≥0,解得x≥8.
12. [2022青島改編]計(jì)算:( 27 ? 12)×
1
3的結(jié)果是 .
答案
12.1 ( 27 ? 12)×
1
3
= 27 ×
1
3
? 12 ×
1
3
= 9 ? 4=3-2=1.
13. [2021廣東]若x+
1
?
=
13
6 且0<x<1,則x
2
-
1
?
2= .
答案
13.-
??
??
∵x+
1
?
=
13
6
,∴(x1
?
)
2=(x+
1
?
)
2
-4x·
1
?
=(13
6
)
2
-4=25
36
.∵0<x<1,∴x<
1
x
,∴x1
x
<0,∴x1
x
=-
5
6
,∴x
2
-
1
?
2=(x+
1
?
)(x1
?
)=13
6
×(-
5
6
)=-
65
36
.
【關(guān)鍵】(???)
2 = (? + ?)
2?4??
14. 新情境·WIFI密碼[2021自貢]如圖,某學(xué)?！疤依畈蛷d”把WIFI密碼做成了數(shù)學(xué)題.小紅在餐廳就餐時(shí),思索了一會(huì)兒,
輸入密碼,順利地連接到了“桃李餐廳”的網(wǎng)絡(luò).那么她輸入的密碼是 .
答案
14.244872 根據(jù)題中前三個(gè)等式的規(guī)律可知密碼的前兩位是4×6=24,中間兩位是8×6=48,最后兩位是24+48=72,故
她輸入的密碼是244872.
15. [2022常德]計(jì)算:30
-(
1
2
)
-2
sin 30°+ 8cos 45°.
答案
15.【參考答案】
原式=1-4×
1
2
+2 2 ×
2
2
=1-2+2
=1.
16. [2022邵陽(yáng)]先化簡(jiǎn),再?gòu)?1,0,1, 3中選擇一個(gè)合適的x值代入求值.
(
1
?+1
+
1
?
2?1
)÷
?
??1
.
答案
16.【參考答案】
原式=
??1+1
(?+1)(??1)
·
??1
?
=
1
?+1
.
易知x≠-1,0,1,∴x= 3,∴原式=
1
3+1
=
3?1
2
.
17. [2021廣州]已知A=(?
?
?
?
?
)·3??
???
.
(1)化簡(jiǎn)A;
(2)若m+n-2 3=0,求A的值.
答案
17.【參考答案】
(1)A=
?2??
2
??
·
3??
???
=
(?+?)(???)
??
·
3??
???
= 3(m+n)
= 3m+ 3n.
(2)∵m+n-2 3=0,∴m+n=2 3.
當(dāng)m+n=2 3時(shí),A= 3m+ 3n= 3(m+n)= 3×2 3=6.
18. [2020河北]有一電腦程序:每按一次按鍵,屏幕的A區(qū)就會(huì)自動(dòng)加上a
2
,同時(shí)B區(qū)就會(huì)自動(dòng)減去3a,且均顯示化簡(jiǎn)后的
結(jié)果.已知A,B兩區(qū)初始顯示的分別是25和-16,如圖所示.
如,第一次按鍵后,A,B兩區(qū)分別顯示:
(1)從初始狀態(tài)按2次后,分別求A,B兩區(qū)顯示的結(jié)果;
(2)從初始狀態(tài)按4次后,計(jì)算A,B兩區(qū)代數(shù)式的和,請(qǐng)判斷這個(gè)和能否為負(fù)數(shù),說(shuō)明理由.
答案
18.【參考答案】
(1)A區(qū)顯示的結(jié)果為25+a
2+a
2=25+2a
2
,
B區(qū)顯示的結(jié)果為-16-3a-3a=-16-6a.
(2)從初始狀態(tài)按4次后,A區(qū)顯示的結(jié)果為25+4a
2
,
B區(qū)顯示的結(jié)果為-16-12a,
25+4a
2+(-16-12a)=25+4a
2
-16-12a=4a
2
-12a+9.
這個(gè)和不能為負(fù)數(shù).
理由:∵4a
2
-12a+9=(2a)
2
-2×(2a)×3+32=(2a-3)2≥0,
∴A,B兩區(qū)代數(shù)式的和不能為負(fù)數(shù).
